GUIA Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL“FRANCISCO DE MIRANDA”

ÁREA DE TECNOLOGÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA

MATEMÁTICA IV

REALIZADO POR:

PROF., CINTHIA HUMBRÍA

SANTA ANA DE CORO, 2008

OBJETIVO GENERAL

Al culminar el desarrollo de las estrategias instruccionales correspondientes a la unidad curricular Matemáticas IV, el futuro ingeniero será capaz de resolver diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado, o grado superior, mediante la aplicación de métodos elementales, así como la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando el método de la Transformada de Laplace. También se aplican estos conceptos, principios y técnicas básicas de las ecuaciones diferenciales ordinarias a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

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SINÓPSIS DEL CONTENIDO

UNIDAD I Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

UNIDAD II Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

UNIDAD IIITransformadas de Laplace y Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales.

ESTRATEGIAS GENERAL DE INSTRUCCIÓN

Clases teórico – práctico

Clases específicas de ejercicios, donde el estudiante muestre en sí, el logro de los objetivos propuestos

Horas específicas para consultas individuales con los alumnos

BIBLIOGRAFÍA- BOYCE – DIPRIMA. Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de contornos. Limusa 1977.- MAKARENKO. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Editorial MIR – Moscú 1972.- RAINVILLE – BEDIENT. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana 1977.- ROBERTS, CH. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana 1977.- ROOS. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales. Editorial Interamericana 1985.-D. ZILL, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Wadsworth Internationa l/ Iberoamérica 1982-D. SÁNCHEZ, Ordinary Differential Equations and Stability Theory. W. H. Freeman and Company 1968-C. EDWARDS,Jr. and D. PENNEY. Ecuaciones diferenciales elementales con aplicaciones. Printece-Hall Hispanoamericana 1986

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CONTENIDO

OBJETIVO GENERALSINOPSIS DEL CONTENIDO ESTRATEGIA GENERAL DE INSTRUCCIÓNBIBLIOGRAFIA

UNIDAD I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1.1 Objetivos Didácticos 1.2 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales1.3 Definición de una Ecuación Diferencial1.4 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales1.5 Solución de una Ecuación Diferencial1.6 Resumen1.7 Ejercicios1.8 Teorema de Picard. Teorema de Existencia y Unicidad1.9 Ejercicios1.10 Métodos para resolver Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1.10.1 Separación de Variables 1.10.1.1 Ejercicios1.10.2 Cambio de Variable 1.10.2.1 Ejercicios

1.10.3 Ecuaciones Homogéneas 1.10.3.1 Ejercicios

1.10.4 Ecuación Diferencial Exacta 1.10.4.1 Ejercicios

1.10.5 Ecuación Diferencial no Exacta 1.10.5.1 Ejercicios

1.11Ecuación Lineal de Primer Orden1.12 Método del Factor Integrante1.13 Ecuación de Bernoulli1.14 Ejercicios1.15 Aplicaciones. Modelos matemáticos.1.16 Ejercicios

UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

2.1Objetivos Didácticos2.2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n2.3 Solución de una Ecuación Lineal de Orden n2.3.1 Ecuaciones Homogéneas.2.3.2 Principio de Superposición.2.3.3 Soluciones Linealmente Independientes.2.3.4 Ecuaciones No Homogéneas.2.4 Ejercicios2.5 Métodos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior2.5.1 Ecuaciones Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes

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2.5.1.1 Ejercicios2.5.2 Ecuaciones Lineales No Homogéneas con Coeficientes Constantes. 2.5.2.1 Método de Coeficientes indeterminados

2.5.2.1.1 Ejercicios2.5.2.2 Método de Variación de Parámetros. 2.5.2.2.1 Ejercicios 2.5.3 Ecuaciones Lineales con Coeficientes Variables. 2.5.3.1 Método de Reducción de Orden.

2.5.3.1.1 Ejercicios2.5.4 Ecuación de Euler - Cauchy

2.5.4.1 Ejercicios

UNIDAD III: TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

3.1Objetivo Didáctico3.2Transformada de Laplace. Definición.3.2.1 Ejercicios.3.3 Teorema de Linealidad.3.4 Inversa de la Transformada de Laplace.3.4.1Propiedad de Desplazamiento3.4.2Ejercicios3.5 Función Escalón Unitario.3.5.1 Ejercicios3.6Convolución. Definición. Propiedades 3.7 Aplicaciones. Problemas de Valor Inicial3.7.1 Ejercicios3.8 Transformada de la Derivada3.9 Integración de Transformadas3.10 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales3.10.1 Ejercicios

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UNIDAD I ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN

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1.1 OBJETIVO DIDÁCTICO: Adquirir los conocimientos esenciales de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que permitan formular soluciones a problemas, tanto teóricos como aplicados, los cuales conducen a plantear modelos matemáticos, mediante el uso de tales ecuaciones.

1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES

Hay problemas de la vida diaria que se pueden modelar por una ecuación en la que la incógnita es una función y entre las operaciones que se realizan se encuentra la derivada (ordinaria y parcial).

Por ejemplo;

(1) Determinar el tamaño de la población en cada instante t suponiendo que la tasa de nacimiento es directamente proporcional a la población presente en cada instante t y la población inicial es p0

Entonces

(2) Sea la posición de una partícula en el instante t. se conoce de la cinemática que si la aceleración es constante y el movimiento rectilíneo entonces la velocidad es

Entonces

1.3 DEFINICIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Definición (1): Una Ecuación Diferencial definida en una región es una ecuación de la forma

Para todo donde las funciones son algunas de las derivadas parciales de algún orden de la función T con respecto a algunas (o todas) las variables . Si > 1 la ecuación diferencial se llama Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales.Definición (2): ecuación en la que interviene una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o mas variables independientes. Ejemplo:

a)

b)

c)

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1.4 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de distintas formas según sus propiedades, se clasifican de la siguiente manera:

Según su tipo:

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): es aquella en la que solo existe una variable independiente, de manera que todas las derivadas que aparecen en ella son derivadas ordinarias.

