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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES
Apuntes y Ejercicios
RESUMEN DE CONTENIDOS
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES
Se considerarán algoritmos para aproximar soluciones de la ecuación f(x)=0, en donde
IRbaf ),(: es una función no lineal de variable real.
Método de la Bisección
Este método es basado en el teorema de Bolzano, que establece que si una función
continua cambia de signo en el intervalo (a,b), es decir, f(a)f(b)<0, entonces, existe al
menos una raíz α, α (a,b).
Después de k iteraciones del algoritmo, se obtiene la cota ,...2,1,2
kab
xkk
Método de Newton-Raphson
En este método para aproximar una solución de f(x)=0, se genera una sucesión kx
mediante la fórmula de iteración ,...2,1,0,)('
)(1 k
xf
xfxx
k
k
kk con x0 dado.
Algoritmos de punto fijo
Para ),(),(: babag la igualdad α=g(α) define a α como punto fijo de g.
Para aproximar las raíces de f(x)=0, se lleva esta ecuación a la forma x=g(x), por
ejemplo con g(x)=x+f(x), así, el problema de calcular una raíz de f(x)=0 es equivalente
al problema de encontrar un punto fijo de g.
Los métodos de punto fijo para aproximar a α quedan definidos por el proceso iterativo
,...2,1,0),(1 kxgx kk con )(0 Vx , en donde g se denomina función de iteración.
El algoritmo de Newton-Raphson es un algoritmo de punto fijo con función de iteración
)('
)()(
xf
xfxxg .
EJERCICIOS PROPUESTOS
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES
1.- Sea la ecuación x=g(x), donde g satisface ],[,1)(' baxxLxg .
a) Probar que también se cumple ],[,)()( 212121 baxxxxLxgxg .
b) Demostrar que si se cumple la condición en (a), la ecuación x=g(x), tiene a
lo más, una solución en el intervalo ],[ 21 xx .
2.- Determine el intervalo I en donde 3
12)( xxf tiene raíz única.
3.- Calcular por el método de la bisección una raíz positiva de la ecuación
02 senxe x
, operar con cuatro decimales. (0.9210245497)
4.- Demuestre que la ecuación 09 xx tiene una única raíz en el intervalo [0, 1].
Aproxime la raíz usando el método de la bisección (0.4080044054)
5.- La ecuación 03xex tiene una raíz cerca de 0.619 (0.6190612867).
Empezando con el intervalo [0.6, 0.62], calcule 6 iteraciones con el método de la
bisección. ¿Cuántas iteraciones son necesarias para evaluar la raíz con cuatro
dígitos significativos, esto es, 00005.0x ?
6.- La ecuación 011661242 234 xxxx tiene dos raíces cerca de 0.1
(0.1213203436, 0.1231056256), encuéntrelas mediante el método de Newton-
Raphson.
7.- Demuestre que al usar el método de Newton-Raphson, para aproximar el
recíproco de un número S, S>0 se obtiene la fórmula iterativa
,...1,0),2(1 kSxxx kkk Calcular 1/17 usando el algoritmo.
8.- Sea 3
12)( xxf .
a) Determine el intervalo de convergencia del método de Newton-Raphson
cuando se aplica a dicha función.
b) Demostrar que el método iterativo de Newton-Raphson converge a la raíz de
f(x)=0 si 2ln
6ln0x .
c) Calcular dicha raíz considerando 410 .
9.- Demostrar que si INkkx }{ es la sucesión obtenida al aplicar el método de
Newton-Raphson al cálculo de A se tiene
k
Ax
Ax
Ax
Ax
k
k
2
0
0 .
10.- Encuentre el punto positivo donde la función 2
)(x
tgxxf alcanza su valor
mínimo calculando los ceros de f’ con el método de Newton-Raphson. Calcule
dicho valor mínimo.
11.- El método de Halley es una de las formas que existe de acelerar la convergencia
del método de Newton-Raphson. La fórmula de iteración de Halley está dada
por
1
21))('(2
)(")(1
)('
)()(
k
kk
k
k
kkkxf
xfxf
xf
xfxxgx
a) Demuestre que esta fórmula es el resultado de aplicar Newton-Raphson a
la función )('
)(
xf
xf
b) Muestre que el método de Halley proporciona un orden de convergencia 3
en las raíces simples de f(x).
c) Calcular el orden de convergencia del método de Halley en el caso de
raíces múltiples.
d) A partir de 23)( xexf x, determine la función de iteración de Halley
g(x) para hallar una solución aproximada para f(x)=0 (0.9100075725).
Empiece con 5.00x y calcule 21 , xx y 3x .
