Guia Geometria Analitica Cecyte

GeometraAnaltica

Clemente Mora GonzlezJefe del Departamento de Fomento Editorial

Leticia Mejia GarcaCoordinadora de Fomento Editorial

Miguel Antonio Gonzlez VidalesGestin Administrativa

Ulises Ramrez HernndezCoordinador de Diseo Grfico

DIRECCIN GENERALAv. Panam #199 Esquina con Buenos Aires.Col. Cuauhtmoc SurTels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08

Correo Electrnico: [email protected] Web: www.cecytebc.edu.mx

CICLO ESCOLAR 2011-2Prohibida la reproduccin total o parcialde esta obra incluido el diseo tipogrficoy de portada por cualquier medio,electrnico o mecnico, sin el consentimientopor escrito del editor.

GESTINDITORIAL

Nota:Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presentedocumento, le agradecemos hacernos llegar sus comentarios o aportacionesa los siguientes correos:

[email protected]@cecytebc.edu.mx

Jos Guadalupe Osuna MillnGobernador del Estado

de Baja California

Javier Santilln PrezSecretario de Educacin

y Bienestar Social del Estado

CECYTE BC

Hctor Montenegro EspinozaDirector General

Olga Patricia Romero CzaresDirectora de Planeacin

Argentina Lpez BuenoDirectora de Vinculacin

Jess Gmez EspinozaDirector Acadmico

Ricardo Vargas RamrezDirector de Administracin y Finanzas

Alberto Caro EspinoJefe del Departamento de Docencia

MUNICIPIO DE MEXICALI

Cristina de los ngeles Cardona RamrezDirectora del Plantel Los Pinos

Carlos Zamora SerranoDirector del Plantel Bella Vista

Jess Ramn Salazar TrillasDirector del Plantel Xochimilco

Rodolfo Rodrguez GuillnDirector del Plantel Compuertas

Humberto Ignacio Ibarra VelazcoDirector del Plantel Misiones

Francisco Javier Cabanillas GarcaDirector del Plantel Vicente Guerrero

Cristopher Diaz RiveraDirector del Plantel San Felipe

MUNICIPIO DE TIJUANA

Martha Xchitl Lpez FlixDirectora del Plantel El Florido

Mara de los ngeles Martnez VillegasDirectora del Plantel Las guilas

Jorge Ernesto Torres MorenoDirector del Plantel Zona Ro

Rigoberto Gernimo Gonzlez RamosDirector del Plantel Villa del Sol

Joel Chacn RodrguezDirector del Plantel El Pacfico

Efran Castillo SarabiaDirector del Plantel El Nio

Benito Andrs Chagoya MorteraDirector del Plantel Cachanilla

Gabriel Valdz ManjarrezDirector del Plantel Altiplano

Juan Martn Alcibia MartnezDirector del Plantel la Presa

MUNICIPIO DE ENSENADA

Alejandro Mungarro JacintoDirector del Plantel Ensenada

Emilio Rios MaciasDirector del Plantel San Quintn

MUNICIPIO DE ROSARITO

Manuel Ignacio Cota MezaDirector del Plantel Primo Tapia

Hctor Rafael Castillo BarbaDirector del Plantel Rosarito Bicentenario

MUNICIPIO DE TECATE

Oscar Ambrz SalinasDirector del Plantel Tecate

DIRECTORIO

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO

Jvenes Estudiantes de CECYTE BC:

La educacin es un valuarte que deben apreciar durantesu estancia en el Colegio de Estudios Cientficos y Tecnolgicosdel Estado de Baja California, dado la formacin y calidadeducativa que les ofrece la Institucin y sus maestros.

Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estadohace para brindarles educacin media superior, a fin de queen lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y seconviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso,con la visin que tiene nuestra entidad en el plano nacional.

Esta administracin tiene como objetivo crear espaciosy condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, elcampo laboral tenga profesionistas tcnicos de acuerdo al perfilde la industria que cada da arriba a nuestra entidad; por loque los invito a ser mejores en sus estudios, en su familiay en su comunidad.

En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicacin quecaracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacionalque habr de marcar la pauta de nuestro desarrollo.ComoGobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadoresde los futuros profesionistas tcnicos que saldrnde CECYTE BC.

Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos,para brindar y recibir una mejor educacin en Baja California,ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial yeconmico, y factor importante del progreso de Mxico.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIN

Alumno de CECYTE BC:

La educacin es una herramienta que aumenta tus oportunidades dedesarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidadesde progreso econmico y social.

Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asumecon responsabilidad su compromiso con los jvenes en la tarea decrear espacios educativos en el nivel medio superior y ofrecerlesprogramas de estudios tecnolgicos, que les permitan integrarse concompetencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores.

El Colegio de Estudios Cientficos y Tecnolgicos del Estado de BajaCalifornia, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de estaInstitucin, los estudiantes pueden encontrar el camino de lasuperacin y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan paraforjar su futuro.

Entre esos apoyos se encuentran la publicacin y entrega de estematerial educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo deque lo utilices en beneficio de tus estudios.

La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridadesaducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institucinen un modelo para la formacin de generaciones de profesionistastcnicos que demanda la indusdustria especializada que se asientaen la regin.

Adems de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamientode los padres de familia con la escuela, como una accin tendientea fortalecer los vnculos que deben existir entre ellos, los docentesy administrativos en el proceso educativo, que es una responsabilidadcompartida.

Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel deCECYTE BC, y te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedada travs de la Administracin Estatal y utilices con pertinencia losmateriales que se te otorgan para apoyar tu formacin profesional.

Hctor Montenegro EspinozaDIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

Atentamente

PRESENTACIN

El libro que tienes en tus manos representa un importanteesfuerzo del Colegio de Estudios Cientficos y Tecnolgicos delEstado de Baja California, que a travs de sus academias deprofesores te proporciona material de calidad para el estudio delas distintas asignaturas que cursars en tu preparacin comoBachiller Tcnico.

Los contenidos corresponden a los programas establecidos paracada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integralde la educacin media superior, y enriquecidos por lascompetencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.

Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, anlisis yhabilidades que debers de poner en prctica en tu vida diaria,convertida en una accin educativa ms, que el Colegio te ofrecepara obtener una mejor formacin acadmica.

Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a estaobra, que fue diseada especialmente para lo ms preciado delColegio: sus Alumnos.

gradecimiento

Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos deCECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edicin de estasGuas de Aprendizaje Bsicas y Material Didctico.

El Colegio

MANUAL DE QUMICA I

Mario Bez VzquezAPOYO INSTITUCIONAL DIRECCINDE VINCULACIN

LGEBRA

Andrs Sarabia LeyCOORDINADOR DEL COMPONENTE PROPEUDUTICOKarla Grisel Duarte SarabiaCOLABORADORA

INGLS I y V

Vernica Murillo EsquiviasDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASBlanca Beln Torres MedinaDOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOSAdriana Ceras MoralesDOCENTE GRUPO PORTALESArturo Snchez MariscalDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAJoaqun Alberto Pineda MartnezDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAManuel Arvizu RuzDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTACsar Quintero HernndezDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

QUMICA I

Aid Araceli Pedraza MendozaDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASJuana Ramrez RodrguezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOSal Torres AcuaDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

TICs

Alma Delia Valenzuela MrquezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOMelchizedec Romero GonzlezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOOscar David Bustos TorresDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCORoberto Rosales ZepedaDOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

CTSyV I

Diana Fernndez SerranoDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADAOmar Romero RoblesDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADASusana Prez CorreaDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADAJessica Melig NezDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

LEOyE I

Cecilia Armida Ante NavarroDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASGabriela rnelas BravoDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

CLCULO INTEGRAL

Manuel Norberto Quiroz OrtegaDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTASilvia Elisa Inzunza OrnelasDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAEloisa Morales CollinDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASIsmael Castillo OrtzDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

GEOMETRA ANALTICA

Emma Ayala RodrguezDOCENTE DEL PLANTEL MISIONESAntonio Caro EspinoDOCENTE GRUPO PORTALESMario Alberto Curiel PonceDOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

INGLS III

Vernica Murillo EsquiviasDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASAdriana Cera MoralesDOCENTE GRUPO PORTALES

BIOLOGA

Aid Pedraza MendozaDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASClara Anglica Rodrguez SnchezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASEvelia Escalante GmezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

CTSyV II

Blanca Azucena Casillas CortzDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOBlanca Delia Romn PalomaresDOCENTE DEL PLANTEL MISIONESMartha Celia Romn PalomaresDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

FSICA II

Javier Iribe MendozaDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAMara Del Carmen Equihua QuinezDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAGilberto Mndez FierrosDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASAlvaro Soto EscalanteDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAIsrael Cruz MuozDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

CTSyV III

Clara Anglica Rodrguez SnchezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASMartha Moreno RamrezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASDavid A. Rodrguez CarrascoDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

COORDINACIN Y REVISIN ACADMICA

Maria Elena Padilla GodoyCOORDINADORA DE FORMACIN VALORALAlberto Caro EspinoJEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA

13

NDICE AGRADECIMIENTOS OBJETIVO GENERAL...14 INTRODUCCIN A LA GEOMETRA ANALTICA...15

1. Antecedentes Histricos. 2. Sistemas de Coordenadas Cartesianas. 3. Localizacin de puntos en el plano. 4. Distancia entre dos puntos. 5. Divisin de un segmento. 6. rea de un polgono.

LINEA RECTA.29

1. Definicin. 2. Formas de la ecuacin de la lnea recta (punto pendiente, simtrica, pendiente-

ordenada al origen y normal, General). 3. Grafica de una lnea recta.