Ejemplo:

a)

b)

Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): aquellas donde la ecuación contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a mas de una variable independiente.

Ejemplo:

a)

b)

Según su orden:

Según el orden de la derivada. Orden uno, dos, tres, superior (cuando el orden de la derivada es mayor a uno).

Ejemplo:

a) Orden uno.

b) Orden dos. (Orden Superior)

c) Orden tres (orden Superior)

d) Orden dos, ya que el mayor orden de derivación

es dos, sin importar el exponente (en este caso es 4)

e) Orden uno. El término si .

Y por lo tanto podemos escribirla como . Este ejemplo

muestra que cuando tenemos una ecuación diferencial es importante saber en que intervalo estamos trabajando.

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Según su grado: lo define el mayor exponente de la ecuación diferencial. Ejemplo:

a) Grado 4.

Según su Linealidad: una ecuación ordinaria es lineal de orden n en un intervalo si es de la forma.

Donde son funciones continuas en el intervalo y en dicho intervalo.

A su vez, una ecuación diferencial lineal posee las siguientes propiedades:- No debe aparecer la variable dependiente como argumento de otra función.- No deben aparecer producto de la variable dependiente por si misma y por sus derivadas.- Debe haber una sola variable dependiente y una independiente.

Ejemplo:

a) Lineal de orden uno.

b) No lineal, el exponente 4 es lo que hace que la

ecuación no sea lineal.

1.5 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA

Definición: una función se llamará solución o solución particular de la EDO en el intervalo si:

a) : es una función. b) existen.c) para todo .

En otras palabras si la función satisface a la ecuación diferencial.

Al conjunto de todas las soluciones de la EDO en algún intervalo se llama solución general de la EDO cuando aparece la constante de integración C sin ningún valor conocido, y si no aparece esa constante o se conoce su valor se le denomina solución particular. Decimos que una solución esta dada explícitamente si la variable dependiente esta despejada, en caso contrario decimos que esta escrita implícitamente.

Ejemplo:a) La función , c es constante, es solución general de la EDO

en x. Pues, que satisface a la

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EDO. Observemos que dicha solución esta escrita explícitamente. Por otra parte si tenemos la solución escrita , decimos que esta escrita implícitamente.

Cuando nos encontramos con problemas de valor inicial, es decir, que tengan condición inicial , la solución de la EDO es una solución particular. Siguiendo con el ejemplo anterior, si tenemos condición inicial , la solución será la cual es particular, ya que no aparece la constante de integración como incógnita.

1.6 Resumen

Una ecuación diferencial es una ecuación donde aparece la operación derivación y se tiene que encontrar las funciones que satisfacen dicha ecuación (si existen).

Las ecuaciones las clasificamos de acuerdo al siguiente esquema:

Solución de una ecuación, es cualquier función que satisface la ecuación diferencial y la clasificamos de acuerdo al cuadro siguiente:

1.7 EJERCICIOS

1. Verifique si la función o funciones son solución de la E. D dada, y señale si las soluciones están escritas en forma explícita o implícita:

a. b. c. d.

e.

f.

g.

h.

2. Determine los valores de m tales que sea solución de cada E. D:

a. b. c.

3. a. Demuestre que y son solución de .

b. Son también soluciones y con y constantes arbitrarias.

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c. La suma de es solución?

1.8 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE PICARD

Es natural hacerse las siguientes preguntas:

¿Cuándo un problema de valor inicial tiene solución? ¿Cuándo un problema de valor inicial que tiene solución, tiene solución

única?

Teorema (Picard). Sea una región rectangular en el plano xy, definida por

que contiene al punto en su interior. Si y

son continuas en , entonces existe un intervalo con centro en y contenido en y una única función que satisface el problema de valor inicial.

Para todo .

Un conocido teorema de Peano asegura que la continuidad de en es suficiente para garantizar la existencia de al menos una solución del problema

sujeto a la condición inicial , si está en el interior de .

Ejemplo:

1) Determine la región del plano xy que garantice la existencia de al menos una solución de la ecuación diferencial dada

Solución:

Tenemos que la función , donde se sabe que su dominio en el

plano xy es , a su vez

y

x

d

c

a b

R

(x0, y0)

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, también tiene como dominio , por lo que en

todo el plano xy menos en donde x = y, se garantiza que existe al menos una solución de la ecuación diferencial

1.9 EJERCICIOS

1. Para cada problema de valor inicial halle un rectángulo en el cual se pueda garantizar la validez del Teorema de Picard.

a. b. c.

1.10 MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Tenemos:

1.10.1 SEPARACIÓN DE VARIABLES:

Sea la ecuación E. D , o donde cada una de las

funciones dependen de una sola variable; se procede entonces a separar variables.

Pasos a seguir:

1.- Se separan variables ó

2.- Integrar ambos lados de la igualdad de la E. D con respecto a la variable

independiente

3.- Simplificar de la primera integral .4.- Integrar

C constante de integración de la integral indefinida. función solución de la E. D.

Ejemplo:Resolver la ecuación

Solución: la ecuación toma la forma , es una ecuación separable.

Entonces resolviendo

En este caso se puede tener una forma explícita de estas solución general, ya que al despejar la variable dependiente (y) resulta

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1.10.1.1 EJERCICIOS:

1. Resuelva la EDO por separación de variables:a. b.

c. d.

e. f.

g.

h. i.

2. Resuelva la E. D por separación de variables con valor inicial:

a. b.

