Guia no 1 conceptos básicos de geometria

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

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1. CONCEPTOS BÁSICOS: PUNTO, RECTA,

PLANO Y ESPACIO 1.1. PUNTO: Un punto es una idea o abstracción. El punto es adimensional

(cero dimensiones). Un punto no puede definirse con términos más sencillos, por ejemplo, un punto es la huella

dejada por la marca de un lápiz.

1.2. RECTA: Una recta es una idea o abstracción. La recta es unidimensional

(una dimensión). Se puede describir como una longitud ilimitada, sin

grosor ni extremos. Se puede pensar en una recta como la línea más

delgada que se puede trazar. Su magnitud se da en unidades lineales.

1.3. PLANO: Una plano es una idea o abstracción. Un plano tiene longitud y

anchura pero no espesor, es decir, el plano es bidimensional (dos

dimensiones). Puede representarse por medio de una pizarra o el lado

de una caja. Su magnitud se da en unidades cuadradas.

1.4. ESPACIO: El espacio es una idea o abstracción. El espacio es

tridimensional (tres dimensiones) y su magnitud se da en unidades

cúbicas. Se describe como el conjunto de todos los puntos.

Ilustración:

EJERCICIO No 1: Punto, línea, plano y espacio son términos indefinidos. Indique cuál de estos términos se ilustra con:

a. La cubierta de un escritorio

b. Una pantalla cinematográfica

c. El filo de una regla

d. Un hilo en tensión

e. La punta de un alfiler

f. Una alcancía

Punto

Circunferencia,

L=2πr

Círculo,

Área: πr2

Esfera,

V=4/3πr3

http://www.upb.edu.co/portal/page?_pageid=55,1&_dad=portal&_schema=PORTAL


FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACION Y ESTRATEGICAS.

GUIA No 1 CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA Y CONSTRUCCIONES.

PROFESORA:Yolvi Adriana Córdoba Buitrago

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2. RELACIÓN ENTRE PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO.

2.1. Los puntos siempre se nombran con letras mayúsculas, así:

2.2. Dados dos puntos cualesquiera es posible trazar una recta que pase por ellos. En ocasiones se nombre con una

letra minúscula y una flecha encima o con los puntos que se encuentran en ella.

A

B

C

A, B y c son colineales. A, D y C son no

colineales. A, B, C y D están en el mismo

plano; son puntos coplanares. Los puntos

que como conjunto no están en el mismo plano son no coplanares

A B

C

D

Los puntos colineales son puntos que están

en la misma recta.

Los puntos coplanares son puntos que se

encuentran en un mismo plano.

Modelo físico Descripción Definición

Las rectas �⃡� y �⃡� se intersecan en el punto A Las rectas intersecantes son dos rectas con un punto en común.

�⃡�

�⃡�

A

Las rectas �⃡� y �⃡� no tienen un punto en

común. �⃡� es paralela a �⃡� , y se denota �⃡� ∥

�⃡�

Las rectas paralelas son rectas que están

en el mismo plano y no se intersecan.

Las rectas 𝑝, 𝑞 y 𝑟 tiene un punto en

común. Son rectas concurrentes.

Las rectas concurrentes son 3 o más rectas

coplanares que tiene un punto en común.

𝑝

𝑞

𝑟

�⃡�

�⃡�






3

2.3. Dados 3 o más puntos en un mismo plano (coplanares) pueden o no ser colineales.

2.4. Dos rectas coplanares si se intersecan lo hacen en un punto.

2.5. Tres puntos cualesquiera determinan un plano, tiene que ser no colineales.

2.6. Cuatro puntos cualesquiera uno de ellos no coplanar forman un espacio.

EJERCICIO No 2:

i. Menciónense grupos de tres puntos colineales de la figura siguiente:

A

B

C D E

F G

�⃡� D

�⃡�

D






4

ii. Aunque no se hayan dibujado, hay una recta que pasa por cada par de puntos. Cítense dos de estas rectas en la

figura, diferentes de 𝐴𝐹 ⃡ 𝑦 𝐺𝐶 ⃡ .

iii. ¿Es posible dibujar cuatro rectas que se intersequen en un punto? ¿Es posible dibujar cuatro rectas que se

intersequen en 2, 3, 4, 5, 6 o más puntos, hágase un dibujo que ilustre cada caso?

iv. ¿Cuántas rectas pueden determinar seis puntos si hay una recta que pasa por cada par de puntos?

Resuelva los siguientes puntos de acuerdo con la figura de la

derecha:

v. Enumérense tres pares de rectas intersecantes.

vi. Enumérense tres rectas concurrentes.

vii. Dibújense cuatro rectas concurrentes.

3. LÍNEA RECTA, SEGMENTO, RAYO Y ÁNGULO.

3.1. RECTA: Una línea recta se puede entender como un conjunto de puntos

alineados en una única dirección. Se denotará de la siguiente manera 𝑎.

