ECUACIN Y FUNCION LINEAL

AUTOR: MYRIAM STELLA ROMERO C. LICENCIADA EN FSICA, INGENIERA DE SISTEMAS

TEMA: ECUACIN Y FUNCION LINEAL

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Reconocer, representar y modelar una funcin lineal a partir de cualquier situacin que brinde elementos suficientes para ello.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Identificar los elementos de una funcin lineal.2. Representar grficamente una funcin lineal.3. Determinar la ecuacin de una funcin lineal a partir de sus elementos.4. Modelar como una funcin lineal situaciones de la vida real que permitan su uso.

TIEMPO: 2 HORAS

1. CONDUCTA DE ENTRADA

1. Teniendo en cuenta el concepto de funcin

a. Indicar si los siguientes grficos corresponden a funciones. Justificar.b. Hallar el dominio y la imagen de los que corresponden a funcin.

2. Dados los siguientes grficos correspondientes a funciones, determinar los conjuntos dominio e imagen de cada una de ellas:

3. En la ecuacin , despejar cada una de las letras m, y, z, n, x y w. Expresando cada vez la letra seleccionada en funcin de las dems.

2. TEMTICA

ECUACION Y FUNCION LINEAL

Se llama funcin lineal a toda funcin de la forma y = f(x) = mx + b, con mR, bR. Esta ecuacin se dice que est en la forma pendiente-ordenada al origen. En esta frmula x es la variable independiente y y la variable dependiente. La constante m recibe el nombre de pendiente y la constante b es la ordenada al origen. El dominio de la funcin lineal es el conjunto de todos los nmeros reales R

La pendiente m mide la inclinacin de la recta respecto al eje x. Podemos hallar a partir de la pendiente el ngulo que forma dicha recta con el eje x, teniendo en cuenta que: m = tan .

La pendiente est determinada por el cociente entre la variacin de y (ordenada) y la variacin de x (abscisa).

La pendiente positiva corresponde a una variacin en donde tanto ordenada como abscisa aumentan, es decir, una funcin creciente.

La pendiente negativa corresponde a una variacin en donde la ordenada disminuye mientras la abscisa aumenta, es decir, una funcin decreciente.

La pendiente nula corresponde a una variacin en donde la ordenada no cambia mientras la abscisa aumenta, es decir, una funcin constante.

m > 0m < 0m = 0

La ecuacin lineal que representa esta funcin tambin se puede escribir en su forma general Ax+ By + C = 0, donde A,B y C constantes, con A y B no ambos cero. A partir de esta tambin se puede obtener la otra despejando.

Ejemplo: Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuacin es 3x - 4y = 8

Solucin: Se despeja -4y = 20 3x,

y finalmente y = x 5

De donde se puede decir que: m (pendiente) = y b (ordenada al origen) = -5

RELACIN ENTRE DOS LINEAS RECTAS

Dos lneas paralelas tienen la misma pendiente. Es decir, dos funciones lineales con ecuaciones: Y1 = m1x + b1 y Y2 = m2x + b2 son paralelas si m1 = m2.

Ejemplo:Hallar la ecuacin de la funcin lineal que pasa por el punto (5.3) y es paralela a la funcin con ecuacin 2y + 4x = 8

Solucin: Despejando la ecuacin se tiene que: y = 4 2x, en donde m = -2 y b = 4.La ecuacin que estamos buscando tiene la misma pendiente, es decir, -2.Utilizando la frmula de la forma punto pendiente: y y1 = m (x - x1) Se reemplaza este valor de la pendiente y el punto (x1, y1) que nos da el ejercicio: (5,3)y 3 = (-2)(x 5)y 3 = -2x + 10y = -2x +10 +3y = -2x + 13 El producto entre las pendientes de dos lneas perpendiculares es igual a (-1). Es decir, dos funciones lineales con ecuaciones: Y1 = m1x + b1 y Y2 = m2x + b2 son perpendiculares si m1 * m2 = -1

Es decir, m1 =

Ejemplo:Hallar la ecuacin que pase por (1,2) y que sea perpendicular a y = 2x + 1

Solucin:En la ecuacin dada la pendiente m2 = 2

Por tanto, m1 = , y con la ecuacin de la forma punto pendiente:

Y 2 = (x 1)

APLICACIONES

El costo es la expresin cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de factores de la produccin que se emplean para producir un bien o prestar un servicio.Con las funciones de costos se plantea un modelo matemtico simplificado de la realidad econmica. Inicialmente se dice que los costos de produccin de un bien o de prestacin de un servicio tienen distintos componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo ms sencillo.Las funciones lineales cumplen un importante papel en el anlisis cuantitativo de los problemas econmicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hiptesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solucin es ms sencilla.Costo lineal. Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deber utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en funcin a la relacin con la produccin total, los denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades de un artculo que se produzca o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local, depreciacin de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artculo o que se preste del servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.)El costo total es la suma de ambos: Costo total = Costos fijos + Costos variablesEjemplo 1:El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por da son de $30. Escriba la frmula de costo total y construya su grfica. Cunto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por da?SolucinEl costo total de fabricar x juntas de machimbre en un da es C(x) = 2x + 30El costo total de fabricar 25 juntas de machimbre por da es de $ 80.