1.10.2 CAMBIO DE VARIABLE:

Se define una nueva variable en términos de las variables dadas y luego se reescribe la E. D en términos de una nueva variable independiente. Al final para dar la solución se debe devolver el cambio.

Pasos a seguir:

1.- Se aplica el cambio de variable

Luego

2.- Se procede con los métodos anteriores; primero se aplica separación de variable, segundo integración directa y por ultimo se devuelve el cambio de variable.

Ejemplo:

Resolver la ecuación

Solución: se observa que por separación de variable no se puede resolver ya que la función involucrada en el ejercicio es de dos variables, por lo tanto aplicamos el cambio de variable, quedando

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Ahora aplicamos separación de variables

Escribiendo en forma explícita es


1. Resuelva la E. D por Cambio de variable:

a. b.

c. d.

2. Resuelva la E. D por Cambio de variable con valor inicial:

a. b.

1.10.3 FUNCIÓN HOMOGÉNEA:

Una función se dice homogénea de grado n si , significa que las variables se sustituyen por respectivamente, sacando luego el factor común quedando la función original.

Pasos a seguir:

1.- Probar que la función es homogénea.

2.- Hacer el siguiente cambio de variable: luego

3.- Luego se aplican los dos primeros métodos, devolviendo el cambio.

Ejemplo:

Resuelva la ecuación

Solución: probando que la función es homogénea tenemos,

Cumple con la definición.

Ahora, se realiza el cambio y nos queda

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Separando variables, resolviendo tenemos

Es una solución general escrita de forma implícita.


1. Resuelva la E. D aplicando el método para ecuaciones Homogéneas con la sustitución adecuada:a. b.

c. d.

2. Resuelva la E. D aplicando el método para ecuaciones Homogéneas con la sustitución adecuada y valor inicial:

a.

b.

1.10.4 ECUACION DIFERENCIAL EXACTA:

La expresión se le denomina exacta si y solo si

.

Pasos a seguir:1.- La EDO debe estar de la forma , para verificar si es exacta.2.- Calcular ó

Si

Si

3.- Se determina ó , dependiendo de lo calculado en (2) y se iguala a la función ó no usada en el paso anterior. Ejemplo:

Si

Luego

4.- Se calcula , integrando ambos lados de ; es decir

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5.- Se da la solución implícita

Ejemplo: Resolver la ecuación

Solución: verificamos si es exacta

Observamos que es exacta

Ahora,

Por lo tanto la solución general en forma implícita es

1.10.5 ECUACION DIFERENCIAL NO EXACTA:

La expresión se le denomina no exacta si y solo si

.

Pasos a seguir:1.- Verificar que la EDO no es exacta.

2.- Buscar un factor integrante:

ó

3.- Multiplicar el factor integrante por la E. D no exacta para hacerla exacta.4.- Resolver aplicando los pasos de la E. D exacta.

Ejemplo:Resolver la ecuación

Solución: Se verifica si es o no exacta

Observamos que no es exacta

Al no ser exacta hay que determinar un factor integrante que la haga exacta, entonces

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Ahora se multiplica la ecuación por el factor integrante calculado y se trabaja como en el caso de ecuación diferencial exacta.

Por lo que la solución es


1. Determine si la ecuación respectiva es Exacta, de ser así resuélvala:a. b. c.

d.

e. f.

g.

2. Determine el valor de k para que la EDO sea Exacta:a. b.

3. Verifique que la EDO no es Exacta. Multiplique por el factor integrante indicado y compruebe que la ecuación resultante es exacta:a. b.

4. Resuelva la EDO encontrando un factor integrante adecuado: a. b.

c. d.

1.11 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

La forma en que se presenta es ó en su forma

diferencial

Si la función (1) se transforma en una E. D con variables separables, llamándose E. D lineal homogénea. En caso que , se resuelve por el método llamado Factor Integrante.

1.11.1 MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE:

Sea una E. D lineal homogénea:

Pasos a seguir:

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1.- Dividir por toda la ecuación; quedando .

2.- Calcular el factor integrante: 3.- Determinar la solución general por medio de

ó

Ejemplo:


Solución: Observamos que la ecuación esta escrita de forma lineal por lo tanto

podemos determinar a .y

Ahora calculamos el factor integrante

Calculamos la solución de la ecuación

1.12 ECUACIÓN DE BERNOULLI:Cuando se nos presenta el caso de una E. D No Lineal para resolverla debemos hacerla Lineal, la clase mas importante de estas ecuaciones es de la

forma , .

Estas ecuaciones se conocen como Ecuación de Bernoulli, en honor a Jakob Bernoulli.

i) Si , se obtiene una solución de la ecuación.ii) Si , se debe:

1.- Dividir por toda la ecuación por :

2.- Hacer un cambio de variable

Donde

3.- Sustituir la nueva variable en la ecuación que se obtuvo en el paso 1.

Quedando

4.- Multiplicar esta nueva ecuación por .

5.- Resolver la ecuación lineal resultante

por el método de factor integrante.

Ejemplo:


Solución: escribamos la ecuación de la forma

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Aplicamos el método de bernoulli, donde

Entonces

Hacemos el cambio de variable y nos queda

Ahora, trabajamos como una ecuación lineal y nos queda la solución

1.12.1 EJERCICIOS

1. Resuelva la E. D Lineal, dando la solución general:

a. b. c.

d. e. f.

g. h.

i. j.

k. m.

2. Resuelva la E. D Lineal con valor inicial:

a. b.

c. constantes.

3. Resuelva la E. D de Bernoulli dada empleando una sustitución adecuada:

a. b. c. d.

e.

4. Resuelva la E. D de Bernoulli con valor inicial:

a. b.

1.13 APLICACIONES. MODELOS MATEMÁTICOS

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Es la relación estrecha que puede surgir en ciertos aspectos de la vida real que pueden ser asociados a E. D. entre los cuales tenemos:

Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton. Propagación de enfermedades. Crecimiento Biológico o Poblacional. Mezclas. Interés compuesto.

