Guia Metodologica (1)

Gua metodolgica para calcular

esfuerzos al interior del terreno

originados por sobrecargas

Julio 2013

rea de Geotecnia

Dr. Oscar A. Cuanalo Campos

M. en I. Araceli Aguilar Mora

Jos Francisco Prez Sandoval (Servicio Social) Jos Alberto Gonzlez Merino (Servicio Social)

1

Benemrita

Universidad Autnoma de Puebla

Facultad de Ingeniera

rea de Geotecnia

GUA METODOLGICA PARA CALCULAR

ESFUERZOS AL INTERIOR DEL TERRENO,

ORIGINADOS POR SOBRECARGAS

Dr. Oscar A. Cuanalo Campos

M. en I. Araceli Aguilar Mora

Jos Francisco Prez Sandoval (Servicio Social)

Jos Alberto Gonzlez Merino (Servicio Social)

Julio 2013

2

NDICE

1. INTRODUCCIN

1.1 Esfuerzos causados por una carga puntual (teora de Boussinesq)

1.2 Solucin de Westergaard

1.3 Esfuerzos producidos por una carga lineal

2. ESFUERZOS PRODUCIDOS POR SOBRECARGAS DISTRIBUIDAS

2.1 rea rectangular

2.2 rea circular

2.3 rea triangular

2.4 rea trapecial

3. ESFUERZOS PRODUCIDOS POR VARIAS REAS CARGADAS

3.1 Bulbos de presin

4. METODOLOGA DE CLCULO

4.1 Determinacin de acciones de diseo

4.2 Esfuerzos a nivel de desplante de la cimentacin

4.3 Distribucin de esfuerzos con la profundidad

5. PROGRAMAS DE CMPUTO

5.1 Programa Stress

6. EJERCICIOS NUMRICOS

6.1 Carga rectangular

6.2 Carga circular

6.3 Franja infinita

7. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

3

1. INTRODUCCIN

Para el diseo geotcnico de una cimentacin se debern evaluar dos aspectos fundamentales:

a) La capacidad de carga

b) Los asentamientos

Para determinar las deformaciones que sufrir el subsuelo bajo una cimentacin originadas por

el peso de las estructuras, evaluadas en trminos de asentamientos o hundimientos, se precisa

conocer el incremento de esfuerzos al interior del terreno que producirn dichas sobrecargas.

1.1 Esfuerzos causados por una carga puntual P (teora de Boussinesq)

Boussinesq resolvi el problema de esfuerzos en cualquier punto de un medio, originados por

una carga puntual P aplicada en la superficie de un semiespacio idealizado como homogneo,

elstico e istropo.

Boussinesq obtuvo la siguiente expresin para calcular el incremento de esfuerzo vertical Pz

en cualquier punto al interior del medio (figura 1.1).

[ ]

Donde:

Figura 1.1 Esfuerzos verticales en un medio elstico, causados por una carga puntual

4

1.2 Solucin de Westergaard

Cuando el suelo est constituido por depsitos sedimentarios estratificados, por ejemplo capas

de material arcilloso compresible con intercalacin de estratos de arena o limo que restringen la

deformacin lateral de la arcilla, o suelos anisotrpicos, la ecuacin de Boussinesq no

proporciona una solucin confiable.

Para esta condicin Westergaard propone la siguiente expresin para determinar el incremento

de esfuerzo vertical Pz en el punto A, causado por una carga puntual P aplicada en un

medio slido elstico (figura 1.2).

[

( )

]

Donde:

, relacin de Poisson del suelo compresible

Figura 1.2 Solucin de Westergaard para calcular el esfuerzo vertical causado por una carga puntual

5

1.3 Esfuerzos producidos por una carga lineal

El incremento de esfuerzos verticales qz originado por una carga lineal flexible q de longitud

infinita aplicada sobre la superficie de una masa semi-infinita de suelo (figura 1.3), se puede

determinar mediante la siguiente ecuacin:

[ ]

Figura 1.3 Esfuerzos producidos por una carga lineal de longitud infinita

En el caso de una carga lineal q de longitud finita y (figura 1.4), el incremento de esfuerzo

qz en un punto A de la masa de suelo bajo el origen del sistema de coordenadas, se puede

determinar integrando la ecuacin de Boussinesq, cuyo resultado arroja la siguiente expresin:

(

)

Donde:

,

Figura 1.4 Esfuerzos producidos por una carga lineal de longitud finita y

x

z

x

z

q/unidad de longitud

qz

6

La ecuacin anterior se puede expresar como:

Donde: qo es el valor de influencia que depende de los parmetros m y n

Fadum tabul el valor de qo para diferentes valores de m y n, obteniendo la grfica de la figura

1.5.

Figura 1.5 Grfica de Fadum para influencia de carga lineal

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2. ESFUERZOS PRODUCIDOS POR SOBRECARGAS DISTRIBUIDAS

2.1 rea rectangular

Un caso que se presenta con frecuencia en la prctica es cuando se tiene una carga uniforme

sobre un rea rectangular, con w unidades de carga por unidad de rea, tal como se muestra

en la figura 2.1, en donde se pretende calcular el esfuerzo z, bajo una esquina de la

superficie cargada y a una profundidad z.

Figura 2.1 Esfuerzo vertical bajo la esquina de un rea rectangular flexible uniformemente cargada

Considerando un elemento diferencial de rea dA = dx dy sobre la superficie cargada. Si la

carga por unidad de rea es w, la carga total sobre el rea elemental es dP = w dx dy

Si a la carga elemental dP la pensamos como una carga puntual; el incremento del esfuerzo

vertical en el punto A causado por dP podemos evaluarlo usando:

[ ]

Sin embargo, tenemos que sustituir dP = w dx dy por P y x2 + y2 por r2 en la ecuacin anterior.

Entonces el incremento del esfuerzo en A causado por:

El incremento total del esfuerzo causado por el rea total cargada en el punto A se obtiene ahora integrando la ecuacin anterior.

