Guia Didactica

REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA Unidad Curricular Anlisis Matemtico MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIN SUPERIOR CENTRO DE ESTUDIOS EN CIENCIAS DE LA ENERGA UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA PROGRAMA DE FORMACIN DE GRADO EN HIDROCARBUROS

GUA DIDCTICA DE LA UNIDAD CURRICULAR ANLISIS MATEMTICO

Autor: Ing. Richard Pisos Colaboradores Directos: Ing. Mara Mongui Lic. Nelkis Acosta

Caracas, Septiembre 2007

Unidad Curricular Anlisis Matemtico

PRESENTACINLa unidad curricular Anlisis Matemtico tiene como objetivo que los estudiantes aprendan a utilizar las herramientas matemticas y geomtricas que le permitan desarrollar e interpretar derivadas e integrales en problemas matemticos. A continuacin, se presentar la estructura de la gua didctica, metodologa aplicada, plan de evaluacin y los criterios para las estrategias de evaluacin planteadas. 1. La estructura de la Gua Didctica consta de tres unidades: Unidad I. La derivada y sus Aplicaciones Unidad II. Derivadas Parciales. Unidad III. Integrales y sus aplicaciones. 2. La Metodologa Aplicada parte de los siguientes aspectos:

Aprender Haciendo: El estudiante debe participar en el transcurso del encuentro, elaborando las actividades y prcticas correspondientes e interactuar con el resto de los participantes. Evaluacin de carcter formativo para reorientar el estudio: Los estudiantes deben entender la importancia de utilizar las herramientas dictadas. El Profesor Asesor los orientar a tomar los correctivos necesarios para reorientar su estudio futuro. Autoaprendizaje: En este punto el estudiante debe realizar las Prcticas por encuentro. El Profesor Asesor plantear actividades que permitan al estudiante corroborar su grado de aprendizaje.

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3. Plan de Evaluacin. Las estrategias de evaluacin planteadas con sus valores porcentuales por unidad se presentan a continuacin:

Estrategia de Evaluacin Actividades Individuales Actividades Grupales Proyecto

Unidad I

Unidad II

Unidad III

Total

5%

5%

5%

15 %

10 %

5%

10 %

25% 20%

E1 Evaluaciones 5%

E2 10%

E3 10%

E4 15% TOTAL

ET 40 % 100%

a.

Las Actividades Individuales planteadas con sus valores porcentuales son las siguientes: Prcticas o Exmenes Cortos: 10%. Intervenciones: 5%.

b. Las Actividades Grupales planteadas con sus valores porcentuales son las siguientes: Talleres o Prcticas en el Ambiente: 25 %.

Criterios para las Actividades Individuales y Grupales: Los Talleres y Prcticas deben realizarse aplicando la Haciendo.

metodologa de Aprender

El profesor Asesor debe Corroborar que los Estudiantes hayan realizado las actividades correspondientes. Las actividades grupales e individuales deben ser realizadas en su mayora en el encuentro didctico. Se recomienda evaluar de manera formativa y sumativa en cada encuentro.

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c. Las evaluaciones por unidad tienen un valor porcentual de 40%. El contenido a evaluar est dividido de la siguiente manera: Unidad I: Evaluacin 1 (E1): Derivadas por definicin y por tablas. Regla de la Cadena. (5 %) Evaluacin 2 (E2): Aplicaciones de las derivadas. (Estudio de Curvas, problemas de mximo y mnimo y la Regla LHopital). (10 %) Unidad II: Evaluacin 3 (E3): Derivadas parciales de primer orden y orden superior. Regla de la Cadena. Aplicaciones. (10 %) Unidad III: Evaluacin 1 (E4): Funcin Primitiva, Integrales indefinidas, Integrales inmediatas y Mtodos de Integracin. (15 %) Criterios para las Evaluaciones: Las evaluaciones representan una consolidacin de los conocimientos adquiridos. El tiempo de duracin de las evaluaciones debe ser aproximadamente entre 60 a 90 minutos. Debe seleccionarse el contenido a evaluar previamente para que los profesores Asesores preparen adecuadamente sus encuentros didcticos. Los Profesores Asesores deben seguir los lineamientos y acuerdos establecidos entre ellos. Los ejercicios planteados deben tener aplicacin a la vida cotidiana. Los Profesores Asesores deben entregar con una semana de anticipacin un modelo de evaluacin al Coordinador del Eje de Formacin de Matemtica e informtica del estado, el cual debe revisar el mismo antes de ser aplicado. Este punto se plantea para fortalecer el trabajo en equipo entre los profesores y mejorar continuamente las estrategias de evaluacin aplicadas.