Hay expresiones del lenguaje coloquial que tiene una traducción sencilla al lenguaje matemático. La siguiente tabla muestra la traducción de algunas de esas expresiones.

LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE MATEMÁTICO Tasa, rapidez, velocidad, razón de cambio de variable y con respecto a la variable tA es directamente proporcional a BA es inversamente proporcional a B

Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton

La relación es Temperatura con respecto al tiempo:

Donde se involucra Temperatura.

Temperatura del medio. Constante Tiempo.

i) Si y , se va calentando.ii) Si y , se va enfriando.iii) Si y , se va enfriando.iv) Si y , se va calentando.

Ejemplo:

Un pastel es retirado del horno a 210° F y dejado enfriarse a la temperatura ambiente, 70° F. Después de 30 minutos, la temperatura del pastel es de 140° F. ¿Cuándo estará a 100° F?

Solución:

Primero extraemos los datos del ejercicio

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El pastel estará a 100°F después de 67 mint

Propagación de enfermedades. Crecimiento Biológico o Poblacional

La relación es población con respecto al tiempo:

Donde se involucran: Población. Constante Tiempo.

i) Si la población crece con respecto al tiempo.ii) Si la población decrece.

Ejemplo:La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población en cualquier momento t. Su población inicial es de 500 y aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población en 30 años?

Solución:

Primero extraemos los datos del ejercicio

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La población dentro de 30 años será de 761 habitantes

Mezclas

La relación es cantidad de concentración de la mezcla con respecto al tiempo:

Donde se involucran:X(t) Cantidad de concentración.

Volumen de concentración. Volumen inicial.

Entrada de fluido. Salida de fluido.Concentración.

Ejemplo:Un tanque contiene 100 litros (L) de una solución de agua y sal, que consta de 10 Kg de sal disueltos en agua. Se bombea dentro del tanque a razón de 6 L/min una solución que contiene ½ Kg de sal por cada litro de agua, se extrae a una razón de 4 L/min. ¿Hallar la cantidad de sal que hay en el tanque en cada instante t?

Solución: Primero extraemos los datos del ejercicio

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ir

or

Volumen de concentración.

La función resultante nos da la ecuación que permite calcular la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t.

Interés Compuesto

La relación es Cantidad de dinero con respecto al tiempo:

tasa de interés

Ejemplo:Se deposita una suma de dinero en una cuenta bancaria que paga interés a una tasa anual r (con capitalización continua). Hallar el valor de r que produce una duplicación del capital inicial transcurrido 7 años. Solución:

El interés será del 10% transcurrido 7 años al haber duplicado el capital inicial. 1.13.1 EJERCICIOS:

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a. En cualquier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Después de 10 horas hay 2000 especimenes. ¿Cuál era la cantidad de bacterias inicial?

b. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es 5º F. Después de un minuto, el termómetro indica 55º F; 5 minutos después marca 30º F. ¿Cuál era la temperatura del interior?

c. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de 20º C, se deja caer en un recipiente con agua hirviente con una temperatura de 120°C, ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar 90º C si se sabe que su temperatura aumentó 2º C en un segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a 98º C?

d. Un cultivo bacterial se multiplica en cada instante t (medido en horas) con rapidez proporcional al número de bacterias presentes en dicho instante. Si al cabo de una hora el cultivo aumentó 50%, calcule el tiempo necesario para que el cultivo se quintuplique.

e. Se disuelve inicialmente 50 libras (lb) de sal en un gran tanque que contiene 300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 gal/min; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque también a razón de 3 gal/min. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 min? ¿Cuanta después de un tiempo largo?

f. En una cuenta de ahorros se depositan 5000 Bsf a un interés compuesto, que se capitaliza continuamente, del 5 ¾% anual. Calcule la cantidad de dinero acumulada después de 5 años. ¿En cuantos años se duplicará la suma depositada inicialmente?

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UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

DE ORDEN SUPERIOR

2.1 OBJETIVO DIDÁCTICO: Adquirir los conocimientos esenciales de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior que permitan resolver tales ecuaciones.

2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n

La ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden es una ecuación de la forma:

Ejemplo:a)

b)

2.3 Solución de una ecuación diferencial de orden n:

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Definición: La solución general de una E. D de orden n, viene dada por el conjunto de todas las soluciones determinadas por la formula que contienen n constantes de integración, tales que dadas las condiciones iniciales, se llegan a valores de modo que la solución particular viene expresada de la forma .

Ejemplo:1). Determine la solución general de la E. D , siendo y

, soluciones de la E. D. Encuentre una solución particular que satisfaga

las condiciones .

Solución general:

Luego;

La solución particular que satisface es:

2.3.1 Ecuaciones Homogéneas

A una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma

Se la llama Homogénea.2.3.1.1 Solución General de una Ecuación Lineal Homogénea Teorema (Principio de Superposición) Sean el conjunto fundamental de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea

En un intervalo I. entonces, la solución general de la ecuación en I, se puede expresar de la siguiente manera:

En donde, son constantes de integración.

2.3.1.2 Soluciones Linealmente Independientes

Independencia Lineal:Definición:Dadas funciones en I. Definimos el Wronskiano de

el cual denotamos por: como el determinante de dichas funciones el

cual nos indica si las funciones son Linealmente Independientes.

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Teorema:Dados ; si:i) , son linealmente independientes.ii) , son linealmente dependientes.

Ejemplo:1). Determine si el conjunto de funciones son linealmente independientes o dependientes:

a.

b.

c. Solución:

a.

b.

c.

2.3.2 Ecuaciones No HomogéneasA una ecuación diferencial lineal de orden n, de la forma

En donde no es idénticamente nula, recibe el nombre de No Homogénea.

