Cuestionario de Vectores

1. Sean a = a1i + a2j + a3k y b = = b1i + b2j + b3k. Como se define:

i. a ii. a + b iii. a ( si es una constante real)

iv. ¿un vector unitario en la dirección de a?, ¿y en dirección contraria?

2. Sean a = a1i + a2j + a3k y b = = b1i + b2j + b3k. Como se define: i. ab ii. axb

3. ¿En la práctica cómo se calcula axb?. ¿Qué interpretación geométrica se da a axb ?

4. ¿El producto escalar de dos vectores es un escalar o un vector?, ¿qué se obtiene con el producto vectorial de dos vectores?, ¿el producto escalar es conmutativo? y ¿el producto vectorial?

5. ¿Cómo determina el ángulo entre dos vectores a y b?

6. ¿Cómo se calculan compb a y compab ? Indique su significado geométrico.

7. ¿Cómo se definen los ángulos directores de un vector a?

8. ¿Cuándo se dice que tres vectores a, b y c son coplanares?, ¿cómo lo puede probar?

9. ¿Cuándo se dice que dos vectores son ortogonales y cómo se puede probar?

10. ¿Cuándo se dice que dos vectores son paralelos y cómo se puede probar?

11. ¿Cuál es el significado geométrico de (axb)c

Ejercicios

1. Verdadero o Falso? En los ejercicios siguientes determina si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explica porqué o da un ejemplo que demuestre que es falsa.

Si u y v tienen la misma magnitud y dirección, entonces u y v son equivalentes

Si u es un vector unitario en la dirección de v, entonces v = v u

Si u = ai + bj es un vector unitario, entonces s a2 + b2 = 1

Si v = ai + bj = 0, entonces a = -b

Si a = b entonces ai+bj=√2a

Si u y v tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas, entonces u + v = 0

2. Considerar dos fuerzas de la misma magnitud que actúan sobre un punto.a) Si la magnitud de la resultante es la suma de las magnitudes de las dos fuerzas,

hacer una conjetura acerca del ángulo entre las fuerzas.b) Si la resultante de las fuerzas es 0, hacer una conjetura acerca del ángulo entre las

fuerzas.

3. ¿Qué se sabe acerca de θ, el ángulo entre dos vectores u y v distintos de cero, si

a) u • v=0? b) u • v>0? c) u • v<0?

4. Determinar si las siguientes expresiones están definidas para vectores distintos de cero u, v y w. Explicar su razonamiento.

a) u •(v+w) b) (u• v)w ¿ c) u • v+w d) u•(v+w)

5. Calcular u • v si

a) u = <2, 3, 5>, v = <0, 2, 8>b) u = 5i + 4j – k, v = -i – 4 kc) u=4v=10 y el ángulo entre los vectores es de π/ 6

6. Calcular el ángulo entre los vectoresa) u = <6,- 3, 2>, v = <2, 1,-2>b) u = 2i + 4j – k, v = -i – 4 kc) u = 5i - 2j + k, con cada uno de los vectores i, j y k

Los ángulos antes determinados son llamados ángulos directores de u y son los ángulos que hace el vector u con cada uno de los ejes coordenados

7. Encuentre, aproximando al grado más cercano, los tres ángulos del triángulo con vértices en A(1, 2, 3), B(6, 1, 5), C(-1, -2, 0)

8. Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos.

a) u = <6, -1, 5>, v = <4, 9, -3>b) u = - i + 2j + 5 k, v = 3i + 4j - kc) u = 2i + 6j – 4 k, v = -3 i – 9 j + 6 k

9. ¿Para qué valores de c son ortogonales los vectores u = < - 6, c, 2>, v = < c, c2, c>

10. Determine la compb a, compa b, proyb a y proya b si

a) a = <6, -1, 5>, b = <4, 9, -3>b) a = - i + 2j + 5 k, b = 3i + 4j - k

11. Una fuerza constante con representación vectorial F = 10i + 18j – 6k mueve un objeto a lo largo de una recta, del punto (2, 3, 0) al punto (4, 9, 15). Encuentre el trabajo realizado si la distancia se mide en metros y la magnitud de la fuerza en newtons.

Producto Vectorial

12. Un vector a se encuentra en el plano xy formando un ángulo de 600 con el eje positivo

x, un vector b está sobre el eje positivo z; sus magnitudes son a=6 . 4 y b=5a) use la definición de a x b para calcular |a x b |

b) aplique la regla de la mano derecha para obtener la dirección de a x b

c) exprese a a x b en términos de i , j y { k ¿ usando el resultado del inciso b)

13. Un triángulo tiene vértices en (0, 0, 0), (1, 1, 1) y (0, -2, 3). Encontrar su área.

14. Encuentre dos vectores ortogonales a i + j e i – j + k

15. Demuestre que el cuadrilátero con vértices en A(5, 0, 2), B(2, 6, 1), C(2, 4, 7) y D(5, 0, 6) es un paralelogramo y calcule su área

16. Calcular uxv y probar que es ortogonal a u y v

a) u = <2, -3, 1>, v =<1, -2, 1>b) u = i + 6j, v = -2i + j + k

12. Suponga que desea escribir una ecuación para una recta L del espacio. ¿Qué se requiere para poder hacerlo?

13. Suponga que le dan dos puntos P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) por donde pasa una recta L. ¿ Cómo escribe la ecuación vectorial de la recta?

14. Sea r(t) = (x1, y1, z1) + t (a1, 0, a3) la ecuación vectorial de una recta. Escriba sus ecuaciones paramétricas y su forma simétrica.

15. Suponga que la forma simétrica de una recta L es

x−x1

a1

=y2− y

a2

; z=z3. Escriba una

ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta L.18. Suponga que una ecuación de un plano está dada por

a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0¿qué representan (x1, y1, z1) y (a, b, c)?

19. Suponga que conoce tres puntos por donde pasa un plano. Explique como puede escribir su ecuación.

20. ¿Cómo se puede determinar si dos planos son paralelos?, y ¿cómo se puede determinar si son ortogonales?

16. ¿Cómo se calculan los ángulos entre dos rectas?. ¿Cuándo se dice que dos rectas son paralelas?, ¿cómo se sabe si son ortogonales?

17. ¿Qué datos se requieren para poder escribir una ecuación de un plano?