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d. Trabajo Final consta de dos partes: Entrega del Trabajo Final: 10%. Discusin: 10%. Criterios del Trabajo Final: Debe estar orientado a la Resolucin de derivadas e integrales que tengan aplicacin en la vida cotidiana. El Profesor Asesor debe corroborar que los estudiantes hayan realizado el trabajo correspondiente. Se recomienda solicitar a los estudiantes los avances del trabajo en el transcurso del tramo. La estructura del Trabajo Final es la siguiente: Portada. Resumen. (1 pto) Desarrollo. (10 ptos) Conclusiones. (3 ptos) Bibliografa. (1 pto) Anexos. (3 ptos) Ortografa, Gramtica y Presentacin. (2 ptos) e. Consideraciones Generales a los Profesores Asesores. Entregar por unidad dictada un corte de notas. Para ello se realiz una Hoja de Clculo en Microsoft Excel. Presentar y debatir en el primer encuentro didctico el plan de evaluacin con los estudiantes. Se recomienda redactar un acta donde los presentes se comprometan a respetar el mismo. Debe orientar a los estudiantes a lograr las competencias de los encuentros didcticos, sin planificar clases magistrales. Es decir, los encuentros sern Tericos-Prcticos. Es importante resaltar que las actividades a realizar tengan aplicaciones en la vida cotidiana. Utilizar la Gua de problemas y ejercicios prcticos para complementar las actividades individuales y grupales en los encuentros didcticos y fuera de l. Los estudiantes que tengan un 25 % de inasistencias -por causas no justificadas- a las actividades programadas, les traer como consecuencia la prdida de la Unidad Curricular. Los estudiantes pueden recuperar las evaluaciones, actividades individuales y grupales siempre y cuando presenten causas justificadas con su informe correspondiente, segn sea el caso. El Profesor Asesor debe recuperar las mismas, una vez que el estudiante se incorpore a sus encuentros didcticos. Cabe destacar,4


que el estudiante debe comunicarse con su Profesor Asesor, para que el mismo tenga conocimiento del caso. Al final del tramo, no se deben aplicar a los estudiantes exmenes de reparacin, ya que la evaluacin es contina. Los criterios de recuperacin de evaluaciones (E1, E2, E3 o E4 ) al final de tramo tienen un reglamento, el cual se discutir con los estudiantes en el primer encuentro didctico.

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UNIDAD I LA DERIVADA Y SUS APLICACIONESObjetivo General: El estudiante durante el desarrollo de la Unidad deber interpretar analtica y geomtricamente la funcin derivada como razn de cambio de la funcin original.

Objetivos Especficos: Los estudiantes debern aprender a: Obtener las derivadas a partir de funciones elementales. Aplicar la regla de la cadena a funciones compuestas. Desarrollar las aplicaciones de las derivadas. 1.1 Derivada por definicin

Practicas Grupales y/o Individuales 1. Dada la grafica de la parte positiva de la funcin y=x2, un punto A(x0, f(x0)) y un punto B ((x0+h), f(x0+h))

f(x0+h)

B

y=x2

f(x0)

A h x0 x0+h

a) Trace una recta secante entre los puntos A y B respectivamente. b) Trace una recta tangente que pase por el punto de abscisa x=x0 c) Obtenga la ecuacin de la pendiente de la recta secante. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

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d) Interprete que relacin se produce entre la recta secante y la recta tangente si el valor de h tiende a cero. (Es decir, x0+h tiende a x0) ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ En la actividad realizada, se ejemplifica el concepto de la derivada por definicin, la cual se puede expresar con la siguiente expresin matemtica:f ' ( x) = Limh 0

f ( x 0 + h) f ( x 0 ) h

(Ec. I)

La deriva de f en

x

0

se escribe como f ' ( x0) . Tambin se usa mucho la notacin:

dy que se lee dx

" la derivada de y respecto a x".