2.3.2.1 Solución General de una Ecuación Lineal No Homogénea La solución viene expresada como la suma de las soluciones generales de la ecuación homogénea asociada a la ecuación no homogénea y la solución particular de la ecuación no homogénea; es decir, sean

n soluciones de la E. D homogénea asociada donde y una solución particular de la E. D no homogénea, entonces la solución de la E. D no homogénea en cualquier intervalo I para constantes , será

.

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2.4 EJERCICIOS:

1. Compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente independiente sobre el eje real:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2. Compruebe si los conjuntos de funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general:

a.

b.

c.

d.

e. f.

3. Verifique que la función dada es solución general de le E. D no homogénea en el intervalo indicado:

a)

b)

c)

d)

4. Se da una E. D no homogénea, una solución complementaria y una solución particular . Encuentre la solución que satisfaga las condiciones iniciales:

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a.

b.

2.5 MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR


Si ; E. D Lineal Homogénea

2.5.1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR CON COEFICIENTE CONSTANTE

Considere la E. D lineal homogénea (1) donde constantes y , entonces la E. D se denomina E. D lineal homogénea con coeficiente constante; expresada de la siguiente forma:

Ejemplo:

a. b.

Cuando se resuelve la ecuación , se obtiene como solución

, por lo que se puede deducir que las soluciones de este tipo de ecuación pueden venir expresadas en forma exponencial.

Ahora, suponiendo que la solución tiene la forma veamos como tiene que ser m para que dicha función sea solución de la E. D.

Sustituyendo en (2):

La ecuación (3), se denomina Ecuación Característica asociada a (2), siendo el Polinomio Característico

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Concluimos, para que sea solución de (2), necesariamente debe ser solución de (3).

Comenzaremos considerando el caso particular de la ecuación de segundo orden , donde a, b, c constantes, si es una solución, entonces y .

La ecuación característica asociada a la E. D será:

Para determinar el valor de m utilizamos:

Donde;

Ahora, si:i. Raíces reales distintas ii. Raíces reales igualesiii. Raíces complejas distintas.

Raíces reales distintas:Si la ecuación da 2 raíces reales distintas , entonces las soluciones son

y , las cuales son soluciones linealmente independientes de la

E. D, por lo tanto la solución general es:

Raíces reales iguales:Si la ecuación da 2 raíces reales iguales , entonces las soluciones son

y , las cuales son soluciones linealmente independientes de

la E. D, por lo tanto la solución general es:

Raíces complejas distintas:Si la ecuación da 2 raíces complejas distintas , suponiendo que estas son las raíces obtenidas la solución asociada seria entonces las soluciones son y . Para poder resolver este caso se

debe utilizar la formula de Euler; . La solución general de la ecuación vendría por:

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Donde las soluciones son linealmente independientes.

Ejemplo:

1) Asumimos la solución , de aquí y , sustituyendo en la E. D tenemos la ecuación característica Resolviendo la ecuación nos quedan las raíces que son raíces

reales distintas, por lo tanto la solución general va a ser . Ahora, la solución particular aplicando las condiciones iniciales será

2) Asumimos la solución , de aquí y , sustituyendo en la E. D tenemos la ecuación característica Resolviendo la ecuación nos quedan las raíces que son raíces

reales iguales, por lo tanto la solución general va a ser .

3) Asumimos la solución , de aquí y , sustituyendo en la E. D tenemos la ecuación característica Resolviendo la ecuación nos dan raíces complejas distintas, donde

, por lo tanto la solución general va a ser

.

E. D lineal homogénea con coeficiente constante de orden mayor que 2

Considere la E. D lineal homogénea de orden > 2 con coeficiente constante para hallar su solución se debe

considerar que también admite como solución la forma ; para valores apropiados de la constante m se debe construir la ecuación característica sustituyendo y sus derivadas en la E. D y obtener;

.

Resolviendo esta ecuación o factorizando el polinomio característico asociado a dicha ecuación, se determinan las raíces de la ecuación, obteniendose n soluciones cuya combinación lineal permite obtener la solución de la E. D.

Raíces reales distintas:Si las raíces son reales y distintas se obtiene la solución:

Raíces reales repetidas:

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Si alguna raíz obtenida es real y repetida su solución viene expresada de la forma:

Raíces complejas distintas:Si la ecuación característica tiene raíces complejas, estas deben formar pares conjugados , su solución es similar a la de la ecuación de orden 2, siempre y cuando ninguna de las raíces estén repetidas, y tiene la forma:

Si las raíces repetidas en algún caso, o sea, si son raíces de multiplicidad k, su solución viene dada por la combinación del método para raíces complejas, quedando expresada de la siguiente manera:

Como parte de la solución general.

Nota: Si las raíces de la ecuación se combinan de los tres tipos la solución también se combina.

Ejemplo:1) Asumimos la solución , de aquí

mxmxmxmx emyemyemyemy .,.,.,. 4)4(32 ,

sustituyendo en la E. D tenemos la ecuación característica

Resolviendo la ecuación nos quedan las raíces que son raíces reales distintas,

por lo tanto la solución general va a ser

2) Asumimos la solución , de aquí



Resolviendo la ecuación nos quedan las raíces32

que son raíces reales repetidas, por lo tanto la solución general va a ser




Resolviendo la ecuación nos quedan las raíces que son raíces reales repetidas y complejas

distintas, por lo tanto la solución general va a ser



Se encuentran las raíces que son raíces reales de las cuales dos son repetidas, por lo que la solución es

2.5.1.1 EJERCICIOS

1. Encuentre la solución general de cada E. D dada, y la solución particular para los casos con condición inicial:a. b. c. 096 yyyd. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. 2. Las raíces de la ecuación característica son , ¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente?

