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Guia de ambos turnos para fundamentos de álgebra.
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GUIA DE ESTUDIOS PARA EL EXAMEN A TITULODE SUFICIENCIA DE FUNDAMENTOS DE ALGEBRA.
INSTRUCCIONES El conjunto de ejercicios que a continuacion se presenta tienen como objetivo propor-cionarte orientacion sobre los temas que debes estudiar para presentar el ETS de la asignatura ”Fundamentos deAlgebra”. Es importante que tengas en cuenta que los problemas que resuelvas d esta guıa no seran los mismosque se incluyen en el examen.
NUMEROS COMPLEJOS.
1. Efectue cada una de las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma rectangular.
(a)5− 2i
3− 4i+
10− i
4 + 3i(Resp. 6.8− 1.6i) (b)
i− i2 − i3 + i4
(1 + i)2(Resp. 1− i)
(c)(4 i11 − i2
1 + 2i
)(Resp. 3 + 4i) (d) 3
(1 + i
1− i
)3
− 2(1− i
1 + i
)2
(Resp. 2− 3i)
(e)3∠ 15◦ + (3∠ 20◦)3
(1 +√3 i)(2eiπ/2)
(Resp. 0− 27i) (f)(2− 2i)(4− 3i)
1− i(Resp. 8− 6i)
(g) (4 + 5i)−[(1
4+
2
3i)+(15− 3
2i)]
(Resp. 71/20 + 35/6i)
2. Simplificar cada una de las siguientes expresiones.
(i).i4 + i7 − i10
4− i5 + i8(’Resp: 0.42− 0.12i’)
(ii).(2 + i)(1− i)(−1 + i)
(−2 + 2i)2(’Resp: −0.5− 0.25i’)
(iii). (2− 2i)2[ 2√
2−√2i
− i√2 +
√2i
](’Resp: 2.83− 2.83i’)
3. Dados los numeros complejos Z1 = 4e2π/3 i, Z2 = 2∠ 60◦, Z3 = 1 + i. Calcule las siguientes operaciones yexprese los resultados en forma polar.
(a) Z =i25(Z3)
8
(Z2)5(Resp.Z =
1
2∠ 150◦) (b) Z =
2Z1 + 4Z3
Z1 Z2(Resp.Z = 1.4∠ 270◦)
1
4. Dados los numeros complejos, calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma rectangu-lar, polar y exponencial.
Z1 = 5eiπ/4 Z2 = 3∠ 15◦ Z3 = 2 + 4i
(a) Z = Z1 • Z2 • Z3 (Resp. 67.08 + 55.98i) (b) Z = Z1 + Z2 + Z3 (Resp. 8.42 + 8.3i)
(c) Z =Z1 − Z2
Z3(Resp. 0.61 + 0.14i) (d) Z =
(Z1)3
Z2(Z3)2
5. Para Z1, Z2, Z3 ∈ C, realizar las siguientes operaciones y expresarlas en forma rectangular, polar yexponencial.
Z1 = 2eiπ/6 Z2 =√3−
√3i Z3 = 4(cos π/4 + i sen π/4)
(i). (z1 z3) + z2 (Resp: 3.8− 9.5i) (ii). 5z1 +3
5z2 − 2z3 (Resp: 4.0 + 9.6i)
(iii). (z1
2
z3) (
z2z3
) (Resp: −0.17− 0.59i) (iv). (z1 + z3)3 (Resp: 49.11− 107.97i)
6. Encuentre las raıces indicadas de las numeros complejos dados, exprese los resultados en forma rectangulary grafique las raıces en el plano complejo
(a) Las raıces cubicas de z = 8 + 8i
(b) Las raıces cuadradas de z = 8 + 8√3 i
(c) Las raıces quintas de z = −32i
(d) Las raıces cuadradas de z = −7 + 24i. (Resp. w0 = 2 + i,w1 = −1 + 2i,w2 = −2− i w3 = 1− 2i)
(e) Las raıces quintas de z = −16 + 16√3 i (Resp. w0 = 1.8 + 0.8i, w1 = −0.2 + 2i,w2 = −1.9 + 0.4i,
w3 = −1− 1.7i, w4 = 1.3− 1.4i)