Para entender con mayor claridad el concepto de derivada por definicin de manera analtica y geomtrica, se presenta a continuacin el siguiente ejemplo:

Calcular la pendiente de la recta tangente a la funcin f ( x) = x 2 en el punto de abscisa x=2, aplicando la derivada por definicin. Grficamente, el ejercicio se puede ilustrar de la siguiente manera:y

y=x2

Recta Tangente

2

x

Para resolver este ejercicio, se debe calcular la derivada de la funcin dada por definicin y luego evaluar el resultado obtenido en el valor de x=2. Aplicando la (Ec. I) y sustituyendo la funcin, se tiene:

Lim

( x + h) 2 ( x ) 2 h 0 h

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Resolviendo el producto notable (x+h)2, Simplificando los valores de x2 y el factor comn h, se obtiene:

Limh 0

x 2 + 2 xh + h 2 x 2 = h

Lim

2 xh + h 2 = h 0 h

Lim

h( 2 x + h) = Lim(2 x + h) h 0 h 0 h

Sustituyendo el valor de h en el lmite, se obtiene: Lim(2 x + h )= (2 x + 0 ) = 2 xh0

Se concluye que:

f ' ( x) = y ' = (( x) 2 )' = 2( x)

Luego se evala la derivada en el punto de abscisa x=2, para obtener la pendiente de la recta tangente a la funcin dada. f ' ( x) = (( x) 2 )' = 2(2) = 4 Se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la funcin f ( x) = x 2 tiene como valor 4.

Actividades Geomtricas y Matemticas

1. Suponiendo que la Ecuacin del Movimiento de una determinado camin cisterna que transporta gasolina es h = t 2 8t + 16 , siendo h el desplazamiento en metros (m) y t el tiempo en segundos (s), el cual debe ser mayor o igual a 4 para poder estar en movimiento ( t 4s ), Calcule la velocidad del camin al transcurrir 30s, aplicando la derivada por definicin. a) La expresin de velocidad es la razn de cambio del desplazamiento en el tiempo ds . Debe utilizar la Ec. I. dt __________________________________________________________________ __________________________________________________________________

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__________________________________________________________________ b) Sustituya el valor de t = 30 s en la expresin obtenida. Interprete el resultado. Consulte a su facilitador. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ c) Interprete lo siguiente: Por qu a partir de t 4s la gandola puede estar en movimiento? Consulte a su facilitador. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 2. Obtenga la ecuacin de la recta tangente a la funcin f(x)=x2-1, en el punto de abscisa x=0, aplicando derivadas por definicin. a) Complete la siguiente tabla y grafique la funcin. C X Y -2 B -1 A 0 D 1 E 2

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b) Obtenga la ecuacin para calcular la pendiente aplicando la Ec. I. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ c) Evale la expresin obtenida en el punto de abscisa x=0. Qu resultado obtuvo? _______________________________________________________________________ d) Trace la recta tangente por el punto de abscisa x=0 y obtenga grficamente el punto de corte con respecto al eje y. ________________________________________________________________________ e) Exprese la ecuacin de la recta tangente obtenida. Recuerde que la ecuacin general de una recta es y=mx+b _______________________________________________________________________

Actividades Matemticas 1. El facilitador deber asignar problemas matemticos relacionados con demostraciones de derivadas por definicin de manera analtica y grfica. 2. Calcule la derivada por definicin a las siguientes funciones: f ( x) = x=

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________ f ( x) = 5 x + 4 =

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________ f ( x) = 1 = 2x

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________10


1.2 Derivadas de las Funciones Elementales Las derivadas de las funciones elementales parten de su grfico, como por ejemplo, una recta que tiene como tangente a ella misma, siendo la derivada en cualquiera de sus puntos la pendiente de la recta. A continuacin en la Tabla N 1, se muestran algunas funciones con sus respectivas derivadas. Tabla N 1. Derivadas de las funciones Elementales ms comunes Funcink