{

[

(

)

]}

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Si a la parte encerrada en corchetes, del segundo miembro de la ecuacin, se le denomina wo,

su valor puede tabularse en funcin de diferentes valores de m y n, es decir:

y

Se puede encontrar el valor de un esfuerzo z en un punto A bajo una esquina de una carga

rectangular uniformemente cargada, con solo medir las distancias x y y, la profundidad z,

calcular los valores m y n, referirlos a las grficas que Fadum elabor para este caso (figura

2.2), para encontrar el valor de wo y aplicar la ecuacin: z = w wo

Figura 2.2 Grfica de Fadum para influencia de carga rectangular

Con esta grfica, se encuentra el valor de z correspondiente a cada profundidad z; sin

embargo no debemos olvidar que el sistema de coordenadas base que dio origen a esta grfica

de Fadum, es tal que su origen coincide precisamente con la esquina del rea rectangular

uniformemente cargada. Si se quieren saber las presiones bajo otro punto, debern hacerse las

sumas o restas convenientes al rea cargada, es decir, cualquier cimiento que tenga planta

rectilnea puede considerase como una serie de rectngulos, cada uno de ellos tiene una

esquina coincidente con el punto por debajo del cual se requiere el esfuerzo; despus, el valor

del esfuerzo se obtiene sumando los esfuerzos parciales de cada rectngulo.

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2.2 rea circular

Otro caso comn que se presenta en la prctica, es el clculo de esfuerzos a lo largo de una

normal por el centro de un rea circular con una carga uniformemente distribuida, como la que

se muestra en la figura 2.3

Figura 2.3 Esfuerzo vertical bajo el centro de un rea circular flexible uniformemente cargada

Sea R el radio de la superficie cargada y w la carga uniformemente distribuida por unidad de

rea. Para determinar el incremento de esfuerzo en un punto A, localizado a una profundidad

z bajo el centro de la superficie circular, definimos una diferencial de rea: dA = r d dr

La carga sobre esta rea elemental la consideramos como carga puntual y la expresamos como

dp = w dA = w r d dr. El incremento del esfuerzo en el punto A causado por esta carga puede

determinarse con:

[ ]

[ ]

El incremento total del esfuerzo causado por toda la superficie cargada se obtiene por integracin de la ecuacin anterior.

{

[( )

]

}

La expresin anterior podemos escribirla como z = w wo

10

Para obtener los valores wo se presenta la tabla 2.1, en los que para cada relacin de , se

tiene su correspondiente valor de wo. As, con este valor, el esfuerzo vertical z a lo largo de

una normal por el centro de un rea circular uniformemente cargada, se obtiene simplemente

aplicando la frmula anterior.

Tabla 2.1. Valores de influencia para rea circular uniformemente cargada (solucin de Boussinesq)

R/z wo R/z wo R/z wo R/z wo R/z wo R/z wo R/z wo

0.00 0.00000 0.37 0.17507 0.74 0.48059 1.11 0.70013 1.48 0.82452 1.85 0.89248 2.95 0.96691

0.01 0.00015 0.38 0.18317 0.75 0.48800 1.12 0.70457 1.49 0.82694 1.86 0.89382 3.00 0.96838

0.02 0.00060 0.39 0.19134 0.76 0.49533 1.13 0.70894 1.50 0.82932 1.87 0.89514 3.10 0.97106

0.03 0.00135 0.40 0.19959 0.77 0.50259 1.14 0.71324 1.51 0.83167 1.88 0.89643 3.20 0.97346

0.04 0.00240 0.41 0.20790 0.78 0.50976 1.15 0.71747 1.52 0.83397 1.89 0.89771 3.30 0.97561

0.05 0.00374 0.42 0.21627 0.79 0.51685 1.16 0.72163 1.53 0.83624 1.90 0.89897 3.40 0.97753

0.06 0.00538 0.43 0.22469 0.80 0.52386 1.17 0.72573 1.54 0.83847 1.91 0.90021 3.50 0.97927

0.07 0.00731 0.44 0.23315 0.81 0.53079 1.18 0.72976 1.55 0.84067 1.92 0.90143 3.60 0.98083

0.08 0.00952 0.45 0.24165 0.82 0.53763 1.19 0.73373 1.56 0.84283 1.93 0.90263 3.70 0.98224

0.09 0.01203 0.46 0.25017 0.83 0.54439 1.20 0.73763 1.57 0.84495 1.94 0.90382 3.80 0.98352

0.10 0.01481 0.47 0.25872 0.84 0.55106 1.21 0.74147 1.58 0.84704 1.95 0.90498 3.90 0.98468

0.11 0.01788 0.48 0.26729 0.85 0.55766 1.22 0.74525 1.59 0.84910 1.96 0.90613 4.00 0.98573

0.12 0.02122 0.49 0.27587 0.86 0.56416 1.23 0.74896 1.60 0.85112 1.97 0.90726 4.20 0.98757

0.13 0.02483 0.50 0.28446 0.87 0.57058 1.24 0.75262 1.61 0.85312 1.98 0.90838 4.40 0.98911

0.14 0.02870 0.51 0.29304 0.88 0.57692 1.25 0.75622 1.62 0.85607 1.99 0.90948 4.60 0.99041

0.15 0.03283 0.52 0.30162 0.89 0.58317 1.26 0.75976 1.63 0.85700 2.00 0.91056 4.80 0.99152

0.16 0.03721 0.53 0.31019 0.90 0.58934 1.27 0.76324 1.64 0.85890 2.02 0.91267 5.00 0.99246

0.17 0.04184 0.54 0.31875 0.91 0.59542 1.28 0.76666 1.65 0.86077 2.04 0.91472 5.20 0.99327

0.18 0.04670 0.55 0.32728 0.92 0.60142 1.29 0.77003 1.66 0.86260 2.06 0.91672 5.40 0.99396

0.19 0.05181 0.56 0.33579 0.93 0.60734 1.30 0.77334 1.67 0.86441 2.08 0.91865 5.60 0.99457

0.20 0.05713 0.57 0.34427 0.94 0.61317 1.31 0.77660 1.68 0.86619 2.10 0.92053 5.80 0.99510

0.21 0.06268 0.58 0.35272 0.95 0.61892 1.32 0.77981 1.69 0.86794 2.15 0.92499 6.00 0.99556

0.22 0.06844 0.59 0.36112 0.96 0.62459 1.33 0.78296 1.70 0.86966 2.20 0.92914 6.50 0.99648

0.23 0.07441 0.60 0.36949 0.97 0.63018 1.34 0.78606 1.71 0.87136 2.25 0.93301 7.00 0.99717

0.24 0.08057 0.61 0.37781 0.98 0.63568 1.35 0.78911 1.72 0.87302 2.30 0.93661 7.50 0.99769

0.25 0.08692 0.62 0.38609 0.99 0.64110 1.36 0.79211 1.73 0.87467 2.35 0.93997 8.00 0.99809

0.26 0.09346 0.63 0.39431 1.00 0.64645 1.37 0.79507 1.74 0.87628 2.40 0.94310 9.00 0.99865

