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Guía para preparar el ETS de la materia de Cálculo Diferencial e Integral.
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Calculo Diferencial e IntegralGuıa de estudio para el Examen a Tıtulo de Suficiencia
M. en I. Antonio Tavares MancillasJunio, 2012, semestre 2012-II
INSTRUCCIONES El siguiente texto es una propuesta para que el alumno ejercite los diversos temas delcurso Calculo Diferencial e Integral y pueda presentar satisfactoriamente el examen ETS 2012-II de la materiaen cuestion.Responda y compare resultados. Se recomienda no usar calculadora, solamente formulario.
1. Numeros reales - DesigualdadesResuelve las siguientes desigualdades y anota el conjunto solucion.
(i). |1− 2x| < 4 (ii). x(x+ 2) > 0
(iii). |2x− 4| > x+ 2 (iv). |2x|+ 1 < 3x+ 2 (v). x2 + 4x < 0
(vi).8x
2x− 1(vii). |2− 6x| < 3− 2x (viii). |1
2x| − 2x = 3
(ix).x
x+ 1< 0 (x). (x+ 2)(x− 1) > 0
2. Funciones reales, dominio, imagen
(a) Evalua de cada funcion lo solicitado.
i. Sea f(x) = x+ 1, ∀x ∈ R, calcula: f(2), f(−2), −f(2), f(1/2), 1/f(2),f(a+ b), f(a) + f(b), f(a)f(b).
ii. Para f(x) = 1 + x y g(x) = 1− x , ∀x ∈ R, obten:f(2) + g(2), f(2)− g(2), f(2)g(2), f(2)/g(2), f(g(2)),g(f(2)), f(t)g(−t).
iii. Sea ϕ(x) = |x− 3|+ |x− 1|,∀x ∈ R , calcula:ϕ(0), ϕ(2), ϕ(3), ϕ(−1), ϕ(−2).Ademas determina todos los valores de t para los que ϕ(t+ 2) = ϕ(t).
1
(b) Obten la representacion grafica de f(x), ademas, determina su imagen, limx→0+
f(x), y limx→∞
f(x)
(i). f(x) =1
2e−x, x ≥ 0 (ii). f(x) = log
√x+ 2 + 1, x ≥ −1
(iii). f(x) = sen(2x+2π
3), x ≥ π (iv). f(x) = (x− 3)2 − 1, x ≥ 3
(v). f(x) = 1− e−x, x ≥ 0 (vi). f(x) = x2 + 4x, x ≥ 0
(vii). f(x) = e−x cos(x), x ≥ 0 (viii). f(x) =1
x+ 2, x ≥ 0
(ix). f(x) = −2x2 + 8x+ 1, x ≥ 2 (x). f(x) = e−x sen(4x), x ≥ 0
(xi). f(x) = log(4x), x ≥ 1 (xii). f(x) = eπx − 1, x ≥ 0
(xiii). f(x) = 10 cos(x/2 + π/4), x ≥ 0 (xiv). f(x) = 2(1− e−2x), x ≥ 0
(xv). f(x) =5
2x+ 6, x ≥ 0 (xvi). f(x) = x cos(2x), x ≥ 0
(xvii). f(x) = x2 sen(x/2), x ≥ 0 (xviii). f(x) = |sen(3x)|, x ≥ 0
3. Derivada y Aplicaciones
(a) Encuentra lo que se pide para cada ejercicio.
(i). 3x2 − 2y2 = 10, y′(1, 1) (ii). e−xy + 1 = x, y′(1, 0)
(iii). log(x+ y + 1) + x = y, y′(1, 1) (iv). x2 + 3xy = y2, y′(0, 1)
(v). cos2 (x+ y + π) = y2 − 1, y′(0, 0) (vi). cos2 (x) + sen2 (2y) = x+ y, y′(0, 0)
(vii). 2x2 + 7y2 = y, y′(1, 0) (viii). 3x2y + y3x = x, y′(1, 1)
2
(b) Calcula lo solicitado en cada ejercicio.