Derivada0

xkxx2

1k

2x

xn senx

nx n 1cos x

cos xtan x

senxsec 2 x 1 1+ x2 1 x

arctg (x)ln(x)ex

ex

e kx( f ( x ) + g ( x )) ( f ( x ) g ( x))

ke kxf (x) + g(x) f (x) g(x )

( f ( x).g ( x)) (

f (x).g ( x) + f ( x).g(x)

f ( x) ) g ( x)

g ( x). f ' ( x) f ( x).g ' ( x) g 2 ( x)

Nota: En la tabla no figuran las derivadas de todas las funciones, debido a que estas se pueden

obtener a partir de las que estn en la tabla. El facilitador deber deducir otras derivadas a partir de las funciones elementales que se encuentran en la tabla N 1.

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Prcticas Grupales y/o Individuales 1. Calcule las Derivadas de las siguientes funciones: Funcin5

Derivada

2x4x 2

x 2sen2 x

Ejemplos. Hallar la derivada de la siguiente funcin: f ( x) = xSe deduce que:x=x1 2

Aplicando la derivada de la funcin elemental xn en la funcin dada, se tiene que: ( x n )' = nx n11

1x 2 ( x 2 )= 21

1

1

x2 1 = = 2 2 x

Un helicptero despega a 500 m. de un observador y se eleva a 10 m/s A qu velocidad vara el ngulo de elevacin del helicptero, respecto del observador, cuando el helicptero est a 400 m del suelo?Para que la altura sea 400

10t 500 m Se tiene que:10 t t tg( t ) = = 500 50

m., el tiempo ha de ser:

Ot= e 400 = = 40 v 10 seg.

Donde: t: tiempo (seg) e: distancia (m) v: velocidad (m/s)

12


Entonces: t ( t ) = arctg 50

La velocidad con la que vara el ngulo es:v = d(t ) = dt 12

t 1+ 50 y en ese instante la velocidad es: 50 rad / seg v = = 0,0122 2500 + 1600

1 50 = 50 2500 + t 2

Actividades Geomtricas y Matemticas 1. Realice los siguientes ejercicios tomando en cuenta la tabla N 1:(3 x + 2)= ______________________________________________________________

( x 5 x 2 + 4 x + 1)= ______________________________________________________

( x 2 + 1)= _____________________________________________________________ 2. Utilizando la derivada, realice lo siguiente: Se tiene un tanque cilndrico con eje vertical que se encuentra lleno con 90000 litros de un aceite aromtico conocido como slurry oil, el cual es una mezcla de hidrocarburos lquidos. Este tanque tarda 80 minutos en vaciarse desde que se abre el desage. Si se conoce que el volumen al cabo de t en minutos esta definido por la formula:t v(t ) = 900001 80 2

Halle la razn a la que fluye el aceite a los 40 minutos de abrir el tanque. a) Para resolver el ejercicio se necesita calculardv . Derive la formula dada. dt

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________13


b) Sustituya el valor de t = 40 min en la expresin obtenida en el paso anterior. Interprete el resultado.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

3. El facilitador deber usar las Pg. 10-7 al 10-10 del captulo de derivadas del libro de Pedro Alson y realizar ejercicios aplicando las propiedades de la derivada con respecto a las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin.

1.3 Derivadas sucesivas de una funcin. Practicas Grupales y/o Individuales

Dada la funcin f(x) = 6 x - 7 x + 5. a) Calcule la derivada a la funcin (f(x)) (f(x)) = _____________________________________________________________ b) Calcular la derivada de la funcin obtenida en el paso anterior.(f(x)) = __________________________________________________________________

c) Calcular la derivada de la funcin obtenida en el paso b. (f(x)) = ____________________________________________________________ Al realizar esta actividad se ha calculado la tercera derivada de la funcin f(x) aplicando el concepto de la derivada de orden n (n-sima o sucesiva) de una funcin f(x) y se simboliza por f n (x), el cual dice que si se tiene una funcin f(x), su primera derivada es f(x). Si ahora se vuelve a derivar f(x), se obtiene la derivada segunda y se simboliza por f"(x). Si se vuelve a derivar esta funcin se tiene la derivada tercera, f"(x), y as sucesivamente. Las derivadas sucesivas sern de gran utilidad cuando se realicen clculos de mximo y mnimo, concavidad y convexidad, entre otros.

