Guía ETS Ecuaciones Diferenciales 2012

7/30/2019 Gua ETS Ecuaciones Diferenciales 2012.

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1

GUA PARA EL EXAMEN A TTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMTICAS

IE, ICA, ISISA

I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

VARIABLES SEPARABLES

Para esta seccin se proporciona la solucin completa de las ecuaciones para que puedas repasar las

tcnicas de integracin, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las

integrales que resultan:

3


2/22

2


3/22

3


4/22

4


5/22

5


6/22

6


7/22

7


8/22

8


9/22

9


10/22

10


11/22

11


12/22

12

ECUACIONES HOMOGNEAS. Resolver las siguientes E.D. empleando el mtodo de sustitucin:

1. 0)( xdydxyx

cxxxy ln

2. 0)2( dyxyxdx

)(ln)( yxcxyxyx

3. dyyxydx )(2

cy

xy

2

2

4. 0)( xdydxyx

xcxy 12

1

5. 0)( 22 dyxdxyxy

cx

xy

ln

6. 0)( 22 dyxdxyxy

2)(

2cx

y

yx

7.xy

xy

dx

dy

cy

x

yx 122

tan2)ln(

8. 0)( dyxyxydx

cy

xy 2ln

ECUACIONES EXACTAS. Verifique si la E.D. es exacta y resulvala:

1. 0)73()12( dyydxx

cyyxx 72

3 22

2. 0)6()2( dyyxdxyx

No es exacta

3. 0)84()45( 3 dyyxdxyx

cyxyx 42 242

5

4. 0)cos(cos)( dyyyxxdxysenxseny

cyxyxseny 22

1cos

5. 0)42()32( 22 dyyxdxxy

cyxyx 4322

6. 0334)3cos1

2(3

2 xysenx

x

y

dx

dyx

xy

No es exacta

7. 0)12()( 22 dyxxydxyx ,

1)1( y

4333223 yxyyxx

8. 0)2()( dyyexdxye yx . 1)0( y

22 yyx eyeyxye


13/22

13

ECUACIONES LINEALES. Resuelva las siguientes E.D. por el mtodo de factor integrante.

xxcexy

32

9

1

3

1 xx ceexy 2233

1 xx ceexy 1

2

1 2

xcexxxseny

2cos4

32

2

3 1

xxcexey 2

221cos

cxsenxxxxy

222 xx

ceexy

22

1

)1(

tan

x

cxy

ECUACIONES DE BERNOULLI. Resuelva las siguientes E.D. empleando la sustitucin apropiada:

1. 32 52 yxyyx

5

2

2 cx

xy

2. xxyyy 62 32

233

3x

cey

3. 3 yyy

12

2

xce

xy

4. 42 52 yxyyx

715

7

cx

xy

5. 02 33 yxyyx 0x

552

5

cx

xy

6. 34

36 xyyxy

32)(

cxxy

MISCELNEOS E.D. ORDEN 1: Resolver los siguientes problemas por el mtodo que le sea posible:

cxxy 22 2

)ln(cxy


14/22

14

13 3 cxy

122 xy

5. )1()1( 2 yxdx

dyx

cxxy )1ln(1tan

6. )50( TKdt

dTK Constante, T(0)=200

ktetT 15050)(

II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva las E.D. siguientes por el mtodo de coeficientes indeterminados.

1. 623 yyy

32

21 xx ececy

2. 3302510 xyyy

5

3

5

652

5

1 xxececy xx

3. xxyyy 24

1 2

2

74

22

2

2

1 xxxececy xx

4. xexyy 32483

xexxxsencxcy

32

21)

3

444(33cos

5. 234

1

x

eyyy

2/22/

2

2/

12

112

xxxexxececy

6. xsenyy 234

xxxsencxcy 2cos4

322cos

21

7. xeyyy x 2cos52

xsenxexsenecxecyxxx

2

4

122cos

21

8. xsenxyyy 2cos32

xxsenxxececyxx

2cos25

92

25

12cos

2

121


15/22

15

VARIACIN DE PARMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el mtodo de variacin de parmetros.

