INSTITUCION EDUCATIVA INEM JORGE ISAACS

AREA: MATEMATICASASIGNATURA: ARITMETICANIVEL: SEPTIMORESPONSABLE: DEPARTAMENTO DE MATEMATICASTIEMPO PREVISTO: primer periodo ENERO 20 A ABRIL 25

UNIDAD 1

NUMEROS ENTEROS

LOGROS:

Identificar el conjunto de los números enteros Z, con los elementos asociados a situaciones prácticas y a puntos de una recta numérica

Calcular la suma, resta, multiplicación y división exacta entre dos o más números enteros.

Resolver problemas donde intervengan las operaciones básicas de enteros.

PROPOSITOS:

Que el estudiante desarrolle la capacidad para efectuar operaciones con números enteros teniendo en cuenta sus propiedades

Que el estudiante adquiera habilidad para operar los números enteros en diferentes contextos dados

Que el estudiante aprecie las necesidades de resolver ejercicios y problemas propuestos.

ENSEÑANZAS (ESTANDARES):

Realiza operaciones aritméticas de forma precisa y eficiente con números enteros.

Formula y resuelve problemas de aplicación empleando operaciones y propiedades con los enteros

EVALUACIÒN:

Indicadores de logros

Efectúa la suma o resta de dos enteros cualesquiera Multiplica dos números enteros cualesquiera Divide dos números enteros, utilizando la regla de los signos Reconoce e identifica las operaciones con números enteros Elabora el mentefacto proposicional de una proposición dada Favorece con su actitud un ambiente de trabajo adecuado en

ejercicios y talleres Asume responsabilidad en la realización de tareas y trabajos asignados

SECUENCIA

La noción de número entero

Los números Naturales , llamados también enteros positivos, permiten resolver muchos problemas de la vida real, pero no todos .Es necesario buscar otros números para poder resolver situaciones como las siguientes :

_ Representar temperaturas bajo cero._Expresar deudas o saldos débitos._Indicar profundidades por debajo del nivel del mar.

Para resolver situaciones como las anteriores, el hombre inventó los números enteros negativos

Ejemplos:

_ Siete grados centígrados bajo cero se escribe ..............................- 7ºc_ Ochenta metros bajo el nivel del mar se escribe............................ –80m._ Una deuda de dos mil pesos se escribe ........................................._ 2000

Z -- = { ....-5, -4, -3, -2, -1 }

El conjunto de los números enteros ( Z) , resulta de la unión de los siguientes conjuntos : Los enteros negativos , el cero y los enteros positivos .

Z = Z- U { 0 } U Z+

Z = {...-5 , -4, -3, -2 ,-1 }U{ 0 } U { 1, 2, 3, 4, 5 ...}

¿ Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas?

a) NC Z b) { 0 } C Z c) –3 ЄZ d) 0 ЄZ

e) -9 Є Z + f) Z- C Z

Desplazamientos :

Los desplazamientos hacia la derecha se representan con números positivos y hacia la izquierda con números negativos.

Los desplazamientos hacia arriba se representan con números positivos y hacia abajo con números negativos.

Ejercicio

1. En los siguientes ejercicios indico a cuántas unidades se encuentra el conejo del punto de partida, después de los dos desplazamientos.

a) b) +8 -11

- 3 +4

C) D) +5 +12

-9 -17

2) Escribo la temperatura que señala el termómetro

a) Estaba en 15ºC y subió 8ºC b) Estaba en 2ºC y bajó 7ºC .

La recta numérica

Dibujo una recta y señalo sobre ella un punto de partida que será el origen y representará el cero ( 0 ).

Tomo una unidad de medida y la coloco sobre la recta. +1 hacia la derecha y –1 hacia la izquierda .

                                                  

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Ejercicio:

A cuantas unidades se encuentra el conejo del origen ( 0 ), en los siguientes casos :

+9 -17a) b)

-5 +6 -10 +26

c) d)

+4 -12

El valor absoluto

Una maquina especial para filtrar números enteros puede hacer lo siguiente:

si entra un número positivo sale positivosi entra un número negativo sale positivosi entra el cero sale cero

Es decir:

Valor absoluto de +5 = +5Valor absoluto de –12 = +12Valor absoluto de 0 = 0

Valor absoluto

Para no escribir la expresión “valor absoluto” se utiliza un par de barras verticales, así:

I +5 I = +5 I -12 I = +12 I 0 I = 0

Ejemplo : ¿ Cuál es el valor absoluto de X si I X I = 5 ?

