Guia Matematica II 2013 Ok

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICA

GUIA DE PRÁCTICAS

ASIGNATURA: MATEMATICA II (AUA205)

AÑO LECTIVO 2013

DOCENTES DEL CURSO:

Yrma Lujan Campos

Pedro Saenz Rivera

Isaac Soto Gutiérrez

GUIA DE PRACTICAS 2013

CONTENIDO:

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL Facultad de Arquitectura y Urbanismo

UNFV/FAU/GUIA DE PRACTICAS MATEMATICA II 2013/YLC/PSR/ISG Página 2

TEMA NUMERO

LA DERIVADA (REPASO) 1

INTEGRALES INMEDIATAS 2

TECNICAS DE INTEGRACION I 3

TECNICAS DE INTEGRACION II 4

INTEGRALES DEFINIDAS Y CALCULO DE AREAS 5

APLICACIÓNES (VOLUMEN, ARCOS , Y SUPERFICIE) 6

COORDENADAS POLARES 7

AREA,LONGITUD Y VOLUMEN DE ARCO EN COORDENADAS POLARES 8

DERIVADAS PARCIALES 9

PLANOS, RECTAS, 10

CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRICAS 11

FUNCIONES VECTORIALES 12

INTEGRALES MULTIPLES 13

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 14

TABLAS DE INTEGRACION

ROL DE PRÁCTICAS CALIFICADAS-EXAMENES 2013

FECHA PRACTICA NO

SEMANA 20-25 DE MAYO 01

SEMANA 17-22 DE JUNIO 02

SEMANA 01-06 DE JULIO 03

SEMANA 15-20 JULIO EXAMEN PARCIAL

SEMANA 09-14 DE SETIEMBRE 04

SEMANA 14-19 DE OCTUBRE 05

SEMANA 11-16 NOVIEMBRE 06

SEMANA 02-07 DICIEMBRE EXAMEN FINAL



PRACTICA DIRIGIDA NO

01 LA DERIVADA (REPASO)

I. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

1. ln .log ln .log .ay x x a x 2. 3 3cos sen 3 .y x x

3. .sen ln / 4y x x 4. .xy xe x

5. 3

( ) 3f x xx

6. ( )f x x

7. 2 3( )f x x x 8. 2 2 32 2 4x y xy y

9. 2 2 1x b xy y b 10. 2( ) sen 3 sec 2f x x x

11. 3( ) cos 2 cos 2f x x x 12. 2

sen( )

1

x xf x

x

13. 4 3( ) sen cosf x x x 14. arctgy

yx

15. 2

arctg1

xy

x

16. ( )

xef x x

17. ( )xxf x kx 18.

x yx x

19. 1 4 1 4

ln1 4 1 4

x xy

x x

20. 2 2ln arctgy

x yx

21. ln

x y

x y x ye

x y

22.

3 , 0( )

ln 3 , 0

x xf x

x x



PRACTICA DIRIGIDA NO

02- INTEGRALES INMEDIATAS

I Resolver las Integrales inmediatas usando las reglas básicas de integración y las formulas de tablas.

1. 2 65a x dx 2. 4 25 4 2 1x x x dx 3. x a x b x c dx

4. 2

5a bx dx 5. 2pxdx 6. 1n

dx

x

7.2 2

3 3a x dx

8.

2

m nx xdx

x

9.2 9

dx

x

10. 2 13

dx

x 1128

dx

x 12.

24 2

dx

x

13. Suponga que se desea obtener una antiderivada particular que satisfaga la ecuación xdx

dy2 y la

condición inicial de que 6y cuando 2x .

14.2 1

1

xdx

x

15.b

a dxx a

16.

1

bdy

y

17.21

dx

k 18. a bxdx 19.

2 1

xdx

x

20. 2

dx

a b a b x 21.2

2 1

xdx

x 22.3

2 2

xdx

a x

23.2

2

5 6

4

x xdx

x

24.27 8

dx

x 25.

2

2 5

3 2

xdx

x

26.2

3

4

xdx

x

27.

4 4

xdx

a x 28.

2

arcsen

1

xdx

x

29.2

arctg2

4

x

dxx 30. mxae dx

31. t te e dt

32.

2x x

a ae e dx

33.

2 1x

x

adx

a

34.

2 1xxe dx



35. dxx

2cos 36. xtgxdxsec5 37. dx

x²

1

38. dxx3 39. dxx

xx )1

( 40. dxxxtgx )²csc5sec3(

41.

dxsenx

xsenx ²3cot2 42. dxxxtg )4²cot²( 43.

adx

a x

44.2 3

2 1

xdx

x

45.xdx

a bx

10. En cualquier punto ),( yx de una curva particular la recta tangente tiene una pendiente igual a 54 x .

Si la curva contiene al punto )7,3( , obtenga su ecuación.



PRACTICA DIRIGIDA NO 03- TECNICAS DE INTEGRACION

I. CALCULAR POR DESCOMPOSICIÓN:

1.

dxx

xxxx

4

235 34

2. dxex xe 3.

dx

x

x3

1

4.

dx

x

xxx

16

5432 5.

dx

x

xx2

2

1

2 6.

dx

x

x

1

22

II. INTEGRAR UTILIZANDO EL MÉTODO DE CAMBIO DE VARIABLE:

1.