CIRCUNFERENCIA....58

1. Definicin y elementos caractersticos. 2. Formas de la ecuacin de la circunferencia (ordinaria con centro C (0,0), con

centro C (h, k) y General). ANTECEDENTES DE LAS CNICAS PARBOLA..80


centro C (h, k) y General). ELIPSE100

1. Definicin y elementos caractersticos. 2. Formas de la ecuacin de la circunferencia (ordinaria con centro C (0,0), con centro

C (h, k) y General). HIPERBOLA..126


centro C (h, k) y General). BIBLIOGRAFA.153

14

OBJETIVO GENERAL

El objetivo General del presente trabajo es ayudar al estudiante del tercer semestre de Geometra Analtica a comprender de qu manera se relaciona esta asignatura con su entorno, con las actividades que realiza y consigo mismo.

La Geometra Analtica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razn por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo ser humano.

La Ecuacin de la Recta, La Ecuacin de la Circunferencia, La Ecuacin del Elipse, La Ecuacin de la Parbola y La Ecuacin de la Hiprbola en sus diferentes representaciones (en el origen, fuera del origen y su forma general), son las cinco grandes temticas en torno a las cuales se centrarn las actividades de aprendizaje en este curso.

La Geometra Analtica, estudia las figuras geomtricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geomtricos por mtodos algebraicos, donde las coordenadas se representan por grupos numricos y las figuras por ecuaciones, en base a esto abordaremos las temticas anteriores partiendo de esta definicin.

Esperamos que la presente gua contenga el material bsico para el desarrollo de este curso, bienvenidos!

15

Nombre INTRODUCCIN A LA GEOMETRA No. I Instrucciones

para el alumno

Lee detenidamente y analiza la informacin que a continuacin se presenta. Si se presenta alguna duda aclararla con el profesor.

Saberes a

adquirir

Antecedentes Histricos Sistemas de

Coordenadas Cartesianas

Localizacin de puntos en el plano

Distancia entre dos puntos

Divisin de un segmento rea de un polgono

Maneras

didcticas de lograrlo.

A travs de

exposiciones y ejercicios

1.- Antecedentes Histricos

La historia de las matemticas considera al francs Ren Descartes como el fundador del sistema matemtico moderno y por lo tanto padre de la geometra analtica. Definicin:

La geometra analtica es la parte de las matemticas que establece una conexin entre el algebra y la geometra euclidiana, y en la cual se estudian figuras geomtricas referidas a un sistema de coordenadas. 2.- Sistema de coordenadas

El sistema de coordenadas cartesianas divide un plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes segn se muestra en la figura, con dos ejes graduados que se cortan perpendicularmente, el eje de las x llamadas tambin abscisas y el eje de las y llamadas tambin ordenadas.

Las coordenadas de los puntos localizados en el primer cuadrante, son positivos, en el segundo cuadrante los

Saberes

16

puntos son, su abscisa negativa y su ordenada positiva, las dos coordenadas del tercer cuadrante son negativas, en el cuarto cuadrante los puntos son, su abscisa es positiva y su ordenada es negativa. 3.- Localizacin de puntos en el plano

Cada punto que se localiza en un sistema de coordenadas cartesianas, tiene sus dos valores de referencia (x, y) su abscisa y su ordenada, dependiendo de su signo se determina el cuadrante en el que ser localizado como se muestra en la figura superior.

Localizar el punto A (-3, 1) El primer nmero del par ordenado indica el desplazamiento horizontal con respecto al cero (-3). El segundo nmero del par ordenado indica el desplazamiento vertical con respecto al cero (1)

17

INSTRUCCIONES: Localiza en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos e indica en que cuadrante se encuentran. A (-2,3) B ( 2,-3) C (2,3) D (-2,-3) E (0,5) F (5,0) G (4,4) H (-4,4)

4.- Distancia entre dos puntos

Cada punto localizado en un sistema de coordenadas unido a otro punto, representa una ecuacin con dos variables (x, y), al despajar una de las dos variables, podemos representar una recta que satisface a dicha ecuacin.

4.1.- Distancia dirigida

La distancia puede ser positiva o negativa dependiendo del sentido. Pero como se toma su valor absoluto la distancia es siempre positiva. Dado los puntos P1 y P2 en la recta numrica

0-1 -2 -3 -4 -6 -5 1 2 3 4 5 6

P1 P2

18

La distancia dirigida de P1 a P2 es 9: P1P2 = 3 (-6) = 9

La distancia dirigida de P2 a P1 es -9: P2P1 = -6- 3 =-9

Cuando no consideramos el sentido, hablamos simplemente de distancia entre los

puntos. El valor absoluto de la distancia no dirigida entre los puntos, es la distancia entre ellos.

1221 xxPP 2112 xxPP

La distancia entre P1 y P2 es 9: 99;99 1221 PPPP

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas:

Horizontal Si los valores de y

son iguales

Vertical Si los valores de x

son iguales

Inclinada Cuando los valores de x y y son diferentes

12 xxd 12 yyd 212212 )()( yyxxd

Donde: d = distancia Distancia entre dos puntos en un plano Sean A1 (x1, y1) y B2 (x2, y2) dos puntos en el plano, as como tambin el segmento de recta 21 PP

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, stas se interceptan en el punto R, determinado el tringulo rectngulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el teorema de Pitgoras:

19

2221221 )()( RPRPPP Pero 122121221221 y yyRPxxRPdondePPPP Sustituyendo los datos anteriores tenemos:

212212221 yyxxPP Sacamos la raz cuadrada de ambos lados

21221221 yyxxPP Por lo tanto la distancia entre los puntos P1 y P2 est dada por:

21221221 yyxxPPd

1.- Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 (-3,2) y P2 (5,2) Observamos que las ordenadas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula: 12 xxd

ud

d

d

xxd

88

35

)3(512

2.- Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 (0,5) y P2(0,-3) Observamos que las abscisas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula: 12 yyd

udd

d

yyd

88

5312

20

3.- Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A (-3, -2) y B (2,4) Observamos que las x y y son diferentes, por lo tanto utilizamos la frmula:

21221221 yyxxPPd

udd

d

d

d

d

yyxxd

81.7613625)6()5(

2432

)2(4)3(2

)2(4)3(2

)2(4)3(2

22

22

22

22

22

212

212

INSTRUCCIONES: Encuentra la distancia entre los pares de puntos cuyas coordenadas se indican. 1) )5,12(y )3,7(

2) )11,1(y )4,7(

3) )1,6(y )8,2(

4) )2,2(y )6,2(

21

5.- Divisin de un segmento Coordenadas de un punto que divide un segmento en una razn dada Para determinar las coordenadas (x, y) de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y

B (x2, y2) en la razn PBAPr , se aplica las

siguientes frmulas: Coordenadas

Abscisa Ordenada

rrxxx

1 21 rryyy

1 21

Cuya representacin grafica se observa en la figura.

Hallar las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A y B, y encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son A (1, 1) y B

(11,6) en una razn de 32r

Aplicamos las frmulas

rrxxx

1 21 rryyy

1 21 Sustituyendo los datos: x1 =1 y1 = 1, x2 =11 y2 = 6

5)5)(3()3(25

35325

35

3221

321

)11(32)1(

x

x

x

3)5)(3()3(15

353

15

35

3121

321

)6(32)1(

y

y

y

Por lo tanto tenemos que las coordenadas del punto P son: P(5, 3)

22

Punto medio El punto medio (Pm) es un caso particular de la divisin de un segmento en una razn

dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, obtenemos las frmulas para calcular el punto medio:

221 xxxm

2 21yyym

Por lo tanto las coordenadas del punto medio son: ),( mmm yxP

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento rectilneo cuyos extremos son P1 (4, 2) P2 (3, 4) Aplicamos las frmulas 2

21 xxxm

221 yyym

Sustituyendo los datos x1 =4 y1 = -2, x2 =3 y2 = 4

5.327

234

221

m

m

m

m

x

x

x

xxx

122

242

221

m

m

m

m

y

y

y

yyy

Por lo tanto tenemos que las coordenadas del punto medio son: )1,5.3(mP

P2(x2 ,y2)

P1(x1 ,y1)

Pm (xm ,ym)

23

INSTRUCCIONES: encuentra las coordenadas del P(x, y) que divida al segmento cuyos extremos son los puntos A y B y se encuentra a una razn r

1) A (-1,-4) y B (2,5) 32r

2) A (4,-3) y B (1,4) 2r 3) A (2,-5) y B (6,3)

4) A (-2,5) y B (10,-2) 32r

24

INSTRUCCIONES: dados los siguientes pares de puntos, encuentra las coordenadas del punto medio. 1) )9,2(),5,8(

2) )6,7(),2,3(

3) )6,9(),3,2(

4) )11,7(),15,5(

5) )7,5(),3,3(

6)

21,

43,

21,

21

6.- rea de un polgono reas de polgonos a partir de vrtices

Es posible determinar el rea de un polgono situado en un plano cartesiano aplicando un procedimiento sencillo. ste se basa en la frmula para hallar el rea de un tringulo:

2hbA donde b es la base y h es la altura del tringulo.

25

El rea de un polgono es igual a la suma de las reas de los tringulos en que se descompone, sin traslapes. rea de un tringulo

Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), los vrtices de un tringulo cualquiera, entonces su rea se determina mediante la siguiente frmula:

rea del triangulo Donde : A =

Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), Pn(xn,yn) los vrtices de un polgono cualquiera, entonces su rea se determina mediante la siguiente frmula la cual consiste en construir una arreglo vertical que contiene las coordenadas de los vrtices del polgono en el siguiente orden:

11

33

22

11

..

..