Es necesario pensar que X puede ser positivo o negativo

X = 5 Si I X I = 5 , entonces : X= -5 ya que I 5I = 5

I-5I = 5

Luego los valores posibles de X son : +5 o -5

La suma de números Enteros

1) Para sumar Enteros positivos , se suman sus valores absolutos y se le escribe el signo + al resultado

(+4) + ( +7 ) = + 11

+7+4

                                                  

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11

2) Para sumar un entero positivo con uno negativo , se restan sus valores absolutos y al resultado se le escribe el signo del que tenga mayor valor absoluto .

(+3 ) + ( - 8 ) = -5+3

-5

                                          

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

-8

3) Para sumar enteros negativos, se suman sus valores absolutos y al resultado se le escribe el signo menos ( -)

( - 5 ) + ( - 4 ) = - 9

-5-4

                                          

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-9

Represento las siguientes sumas en la recta numérica y las efectúo

a) ( - 5 ) + ( -9 ) b) ( +8 ) + (- 15 )

c) (- 2) + (- 7) d) ( - 4) + ( +12 )

Suma combinada

El siguiente ejemplo me indica cómo se suman varios enteros positivos y negativos :

Efectúo ( +6 ) +( -9 ) +( +7) + (-3 ) + (- 4 )

Suma de positivos : ( +6 ) + (+7) = +13

Suma de negativos : (- 9) + ( -3 ) + ( -4 ) = - 16

Positivos + Negativos : ( +13 ) + ( -16 ) = -3

Ejercicios

Realizo las siguientes sumas :

a) ( +15 ) + (- 11 ) + (10) b) ( +8 ) + ( - 12 ) + ( - 21 )

c) ( +8) + (-20)+(+11)+ (-7)+( - 2 ) d ) ( -17) +(-3) + ( +15) +( -4 ) + ( +13)

Escribo los numerales para completar el siguiente cuadro:

  +   -4   + 9   -14   -22   + 8   + 5

  + 6              - 5              + 10            

1) Clausurativa : Al sumar números enteros se obtiene otro entero.

Si a, b Є Z , entonces ( a+ b ) Є Z

2) Conmutativa : Al sumar enteros se puede cambiar el orden de los

Si a , b Є Z , entonces a+b = b + a

·3 ) Asociativa : Al sumar enteros se pueden agrupar de a dos

Si a, b, c,Є Z , entonces ( a + b ) + c = a + ( b + c )4) Modulativa : La suma de un entero con el cero, da el mismo entero

Si a Є Z , entonces a + 0 = 0 + a = a

5) Inverso aditivo: Todo entero tiene inverso aditivo

Si a Є Z , existe - a Є Z , tal que a + ( - a ) = 0

-Ejercicio

a) ¿ por qué la suma de Naturales no cumple la ley del inverso aditivo ?

b) Realizo la siguiente suma de dos maneras para verificar la propiedad asociativa :

[ ( +2 ) + ( -3 ) ] + ( +5 ) = ( +2 ) + [ (-3) + ( +5) ]

c) Escribo el numeral que falta para completar la `propiedad del inverso aditivo

-----------------------------+( -2 ) = 0

(+ X ) -----------------=0

[ +5 +( +8 ) ] + ---------------=0

[ (-6) + (-11 ) ] + ------------ = 0

En un cercano mundo llamado “ Numeral” cada habitante tenía asignado un espacio determinado como su territorio, pero muy pronto tuvieron la necesidad de hacerse llamar de alguna manera y decidieron que cada uno se llamaría de acuerdo a la cantidad de pasos que podía dar horizontalmente a la derecha ,era la única forma de desplazarse que conocían, de tal manera que ZERIN que no podía moverse se llamó cero, quien podía dar un paso UNO, dos pasos DOS , diez pasos DIEZ. Y así sucesivamente sin tener límite alguno como en todo el mundo, existían seres extraordinarios que caminaban horizontalmente a la derecha y nunca se cansaban, nunca se detenían, quienes formaron esta agrupación se llamaron N.