251 xArcsenx

dx 2.

dx

x

x

3

5

1 3. dxxx 123

4. dx

ee xx

1 5.

dx

xx

x

322 11

6.

dx

xsenx

xsenx

cos

cos

7. dxxx 21 8.

dxx

xsen

2cos1

2 9.

dx

x

x

41

2

10.

dxx 2

12

121 11.

dxxx 3

1 12

dx

x

x

8

3

1

III. INTEGRAR UTILIZANDO EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES:

1. dxx x2 2. dxex x32 3.

dx

x

xx

1

1ln 4. dxxx 2ln

5. dxx

x3

ln 6. dxxx ln3 7.

dx

x

Arcsenxx

21 8.

dxexx x 122

9. dxArctgxx 2 10.

dxxx

xln

13

11. dxxe x )3(cos

12. dxxArctgx 1 13. dxxxsenx 12cos12 14. dxx 21ln

15. dxxx ²cos 16. dx

x

x43 )81(

²4 17. dxxx 1²

18. dxx

xsen 19. dxxsenx cos1 20. xdxtgx ²sec .



21. 2/3

4 5x dx 22. 2 5xe dx

23. 3/ 2

1 ² 2sen x sen xdx

24. 5Sen xdx 25. 3

² 8t tdt 26. 4x xe dx

IV. INTEGRAR POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA:

1. 23 x dx 2.24

xdx

x 3.

3

216

xdx

x x 4. 24 x dx

5. 2 27

dx

x x 5.

3

225

xdx

x 6. 24 9x dx 7.

2

21

xdx

x

8. 2 36x x dx 9. 3 2 9

dx

x x 10.

2

2 1.

1 1

xdx

x x

11.

4 2 9

dx

x x

12. 2/3²)4( x

dx 13.

7²² xx

dx 14.

44²4)21( 4 xxx

dx

15.

dxx

x6

9² 16. dxxx 4/13 ²)1( 17.

)²²9632(

)11(

xx

dxx

18.

2

4

8xdx

x

2 3

3

1 ( 1):

24

xRpta c

x

19. 3

22

x dx

x

2 2 22 4 2:

3 3

x x xRpta c

20. 2

32 2

sec .

(4 tg )

x dx

x

2

1 : .

4 4

tgxRpta C

tg x

21. 3

2 2(25 )

x dx

x 2 2

2

25 : ln

22(25 ) 5

x xRpta C

x

22. 2 216 9

dx

x x

V. CALCULAR POR FRACCIONES PARCIALES:

1.

dx

x

xx

12

124 3

2.

dx

x

xx

3

12

3.

dxxx 22

42



4.

dx

xx

x

544

682

5.

dxxxx 22

623

6.

dxxxx 1

223

7.

dx

xx 22

122

8.

dx

xxx

xx

1

123

2

9.

dx

x

x

1

134

2

10.

dxxx

x

542

3

11.

dx

x

x3

2

1

1 12.

dx

x 1

13

13.

dx

xxx

xx

2²2

19²43

. 14. xxx

dx

3²76 3.

15.

15²

)1²2(3 xxx

dxx 16.

25²3

)2²(34 xxxx

dxx 17.

dx

xxx

xxx

22²

43²24

3

18.

dx

xx

x

3

6²43

19.

dx

x

xx

8

53²3

20.

2

3

)2²(

)1(

x

dxxx

21.

dx

xxx

xxx

)²22²)(1(

1²32 3

22. )²1²)(²( xxxx

dx 23.

dx

xx

x3)1(

23.

VI. RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:

1. dxxsenxsen 23 2.

dxxsenx

x22cos

2cos 3. dx

xxsen 22 cos

1

4. dxxxsen 53 cos 5. dxxxsen 153 cos 6. dxx

xsen2

3

cos

7. dxx3cos 8. dxsenxx3cos

1 9. dx

x

xsen3

3

cos

10. dxxxtg 33 sec 11. 4sen 2x dx 13. xdxCos 36

14. axdxaxCosSen ²2 15. xdxxCosSen 22 44 16. xdxxCosSen 42

17. xdxxCosSen 54 18. xdxxCosCos 85 19. xdxtg 25

20. dxx

3cot 3 21. xdx5sec6 22. dx

x

2sec4



23 xdxxtg4

3 sec 24. xdxxtg 2sec23

5

25. xdxx4

3 csccot

26. xdxx 5csc5cot4

3

27. xdxx 6csc6cot7

5

28. 5cot 3xdx 4 2csc 3 sen3 cot 3

: ln( )12 3 6

x x xRpta c

29. sen 4 cos5x xdx 1 1

cos2

: 9 cos18

x xp cR ta



PRACTICA DIRIGIDA N° 04- TECNICAS DE INTEGRACION II

Resolver usando las diversas técnicas de integración.

1)

dxx

xxxx

4

23534

2)

251arcsen xx

dx 3) dx

x

x3

ln

4)

dx

xx

x

544

682

5) dxxxsencos

13

6)

dxx 12

1

7) dx

ee xx 1

1 8)

dx

xx 1

1

24 9)

dx

x

x

2cos1

cos1 2

10)

dxx

x

8

3

1 11) xdxx arctg2 12)

dxxx

x

542

3

13) dx

xx

x

cossen

cos 14)

dx

xx

xx4

15) dx

ee

exx

x

232

3

16)

dxxx 2

1

22 17)

dx

x

x3 11

11 18)

dx

xx 22

1

2

19)

dxxxx 32

1

2 20) dxxx 11

21.

dxxsenx

xsenx22 2cos

cos 22.

dx

xsenxsenx

x32cos2

cos

23.

dxxsenx 22 5cos34

1 24.

dx

ee xx 1

1 25.

dx

xx 1

1

24

26.

dx

e

e

x

x

241

1 27.

dxxsenx

x

cos

cos 28.

dx

x

xxx

16

5432

29.

dxx

xxxx

4

235 34

30.

dxxsen 21

1 31.

2 2 2.