..21

yxyx

yxyxyx

A

nn

111

21

33

22

11

yxyxyx

A

26

Areas de polgonos a partir de vrtices Ejemplo:

1.- Calcula el rea del tringulo cuyos vrtices son A (0,0), B (5,6), C (7,2)

Se escribe el arreglo formado por tres hileras y dos columnas, debajo de la tercera hilera colocamos nuevamente el primer rengln:

Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos nmeros por los que pasa cada una de las diagonales:

10

0100)0)(7()2)(5()6)(0(


42

0420)2)(0()6)(7()0)(5(

El valor del determinante es la resta de : 10 42 = - 32

Por lo tanto el rea del tringulo es: 2

32)32(2132

21 A 216uA

00276500

21A

00276500

21A

00276500

21A

27

Ejemplo: Calculo del rea de una regin de coordenadas (-6, 16), (16, 6), (-10, -4), (12, 12) y (20,-8)

Se escribe el arreglo formado por cinco hileras y dos columnas, debajo de la quinta hilera colocamos nuevamente el primer rengln

616820410

1661212

616

21

A


6081208024192192

)6)(20()8)(10()4)(6()16)(12()12)(16(

616820410

1661212

616

21

A


368128801607272

)8)(16()4)(20()16)(10()12)(6()6)(12(

616820410

1661212

616

21

A

El valor del determinante es la resta de : 608 - ( - 368 ) = 976

Por lo tanto el rea del tringulo es 2

976)976(21976

21 A 2488uA

28

Ejercicios:

1) A(-1,1), B(3,4), C(5,-1) 2) A(0,4), B(8,0), C(-1,-4) 3) A(1,-6), B(6,1), C(-2,5) 4) A(0,3), B(8,-1), C(0,-7)

29

Nombre LINEA RECTA No. II Instrucciones

para el alumno


Saberes a

adquirir

Conceptos de la lnea recta Pendiente e inclinacin de

una recta Formas de la ecuacin de la

recta Anlisis del comportamiento

de dos rectas Distancia de un punto a una

recta. Distancia entre rectas

paralelas Angulo entre rectas

Maneras


A travs de

exposiciones y resolucin de

ejercicios

Antes de iniciar con el tema, debemos recordar:

Qu es pendiente? Funciones trigonomtricas Identidades trigonomtricas

esde el punto de vista analtico, la ecuacin de una recta y

su grfica sirven para modelar situaciones de variada

naturaleza, donde la tasa de crecimiento o decrecimiento es

constante como: pagos de impuestos, alargamiento de

materiales, costos de productos, inters simple de un capital,

ingresos econmicos, conversin de escalas de temperatura, etc.

D

Saberes

30

El uso de estos modelos lineales en la vida es muy extenso. Es importante por esta razn

conocer las diversas definiciones de la lnea recta, entre ellas se encuentran:

Geomtricamente

Se define como la distancia ms corta entre dos puntos

Analticamente

Es una ecuacin de primer grado con dos variables.

Grficamente

Es el lugar geomtrico de la sucesin de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 ),( 11 yx y P2 ),( 22 yx del lugar geomtrico, el valor de la pendiente m es siempre constante

Caractersticas de la recta

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia ms corta entre dos puntos est en una lnea recta, (geometra euclidiana). La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la interseccin de dos planos.

PENDIENTE E INCLINACIN DE UNA RECTA

La pendiente ( m ) de una recta L se define como la razn que existe en la variacin de ordenadas (eje y) entre la variacin de abscisas (eje x).

La siguiente figura muestra la grfica de la ecuacin lineal y = 2x 4, en ella se puede observar que el valor de y aumenta en 2 unidades cada vez que el valor de x aumenta una unidad, La razn de cambio de y entre el

cambio correspondiente de x es 212 .

A esta razn se le llama pendiente de la recta y se define como sigue:

Si dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) estn en una recta L , la pendiente m de la recta,

31

se define como: xxyym

12

12

donde x2 x1

Ntese que, en la definicin x2 - x1 no puede ser cero; esto es, x2 x1.

Tambin se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de un ngulo de inclinacin.

m tan

La pendiente de una recta no vertical es un numero

que mide que tan inclinada esta la recta y hacia donde

esta inclinada. La recta de la figura por cada 3

unidades que avanza hacia la derecha, sube 4

unidades, decimos que la pendiente de la recta es 43

.

Si la pendiente de la recta es:

Positiva; la recta se eleva de izquierda a derecha.

m > 0

900

32

Negativa; la recta baja de izquierda a derecha.

m < 0

18090

Cero; la recta es horizontal.

m = 0 0

Indefinida; la recta es vertical.

m = 90

0bservaciones:

La pendiente es positiva cuando la recta esta inclinada hacia la derecha. La pendiente es cero cuando la recta es horizontal. La pendiente es negativa cuando la recta esta inclinada hacia la izquierda. Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta esta mas inclinada. Una recta vertical no tiene pendiente.

Valor del ngulo de inclinacin:

33

A partir de la ecuacin m tan , despejando para el ngulo de inclinacin de una recta tenemos:

(m) 1tan

Como obtener la pendiente de una recta Ejemplo 1 Encuentra y grafica la pendiente de la recta determinada por los siguientes pares de

puntos:

a) A (-4, -1) y B (5, 2), Si P1( x1, y1) = (-4, -1) y P2( x2, y2) = (5, 2), entonces tenemos:

333.093

4512

)4(5)1(2

12

12

xxyy

m

34

b) A (3, -6) y B (-2, 5) , Si P1( x1, y1) = (3, -6) y P2( x2, y2) = (-2, 5), entonces tenemos:

c) A(3, -1) y B(-2, -1) Si P1( x1, y1) = (3, -1) y P2( x2, y2) = (-2, -1), entonces tenemos :

d) A(4, -4) y B(4, 5) Si P1( x1, y1) = (4, -4) y P2( x2, y2) = (4, 5) entonces tenemos :

2.25

11565

)3(2)6(5

12

12

xxyy

m

05

05

11)3(2)1(1

12

12

xxyy

m

0

140

95)4(4)4(5

12

12

xxyy

m

35

Ejemplo 2 Calcule la pendiente, dado el ngulo de inclinacin a) =125

421125tantan .)( m

b) =67.83

4528367tantan .).( m

Ejemplo 3 Dada la pendiente, encuentre el ngulo de inclinacin.

2m

43.632tantan 11 -)(-(m) Como la pendiente es negativa entonces el ngulo de inclinacin es:

57.11643.63180

2m

43632tantan 11 . )((m) Como la pendiente es positiva el ngulo de inclinacin es: 43.63

0m

00tantan 11 )((m) Como la pendiente es cero entonces el ngulo de inclinacin es:

0

35m

03.5935tantan 11 -(m)

Como la pendiente es negativa entonces el ngulo de inclinacin es:

97.12003.59180

36

Obteniendo la pendiente de la recta Ejercicios INSTRUCCIONES.- Encuentra y grafica: la pendiente de la recta que pasa por los

siguientes pares de puntos: 1) )3,2(),4,6( BA

2) )2,1(),0,3( BA

3) )4,3(),3,3( BA

4) )1,2(),2,3( BA

Ejercicios INSTRUCCIONES.- Dado el ngulo de inclinacin de una recta encuentra su pendiente:

1) 56.168

2) 95.25 3) 7.135

4) 7.178

5) 43.63 6) 8.16

37

Ejercicios INSTRUCCIONES.- Dada la pendiente de una recta encuentra su ngulo de

inclinacin: 1) 3m

2) 1m 3) 0m

4) 45m

5) 37m 6)

21m

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la pendiente ( m ) y su ngulo de ngulo de inclinacin

( ) de las rectas que pasan por los siguientes puntos: 1) )1,11(),9,3( BA

2) )6,4(),2,12( BA

3) )5,3(),4,6( BA

4) )2,10(),4,6( BA

5) )23,7(),3,2( BA

6) )6,1(),4,1( BA

7) )1,2(),5,8( BA

8) )1,7(),7,2( BA

38

FORMAS DE LA ECUACIN DE UNA RECTA La ecuacin de la lnea recta se puede presentar de distintas maneras, destacando en cada caso alguna caracterstica del lugar geomtrico.

Pendiente-ordenada

Punto pendiente

General

Simtrica

bmxy

)xm(xyy 11

0 CByAx

1 b

yax

m es la pendiente y b es la ordenada.

),( 11 yx son las

coordenadas de cualquier punto de la recta dada y m es la pendiente

Los coeficientes A, B y C son nmeros reales cualesquiera, con la condicin de que A B debe ser diferente de cero y C puede o no puede ser igual a cero.

a = abscisa al origen

b = ordenada al origen

Formas de la ecuacin de la recta

Ejemplo 1 Encuentra la ecuacin de la recta en las formas punto-pendiente

)xm(xyy 11 pendiente-ordenada bmxy , y general 0 CByAx que pasa por los puntos A (-2,3) y B (5,-2)

39

Solucin:

Primero hay que encontrar la pendiente 75

)2(532

m Para la forma punto-pendiente )xm(xyy 11 necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa.

