MEDICION E INCERTIDUMBRE

EXPERIMENTO N 1

OBJETIVOS:

Calcular el error absoluto y relativo de los lados de un rectngulo. Deducir el error absoluto y relativo del rea del rectngulo. Calcular el porcentaje de error de una serie de mediciones utilizando el mtodo de las diferencias secuenciales.

FUNDAMENTACION TEORICA.

La medicin es la cuantificacin de la experiencia del mundo que nos rodea. El cientfico escocs del siglo XIX, Lord Kelvin, dijo una vez: Cuando uno puede medir aquello de lo que se est hablando y expresarlo en nmeros, sabe algo acerca de ello; pero, cuando no puede medirlo, cuando no puede expresarlo en nmeros, su conocimiento es escaso e insatisfactorio: podr ser un principio de conocimiento, pero escasamente ha avanzado su conocimiento a la etapa de una ciencia.

Vamos a empezar con una medicin aparentemente sencilla: tratemos de averiguar de que tipo de proceso se trata y que tipo de afirmacin se puede hacer. Si se le da una regla a un estudiante, y se le dice que mida la mesa donde realiza sus experiencias, su respuesta ser: La longitud de la mesa es de 250.5 cm. pero, pensemos: es en realidad 250.5000 cm. la longitud de la mesa?

Seguro que no. Hagamos una reflexin en presencia de la mesa y de una regla, y nos vamos a dar cuenta que no es un valor exacto.

Podra afirmar Que su valor exacto es 251 cm? Menos de 250.9 cm? Menos de 250.8 cm? Podramos contestar afirmativamente una de estas preguntas.

Habr un valor superior, a partir del cual no podemos afirmar que estamos en lo cierto, y habr tambin un valor inferior, en el cual no podemos confiar. Es decir, existe un intervalo en el cual se encuentra el valor deseado.

Esto quiere decir, que en la medicin no existe resultado exacto, y tenemos que aceptar las medidas que toman la forma de intervalos, dentro de los cuales se encuentra el valor esperado.

Clasificacin de los errores.

Para facilitar el anlisis del error que tiene el resultado del experimento, debemos clasificar los errores de las mediciones, de acuerdo a los factores que los provocan, en dos grupos: errores sistemticos y errores casuales o aleatorios.

Errores sistemticos.

Estn condicionados a las imperfecciones de los aparatos de medida.

Errores casuales o aleatorios.

Son originados por imprecisiones del observador en los datos tomados.

Precisin.

Es una medida que es tanto ms precisa, cuanto ms pequeos son los errores casuales.

Exactitud.

Es una medida que es tanto ms exacta, cuando ms pequeos son los errores sistemticos

Incertidumbre absoluta y relativa.

Al hacer una medicin, cualquiera que sea el mtodo que utilicemos, el resultado es un intervalo, que representa los lmites dentro de los que se encuentra el valor deseado.

En el ejemplo que vimos al principio, la persona que hace la medicin, solamente puede ser capaz de afirmar con seguridad, que la longitud de la mesa esta entre 250.4 a 250.6 cm.

Vamos a tomar el intervalo 250.4 a 250.6 cm. y lo expresamos de la siguiente forma: 250.5 0.1 cm.

Esta forma de expresin nos da un valor central de 250.5 cm. y nos da otro valor, 0.1 que se conoce como la incertidumbre de la medida, cuyo valor determina la precisin.

1.1

incertidumbre absoluta representa la magnitud o el intervalo en que la lectura de 250.5 es incierta, y segn nuestro ejemplo corresponde a 0.1 cm.

Calculo de error al hacer una medicin.

Tiene como objetivo, mostrar unas reglas que permitan encontrar el error, al hacer una medicin de una cantidad fsica.

Cuando se mide una cantidad fsica, se hace necesario repetir la medicin varias veces, y tomar como valor probable, la media aritmtica.

Ejemplo: Sean , las medidas tomadas, y N el nmero de medidas efectuadas, entonces:

1.2

Xm = Valor promedio o media aritmtica.

1.3

Los errores absolutos, reciben tambin el nombre de incertidumbre.

Ejemplo:

La medida de X, seria igual al valor medio ms o menos la incertidumbre. Por lo cual se obtiene:

1.4 Errores sistemticos.

La incertidumbre considerada, sufre de una insuficiencia que ocurre naturalmente al hacer una lectura.

Estos errores sistemticos, estn presentes en los mismos aparatos de medicin, por ejemplo, un voltmetro o un esfermetro, pueden tener mal ajuste del cero. Los errores sistemticos, estn siempre presentes cuando se hace una lectura, y por lo tanto, es necesario estar siempre alerta antes de realizar una medicin, con el propsito de detectarlos.

1.5 Errores casuales o aleatorios.

Estos errores se originan, por la imprecisin en la lectura de los aparatos, o problemas de nuestros rganos de los sentidos.

Los errores casuales, estn sometidos a las leyes de la probabilidad, esto quiere decir, que si hacemos una lectura, sta puede estar por encima del valor verdadero, pero si la volvemos a hacer, es probable que se encuentre por debajo del valor verdadero.

Evaluacin interna de los errores. Metodo de las diferencias secuenciales.

Cuando se realiza un experimento, se deben tomar varias medidas para una sola cantidad. Al repetir varias veces una medicin, el resultado no va a ser el mismo y esta variacin va a permitir hacer un estimativo de la exactitud del experimento, este es el estimativo interno (EI) del error en el experimento.