.

dz

z a z b

32.

12

.arctg 2 /

x dx

x x

33. h x d f x f x d h x



34. dx

x

x61

² 35. dxxxx )1)²(32²( 36. xdxxsen cos4

37. 3 1²

2

x

xdx 38.

31

²9

x

dxx 31 xu 39.

dx

xx

1²cos

²

1

xu

1

40.

4

3

4 ²

1 8

xdx

x 41.

51 ²x x dx 42. 2 35 x dx

43 2 3 ²

xdx

x 44.

32

6

1x

xdx

e x 45. dxxx )²1( 43 14 xu



PRACTICA DIRIGIDA N° 05-INTEGRALES DEFINIDAS APLICACIÓNES (AREAS)

I. EVALUAR LAS INTEGRALES DEFINIDAS:

a. 2

3

2

x dx

b.

2

2

1

( 1) x dx

c.

1/2

20

1

1dx

x

d.

0 2

1

1

xdx

x

e. 1

e

lnxdx f.

2

2

11

xdx

x

g.

1

1

1

xdx

x

h.

5

2

3

5 20

2 ( 1)

xdx

x x

i. /6

2

0

3 sin x dx

j.

/2

– /2

xsin x dx

k.

3 2

2

3

4

25

xdx

x

l. 1

0

ln 1 xe x dx

m.

0

2

1

4 8 8

dx

x x

n.

2

20

2

dx

x o.

2

2

1

4 5

dx

x x p.

1

0

2 x xdx

q.

1

2

01

xxedx

x r.

1

0

2 ln xdx s.

4

20

4

dx

x

t. 220

sen

1 tg

xdx

x

u. 22

0senx x dx

v. 3

22 1

xdx

x

w.

4 2

3 2

02 9 12 4

x

x x x x.

3

0.52

0 16

xdx

x y.

4

1

1x

x

II. CALCULO DE AREAS MEDIANTE INTEGRACION

1. Calcular mediante una integral definida el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y

4 metros.

2. Calcular el área limitada por las gráficas de las parábolas:

xyxy ,2

3. Calcular el área limitada por:

5,54)()

3)(,1)()

abcisas de eje el ,2,)()

2

2

3

yxxxfc

xfxxfb

xxxfa

4. Calcular el área de la región limitada por las dos curvas xxxy 8²63 e xxy 4² .

5. Calcular el área de la primera región limitada por las gráficas de cosy x e senxy .



6. Calcular el área de le región limitada por las gráficas de ²4 xy y el eje x.

7. Calcular el área de le región limitada por las gráficas de ²4 xxy y el eje x en 3,1 .

8. Hallar el área de la región encerrada por las curvas:

38y x ……(2) 3 28 2 2 2y x x x ……(1)

9. Hallar el área de la región bajo la curva 2

ctgy x , sobre el eje X, a la derecha de la recta

4

x

, y a la izquierda de la recta 3

4x

.

10. Halla el área comprendida entre las curvas 2 26 - ; - 2y x x y x x

11. Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación 2 yx ,

la recta y x y la vertical 2x

12. Hallar el área de la figura limitada por las curvas 2 2y px y 2 2x py .

13. Calcular el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi

2

1

1y

x

y la parábola

2

2

xy .

14. Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola 2 2

2 21

x y

a b y la recta 2x a .

15. Calcular el área de las dos partes en que la parábola 2 2y x divide al círculo 2 2 8x y .



PRACTICA DIRIGIDA N° 06-INTEGRALES DEFINIDAS APLICACIÓNES (VOLUMEN,

ARCOS, Y SUPERFICIE)

I. VOLUMEN

1. La región acotada por la curva 2y x , el eje X y las rectas: 1 y 2x x , se rota alrededor del eje X.

encontrar el volumen del sólido generado.

2. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por seny x , y x , 0,x en torno al

eje X.

3. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por 2seny x , y x , 0,x en torno

al la recta 0y

4. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por 2 8y x y la ordenada correspondiente

a 2x con respecto al eje X.

5. Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre la parábola 24y x x y el eje

X con respecto a la recta 0y

6. dada la región plana E en el primer cuadrante limitada por 3 4 6y x , 4 3 8y x , 22 2 25x y

. Hallar el volumen generado, si se rota E alrededor del eje Y.

7. calcular el volumen del solidó limitado por la superficie del huso infinito generado por la rotación de la

curva 2

1

1y

x

alrededor de su asintota. (Rpta. 2 / 2 )

8. Determine el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por la curva 3xy

, el eje x y las rectas 1x y 2x , se gira alrededor del eje x

9. Calcule con cuatro dígitos significativos el volumen del sólido de revolución generado al girar

alrededor del eje x la región acotada por las gráficas de 4²)( xsenxf y ²4)( xxg .

10. Obtenga la fórmula del volumen de una esfera al girar alrededor del eje x la región limitada por la

circunferencia ²²² ryx y el eje x .



II. LONGITUD DE ARCO

1. Hallar la longitud del arco de la curva 3 1

3 4

xy

x desde 1x hasta 3x .

(rpta. 53/ 6 )

2. Hallar la longitud del arco de la curva ln cosy x , desde 0x hasta 3

x .

(rpta. ln 2 3 )

3. Hallar la longitud del arco de la curva 1

1

x

x

ey

e

, desde x a hasta x b .

(rpta. lnb b

a a

e e

e e

)

4. Hallar la longitud del arco de la curva ln secx y , desde 0y hasta 3

y .