Si tenemos que 75m y tomamos el punto A (-2,3), se sustituyen en la ecuacin:

)xm(xyy 11 )2(

753

))2((753

xy

xy

Por lo tanto, la ecuacin de la recta de la forma punto pendiente )2(753 xy

Para la forma pendiente- ordenada y = mx + b Tenemos que encontrar el valor de b, para ello, sustituimos el valor de m y uno de los puntos A o B en la ecuacin de la forma pendiente ordenada, una vez obtenido, se acomodan los valores de acuerdo a la forma de la ecuacin.

mxybbmxy

Sustituyendo (5, -2)

)5(752b

7252 b

72514 b

711b

Por lo tanto, la ecuacin de la recta de la forma pendiente ordenada 711

75 xy

Para la forma general 0CByAx De la forma pendiente-ordenada despejamos la ecuacin a la izquierda e igualamos a cero

0711

75

711

75

yx

xy

40

Multiplicamos todo por el mnimo comn denominador (mcd) 7 tenemos que:

01175

0)7(7

11)7()7(75)7(

yx

yx

Por lo tanto, la ecuacin de la recta de la forma general 01175 yx

Ejemplo 2 Encuentra la ecuacin de la recta en las formas punto-pendiente, pendiente-ordenada, y general, que pasa por los puntos A (4,3) y B (-2,6) Solucin:

Primero hay que encontrar la pendiente 21

63

4236

12

12

xxyym

Para la forma punto-pendiente

)xm(xyy 11 necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa. Si tenemos que

21m y tomamos el punto A (4,3), se sustituyen en la ecuacin:

)xm(xyy 11 )4(213 xy

Por lo tanto, la ecuacin de la recta de la forma punto pendiente )4(213 xy

Para la forma pendiente- ordenada y = mx + b Tenemos que encontrar el valor de b, para ello, sustituimos el valor de m y uno de los puntos A o B en la ecuacin de la forma pendiente ordenada, una vez obtenido, se acomodan los valores de acuerdo a la forma de la ecuacin.

mxybbmxy

Sustituyendo (-2, 6)

)2(216b 16b 5b

41

Por lo tanto, la ecuacin de la recta de la forma pendiente ordenada 521 xy

Para la forma general 0CByAx De la forma pendiente-ordenada despejamos la ecuacin a la izquierda e igualamos a cero

0521

521

yx

xy

Multiplicamos todo por el mnimo comn denominador (mcd) 2 tenemos que:

0102

0)2(5)2()2(21)2(

yx

yx

Por lo tanto, la ecuacin de la recta de la forma general 0102 yx

42

Obteniendo la pendiente de la recta

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuacin de la recta en las formas punto-pendiente

)xm(xyy 11 , pendiente- ordenada y = mx +b, y en general 0 CByAx que pasa por los pares de puntos dados.

1) )1,4(),5,2( BA 2) )11,6(),7,4( BA 3) )6,4(),1,1( BA 4) )2,6(),7,10( BA

43

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Escribe la ecuacin de la recta en su forma pendiente ordenada dada por la pendiente ( m ) y con interseccin en y ( b ) 1) 43 ,bm

2) 07 ,bm

3) 38 ,bm

4) 81 ,bm

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuacin de la recta en la forma punto-pendiente y general que pasa por el punto A y que tiene pendiente m. 1) 532 m),,A(

2) 715 m),,A(-

3) 234 -m),,-A(

4) 2336 m),,-A(-

5) 2152 -m),,A(-

6) 3426 m),,A(-

44

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la pendiente (m) y la ordenada (b) de las siguientes rectas. 1) 65 xy

2) 52 x-y

3) 7 xy

4) 453 xy

5) 832 x-y

6) 32 -yx

45

ANLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE DOS RECTAS Sean las rectas:

L1 de ecuacin

11 bxmy L2 de ecuacin

22 bxmy

Entonces las posiciones relativas que se pueden dar entre ambas rectas son las siguientes:

- Paralelismo: dos rectas son paralelas si y slo si sus pendientes son iguales.

2121 mm LL y bb 21

- Perpendicularidad: dos rectas son perpendiculares entre si, si y slo si, sus pendientes son inversas y de signos contrarios.

2121

1m

m LL y bb 21 ,

46

- Coincidencia: dos rectas coinciden entre s si y slo si sus pendientes son iguales.

2121 mm LL y bb 21

- Interseccin: Dos rectas se pueden cortar en uno y solamente un punto, si y slo si, no son paralelas entre s.

2121 mm LL

47

Anlisis del comportamiento de dos rectas Ejemplo 1 La ecuacin de una recta es 02045 yx . Encuentra la ecuacin de la recta paralela que pasa por el punto (2, 3). Recta L1 02045 yx Despejamos la recta para encontrar su pendiente:

545

420

45

205402045

xy

xy

xyyx

Por lo tanto su pendiente es 45

1 m Por la condicin de paralelismo:

2

21

45 m

mm

Se sustituyen los datos en la ecuacin : )xm(xyy 11

Donde 4532 11 myx

0245

0101245

105124

)2(5)3(4

)2(453

)2(45)3(

yx

yx

xy

xy

xy

)(xy

Multiplicamos todo el resultado por -1

0245)0245(1

yxyx

48

Por lo tanto la recta que pasa por el punto (2,3) y es paralela a la recta

02045 yx es: 0245 yx

Ejemplo 2 Determina la ecuacin de la recta que pasa por el punto (0,3) y es perpendicular 01223 yx . Recta L1 01223 yx Despejamos la recta para encontrar su pendiente:

623

212

23

123201223

xy

xy

xyyx

Por lo tanto su pendiente es 32

1 m Por la condicin de perpendicularidad:

231

32

1

22

21

mdespejamosm

mm

Se sustituyen los datos en la ecuacin : )xm(xyy 11

Donde 2330 11 myx

0623

362

)(3)3(2

)0(233

)0(23)3(

yx

xy

xy

xy

)(xy

49

Multiplicamos todo el resultado por -1 0623

)0623(1

yx

yx

Por lo tanto la recta que pasa por el punto (0,3) y es paralela a la recta 01223 yx es: 0623 yx

Encontrando la ecuacin de la recta

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por un punto (x, y) y

considera su paralelismo o perpendicularidad segn seale. 1) 5474 x recta yalela a la) y es par, punto ( 2) 0152654 y-x- recta alela a la) y es par, punto (- 3) 0205223 yx recta alela a la) y es par,- punto (

50

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de un punto ),( 11 yxP desde la recta 0 CByAx , se determina al sustituir las coordenadas de dicho punto en la ecuacin de la recta en su forma general, por lo que su valor se obtiene por la ecuacin:

22

11

BA

CByAxd

Donde: A , B y C son los coeficientes de la

ecuacin de la recta (x1,y1) son las coordenadas del punto

Encontrar la distancia de un punto a una recta Ejemplo 1 Para el punto P (1,2) y la recta 02143 yx determina la distancia:

02143 yx Sustituimos los valores: x1 = 1, y1 = 2, A = 3, B = 4 y C = -21

22 )4()3(

)21()2)(4()1(3

d

Se realizan las operaciones correspondientes

510

2510

1692183

d

Por lo tanto la distancia del punto a la recta es: d = 2

51

Encontrando la distancia de un punto a una recta

EJERCICIO 2-10 INSTRUCCIONES.- Encuentra la distancia de la recta al punto indicados 1) ),-( al punto yx 260443 2) ),-( al punto yx 6406512 3) ),-( al punto yx 520534 4) ),-(- al punto yx 1201243

52

DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS La distancia entre rectas paralelas se puede obtener a partir de la distancia de cada recta al origen, obtenemos d1 y d2 por lo que su suma ( 21 ddd ) nos permitir conocer la distancia comprendida entre las rectas.

53

Ejemplo 1 Determina la distancia comprendida entre las rectas paralelas:

0124302486 yxyyx

Utilizamos la frmula de la distancia de un punto a una recta:

22

11

BA

CByAxd

Sustituyendo los valores en la formula para determinar la distancia de la recta

01243 yx al origen (0,0)

512

2512

16912

)4()3(

12)0(4)0(3

1

22

d

d

d

Sustituyendo los valores en la formula para determinar la distancia de la recta

02486 yx al origen (0,0)

512

1024

10024

643624

)8()6(

24)0(8)0(6

2

22

d

d

d

Sustituimos los valores en 21 ddd

524

512

512 d

Por lo tanto la distancia entre las rectas es:

524d

Distancia entre rectas paralelas

54

Encontrando la distancia entre rectas paralelas

EJERCICIO 2-11 INSTRUCCIONES.- Determina la distancia entre las rectas paralelas dadas a

continuacin: 1) 09 yx 03 yx

2) 015 yx 075 yx

3) 019512 yx 059512 yx

4) 02868 yx 02534 yx

55

2.6 NGULO ENTRE DOS RECTAS En nuestro estudio de la recta, los ngulos estn directamente relacionados, ya que, precisamente, los lados del ngulo son lneas rectas. El ngulo que se forma en la interseccin de un par de rectas se puede calcular en funcin de sus pendientes. La relacin para obtener el valor del ngulo entre dos rectas esta dada por:

21

12

1tan

mmmm

Para aplicar esta relacin se debe determinar cul es la pendiente m1 y cul m2. Para ello se debe seguir las indicaciones siguientes:

Si las dos pendientes son positivas, m2 es la mayor y m1 la menor.

Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y m1 la positiva.

Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto.

56

ngulo entre dos rectas

Ejemplo 1 Determina el valor del ngulo que forman las rectas 063 yx con

0432 yx Expresamos las ecuaciones de las rectas en su forma pendiente-ordenada bmxy

3

63063

m

xyyx

32

34

32

34

32

4230432

mxy

xy

xyyx

Determinamos cul es m1 y cul m2 como una es negativa y la otra positiva por lo tanto

323 12 mm

Sustituimos en la frmula 21

12

1tan

mmmm

666.33

111

311

213

29

32)3(1

323

tan

Obtenemos el valor de ngulo de:

74666.3tan 1

57

Encontrando el ngulo entre dos rectas

EJERCICIO 2-12 INSTRUCCIONES.- Determina el ngulo que forman las rectas dadas: 1) 0723 yx 042 yx

2) 01535 yx 044 yx

3) 01052 yx 0124 yx

4) 0243 yx 0635 yx

58

Nombre CIRCUNFERENCIA No. III Instrucciones

para el alumno


Saberes a

adquirir

Concepto de la circunferencia Ecuacin cartesiana de la

circunferencia de centro en el origen y radio.

Ecuacin cartesiana de una circunferencia de centro en uno de los ejes de coordenadas y radio.

Ecuacin cartesiana de la circunferencia, cuando el centro es un punto cualquiera del plano.

Circunferencia determinada por tres condiciones.

Maneras


A travs de

exposiciones y resolucin de ejercicios

Geomtricamente: es el lugar geomtrico del punto ) ,( yxP que se mueve en un plano de tal manera que siempre equidista de un punto fijo ) ,( khC del mismo plano. Al punto fijo ) ,( khC se le llama centro de la circunferencia y a la longitud constante del segmento PC se le denomina radio.

