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1
Curso: Matemáticas segundo medio COLEGIO SSCC CONCEPCION
Clase Teórica – Práctica Nº 28
SEGMENTOS PROPORCIONALES EN UNA CIRCUNFERENCIA
1. Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los segmentos
determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.
POTENCIA DE UN PUNTO INTERIOR UNA CIRCUNFERENCIA
PA PC = PB PD
2. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de
una secante por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra
secante por la medida de su exterior.
POTENCIA DE UN PUNTO EXTERIOR UNA CIRCUNFERENCIA
PB PA = PD PC. A (A+B) = C (C+D)
3. Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el cuadrado de la medida de la
tangente es igual al producto de la medida de la secante por la medida de su exterior.
POTENCIA DE UN PUNTO EXTERIOR UNA CIRCUNFERENCIA
PC2 = PB PA
NOMBRE:
2
Ejercicios: Calcular x en cada uno de los casos
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
1 2 3
4 5 6
8 7 10
3
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
4
2
x
O
X+23
2
X
O
6 2
X
6
O 4
X
B
CD
A
E
10
ABCD. Rectangulo
P
D
A
B
S Q
C
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
4
2
x
O
X+23
2
X
O
6 2
X
6
O 4
X
B
CD
A
E
10
ABCD. Rectangulo
P
D
A
B
S Q
C
11 12 13
14
r=5
16
17 18 19
15
CE = x
4
20. PA y PD son tangentes a las
circunferencias de centros S y Q. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son)
siempre verdaderas(s)?
I. PB · PC = PA2
II. PA = PD
III. SQ BC
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
4
2
x
O
X+23
2
X
O
6 2
X
6
O 4
X
B
CD
A
E
10
ABCD. Rectangulo
P
D
A
B
S Q
C
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
4
2
x
O
X+23
2
X
O
6 2
X
6
O 4
X
B
CD
A
E
10
ABCD. Rectangulo
1,5
5
3
6
x
4
5
x
63
A
B
AB = DIAMETRO
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
4
2
x
O
X+23
2
X
O
6 2
X
6
O 4
X
B
CD
A
E
10
ABCD. Rectangulo
1,5
5
3
6
x
4
5
x
63
A
B
A
B
C
R
E
ABC triangulo equilátero, de lado 4 cm. Calcular la longitud del segmento ER
AB
C
D
P
A
B
C
D
P
TP
A
B
T
P
O
P
A
B
C
D
T
P
A
B
T P
A
B
C
E
BO
DA
AB
C
D
A
B
CD
A
OB
C
AB
C
D
PP P
X
3
4
2 X
3
2
4X
4 5
4
2
3X
12
9
X
4
X
2
x-2
x-3
x+2
x
2x
x
12
x
4
5
x+1
x+32
x+8
x+2
r
4
2
4
OO
X
a
a
4
2
x
O
X+23
2
X
O
6 2
X
6
O 4
X
B
CD
A
E
10
ABCD. Rectangulo
1,5
5
3
6
x
4
5
x
63
A
B
A
B
C
R
E
O
D
AB
C
BC=AB+1 y AD=BC+1 AB=?
21 22 23
5
EJERCICIOS
1. Determine la medida del radio de la circunferencia de la figura si PB es tangente a ella en
el punto B; PB= 6 cm y PC= 4 cm.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
BE
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
2. AB es diámetro de la circunferencia de radio 5 cm; P es punto medio de la cuerda CD, que
mide 8 cm. Determine el perímetro del triangulo ACD.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
BE
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
3. P es punto de intersección de las cuerdas AB y CD. AP=x-1; PB=x+1; CP=x+5 y DP=x-3.
Determine la medida de las cuerdas AB y CD.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
BE
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
4. AD es tangente a la circunferencia de diámetro AB en el punto A. si AD mide 12 cm y CD
mide 6 cm, determine el perímetro del triangulo ABD y el radio de la circunferencia.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
BE
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
6
5. AB es diámetro; P es punto de intersección de las cuerdas AB y CD; CP=x; PD=x+1;
PB=x+4; AP=x-2. Determine el área y el perímetro de la circunferencia.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
BE
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
6. En la figura, PB mide 5 cm; CP mide 10 cm y CD mide 4 cm. determine el radio de la
circunferencia.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
BE
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
7. El punto 0 es el centro de la circunferencia; P es punto medio de AB; OP mide 6 cm y AB
mide 16 cm. determine el área y perímetro del circulo.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
BE
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
8. El triangulo DBP es isósceles de base DP. Determine su perímetro sabiendo que CP= 6 cm;
AB= 4 cm y AP= 12 cm.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
BE
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
7
9. AB es diámetro de la circunferencia y perpendicular a CD; OP= 3 cm y CD= 8 cm. determine
el área y el perímetro del triangulo BDP.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
B
E
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
10. P es punto de intersección de las cuerdas AB y CD. PC= 6 cm; PD= x+7; AP= x+5 y PB= x.
determine la longitud de las cuerdas AB y CD.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
B
E
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
11. PQ es tangente a la circunferencia en el punto T; T es punto medio de PQ; los arcos VR y SR
son congruentes. PQ= 4 cm y PS= 1 cm. determine el perímetro del triangulo PQR.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
B
E
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
12. PT es tangente a la circunferencia en T. TP= 3 cm y PB= 1 cm. determine las áreas del
triangulo ATP y del circulo.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
B
E
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
8
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
B
E
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
E
13. AB es diámetro y es perpendicular a CD. AE= 5 cm; CD= 10 cm. ¿ qué tipo de triangulo
es BCD?. Determine su área y perímetro. Determine, además, el área y el perímetro del
circulo.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
B
E
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
E
14. En la figura se cumple: AP= 6 cm; BP= 8 cm y CP: PD = 1: 3. Determine las longitudes de CP
y PD.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
B
E
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
E
15. PT es tangente a la circunferencia en el punto T. si PB= 5 cm y TP= 10 cm, determine el
radio de la circunferencia.
A
B
P
O
CB
DP
A
O
A
B
C
P
D
D
A
C
BC
D
P
AO B
A
B
C
D
P
A
BP
O
A
B
P
D
C
B
A
D
C
P
O A
C
B
D
Q T P
SV
R
A
T
B
P
OA
C
D
B
E
O
D
CA
B
P
T
PBOA
C
D
PA O B
AO
B
D
C
D E
A
B
C
C
PA
O B
E
16. AB es diámetro de la circunferencia; el triangulo PBC es isósceles de base CP; AC= DP= 8
cm y PB= 6 cm. determine la longitud de CD.