(rpta. ln 1 3 )

5. Encuentre la longitud de la curva 2 2 2 2 28 2a y x a x (rpta a )

6. Hallar la longitud del arco de la curva lny x , desde 3x hasta 8x .

7. Hallar la longitud del arco de la curva arcsen xy e desde 0x hasta 1x

8. Hallar la longitud del astroide: 2 2 2

3 3 3x y a .

9. Calcular la longitud del arco de la parábola 2y x desde 0x hasta 1x

10. En los siguientes problemas, hallar la longitud de arco de las curvas que se indican:

a) La longitud total de la circunferencia 2 2 2x y a

b) La longitud total de la curva 2 2 48 y x x

c) La longitud de la curva 2 / 2 lny x x , desde x=2 hasta x=3

d) La longitud de arco de la curva 2ln 1y x desde 0x hasta x

III. SUPERFICIE:

1. En los siguientes problemas, hallar el área de la superficie generada en la rotación del arco dado

alrededor del eje que se indica.

a. ; [0,2]; y mx x eje X

b. 3; 0 hasta 1 ; x y y y eje y

c. ln ; [1,7]; eje Yy x x



2. Hallar el área de la superficie de revolución generada en la rotación alrededor del eje x de la elipse 2 2

+ 116 4

x y

3. Hallar el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva 2 2 8x y alrededor de la recta

2, [0,4]y x

4. Hallar el área de la superficie generada cuando el arco de la curva:

2 1 , 1,0f x x x Gira en torno al eje X

5. Hallar el área de la superficie engendrada cuando el arco de la curva:

2 2 , ,y a x x a a

a. gira en torno a la recta y a .

b. gira en torno a la recta y a .

6. Hallar el área de la superficie lateral de un cono circular recto cuyo radio de la base es igual a R y su

altura es h.

7. Hallar el área de la superficie de revolución generada en la rotación alrededor del eje de X de la elipse 2 2

116 4

x y .

8. Hallar el volumen de la superficie generada por la rotación de la parábola 2 4y ax alrededor del eje

X, desde el vértice hasta el punto cuya abscisa es 3x a

(rpta 256 / 3a )

9. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva:

3 1

3 4

xy

x , 0,1x , alrededor de la recta 1y (rpta 79 /144 )

10. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva:

4

2

1

3 8

yx

y , 1,2y , alrededor del eje X (rpta 253 / 20 )

11. Calcular el área de la región acotada limitada por la curva ecuación

y el eje x



PRACTICA DIRIGIDA N° 07 COORDENADAS POLARES.

I. Expresar en coordenadas polares los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares:

a. (4, 3)p b. (1, 2)P C. ( 3,1)P d. ( 3, 3)P

II. Ubíquense los siguientes puntos dados en coordenadas polares, y de sus respectivas

coordenadas rectangulares:

a. 3,4

b. 3,3

c. 2,2

d. 2,6

III. Transformar las ecuaciones polares a ecuaciones rectangulares e identificar a la curva en

cuestión.

a. 4senr . b. 2 cos2 4r . c. sen cosr a b

d. (1 cos2 ) 4r e. 2sen 2 4cosr f. (1 2cos ) 4r

g. 2 cos2 4r . h. 2 1 cosr i. 3

1 cosr

j. 4

4 cosr

k. 2r

IV. Dadas las ecuaciones Cartesianas expresarlas en sus equivalentes en coordenadas polares:

a. 2 2 2 0x y x . b. 2

2 2 2 2x y x y

c. 2 2 2 4 0x x y y d. 2 23( 2) 4 16x y

e. 2 23 4 6 9 0x y x f. 2 2 22x y a

g. 5y h. 2 2

14 9

x y

i. 2 1 4y x j. 1xy

k. 4y

V. Discutir y trazar la grafica de cada una de las ecuaciones siguientes.

a. 5sen 4cosr b. sen 4r c. cos 6r

d. 2 cos2r e. 2 sen 2 16r f. 2 cos 4r



g. 4cos2r h. senr a h2. r

i. cos5r a rosa de 5 pétalos j. 4senr

k. /2r e espiral logarítmica l. 2 cosr a caracol de pascal.

m. sen cos 0 n. 2

r

espiral reciproca 0



PRACTICA DIRIGIDA N° 08 AREA, LONGITUD Y VOLUMEN EN COORDENADAS POLARES

1. Calcular el área de la región limitada por las curvas que se indican y bosquejar el gráfico de la región:

a) cos ,0 3

r a

b) (1 cos )r a c) 4cos2 r

d) . 2r a sen e) 2 sen r f) 1 2 r Sen

g) (1 Cos )r a

2. Calcular el área de La región interior a 3 cos4r y exterior a 2 cos4r

3. Calcular el area de la region limitada por las curvas:

a. tg , 0, / 8r

b. 3 cos4r y 2 cos4r la región interior a ambas

4. Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica 1/r , desde 3/ 4 hasta 4 / 3

5. Hallar la longitud del arco de la espiral de arquimides 3r desde el principio hasta el final de la

primera espira.

6. Calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar las siguientes gráficas alrededor del eje x:

a. r = 4(1+cos ) b) r=4(1+sin c) r=4cos +2

d. r=2+cos e) 2r =9cos2

7. Calcular la longitud del arco de la curva que se indican y bosquejar su gráfico:

a. sen , 0,2r b. 2 , 0,2r

c. (1 cos ), 0r a a d. 1

, 1,32

r rr

8. Calcular la longitud del arco de la espiral logarítmica , 0mr ae m , que se encuentra dentro del

círculo r a .

9. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva 2cosr a alrededor del eje

polar



10. Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola 2(sec )2

r a

cortada de la misma por la recta

vertical que pasa por el polo.