Saberes

59

Ecuacin cartesiana de la circunferencia de centro en el origen y radio. Aplicando el mtodo de los lugares geomtricos, tendremos:

1. Sea P (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia.

2. La condicin que establece que P es de la circunferencia es:

OP = r

3. Traduciendo analticamente (formula de la distancia entre dos puntos):

222 ryx

4. Transformando:

222 ryx (A)

Que es la ecuacin cartesiana de la circunferencia de centro el origen y radio r.

1. La ecuacin de 1a circunferencia de centro el origen y radio 4 es:

1622 yx

2. La ecuacin x + y = 25, representa una circunferencia de centro el origen y radio r

1625 r Ecuacin cartesiana de una circunferencia de centro en uno de los ejes de coordenadas y radio. a) Primer caso. El centro est en el eje de las x. Si llamamos h a la abscisa del centro, sus coordenadas sern (h , 0). Si P (x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia (fig.2), tendremos: CP = r. Traduciendo analticamente:

222)( ryhx por lo tanto 222)( ryhx (B) Que es la ecuacin de la circunferencia de centro en un punto del eje x y radio r.

60

Ejemplos. 1. La ecuacin de la circunferencia de centro C(4,0) y radio 3 es: (x-4) + y = 9 .'. x + y -8x + 7 = 0 2. La ecuacin (x -3) + y = 16 representa una circunferencia de centro C(3, 0) y radio r=4. 3. La ecuacin (x + 5) + y = 2, representa una circunferencia de centro C(-5, 0) y radio

2r . b) Segundo caso: El centro est en el eje de las y. Si llamamos k a la ordenada del centro, sus coordenadasson de la forma C (0, k). Procediendo anlogamente al caso anterior se obtiene la ecuacin: 222 )( rkyx (C) 1. La ecuacin de la circunferencia de centro C (0, -4) y radio 5 es: x + (y+4) = 25 x+ y+8y -9 = 0. 2. La ecuacin x2 + (y -1)2 = 7, representa una circunferencia de centro C (0,1) y radio 7. Ecuacin cartesiana de la circunferencia, cuando el centro es un punto cualquiera del plano.

Fig. 3 Forma orinara de la ecuacin de la circunferencia.

Sea C (h , k) el centro, r el radio y P (x , y) un punto cualquiera de la circunferencia figura 3 por definicin: CP = r. O sea, analticamente:

22 )()( kyhxrCP o bien, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad.

222 )()( rkyhx (D)

61

Que es la ecuacin cartesiana de una circunferencia de radio r y centro en un punto cualquiera C (h, k) del plano. La ecuacin (D) que comprende como pasos particulares a las ecuaciones (A), (B), y (C) se conoce como Forma ordinaria de la ecuacin de la circunferencia. Ejemplos. 1. La ecuacin 25)3()2( 22 yx representa una circunferencia de radio, r = 5 y centro C(2,3). 2. La ecuacin de la circunferencia de centro C (-4, 2) y radio 4 es: 16)2()4( 22 yx . 3. Hallar 1a ecuacin de la circunferencia que tiene como centro C (-2, -3) y pasa por el punto A (2,4.). El radio ser la distancia

22 )43()22( rCA y aplicando la ecuacin (D):

65)3()2( 22 yx Condiciones para que una ecuacin de segundo grado con dos variables represente una circunferencia. Forma general de la circunferencia. La ecuacin general de segundo grado con dos variables es de la forma:

022 FEyDxCyBxyAx (1) y la ecuacin de una circunferencia de centro (h , k) y radio r es:

222 )()( rkyhx (2) Y desarrollando:

022 22222 rkhkyhxyx Para que la ecuacin (1) represente una circunferencia, sus coeficientes y los de la (2) de los trminos del mismo grado deben ser proporcionales. Como la ecuacin (2) carece de trmino xy, resulta: B = 0. (3) Adems, tendremos:

2222211 rkhF

kE

hDCA

(4) Luego: A = C 0 para que la ecuacin sea de segundo grado (5) De las igualdades (3) y (5) resulta que, para que una ecuacin de segundo grado con dos variables represente una circunferencia es necesario: 1. Que no tenga trmino en xy 2. Que los coeficientes de x2 y y2 sean iguales y del mismo signo. Si una circunferencia viene dada por una ecuacin de la forma:

62

022 FEyDxAyAx se dice que viene dada en su forma general. Ejemplos. Las ecuaciones: 1. x + y + 3x + 2y 4 = 0; 2. 2x + 2y + x + 4x + 1= 0; 3. 3x + 3y - x + y + 10 = 0; 4. -4x -4y + 5x + y 3 = 0, Representan circunferencias dadas en su forma general. Dada la ecuacin de una circunferencia en su forma general, hallar su centro y radio. El problema puede resolverse de dos maneras Primera manera: Convirtiendo la ecuacin dada a la forma ordinaria, por el mtodo de completar cuadrados. El centro es C (h, k) y el radio es r.

222 )()( rkyhx

Segunda manera: A partir de la serie de razones iguales (4) del artculo anterior, tomando como incgnitas h, k y r. Ejemplos: 1. Hallar el centro y el radio de la circunferencia: x + y + 4x + 6y + 9 = 0. Primer mtodo. Completando cuadrados se tiene: x + 4x + 4 + y + 6y + 9 = -9 + 4 + 9 (x + 2) - (y + 3) = 4 h = -2, k = -3, r = 4 = 2. C (- 2, -3), r = 2. Segundo mtodo. En este caso: A = C = 1, D = 4, E = 6, F = 9. De (4) resulta:

2229

26

241

rkhkh

2,1,3,2 222 rrkhFKh

El centro es C (- 2, -3) y el radio r = 2.

63

2. Hallar el centro y el radio de la circunferencia: x + y -4x -2y 4 = 0.

Primer mtodo. Completando cuadrados, resulta:

x -4x + 4 + y -2y + 1 = 4 + 4 + 1 (x-2) + (y-1) = 9 C (2, 1), r =3.

Segundo mtodo. Se tiene: A = C == 1, D = -4, E = -2, F = -4 De (4) resulta:

2224

22

241

rkhkh

h= - 2, k= 4, r= 3, C(2,1) y r=3 Nota: Si el coeficiente de x y y no es la unidad, antes de completar cuadrados se divide

toda la ecuacin por dicho coeficiente. Ejemplo. Hallar el centro y el radio de la circunferencia:

4x + 4y- 4x + 16y - 19 = 0 Primer mtodo. Dividiendo toda la ecuacin entre 4, queda: X + y - x + 4y 19 / 4 = 0 Completando cuadrados:

9441

41944

41 22 yyxx

9)2(21 2

2

yx

2224

22

241

rkhkh

3,2,2

1

rC Segundo mtodo. En este caso: A = C = 4, D = - 4, E = 16, F = -19 De (4) resulta:

22219

216

244

rkhkh

3)2,21(,3,2,

21 rycrkh

64

Nota. El procedimiento general para determinar el centro y el radio por el mtodo de completar cuadrados es el siguiente: La ecuacin general de una circunferencia es:

x + y + Dx + Ey + F = 0 (Si A = C 1, se divide toda la ecuacin entre A). Completando cuadrados, se tiene:

4444

2222

22 EDFEEyyDDxx

44

22

2222 FEDEyDx

,44,

2,

2

222 FEDrEkDh

luego el centro es:

2

,2

EDC y el radio 2

422 FEDr Para que exista circunferencia, el radio debe ser un nmero real positivo, luego:

D + E- 4F > 0. Si D + E - 4F = 0, la circunferencia se reduce a un solo punto. Si D + E - 4F < 0, el radio es imaginario y no existe circunferencia real. Ejemplos: 1. La ecuacin x + y + 6x -2y + 6 = 0 representa una circunferencia real. En efecto: D = 6, E = - 2, F = 6 D + E- 4F = 36 + 4 24 = 16 > 0 Calculando sus elementos se encuentra: C (- 3, 1) r = 2. 2. La ecuacin x + y -4x + 2y + 5 = 0 representa una circunferencia que se reduce a un solo punto. En efecto: D = -4, E = 2, F = 5, D + E -4F = 16 + 4 - 20 = 0 Hallando sus elementos el punto es C (2, -1) y el radio cero 3. La ecuacin: x + y - 6x -2y + 14 = 0 representa una circunferencia de radio imaginario. En efecto: D = -6, E = -2, F = 14. D + E - 4F = 36 + 4- 56 = -16 < 0 Calculando sus elementos resulta C (3, 1) y 4r (imaginario).

65

Hallar las ecuaciones de las siguientes circunferencias: 1. Centro (0, 0) y radio 3 2. Centro (2, -3) y radio 5 3. Centro (3, -1/2) y radio 3 4. Centro (- 1/2, 4) y radio 3/2 5. Centro (-2/3, -1/2) y radio 2/3

66

Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias: 1. x2 + y2 = 4 2. x2 + y2 = 4/9 3. (x-3)2+ (y-2)2=4 4. (x +3)2 + (y + 2)2 = 4 5. (x + 3)2 + (y -2)2 = 27/3

67

Circunferencia determinada por tres condiciones. Como la ecuacin de una circunferencia, en su forma general: x + y + Dx + Ey + F = 0 o en la forma ordinaria, (x -h) + (y -k) = r tiene tres parmetros (D, E, F) 0 (h, k, r); se necesitan tres condiciones para

determinarlos.

Para hallar la ecuacin de una circunferencia que cumple tres condiciones dadas

(independientes) se expresaran estas analticamente. Cada condicin se traduce en una

ecuacin entre las coordenadas del centro, el radio y los datos, o bien, entre los

coeficientes de la forma general y los datos.

Se llega finalmente a un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas que permite

calcular los parmetros.

En algunos problemas es conveniente encontrar grficamente el centro y el radio y

expresar analticamente las construcciones utilizadas.