3.2. SEGMENTO: Un segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , es el conjunto de los puntos que están entre A y B

incluidos estos.

3.3. RAYO: Un rayo 𝐴𝐵 es un subconjunto de una línea recta que comienza en

el punto A y que se extiende en forma ilimitada en la dirección del punto B.

3.4. ÁNGULO: Es la figura formada por dos rayos no colineales que tienen el mismo

extremo. Los rayos son los lados del ángulo mientras que el punto de intersección

de los rayos es el vértice. El símbolo para el ángulo es ∠.

𝑎

A

B






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EJERCICIO No3

B. Determínese para la siguiente figura todos los segmentos, rayos, y rectas que hay.

4. RELACIÓN ENTRE LAS RECTAS

4.1. Dadas dos rectas coplanares, éstas pueden ser intersecantes si se cortan o PARALELAS si no se cortan.

La recta 𝑠 es paralela a la recta 𝑡 y se escribe 𝑠 ∥ 𝑡.

La recta �⃡� no es paralela a la recta 𝑠 y se escribe �⃡� ∦ 𝑠.

�⃡� 𝑠 𝑡

A

B C

D E

F G H O






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4.2. Si dos rectas coplanares se intersecan formando un ángulo de 90 grados, éstas rectas se llaman

PERPENDICULARES.

5. RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES:

6.POSTULADOS GEOMÉTRICOS

𝑝

𝑞 𝑟

𝑞 es perpendicular a 𝑝 y se

escribe 𝑞 ⊥ 𝑝.

𝑟 no es perpendicular a 𝑞 y se

escribe 𝑟 ∤ 𝑞

Modelo físico Descripción Definición

�⃡� es perpendicular a �⃡� y se escribe �⃡� ⊥ �⃡�

Dos rectas son perpendiculares si al

intersecarse forman ángulos rectos.

La recta �⃡� es perpendicular a las rectas

�⃡� , 𝑛 y 𝑝, etc. Por tanto, la recta �⃡� es

perpendicular al plano A.

Una recta es perpendicular a un plano si es

perpendicular a cada una de las rectas del

plano que intersecan a la recta.

La recta �⃡� del plano B es perpendicular al

plano A; por tanto, el plano B es

perpendicular al plano A.

Dos planos son perpendiculares si en uno

de ellos hay una recta que es perpendicular

al otro.






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𝛼

Un postulado es una generalización básica aceptada sin demostración. Pueden compararse con las reglas de un juego.

En el “juego de la geometría” se aceptan como verdad y se usan como ayuda en la demostración de los teoremas.

1. Postulado de la existencia de los puntos:

El espacio existe y contiene por lo menos cuatro puntos no coplanares. Un plano contiene por lo menos tres puntos no colineales.

Una recta contiene por lo menos dos puntos.

2. Postulado del punto y la recta: Para afirmar que una línea es recta, se requiere una y sólo una, línea que contenga dos puntos

cualesquiera.

3. Postulado del punto y el plano: Tres puntos no colineales están contenidos en uno y sólo un plano.

Nota: Los planos se nombrarán con las letras del alfabeto griego.

4. Postulado de la intersección de planos: Si dos planos se intersecan, se intersecan exactamente en una recta.

5. Postulado de los dos puntos, la recta y el plano: Si dos puntos están en un plano entonces la recta que los contiene está en el plano.

6. Postulado de la separación de planos: Sea 𝛼 un plano y �⃡� una recta en 𝛼. Los puntos

del plano que no estén en �⃡� forman 2 semi-planos de manera que: a. Cada semiplano es un conjunto convexo.

b. Si P está en un semi-plano y Q está en el otro, entonces PQ interseca a �⃡�.






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7. Postulado de la separación del espacio: Sea 𝛼 un plano en el espacio. Los puntos del espacio que no estén sobre 𝛼 forman 2 semi-

espacios de manera que:

a. Cada semi-espacio es un conjunto convexo.

b. Si un punto A está en un semi-espacio y B está en el otro, entonces 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ interseca a 𝛼. NOTA: Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono.

8. POSTULADO DE LAS PERPENDICULARES:

Dados un punto y una recta en un plano, hay exactamente una recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta dada.

Dado un plano en el espacio y un punto que no está en ese plano, hay exactamente una recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano dado.

EJERCICIOS No 4: En los ejercicios i al viii complétense los enunciados con las palabras: punto, recta, plano y espacio. Dígase que postulado

sugiere la proposición completa.

i. Si los dos puntos están en un plano, entonces ________________ que los contiene está en el plano. ii. Un ________________ contiene por lo menos tres puntos no colineales.

iii. Dos puntos están contenidos en a lo sumo ________________ iv. Si dos planos se intersecan, se intersecan exactamente en ________________ v. Hay exactamente ________________ que pasa por un punto dado y es perpendicular a un plano dado.

vi. Un plano separa ________________ en dos semi-espacios. vii. En un plano, hay exactamente ________________ que pasa por un punto dado y es perpendicular a una recta

dada. viii. Una recta separa ________________ en dos semiplanos.