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Actividades Matemticas 1. El facilitador deber asignar ejercicios a los estudiantes de derivadas sucesivas. 2. Utilizando derivadas sucesivas, analice y resuelva el siguiente enunciado: Partiendo de la suposicin que la ecuacin del movimiento de un autobs en la autopista regional del centro viene dada por la expresin: h = t 2 + 10t + 25 , donde t es el tiempo en

segundos (s) y h es el desplazamiento en metros (m), Calcule:

La aceleracin del autobs al transcurrir 3600s. Se recomienda al estudiante consultar a su facilitador y revisar algunos conceptos del rea de la Fsica. Interprete el resultado obtenido.

3. Calcule la segunda, tercera y cuarta derivada a las siguientes funciones: f ( x) = e x + e x =

____________________________________________________________________f ( x ) = cos x =

____________________________________________________________________f ( x) = x 5 + 3x 4 =

____________________________________________________________________

1.4 La Regla de la Cadena

La regla de la cadena consiste en calcular la derivada de funciones compuestas, es decir, funciones conformadas por ms de un tipo de funcin, por ejemplo: y= (cos(sens 2 x) En el ejemplo, se observa que el argumento de la funcin coseno es en s una funcin (sen2x), a toda esta expresin matemtica se le conoce como funcin compuesta.

Prcticas Grupales y/o Individuales

Dada la siguiente funcin: y= (cos(sens 2 x) a) Exprese la ecuacin de la derivada de (cos(sens 2 x) ____________________________________________________________________

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b) Exprese la ecuacin de la derivada de sen2x y sustituya el resultado en la ecuacin obtenida en el paso anterior. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ c) Exprese la ecuacin de la derivada de 2x y sustituya el resultado en la ecuacin obtenida en el paso (b). ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ d) Exprese el resultado obtenido. ____________________________________________________________________ En esta actividad se aplic la regla de la cadena, la cual se usa para calcular la derivada de las funciones compuestas (las de las formulas que se obtienen con diagramas no planificados), partiendo de la siguiente ecuacin:( h (g (f (x))) ) ' = h ' ( g (f (x)) ). g ' (f (x)).f ' (x)(Ec. II)

De esta ecuacin se puede deducir: Derivar funciones compuestas consiste en obtener el producto de las derivadas de cada funcin involucrada ( h, g , f ) : (h( g ( f (x ) ) ) = h ( x).g ( x ). f (x ) A cada funcin corresponde una variable que est dentro del parntesis respectivo Funcin h ( ) le corresponde variable g ( f ( x ) ) Funcin g( ) le corresponde variable Funcin f( ) le corresponde variable f(x) x

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Tambin la regla de la cadena se puede calcular aplicando el siguiente diagrama:x f( ) f (x) g( ) g (f (x)) h( ) h (g (f (x))) h'( ) h ' ( g (f (x)) ) g'( ) g ' (f (x)) f'( ) f ' (x)

( h (g (f (x))) ) ' = h ' ( g (f (x)) ) . g ' (f (x)) . f ' (x)Fig. N 1. Diagrama de la Regla de la Cadena

Breve explicacin del mtodo: La elipse se denomina pantalla y los rectngulos se llaman teclas asociando estos con la operacin en la calculadora. El valor de inicio es x, variable con la cual se va a trabajar, como se muestra en primera pantalla. Luego se aplica sobre f ('

obtiene f ( x ) , que debe colocarse a la derecha del recuadro para multiplicarse por las funciones subsiguientes. Queda en pantalla f ( x ) (segunda pantalla ) Se aplica f ( x ) sobre g ( ) y se obtiene g ( f ( x )) (tercera pantalla).

) y se obtiene f ( x ) .

Seguidamente se deriva f ( x ) y se

Posteriormente se deriva g ( f ( x )) y se obtiene g ( f ( x )) . Luego se coloca a la derecha del recuadro, para multiplicarse por las funciones subsiguientes.