0.27 0.10017 0.64 0.40247 1.01 0.65171 1.38 0.79797 1.75 0.87787 2.45 0.94603 10.00 0.99901

0.28 0.10704 0.65 0.41058 1.02 0.65690 1.39 0.80083 1.76 0.87944 2.50 0.94877 12.00 0.99943

0.29 0.11408 0.66 0.41863 1.03 0.66200 1.40 0.80364 1.77 0.88098 2.55 0.95134 14.00 0.99964

0.30 0.12126 0.67 0.42662 1.04 0.66703 1.41 0.80640 1.78 0.88250 2.60 0.95374 16.00 0.99976

0.31 0.12859 0.68 0.43454 1.05 0.67198 1.42 0.80912 1.79 0.88399 2.65 0.95599 20.00 0.99988

0.32 0.13605 0.69 0.44240 1.06 0.67686 1.43 0.81179 1.80 0.88546 2.70 0.95810 25.00 0.99994

0.33 0.14363 0.70 0.45018 1.07 0.68168 1.44 0.81442 1.81 0.88691 2.75 0.96009 30.00 0.99996

0.34 0.15133 0.71 0.45789 1.08 0.68639 1.45 0.81701 1.82 0.88833 2.80 0.96195 40.00 0.99998

0.35 0.15915 0.72 0.46553 1.09 0.69104 1.46 0.81995 1.83 0.88974 2.85 0.96371 50.00 0.99999

0.36 0.16706 0.73 0.47310 1.10 0.69562 1.47 0.82206 1.84 0.89112 2.90 0.96536 100.00 1.00000

1.00000

Desafortunadamente, todava no se ha encontrado una solucin analtica para el esfuerzo

vertical general, es decir, con coordenadas (r, z). Se han obtenido algunas soluciones usando

mtodos numricos, a partir de los cuales es posible obtener valores prcticos con precisin

razonable utilizando la siguiente expresin:

z = w(A + B)

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Donde A y B son los factores parciales de influencia que se muestran en la tabla 2.2

Tabla 2.2 Factores de influencia para esfuerzo vertical bajo una superficie circular uniformemente

cargada

2.3 rea triangular

Para el caso en el cual se supone que la presin de contacto vara linealmente a travs del

ancho (figura 2.4), los esfuerzos ortogonales en un punto A es:

[

]

Los valores de los ngulos y se determinan con las dimensiones de la seccin transversal

por medios trigonomtricos y estn dados en radianes. Para fines prcticos es conveniente

utilizar z = w IT

Donde IT es el factor de influencia para una carga triangular, en la tabla 2.3 se muestran los

valores de IT que corresponden a las relaciones z/b y x/b.

12

Figura 2.4 Esfuerzos debidos a una carga triangular

Tabla 2.3 Factores de influencia para esfuerzos verticales debidos a una carga triangular

13

2.4 rea trapecial

La expresin que puede utilizarse para calcular el incremento de esfuerzo z producido por

una carga trapezoidal en un punto A (figura 2.5) es:

[

]

Donde 1, 2 y 3 son los ngulos de acuerdo a la figura 2.5 expresados en radianes, y R =

a1/a2. Cuando R = 1, el esfuerzo corresponde al de una carga trapezoidal simtrica

Figura 2.5 Carga trapezoidal

14

3. ESFUERZOS PRODUCIDOS POR VARIAS REAS CARGADAS

Dentro de la mecnica de suelos existen varias teoras por medio de las cuales se puede calcular la distribucin de presiones dentro de la masa del suelo. Estas teoras demuestran que una carga aplicada al suelo aumenta los esfuerzos verticales en toda la masa; el aumento es mayor debajo de la carga pero se extiende en todas direcciones. A medida que aumenta la profundidad, disminuye la concentracin de esfuerzos debajo de la carga.

Las presiones estructurales a lo largo del eje de la cimentacin, por debajo de una carga uniformemente distribuida, disminuyen a medida que aumenta la profundidad z, pero no de forma lineal, sino a partir del valor q en la superficie del terreno.

3.1 Bulbos de presin

Una isobara es una lnea que une a todos los puntos de igual presin por debajo de la superficie del suelo. Podemos calcular una serie de isobaras, como se muestra en la figura 3.1 para cualquier sistema de cargas. Cada isobara representa una porcin de la carga aplicada en la superficie. Dado que estas isobaras forman figuras cerradas y se asemejan a la forma de una bombilla, se denominan bulbos de presin. Generalmente los bulbos de presin son elaborados para esfuerzos verticales, horizontales y de corte. Los ms importantes en el clculo de los asentamientos de cimentaciones son los de la presin vertical.

Figura 3.1 Bulbos de presin

El primero en estudiar y demostrar este efecto fue Boussinesq, para el clculo del bulbo de presin se utilizan los resultados de las ecuaciones de las transmisiones de esfuerzos que se utilizan para el tipo de carga (carga puntual vertical p, carga lineal vertical de longitud infinita, carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita, carga con distribucin triangular sobre franja infinita, carga uniformemente distribuida sobre un rea rectangular, carga uniforme sobre un rea circular de radio R, etc.), con dichos resultados puede obtenerse el conjunto de lneas de igual incremento de esfuerzo por carga, utilizando la ecuaciones de Boussinesq. El bulbo de presin, bajo el rea cargada, muestra que el rea ms afectada, est bajo el centro. El tamao del bulbo de presin de un valor proporciona una gua cuando se analiza qu partes de la masa de suelo por debajo de la cimentacin sern afectadas por la carga aplicada en forma significativa. Es til observar la extensin lateral y vertical de los bulbos de presin que representan esfuerzos iguales a 0.2 q y 0.1 q, hay dos formas extremas representadas por una carga uniforme circular y una carga corrida uniforme; los rectngulos de cargas uniformes producen valores intermedios.

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En la tabla 3.1 se muestran valores aproximados de la profundidad y ancho de los bulbos de presin de 0.2 q y 0.1 q.