Hay un sin nmero de condiciones geomtricas que determinan una circunferencia,

mencionaremos los siguientes cuatro casos:

CASO I

Determinar la ecuacin de la circunferencia en forma ordinaria dado el centro C (h, k) y el radio (r).

Debemos de partir siempre de la ecuacin de la circunferencia escrita en su forma ordinaria y se deben de sustituir los valores de h, de k y de r, veamos los siguientes ejemplos: 1) 6)0,0( radioC Solucin: Del centro conocemos que h = 0 y k = 0, tambin que r = 6 Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

: n Ecuaciyx )()(y)(x-

rk)(y(x-h)

36600

22

222

222

2) 8)0,0( radioC

68

Solucin: Del centro conocemos que h = 0 y k = 0, tambin que r = 8 Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

n Ecuaciyx )()(y)(x-

rk)(y(x-h)

64800

22

222

222

3) 5)1,3( radioC Solucin: Del centro conocemos que h = 3 y k = -1, tambin que r = 5 Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda: :

n Ecuaci)(y)(x-)())((y)(x-

rk)(y(x-h)

2513513

22

222

222

INSTRUCCIONES Encuentra las ecuaciones ordinarias de las siguientes circunferencias con la informacin proporcionada

1) 7)3,2( radioC

69

2) 4)2,3( radioC 3) 6)5,6( radioC

CASO II Determinar el radio y la ecuacin de la circunferencia en forma

ordinaria, dado el centro y un punto de la misma. 1) )4,3()0,0( PpuntoelporpasayC Solucin: Del Centro conocemos que h = 0 y k = 0 y del Punto que x = 3 , y = 4 Sustituimos primero estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio

:

rdondeder

rr)()(

r)() - (rk)(y(x-h)

52525

16943

0403

2

2

222

222

222

Del Centro tenemos que h = 0 y k =0, tambin tenemos que r = 5 Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

n Ecuaciyx)())(y)(x-

rk)(y(x-h)

25500

22

222

222

2) )2,6()2,4( PpuntoelporpasayC Solucin: Del Centro conocemos que h = 4 y k = -2 y del Punto que x = 6 , y = 2

70

Sustituimos primero estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio

2020

16442

2246

2

2

222

222

222

rdondeder

rr)()(

r))(() - (rk)(y(x-h)

Del Centro conocemos que h = 4 y k = -2, tambin que 20r Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

n Ecuaci)(y)(x-)())((y)(x-

rk)(y(x-h)

2024cuadradoelconeliminasecuadradaraizladonde2024

22

222

222

Ejercicios:

INSTRUCCIONES Encuentra las ecuaciones ordinarias de las siguientes circunferencias con la informacin proporcionada

1) ),P(puntoelporpasay),C( 91075 2) )3,1()1,4( PpuntoelporpasayC

71

3) )9,4()6,3( PpuntoelporpasayC

CASO III

Determinar el centro, el radio y la ecuacin de la circunferencia en forma ordinaria dado los puntos A y B como extremos de su dimetro.

1) )3,10()7,4( ByA Solucin: Primero determinamos las coordenadas del centro aplicando la frmula del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los puntos A y B:

224

2)3(7

2

326

2104

2

BA

m

BAm

yyyk

xxxh

Por lo tanto las coordenadas del centro son C (3,2).

Se elige un punto cualquiera de los dos , en este caso tomamos A(-4,7) del cual tenemos x = -4, y = 7 Despus, sustituimos estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio

:

7474

22549

22527

2227234

2

222

rdondeder

r

r)()(-

r)()-( -

rk)(y(x-h)

Y por ltimo, del Centro tenemos que h = 3 y k = 2, tambin tenemos que 74r

72

Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

n Ecuaci)(y)(x-

)())(y)(x-

rk)(y(x-h)


22

222

222

2) )1,5()5,1( ByA Solucin: Primero determinamos las coordenadas del centro aplicando la frmula del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los puntos A y B:

224

2)1(5

2

326

2)5(1

2

BA

m

BAm

yyyk

xxxh

Por lo tanto las coordenadas del centro son C (-3,2).

Se elige un punto cualquiera de los dos , en este caso tomamos A(-1,5) del cual tenemos x = -1, y = 5 Despus, sustituimos estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio

rdondeder

rr)()(-

r)())-(-( - rk)(y(x-h)

1313

94331

2531

2

2

222

222

222

Y por ltimo, del Centro tenemos que h = -3 y k = 2, tambin tenemos que 13r

73

Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

n Ecuaci)(y)(x

)())(y))(x-(-

rk)(y(x-h)


22

222

222

Ejercicios:

INSTRUCCIONES Encuentra las ecuaciones ordinarias de las siguientes circunferencias con los dos puntos dados como extremos de un dimetro

1) )4,2()2,6( ByA 2) )3,1()5,7( ByA 3) )3,7()5,3( ByA

CASO IV Dados tres puntos por donde pasa la circunferencia

Encuentra la ecuacin de la circunferencia en forma ordinaria que pasa por los tres puntos siguientes.

74

1) ),) y C(,),B(-,-A( 221524 Si conocemos las coordenadas de 3 puntos por donde pasa la circunferencia, debemos de partir de la ecuacin de la circunferencia escrita en su forma general

022 FEyDxyx y sustituir cada uno de los puntos en ella, para obtener 3 ecuaciones con 3 incgnitas, esto es:

)2 ,4( A )1 ,5(B 0)2()4()2()4( 22 FED 0)1()5()1()5( 22 FED

024416 FED 05125 FED02420 FED 0526 FED

2024 FED ECUACION 1 265 FED ECUACION 2

)2 ,2(C 0)2()2()2()2( 22 FED 02244 FED 0228 FED 822 FED ECUACION 3

Para resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas (D, E y F):

2024 FED Ec. 1 265 FED Ec. 2 822 FED Ec. 3

Se emplea cualquier mtodo descrito anteriormente en el curso de algebra. Si resolvemos por el mtodo de eliminacin (suma y resta), seguimos los siguientes pasos:

I. Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 1 y Ec. 2

2024 FED Ec. 1 265 FED Ec. 2

Si la ecuacin 1 se multiplica por 5 y la ecuacin 2 se multiplica por 4 las ecuaciones resultantes son:

10051020 FED Ec. 1 1044420 FED Ec. 2

De las ecuaciones anteriores se elimina la variable D y obtenemos la expresin

75

20496 FE si multiplicamos toda la ecuacin por -1 nos queda 20496 FE , la cual llamaremos Ecuacin 4

II. Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 2 y Ec. 3 265 FED Ec. 2 822 FED Ec. 3

En las ecuaciones 2 y 3 hay que eliminar la misma variable que se elimino en el paso uno, en este caso la D. La ecuacin 2 se multiplica por 2 y la ecuacin 3 se multiplica por 5 las ecuaciones resultantes son:

522210 FED Ec. 2 4051010 FED Ec. 3

De las ecuaciones anteriores se elimina la variable D y obtenemos la expresin

92712 FE , la cual llamaremos Ecuacin 5 III. Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 4 y Ec. 5

20496 FE Ec. 4 92712 FE Ec. 5

Se aplica el mismo procedimiento que en el paso uno y dos para eliminar la variable E. En este paso obtenemos un valor de F= -20, el cual se sustituye en cualquiera de las ecuaciones Ec. 4 Ec 5, de esta manera obtenemos el valor de E= 4. IV. Sustituir los valores obtenidos de F= -20 y E= 4 en cualquiera de las ecuaciones Ec 1, Ec. 2 Ec. 3. De esta manera obtenemos el valor de D= 2. Por lo tanto, la solucin del sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas se obtiene con los siguientes valores:

20F4E2D

Sustituyendo los valores de D=2 , E=4 y F=-20 en la ecuacin de la circunferencia escrita en su forma general obtenemos:

022 FEyDxyx

0)20()4()2(22 yxyx

0204222 yxyx

76

Ecuacin en su forma general

Ecuacin de la circunferencia

Forma general Forma ordinaria

0204222 yxyx

222 )()( rkyhx

222 )5()2()1( yx

Centro (-1, -2)

25)2()1( 22 yx

122

2 Dh 22

42

Ek

Radio (r)

)20(4)4()2(214

21 2222 FEDr

5r

77

INSTRUCCIONES Encuentra la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos

indicados en cada uno de los siguientes ejercicios. 1) ),) y C(,),B(,A( 100100 2) ),) y C(-,),B(,A( 342332 3) ),) y C(-,),B(-,A( 143245

78

Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genrico de cnicas, se pueden obtener como interseccin de una superficie cnica con un plano. Llamamos superficie cnica de revolucin a la superficie engendrada por una lnea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cnica a la curva obtenida al cortar esa superficie cnica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hiprbola y parbola.

El estudio de las cnicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga llamado: Cnicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existan estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obtenindose elipses, parbolas o hiprbolas segn que el ngulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no dispona de la geometra analtica todava, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aqulla.

Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los nicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometra analtica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.

La importancia fundamental de las cnicas radica en su constante aparicin en situaciones reales:

La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que stos siguen rbitas elpticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitacin universal de no haber conocido ampliamente la geometra de las elipses.

La rbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parbola. As, la lnea que describe cualquier mvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parbola.

Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el mvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.

Antecedentes de las cnicas

79

Una cnica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cnica con un plano, o como el lugar geomtrico de los puntos del plano tal que, la razn de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definicin especfica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.

Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Elipse: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Parbola: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Hiprbola: Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hiprbola.

80

Nombre PARBOLA No. IV Instrucciones

para el alumno


Saberes a

adquirir

Conceptos de la parbola Parbola horizontal con

vrtice en el origen Parbola vertical con

vrtice en el origen Parbola con vrtice en un

punto cualquiera del plano Forma general de la

ecuacin de la parbola

Maneras


A travs de

exposiciones y resolucin de

ejercicios

Definicin de Parbola Es el lugar geomtrico de un punto ),( yxP que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija (llamada directriz), situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo (llamado foco) del plano y que no pertenece a la recta.