1. xyy sec

xxxsenxsenxcxcy coslncoscos 21 ; )2/,2/(

2. xyy 2cos

xsenxcxcy 2cos6

1

2

1cos

21

3.x

eyyy

1

123

)1ln()( 2221

xxxxxeeeececy

4. xseneyyy 23

xxxxseneeececy

2

2

2

1

5.2

12

x

eyyy

x

xxexexececy xxxx 1221 tan)1ln(2

1

6. xeyyy x ln2

xexxececyxxxln

2

1 221

7. xeyyy x 3tan3063

xxxexsenecxecyxxx

3tan3secln3cos27

133cos

21

8. xyy tan

xxsenxxsenxcxccy tanseclncoslncos 321

ECUACIONES DE CAUCHY EULER. Resuelva las siguientes E.D. de Cauchy-Euler. Para las ecuaciones nohomogneas aplique variacin de parmetros.

1. 042 yxyyx

)ln2()ln2cos(21 xsencxcy

2. 0232 yxyyx

62

2

62

1

xcxcy

3. 0452 yxyyx

xxcxcy ln22

2

1

4. 0632 yxyyx

xsencxcxy ln

6

3ln

6

3cos

21

2/1

5. 063 yyx

)ln2()ln2cos( 323

1 xsencxcxcy

6. 082223 yxyyxyx

4

3

2

2

1

1 xcxcxcy


16/22

16

7. 032 xyyx , 0)1( y , 4)1( y

222

xy

8. xyxy

4ln

2

21

xxccy

9. xxyxyyx 22 52

xxxcxcy6

1

15

1 212

2/1

1

III. TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) L f t( ) para 1) f(t) =0 0 2

4 2

t

t

se

ssF

24)(

2) f(t) =2 0 5

1 5

t t

t

2

5

2

5 229)(

se

se

ssF

ss

b) L e t e e t t t t 4 2 2 3 2sen 4)1(

6

)2(

2

4

1)(

23

ssssF

c) L t e t t t4 23 4 2 cos senh 4

8

1)2(

324)(

225

ssssF

d) L e tt sen2

4)1(

1

1

1

2

1)(

2s

s

ssF

e) L t t2 sen 322

)1(

26)(

s

ssF

f) L t u t2 2( )

sssesF

s 442)(

23

2

g) L ( )t 1 sesF )(


17/22

17

2. Determine la Transformada de Laplace Inversa de las siguientes funciones:

a) L-1 3 12

82

s

s

tsenttf 8

8

128cos3)(

b) L-1

1

2 5s

t

etf 25

2

1)(

c) L-1 2 1

1

s

s s

( )

tteetf

12)(

d) L-1 s

s( )

15

tt etettf 346

1

24

1)(

e) L-1

se

s s

S

2

23 2

)2(2)()2()2(2 tueetf tt

f) L-1

122

3

ss

es

)3()3()(3 tuettf t

g) L-1

s s

s s

3

4 2

16 24

20 64

tsenttsentf 22cos4

2

1)(

h) L-1 s

s s

1

6 7 22

tt

eetf)3/2()2/1(

3

1

2

1)(

i) L-1

s

s s s s

2

2

3

2 3 2 5

( )( )( ) tetseneeetf

tttt2cos

50

12

25

9

50

3

25

1)(

32

j) L-1

1 1

2

2

23 2

s s s

tsenettf t 22

2

1)(

22

k) L-1

1

2

1

1 4

3

13 2 2

( ) ( )s

s

s s

senhtteettf

tt32cos

2

1)(

22


18/22

18

3. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones peridicas:

a)

s

s

es

esF

2

2

1

1)(

b)

sss

es

seesF

1

1)(

2

4. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes mediante Transformada de Laplace

a) 0)0(',0)0(,cos''' yyteyy t

sentetetytt

2

1cos

2

1

2

1)(

b) 0)0(',0)0(,)2(5'4'' yytyyy

)2()2()()2(2

tutsenety t

c)y y y e

t' ' ' 3 2 4

y(0) = 1, y(0) = -1

ttteeety

3

2

3

4)(

2

0 1 2 3 4 t

-1

1

f(t)

0 1 2 3 t

1

f(t)