Tabla 3.1 Valores de profundidad y ancho de los bulbos de presin

Carga circular uniforme

Carga corrida uniforme

0.2 q 0.1 q 0.2 q 0.1 q

Profundidad mxima del bulbo de presin por debajo del centro de la cimentacin

1.3 B 1.9 B 3.2 B 6.6 B

Semiancho mximo del bulbo de presin (distancia lateral desde el centro del claro)

0.7 B 0.9 B 1.1 B 2.1 B

Adicionalmente, las dimensiones de los bubos de presin pueden indicar hasta qu grado se debe llevar a cabo la exploracin en el campo. La profundidad mnima de perforaciones de exploracin generalmente es de 1.5 B, aunque en algunos casos este valor puede ser poco adecuado, de acuerdo a la tabla 3.1. Si varias reas cargadas estn lo suficientemente cercanas, los bulbos de presin individuales de cada una se combinan y forman un gran bulbo de presin de la intensidad como se muestra en la figura 3.2. Es importante notar que los bulbos de presin combinados para cimentaciones adyacentes, sern ms profundos que para los cimientos aislados. En la figura 3.2 se presentan los efectos tanto del ancho de los cimientos como de su agrupacin. El estrato blando no queda sometido a un esfuerzo importante por el cimiento (figura 3.2 a), pero s est sometido a un esfuerzo vertical por encima de 0.2 q, debido a la cimentacin (figura 3.2 b), o tambin al efecto combinado (figura 3.2 d) de las cimentaciones adyacentes (figura 3.2 c).

Figura 3.2 Bulbos de presin que indican la profundidad a la cual el suelo est sometido a esfuerzos

importantes

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Bulbos de presin para cimentaciones Los bulbos de presin para cimentaciones cuadradas, rectangulares y circulares generalmente

se pueden usar para determinar la presin vertical de Z, a cualquier profundidad z, debajo de la base de las cimentaciones. La profundidad z de la superficie del suelo, y la distancia r (o x) desde el centro de la cimentacin se expresan como una funcin del ancho de la cimentacin B. En el caso de la cimentacin circular B representa el dimetro. Los siguientes bulbos de presin se basan en las ecuaciones de Boussinesq y Westergaard

1. Bulbos de presin cimentaciones cuadradas y continuas, Boussinesq (figura 3.3) 2. Bulbos de presin para zapatas circulares, Boussinesq (figura 3.4) 3. Bulbos de presin para cimentaciones cuadradas y continuas, Westergaard (figura 3.5)

Figura 3.3 Bulbos de presin basados en la ecuacin de Boussinesq para cimentaciones cuadradas y

continas

17

Figura 3.4 Bulbos de presin basados en la ecuacin de Boussinesq para una cimentacin circular con

una carga uniformemente distribuida

Figura 3.5 Bulbos de presin basados en la ecuacin de Westergaard para cimentaciones cuadradas y

continas

18

4. METODOLOGA DE CLCULO

Con la finalidad de evaluar los estados lmites de falla y de servicio de una cimentacin, se

precisa determinar el incremento de esfuerzos z originado por el peso que transmiten las

estructuras. Para calcular dicho incremento de esfuerzos se podr aplicar la metodologa

descrita a continuacin:

4.1 Determinacin de acciones de diseo

Acciones permanentes

Dentro de este grupo se deben incluir las acciones permanentes o peso propio de los

elementos estructurales, el peso de la cimentacin, el peso de los rellenos y lastres que

graviten sobre los elementos de la subestructura, incluyendo el agua en su caso, los empujes

laterales sobre dichos elementos y toda otra accin que se genere sobre la propia cimentacin

y su vecindad (Arnal y Betancourt, 2007).

Acciones variables

Las acciones variables, incluyendo la carga viva, se considerarn con intensidad media para

fines de clculo de asentamientos u otros movimientos a largo plazo. Para la revisin de

estados lmite de falla se considerar la accin variable ms desfavorable con intensidad

mxima y las acciones restantes con intensidad instantnea.

Acciones accidentales

Se incluyen los efectos del viento o sismo para la revisin de los estados lmite de falla de una

cimentacin bajo este tipo de acciones.

4.2 Clculo de esfuerzos a nivel de desplante de la cimentacin

Los esfuerzos a nivel de desplante de la cimentacin debern calcularse mediante las

siguientes frmulas, segn sea el caso.

Cimentaciones sometidas a cargas verticales

Donde: n = presin a nivel de desplante de la cimentacin

Q = suma de acciones verticales

m = peso volumtrico del suelo arriba de la profundidad de desplante de la cimentacin

V = volumen del suelo excavado para el desplante de la cimentacin

A = rea de la cimentacin

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Cimentaciones sometidas a cargas inclinadas, cargas excntricas o momentos

Donde: M = momento a nivel de desplante de la cimentacin

y = distancia a la fibra ms alejada del eje neutro

I = momento de inercia de la base de la cimentacin

4.3 Distribucin de esfuerzos con la profundidad

Una vez determinado el esfuerzo a nivel de desplante de la cimentacin n, se podr calcular

la distribucin de esfuerzos con la profundidad aplicando las teoras de Boussinesq o de

Westergaard.

En el caso de cimentaciones flexibles (de mampostera), se sugiere determinar la distribucin

de esfuerzos originados por la sobrecarga en varios puntos de la cimentacin (centro, esquina,

mitad del claro corto y mitad del claro largo), para evaluar adecuadamente los asentamientos

diferenciales y la distorsin angular de la estructura.

En cimentaciones de tipo rgido se sugiere calcular la distribucin de esfuerzos al centro de la

cimentacin.

20

5. PROGRAMAS DE CMPUTO

5.1 Programa STRESS

Este programa permite estimar el incremento de los esfuerzos debido a cargas

distribuidas sobre la superficie de una masa de suelo semi-infinita. El programa es muy sencillo

y est en Sistema Operativo de Disco (DOS). No es necesario ejecutar el programa en

Windows, pero puede ser cargado como una aplicacin de DOS bajo Windows.

El programa se basa en las ecuaciones presentadas por Schlumpf (1966), Poulos y

Davis (1974) y NAVFAC DM.7.1 (1982)

Estructura del men del programa

El programa es controlado por un men, las selecciones individuales son generalmente auto-

explicativas, a continuacin se describen las caractersticas principales del programa.