7. Sea z = (3− 6i)(4− ki), calcule el valor de k para que z sea un numero imaginario puro. (Resp. k = 2)
8. Sea z = (3− 6i)(4− ki), calcule el valor de k para que z sea un numero real. (Resp. k = −8)
9. Sea z = (5− 2i)(4− ki), calcule el valor de k para que z sea un numero imaginario puro. (Resp. k = 10)
10. Sea z = (3∠30◦)(3− ki), determine el valor de k para que z sea un numero imaginario puro.
11. Sea z = 3−ki1−i , calcule el valor de k de tal manera que arg(z) = π
4 (Resp. k = 0)
12. Una raız cubica de un numero complejo es 1+ i. Halle dicho numero complejo y sus otras dos raıces cubicas.(Resp. z = −2 + 2i, w0 = 1 + i w1 = −1.36 + 0.36i, w2 = 0.36− 1.36i)
2
13. De un pentagono regular centrado en el origen conocemos un vertice que es el punto (1,−√3). Determinar
los retantes vertices.
MATRICES Y DETERMINANTES.
(a) Sean
A =
(−2 41 0
)B =
(2 −4−1 k
)Calcular el valor de k para que AB = BA.Respuesta: k = 0
(b) Obtener el valor de X de la expresion matricial siguiente, dadas las matrices
A =
2 1 5−2 1 04 1 1
B =
2 1 30 −2 70 0 1
i. Ecuacion:
X = A′B + 2A
Respuesta:
X =
8 8 6−2 1 1118 7 18
ii. Ecuacion:
X = (BA)′ − 2B
Respuesta:
X =
10 30 −26 9 −1313 7 −1
(c) Obtener la matrız X, de las ecuacones siguientes dada las matrices A, B.
i. X = A−1 B +B−1 A
ii. X = (AB)−1
Si
A =
(0 −11 2
)B =
(2 −10 2
)Respusta:
(a)X =
(17/4 0−3/2 2
)(b)X =
(3/4 1/2−1/2 0
)
3
(d) Para a ∈ R y
A =
(1 a0 a2
)Calcular A2, A3.
Respusta:
(a)A2 =
(1 a+ a3
0 a4
)(b)A3 =
(1 a+ a3 + a5
0 a6
)(e) Dadas las matrices
A =
3 1 02 0 34 1 2
B =
2 44 52 7
C =
2 0 03 0 11 0 2
Calcular: A2, A ∗B, −3A+ 8C y A+ C(C −A)
Respuestas:
A2 =
11 3 318 5 622 6 7
AB =
10 810 2316 23
−3A+ 8C =
7 −3 018 0 −1−4 −3 10
A+ C(C −A) =
1 −1 0−4 −4 3−3 −2 2
(f) Mediante operaciones elementales transformar A en una matrız escalonada, e identificar el numero de
filas no nulas (ese valor es el rango de una matrız)
A =
1 4 −12 5 31 10 −11
B =
3 11 45 −2
C =
(2 45 3
)Respuesta:
A =
1 4 −10 −3 50 0 0
B =
1 40 −110 0
C =
(1 20 −7
)Todas tienen rango 2.
(g) Calcular la matrız inversa de cada una de ellas.
A =
1 0 40 1 2−1 3 1
B =
2 1 00 1 32 1 1
C =
1 −1 00 1 02 0 1
Respuesta:
A =
5 −12 42 −5 2−1 3 −1
B =
−1 −0.5 1.53 1 −3−1 0 1
C =
1 1 00 1 0−2 −2 1
4
(h) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo calculando ambos productos en las matrices.