As sucesivamente hasta derivar la ltima funcin la ms interna en este caso h( g ( f ( x ))) .

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Actividad Matemtica 1. Calcular la derivada de f(x)= (cos(sens 2 x) , aplicando los conceptos de regla de la

cadena que se ejemplifican en la Fig. N 1.x2* ( )

sen ( )

Cos ( )

Ejercicio. Calcular la derivada de: Ln( x 3) , utilizando el diagrama.Aplicando los conceptos de regla de la cadena que se ejemplifican en la Fig. N 1, se obtiene:x( )-3

1x-3

1

Ln ( ) Ln (x - 3)

1 (...) 1

1 (x 3)1 2. Ln( x 3)

Ln( x 3)

2.

( Ln ( x 3 ) )' =

1 1 * *1 2 . Ln (/ x 3 ) ( x 3 )

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Ejercicio. El siguiente ejemplo sirve para ilustrar una aplicacin de la regla de la cadena en la realidad. Imaginemos una refinera de petrleo que primero fabrica u litros de gasolina a partir de x barriles de petrleo crudo. Entonces, en un segundo proceso, la refinera fbrica y gramos de un petroqumico comercial a partir de los u litros de gasolina. Entonces, y es una funcin de u y u a su vez es una funcin de x, por lo que la salida final y es tambin una funcin de la entrada x. La figura N 2 muestra un esquema de los procesos de la refinera.

x barriles de petrleo crudo

u litros de

y

gramos

de

Proceso 1

gasolina

Proceso 2

petroqumico

Tomando en cuenta la relacin entre la cantidad de barriles de crudo (x), los litros de gasolina (u) y los gramos de petroqumico (y) podemos escribir las siguientes expresiones: y = g(u) , u = f(x), por lo tanto: y = h(x) = g(f(x)) h(x) = g(f(x)).f(x)

Al derivar tenemos:

Esta expresin corresponde con la regla de la cadena explicada anteriormente.

Actividades Matemticas 1. Se tiene un recipiente que tiene la estructura geomtrica de un cubo, el cual se est llenado con agua a razn de dos (2) centmetros (cm) por segundo (s). Hallar la razn del incremento de su volumen en el tiempo para las siguientes condiciones: a) b) La longitud del lado del cubo es igual a 4cm. La longitud del lado del cubo es igual a 6cm Representa grficamente un cubo y plantea la ecuacin del volumen. ________________________________________________________________

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Utilice la Regla de la cadena para calcular el incremento del volumen Recuerde quedl 1cm = s dt ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

dv . dl

2. Un globo esfrico se llena de aire y su radio crece a razn de tres (3) centmetros por minuto. Obtenga la rapidez de aumento del volumen cuando el radio es de 40 dr 3cm y el volumen de una esfera viene dado por la = min dt

centmetros. Recuerde que siguiente expresin: v =

4r 3 3

3. Calcule las siguientes derivadas aplicando la regla de la cadena sin diagrama y con el diagrama.

( S en(Cos ( Tang ( x )) ) )

=

_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

( Cos ( Ln ( x )) )' =_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

(e

Sen( x2 +3x1)

)'=

_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 4. El facilitador deber asignar ejercicios del libro de Pedro Alson (Paginas 10-13 y 10-14)20


1.5 Derivadas de las Funciones Inversas Este tipo de derivadas se pueden calcular aplicando convenientemente la regla de la cadena y se debe tener conocimiento del significado de una funcin inversa. Para ello, el facilitador deber asignar una investigacin previa a la clase presencial de las condiciones que se deben cumplir para calcular la funcin inversa a una funcin f(x).