Un buen día el emperador Numerín, les hizo formar y les dijo que en adelante que fueran llamados, siempre tenían que ocupar la misma posición y distancia el uno del otro, que cada uno debía ocupar siempre un lugar asignado.Allí en su posición, fueron descubriendo que entre ellos podían establecerse relaciones de acuerdo a la posición que ocupaban y que debían existir unas normas o leyes que rigieran su diario vivir, además efectuaban operaciones entre ellos para hacerse la vida más entretenida, estas operaciones se fueron convirtiendo poco a poco en sus juegos y alcanzaron tal grado de perfección que el resto de los habitantes se inquietaron y querían tener un lugar en la formación, los más precoces hicieron un descubrimiento que dejó perplejo a los demás : ¡ Podían moverse a la izquierda ¡ y encontraron su lugar es decir, en sentido opuesto al desplazamiento del resto de la formación.Integraron así un nuevo grupo al que llamaron Z.

La Resta de Números Enteros

Para restar dos números enteros, le sumo al minuendo el inverso aditivo del sustraendo:

a-b = a + (-b)

Ejemplos :

a) ( -13 ) – (+5) = (-13) + (-5 ) = -18b) ( +11 ) – ( -- 4 ) = ( +11 ) + (+4) = +15

Explico con mis propias palabras cómo se

TEXTO PEDAGOGIZADO

efectúa la resta de Enteros.

EJERCICIO : Transformo cada resta en suma y la efectúo .

a) ( +5) –(+10) = b) ( +3 ) – (-11 )=

c) ( - 8 ) – ( -- 15 ) = d) (+9) – ( -- 4 ) =

e) (-- 12 ) -- ( +7) = f) (+16 ) – (-- 6 ) =

Consulto las siguientes preguntas y las ilustro con un ejemplo :

a) ¿ Es Clausurativa la resta de enteros ?b) ¿ Es Conmutativa la resta de enteros?c) ¿Es asociativa la resta de enteros ?

Para escribir más fácilmente los polinomios de ahora en adelante ,se utilizará el siguiente convenio .

Se suprime el signo ( + ) que indica la operación suma y se deja el que acompaña a cada número.

Cuando el primer sumando sea positivo, también se elimina

su signo.

( -- 2 ) + ( + 4 ) = --2 + 4 = 2

Elimino este signo

( + 9 ) + ( --14 ) = 9 – 14 = -- 5

elimino estos signos

Ejemplo: ( +6 ) + ( -- 5 ) – ( -- 8 ) + ( + 3 ) 6 -- 5 + 8 + 3 = 12

LA MULTIPLICACION DE ENTEROS

A) PRODUCTO DE DOS ENTEROS POSITIVOS

( + 3 ) . (+ 2 ) = (+2) + (+2) + (+2) = +6

+2 +2+2

                                          

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Para multiplicar dos enteros positivos, se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le escribe el signo más ( + ) .

( + ) . ( + ) = ( +)

B) PRODUCTO DE UN ENTERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

( +3) . (-- 4 ) = (-4 ) +( -4) + (-4 ) = -12

-4-4 -4

                                              

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-12

Para multiplicar un entero positivo por otro negativo, se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le escribe el signo menos ( -- ) ( + ) . ( -- ) = ( -- )

C) PRODUCTO DE UN ENTERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

( -4 ) . ( + 3 ) = ( + 3 ) . ( -- 4 ) = ( -4 ) + ( -4 ) + ( -4 ) = -12 .

-4-4 -4

                                              

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-12

Para hallar el producto de un entero negativo por otro positivo, se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le escribe el signo menos (--)

D) PRODUCTO DE DOS ENTEROS NEGATIVOS :

Para hallar el producto de dos enteros negativos, multiplico sus valores absolutos y al resultado le escribo el signo más ( + )

( - ) . ( - ) = ( + )

(--6) . ( --3 ) = + 18

Ejemplo : ( - 3).(+6).(-2).(-4) : (-).(+).(-).(-) = (-)

= - ( 3.6.2.4 ) = - 144.