12.- Determinar algoritmos de punto fijo para obtener una solución aproximada de la
ecuación 1)1( senxx (2.880986321)
13.- Obtener un algoritmo de punto fijo para calcular 5log 3/1 .
14.- La ecuación 05242 23 xxx tiene una raíz cercana a x=1 (1.078162587).
Obtener tres algoritmos iterativos de la forma x=g(x), siendo g(x) un radical,
tales que converjan a la raíz, comenzando con 10x . Encontrar la solución
indicando cuál es el algoritmo que más rápidamente converge.
15.- Resolver xx 61265614 usando un algoritmo de punto fijo.
16.- Resolver xxaa usando un algoritmo de punto fijo.
17.- Cuando a>1 y 0<b<1/2 la ecuación 0)1(11
1/
bae
a
e xax tiene una raíz
positiva. Demostrarlo y calcularla, con cuatro cifras decimales exactas, para a=5
y b=1/4.
18.- Resolver la ecuación 24.1212
xe x, usando un algoritmo de punto fijo,
partiendo con 5.10x , operar con cinco decimales (1.673775810).
19.- ¿En que valor de x tiene la curva xey x ln un punto de inflexión?
20.- Considere la siguiente ecuación relativa a un conector de energía solar:
))cos(5.0)(1(
)sec(22
2
aasend
afhc
En donde f=0.7, d=9 es el diámetro del colector, h=220 es la altura del colector,
c=1350 es el factor de concentración geométrica y a es el ángulo del borde del
campo de espejos planos que se enfocan sobre un colector central. Determine el
ángulo a con 5 dígitos significativos, compruebe sus resultados.
21.- En Química aparece una ecuación de la forma 3
32
)1(
1
y
yyyz . ¿Cuánto vale
y si z=0.6789?.
22.- Estudiar qué valores deben tomar a y b en 3
)(2
3
bx
axxxg , para que el método
proporcione una aproximación a 3 , con convergencia local al menos
cuadrática.
23.- Sea la función xxg 2)( , definida en el intervalo I= [0,7]. Comprobar que
tiene un único punto fijo en I que se puede obtener a partir de cualquier Ix0 .
24.- Sea la sucesión definida por: 1,1
2
1
1
1 nx
xxn
nn .
a) Probar que la sucesión así definida converge a 2 cuando 20x .
b) Usar el hecho de que 2
0 )2(0 x si 20x para probar que si
20 0x , entonces 21x .
c) Usar los resultados anteriores para probar que la sucesión converge a 2
si 00x .
25.- Comprobar que la ecuación 013 xx tiene una única raíz en el intervalo
[1, 2] (1.324717957). ¿Cuántas iteraciones del método de bisección se deben
realizar para aproximar dicha raíz con un error menor que 410 .
26.- Hallar las condiciones que debe cumplir la función h(x) para que las iteraciones,
definidas por )(2
2
1 k
k
k
kk xhx
cxxx , converjan a c (c real positivo) con
orden de convergencia al menos cúbica, si se parte con un 0x cercano a c .
27.- Para determinar la constante de nacimientos de una población dada, se necesita
calcular el valor de la constante , (0.1,0.9) de la siguiente ecuación:
)1(10435.0
1010564.16
66 ee , para esto utilice el método de
Newton-Raphson hasta que el error sea del orden del 0.01% (0.10249)
28.- ¿Para que valores de α, la iteración ii xx 1 , con 0,0x ,
converge? Es decir, ¿para qué valores de α, ii
xlim , existe?
29.- Determinar P, Q y R para que el algoritmo definido por
5
2
21
kk
kkx
AR
x
AQPxx converja cúbicamente a 3 A . Con los valores
obtenidos calcular 3 17 , considerando 5.10x .
30.- Mostrar que el algoritmo definido por ,...2,1,0),(1 kxgx kk , en donde
)3(
)3()(
2
2
ax
axxxg , converge cúbicamente a un punto fijo de g. Determinar
dicho punto fijo.
31.- Para determinar la raíz positiva de la ecuación 2bxax , a,b>0, se usa el
algoritmo 2
1 kk bxax . Demostrar que el algoritmo especificado es
convergente si 4
3ab .
32.- Para encontrar una raíz simple de f(x)=0 se considera el algoritmo definido por
)('
)('
)(1
k
k
k
k
kk
xf
xfxf
xfxx , k=0,1,2,… con 0x dado. Determine los
parámetros α y β de modo que el algoritmo tenga el orden de convergencia más
alto posible. ¿Cuál es dicho orden?.
33.- Sea α raíz de multiplicidad 23 de f(x)=0, sea g la función de iteración del
método de Newton-Raphson, es decir, )('
)()(
xf
xfxxg . Demostrar que
23
22)('g .