C(25) = 2. 25 +30C(25) = 80

Ejemplo 2:

Un fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por $20.000, costos de produccin de $20 por unidad y un precio de venta unitario de $30. Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancia para el fabricante.

Solucin:Si x es el nmero de unidades de un producto fabricadas y vendidas entonces las funciones:C(x): Costo total de fabricacin de x unidades del producto.R(x): Ingresos totales obtenidos por la venta de x unidades del producto.P(x): Ganancia total obtenida por la fabricacin y venta de x unidades del producto.

C(x) = cx + F = Costos variables + Costos fijos= 20x + 20.000 R(x) = sx = Precio de venta por unidad * Nmero de unidades= 30xP(x) = R(x) C(x) = Ingresos Costos= 10x 20.000

Ejemplo 3:

Analicemos la relacin funcional que existe entre la venta domiciliaria de telfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (funcin ingreso)

donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de telfonos vendidos. Estamos frente a una funcin lineal, cuya representacin grfica es:

Podemos observar que: Es una funcin creciente y que al aumentar el nmero de telfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. Ejemplo 4: A una compaa le cuesta 75 dlares, producir 10 unidades de cierto producto al da, y 120 dlares producir 25 unidades del mismo artculo al da. Determinar la ecuacin de costo, suponiendo que es lineal.

Solucin:Son identificables dos pares ordenados, (10, 75) y (25,120). Es importante aclarar que el costo de producir los artculos depende de la cantidad que se hagan por da, por sea razn 75 y 120 corresponden a valores dependientes. 1. Determinar el valor de m

m = 3 2. Determinar el valor de b b = 120 3 25 b = 120 75 b = 45 3. Dar forma a la ecuacin de la recta y = mx + b y = 3 x + 45

Otros ejemplos:Distancia recorrida por un mvil sobre un camino recto a velocidad constante, en funcin del tiempo (Movimiento rectilneo uniforme) Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo est en funcin de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente. Longitud de la circunferencia en funcin del radio.

3. EJERCICIOS DE APLICACIN

Analiza cada uno de los ejemplos presentados y consulta los libros y pginas de la bibliografa y all encontraras muchos ms, y finalmente dedcate a practicar.

1. Escribir la ecuacin de la recta que pasa por los puntos:

a. (-2,-1) y (-4.-3)b. (3,5) y (7,-2)c. (6,-1) y (-2,4) d. (1,-5) y (10,11)

2. Hallar la ecuacin de la recta cuya abscisa y ordenada al origen son respectivamente 5 y -1. Graficar.

3. Averiguar si los puntos (0,2) , (1,-1) y (-1,5) estn alineados.

4. a. Hallar la ecuacin de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el puntoP (-1,-2)

b. Hallar la ecuacin de la recta que tiene pendiente y pasa por el puntoP(-4,7)

c. Hallar la ecuacin de la recta que tiene pendiente y pasa por el punto P(,)

5. Dada la recta , hallar las funciones cuyas representaciones son la rectas:a. Paralela a la misma y de ordenada al origen igual a la de la recta 2x + y = 8b. Perpendicular a la misma y de ordenada al origen -2c. Perpendicular a la misma y que pase por el punto (1, )d. Perpendicular a la misma y que pase por el origen.

6. La compaa de mudanzas Ramrez, cobra $70 por transportar cierta mquina 15 millas y $100 por transportar la misma mquina 25 millas. a- Determina la ecuacin, suponiendo que es lineal, de pago de transporte de esa mquina Cul es la tarifa mnima por transportar esa mquina?

7. Un fabricante de detergente encuentra que las ventas son de 10000 paquetes a la semana cuando el precio es de $1,2 por paquete, pero que la venta se incremente a 12000 cuando el precio se reduce a $1,1 por paquete. Determine la relacin de demanda suponiendo que es lineal.

8. Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las ventas asciende a 2000 televisores por mes. Sin embargo a $450 por televisor, las ventas son de 2400 unidades. Determine la ecuacin de demanda, suponiendo que es lineal.

9. Aplicar los hechos de que 32 F corresponde a 0 C y que 200F corresponde a 100C con objeto deducir la frmula para convertir la temperatura Fahrenheit x, a la temperatura Celsius C(x).

10. En un pequeo Hotel se gasta 29 750 por recibir 10 turista y 34 625 por recibir 15 turistas. Cul es la ecuacin de costo? Cunto se gasta en recibir 25 turistas?

11. La Ley de Hooke, sobre la relacin del estiramiento y la fuerza, dice que el estiramiento es proporcional a la fuerza sese este hecho para resolver los siguientes ejercicios. (a) Un resorte de 10 cm de longitud se cuelga de una viga; si se coloca un peso de 2 Kg. El resorte se estira 5 cm. Determine cunto medir con un peso de 3,7 Kg. Si el largo del alambre que forma el resorte es de 35 cm. Determine cul es el peso mximo que puede soportar. (b) Si a un resorte se le cuelga un peso de 3 Kg. este se estira hasta alcanzar 7,5 cm, al colgarse 4,2 Kg. El resorte mide ahora 9 cm. Cul es la longitud del resorte?

BIBLIOGRAFIA

1. Howard E. Taylor y Thomas L. Wade, Geometra analtica bidimensional. 19742. S. T. TAN Matemticas para administracin y economa. Segunda Edicin.Ed. Thomson3. www.matebruknca.comwww.fce.unam.edu.ar