En los ejercicios ix al xii formúlese un postulado que permite llegar a la conclusión de que la proposición es verdadera.

ix. Dos planos distintos α y β, no pueden contener dos rectas distintas de �⃡� y �⃡� . x. Tres puntos no colineales A, B y C, no pueden estar en dos planos distintos de α y β. xi. El espacio puede contener más, pero no menos de cuatro puntos no colineales y no coplanares.

xii. Si dos puntos J y K están en diferentes semi-planos determinados por una recta �⃡�, el segmento 𝐽𝐾̅̅ ̅ interseca a �⃡�.

¿Cuántos planos pueden determinarse con cuatro puntos entre los cuales no hay tre s que sean colineales?

6.ALGUNOS AXIOMAS, DEFINICIONES Y TEOREMAS AXIOMA 1 (A1):

a. Toda recta es un conjunto de puntos

𝛼






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b. Todo plano es un conjunto de puntos

AXIOMA 2 (A2):

a. Existen por los menos dos puntos b. En todo plano hay por lo menos un punto

AXIOMA 3 (A3):

Si A y B son puntos, entonces existe una y solo una recta que contiene a A y B.

AXIOMA 4 (A4):

Si �⃡� es una recta, entonces existe un punto Q tal que Q no está en �⃡� .

AXIOMA 5 (A5)(Axioma de las paralelas):

Si �⃡� 1 es una recta y Q un punto exterior a �⃡� 1, entonces existe una y sola una recta que contiene a Q y es paralela a �⃡� 1.

DEFINICIÓN 1: Si un punto Q o está en una recta �⃡� , se dice que un punto Q es un punto exterior a la recta �⃡�

DEFINICIÓN 2: Se dice que dos rectas �⃡� 1 y �⃡� 2 son paralelas si se denota que:

I. Están en un mismo plano II. No se intersecan.

TEOREMA 1: Existen al menos dos rectas diferentes.

TEOREMA 2: Todo punto se encuentra al menos sobre dos rectas

I. Corolario: ninguna recta es vacía.

TEOREMA 3: Toda recta contiene por lo menos dos puntos.

I. Toda recta queda determinada por dos cualquiera de sus puntos que sean distintos. TEOREMA 4: Existen por lo menos cuatro puntos distintos.

TEOREMA 5: Existen por lo menos seis rectas distintas

Hasta ahora se han buscado objetos de nuestro mundo que sugieren conceptos geométricos. Se han elegido los

conceptos básicos –punto, recta, y plano- y se les ha llamado términos indefinidos. A partir de estos términos se

obtuvieron definiciones para describir otras figuras geométricas como segmentos, rayos y ángulos, y se han definido

relaciones como paralelismo y perpendicularidad.






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Ahora es el momento de dar el siguiente paso. Se requiere un método para comprobar que algunas generalizaciones son

verdaderas para todos los casos. El método que se empleará se llama razonamiento deductivo. Este proceso requiere la

aceptación de unas cuantas generalizaciones básicas sin comprobarlas llamados axiomas y postulados. Todas las demás

generalizaciones que pueden probarse como verdaderas con la ayuda de definiciones, postulados y la lógica del

razonamiento deductivo, se llaman teoremas y corolarios.

Razonamiento deductivo:

Paso 1: Empiécese con las condiciones dadas.

Paso 2: Úsese la lógica, definiciones, postulados o teoremas previamente probados para justificar una serie de proposiciones o pasos que den el resultado deseado.

Paso 3: Afírmese el resultado (la conclusión)

ACTIVIDAD PRACTICA 1. Escribe la definición de cada término y represéntelo grafica y simbólicamente.

Punto

Recta

Plano

Espacio

Puntos colineales Puntos coplanares

Rectas intersecantes

Rectas paralelas

Rectas concurrentes

Segmento Rayo

Angulo

Triángulo

Cuadrilátero

Círculo

Segmentos congruentes Ángulos congruentes

Angulo agudo

Angulo recto

Angulo obtuso

Bisectriz de un ángulo

Punto medio de un segmento Bisectriz de un segmento

Rectas perpendiculares






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Recta perpendicular a un plano

Planos perpendiculares

Bisectriz perpendicular

Distancia de un punto a una recta

Polígono

Diagonal de u n polígono Polígono convexo

Triángulo equilátero

Triángulo isósceles

Polígono regular

Para la próxima clase traer compas, transportador, regla y escuadras.

Hojas blancas.


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