11. Hallar el área de la rosa de cuatro pétalos cos 2r

12. Hallar el área de la región limitada por las curvas; dentro de y la derecha de la recta



PRACTICA DIRIGIDA N° 09 DERIVADAS PARCIALES

1.Hallar todas las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:

a. 2 2 z Ax Bxy Cy Dx Ey F

b. 3 2 2 3, 3 3f x y Ax Bx y Cxy Dy

c. u xy yz zx

d. , sen f x y x y x y

e. ,

Ax Byf x y

Cx Dy

f. sen 2 cos(3 ) p

g. / ln /x yz e y x

2.Si 2 2, 2 3 4f x y x xy y , demostrar que: 2,3 1 , 2,3 18x yf f

3.Si 2 2

x y

ux y

, demostrar que: x( +y(

4.Si 2 2 2u x y y z z x , demostrar que: (

5.Hallar ,z z

x y

Si:

a. 3tan

x y

y xz e e

b. cosx yz e x y

6. Si 2 2( , ) lnf x y x y , calcular . .z z

V x yx y

7.Si arcsinx y

zx

, Hallar

2 2 2

2 2, ,

z z z

x y x y

8.Sea 2 2.x y

zx y

, Hallar 2 2

2. 2. .

z z zV x y

x x x y

9.Un triángulo ABC se transforma de manera que el ángulo A aumenta a razón de 0 a 90 en 10 segundos,

mientras que el lado AC disminuye 1cm por segundo y el lado AB aumenta 1cm por segundo. Si en el

instante de observación A=60, AC=16cm, y AB=10cm ¿Cómo varía el área del triángulo ABC?



10. 1. Si w es función de x e y , es decir ( , )w f x y calcular usando derivación implícita ,w w

x y

sabiendo que:

a. 2 2

2 2sen

x yw arc

x y

b. 2 2

2 2ln

x y xw

x y x

11. La altura de un cono circular mide 100cm y disminuye 10cm por segundo, si el radio de la base mide

50cm y aumenta 5cm por segundo ¿Cuál es la rapidez de cambio del volumen?

12. Dada la ecuación 2 4 0x y seny . Hallar (dy/dx)

13. Si 2 2 10x y z xyz . Hallar (



PRACTICA DIRIGIDA N° 10 PLANOS, RECTAS EN R3

1. Hallar la ecuación del plano cuyas intersecciones con los ejes X, Y y Z son -5, 3 y 1.

2. Demostrar que los cuatro puntos 1,0, 4 , 2, 1,3 , 2,3,5 y 1,2,4 son coplanares.

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 3, 2,6 y es paralelo al plano

4 3 12 0y z .

4. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 4, 2,1 y es perpendicular a cada uno de

los planos: 3 4 9 0x y z y 2 2 11 0x y z

5. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano XZ y que pasa por los puntos 4, 7,2 y

12,, 11,7

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el eje Y y por el punto 8,4, 6

7. Un plano es paralelo a cada una de las rectas que tienen por números directores respectivos

1, 3,2 y 3,7, 1 . Hallar la ecuación del plano si además pasa por el punto 5,1, 1 .

8. Hallar la distancia entre los planos paralelos 8 4 9 0x y z y 8 4 36 0x y z .

9. Hallar la ecuación del plano cuya distancia del origen es 5 y cuya normal tiene por números

directores 2,6,3 . (Dos soluciones)

10. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al plano que tiene por ecuación 2 2 12 0x y z

y cuya distancia al origen es 2.

11. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al plano que tiene por ecuación

7 3 2 2 0x y z y cuya intersección con el eje Z es 4.

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (3,.1,4) y también por la recta de

intersección de los planos 2 0x y z y 2 3 0x y z

13. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto 2,4,3 y cuyos números directores

son 2,0, 3

14. Una recta pasa por el punto 6,3, 2 y es perpendicular al plano 4 7 9 0y z . Hallar sus

ecuaciones.



PRACTICA DIRIGIDA N° 11 CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRICAS

I. CILINDROS: Graficar las siguientes superficies (cilindros):

1. 2 2 9y z

2. 2 4 4 0y z

3. 2 2 24 4 4x y z

4. x y , Z

5. 2( 1)z x , Z

6. 2 2 1x z

7. 2 1x z

8. 2 24 1x y

9. 2 24 36x y

10. 24x y

11. 2 24 16x z

12. Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya directriz esta dada por la ecuación 2 2 1, 0x z y

y cuyo números directores de su directriz es 2,1, 1

13. Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya directriz esta dada por la ecuación 2 1, 0x y z y

cuyo números directores de su directriz es 2,0,1

II. SUPERFICIES CUADRICAS

14. Graficar la siguiente superficies 3 2 2 2, , 4 4 16 4 16 0S x y z x y z x y

15. Dadas las graficas



a. Reconocer e Identificar la región y sus principales trazas.

b. Especificar la ecuación matemática de esta curva usando constantes generales (positivas) a, b, c,

… [por ejem: “Hiperboloide de una hoja, 2 2 2aX bY cZ d ”]

16. Dadas las ecuaciones, sin necesidad de graficar diga si existe dicha región en 3R , y si es un

punto, una par de rectas o una cuádrica y especifíquela (nómbrela).

