i

Guıa para la realizacion del ETS

1. Tazar la grafica de la funcion vectorial:

a) r(t) = 3cos(t)i + 3sen(t)j + 4k

b) r(t) = cos(t)i + sen(t)j

c) r(t) = (3t, 2t2 + 1)

d) r(t) = (t, 2t2 − 2t + 1)

2. Encuentre:

a) lımt→0

(t2 + 8t + 5, et + e2t)

b) lımt→−1

(t2 − 1

t + 1,

t3 − 8

t2 + 2t − 3)

c) lımt→0

(sen(5t)

t, (t − 4)5, t3)

3. Encuentre r′(t) y r′′(t) donde:

a) r(t) = ln(t)i +6t + 4

2t − 1j

b) r(t) = (te2t, t3, 6t2 − (t2 − 1)3)

c) r(t) = (tcos(t), tan(t), sen2(t))

d) r(t) = (cos3(t),sen(t)

1 − cos(t),

sec(t)

1 − sen(t))

4. Encuentre las ecuaciones parametricas de la recta tangente a la curva dadaen el valor indicado

a) x = t, y =1

2t3, z =

1

3t3; t = 2

b) r(t) = 3i + tj +4t

1 + t2k; t = 2

c) r(t) = 3cos(t)i + 3sen(t)j + 2tk; t =π

4

ii

5. Evalue la integral indicada

a)∫ 2

−1(ti + 3t2j + 4t3k)dt

b)∫ 4

0(√

2t + 1j + −√

tj + sen(πt)k)dt

c)∫

(teti − e−2tj + tet2k)dt

6. Calcule la rapidez en el instante indicado

a) r(t) = (t2i +1

4t4j); t = 1

b) r(t) = 2cos(t)i + (1 + sen(t))j; t =π

3

c) r(t) = 2i + (2t − 1)2j + t2k; t = 2

7. Determine el dominio de las funciones indicadas

a) f(x, y) =xy

x2 + y2

b) f(x, y) = (x2 − 36y2)−2

c) f(x, y) = x2 − y2√

4 + y

8. Dibuje algunas curvas de nivel asociadas a las funcion indicada

a) f(x, y) = x + 2y

b) f(x, y) = y2 − x

c) f(x, y) = x2 + y2

9. Encuentre las superficies (graficas) del ejercicio numero 8

10. Encuentre las primeras derivadas parciales de la funcion indicada

a) z = x2 − xy2 + 4y5

b) z =4√

x

3y2 + 1

c) z = cos2(5x) + sen2(5y)

d) z = ex2y2

e) f(x, y) = xex3y

iii

f ) f(x, y) =3x − y

x + 2y

11. Encuentre las segundas derivadas parciales

a) z = exy

b) z = x4y−2

c) w =cos(u2v)

t3

12. Determine las derivadas parciales indicadas

a) z = euv2

donde u = x3, v = x − y2; ∂z∂x

, ∂z∂y

b) z = 4x − 5y2 donde x = u4 − 8v3, y = (2u − v)2; ∂z∂u

, ∂z∂v

c) R = rs2t4; r = uev2, s = ve−u2

, t = eu2v2

; ∂R∂u

, ∂R∂v

13. Calcule el gradiente de la funcion indicada.

a) f(x, y) = x2 − x3y2 + y4

b) f(x, y) = y − e−2x2y

c) f(x, y, z) = xy2

z3

d) f(x, y, z) = xycos(yz)

14. Encuentre el gradiente en el punto indicado

a) f(x, y) = x2 − 4y2; (2, 4)

b) f(x, y) =√

x3y − y4; (3, 2)

c) f(x, y, z) = x2y2sen(z2); (−2, 1, π3)

d) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2); (−4, 3, 5)

15. Encuentre la derivada direccional de la funcion dada , en el punto y direccionindicados

a) f(x, y) = 5x3y6; (−1,−1), θ = π6

b) f(x, y) = 4x + xy2 − 5y; (3,−1), θ = π4

c) f(x, y) = tan−1( y

x); (2,−2), i − 3j

iv

d) f(x, y) = xy

x+y; (2,−1), 6i + 8j

16. Encontrar los extremos relativos de la funcion

a) f(x, y) = −x3 − 2y3 − 27x − 24y + 3

b) f(x, y) = xy − 2x− 4

y+ 8

c) f(x, y) = 72x3 + 70y3 + 68xy − 66y

d) Hallar la distancia mAnima del punto (3, 5, 7) a la recta (x, y, z) =(8 + 6t, 7 + 10t, 9 + 17t)