19/22


20/22

20

c)t

t

exdt

yd

eydt

xd

4

4

2

2

2

2

t

t

etcsentccy

esentctccx

3

321

3

321

15

4cos

15

17cos

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante Transformada de

Laplace

a)

xdt

dy

yxdt

dx

2

1)0(

0)0(

y

x

tt

tt

eey

eex

3

2

3

1

3

1

3

1

2

2

b)

yxdt

dy

yxdt

dx

5

2

2)0(

1)0(

y

x

tsenty

tsentx

33

7

3cos2

33

53cos

c)

233

122

yxdt

dy

dt

dx

xdt

dy

dt

dx

0)0(

0)0(

y

x

6

1

2

5

13

8

2

1

2

52

23

23

tt

tt

eey

eex

d)t

teydt

xd

ydt

dy

dt

xd

3

033

2

2

2

2

0)0(

2)0(

,0)0(

y

x

x

tt

t

teey

ettx

3

1

3

1

3

1

12

1 2

b)

txdt

dy

tydt

dx

1cos

1cos

21

21

ttcsentcy

tsentctcx

c)

t

t

exdt

yd

eydt

xd

4

4

2

2

2

2

t

t

etcsentccy

esentctccx

3

321

3

321

15

4

cos

15

17cos


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21

EJERCICIOS DE CONCEPTOS Y PROBLEMAS

1. (a) Diga con sus propias palabras que entiende por soluciones linealmente independientes de

una ecuacin diferencial.

(b) Enuncie el principio de la superposicin.

(c) Defina el conjunto fundamental de soluciones

(d) Demuestra quex

ey3

1

y e xey 41

es un conjunto fundamental de la ecuacin

012''' yyy

2. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera al inicio desde el reposo

de un punto 6 pulgadas abajo debajo de la posicin de equilibrio.

(a) encuentre la posicin de la masa en los tiempos t = /12, /8, /6, /4, Y 9/32s.(b) Cul es la velocidad de la masa cuando t = 3 /16 s? en que direccin se dirige la masa en este

instante?

(c) en que tiempo la masa pasa por la posicin de equilibrio?

3. Una masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 pies. Al inicio la masa se libera desde un punto que

esta 8 pulgadas arriba de la posicin de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s

(a) encuentre la ecuacin de movimiento(b) Cules son amplitud y periodo del movimiento?(c) Cuntos ciclos completos habr completado la masa al final de 3 segundos?(d) en que momento la masa pasa por la posicin de equilibrio con direccin hacia abajo por

segunda vez?

(e) en que instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posicin

de equilibrio?(f) cual es la posicin de la masa en t = 3s?(g) cual es la velocidad instantnea en t = 3 s?(h) Cul es la aceleracin en t = 3s?(i) Cul es la velocidad instantnea en los instantes cuando la masa pasa por la posicin de

equilibrio?

(j) en que instante la masa esta 5 pulgadas abajo de la posicin de equilibrio apuntando endireccin hacia arriba?

4. Calcule la carga del capacitor en un circuito en un circuito LRC en serie cuando L = h, R = 20 , C =

1/300 f, E (t) = 0 V, q (0) = 4 C e i(0) = 0 A. alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero?

5. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L = 1/2h, R = 10, C = 0.001 f y E (t)

= 100 sen 60t + 200 cos 40t V.


22/22

22

6. (a) Definir la Transformada de Laplace.

(b) Explique las condiciones que debe cumplir f(t) para que exista su Transformada de

Laplace

(c) Emplee la definicin de transformada para demostrar que:

L sen5t 5/(s2

+ 25)

L e-5t

s/(s - 5 )

7. Dada

100

105

52

201

)(2

t

tt

tt

t

tf

(a) Grafique la funcin.

(b) Exprese la funcin en trminos de la funcin del escaln unitario.

(c) Calcule la transformada de f aplicando la definicin.

8. Usando convolucin, demuestre que:

tt

sssen

1

11L

22

1

9. Resuelva la ecuacin integral dada usando la transformada de Laplace.

tsenetxsolucin

sentdxttx

t

t

2

3

3

2:

cos)(

2

0

10. Usando Transformada de Laplace, determina la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en

el cual L = 1h, R = 20, C = .01 F, E(t) = 120 sen(10t) V, q(0) = 0,e i(0) = 0, cul es la corriente de estado

estable?.

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