a. 2 2 2( 1) 1X Y Z b. 2 2

2 ( 1)( 1) 0

4 2

Y XZ

b. 2

2 ( 1)2 2

1

XZ Y

d. 2 2 22 2 2 0X Y Z

17. Discutir y graficar las siguientes superficies en el espacio:

a. 2 2 24 8 2 2 3 0x y z x y z ( hiperboloide de una hoja con centro en ( 1,1,-1))

b. 2 2 2 8 8 6 24 0x y z y z ( esfera )

c. 2 2 22 4 8x y z (cono elíptico de 2 hojas)

d. 2 2 2 10 25 0x y z z (cono circular)

e. 2 236 36 9y x z (paraboloide elíptico)

f. 2 2 5x z y (paraboloide hiperbólico)

g. 2 2 24 4 6 16 16 5 0x y z x y z ( hiperboloide de una hoja)

h. 2 2 2 0y z x (paraboloide circular recto)

i. 2 23 2 11z x y ( paraboloide )

j. 2 2 2

14 9 9

z y x ( hiperboloide de dos hojas)

III. DIVERSOS:

2. Discutir y graficar las siguientes y planos en el el espacio:

a. 1x y z

b. 2 4 12 0x y z

c. 2 2 0x y



d. 3 1x z

e. x z

f. 2x

3. Discutir y graficar las siguientes superficies en el el espacio:

a. 2 2

436 25

x zy b. 2 29 4 12 0x y z c. 2 2y z

d. 2 2 24 9 36x y z e. z y f. 2x z

g. 2 2 2x z y h. 2 2

2 3 9z x y

4. Hallar la ecuación de la esfera de radio R = 3 y que es tangente al plano 2 2 3x y z en el

punto 1,1, 3P

5. Hallar la ecuación de la esfera que esta en los planos paralelos 1 : 2 2 1 0x y z ;

1 : 2 2 17 0x y z conociendo que 1,3,0P es el punto de contacto de uno de ellos.

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por lal línea de intersección de las dos esferas 2 2 22 2 2 3 2 5 0x y z x y z , 2 2 2 3 2 1 0x y z x y z

7. Trace la región limitada por 2 2 2 22 1 2x y y z x y para z

8. Obtener la curva de intersección de las superficies

2 2 2 2 2 22 3 1 2 4 2 5 0x y z x y x y z y y hacer su gráfica

9. Graficar :

a) La parte del hiperboloide 2 2 2 1x y z que se encuentra abajo del rectángulo

1,1 3,3x

b) La parte del paraboloide elíptico 2 26 3 2x z y que se encuentra a la derecha del plano

XZ

c) La parte de la esfera 2 2 2 4x y z que se encuentra arriba del cono 2 2z x y

d) La parte del cilindro 2 2 1x z que se encuentra entre los planos y=-1 y y=3

e) La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro 2 2 16x y

f) La parte del plano z=x+3 que se encuentra dentro del cilindro 2 2 1x y



g) La parte del plano x+2y+z=4 que se encuentra dentro del cilindro 2 2 1x y

h) La parte de la superficie 2z x y que se encuentra arriba del triángulo de vértices (0,0),

(1,1) , y (0,1)

i) La parte del paraboloide hiperbólico 2 2z y x que se encuentra entre los cilindros 2 2 2 21 4y x y y x

10. Graficar los sólidos indicados, marcando los cortes con los ejes coordenados.

a) Sólido limitado 2 2 1y x , el plano z= y+3 y el plano xy

b) Sólido limitado por 2 2 1z x y los planos y=0 y x+y=2

c) El sólido limitado por 2 24z x y y z=0

d) El sólido limitado por 2 2 2 1z y x y arriba de 2 2z x y

e) El sólido limitado por el plano x+y+z=1 y los planos coordenados en el primer octante.

f) El sólido limitado por 2 29z x y y z=-1

g) El sólido limitado por 2 2 2 23 2 3z x y y z x y

h) El sólido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)



PRACTICA DIRIGIDA N° 12 FUNCIONES VECTORIALES

1. En las siguientes Funciones Vectoriales de Variable Escalar, hallar el Vector para t , indicado:

a) 2;35)( 2 tjtittF

b) 0;)( 3 tktjtCosietF t

c) 3;)1,,3()( 432 tttttF

2. Hallar el Dominio de las siguientes Funciones Vectoriales de Variable Escalar:

a. jtSenietF t

)(

b. jt

it

tF

1

3

5

1)(

c. ktjittF t

55)( 5

d. ),7,4()( 3 ttttF

e. )7(,)82()( tLntLntF

f. ktjtit

ttR

34

2)(

5

g. ktjtittR 3 222 111)(

h. ktjtittR )5ln(59)( 3

i. kt

tj

t

tietR t

5

494)(

22

j. kejtittR tln12 )2ln()4ln()(

3. Efectuar las operaciones con: 12)( ttf ; )1,,3()( 2 ttttF ; ),,2()( 32 tttG en t = 3

a) Ff c) )( GF e) GF

;

b) GF d) GF

4. Calcular los siguientes límites de funciones vectoriales:

a. kxjx

xixLim x

x

5

4

41 2

4

b. 23,,3 2

1

tttLim

t

c.

4

23,

2

6,

2

82

223

2 t

tt

t

tt

t

tLimt

d.

tte

t

tsen

ttLim

tt csc

1,,

coscos 3

0

e.

23

3

4

2

2 2

8,

16

4,2

tt

t

t

ttLim

t



f.

