GUIA DE ESTUDIOS PARA EL EXAMEN A TITULODE SUFICIENCIA DE FUNDAMENTOS DE ALGEBRA.

INSTRUCCIONES El conjunto de ejercicios que a continuacion se presenta tienen como objetivo propor-cionarte orientacion sobre los temas que debes estudiar para presentar el ETS de la asignatura ”Fundamentos deAlgebra”. Es importante que tengas en cuenta que los problemas que resuelvas d esta guıa no seran los mismosque se incluyen en el examen.

NUMEROS COMPLEJOS.

1. Efectue cada una de las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma rectangular.

(a)5− 2i

3− 4i+

10− i4 + 3i

(b)i− i2 − i3 + i4

(1 + i)2

(c)(4 i11 − i2

1 + 2i

)(d) 3

(1 + i

1− i

)3− 2(1− i

1 + i

)2(e)

3∠ 15◦ + (3∠ 20◦)3

(1 +√

3 i)(2eiπ/2)(f)

(2− 2i)(4− 3i)

1− i

(g) (4 + 5i)−[(1

4+

2

3i)

+(1

5− 3

2i)]

2. Simplificar cada una de las siguientes expresiones.

(i).i4 + i7 − i10

4− i5 + i8

(ii).(2 + i)(1− i)(−1 + i)

(−2 + 2i)2

(iii). (2− 2i)2[ 2√

2−√

2i− i√

2 +√

2i

]3. Dados los numeros complejos Z1 = 4e2π/3 i, Z2 = 2∠ 60◦, Z3 = 1 + i. Calcule las siguientes operaciones y

exprese los resultados en forma polar.

(a) Z =i25(Z3)8

(Z2)5(b) Z =

2Z1 + 4Z3

Z1 Z2

1

4. Dados los numeros complejos, calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma rectangu-lar, polar y exponencial.

Z1 = 5eiπ/4 Z2 = 3∠ 15◦ Z3 = 2 + 4i

(a) Z = Z1 • Z2 • Z3 (b) Z = Z1 + Z2 + Z3

(c) Z =Z1 − Z2

Z3(d) Z =

(Z1)3

Z2(Z3)2

5. Para Z1, Z2, Z3 ∈ C, realizar las siguientes operaciones y expresarlas en forma rectangular, polar yexponencial.

Z1 = 2eiπ/6 Z2 =√

3−√

3i Z3 = 4(cos π/4 + i sen π/4)

(i). (z1 z3) + z2 (Resp: 3.8− 9.5i) (ii). 5z1 +3

5z2 − 2z3

(iii). (z1

2

z3) (z2z3

) (iv). (z1 + z3)3

6. Encuentre las raıces indicadas de las numeros complejos dados, exprese los resultados en forma rectangulary grafique las raıces en el plano complejo

(a) Las raıces cubicas de z = 8 + 8i

(b) Las raıces cuadradas de z = 8 + 8√

3 i

(c) Las raıces quintas de z = −32i

(d) Las raıces cuadradas de z = −7 + 24i.

(e) Las raıces quintas de z = −16 + 16√

3 i

7. Sea z = (3− 6i)(4− ki), calcule el valor de k para que z sea un numero imaginario puro.

8. Sea z = (3− 6i)(4− ki), calcule el valor de k para que z sea un numero real.

9. Sea z = (5− 2i)(4− ki), calcule el valor de k para que z sea un numero imaginario puro.

10. Sea z = (3∠30◦)(3− ki), determine el valor de k para que z sea un numero imaginario puro.

11. Sea z = 3−ki1−i , calcule el valor de k de tal manera que arg(z) = π

4

12. Una raız cubica de un numero complejo es 1+ i. Halle dicho numero complejo y sus otras dos raıces cubicas.

13. De un pentagono regular centrado en el origen conocemos un vertice que es el punto (1,−√

3). Determinarlos retantes vertices.

MATRICES Y DETERMINANTES.

2

(a) Sean

A =

(−2 41 0

)B =

(2 −4−1 k

)Calcular el valor de k para que AB = BA.

(b) Obtener el valor de X de la expresion matricial siguiente, dadas las matrices

A =

2 1 5−2 1 04 1 1

B =

2 1 30 −2 70 0 1

i. Ecuacion:

X = A′B + 2A

ii. Ecuacion:X = (BA)′ − 2B

(c) Obtener la matrız X, de las ecuacones siguientes dada las matrices A, B.

i. X = A−1B +B−1A

ii. X = (AB)−1

Si

A =

(0 −11 2

)B =

(2 −10 2

)(d) Para a ∈ R y

A =

(1 a0 a2

)Calcular A2, A3.