A =
1 0 02 −1 22 2 1
B =
2 1 43 0 −14 −1 5
(i) Dadas la matrız
A =
1 1 10 1 10 0 1
Calcular: A2, A3, A4
Respuestas:
A2 =
1 2 30 1 20 0 1
A3 =
1 3 60 1 30 0 1
A4 =
1 4 100 1 40 0 1
(j) Dadas las matrices
A =
(3 −4−5 1
)B =
(7 −45 k
)Determinar el valor de k para que AB = BA.Respuesta: k = 9
(k) De la matriz A =
4 −1 01 0 1−1 a −2
Calcular el valor de a para que la matrız A sea singular, es decir, su determinante sea cero.
Respuestas: a = −1/4
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
(a) Se tiene el sistema de ecuaciones lineales siguiente
x+ z = 10
2x+ 3y = 17
3x+ 4y + z = 32
y ademas se sabe que la matrız de coeficientes A del sistema tienen como inversa:
A−1 =
3/2 2 −3/2−1 −1 1−1/2 −2 3/2
5
Calcular la solucion del sistema.Respuesta: x = 1, y = 5, z = 9
(b) Utilize el metodo de Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
i.
2x− 5y + 3z = 4
x− 2y + z = 3
5x+ y + 7z = 11
Respuesta:x = 5, y = 0, z = −2
ii.
2x+ 3y + z = 1
3x− 2y − 4z = −3
5x− y − z = 4
Respuesta:x = 1, y = −1, z = −2
iii.
2x+ y + z = 4
3x− y + z = −8
y − 7z = −8
Respuesta:x = 2, y = −1, z = 1
iv.
3x+ 2y + 4z = 1
5x− y − 3z = −7
4x+ 3y + z = 2
Respuesta:x = −1, y = 2, z = 0
(c) Aplicando el metodo de Crammer, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
i.
2x− y + z = 3
x+ y − 2z = −3
x+ 4y − 5z = −6
Respuesta:x = 1, y = 2, z = 3
ii.
−5x+ 8y + 2z = 15
x+ 7y + 4z = −8
3x− 2y − z = −2
Respuesta:x = −1, y = 3, z = −7
6
iii.
x+ y + z = 0
x− y + 3z = −1
x+ y + 9z = −2
Respuesta:x = 0, y = 1/4, z = 1/4
iv.
4x− y + 5z = −25
7x+ 5y − z = 17
3x− y + z = −21
Respuesta:x = −4, y = 9, z = 0
v.
x+ 2y = −2
10x− 5y + 9z = 48
y − z = −4
Respuesta:x = 2, y = 2, z = 2
VECTORES.
1. Determine 2 vectores perpendiculares al vector (1, 1, 1) que no sean paralelos entre si.
Respuesta: Los vectores son (a, b, c) = (1, 1,−2) y (u, v, w) = (−1, 0, 1)
2. Determine si alguno de los siguientes vectores es paralelo al vector 4i − 6j .
Respuesta Respuesta
a) −i − 32 j Si c) 2(i − j )− 3( 12 i −
512 j ) No
b) 8i + 12j Si d) (5i + j )− (7i + 4j ) Si
3. Calcule c (si existe) para que ~u y ~w sean paralelos (utilice el producto cruz) de no ser asi justifiquelo.
Respuesta
a) ~u =5i + 3j ~w =2i + cj c =65
b) ~u =2i − cj ~w =i + 4j c =−8
c) ~u =−ci + 5j ~w =8i − 2j c =20
d) ~u =−12 i −
15 j ~w =−ci − 2j c =5
7
4. Dados u y w calcule:
i) u+ wii) u− wiii) 3u− 5wiv) −4u− 2wv) ‖ 3(u+ w)− 2(u− w) ‖
en los siguientes problemas.