3

3,

27

6,

3

9 2

3

22

3 t

tt

t

tt

t

tLimt

g.

t

t

ttt

tLim

1

3

30,,

1

13

h.

t

t

t

t

tt

ttLimt

24,

2

1)1(,

23

6 3

2

2

0

i.

t

t tt

t

t

ttLim

23 2

2

24 11,

1

1,

9

356

j.

t

t

t

t t

t

tSent

tSentLim

1

0 21

61,

3

5,

13

19

k.

t

ttt

ttSen

t

ee

t

tLim

11

0)(,,

1

1

5. Hallar las derivadas de las siguientes Funciones Vectoriales:

a. ktSenjt

LnittF

)4()2

(2)(

b. kt

tLnSenj

tCos

titttF

t )(

1

51)(

424

c. kteSenjet

itCosttF tt

t

t 2

3

354

6 85()(

16)(

2

d. kSentTanjtLnitCosLntF tet t )())1(7())23(8()( 5

2

532

6. Integrar las siguientes Funciones Vectoriales de Variable Escalar:

a. dtktSenjtt

it ))4()4

(8( 33

b. dtkt

tjti

t

t)

2

3)1(

6

36(

323

2

c. dtkt

tjtCoseit t )

1)()7(

4

34

d. dtkt

jtt

itSen

tCos)

502

3

346

1

2(

22

e. dtktt

ttjtLntitCostSen )

404

7792(

2

243



f. dtkt

jtt

ie bat )1

1

134

1(

32

7. Encuentre la longitud de la curva alabeada para la función vectorial R (t) entre los valores de “t”

indicados

a. kt

jtitR ˆ3

2ˆˆ2)(3

2 10 t

b. ktjtit

tR 32

33

3

3

24

9

2

3)( 30 t

c. ktjtittR ˆ6ˆ3

2ˆ6)( 32 63 t

d. jtsentaitatR )()cos1()( 20 t

e. kttjtittR )tanln(sec)ln(sec)( 4

0

t

f. ktjtittR 32

3

1

2

2)( 31 t

g. kejtseneitetR ttt ˆˆˆcos)( 3ln0 t

8. Halle la Velocidad. Aceleración. Ecuación del Plano Tangente, Normal y Rectificador. Ecuación de la

Recta Tangente y Normal. Para cada una de las siguientes funciones:

a. kttjtitttR )3(3)3()( 322 t = 2

b. ktjtittR 3

312

21)( ),,1(

31

21P

c. ktjtittR 32 42)( t = 1

d. ktjeietR tt )4()( 22 )4,1,1(P

e. kejtsenittR t cos)( t = 2



PRACTICA DIRIGIDA N° 13 INTEGRALES DOBLES

I. Calcular las siguientes integrales dobles:

1. 1 2

2

0 1

x y dydx Rpta. 11/6

2. 2 2

2

0 0

8 2x y dydx Rpta. 152/3

3. 2 1

0 0

cosx xe y e dydx Rpta.

4. 1 1

0 01

dxdy

x y Rpta.27

ln16

5. 2 2

0 0

sen .senx ydxdy

Rpta. 2

II. Resolver:

1. Calcular la integral doble x y

D

e dxdy

, donde D es la región 0 1, 0 1x y .

Rpta. 2

1e

2. Calcular la integral doble

3/ 2

2 21D

ydxdy

x y , donde D es la región 0 1, 0 1x y .

Rpta. 2 2

ln1 3

.

3. Calcular la integral doble 2 xy

D

x ye dxdy , donde D es la región 0 1, 0 2x y .

Rpta. 2.

4. Calcular la integral doble 2 2

D

x y dxdy , si D es la región limitada por las líneas

, 0, 1, 2y x x y y . Rpta. 5

5. Calcular la integral doble 23 2D

x xy y dxdy , si D es la región limitada por las líneas

2 , 0, 2y x x y . Rpta. -244/21.

6. Calcular 2

D

xy y dxdy , donde D es el interior del triangulo de vértices 10,1 , 1,1 , 0,0

Rpta 6.

7. Calcular lnD

y xdxdy , si D esta limitado por las líneas 1, , 2xy y x x .

Rpta 5 2ln 2 1

8

.



8. Calcular 3D

x y dxdy , si D se define por las desigualdades 2 2 29, y 3

3

xx y

Rpta 439

169

.

9. Calcular D

ydxdy , donde D es el recinto dado por: 2 2 2 0x y y .

Rpta

10. Calcular 2

D

xy dxdy , donde D es el recinto dado por: 2 2 2 0x y x .

Rpta 8

.

III. Calcular las siguientes integrales dobles:

1. 2 2

1

x

x

dydx Rpta. 3/2

2. 1

0 0

sen

x

y xdydx Rpta.2

3

4

2

.

3. 2

1 0

y

x ye dxdy

Rpta.4 23 2

2

e e e

4. 1

0 1

xe

x y dydx Rpta.2 2

2

e .

5. 1 cos

2

0 0

sen

x

y xdydx

Rpta. 4/3

IV. Calcular las siguientes integrales dobles (sugerencia cambiar el orden de integración) :

1. / 2 / 2

0

sen

x

ydydx

y

Rpta. 1.

2. 3

1 1

0

x

y

ye dxdy Rpta. 1

6

e

3. / 4 / 4

2

0

tgy

x dxdy

Rpta. ln 2

4.

4. 2 ln

2

1 0

1 1

x

yx e dydx Rpta. 3/ 2 3/ 21 5 2 12 5 2 ln 5 2

2 62 1

V. Calcular las siguientes integrales dobles USANDO COORDENADAS POLARES :

1. Calcular 2 21D

x y dxdy , donde D es el es la cuarta parte del circulo 2 2 1x y , que se halla en

el primer cuadrante. Rpta / 6 .



2. Calcular 2 2x y

D

e dxdy

, donde D es el es la región del primer cuadrante acotado por la

circunferencia 2 2 2x y a Rpta 2

14

ae .

3. Calcular 2 2

D

x y dxdy , donde D es el es la región del primer y segundo cuadrante acotado por la

circunferencia 2 2 1x y Rpta 3

.

4. Calcular 2 2

2 2

1

1D

x ydxdy

x y

, donde D esta dado por las desigualdades: 2 2 1, 0, 0x y x y

Rpta. 28

.