17. Evalue las siguientes integrales dobles.

a)∫ 2

1

∫ x2

−x(8x − 10y + 2)dydx

b)∫ 1

−1

∫ 4

0(x + y)2dxdy

c)∫

√2

0

∫

√2−y

−√

2−y2(2x − y)dxdy

d)∫ π

4

0

∫ cos(x)

0(1 + 4ytan2(x))dydx

e)∫ 2

1

∫

√x

0(2ysen(πx2))dydx

f )∫ 1

0

∫ y

0x(y2 − x2)

3

2 dxdy

18. Evalue las siguientes integrales iteradas

a)∫ π

π

2

∫ 0

cos(y)(exsen(y))dxdy

b)∫ 1

0

∫ y13

06x2 ln(y + 1)dxdy

c)∫ 2π

π

∫ x

0(cos(x) − sen(y))dydx

d)∫ 4

1

∫

√y

−√

y(xy2)dxdy

e)∫ 2

−1

∫ x2+1

−x2 xydydx

f )∫ π

3

0

∫ 1+cos(θ)

3cos(θ)rdrdθ

19. Evalue la integral doble en la region R limitada por las graficas de las ecua-ciones indicadas

a)∫

R

∫

x3y2dA, y = x, y = 0, x = 1

v

b)∫

R

∫

2xydA, y = x3, y = 8, x = 0

c)∫

R

∫

x√ydA, y = x2 + 1, y = 3 − x2

20. Aplique una integral doble para determinar el area de una region R limitadapor las graficas de las ecuaciones indicadas.

a) y = −x, y = 2x − x2

b) x = y2, x = 2 − y2

c)√

x +√

y = 2, x + y = 4

d) y = −x2 + 3x, y = −2x + 4, y = 0

21. Determine el volumen del solido limitado por las graficas de las ecuacionesindicadas

a) 2x + y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0, primer octante

b) x2 + y2 = 4, x − y + 2z = 4, x = 0, y = 0, z = 0, primer octante

c) z = 4 − y2, x2 + y2 = 2x, z = 0

22. Localice el centro de masa de la lamina que tiene forma y densidad indicada

a) x = 0, x = 4, y = 0, y = 3; ϕ(x, y) = xy

b) y = x, x + y = 6, y = 0; ϕ(x, y) = 2y

c) y = x2, x = 1, y = 0; ϕ(x, y) = x + y

d) x = y2, x = 4; ϕ(x, y) = y + 5

23. Evalue la integral iterada indicada

a)∫ 4

2

∫ 2

−2

∫ 1

−1x + y + zdxdydz

b)∫ 3

1

∫ x

1

∫ xy

224xydzdydx

c)∫ 6

0

∫ 6−x

0

∫ 6−x−z

0dydzdx

d)∫ π

2

0

∫ y2

0

∫ y

0cos(x

y)dzdxdy

24. Evalue la integral de linea∫

CG(x, y)dx,

∫

CG(x, y)dy,

∫

CG(x, y)ds en la cur-

va C indicada.

a) G(x, y) = 2xy; x = 5cos(t), y = 5sen(t), 0 ≤ t ≤ π4

vi

b) G(x, y) = 3x2 + 6y2; y = 2x + 1,−1 ≤ x ≤ 0

25. Determine∮

Cx2y3dx − xy2dy en donde C es el cuadrado con vertices en

(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)

26. Evalue∫

CF • dr en donde

a) F (x, y) = y3i − x2yj; r(t) = e−2ti + etj; 0 ≤ t ≤ ln(2)

27. Aplique el teorema de Green para evaluar la integral indicada

a)∮

C2ydx+5xdy en donde C es la circunferencia (x−1)2 +(y +3)2 = 25

b)∮

C(x + y2) + (2x2 − y)dy, en donde C es la frontera de la region deter-

minada por las graficas de y = x2, y=4

28. Utilice el teorema de Stokes para encontrar la integral de superficie dondeel campo de fuerza F (x.y.z) = 9yi − 9xj + 6k , S es la porcion del planoz = 1 dentro del cilindro x2 + y2 = 9

Elaboro profesor Alejandro Estrella Hernandez