Para calcular la derivada a una funcin inversa se deben cumplir las siguientes condiciones: Si una Funcin y=f(x) es derivable, entonces su funcin inversa (f -1 (x)) es derivable y se cumple que: f ' ( x). f ' 1 = 1 Conociendo que f ' ( x) =dy dx y

(Ec. III)

f ' 1 ( x) =

dx dy

se deduce que:

dy dx =1 dx dy

(Ec. IV)

Ejercicio. Calcular la derivada a la funcin f(x)= arcsen(x)

Analizando el ejercicio se tiene lo siguiente: y=f(x)= arcsen(x) La inversa de esta funcin es x=sen(y)Resolucin. Se aplica la (Ec. IV). Para ello se deduce que:

dy = (arcsenx)' dx

dx = ( sen( y ))' dy

Despejando dy/dx, en la (Ec. XI) se obtiene que:

( arcsen ( x ))' =

1 cos y

(Ec. A)

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Aplicando la Identidad Trigonomtrica: cos2(y) + sen2(y) =1 y despejando cos(y) se obtiene:cos( y ) = 1 sen 2 ( y )

Sustituyendo cos(y) en la (Ec. A), se obtiene: (arcsen( x))' = 1 1 sen 2 ( y )(Ec. B)

Si se sustituye el valor la funcin inversa de la funcin f(x)=arcsen(x), que es igual a x=sen(y) en la Ec. B, se obtiene:

(arcsen( x))' =

1 1 x2

Prcticas Grupales y/o Individuales

1. Calcule las siguientes derivadas:

( ArcCos x))'= _____________________________________________________ (________________________________________________________________ ________________________________________________________________

( Arctg( x))'= ______________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________

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1.6 Propiedades de las Funciones derivables. Este punto tiene como finalidad interpretar geomtricamente el teorema de Rolle y teorema del Valor medio como consecuencia de los conceptos de derivadas estudiados previamente, lo cual ser de mucha importancia al desarrollar las aplicaciones de las derivadas. 1.6.1 Teorema de Rolle. Este teorema dice lo siguiente: Si:

f es una funcin continua definidas en un intervalo cerrado [a, b] f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b) f(a) = f(b). (Ver Fig. N 2)

Entonces, existe un nmero c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f '(c) = 0.

Fig. N 2. Representacin del Teorema de Rolle

Es decir, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algn punto tendr tangente horizontal. En la figura se ven tres casos distintos. Si la funcin empieza subiendo, tendr luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la funcin alcanza un mximo, y en ste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la funcin empieza bajando, y f ' es nula en el mnimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

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1.6.2. Teorema de Valor Medio, Lagrange o de los Incrementos Finitos. Este teorema dice lo siguiente: (Ver Fig. N 3) Si:

f es una funcin continua definida en un intervalo [a, b]f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b)

Entonces existe un nmero c en el intervalo (a, b) tal que:

Fig. N 3. Representacin del Teorema del Valor medio

Es decir, existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.

Actividad Matemtica 1. El facilitador deber asignar ejercicios donde se apliquen los teoremas de Rolle y del valor medio.

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1.7 Aplicaciones de las Derivadas. Las derivadas tienen diversas aplicaciones, entre las que se encuentran la construccin de curvas, Problemas geomtricos de mximo y mnimo, Fsica del movimiento, la regla de LHpital, entre otros.

1.7.1 Construccin de Curvas. En el estudio de curvas se toman en cuenta los siguientes parmetros: Dominio y Rango de definicin de la funcin. Puntos de corte con los ejes. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexin. Asntotas.

Prcticas Grupales y/o Individuales Crecimiento, decrecimiento, concavidad y punto mnimo de una Funcin f(x) Dada la siguiente funcin: y=x2 a) Complete la siguiente tabla y grafique la funcin. C X Y -2 B -1 A 0 D 1 E 2

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b) Obtenga el dominio y rango de la funcin dada. Dominio:_______________________. Rango:__________________________ c) Interprete que ocurre en el comportamiento de la variable y a medida que aumenta el valor de x en el tramo CB y DE: ________________________________________ _____________________________________________________________________ d) Trace un segmento de recta entre los puntos (C y B); (D y E) respectivamente. Que interpretacin o relacin se podra establecer entre la funcin y el segmento obtenido. _______________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ e) Obtenga la pendiente de la recta secante que se forma al unir los puntos (C y B); (D y E) respectivamente. Indique donde la pendiente es positiva (>0) o negativa(0) negativa(a, f(b)>f(a) tal como ocurre en el tramo DE. Una funcin es decreciente si su primera derivada es menor que cero y si se cumple que: b>a, f(b)0) o negativa(

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