5. Calcular la integral doble pasando a coordinas polares arctgD

ydxdy

x , donde D esta dado por las

desigualdades: 2 2 2 21, 9, , 33

xx y x y y y x .

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE:

VI. (AREA ) Usando integrales dobles resolver:

1. Calcular el área limitada por las líneas 2 2 24 , 2y x x y x (fuera de la parábola)

Rpta. 2162

3u

2. Calcular el área de la región limitada por las líneas 2 2 , 0x y y x y

Rpta. 21

6u

3. Hallar el área de la región encerrada por las graficas de 2 24 , 4 , 3, y 3x y y x x y

Rpta 2534 3

12u

4. Hallar el área de la región encerrada por las graficas de 3 32 , 6y x x y x x

Rpta. 216u

5. Calcular el área de la región limitada por las líneas 2 29, 9y x y x

Rpta. 272u

6. Calcular el área limitada por las líneas , ln , 1, 2xy e y x x x

Rpta 2 22ln 2 1e e u

7. Hallar el área de la región encerrada por las graficas de 2, , 2, 2xy e y x x x

Rpta. 2 2 216

3e e u



VII. (VOLUMEN)

1. Calcular el volumen del sólido cuya base esta en el plano XY acota por las curvas

24 , 3y x y x y cuyo techo es el plano 4z x Rpta. 3625

12u

2. Hallar el volumen del sólido en el primer octante limitado por las superficies

2 21, , x z x y x y Rpta. 315 32

120u

3. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 2 24 1, 0x y z z

Rpta. 3

4u

4. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 24 , 2, 0, 2z y y z x x

Rpta. 39u

5. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 2 2, z y z x y

Rpta. 3

32u

6. Calcular el volumen del sólido en el primer octante limitado por los planos coordenados y el plano

2 6x y z Rpta. 318u

7. Hallar el volumen de la región limitada por el cilindro 2x z y por los planos

1, 0, 0x y y z Rpta. 34

3u

8. Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide 2 2z x y , los planos coordenados y el

plano 1x y Rpta. 31

6u

VIII. SUPERFICIE

1. Calcular el área de la parte del plano 6 3 2 12x y z que esta situado en el primer octante.

2. Hallar el área de la función del cilindro 2 2 4x y comprendida entre el plano z = 5x y el plano

XY.

3. Hallar el área de la superficie del paraboloide 2 2 8y z y , interceptada por el cilindro parabólico 2 2y x y el plano x = 6

4. Hallar el área de la parte de la esfera cortada 2 2 2 4x y z por el cilindro 2

2 14

xy

5. Hallar el área de la superficie que es parte de la esfera 2 2 2 1x y z , dentro del cono 2 2 2x y z

, para 0z

6. Hallar el área de la parte del plano 1x y z

a b c , comprendida entre los planos coordenados.

Rpta. 2 2 2 2 2 21

2a b b c a c



PRACTICA DIRIGIDA N° 14 ECUACIONES DIFERENCIALES:

I. Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones que se dan a continuación son

soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas.

1. senx

yx

, ' cosxy y x 2. 2

3

xx e

y ce , ' 2 xy y e

3. 22 1y c x , 21 ' 2x y xy x

4. 21y x x 3' 2yy x x

5. y arcsenx ' lnxy ytg y

6. cos ,x t y sent ' 0x yy

7. ,t tx te y e 21 ' 0xy y y

8. 2ln , 2ln 1x t t y t t '

' ln 44

yy x

9. cos

cy

x ' 0y ytgx 10. ln xy c e ' x yy e

II. Resolver las ecuaciones diferenciales de variables separables:

11. 21 0y dx xydy 12. 2 2 2 2' 0y xy y x yx

13. 21 y dx xdy 14. 2 21 ' 1 0x y yy x

15. 2 21 1 0,x y dx y x dy si 0 1x y 16. ln 0, 1 1y xdx xdy x y

17. 1 ' , 0 0x ye yy e x y 18. 2 21 1 0x yy e dx e dy y dy

18b. ln 0x ydy ydx

19. Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente propiedad:

“El área de la región limitada por la curva , el primer cuadrante y la vertical trazada desde el punto P(x,y) de la

curva, es igual a 2 2x y unidades cuadradas”

20. Hallar una curva para la cual el área Q , Limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas 0,x x x ,

sea una función dada de Y. Con 2 lny

Q aa



TABLA DE INTEGRALES

I.-REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEGRACION.

1.- d f x f x c

2.- .A f x dx A f x dx , donde A es una constante.

3.- f x g x dx f x dx g x dx .

II TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

1.- 1

, 11

nn x

x dx c nn

2.- lndx

x cx

3.- 2 2

1arctg

dx xc

x a a a

4.- 2 2

1ln , 0

2

dx x ac a

x a a x a

5.- 2 2

1ln , 0

2

dx a xc a

a x a a x

6.- 2 2

2 2ln , 0

dxx x a c a

x a

7.- 2 2

arcsen , dx x

c aaa x

8.- 2 2

2 2ln , 0

dxx x a c a

x a

9.- x xe dx e c

10.- , ln

xx a

a dx c aa

II TABLA DE INTEGRALES TRIGONOMETRICAS.

11.- sen cos .xdx x c 12.- cos sen .xdx x c

13.- tg ln cos ln sec .xdx x c x c 14.- ctg ln sen ln cosec .xdx x c x c

15.- sec ln tg sec .xdx x x c 16.- cosec ln cosec ctg .xdx x x c

17.- 2sec tg .xdx x c 18.- 2csec ctg .xdx x c

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Guia Matematica II 2013 Ok