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Guía para preparar el ETS de la materia de Variable Compleja y Transformada Z
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Lista de ejercicios para el ETS de VariableCompleja y Transformada de F y Z
Yoram Astudillo Baza ∗, Mohamed Badaoui ∗
Instituto Politecnico Nacional
I. Representa los siguientes numeros complejos en la forma Polar:
1. (−√
3 + i)9
2. (−√
3− i)−5
3.1 + i
1 +√
3i
II. Escriba los siguientes numeros complejos en la forma a+ ib donde a y b son numeros reales.
4. (12
+√
32i)3
5. i12 + i25 − 7i111
6. (3 + 4i)12(1 + i)−12
III. Encuentre la parte real e imaginaria de los siguientes numeros complejos:
7. (1 + i)30
8. (cos( π12
) + sen( π12
))170
9.−i
(1 + i)5
IV. Pruebe que
10.
(1 + i tan(θ)
1− i tan(θ)
)n=
1 + i tan(nθ)
1− i tan(nθ)
donde n es un entero natural.
V. Describa el conjunto de puntos del plano complejo que satiface cada una de las siguientesecuaciones:
11. | z − 4 |= 3
12. | z − 1 | + | z + 1 |= 4
13. | z − 3 |=| z − 5 |
∗Academıa de Matematicas del Departamento de Ingenierıa Electrica
VI. Si | z |≤ 1
2, pruebe que:
14. 47≤ 1|z2+z+1| ≤ 4
VII. Resuelva la siguientes ecuaciones:
15. z5 = −30
16. (z + 2)3 = 3i
17. z2 − 2(1 + i)z + i = 0
VIII. Encuentre la imagen f [S] bajo la inversion f(z) =1
zen cada uno de los siguientes casos:
18. S = z : 0 <| z |≤ 119. S =
z : 0 <| z |≤ 3, π
3≤ Arg(z) ≤ 2π
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IX. Justifique que los siguientes limites no existen:
20. limz→0
z
z
21. limz→0
z
| z |
22. limz→0
Re(z)
| z |2
X. Determine u(x, y) y v(x, y) tales que f(z) = u+ vi
23. f(z) = 2z2 − 3iz
24. (z) = z +1
z
25. f(z) =1− z1 + z
26. f(z) = e3iz
27. f(z) = cos (z)
28. f(z) = z2e2z
XI. Son analıticas las siguientes funciones?
29. z2
30. ez2
31. z Re(z)
32. | z |33. senh (4z)
34. cos (z)
XII. Supongamos que f(z) y f(z) son analıticas en una region Ω.
35. Pruebe que f(z) es constante en Ω
1
1Academıa de Matematicas del Departamento de Ingenierıa Electrica
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XIII. Clasifique las singularidades de las siguinetes funciones:
36.1
z sen(z)
37. e
z
sen(z)
38.z
z4 − 1− sen(2z)
z4
XIV. Determine la exapansion en Serie de Laurent de
f(z) =z
(z − 1)(2− z)
valida para
39. | z |< 1
40. 1 <| z |< 2
41. | z |> 2
42. | z − 1 |> 1
43. 0 <| z − 2 |< 1
XV. Evaluar
44.
∮C
dz
z − 2− ialrededor de cualquier contorno C que contenga al punto z = 2 + i
45.
∮C
1 + 2z
z2 + 3izdz donde C es el circulo dado por | z + 3i |= 2
46.
∮C
2z
(z − 1)(z + 2)(z + i)dz donde C es un contorno que incluye los puntos
z = 1, z = −2 y z = −i
47.
∮C
z4
(z − 1)3dz donde C es un contorno que encierra al punto z = 1
XVI. Obtenga la expansion en Serie de Fourier de la siguientes funciones periodicas con periodo 2π.
48. f(t) =| t |, (−π < t < π)
49. f(t) = cos( t2), (−π < t < π)
50.
f(t) =
π2 si −π < t < 0;(t− π)2 si 0 < t < π.
Utilice el resultado de la Serie de Fourier para probar que:
51.∞∑n=1
1
n2=
1
6π2
52.∞∑n=1
(−1)n+1
n2=
1
12π2
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2Academıa de Matematicas del Departamento de Ingenierıa Electrica
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53.
f(t) =
5 sen (t) si 0 < t < π;0 si π < t < 2π.
54.
f(t) =
0 si −π < t < −1
2π;
2 cos (t) si −12π < t < 1
2π;
0 si 12π < t < π.
XVII. Encuentre la tranformada Z de las siguientes sucesiones:
55. cos(kπ)56. sen(kωT ) ω, T constantes
XVIII. Encuentre
57. Z −1
[z
z2 + 1
]58. Z −1
[2z
2z2 + z − 1
]XIX. Utilizando el metodo de la transformada Z resuelva la siguiente ecuacion en diferencias:
59. yk+2 − 5yk+1 + 6yk = (12)k sujeta a y0 = y1 = 0.
60. yk+2 − 2yk+1 + yk = 0 sujeta a y0 = 0, y1 = 1.
61. 2yk+2 − 3yk+1 − 2yk = 6k + 1 sujeta a y0 = 1, y1 = 2.
62. yk+2 − 4yk = 3k − 5 sujeta a y0 = y1 = 0.
XX. Encuentre la transformada de Fourier F de las siguientes funciones:
63.t
9 + t2
64. 6H(t)te−2t
65. t [H(t+ 1)−H(t− 1)]
66. 4H(t− 2)e−3t cos(t− 2)
XXI. Encontrar la transformada inversa de Fourier F−1 de las siguientes funciones:
67.1
1 + iw2
68.1
(1 + iw)(2 + iw)
69.1
(4 + w2)(9 + w2)
70.1 + iw
6− w2 + 5iw
XXII. Utilizando el metodo de la transformada de Fourier Resuelva
71. y′(t)− 4y(t) = H(t)e−4t
72. y′′(t) + 6y′(t) + 5y(t) = δ(t− 3) donde δ es la funcion delta de Dirac.
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3Academıa de Matematicas del Departamento de Ingenierıa Electrica
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