(e) Dadas las matrices

A =

3 1 02 0 34 1 2

B =

2 44 52 7

C =

2 0 03 0 11 0 2

Calcular: A2, A ∗B, −3A+ 8C y A+ C(C −A)

(f) Mediante operaciones elementales transformar A en una matrız escalonada, e identificar el numero defilas no nulas (ese valor es el rango de una matrız)

A =

1 4 −12 5 31 10 −11

B =

3 11 45 −2

C =

(2 45 3

)(g) Calcular la matrız inversa de cada una de ellas.

A =

1 0 40 1 2−1 3 1

B =

2 1 00 1 32 1 1

C =

1 −1 00 1 02 0 1

3

(h) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo calculando ambos productos en las matrices.

A =

1 0 02 −1 22 2 1

B =

2 1 43 0 −14 −1 5

(i) Dadas la matrız

A =

1 1 10 1 10 0 1

Calcular: A2, A3, A4

(j) Dadas las matrices

A =

(3 −4−5 1

)B =

(7 −45 k

)Determinar el valor de k para que AB = BA.

(k) De la matriz A =

4 −1 01 0 1−1 a −2

Calcular el valor de a para que la matrız A sea singular, es decir, su determinante sea cero.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

(a) Se tiene el sistema de ecuaciones lineales siguiente

x+ z = 10

2x+ 3y = 17

3x+ 4y + z = 32

y ademas se sabe que la matrız de coeficientes A del sistema tienen como inversa:

A−1 =

3/2 2 −3/2−1 −1 1−1/2 −2 3/2

Calcular la solucion del sistema.

(b) Utilize el metodo de Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

4

i.

2x− 5y + 3z = 4

x− 2y + z = 3

5x+ y + 7z = 11

ii.

2x+ 3y + z = 1

3x− 2y − 4z = −3

5x− y − z = 4

iii.

2x+ y + z = 4

3x− y + z = −8

y − 7z = −8

iv.

3x+ 2y + 4z = 1

5x− y − 3z = −7

4x+ 3y + z = 2

(c) Aplicando el metodo de Crammer, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

i.

2x− y + z = 3

x+ y − 2z = −3

x+ 4y − 5z = −6

ii.

−5x+ 8y + 2z = 15

x+ 7y + 4z = −8

3x− 2y − z = −2

iii.

x+ y + z = 0

x− y + 3z = −1

x+ y + 9z = −2

iv.

4x− y + 5z = −25

7x+ 5y − z = 17

3x− y + z = −21

5

v.

x+ 2y = −2

10x− 5y + 9z = 48

y − z = −4

VECTORES.

1. Determine 2 vectores perpendiculares al vector (1, 1, 1) que no sean paralelos entre si.

2. Determine si alguno de los siguientes vectores es paralelo al vector 4i − 6j .

Respuesta Respuesta

a) −i − 32 j Si c) 2(i − j )− 3( 1

2 i −512 j ) No

b) 8i + 12j Si d) (5i + j )− (7i + 4j ) Si

3. Calcule c (si existe) para que ~u y ~w sean paralelos (utilice el producto cruz) de no ser asi justifiquelo.

Respuesta

a) ~u =5i + 3j ~w =2i + cj c = 65

b) ~u =2i − cj ~w =i + 4j c =−8

c) ~u =−ci + 5j ~w =8i − 2j c =20

d) ~u =− 12 i −

15 j ~w =−ci − 2j c =5

4. Dados u y w calcule:

i) u+ wii) u− wiii) 3u− 5wiv) −4u− 2wv) ‖ 3(u+ w)− 2(u− w) ‖

en los siguientes problemas.

a) u = i − j w = −i + 2j b) u = j w = 3i − 3jc) u = i + 1

2 j w = 35 i −

14 j d) u = 2i − 2

5 j w = − 13 i + 5j

e) u = 2i − j + 3k w = i − 2k f ) u = i − 4j + 2k w = −4i + 7j + 5k

5. Sea w el vector con direccion π4 y magnitud 2, y v el vector con direccion π

3 y magnitud 3. Calcule ‖ w ‖,‖ v ‖, w · v, el vector unitario en la direccion de v y el vector unitario en la direccion de w. Dibuje losvectores de cada inciso.