Las siguientes instrucciones se aplican a todos los mens

- Cuando se dispone de varias opciones, el usuario puede seleccionar una, escribiendo la

letra resaltada o pasar de una a otra mediante las flechas arriba y abajo; tambin puede

presionar la tecla ENTER cuando la barra resaltada est en la seleccin (figura 5.1)

Figura 5.1 Seleccin de una opcin presionando la tecla ENTER en la barra resaltada

- Para salir de un men sin tomar ninguna accin, pulsar la tecla ESC

- Algunos mens requieren que el usuario introduzca ciertos datos, como la informacin del

proyecto, para aceptar pulsar la tecla ENTER. Para retroceder, pulsar las teclas SHIFT y

TAB. Tambin puede mover hacia arriba o hacia abajo al presionar las flechas de direccin

del teclado arriba o abajo, de igual forma puede presionar la barra espaciadora. Para

aceptar los datos despus de que el men ha sido completado, pulse la tecla F10

21

- Existen distintas alternativas para algunas entradas y se muestran de una en una en la

ubicacin de dicho elemento. Para pasar de un elemento al siguiente, pulsar la barra

espaciadora. Para ver todo el sub-men, presionar ALT-M

- En muchos casos hay un rango restringido dentro del cual los datos de entrada son

errneos. Por ejemplo, la parte superior de una capa no puede estar por encima de la parte

superior de una capa situada ms arriba de la superficie del perfil. El programa verifica los

datos y muestra un mensaje de error cuando los rangos permitidos cuando el usuario

intenta violar estas restricciones

Men principal

El usuario debe iniciar el programa, ubicndose en el directorio o subdirectorio donde reside el

programa y ejecutar el comando STRESS (figura 5.2). El equipo muestra una pantalla que

identifica el programa y da informacin de ste (figura 5.3). Para continuar presione F10,

despus aparecer un men, que ofrece diferentes opciones

Figura 5.2 Ubicacin del programa para su ejecucin

- Definicin del Proyecto

Con esta opcin se accede al men que le pide al usuario que introduzca el nombre del cliente,

nombre del proyecto, nmero de proyecto, responsable del proyecto, la fecha y las iniciales de

quien realiza el clculo (figura 5.4). Esta informacin aparece en el documento impreso. No es

necesario introducir la informacin de definicin de proyecto para ejecutar el programa

- Tipo de carga

Esta opcin muestra una serie de sub-mens para describir la carga y otros parmetros

necesarios para definir el problema (figura 5.5). Esto se describe en la capitulo siguiente

- Mantener el archivo

Esta opcin se usa cuando el usuario desea la salida de datos del problema en un archivo, para

leer los datos en uno ya existente, o para borrar los datos en el presente problema. Se

22

despliega un sub-men que pide al usuario que seleccione la opcin deseada, si el usuario pide

la entrada o salida de un archivo, el programa le pedir el nombre y pulsar la tecla ENTER para

aceptar

Figura 5.3 Presentacin del programa STRESS

Figura 5.4 Men para definir el proyecto

Figura 5.5 Men para seleccionar del tipo de carga

23

- Sistema de unidades

Esta opcin permite a los usuarios elegir unidades britnicas, unidades mtricas o el Sistema

Internacional (SI). El programa por default presenta unidades britnicas (figura. 5.6)

Figura 5.6 Men para seleccionar el sistema de unidades

- Aviso legal

Este es el deslinde de responsabilidad por los autores del programa, sealando que el usuario

es responsable en ltima instancia de la exactitud de los resultados (figura 5.7)

Figura 5.7 Aviso legal

- Ejecutar el programa

Despus de que los datos necesarios se han introducido, esta opcin hace que el equipo

ejecute el programa para resolver el problema y mostrar o imprimir los resultados

- Salir a DOS

Esta opcin descarga el programa de la memoria de la computadora y regresa al usuario al

sistema operativo

24

6. EJERCICIOS NUMRICOS

6.1 Carga rectangular

Ejemplo 1. Evaluar el incremento del esfuerzo a profundidades z = 0, 1, ,14 m en los puntos

A, B y C de una superficie cuadrada de 5.5 m de lado, originado por una sobrecarga uniforme w

= 82.9 kPa (figura 6.1). Graficar los resultados.

Figura 6.1 Superficie cuadrada con sobrecarga uniforme

Solucin a mano

a) Incremento de esfuerzos en el punto A

wo = factor de influencia calculado con la frmula correspondiente

z (m)

wo

z = 4[w wo]

(Kpa)

0 0.25000 82.900

1 2.750 2.750 0.24231 80.350

2 1.375 1.375 0.20868 69.198

3 0.917 0.917 0.16424 54.462

4 0.688 0.688 0.12525 41.533

5 0.550 0.550 0.09566 31.720

6 0.458 0.458 0.07414 24.585

7 0.393 0.393 0.05855 19.414

8 0.344 0.344 0.04710 15.619

9 0.306 0.306 0.03856 12.786

10 0.275 0.275 0.03206 10.630

11 0.250 0.250 0.02702 8.960

12 0.229 0.229 0.02305 7.645

13 0.212 0.212 0.01988 6.592

14 0.196 0.196 0.0173 5.739

25

b) Incremento de esfuerzos en el punto B


c) Incremento de esfuerzos en el punto C


z (m)

wo

z = 2 [w wo]

(Kpa)

0 0.25000 41.450

1 5.5 2.75 0.24530 40.672

2 2.75 1.375 0.22356 37.064

3 1.833 0.917 0.19169 31.782

4 1.375 0.688 0.15984 26.501

5 1.100 0.550 0.13216 21.911

6 0.917 0.458 0.10939 18.137

7 0.786 0.393 0.09106 15.098

8 0.687 0.344 0.07640 12.667

9 0.611 0.306 0.06466 10.72

10 0.550 0.275 0.05520 9.152

11 0.500 0.250 0.04753 7.881

12 0.458 0.229 0.04126 6.842

13 0.423 0.212 0.03609 5.984

14 0.393 0.196 0.03179 5.272

z (m)

wo

z = [w wo]

(Kpa)

0 0.25000 20.725

1 5.50 5.50 0.24891 20.635

2 2.750 2.750 0.24232 20.089

3 1.833 1.833 0.22832 18.928

4 1.375 1.375 0.20868 17.299

5 1.100 1.100 0.18645 15.457

6 0.917 0.917 0.16424 13.615

7 0.786 0.786 0.14361 11.905

8 0.687 0.687 0.12525 10.383

9 0.611 0.611 0.10931 9.062

10 0.550 0.550 0.09566 7.930

11 0.500 0.500 0.08403 6.966

12 0.458 0.458 0.07414 6.146

13 0.423 0.423 0.06573 5.449

14 0.393 0.393 0.05855 4.853

26

Solucin utilizando el Programa Stress

Paso 1. Introducir los datos del proyecto

Paso 2. Definir el sistema de unidades (britnicas, mtricas o internacionales). Para el ejemplo

elegimos el Sistema Internacional

Paso 3. Elegir en el sub men Load type, el tipo de carga segn sea el caso. Para este ejemplo

utilizaremos Carga Rectangular

27

Paso 4. Definir el nmero de cargas rectangulares a calcular, la relacin de Poisson*

(Poissons Ratio), el plano o punto en el que se desea calcular el incremento de esfuerzo y la

direccin correspondiente. Teclear F10 para aceptar valores y continuar con el clculo

* El programa por default da un valor de 0.30 para la relacin de Poisson

Paso 5. Introducir la informacin del rea, incluyendo las coordenadas en dos puntos

diametralmente opuestos y el valor de la carga uniforme


Paso 6. Definir en el plano X-Y las coordenadas del punto donde se calcular el incremento de

esfuerzo (Punto A al centro del rea, x = 2.75, y = 2.75), la profundidad a la que se desean

conocer los valores (z1 = 0 a z2 = 14), y el incremento de la profundidad en la direccin

seleccionada (delta z = 1)

28

Despus de haber introducido correctamente los datos teclee F10 para aceptar los valores.