34.- Una manera de construir un algoritmo de punto fijo convergente para aproximar
una solución de f(x)=0 consiste en formar )()( xfxxg , por lo que el
algoritmo es )(1 kkk xfxx , k=0,1,2,… con 0x dado. Determine el valor de
la constante α de modo de garantizar la convergencia del método propuesto.
35.- Pruebe que 3 6 es un punto fijo de la función 2
3
3
6)(
x
xxxg . ¿Cuál es el
orden de convergencia del algoritmo )(1 kk xgx ?. Obtener una aproximación
a 3 6 con 3 dígitos significativos.
EJERCICIOS RESUELTOS
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES
1.- Considere el sistema discreto )1(1 nnn xcxx con 40 c que caracteriza el
problema Logístico muy utilizado en el estudio de poblaciones
a) Determine los puntos fijos y el intervalo de convergencia
b) Determine el orden de convergencia del método propuesto
c) Explicite el método de Newton para este problema y calcule el orden de
convergencia para 2c
d) Para el caso particular 3/2,2 0xc . Calcule para ambos métodos el valor
de 4x y sus respectivos errores absolutos
Solución:
a) La condición xxcxxxg )1()( entrega cxyx /110 21 . El
intervalo de convergencia se obtiene de yxcxg 1)21(1)( como
0c aplicando la definición de módulo resulta
)/11(5.0),/11(5.0 ccx
b) Como el método pertenece a la clase de puntos fijos se puede determinar su
velocidad a partir de los valores de g(x) y sus derivadas en los puntos fijos
ccgycg
ccgyog
2)/11()0(
/11)/11(0)(
ccgg 2)/11()0(
Luego el punto fijo 01x tiene velocidad de convergencia 1 para todo
)4,0(c , en tanto que el punto fijo cx /112 tiene velocidad lineal para
)4,2()2,0( c y para 2c es cuadrática
c) c) 0))1(21()( xxxxg .Aplicando Newton se obtiene el método
iterativo
14
22
1
n
n
nx
xx con
14
2)(
2
x
xxg entonces
5.0)5.0(0)0( gyg
0)5.0()0(41
)12(4)(
2gg
x
xxxg
16)5.0(4)0(41
4841841416)(
4
22
gygx
xxxxxxg
por lo tanto la convergencia es cuadrática
d) Con método )1(21 nnn xxx se obtiene
49999989.04999237.081/409/4 4321 xxxx
con método )14/(22
1 nnn xxx se obtiene
0063811.00632278.012549.015/8 4321 xxxx
2.- Considere el problema de punto fijo3
1 )1( nnn xcxx donde c es un
parámetro mayor que cero
a) Determine los puntos fijos del método propuesto
b) Para que valor del parámetro el algoritmo propuesto tiene velocidad 2
c) Aplique el método iniciando con 5.00x hasta que 0000004.01 nn xx
para el valor del parámetro c obtenido en item b)
d) Proponga un método de punto fijo que tenga velocidad al menos 2
independiente del valor del parámetro c para los puntos fijos de item a)
Solución:
a) Como
0)11()1()()1()( 233 xcxxcxxxxgxcxxg
Los puntos fijos son cxcxx 321 ,,0
b) Como 231)( xcxg .Para el punto fijo 01x 0)0(g solo es posible si
1c lo que no es posible ya que 0c , pero para los otros dos puntos fijos
0)( cg si 5.0c y además 0)( cg
c) Con 5.0c el algoritmo queda 3
1 5.1 nnn xxx y con 5.00x se obtiene
625.01x 693359375.02x 706708468.03x 707106445.04x
70710678.05x
entonces 000000335.045 xx
d) Si se usa método de Newton el problema no lineal queda
2
2
13
)(
n
nn
nnxc
xcxxx
En éste caso 2
3
3)(
xc
xcxxxg derivando se tiene
22
42
3
31)(
xc
xcxg y evaluando en los tres puntos fijos se anula la derivada.
Por lo tanto a lo menos el orden es dos. Si se deriva nuevamente se tiene
42
423223
3
)3)(3(12)3(12)(
xc
xcxcxxcxxg evaluando resulta
0)(,0)0( cgg .
Entonces la velocidad es a lo menos 3 para 01x y exactamente 2 para
cx2cx3
3.- Dada la ecuación: 0)32() x- (2 35 cxx
a) Transforme la ecuación dada y obtenga el algoritmo de punto fijo
53
12
1nnnn xxxcx
b) Para qué valores de c se obtienen 5 puntos fijos.
c) Para qué valor de c, el algoritmo de punto fijo del item a) tiene orden de
convergencia 3 y a cuál punto fijo converge.
d) Dada la aproximación inicial x0 = 0.5 , genere la sucesión {xn } hasta
que se satisfaga que 10
1 106|| nn xx .