(i). f(t) = log(sec2 (2t)), limt→∞
df
dt(ii). f(s) = cos(
√s+ 1), lim
s→−1
df
ds
(iii). f(w) = 20(1− e−π/3w), limw→∞
df
dw(iv). f(x) =
x
2x2 − 3, lim
x→0
df
dx
(v). f(x) = x e−x2
, limx→0
df
dx(vi). f(u) = u cos(2u), lim
u→0
df
du
(vii). f(m) = me−m/2, limm→∞
df
dm(viii). f(w) = w2 cos(2w), lim
w→0
df
dw
(ix). f(q) = (q2 + 2) e−q2 , limq→∞
df
dq(x). f(x) = (x− 9) e−πx, lim
x→∞
df
dq
(xi). f(t) =t+ 1
2t− 4, lim
t→∞
df
dt(xii). f(x) =
√1− e−πx/3, lim
x→∞
df
dx
(c) Para los siguientes ejercicios, determina:
i. puntos crıticos
ii. clasificacion de puntos crıticos (maximos o mınimos)
iii. puntos de inflexion
iv. ubicacion de puntos crıticos y de inflexion esbozando la grafica de f(x)
v. intervalo donde f(x) crece
vi. intervalo donde f(x) decrece
(i). f(x) =x3
3− x2 − 3x+ 1 (ii). f(x) =
x3
3− 3x2
2+ 2x− 1
(iii). f(x) =x3
3+
3x2
2+ 3 (iv). f(x) =
x3
3+ x2 − 3x+ 2
(v). f(x) =x3
3+
7x2
2+ 12x− 4
(d) De las siguientes funciones reales calcula la expansion de f(x) en potencias de x, usando serie detaylor de quinto orden.
(i). f(x) = cos(2x) (ii). f(x) =1
2sen(4x) (iii). f(x) = x e−x
(iv). f(x) =1
x, en potencias x− 1 (v). f(x) = log(x), en potencias x− 1
3
4. Integrales y Metodos de integracion
(a) Integrales por sustitucion varias.
(i).
∫x√3− 2x2 dx (ii).
∫t cos(4t2) dt (iii).
∫w2 e−3w3−1 dw
(iv).
∫1
2x+ 1dx (v).
∫3t2 cosh(3t3) dt (vi).
∫4z − 3
3z − 2z2dz
(vii).
∫πs sen(2πs2) ds (viii).
∫1
9eπw/3 dw (ix).
∫20 cos(2πv + π/3) dv
(x).
∫log(x)
xdx (xi).
∫ √4 + 9x2 dx (xii).
∫ √6 + 16x2 dx
(xiii).
∫x√8 + 4x4 dx (xiv).
∫x5/6
√16− 9x1/3 dx (xv).
∫x2
2
√16 + 4x6 dx
(b) Integrales impropias por metodos por partes y sustitucion varias, Senale si la integral es divergenteo si es convergente y a que valor se acerca.
(i).
∫ ∞
0
x2 e−x dx (ii).
∫ ∞
0
t cos(2t) dt (iii).
∫ ∞
0
x+ 3
x2 + 6x+ 1dt
(iv).
∫ ∞
0
(1− 2x) e−x/3 dx (v).
∫ ∞
0
x√4− x dx (vi).
∫ ∞
0
e−x cos(2x) dx
(vii).
∫ ∞
0
e−3x sen(2πx) dx (xvi).
∫ ∞
0
x2√x+ 2 dx
(c) Integrales por fracciones parciales.
(i).
∫3
4t− 2t2dt (ii).
∫2− z
z2 − 5z + 4dz
(iii).
∫3
8w − 4w2dw (iv).
∫2s
s2 − x− 12ds
4
RESPUESTAS:
1. NUMEROS REALES - DESIGUALDADES
(i). R: (−3/2, 5/2) (ii). R: (−∞,−2)⋃
(0,∞)
(iii). R: (2/3, 6) (iv). R: (−∞,−1) (v). R: (−4, 0)
(vi). R: (−∞, 0)⋃
(1/2,∞) (vii). R: (−1/4, 5/8) (viii). R: {−2,−6/5}
(ix). R: (−1, 0) (x). R: (−∞,−2)⋃
(1,∞)
2. GRAFICACION, IMAGEN, limx→0+
f(x), limx→∞
f(x).