6

Respuesta

a) ‖ w ‖ 2b) ‖ v ‖ 3

c) w · v 3√2

2 + 3√6

2d) vector unitario en la

direccion de w(√

22 ,√22

)e) vector unitario en la

direccion de v(

12 ,√32

)6. Determine en cada problema las variables a, b y c para que se cumplan las ecuaciones:

Respuestaa b c

a) (8a, 2b, 13c) = (52, 12, 11) 132 6 11

13

b) (−4a, b,−3c) = (5,−6, 1) − 54 −6 − 1

3

c) ( 15a,−

23b,

47c) = (1

3 ,27 ,−

34 ) 5

3 − 37 − 21

16

7. Encuentre numeros a y b tales u = av + bw

Respuesta

a) u= i + j v= 2i − 3j w= i + 5j a= − 413 b= 5

13

b) u= i v= −2i + 4j w= 5i + 7j a= 534 b= 1

7

8. Los puntos A = (1, 2), B = (3, 4), C = (5, 1) forman un triangulo. Calcule el area del triangulo.

9. Determine en cada inciso si los puntos A, B y C son colineales.

Respuesta

A =(1,−2,−3) B =(2, 1, 0) C =(4, 7, 6) Si son colineales

A =(−5,−2, 4) B =(−3, 1, 5) C =(2, 5, 6) No son colineales

A =(1, 4, 5) B =(1, 3, 7) C =(−4, 1,−3) No son colineales

A =(0, 2, 3) B =(3, 4, 5) C =(−9,−4, 3) Si son colineales

10. Los siguientes puntos P = (0, 0), Q = (1, 1), R = (1, 5), S = (0, 6) forman un trapezoide. Calcule el area deesta figura utilizando el producto cruz.

11. Un avion vuela en lınea recta con vector de direccion 10i+6j +5k (en kilometros por hora). En un momentoel avion se encuentra en el punto (3, 4, 5).

(a) ¿En que posicion se encuentra 1 hora despues?

7

(b) ¿En que posicion se encuentra 1 minuto despues?

(c) ¿Cuanto tarda en subir 10 metros y en que posicion se encuentra?

(d) ¿Cuanto tarda en subir a una altura de 10 metros y en que posicion se encuentra?

ESPACIOS VECTORIALES.

1. Determinar si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre el campo de los numeros reales.

a) P5(X;R), el conjunto de los polinomios de grado 5 en la variable x con coeficientes reales y conla operaciones usuales de suma entre polinomios y el producto por escalar siguiente; si α ∈ R yf(x) ∈ P5(R) con f(x) = a5x

5 +a4x4 +a3x

3 +a2x2 +a1x+a0, entonces αf(x) = a5x

5 +a4x4 +a3x

3 +αa2x

2 + a1x+ a0.

b) El conjunto de las matrices 3 × 3 de coeficientes reales (M3×3(R)) con las siguientes operaciones, siA,B ∈M3×3(R) con

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

yB =

b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

, entoncesA⊕B :=

a11 − b11 a12 + b12 a13 − b13a21 + b21 a22 − b22 a23 + b23a31 − b31 a32 + b32 a33 − b33

.

Y si α ∈ R, entonces el producto por escalar esta definido como αA :=

αa11 a12 a13a21 αa22 a23a31 a32 αa33

c) R4 con las siguientes operaciones; si a, b ∈ R4 con a = (a1, a2, a3, a4) y b = (b1, b2, b3, b4), entonces a+

b := (a4+b1, a3−b2, a2+b3, a1−b1) y el producto por escalar queda definido por αa = (a1, a2, a3, αa4),si α ∈ R.

d) C−{0}, los numeros complejos menos el cero, con la el producto entre complejos y producto por escalarusuales, es decir; el producto entre complejos toma el papel de la suma de vectores y el producto porescalar es la multiplicacion de un nuemro real por uno complejo.

2. En las siguientes preguntas justifique su respuesta.

a) Si R3 es el R-espacio vectorial con las operaciones usuales y W es un sub-espacio vectorial de R3,entonces ¿ W puede constar solo de un elemento ?

b) Sea R2 el R-espacio vectorial con las operaciones usuales ¿ Toda recta que no pase por el origen es unsub-espacio vectorial de R2?

c) Si W es un sub-espacio vectorial de un espacio vectorial V , entonces ¿ W puede tener elementos que notengan inverso aditivo?

TRANSFORMACIONES LINEALES.

1. En los siguientes ejercicios demostrar o refutar que la funcion dada es una transformacion lineal(Todos losespacios vectoriales seran considerados con sus operaciones usuales).

i) T : R3 → R3 dad por T [(a, b, c)] = (−b,−c, a).

ii) T :M2×2(R)→ R4, dada por T

((a11 a12a21 a22

))= (a12, a22, a11, a21).

iii) T : P2(X;R)→ R3 donde, T (a2x2 + a1x+ a0) = (a2 + a1, a0, 0).

iv) TR→ R en donde T (x) = cosx.