Inmediatamente el programa volver a la pantalla donde se muestra el men principal

Paso 7. En el men principal elija la opcin Run program para ejecutar el programa y obtener

los resultados

29


Se seguirn los mismos pasos del 1 a 5 anteriormente descritos


esfuerzo (Punto B a la mitad de un lado del rea, x = 2.75, y = 5.50), la profundidad a la que

se desean conocer los valores (z1 = 0 a z2 = 14), y el incremento de la profundidad en la

direccin seleccionada (delta z = 1)


los resultados




esfuerzo (Punto C en una esquina del rea, x = 5.5, y = 5.5), la profundidad a la que se

desean conocer los valores (z1 = 0 a z2 = 14), y el incremento de la profundidad en la direccin



los resultados

30

Fig. 6.2 Grfica del incremento de esfuerzos por sobrecarga

31

Ejemplo 2. Calcular el incremento de esfuerzos verticales bajo el punto B ubicado fuera del

rea cargada, la cual tiene dimensiones de 8 m de largo y 5 m de ancho. El incremento de

esfuerzos se calcular a profundidades de 0, 1, , 6 m, producidos por una sobrecarga

uniforme de 58.9 kPa (figura 6.3)

Figura 6.3 Superficie rectangular con sobrecarga uniforme

El rea cargada se divide en cuatro rectngulos como se muestra en las siguientes figuras. El punto B es la esquina comn a los cuatro rectngulos. El incremento en el esfuerzo a la profundidad z debajo del punto B debido a cada rea rectangular se calcula usando la ecuacin

z = w wo. El incremento en el esfuerzo total causado por toda el rea cargada se obtiene por

z = w wo1 - w wo2 - w wo3 + w wo4 Solucin a mano

a) Incremento de esfuerzos z1 originados por el rea 1


z (m)

wo z1

0 0.250 14.725

1 10.000 7.500 0.24966 14.705

2 5.000 3.750 0.24745 14.575

3 3.333 2.50 0.24245 14.280

4 2.500 1.875 0.23439 13.806

5 2.000 1.500 0.22334 13.155

6 1.667 1.250 0.21074 12.412

32

b) Incremento de esfuerzos z2 originados por el rea 2


c) Incremento de esfuerzos z3 originados por el rea 3


d) Incremento de esfuerzos z4 originados por el rea 4


z (m)

wo z2

0 0.25000 14.725

1 10.000 2.500 0.24429 14.389

2 5.000 1.250 0.21970 12.940

3 3.333 0.83 0.18817 11.083

4 2.500 0.625 0.15899 9.364

5 2.000 0.500 0.13496 7.949

6 1.667 0.417 0.11559 6.808

z (m)

wo z3

0 0.25000 14.725

1 2.000 7.500 0.23978 14.123

2 1.000 3.750 0.20406 12.019

3 0.667 2.50 0.16550 9.748

4 0.500 1.875 0.13437 7.915

5 0.400 1.500 0.11049 6.508

6 0.333 1.250 0.09204 5.421

z (m)

wo z4

0 0.25000 14.725

1 2.000 2.500 0.23614 13.909

2 1.000 1.250 0.18693 11.0103

3 0.667 0.833 0.13531 7.970

4 0.500 0.625 0.09707 5.718

5 0.400 0.500 0.07111 4.188

6 0.333 0.417 0.05357 3.156

33

e) Incremento de esfuerzos totales (ztotal = z1 z2 z3 + z4)

z (m) z1 (+) z2 (-) z3 (-) z4 (+) zTOTAL (Kpa)

0 14.725 14.725 14.725 14.725 0

1 14.705 14.389 14.123 13.909 0.102

2 14.575 12.940 12.019 11.010 0.626

3 14.280 11.083 9.748 7.970 1.419

4 13.806 9.364 7.915 5.718 2.244

5 13.155 7.949 6.508 4.188 2.886

6 12.412 6.808 5.421 3.156 3.339


Pasos 1 a 4. Introducir datos en forma similar al ejemplo 1 anterior

Paso 5. Introducir la informacin del rea, incluyendo las coordenadas en dos puntos

diametralmente opuestos y el valor de la carga uniforme


esfuerzo (Punto B fuera del rea, x = 10, y = 0), la profundidad a la que se desean conocer

los valores (z1 = 0 a z2 = 6) y el incremento de la profundidad en la direccin seleccionada

(delta z = 1)

34

Paso 7. En el men principal elija la opcin Run program para ejecutar el programa y

desplegar los resultados

Figura 6.4 Grfica del incremento de esfuerzos por sobrecarga

35

Ejemplo 3. Calcular la distribucin de esfuerzos en los distintos estratos de suelo, que genera

una losa de cimentacin desplantada a una profundidad Df = 0.5 m, la cual transmite una carga

de 58.9 kPa. El incremento de esfuerzos se calcular a profundidades z = 0, 1.5, 3.0, 3.5, 5.0 y

11.0 m a partir de Df en los puntos A, B y C (figura 6.3).