(+4).(-2).(+3).(-5) : (+).(-).(+).(-) = (+)

+(4.2.3.5) = + 120

Regla de los signos

Al multiplicar números enteros debe tenerse la siguiente regla de los signos :

(+).(+) =(+)

(-).(-) = (+) El producto de signos iguales , da ( + )

(+).(-) = (-)

(-).(+) = (-) El producto de signos contrarios ,da (-)

1) Realizo los siguientes productos

a) (+3).(-12) b) (-15). ( -14) c) (-16). (+5) d) (-9).(-3).(+8)

d) (+12).(+3).(-4)

2) Escribo el numeral que falta para formar proposiciones verdaderas :

a) (-3 ) . = -12 b) (+5) .( )= -50

c) (-6).( ).(-2) = -36 d) ( ).(+8).(-2) = +64

3) Simplifico las siguientes expresiones :

a) – { --( +4) } b) –[ -( -3) ] c) + {- (-1) } d) – {-[-(-5) ] }

e) + { - [-( -a) ] }

Clausurativa : El producto de dos números enteros es otro número entero.

Si a, b Є Z , entonces a.b Є Z.

Conmutativa : Al multiplicar números enteros , se puede

cambiar el orden de los factores , sin que cambie el resultado.Si a, b Є Z, entonces a.b = b.a

*Asociativa : Al multiplicar Enteros , puedo agruparlos de a dos.Si a, b, c Є Z, entonces (a.b).c = a. (b.c)

*Modulativa : Al multiplicar un Entero por 1, se obtiene el mismo Entero.El 1 es el elemento identidad dela multiplicación.

a. 1 = 1. a = a.

*Distributiva: La multiplicación de Enteros es distributiva respecto a la suma y a la resta.

a.( b + c) = a.b + a.c a.( b - c) = a.b – a.c

Recolectiva : Es la contraria de la distributiva

a.b + a.c = a. ( b + c ) a.b - a.c = a. ( b – c )

Anulativa : Todo número entero multiplicado por cero da cero.

Si aЄ Z , a.0 = 0.a = 0

1) Completo el siguiente cuadro :

a   b   c   a.b   b.a   c.b b.c    a.c  - 5   + 4  - 6            +1   - 9  +11            - 7   -1  - 8          

  - 4  + 10  - 12          

2) Utilizo la propiedad distributiva para resolver :

a) 7. ( 9 + 4 ) b) (-- 2 ).[ 20 + 30 ] c) (-- 8 ).[ (+5) + (-7) ]

3) En los siguientes ejercicios efectúo primero las operaciones dentro del corchete :

a) 3. [ (- 7) . ( 4 – 5 ) – 2 ] b) – 9.[ 2.( 8 – 3) + 8]

c) 8 . [ 3 .( -5 + 7 ) + 2 ] d) – 7 . [ - 2 ( 9 – 4) +8 ]

4) Identifico el factor común y aplico la propiedad recolectiva :

a) a.b + a.c – a.m b) 6.4 – 3.6 + 7.6 c) 5.11 – 2.11 – 11.3 d) 8.3 + 4.7 – 12 e) 10 – 3.5 + 30

El conjunto de los números enteros tiene una estructura organizada con elementos positivos, negativos, y el cero . Dicha estructura es posible caracterizarla mejor si se analiza con detalles cada una de las propiedades que cumplen las operaciones en el conjunto Z .Miremos la propiedad Clausurativa . Clausurar es cerrar, es decir, en los enteros , tanto la suma como el producto es cerrado para la operación, lo que significa que uno puede sumar o multiplicar y el resultado sigue siendo un número entero.

La Conmutativa , conmutar es cambiar, se puede cambiar el orden de los números, tanto en la suma como en la multiplicación y el resultado no varía en cada operación.

Análogamente se puede decir de la forma de asociar los elementos que se operan .Se puede asociar en una suma ( o multiplicación ) de tres elementos los dos primeros y luego con el tercero y este resultado será el mismo si se hubiera asociado el segundo con el tercero para así operarse con el primero.

De la propiedad Modulativa hay que resaltar que el módulo de la suma se

diferencia del módulo de la multiplicación, sin embargo ambas operaciones

cumplen con la propiedad , pues si se opera un elemento con el Modulo el

resultado es el mismo elemento, es decir, no lo altera , lo deja “quieto” al

número entero.