(i). Img(f) = (0, 1), limx→0+
f(x) = 1, limx→∞
f(x) = 0, (ii). Img(f) = (1,∞), limx→−1+
f(x) = 1, limx→∞
f(x) = ∞,
(iii). Img(f) = (−1, 1), limx→π+
f(x) = 0, limx→∞
f(x) = @, (iv). Img(f) = (−1,∞), limx→3+
f(x) = 1, limx→∞
f(x) = ∞,
(v). Img(f) = (0, 1), limx→0+
f(x) = 1, limx→∞
f(x) = 1, (vi). Img(f) = (0,∞), limx→0+
f(x) = 1, limx→∞
f(x) = ∞,
(vii). Img(f) = (−1, 1), limx→0+
f(x) = 1, limx→∞
f(x) = 0, (viii). Img(f) = (0,1
2), lim
x→0+f(x) =
1
2, limx→∞
f(x) = ∞,
(ix). Img(f) = (−∞,−7), limx→2+
f(x) = −7, limx→∞
f(x) = −∞, (x). Img(f) = (−1, 1), limx→0+
f(x) = 0, limx→∞
f(x) = 0
(xi). Img(f) = (log(4),∞), limx→1+
f(x) = log(4), limx→∞
f(x) = ∞, (xii). Img(f) = (0, 1), limx→0+
f(x) = 0, limx→∞
f(x) = −1,
(xiii). Img(f) = (−10, 10), limx→π/2+
f(x) = 0, limx→∞
f(x) = @, (xiv). Img(f) = (0, 1), limx→0+
f(x) = 0, limx→∞
f(x) = 1,
(xv). Img(f) = (5/6, 0), limx→0+
f(x) = 5/6, limx→∞
f(x) = 0, (xvi). Img(f) = (−∞,∞), limx→0+
f(x) = 0, limx→∞
f(x) = ∞,
(xvii). Img(f) = (−∞,∞), limx→0+
f(x) = 0, limx→∞
f(x) = ∞, (xviii). Img(f) = (0, 1), limx→0+
f(x) = 1, limx→∞
f(x) = @,
5
3. DERIVADA Y APLICACIONES
(a) Derivada implicita
(i). y′(1, 1) = 3/2 (ii). y′(1, 0) = −1
(iii). y′(1, 1) = 2 (iv). y′(0, 1) = −3/2
(v). y′(0, 0) = 0 (vi). y′(0, 0) = −1
(vii). y′(1, 0) = 4 (viii). y′(1, 1) = −1
(b) limites y derivadas
(i). limt→∞
df
dt= 0 (ii). lim
s→−1
df
ds= −1/2
(iii). limw→∞
df
dw= −20π/3 (iv). lim
x→0
df
dx= −1/3
(v). limx→0
df
dx= 1 (vi). lim
u→0
df
du= 0
(vii). limm→∞
df
dm= 0 (viii). lim
w→0
df
dw= 0
(ix). limq→∞
df
dq= 0 (x). lim
x→∞
df
dq= 0
(xi). limt→∞
df
dt= 0 (xii). lim
x→∞
df
dx= 0
(c) Maximos, mınimos y puntos de inflexion
(i). max x = −1 min x = 3 infl x = 1 (ii). max x = 1 min x = 2 infl x = 3/2
(iii). max x = −3 min x = 0 infl x = 3/2 (iv). max x = −3 min x = 1 infl x = −1
(v). max x = −4 min x = −3 infl x = −7/2
6
(d) Serie de Taylor
(i). cos(2x) = 1− 2x2 − 2
3x4 (ii).
1
2sen(4x) = 2x− 16
3x3 − 64
15x5
(iii). x e−x = x− 1
2x2 +
1
2x3 − 1
6x4 +
1
24x5
(iv). log(x) = (x− 1)− (x− 1)2
2+
(x− 1)3
3− (x− 1)4
4+
1(x− 1)5
5
(v).1
x= 2− x+ (x− 1)2 − (x− 1)3 + (x− 1)4 − (x− 1)5
4. Integrales y Metodos de integracion
(a) Integrales por sustitucion varias.
(i).u = 3− 2x2 (ii).u = 4t2 (iii).u = −3w3 − 1
(iv).u = 2x+ 1 (v).u = 3t3 (vi).u = 3z − 2z2
(vii).u = 2πs2 (viii).u = πw/3 (ix).u = 2πv + π/3
(x).u = log(x) (xi).u = 3x (xii).u = 4x
(xiii).u = 2x2 (xiv).u = 3x1/6 (xv).u = 2x3
(b) Integrales impropias
(i).converge a cero. por partes conu = x2 (ii).diverge. por partes conu = t
(iii).diverge. por sustitucion conu = x2 + 6x+ 1 (iv).converge a − 15. por partes conu = 1− 2x
(v).diverge. por partes conu = x (vi).converge a − 1/3. por partes ciclica
(vii).converge a − 1
9 + 2π. por partes ciclica (viii).diverge. por partes conu = x2
(c) Integrales por fracciones parciales.
(i).3
4t− 2t2=
A
t+
B
4− 2tA =
3
4B =
3
2(ii).
2− z
z2 − 5z + 4=
A
z − 1+
B
z − 4A = −1
3B = −2
3
(iii).3
8w − 4w2=
A
w+
B
8− 4wA =
3
8B =
3
2(iv).
2s
s2 − x− 12=
A
s+ 3+
B
x− 4A =
6
7B =
8
7
7