Figura 6.5 Losa de cimentacin que transmite una carga uniforme

Solucin a mano





z (m)

wo

z = 4[w wo]

(Kpa)

0.0 0.25000 58.900

1.5 2.667 3.333 0.24351 57.371

3.0 1.333 1.667 0.21406 50.431

3.5 1.143 1.429 0.20076 47.299

5.0 0.800 1.000 0.15978 37.644

11.0 0.364 0.455 0.06150 14.491

z (m)

wo

z = 2[w wo]

(Kpa)

0 0.25000 29.450

1.5 5.333 3.333 0.24678 29.071

3.0 2.667 1.667 0.23149 27.270

3.5 2.286 1.428 0.22360 26.340

5.0 1.600 1.000 0.19546 23.026

11.0 0.727 0.455 0.09835 11.586

36




a) Incremento de esfuerzos en el punto A (centro x = 4, y = 5)

Pasos 1 a 7. Introducir datos de manera similar al ejemplo anterior

z (m)

wo

z = [w wo]

(Kpa)

0 0.25000 14.725

1.5 5.333 6.667 0.24903 14.668

3.0 2.667 3.333 0.24346 14.340

3.5 2.286 2.857 0.24000 14.136

5.0 1.600 2.000 0.22610 13.317

11.0 0.727 0.909 0.14712 8.666

37

b) Incremento de esfuerzos en el punto B (mitad del claro largo x = 8, y = 5)

Pasos 1 a 7. Introducir datos en forma similar al ejemplo anterior

c) Incremento de esfuerzos en el punto C (esquina del rea x = 8, y = 10)

Pasos 1 a 7. Introducir datos en forma similar al ejemplo anterior

38

Figura 6.6 Grfica del incremento de esfuerzos originados por la losa de cimentacin

39

6.2 Carga circular

Ejemplo 1. Calcular el incremento de esfuerzo en la masa de suelo, en los puntos A, B, C y D,

originados por una zapata de cimentacin de seccin circular de 2.5 m de radio que transmite

una presin de 52 kPa (figura 6.4). Las profundidades a las que se deber evaluar el

incremento de esfuerzos son z = 0, 1, , 12 m

Figura 6.7 Zapata circular con sobrecarga uniforme

Solucin a mano


wo = factor de influencia tomado de la tabla 2.1

z (m) r/z wo z = w wo

0 1.00000 52.000

1 2.50 0.94877 49.336

2 1.25 0.75622 39.323

3 0.83 0.54439 28.308

4 0.63 0.39431 20.504

5 0.50 0.28446 14.792

6 0.42 0.21627 11.246

7 0.36 0.16706 8.687

8 0.31 0.12859 6.687

9 0.28 0.10704 5.566

10 0.25 0.08692 4.520

11 0.23 0.07441 3.869

12 0.21 0.06268 3.259

40





Paso 3. Elegir en el sub men Load type, el tipo de carga segn sea el caso. Para este ejemplo

utilizaremos carga circular

41

Paso 4. Definir el nmero de cargas circulares a calcular, la relacin de Poisson* (Poissons

Ratio), el plano o punto en el que se desea calcular el incremento de esfuerzo y la direccin

correspondiente. Teclear F10 para aceptar valores y continuar con el clculo

* El programa por default da un valor de 0.30 para la relacin de Poisson

Paso 5. Introducir la informacin del rea, incluyendo las coordenadas del centro segn el

sistema de ejes establecido, su radio y el valor de la carga uniforme

42



esfuerzo (Punto A al centro del rea, x = 2.5, y = 3.75), la profundidad a la que se desean



Despus de haber introducido correctamente los datos del ejemplo teclee F10 para aceptar los

valores. Inmediatamente el programa mostrar el men principal



43


Se seguirn los pasos 1 al 5 anteriormente descritos


esfuerzo (Punto B al interior del rea, x = 2.5, y = 2.5), la profundidad a la que se desean








esfuerzo (Punto C en el permetro del rea, x = 2.5, y = 1.25), la profundidad a la que se

desean conocer los valores (z1 = 0 a z2 = 14), y el incremento de la profundidad en la direccin


44



Incremento de esfuerzos en el punto D



esfuerzo (Punto D fuera del rea, x = 2.5, y = 0.0), la profundidad a la que se desean


seleccionada (z = 1)



45

Figura 6.8 Grfica del incremento de esfuerzos por sobrecarga circular en los puntos A, B, C y D

46

6.3 Franja infinita

Esta opcin la utilizaremos para calcular el incremento de esfuerzos producido por una

sobrecarga aplicada en una franja de longitud infinita, segn las siguientes opciones del

submen:

- Uniform vertical: Para obtener los esfuerzos producidos por cargas uniformes

verticales

- Uniform horizontal: Para obtener los esfuerzos causados por cargas uniformes

horizontales

- Vertical increasing linearly: Para obtener los esfuerzos causados por cargas verticales

incrementndose linealmente

- Symmetrical vertical triangular: Para obtener los esfuerzos causados por cargas

triangulares simtricas

- Asymmetrical vertical triangular: Para obtener los esfuerzos causados por cargas

triangulares asimtricas

- Vertical embankment: Para obtener los esfuerzos ocasionados por un terrapln

Ejemplo 1. Calcular el incremento de esfuerzos en la masa de suelo, en los puntos A, B, , H,

originados por una sobrecarga vertical incrementndose linealmente de 39.24 kPa (figura 6.9)

Figura 6.9 Sobrecarga vertical incrementndose linealmente

De acuerdo a la ecuacin general para un rea triangular

[

]

Dnde: w = carga triangular distribuida

x = abscisa del punto de anlisis

b = ancho de la carga triangular

, = ngulos (en radianes) segn la figura 2.4

47

Solucin a mano


(

)

(

)

[(

)

]

zA = 12.49 (0.8760 + 0.4920)

zA = 17.09 Kpa


(

)

[(

)

]

zB = 12.49 (1.1760)

zB = 14.68 Kpa


(

)

(

)

= = 1.30 - 0.8760 = 0.4238 radianes

[(

)

]

zC = 12.49 (0.636 0.4918)

zC = 1.80 Kpa

d) Incremento de esfuerzos en el punto D

(

)

(

)

= = 1.3654 1.176 = 0.1894 radianes

[(

)

]

zD = 12.49 (0.379 0.355)

zD = 0.30 Kpa

48

e) Incremento de esfuerzos en el punto E

(

)

(

)

[(

)

]

zE = 12.49 (0.5404 + 0.4412)

zE=12.26 Kpa

f) Incremento de esfuerzos en el punto F

(

)

= 0

[(

) ]

zF = 12.49 (0.8760)

zF = 10.94 Kpa

g) Incremento de esfuerzos en el punto G

(

)

(

)

= = 1.0637 0.5404 = 0.5233 radianes

[(

)

]

zG = 12.49 (0.7850 0.4412)

zG =4.29 Kpa

h) Incremento de esfuerzos en el punto H

(

)

(

)

= = 1.1760 0.8760 = 0.2999 radianes

[(

)

]

zH = 12.49 (0.5998 0.4918)

zH = 1.35 Kpa

49





Paso 3. Elegir en el submen Load type, el tipo de carga segn sea el caso. Para este ejemplo

utilizaremos Infinite strip, vertical increasing linearly

50


Paso 4: Definir la direccin en la cual se calcular del incremento del esfuerzo (vertical), el

ancho de la carga vertical incrementndose linealmente (6 m), la intensidad de la carga (39.24

kPa), las coordenadas del punto donde se calcular el incremento del esfuerzo (x = 3, z = 2.5)

Despus de haber introducido correctamente los datos del ejemplo teclee F10 para aceptar los

valores. Inmediatamente el programa mostrar el men principal




Se seguirn los pasos del 1 al 3 descritos anteriormente

51











Paso 5. En el men principal posicinese sobre el submen Run program para ejecutar el

programa y obtener los resultados de manera automtica

52












kPa), las coordenadas del punto donde se calcular el incremento del esfuerzo (x = 3, z = 5)



53








g) Incremento de esfuerzos en el punto G




kPa), las coordenadas del punto donde se calcular el incremento del esfuerzo (x = 9, z = 5).