Si miramos la propiedad invertiva, vemos que esta solo se cumple en la

suma y no en la multiplicación. El inverso de un elemento es tal que al

operarse dicho elemento con su inverso debe resultar el módulo de la

operación en cuestión. La multiplicación de enteros no goza de esta

propiedad, pues el inverso multiplicativo de un elemento de Z no es un

entero en general. En tanto que el inverso aditivo( de adición) de un número

entero será su opuesto en ( en signo ), tal que al operarse el número con su

opuesto resulta el módulo.

La propiedad distributiva requiere de la combinación de las dos operaciones,

pues, pues la multiplicación distribuye sobre la suma.

Y en cuanto a la propiedad anulativa solo está presente en la multiplicación

que cuenta con el “anulador” ( cero) que al operarse con cualquier entero

resulta siempre cero.

En contraste, con la suma no hay elemento que anule a cualquier entero al

operarse con él. Solo es posible anularse operándose con cada inverso

aditivo; pero esta característica es la propiedad invertiva.

PREGUNTAS:

a) Ejemplifique las propiedades mencionadas con números enteros.

LA DIVISION DE NÚMEROS ENTEROS

8 divisor de - 32 , porque 8.( - 4 ) = - 32 . así -- 32 / 8 = -4

REGLA DE LOS SIGNOS

En la división se aplica la regla de los signos en la misma forma que en la multiplicación.

( + ) / (+) = ( + ) cociente de signos iguales da más ( + )

(--) / ( --) = ( + )

( +) / ( - ) = ( - )

( - ) / ( + ) = ( - ) cociente de signos contrarios da menos ( - )

Ejemplo : -- 18 / + 3 = - 6 --56 / --8 = + 7

Encuentro el resultado de las divisiones :

a) – 108 / 12 b) +175 / -25 c) 98 / -2 d ) – 1944 / (- 3 )

e) ( 8 – 53 ) / ( -- 5 ) f) ( -216 ) / ( +8)

g) Elaboro el mentefacto proposicional de : “ El cociente de signos contrarios es negativo “ h) ¿ Qué propiedades cumple la división de números enteros? . De ejemplo

OPERACIONES COMBINADAS

En ejercicios donde aparezcan las cuatro operaciones , primero se realizan las multiplicaciones o divisiones , luego la suma o resta.

Si hay signos de agrupación, se eliminan primero los más internos.

Ejemplo : Resolvamos :

--2.[6.(-7+5) –(6-4) / +2 ] / (-1)

-2.[6.(-2) –(2) /+2 ]/ (-1)

-2.[ -12 – 1 ] / -1

- 2.[ - 13 ] / -1 = + 26 / -1 = - 26.

Resolvamos : [ 6 – (-3 +1 – 2) ]. {2 + ( -3).[ ( - 9 + 1 ) / ( - 2 ) ] }

[ 6 – ( -4) ]. { 2 + (-3).[ ( - 8 ) / ( - 2) ] }

[ 10 ] .{ 2 + ( -3). [ + 4 ] }

10 . { 2 + ( - 12 ) } 10 . { - 10 } = - 100

EJERCICIO Resuelvo las operaciones combinadas :

a) [ ( - 12 ) / (- 3 ) + ( - 6 ) . ( - 1 ) ]. [ ( - 4 ) . ( - 8 ) – ( - 9 ). ( + 4 ) ]

b) – [ 14 . ( -6 ) + 6. ( - 8 ) - ( + 8 ) ] / 2 . ( - 7 )

c) 8 – 4 – [ ( - 4 ) . ( -9) + 72 / ( - 18 ) ] . ( - 3 )

d) { [ ( - 9 ). ( -4 ) / ( - 4 ) . 3 ] – 1 }.25 + 107 .

Las ecuaciones pueden considerarse parte de los sistemas lógicos porque su solución exige la aplicación de las propiedades de las operaciones en forma lógica.

Una ecuación es análoga a una balanza en equilibrio que se desequilibra al sumar, restar, multiplicar o dividir el peso en un solo lado.Conserva el equilibrio al sumar, restar , multiplicar o dividir el peso en ambos lados.

En general una ecuación matemática es una igualdad en la que aparecen cantidades conocidas constantes y una o más desconocidas incógnitas, relacionadas entre sí con signos de operación.