2.5.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR CON COEFICIENTE CONSTANTE

Consideremos

Si ; E. D Lineal no Homogénea, donde es continua.

33

La solución de dicha E. D viene dada por .

2.5.2.1 Método de coeficientes indeterminadosEste método se aplica siempre que la función de la E.D sea una combinación lineal de productos (finitos) de funciones de los tres tipos siguientes:

1. Un polinomio en .2. Una función exponencial 3.

Sabemos que la solución general de la E.D (1) es de la forma , donde la función complementaria es una solución de la E.D homogénea

asociada y es una solución

particular simple de (1), la cual es nuestra tarea encontrar .El método de coeficientes indeterminados es un modo directo de hacer esto cuando la función dada en (1) es la bastante simple como para que podamos hacer una suposición bien fundamentada sobre la forma general de

.

Vamos a ilustrar el método con algunos ejemplos preliminares.

Ejemplo: 1) Encuentre una solución particular de la ecuación

Solución: aquí , un polinomio de grado 1, así que nuestra suposición será

Entonces, por lo que satisfará la E.D una vez que

Esto sucede si y solo si, , así que la solución particular es

2) Encuentre una solución particular de la ecuación

Solución: aquí , cualquier derivada de es un múltiplo de ,

por lo que es razonable intentar .

Entonces, , por lo que la E.D resultará satisfecha con

tal que .

Esto sucede si y solo si , por lo que la solución particular es .


Este ejemplo si se quiere es del mismo tipo del ejemplo anterior, pero nos indica que el método no siempre es tan simple como parece. Solución: aquí , es razonable intentar .

34

Entonces, , por lo que la E.D resultará satisfecha con tal

que .En este caso, no importa el valor que fuera A, no puede satisfacer a la E.D no homogénea dada. En consecuencia debemos intentar con otra función cuya derivada contenga a . Podemos asumir la solución particular es

. Con

La sustitución produce Los términos que contienen se cancelan y queda , así que

, por lo que la solución particular es .


Solución: nuestra primera suposición podría ser , pero la presencia de en el primer miembro indica que podemos necesitar un término que contenga también. Por lo tanto, trataremos con

Entonces, la sustitución de en la E.D dada produce Esto

sucede si y solo si, , así que la solución particular es

La siguiente tabla es una lista de las formas que puede asumir en diversos casos comunes.

Hay casos que encontramos con que la función , donde son funciones de géneros diferentes listados en la tabla. En este

caso, tomamos como la suma de las funciones particulares indicadas.

Ejemplo: 1) Encuentre una solución particular de la ecuación

Solución: tenemos las funciones , por lo tanto la

solución particular será la suma de

35

Siendo la solución complementaria , tenemos que hay términos repetidos en la parte por lo tanto la multiplicamos por para eliminar las repeticiones. Quedando

Derivando y sustituyendo en la E.D produce

De donde se tiene

Por lo tanto la solución particular es


Solución: tenemos las funciones , por lo tanto la

solución particular será el producto de , como primer intento esta bien, pero debemos tener cuidado con la solución complementaria de la E.D homogénea asociada

, como podemos ver se repiten términos, por lo que debemos multiplicar por , para evitar las repeticiones. Por lo tanto, tomaremos

2.5.2.1.1 EJERCICIOS1) En cada uno de los problemas encuentre una solución particular de la ecuación dada: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l.

2) Resuelva los problemas con condiciones iniciales

a. b. c. d. e. f. g. h.

2.5.2.2 Método de variación de parámetros

Comencemos con una E.D de segundo orden. Dada

donde , si y son soluciones de la E. D homogénea asociada a la

36

no homogénea, entonces una solución particular de la E. D no homogénea será , donde se presentan como:

Y la solución de la E. D no homogénea sería:

Ejemplo:

1) Hallar la solución general de a E. D no homogénea

Solución: Escribimos la E. D homogénea asociada De aquí, nos queda la ecuación característica , sus raíces

, las cuales son raíces complejas distintas.

Por lo tanto, la solución de la E. D homogénea asociada es , de donde, .

Calculamos el Wronskiano;

L. Independiente.

Ahora, determinamos la solución particular de la E. D no homogénea

Siendo,

Por lo tanto, la solución general de la E. D no homogénea es:

Método de variación de parámetros para E. D no homogéneas con coeficiente constante de orden mayor que 2:

37

Para obtener la solución general de una E. D de orden mayor de 2 se necesita conocer la solución de la

E. D homogénea asociada , luego se expresa la solución particular de la E. D no homogénea .

Ahora, para determinar las incógnitas se genera el sistema

Y se resuelve aplicando el wronskiano:

Para determinar cada una de las incógnitas, se sustituye la columna de la incógnita que se busca por la columna de los términos independientes (0, 0, … , b(x)), se calcula el determinante de la matriz resultante, se divide por el valor del wronskiano y luego se integra para conseguir el valor de la incógnita y por ende la solución general de la E. D no homogénea será:

Ejemplo:

1)

La E. D homogénea asociada es,

La ecuación característica ,

Raíces reales distintas.

La solución de la E. D homogénea asociada ,

Donde

Ahora, la solución particular de la E. D no homogénea

Hacemos el sistema de ecuación

38

Calculamos el Wronskiano

Linealmente Independiente

De aquí las incógnitas

,

Por lo tanto,

La solución general de la solución no homogénea es:

2.5.2.2.1 EJERCICIOS

1. En cada uno de los problemas use el método de variación de parámetro para encontrar la solución general y particular de las E. D dadas:a. b. c. d. e. f. g. h.

39

i. j. k. l. m.

2.5.3 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR, CON COEFICIENTES VARIABLES


donde funciones y , entonces la E. D se denomina E. D lineal con coeficiente variable.