54

h) Incremento de esfuerzos en el punto H







55

Ejemplo 2. Calcular el incremento de esfuerzos en la masa de suelo, en los puntos A, B, , F,

originados por la sobrecarga de un terrapln de 78.48 kPa (figura 6.10)

Figura 6.10 Sobrecarga originada por un terrapln

Ecuacin general para el caso de una carga trapezoidal simetrica

[

]

Dnde: w= carga trapecial distribuida

1, 2 y 3 = ngulos en radianes segn la figura 2.5

a1, b = dimensiones segn la figura 2.5

Solucin a mano


56

(

)

(

)

1 = 3 = - = 0.7854 - 0.3217 = 0.4637 radianes

(

)

{ [

] [

]}

zA= 73.99 kpa


(

)

(

)

(

)

(

)

1 = - 2 = 1.3258 - 1.1071 = 0.2187 radianes

[ {

} {

}]

zB = 24.98 (2.433 + 0.6630-0.4442= = 66.24 kpa

57


(

)

(

)

(

)

2 = ( - 3) = 1.3258 1.1071 = 0.2187 radianes

1 = ( - ) = 1.4056 1.3258 = 0.0798 radianes

[ {

} {

}]

zC = 24.98(1.4056 + 0.5935 1.5409) = 11.45 kpa


(

)

(

)

58

1 = 3 = - = 1.1071 0.5880 =0.519 radianes

(

)

[

]

ZD = 62.06 kpa


(

)

(

)

(

)

1 = - 2= 1.1071 0.7854 = 0.3217 radianes

[ {

} {

}]


59

(

)

(

)

2 - 3=1.1071 0.7854 = 0.3217 radianes

(

)

1 = 1.2490 1.1071 = 0.1419 radianes

[ {

} {

}]


Para resolver este ejercicio se har referencia a la figura 6.11 cuyos ejes de referencia son

diferentes a los utilizados en el clculo manual, adems se requiere hacer algunas operaciones

aritmticas para llegar al resultado deseado

Figura 6.11 Sobrecarga originada por un terrapln (clculo con el programa Stress)


60



Paso 3. Elegir en el submen Load type, el tipo de carga segn sea el caso. Para este ejemplo

utilizaremos Infinite strip, vertical embankment

61


Paso 4. Definir la direccin del incremento del esfuerzo (vertical), el ancho a de la pendiente

del terrapln (a = 3 m), el ancho b de la carga del terrapln (b = 9 m), la intensidad de la carga

p (78.48 kPa), las corrdenadas del punto en el que se desea conocer el incremento del

esfuerzo (x = 9, z = 3)



Paso 6. El incremento de esfuerzo calculado corresponde a la mitad del terrapln, por lo tanto

se deber multiplicar por 2 para obtener el valor del esfuerzo total (zA = 73.98 kPa)

a = 6 m

b = 9 m

x

z = 3 m

x = 9 m

z

A

62





p (78.48 kPa), las coordenadas del punto en el que se desea conocer el incremento del

esfuerzo (x = 6, z = 3 para la 1 condicin de carga; x = 12, z = 3 para la 2 condicin de

carga)


desplegar los resultados (1 condicin de carga y 2 condicin de carga)

Paso 6. Sumar los incrementos parciales de esfuerzo correspondientes a la 1 y 2 condicin de

carga, para obtener el valor del esfuerzo total (zB = 66.24 kPa)

a = 6 m

b = 9 m

x

z = 3 m

x = 6 m

z

a = 6 m

b = 9 m

x

z = 3 m

x = 12 m

z

63







carga)




carga, para obtener el valor del esfuerzo total (zC = 11.45 kPa)



a = 6 m

b = 9 m

x

z = 3 m

x = 0 m

z

64




esfuerzo (x = 9, z = 6)



Paso 6. El incremento de esfuerzo calculado corresponde a la mitad del terrapln, por lo tanto

se deber multiplicar por 2 para obtener el valor del esfuerzo total (zD=62.08 kPa)


Se seguirn los pasos del 1 a 3 descritos anteriormente





carga)




carga, para obtener el valor del esfuerzo total (zE = 55.31 kPa)

a = 6 m

b = 9 m

x

z = 6 m

x = 9 m

65


Se seguirn los pasos del 1 a 3 descritos anteriormente





carga)



a = 6 m

b = 9 m

x

z = 6 m

x = 6 m z

a = 6 m

b = 9 m

x

z = 6 m

x = 12 m

66


carga, para obtener el valor del esfuerzo total (zF = 18.67 kPa)

a = 6 m

b = 9 m

x

z = 6 m

x = 0 m

z

a = 6 m

b = 9 m

x

z = 6 m

x = 18 m z

67

7. REFERENCIAS BIBILIOGRFICAS

Arnal L. y Betancourt M. (2007) Reglamento de construcciones para el Distrito Federal.

Editorial Trillas, Mxico.

Bowles J. (1997) Foundation analysis and design. 5th Edition, Mc Graw Hill, USA.

Braja Das (2006) Principles of Geotechnical Engineering, Fifth Edition. Cengage Learning. USA. Christian J. and Urzua A. (1996) Productivity tools for geotechnical engineers. Volume I.

Magellan Press, Inc.

Instituto de Ingeniera. (1993) Normas complementarias para diseo y construccin de

cimentaciones, DDF. Series del Instituto de Ingeniera No. ES-6. UNAM, Mxico.

Murthy V. (2002) Geotechnical Engineering; Principles and Practices of Soil Mechanics and Foundation Engineering. Taylor & Francis Publishing, USA. Whitlow R. (1994) Fundamentos de Mecnica de Suelos. Editorial CECSA, Mxico. Winterkorn H. y Fang H. (1990) Foundation Engineering Handbook. Editorial Van Nostrand

Reinhold USA.

Documents

Guia Metodologica (1)