Los elementos de la parbola lo constituyen puntos y rectas, los cuales son descritos y mostrados en la siguiente figura:

Saberes

81

Eje de la parbola o eje focal Es la recta que pasa por el foco y por el punto de la parbola llamado vrtice. La posicin del eje determina la posicin de la parbola; hay parbolas horizontales, verticales o inclinadas. Directriz: Es una recta perpendicular al eje de la parbola. La directriz est a la misma distancia del vrtice que el vrtice del foco Lado recto: Es la recta que une dos puntos de la parbola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parbola. Su longitud es cuatro veces la distancia del vrtice al foco Parbola horizontal con vrtice en el origen En esta figura, la distancia del vrtice al foco la representamos con p y observamos que por definicin esta distancia p es la misma que hay entre el vrtice y la directriz. Considerando a ) ,( yxP un punto cualquiera de la parbola, siendo sta horizontal y con vrtice en el origen, las coordenadas del foco son )0 ,( pF y la ecuacin de la directriz es px , de acuerdo a la definicin de una parbola.

Foco FPunto Directriz lcta Re

Vrtice V Punto Eje focal acta Re

Cuerda BB' Recta Cuerda focal CC' Recta

Lado recto LL' Recta Radio focal o radio vector FPcta Re

82

Para la obtencin de la frmula de la parbola nos basamos en su definicin

PF d recta la a P de distancia 22)( ypx xp 22)( ypx 2xp 222 2 yppxx 22 2 xpxp

pxy 42

Forma ordinaria de la ecuacin de la parbola horizontal con vrtice en el origen El signo de p nos indicar hacia dnde se abre la parbola, as tenemos que:

Si 0p

la parbola se abre hacia la derecha

83

Coordenadas del foco F (p, 0)

Ecuacin de la directriz px

Si 0p la parbola se abre hacia la izquierda

Coordenadas del foco F (p, 0)

Ecuacin de la directriz px Forma ordinaria de la ecuacin de la parbola horizontal con vrtice en el origen

4pxy 2 Parbola vertical con vrtice en el origen: Considerando a ) ,( yxP un punto cualquiera de la parbola, siendo sta vertical y con vrtice en el origen, las coordenadas del foco son )p ,0( F y la ecuacin de la directriz es px , de acuerdo a la definicin de una parbola. Para la obtencin de la frmula de la parbola vertical con vrtice en el origen seguimos el procedimiento descrito anteriormente para la parbola horizontal.

Forma ordinaria de la ecuacin de la parbola vertical con vrtice en el origen 4pyx 2

84

El signo de p nos indicar hacia dnde se abre la parbola, as tenemos que: Si 0p

la parbola se abre hacia arriba

Coordenadas del foco F (0, p)

Ecuacin de la directriz px Si 0p

la parbola se abre hacia abajo

Coordenadas del foco F (0,-p)

Ecuacin de la directriz px

Forma ordinaria de la ecuacin de la parbola vertical con vrtice en el origen

4pyx 2

85

Longitud del lado recto Lr La longitud del recto de la parbola es pLr 4 El valor de p4 es un valor absoluto, ya que puede ser positivo o negativo, pero la longitud del lado recto siempre es positivo

86

Parbola horizontal y vertical con centro en el origen: Para cada una de las siguientes ecuaciones ordinarias de las parbolas determina los siguientes aspectos a) Si es horizontal o vertical y hacia dnde se abre, b) La longitud del lado recto, c) La coordenada del foco, d) Las coordenadas de los extremos del lado recto y e) La ecuacin de la directriz. Ejemplo1.

xy 162

Por anlisis de la ecuacin dada, esta se considera una ecuacin de la parbola de la

forma ordinaria: pxy 42

La parbola es horizontal y se abre hacia la derecha ya que el coeficiente de la x es positiva

La longitud del lado recto es: 16444 )(LRpLR

La coordenada del foco es: )0,4(,4164 FppSi

Las coordenadas de los extremos del lado recto son:

)8,4()8,4(,

8,164

RyLsonrectoladodelscoordenadalasladocadapara

unidadessonentoncesLRpLRSi

La ecuacin de la directriz es: 4x

La grfica de esta parbola se muestra en la siguiente figura

87

Ejemplo 2:

yx 122

Por anlisis de la ecuacin dada, esta se considera una ecuacin de la parbola de la

forma ordinaria: pyx 42

La parbola es vertical y se abre hacia abajo

ya que el coeficiente de la y es negativo

La longitud del lado recto es: 12344 )(LRpLR

La coordenada del foco es: )3,0(,3124 FppSi

Las coordenadas de los extremos del lado recto son:

)3,6()3,6(,

6,124

RyLsonrectoladodelscoordenadalasladocadapara

unidadessonentoncesLRpLRSi

La ecuacin de la directriz es: 3y

La grfica de esta parbola se muestra en la siguiente figura:

88

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Para cada una de las siguientes ecuaciones ordinarias de la

parbola determina los siguientes aspectos: a) Si es horizontal o vertical y hacia dnde se abre, b) la longitud del lado recto, c) las coordenadas del foco, d) las coordenadas de los extremos del lado recto y e) la ecuacin de la directriz.

1) xy 82

2) xy 36

2 3) yx 8

2

89

4) yx 122

5) yx 242

90

Parbola con vrtice en un punto cualquiera del plano. Anteriormente estudiamos la ecuacin de la parbola cuando el vrtice coincide con el origen de los ejes coordenados. Ahora consideramos el vrtice en cualquier punto ) ,( kh del plano y su eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados:

PF PM 22 )()( kyphx )( phx

2222 2)())((2 kykyphphxx 2)( phx 22222 2222 kykyphphxpxhx 22 )()()(2 phphxx 22222 2222 kykyphphxpxhx 22 )()(2 phphxx 22222 2222 kykyphphxpxhx 222 222 phphxpxhx 22 2 kyky hpxp 44 2)( ky )(4 hxp

)(4)( 2 hxpky Forma ordinaria

de la ecuacin de la parbola horizontal con vrtice en ),( kh

91

El signo de p nos indicar hacia dnde se abre la parbola, as tenemos que:

Si 0p La parbola se abre hacia la derecha

Si 0p

La parbola se abrir hacia la izquierda Las coordenadas para el foco sern: ) ,( kphF La ecuacin de la directriz ser: phx Ecuacin del eje focal: ky De donde resulta la Forma ordinaria de la ecuacin de la parbola horizontal con vrtice en ),( kh

)(4)( 2 hxpky Parbola vertical con vrtice en ),( kh Si 0p La parbola se abre hacia la arriba; Si 0p La parbola se abre hacia la abajo

92

Las coordenadas para el foco sern: ) ,( pkhF La ecuacin de la directriz ser: pky Ecuacin del eje focal: hx De donde resulta la Forma ordinaria de la ecuacin de la parbola vertical con vrtice en ),( kh

)(4)( 2 kyphx Ejemplos: Dada la ecuacin ordinaria de la parbola fuera del origen, encuentra los siguientes aspectos: a)El vrtice de la parbola d) La ecuacin de la directriz b) El valor del lado recto e) Las coordenadas de los extremos del lado recto c) La coordenada del foco Ejemplo 1 )1(12)5( 2 xy Las coordenadas del vrtice es: V(-1,5) El valor del lado recto es: 12124 LRpLRSi

3124 ppSi ya que la parbola es horizontal y se abre hacia la izquierda la coordenada que cambia es x de -1 a -4 por lo que la coordenada del foco es F(-4,5) Para encontrar la ecuacin de la directriz ahora la coordenada x cambia de -1 a 2, por lo que la ecuacin de la directriz es x 2 Para determinar las coordenadas de los extremos del lado recto, del foco se desplazan 6 unidades hacia arriba y 6 unidades hacia abajo, por lo que las coordenadas son L(- 4,11) y R(- 4, - 1)

93

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES.-

Dada la ecuacin ordinaria de la parbola fuera del origen, encuentra los siguientes aspectos:

a) El vrtice de la parbola. b) El valor del lado recto. c) La coordenada del foco. d) La ecuacin de la directriz. e) Las coordenadas de los extremos del lado recto.

1) )(y-)(x- 181

2 2) )(y-(x) 220

2 3) )(x)(y 2163 2

94

4) )(y-)(x 51222

5) )(x-)(y- 582

2

95

FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE LA PARBOLA Desarrollamos las formas reducidas de las ecuaciones de la parbola

)(4)( 2 hxpky y, )(4)( 2 kyphx obtenemos la ecuacin de la parbola en su forma general Ecuacin Ordinaria de la Parbola Horizontal:

)(4)( 2 hxpky phpxkyky 442 22 0442 22 phpxkyky 0424 22 phkykpxy Comparamos con la ecuacin general de segundo grado con dos variables 022 FEyDxCyBxyAx Observamos que: 1 0 ,0 CBA y 4 2 ,4 2 phkFkEpD Sustituyendo estos coeficientes en las ecuaciones obtenidas tenemos que

02 FEyDxy Forma general de la ecuacin de la parbola Horizontal Ecuacin Ordinaria de la Parbola Vertical:

)(4)( 2 kyphx pkpyhxhx 442 22

0442 22 pkpyhxhx 0442 22 pkhpyxhx

Comparamos con la ecuacin general de segundo grado con dos variables 022 FEyDxCyBxyAx Observamos que: 0 0 ,1 CBA y 4 4 ,2 2 pkhFpEhD Sustituyendo estos coeficientes en las ecuaciones obtenidas tenemos que

96

Forma general de la ecuacin de la parbola Vertical Es importante mencionar que la caracterstica que distingue la PARABOLA de las otras curvas (circunferencia, elipse e hiprbola) es que alguno de los coeficientes de 2x 2y es nulo. A partir de los coeficientes de la ecuacin general de la parbola se pueden obtener las coordenadas del vrtice y del foco. As tenemos que Forma general de la ecuacin de la Parbola Horizontal:

pD 4 kE 2 phkF 42

4Dp

2Ek

pkFh

4

2 Forma general de la ecuacin de la Parbola Vertical:

hD 2 pE 4 pkhF 42

2Dh

4Ep

phFk

4

2

Ejemplo 1 Determina la ecuacin general de la parbola a partir de su ecuacin ordinaria dada en cada uno de ls siguientes casos.