2.5.3.1 Método de reducción de orden:Cuando se presenta una E. D lineal , con una solución

conocida, se busca una segunda solución . Consiste en sustituir

, la E. D lineal y queda en función de v de 2° orden, cuya resolución viene dada por el cambio de variable , logrando una reducción de orden de la E. D y se aplica cualquiera de los métodos de E. D de primer orden.

Teorema:Si es una solución de la E. D en un intervalo abierto I en donde las funciones son continuas y no se anula, entonces una segunda solución linealmente independiente con de la E. D viene dada por:

Ejemplo:1) Determine la segunda solución de la E. D siendo

una solución de dicha E. D. Emplear reducción de orden.

Como , entonces

Ahora, sustituyendo en la E. D tenemos,

Aplicando el cambio de variable

40

Nos quedo una E. D de primer orden, la cual se puede resolver por separación de variable.

Por lo tanto,

Así, la solución general es:

, constantes.

Verificamos aplicando el teorema

dividimos toda la ecuación por

buscando que quede sola, para determinar la función .

Se comprueba que la solución dada por el método de reducción de orden es correcta.

En el caso que la E.D sea no homogénea se emplea el método reducción de orden a la E.D homogénea asociada y luego se aplica el método de variación de parámetros para hallar la solución particular de la no homogénea.

2.5.3.1.1 EJERCICIOS

1. La función es solución de la E. D dada, use el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución . Luego verifique el resultado aplicando el teorema:a. b.

c. d.

e. )(ln.,053. 21

2 xCosxyyyxyx f.

41

g.

h.

i.

2. Use el método de reducción de orden para obtener una solución de la ecuación no homogénea dada. La función indicada es una solución de la ecuación homogénea asociada. Determine una segunda solución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea.

a. b.

c. d.

2.5.4 ECUACIÓN DE EULER – CAUCHY:

La expresión general de esta ecuación es la siguiente:

Donde se puede notar que el coeficiente de la derivada corresponde al mismo exponente de la variable x,

Suponiendo, que una solución para este tipo de ecuación es

Sustituyendola junto con sus n derivadas en la ecuación obtenemos la ecuación característica, la cual al resolverla obtenemos las raíces y de ahí las soluciones de la ecuación de euler – cauchy.

Solo vamos a estudiar al detalle la ecuación para n=2. La ecuación tiene la forma:

Asumiendo la solución , sus derivadas correspondientes al caso son . Sustituyendo en la ecuación tenemos

La ecuación característica , cuando se resuelve esta ecuación se obtienen dos raíces, las cuales pueden ser reales distintas, reales repetidas y complejas distintas.

Raíces reales distintas. por lo tanto las soluciones son

siendo la solución general

42

Raíces reales repetidas. por lo tanto una solución es

luego la segunda solución se determina aplicando el teorema de reducción de orden.

Raíces complejas distintas. por lo tanto las

soluciones son aplicando un artificio matemático

siendo la solución general

Ejemplo:1) Asumiendo la solución , sus derivadas correspondientes al caso son

. Sustituyendo en la ecuación tenemos

La ecuación característica ,

Raíces reales distintas.

La solución general es:

2) La ecuación característica ,

Raíces reales repetidas.

Ahora, aplicando el teorema de reducción de orden, obtenemos la segunda solución La solución general es:

3) La ecuación característica ,

Raíces complejas distintas, siendo .

Ahora, . La solución general es:

En el caso que la E.D sea no homogénea se emplea el método de euler - cauchy a la E.D homogénea asociada y luego se aplica el método de variación de parámetros para hallar la solución particular de la no homogénea.

2.5.4.1 EJERCICIOS

43

1. Encuentre la solución general y particular según sea el caso de la ecuación de Euler – Cauchy dadas:a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

2. Aplique a las ecuaciones de euler – cauchy el método de variación de parámetros para hallar la solución generala. b. c.

d.

UNIDAD III TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SISTEMA

DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

44

3.1 OBJETIVO DIDÁCTICO: Adquirir los conocimientos esenciales de la transformada de Laplace, la inversa de la transformada de Laplace y aplicar dichos conocimientos para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, además de adquirir las nociones básicas para la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales

3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición: Sea una función real, definida en el intervalo . Si la integral converge, la cual es una función de S:

Donde,

Es llamada la Transformada de Laplace de , la cual se denota por

Ejemplo:1) Calcular la transformada de la siguiente función:

a)

Entonces,

b)

45

Entonces,

3.2.1 EJERCICIOS

1. En los siguientes problemas aplique la definición para determinar , halle el rango de convergencia:

a. b. c. d. e. f. g.

h. siendo

i.

2. Aplique la tabla para determinar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a. b. c. d. e. f. g. h.

i. j.

3.3 Teorema de Linealidad:

Si a y b son constantes, entonces:

, tal que las transformadas de Laplace de f y g existan a la vez.

Ejemplo: 1) Calcular

3.4 Inversa de la Transformada de Laplace

46

Si , entonces es la transformada inversa de laplace de y se expresa de la siguiente forma:

Ejemplo:

1) Dada encuentre

2) Dada encuentre

Cuando el denominador consta de factores lineales, entonces la transfrmada de laplace inversa de la descomposición en fracciones parciales es una aplicación de la transformada de la exponencial elemental.

Linealidad

3) Dada encuentre

Aplicando linealidad y la inversa nos queda:

Podemos observar que al quedarnos

Se puede aplicar la formula número (28) que esta en la tabla de transformada, siendo así, entonces

47

3.4.1 Propiedad de desplazamientoSuponga que existe para . Si es un número real, entonces

Ejemplo:1) Calcule

Como , entonces

2) Calcule

3) Calcule

3.4.2 EJERCICIOS

1. Calcule la inversa de la Transformada:

a. b. c.

d. e. f.

48

g. h. i.

j. k. l.

