UNIVERSIDAD ANDRS BELLO

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

GUA DE EJERCICIOS: DERIVADAS

1.- Usando la definicin de derivada calcule las siguientes derivadas:

a) 12)( += xxf b) 53)( 2 ++= xxxf c) 2

1)(

=x

xf

2.- Obtenga )(' xf para las siguientes funciones:

a) 32

)(xx

xxxf

+=

b) xxxf sen2cos3)( += Resp.: xx cos2sen3 +

c) xx

xxxf

cossen

cossen)(

+=

d) x

xxf16

1)( 3 2 += Resp: 2

3

1

16

3

2

xx

e) x

xxf

2)1()(

= Resp.: 2

122

x

xxxx +

f) x

xexf

x

sen1

cos)(

=

g) xexf x ln2)( += Resp.: x

xe 12 +

h) )sen(cos)( xxexf x +=

i) x

x

xe

xexf

sen)(

+=

j) x

xxf1

)( = Resp.: 2

3

2

1

2

1

xx

+

k) 1

1)(

+=

x

xxf Resp.:

2)1(

2

x

l) 1)( 2 += xxxf Resp.: 12

132

2

++xx

x

m) 25

)5()1()( 32 += xtxf n)

3122 )2()1()( += xxxxf

o) xxxf 27

23

sen7

2sen3

2)( = Resp.: ( ) xx cossen 21

p) )(cos2)( 2 xecxf =

3.- Derivar implcitamente las expresiones que se indican

dx

dy:

a) 16= yxxy Resp.: y

x

x

y

x

y

2

2

b) xyyx cossen = Resp.: yxx

yxy

coscos

sensen

+

c) ))(( 222 yxyxy += Resp.: 22

22

32

23

yxy

xyyx

++

+

d) xyx =+ )cos( Resp.: )sen(

11yx+

e) yezx x ln)sen( =+ Resp.: [ ]x

x

e

yyezx

++ ln)cos(

f) 22cossen =+ yx Resp: y

x

2sen2

cos

4.- Demostrar que la funcin dada satisface la ecuacin respectiva:

a) y)x1('xyxey 222x

== b) y)x1('xyxey x ==

c) 0y)2x('xy2''yxxsenxy 22 =++= d)

xx xey'xy''yey =+= e) 0y'y''y'''yxcos2senxy =++++=

5.- Obtenga

dx

dy para las funciones dadas en forma paramtrica.

a) )cos1();sen( tayttax == Resp.: t

t

cos1

sen

b) tt eyex 22 ; == Resp.: te 4 c) 13;13 33 +=++= ttyttx Resp.:

33

332

2

+

t

t

d) teytex tt sen;cos == Resp,: tt

tt

sencos

cossen

+

6.- Demuestre que 2

2 xexy = satisface la ecuacin diferencial xey

dx

dy

dx

yd =+ 22

2

.

7.- Sea 12

1

3

2)( 23 += xxxxf . Hallar los puntos de la grfica de f en que la pendiente de

la recta tangente en ese punto sea igual a: a) 0 b) 1 c) 5.

Resp: a) 12

1 == xx b) 2

10 == xx c) 22

3 == xx

8.- Sea baxxxf ++= 2)( . Hallar los valores de a y b tales que la recta xy 2= sea tangente a la grfica de f en el punto ( 2, 4 ). Resp: 4;2 == ba

9.- Hallar los valores de las constantes a, b y c para los cuales las grficas de los dos

polinomios cxxf = 3)( y baxxxg ++= 2)( se corten en el punto ( 1, 2 ) y tengan la misma tangente. Resp.: 1;2;1 === cba

10.- Demostrar que la recta xy = es tangente a la curva dada por la ecuacin xxxy 86 23 += . Hallar los puntos de tangencia.

11.- Existe un polinomio dcxbxaxxP +++= 23)( tal que: 10)0('' ; 1)0(' ; 2)1()0( ==== PPPP . Calcular a, b, c y d.

12.- Mediante derivacin implcita, demuestre que si 32

3

2

3

2

ayx =+ entonces 3'x

yy =

13.- Si teytex tt cos ; sen == . Encuentre dx

dy. Resp:

te2

14.- En qu punto de la curva xxy = la tangente es paralela a la recta 063 =+ yx ?. Resp: 40 == xx

15.- Para qu valores de x la grfica de 87632)( 23 += xxxxf tiene una tangente horizontal?. Resp: 61.061.1 == xx

16.- En qu punto de la curva 4xy = la recta normal tiene la pendiente 16?. Resp:

4

1=x

17.- Si el costo de manufacturar x artculos es C(x) = 159020 23 +++ xxx , halle la funcin de costo marginal y compare el costo marginal en x = 50 con el costo real de manufacturar el artculo

nmero 50. Resp.: 9590)50(' =C ; 9421)49()50( =CC

18.- Si el costo de producir q unidades de un artculo est dado por 80050)( 2 += qqqC , determine el costo marginal para un nivel de produccin de 100 unidades. 19.- La demanda semanal de televisores plasmas es:

000.12x0x05.0600p = Donde p denota el precio en dlares y x la cantidad demandada. La funcin del costo total semanal vinculada con la produccin de estos televisores est dada por:

80000x400x03.0x000002.0)x(C 23 ++= donde C(x) denota el costo total de produccin de x televisores. a) Encuentre la funcin Ingreso R y la funcin de Ganancia P b) Encuentre la funcin de Costo Marginal C, la funcin de Ingreso Marginal R y la funcin de ganancia marginal P.

c) Encuentre la funcin de Costo Promedio ( )C asociada a la funcin de costo )x(C . d) Encuentra la funcin de Costo Promedio Marginal

20.- la funcin de consumo para la economa de Estados Unidos de 1929 a 1941 es:

05.95x712.0)x(C += donde C(x) es el gasto personal y x es el ingreso personal, ambos en miles de millones de dlares. Encuentre la razn de cambio del consumo con respecto al ingreso. A esta cantidad se le denomina Propensin marginal al consumo. 21.- Para las siguientes funciones, determine los puntos crticos, indicando si representan mximos, mnimos o ninguno de ellos.

a) 152 += xxy . Resp: 2

5=x min. b) 120 25 += xxy . Resp: 0=x mx; 2=x min c) 133 ++= xxy . Resp: no existe mximo ni mnimo. d) 242 ++= xxy . Resp: 2=x max. e) 23 34 += xxy . Resp: 0=x no es mximo ni mnimo;

2

3=x min. 22.- Estudie las siguientes funciones, indicando puntos crticos, mximos o mnimos, puntos de inflexin, intervalos de concavidad, monotona y grfica.

a) 12 +

=x

xy

b) 2xey =

c) xexy =

d) )(2

1 xx eey =

23.- Dada la funcin 2)(x

exxf

= determine: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Mximos y mnimos de f, si es que existen. c) Puntos de inflexin de f, si existen. d) Intervalos de concavidad. 24.- Las utilidades de una empresa para los primeros once aos de vida estn dados por U(t) = 2t3 - 36t2 + 162t 50 donde U: ingreso en $ y t: tiempo en aos. Determine:

a) El trazado de la grfica U(t) b) En que aos se regstrale mnimo y el mximo de la utilidades Resp: 3;9 == tt

25.- Si el costo de produccin de q artculos es 2535)( 241 ++= qqqC , y el precio de venta de

cada artculo es qp 2150 = , determine:

a) La produccin que maximiza la Utilidad Resp: 10 artculos b) La Utilidad mxima Resp: 50 U.M.

26.- Un vendedor de bicicletas ha determinado que el costo anual del inventario C depende del nmero de bicicletas ordenadas q, mediante la funcin:

750000154860

)( ++= qq

qC

Determinar: a) El nmero de bicicletas que se deben ordenar para que el costo anual del inventario sea mnimo.

Resp: 18 bicicletas b) El valor del costo mnimo. Resp: 750540 27.- Determine el nivel de produccin que maximice la ganancia en una empresa en donde las

funciones de costo y demanda son : 100

50)(1000

53800)(2 x

xpx

xxC =+=

( No olvidar que Ingreso (x) = x P(x) ) Resp: 2250 unidades 28.- Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son:

20001.020000.50)( qqqC ++= 2004.060)( qqqI =

a) Calcule las funciones de costos e ingresos marginales, y calcule cuantas unidades se deben producir para que se tenga que los ingresos marginales sean iguales a los costos marginales.

b) Encuentre cuntas unidades maximizan la utilidad. Recuerde que Utilidad = Ingreso Costo. Compare con la respuesta dada en a). Resp.: a) 4878 b) 4878 29.- Calcular los siguientes lmites aplicando la regla de LHopital:

a) 30

2)2(

x

xexlim

x

x

. Resp: -1/6

b) 1

12

1

1

x

elim

x

x

c) ))ln(cos(

))ln(cos(

0 bx

axlimx

. Resp: 2

2

b

a

d) 1

ln

1 xx

limx

e) 20

1tg

x

xcxlimx

. Resp: -1/3.

f) 4

222 +

x

xlimx

g) 30

sen

x

xxlimx

30.- Aplicando LHopital, hallar la constante c de modo que 4=

+

x

x cx

cxlim Resp: 2ln=c