CASO 1: )(x)(y- 11252

0371012semejantestrminoslosagrupamosltimoPor

012122510ecuacinlaceroaigualamosDespus

12122510parntesisloseliminamosPrimero

2

2

2

yxy

xyy

xyy

Resultando en la ecuacin general para la parbola Horizontal.

97

CASO 2: )(y-)(x- 181 2

0782semejantes

trminoslosagrupamosltimoPor08182

ecuacinlaceroaigualamosDespus8812

parntesisloseliminamosPrimero

2

2

2

yxx

yxx

yxx

Resultando en la ecuacin general para la parbola Vertical. Ejemplo 2 Determina los elementos de la parbola a partir de su ecuacin general, dada en cada uno de los siguientes casos:

08642 xy y Primero debemos darle la forma reducida aplicando las propiedades de la igualdad:

)2(6)2(126)2(

)2(86)2(4

2

2

222

xyxy

xyy

La parbola es horizontal y se abre hacia la izquierda. Las coordenadas del vrtice son V (2,2). La longitud del lado recto es 6 unidades

partes.sustodasde

scoordenadalasdeterminarpodemosvaloresestoscon,5.123devalorEl p

La coordenada del foco es F(0.5, 2) La directriz es x =3.5

98

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Calcula los elementos de la parbola, a partir de su ecuacin general

dada en cada uno de los siguientes casos.

1) 016642 xy y

2) 06488

2 xy- y 3) 033126

2 xy y

99

4) 0171622 xy y

5) 0712410

2 yx x

100

Nombre ELIPSE No. V Instrucciones

para el alumno

Lee detenidamente y analiza la informacin que a continuacin se presenta. Si tienes alguna duda aclararla

con el profesor.

Saberes a adquirir

Definicin y elementos Ecuacin ordinaria y

grfica Casos de la ecuacin de

una elipse Ecuacin de la elipse

con centro fuera del origen y eje paralelo a uno de los ejes coordenados.

Ecuacin general de la elipse

Maneras


A travs de

exposiciones y prcticas

DEFINICIN Y ELEMENTOS

a elipse, al igual que la parbola, es una curva con importantes aplicaciones prcticas, que abarcan campos como la ingeniera y la astronoma.

De manera tpica esta curva plana tiene forma ovoide. En algunos casos, su forma es completamente redonda pues toda circunferencia es en realidad una elipse. Definicin:

Es el lugar geomtrico de un punto P(x, y) que se mueve en un plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) de ese plano es siempre igual a una constante y mayor que la distancia entre los dos puntos. Elementos caractersticos de la elipse.

La elipse puede estar situada en posicin horizontal, vertical o inclinada. La elipse es una curva cerrada y tiene dos ejes perpendiculares entre s y siempre uno

mayor que el otro; al mayor se le llama eje mayor y al otro eje menor. Al punto de interseccin de sus ejes se le llama centro y a los puntos extremos del eje mayor, vrtice de la elipse.

L

Saberes

101

La elipse tiene dos lados rectos, que son rectas que unen dos puntos de la elipse pasando por los focos y siendo perpendiculares al eje mayor donde estn situados los focos. La posicin del eje mayor nos indica la posicin de la elipse.

La longitud del eje mayor se representa con a2 , la longitud del eje menor con b2 y la distancia entre los focos con c2 . La elipse es una curva simtrica con respecto a sus dos ejes.

En la siguiente figura se ilustra una elipse con sus elementos:

ECUACIN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

HORIZONTAL VERTICAL

22222

2

2

2

2

:,1

bacyba

dondeenby

ax

22222

2

2

2

2

:,1

bacyba

dondeenay

bx

Eje focal En el eje x En el eje y Coordenadas de

sus vrtices )0,(')0,( aVyaV ),0('),0( aVyaV

Coordenadas de los puntos extremos de

su eje menor

),0('),0( bBybB )0,(')0,( bBybB

Coordenadas de sus focos

)0,(')0,( cFycF ),0('),0( cFycF Longitud de su eje

mayor VV es 2a 2a

Longitud de su eje mayor BB es

2b 2b

Longitud del lado recto a

bL22

abL

22 Excentricidad

ace

ace

Vrtices V , V Focos F , F Centro C

Longitud del lado recto

Lr

Eje mayor aVV 2' Eje menor b2 Eje focal cFF 2'

cCFCF '

102

GRAFICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN HORIZONTAL VERTICAL

Dada la ecuacin de la elipse encuentra los siguientes elementos:

a) Las coordenadas de los vrtices b) Las coordenadas de los focos

c) La longitud del eje mayor d) La longitud del eje menor

e) La longitud de cada lado recto

f) El valor de la excentricidad

1) 4002516 22 yx Primero dividimos toda la ecuacin entre 400:

1

1625

400400

40025

40016

22

22

yx

yx

Como 22 ba por lo tanto:

41616

52525

2

2

bbb

aaa

103

Encontramos el valor de c

399

16252

2

222

ccc

cbac

Como 2a est debajo de x 2 por lo tanto es una elipse horizontal y su eje focal es x Las coordenadas de los vrtices est dada por:

)0,5(')0,5(

)0,(')0,(

VyV

aVyaV

Las coordenadas de los focos est dada por:

)0,3(')0,3(

)0,(')0,(

FyF

cFycF

La longitud del eje mayor es: 10)5(22 a La longitud del eje menor es: 8)4(22 b La longitud de cada lado recto est dada por:

532

5)16(22 2

abL

El valor de la excentricidad es: 5

3ace

Esta elipse horizontal y sus elementos se

ilustran en la siguiente grafica:

INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes elipses determina los siguientes elementos. a) Las coordenadas de los vrtices b) Las coordenadas de los focos c) La longitud del semieje mayor d) La longitud del semieje menor e) La longitud de los lados rectos f) El valor de la excentricidad

1) 36001003622 yx

104

2) 42251692522 yx

3) 22592522 yx

4) 1

10036

22 yx

5) 1

400441

22 yx

LA ECUACIN DE LA ELIPSE

Para determinar la ecuacin de la elipse, se puede efectuar a partir de conocer algunos de sus elementos. As en este proceso se pueden presentar los siguientes casos:

105

1.- Encuentra la ecuacin de la elipse con centro en el origen y cuyos vrtices y focos son:

)0,5(')0,5( VyV )0,3(')0,3( FyF .

Localizamos los puntos en un plano coordenado bidimensional y debido a que los vrtices y focos se encuentran en el eje x se trata de una elipse horizontal.

Escribimos la ecuacin de la elipse horizontal con centro en el origen

122

2

2

by

ax

Sabemos que las coordenadas de los vrtices y focos de una elipse horizontal con centro en el origen son los siguientes:

)0,(')0,( aVyaV )0,(')0,( cFycF

De aqu sabemos por comparacin que el valor de a = 5 y el valor de c = 3, pero recordemos que para obtener la ecuacin de una elipse horizontal con centro en el origen se necesitan el valor de a y de b, como desconocemos b pero conocemos a y c, nos auxiliaremos de la siguiente frmula para obtener el valor de b.

despejamos 222 bbac by a de valoreslos ssustituimoy 22 cab

416925

)3()5( 22

b

b

Por ltimo sustituimos los valores de a y de b en la ecuacin de la elipse horizontal con

centro en el origen

11625

1)4()5(

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

yxby

ax

La grfica y sus elementos se muestran a continuacin:

106

2.- Encuentra la ecuacin de la elipse con centro en el origen y cuyos vrtices y focos son:

)4,0(')4,0( VyV )2,0(')2,0( FyF .

Localizamos los puntos en un plano coordenado bidimensional y debido a que los vrtices y focos se encuentran en el eje y se trata de una elipse vertical.

Escribimos la ecuacin de la elipse horizontal con centro en el origen

122

2

2

ay

bx

Sabemos que las coordenadas de los vrtices y focos de una elipse vertical con centro

en el origen son los siguientes: ),0('),0( aVyaV ),0('),0( cFycF

De aqu sabemos por comparacin que el valor de a = 4 y el valor de c = 2, pero

recordemos que para obtener la ecuacin de una elipse horizontal con centro en el origen se necesitan el valor de a y de b, como desconocemos b pero conocemos a y c, nos auxiliaremos de la siguiente frmula para obtener el valor de b. "" despejamos 222 bbac

b" "y a"" de valoreslos ssustituimoy 22 cab

46.312

416

)2()4( 22

bb

b

b

Por ltimo sustituimos los valores de a y de b en la ecuacin de la elipse vertical con centro en el origen.

11612

1)4()46.3(

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

yxby

ax

107

La siguiente ilustracin muestra la grfica de dicha elipse vertical:

INSTRUCCIONES: Encuentra la ecuacin de la elipse con centro en el origen dado sus vrtices y focos. 1) ),-),(, () y Fo,-),(,(Vrtices 4040cos7070 2) ),-),(, () y Fo,-),(,(Vrtices 6060cos100100

108

3) ),),(-, () y Fo,),(-,(Vrtices 0404cos0606 4) ),),(-, () y Fo,),(-,(Vrtices 0404cos0505

1.- Encuentra la ecuacin de la elipse con centro en el origen y sus ejes miden:

Eje menor = 8 esta sobre el eje y Eje mayor = 10 esta sobre el eje x

El eje mayor = 2a por lo tanto 2a = 10 a = 2

10 a = 5

El eje menor = 2b por lo tanto 2b = 8 b =28 b = 4

Debido a que el eje m

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