3.5 Función Escalón Unitario

Definición La función se define como

Ejemplo: a) b) las graficas son:

Por definición, la transformada de la función unitaria es:

Ahora, calculemos la transformada de las funciones del ejemplo.

a)

b)

c) Evaluar

Luego, si

1

2(a) (b)

49

1

Ejemplo:a) Sea la función

b) Evaluar

3.5.1 EJERCICIOS

1. Halle la Transformada de Laplace de las funciones respectivas:

a. b. c. d.

3.6 Convolución

Definición: sean y dos funciones definidas en . La convolución de y , denotada por es una función en el intervalo, definida por

Para cada .

Propiedades de la convolución

(a) (Propiedad Conmutativa)(b) (Propiedad Asociativa)(c) (Propiedad Distributiva)(d) Si y son dos funciones continuas a trozos de orden exponencial, entonces o escrito en forma equivalente

Ejemplo:Calcular Por la propiedad (d) tenemos que

A veces la propiedad (d) de la convolución es útil para encontrar la transformada inversa de un producto de dos transformadas de Laplace.

Ejemplo:

Determinar

Para resolver este ejercicio sería posible usar fracciones parciales, pero si

50

y

Entonces, y Por lo tanto, podemos escribir,

3.7 Aplicaciones. Problemas de valor inicial Suponga que las funciones son continuas y suaves por

tramos para , entonces existe.

Siendo

Por lo tanto, tenemos ,

Puesto que , depende de y sus n-1 derivadas calculadas en , la transformada de Laplace es especialmente adecuada para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Esta clase de E. D puede ser reducida a una ecuación algebraica en la función transformada . Para ver esto, considere el problema inicial

)1(0

)1(00

01)1(

1)(

)0(,,)0(,)0(

)(....

nn

nn

nn

yyyyyy

tgyayayaya

Donde son constantes. Por la linealidad de la transformada de Laplace podemos escribir

usando la derivada para transformada de Laplace, tenemos

En donde . Despejando encontramos calculando la inversa

Ejemplo:

51

1) Resolver

Primero aplicar la transformada a cada término de la ecuación

Luego usamos y

Y calculamos aplicando tabla

Por lo tanto,

Mediante fracciones parciales:

3.7.1 EJERCICIOS

1. Use la Transformada de Laplace para resolver los problemas de valor inicial:a. b. c.d. e.f. g. h. i. j. k. l. donde m. donde n. donde

3.8 Transformada de la Derivada

Corresponde a una multiplicación de por .

52

Teorema: Suponga que las funciones son continuas y suaves por tramos para , y que cada una de ellas satisface la condición

para para los valores de M y c. Entonces existe cuando y

Ejemplo:

1) Probar que

Si

Por lo tanto,

2) Encuentre

Si Como , derivamos una segunda vez, obteniendo

3.9 Integración de Transformadas

La integración corresponde a una división de entre t.

Teorema: Suponga que es parcialmente continua por tramos para ,

que satisface la condición dada en la expresión y que

para , entonces,

53

cuando

En forma equivalente,

Ejemplo:

1) Encuentre

Verificamos que el límite existe

Nos queda, . El límite existe.

Entonces,

3.10 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden 2 x 2

Se analizaran sistemas de 2 ecuaciones lineales de primer orden, con 2 incógnitas de la forma:

Siendo a, b y f funciones continuas en un cierto intervalo cerrado . Si son cero el sistema sería homogéneo, entonces una solución de (1) sería un par de funciones que satisface a (1)

Teorema (1): si el sistema homogéneo tiene 2 soluciones

y

Sobre entonces

Es también solución en el intervalo para toda constante . Formando con ambas soluciones una combinación lineal siendo (2) la solución del sistema homogéneo. Para verificar si (2) es solución del sistema homogéneo aplicamos el siguiente teorema.

Teorema (2): si el Wronskiano de las dos soluciones del sistema homogéneo no se anula en el intervalo, entonces (2) es la solución general.

54

Teorema (3): si las 2 soluciones del sistema homogéneo son linealmente independiente sobre y si

Es cualquier solución particular de (1) en el intervalo, entonces

Es la solución general de (1) en .

Como se resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales lineales: 1) Se despeja alguna de las funciones incógnitas, x ó y, de algunas de las

dos E.D.O.2) Se sustituye dicha función en la otra E.D.O.3) Se resuelve la E.D.O lineal de segundo orden resultante.4) Con este valor se obtiene la otra función.

Ejemplo:

1) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneo

Despejando de la E. D (1) obtenemos,

Sustituyendo estos valores en la E. D (2), obtenemos

Al resolver esta E.D de segundo orden, se obtiene

Sustituyendo este valor en la expresión , se tiene que

Si además agregamos la condición

Obtendríamos el sistema de ecuaciones lineales

Cuya solución es

Así,

Los sistemas de ecuaciones con condición inicial, pueden ser resueltos por transformada de laplace.

55

2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneo con condición inicial

Por la Transformada de Laplace tenemos que,

Así mismo,

Por lo tanto, aplicando al sistema nos queda,

De la ecuación (1) despejamos Y(s),

Luego, sustituimos Y(s) en la ecuación (2) y nos queda,

Aplicando fracciones parciales, tenemos que

Sustituyendo este resultado en la primera ecuación, obtenemos

3) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo

Despejando de la E. D (1) obtenemos,

Sustituyendo estos valores en la E. D (2), obtenemos

56

Al resolver esta E.D se obtiene

Sustituyendo este valor en la expresión , se tiene que

3.10.1 EJERCICIOS

1) Resuelva los siguientes sistemas homogéneos a. b. c.

d. e. f.

g. h.

2) Resuelva los siguientes sistemas no homogéneos, con condición inicial

a. b.

c. d.

57

Documents

GUIA Ecuaciones Diferenciales