8

Formulario basico de Fundamentos de Algebra NO OFICIAL

Numeros Complejos

Si z, w ∈ C con z = a+ ib y w = c+ id, entonces

1. z + w = (a+ c) + i(b+ d).

2. z · w = (ac− db) + i(ad− bc).

3. z = a− ib.

4. ||z||2 = a2 + b2.

5. zw = z·w

||w||2 .

6. z = ||z|| [cos(Arg(z)) + isen(Arg(z))], donde Arg(z) ∈ [0, 2π)

7. n√z = n

√||z||

[cos(Arg(z)+2kπ

n

)+ isen

(Arg(z)+2kπ

n

)].

Donde k = 0, 1, ..., (n− 1)

Espacios vectoriales.

Un espacio vectorial V sobre el campo escalar K, es un conjunto que contiene dos operaciones, una operacion“suma“ y un producto por escalar (V,+, ·) que satisface los siguientes axiomas.

1. u + v es un elemento de V (propiedad de cerradura bajo la suma)

2. u + v = v + u (propiedad de conmutatividad de la suma)

3. (u + v) + w = v + (u + w) (propiedad de asociatividad de la suma).

4. Existe un elemento en V denotado por 0, tal que 0 + u = u, para todo elemento u de V (propiedad delneutro aditivo).

5. Para todo u en V existe un elemento denotado −u tal que u + (−u) = u − u = 0 (propiedad del inversoaditivo).

6. α ·u es un elemento de V para todo α en K y para todo u en V (propiedad de cerradura bajo producto porreales).

7. α(u + v) = αu + αv (propiedad distributiva del producto real con respecto a la suma compleja).

9

8. (α+β)u = αu+βu (propiedad distributiva de la suama real con respecto al producto real con un complejo).

9. (αβ)u = α(βu)(asociatividad de la multiplicacion por numeros reales).

10. Para cada elemento u ∈ V 1u = u .

Ejemplo Sea V = R3, entonces se tiene que R3 es un espacio vectorial real con la suma y producto por unescalar clasicos.

EjemploEl conjunto de matrices n × m es un espaco vectorial real con las operaciones de suma y producto por un

numero real clasicas.

Sub-espacios Vectoriales

Definicion Sea V un espacio vectorial real y sea W un subconjunto de V diferente del vacio, entonces se diceque W es un SUB-ESPACIO VECTORIAL de V ; si W es un espacio vectorial real.

Proposicion Sea V un R espacio vectorial y W ⊂ V diferente del vacio, entonces W es un subespacio vectorialde V si y solo si: Dados −→u ,−→v ∈W y α ∈ R

1. −→u +−→v ∈W .

2. α−→v ∈W .

3.−→0 ∈W .

Ejemplo Si V = R2, entonces cualquier recta que pase por el origen es un subespacio vectorial de R2.

Ejemplo El conjunto de todas las matrices n×n reales triangulares (superiores o inferiores) es un sub-espaciovectorial del espacio vectorial de todas las matrices reales n× n.

Transformaciones Lineales

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el campo K, una funcion T : V →W es una transformacion Lineal sisatisface las siguientes propiedades.

1. T (a+ |V b) = T (a) + |WT (b). Para todo u, v ∈ V

2. T (α · |V a) = α · |WT (a)

Ejemplo Sea V = R3 y W = P (R)2(los polinomios de grado 2 de coeficientes reales). Sea T : R4 → P (R)2dada por T [(a, b, c)] = cx2 + bx + a, entonces T es una transformacion lineal. En efecto, sean u = (a1, b1, c1) yv = (a2, b2, c2) elementos de R3. Entonces

1.

T [u+ v] = T [(a1, b1, c1) + (a2, b2, c2)]

= T [(a1 + a2, b1 + b2,+c1 + c2)] = (c1 + c2)x2 + (b1 + b2)x+ (a1 + a2)

= c1x2 + c2x

2 + b1x+ b2x+ a1 + a2

= [c1x2 + b1x+ a1] + [c2x

2 + b2x+ a2]

= T [u] + T [v].

10

2. Sea α ∈ R y u = (a, b, c), entonces

T [α(u)] = T [α(a, b, c)] = T [(αa, αb, αc)]

= (αc)x2 + (αb)x+ (αc)

= α[cx2 + bx+ a]

= α · T [u].

Por lo que T es una transformacion lineal.

Lo que corresponde a matrices, sistemas de ecuaciones y vectores es responsabilidad del alumno

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