Ejemplo .: Resuelvo la ecuación : X + 2 = -- 14 X + 2 + ( - 2 ) = - 14 + ( - 2 ) sumo -2 a ambos lados X + 0 = - 16

X = - 16

Verificación : -16 + 2 = - 14- 14 = - 14

Ejemplo : 6m – 4 = 26 6m – 4 +4 = 26 + 4 sumo 4 en ambos lados 6m + 0 = 30 6m = 30 6m / 6 = 30 / 6 divido por 6 en ambos lados

m = 5

verificación: 6.5 – 4 = 26 30 – 4 = 26

26 = 26

Hallo el valor de la incógnita y verifico la respuesta en cada ecuación :

a) 4 + 2X = -- 28b) 7K -- 9 = - 9c) 3m –9 = 21 d) 6Y –3 = 15 e) R / 5 = --11

DIDACTICAS

RECURSOS

Material impreso – dibujos - graficas – cartelera- regla milimetrada – Hojas cuadriculadas .

1. Dados los desplazamientos encuentra la posición final del cuerpo: 3 pasos a la izquierda, 4 a la derecha y 7 a la derecha .

a) 8 derecha b) 5 izquierda c ) 12 derecha d) 13 izquierda.

2. Una de las siguientes proposiciones es falsa :

a) El cero es un número entero b) N C Z c) { 0 } C Z+ d) – 4 Є Z

3. Si X = -- 11 Y = --6 Z = --4 Halle X + ( Y + Z )

a) 24 b) --21 c) 42 d) --1

4. Una ardilla tiene su madriguera en un árbol y realiza los siguientes desplazamientos. Baja 2m. Sube 5m. Baja 4 m. Nuevamente baja 3m. Y por último sube 4m. ¿ A qué distancia está de su madriguera ?

a) 10m. b) 3 m c) --10m d) 0 5. Si adiciono los números negativos desde --1 hasta --5 obtengo:

a) +17 b) – 15 c) + 5 d) –3

6. Para obtener --72 como suma,¿ qué número hay que adicionarle a – 18?

a) -- 54 b) + 58 c) -28 d) +46

7. Una de las siguientes proposiciones es falsa

a) –19 +18 = -1 b) – 7 + 8 –17 = -- 16 c) 2 + 3 +( -15) = --10

e) 7 – 8 - 6 = --5

1. Un ciclista realiza tres recorridos sobre una misma línea recta . El primero es de 8 km a la derecha del punto de partida. El segundo es de 25 km a la izquierda del punto de llegada , terminado el primer recorrido .El tercero y último fue de 17 km a la derecha del punto de llegada del segundo recorrido. Al final de los tres recorridos ¿ A qué distancia se encuentra?

a) + 5 km b) -- 6km c) 0 km d) -- 5 km.

9. Dada la igualdad -- 75 + 84 = X - 43 el valor de X que la hace verdadera es :

a) 71 b) – 34 c) – 154 d) 52Elige la respuesta correcta de la operación ( - 2) .(+12) – ( 24—60)

a) -17 b)12 c) 52 d) -- 26

11. El producto de dos números es -- 136, si un factor es –17 ¿CUÁL es el otro factor?

a) –54 b) + 8 c) - 64 d) + 14

12. Una empresa productora de vinos tiene un barril con capacidad de 2000 vasos para la degustación del público. Si se consumen diariamente un promedio de 50 vasos .¿Cuántos vasos de vino habrá en el barril dentro de 20 días? .

a) 500 b) 1000 c) 800 d) no quedan

13. A las 2 de la mañana la temperatura era de 5º C bajo cero y a las 4 de la mañana descendió 4º C más ¿Qué temperatura marca el termómetro ahora?

a) + 2 ºC b) –9 ºC c) +12 º C d) – 15º C

14. Un tirador al blanco recibe $1200 por cada acierto y paga $ 500 por cada vez que no acierta . Si de 36 tiros acierta 20 ¿Cuánto dinero le queda?

a) $ 900 b) $ 1200 c) $16000 d) no le queda .

15. El valor de K que hace verdadera la proposición 3.K + 7 = -- 29 es :

a) +9 b) –14 c) -19 d) --12