Solución:
a) Transforme la ecuación dada y obtenga el algoritmo de punto fijo
53
12
1nnnn xxxcx
de 0)32() x- (2 35 cxx dividimos por 2
0)2
3( x- 35 cxx sumando x a ambos lados
xcxx )
2
1( x- 35 de aquí la forma iterativa es
)2
1( x- 3
n
5
1 cxxx nnn
b) Para qué valores de c se obtienen 5 puntos fijos.
)2
1( x- )
2
1( x- )( 24 35 cxxcxxxg x1 = 0 o
0)2
1( x- 24 cx
Sea u = x2 0
2
12 cuu
2
431
2
2411
2
21411 ccc
u
luego, 3 - 4c > 0 si 4
3c , además
c431 > 0 y 0431 c luego
2
1143143 ccc
Luego, si 4
3,
2
1c se garantizan 5 puntos fijos.
c) Para qué valor de c, el algoritmo de punto fijo del ítem a) tiene orden de
convergencia 3 y a cuál punto fijo converge.
0g(0)y )2
1( x- )( 35 cxxxg
0(0)'g'y 6x - 20)(' '
2
1 c si 0(0)g'y )
2
1(3x - 5)( '
3
24
xxg
cxxg
06(0)''g'y 6 - 60)( ''' 2xxg
Luego, el algoritmo 3
n
5
1 x- nn xx tiene convergencia de orden 3.
d) Dada la aproximación inicial x = 0.5, genere la sucesión {xn } hasta que se
satisfaga que 10
1 106|| nn xx .
9-9-
43
27-
3
3-
23
9-
3
1-
212
011
0
106.010540.54480295 || 100.161703107
109.8167331890 || 1054-.54480295
10 5.9456673260 || 450008167326.0
.59375 || 09375.0
5.0
xxx
xxx
xxx
xxx
x
4.- Se desea obtener una aproximación de la menor raíz positiva de la ecuación:
0252 xx
mediante el siguiente algoritmo de punto fijo
5
221
kx
kx , con 00x
a) Demuestre que el algoritmo propuesto entrega una sucesión convergente
b) Estime el error absoluto de la aproximación 3x
c) Demuestre que la sucesión proporcionada por el método iterativo kx es
creciente monótona
Solución :
a) Tenemos que 252 xxf x y 00f ; 01f , luego existe
una raíz en 1,0 . Además, para la función de iteración
5
22 x
xg
tenemos que 02ln25
1 xxg , para cada 1,0x , lo que significa que
es creciente y como 27.00.1g , se concluye que 1xg , 1,0x ,
por lo tanto , el algoritmo proporciona una sucesión convergente.
b) 016.01
01
3
3 xxxEA , donde 127.0xg y
7322442555.0
c) Como la función 05
522 xx
, ,0x , donde es el punto fijo,
se tiene que kkkkk
x
k
x
xxxxxx kk
11 05
22
5
522
5.- Lee y Duffy relacionan el coeficiente de fricción para el flujo de una suspensión
de partículas fibrosas con el número de Reynolds mediante la siguiente ecuación
empírica:
)6.5
14()ln()1
(1
kfRE
kf
En su relación, f es el coeficiente de fricción, Re es el número de Reynolds y k es
una constante determinada por la concentración de la suspensión.
Para una suspensión con 0.08% de concentración, k=0.28. Determinar el valor
de f si RE=3750.
Solución:
Reemplazando en la ecuación )6.5
14()ln()1
(1
kfRE
kf los valores
proporcionados en el enunciado, tenemos:
)2014())(3750ln(571428.3)28.0
6.514()3750ln()
28.0
1(
1ff
f
6))ln(229511.8(571428.36))ln()3750(ln(571428.3 ff
)ln(571428.3391106.236)ln(571428.3391106.29 ff
por lo tanto, tenemos:
)ln(571428.3391106.231
ff
multiplicando esta última expresión por f , se tiene:
)ln(571428.3391106.231 fff
y así, obtenemos finalmente:
01)ln(571428.3391106.23 fff
Para trabajar de mejor forma esta expresión, usaremos el cambio de variable
fx , con este cambio, tenemos:
01)ln(571428.3391106.23 xxx
Aplicando el método de bisección se obtiene que x=0.07156742013
y como fx , entonces, 240051218956.030715674201.0 22xf .
Por lo tanto la respuesta es que con los valores proporcionados en el enunciado,
el coeficiente de fricción f es 0.005121895624.
La tabla parcial de los valores obtenidos con bisección es la siguiente:
k kx
0 .5000005000
1 .2500007500
2 .1250008750
… …
17 .07156846388
18 .07156655653
19 .07156751021