a) u = i − j w = −i + 2j b) u = j w = 3i − 3jc) u = i + 1
2 j w = 35 i −
14 j d) u = 2i − 2
5 j w = −13 i + 5j
e) u = 2i − j + 3k w = i − 2k f ) u = i − 4j + 2k w = −4i + 7j + 5k
Respuesta
i) j i) 3i − 2j i) 85 i +
14 j
ii) 2i − 3j ii) −3i + 4j ii) 114 j
a) iii) 8i − 13j b) iii) −15i + 18j c) iii) −265 i − 3
2
iv) −2i iv) −6i + 2j iv) 205 i − 3
4 j
v)√117 v)
√421 v)
√6625400
i) 53 i +
235 j i) 3i − j + k i) −3i + 3j + 7k
ii) 73 i −
275 j ii) i − j + 5k ii) 5i − 11j − 3k
d) iii) 233 i − 131
5 j e) iii) i − 3j + 19k f ) iii) 23i − 47j − 19k
iv) −223 i − 42
5 j iv) −10i + 4j − 8k iv) 4i + 2j − 18k
v)√
136186225 v) 3
√11 v)
√2051
5. Sea w el vector con direccion π4 y magnitud 2, y v el vector con direccion π
3 y magnitud 3. Calcule ‖ w ‖,‖ v ‖, w · v, el vector unitario en la direccion de v y el vector unitario en la direccion de w. Dibuje losvectores de cada inciso.
Respuesta
a) ‖ w ‖ 2b) ‖ v ‖ 3
c) w · v 3√2
2 + 3√6
2d) vector unitario en la
direccion de w(√
22 ,
√22
)e) vector unitario en la
direccion de v(
12 ,
√32
)6. Determine en cada problema las variables a, b y c para que se cumplan las ecuaciones:
8
Respuestaa b c
a) (8a, 2b, 13c) = (52, 12, 11) 132 6 11
13
b) (−4a, b,−3c) = (5,−6, 1) −54 −6 − 1
3
c) ( 15a,−23b,
47c) = ( 13 ,
27 ,−
34 )
53 − 3
7 −2116
7. Encuentre numeros a y b tales u = av + bw
Respuesta
a) u= i + j v= 2i − 3j w= i + 5j a= − 413 b= 5
13
b) u= i v= −2i + 4j w= 5i + 7j a= 534 b= 1
7
8. Los puntos A = (1, 2), B = (3, 4), C = (5, 1) forman un triangulo. Calcule el area del triangulo.
9. Determine en cada inciso si los puntos A, B y C son colineales.
Respuesta
A =(1,−2,−3) B =(2, 1, 0) C =(4, 7, 6) Si son colineales
A =(−5,−2, 4) B =(−3, 1, 5) C =(2, 5, 6) No son colineales
A =(1, 4, 5) B =(1, 3, 7) C =(−4, 1,−3) No son colineales
A =(0, 2, 3) B =(3, 4, 5) C =(−9,−4, 3) Si son colineales
10. Los siguientes puntos P = (0, 0), Q = (1, 1), R = (1, 5), S = (0, 6) forman un trapezoide. Calcule el area deesta figura utilizando el producto cruz.
Respuesta: 5 unidades cuadradas.
11. Un avion vuela en lınea recta con vector de direccion 10i+6j +5k (en kilometros por hora). En un momentoel avion se encuentra en el punto (3, 4, 5).
(a) ¿En que posicion se encuentra 1 hora despues?
(b) ¿En que posicion se encuentra 1 minuto despues?
(c) ¿Cuanto tarda en subir 10 metros y en que posicion se encuentra?
(d) ¿Cuanto tarda en subir a una altura de 10 metros y en que posicion se encuentra?
Respuesta:
(a) (13, 10, 10)
(b) (3.166 , 4.1, 5.083)
(c) Tarda 2 horas y se encuentra en la posicion (23, 16, 15).
(d) Tarda 1 hora y se encuentra en la posicion (13, 10, 10)
9