El estimativo interno de la medicin, se hace teniendo en cuenta la variacin que existe entre las diferentes lecturas tomadas.

Cuando se realiza la primera medicin, los factores que intervienen en ella, se acomodan para producir una lectura que puede ser alta. Si hacemos otra medicin, es posible que los diferentes factores se acomoden nuevamente y producen una lectura baja. Lo anterior es imprevisible, solo sabemos que se puede obtener cualquiera de las dos medidas, sin influir para nada una medida con la otra.

Si hacemos un razonamiento, nos damos cuenta, que las diferentes medidas pueden ser mayores o menores que un valor, ese valor recibe el nombre de media o valor medio, el cual definimos de la siguiente forma:

1.4Una vez calculado el valor medio de una serie de mediciones, se hace necesario definir la desviacin estndar o la desviacin cuadrtica media.

1.5

Con nuestras mediciones, estamos tratando de acercarnos a una cantidad L. Hasta ahora hemos calculado el valor promedio de las mediciones, lo cual nos ha permitido acrcanos al valor real de L.

Cuando hacemos un experimento y los errores sistemticos no se tiene en cuenta, el valor promedio () de la medicin se acerca ms al valor de L.

Vamos a dar el valor estimado de la desviacin de la media con relacin a la cantidad que se quiere medir, ya que su clculo es bastante complejo y est por encima de nuestros conocimientos de estadstica.

1.6

Entonces:

Vale la pena anotar, que los errores sistemticos, no se pueden eliminar ni detectar con este mtodo.

Ejemplo.

Durante la realizacin de un experimento, se trata de medir la longitud de una varilla, y hallar el error porcentual de la medicin.

Nmedidas

112.600

212.5-0.10.01

312.70.10.01

412.600

512.5-0.10.01

612.70.10.01

712.600

812.600

912.70.10.01

1012.5-0.10.01

= 126

Tabla 1.1

La longitud de la varilla es de 12.6 cm. con 2.6 % de error.

Las cuatro operaciones y los errores.

Analicemos el comportamiento de los errores cuando se efectan sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, en los cuales intervienen cantidades, que son el resultado de mediciones realizadas, las cuales estn afectadas por errores.

Vamos a suponer que se han medido las cantidades X e Y, las cuales despus de apreciar los errores se pueden expresar como:

Donde e son los valores medios, y son los errores o incertidumbre que se cometieron al hacer la medicin, y que pueden calcularse segn la ecuacin 1

Suma.

1.7

La cantidad calculada ser la suma de los promedios ms la suma de los errores correspondientes.

Multiplicacin.

1.8

Cuando de hace un producto, los errores tiene bastante propagacin.

Divisin.

Podemos escribir la ecuacin anterior de la siguiente forma:

Si hacemos tenemos.

Realizando una expansin binomial, llegamos a la siguiente expresin:

Aplicando un poco de algebra tenemos:

La raz k de una medicin que se le conocen los errores. Tenemos:

Hagamos y desarrollemos el binomio de Newton:

Entonces podemos decir que:

Reemplazando

Tenemos:

1.9MATERIALES

Regla Cinta mtrica Calculadora

REALIZACION DEL EXPERIMENTO

Nota: (cada grupo debe realizar 5 mediciones y registrar sus medidas en la tabla de datos).

1. Mida las dos dimensiones de su mesa de trabajo, el tablero, y la puerta.

MESA DE TRABAJONLARGOANCHO

1

2

3

4

5

Tabla 1.1

TABLERONLARGOANCHO

1

2

3

4

5

Tabla 1.2

PUERTANLARGOANCHO

1

2

3

4

5

Tabla 1.3

2. Calcule el error absoluto y relativo de las mediciones anteriores y consgnelo en las siguientes tablas.

MESA DE TRABAJOTIPO DE MEDICIONERROR ABSOLUTOERROR RELATIVO %

Largo

Ancho

Tabla 1.4

TABLEROTIPO DE MEDICIONERROR ABSOLUTOERROR RELATIVO %

Largo

Ancho

Tabla 1.5

PUERTATIPO DE MEDICIONERROR ABSOLUTOERROR RELATIVO %

Largo

Ancho

Tabla 1.6

3. Con los datos de las tablas 1.4,1.5 y 1.6, calcule el rea de los objetos y exprselo como un valor central ms o menos la incertidumbre.

REAERROR ABSOLUTOERROR RELATIVO %

MESA

PUERTA

TABLERO

Tabla 1.7

4. Con los datos de la tabla 1.4,1.5 y 1.6 utilice el mtodo de las diferencias secuenciales, para calcular el error porcentual, y exprese la medicin como un valor central ms o menos la incertidumbre.

5. Compare el error absoluto, relativo y el porcentual calculado por el mtodo de las diferencias secuenciales, y diga cual de estos tres es el de mayor confiabilidad y porque.

6. Se puede estimar el error sistemtico? Justifique su respuesta.

7. Calcule el permetro de la puerta, mesa y el tablero y estime el error cometido, expresando dicho permetro, como un valor central ms o menos la incertidumbre.

MEDICION E INCERTIDUMBRE

HOJA DE RESPUESTAS (Para entregar al docente.)

EXPERIMENTO N 1

Fecha __________________________ nota _____________ grupo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________

REALIZACION DEL EXPERIMENTO

Nota: (cada grupo debe realizar 5 mediciones y registrar sus medidas en la tabla de datos).

1. Mida las dos dimensiones de su mesa de trabajo, el tablero, y la puerta.

MESA DE TRABAJONLARGOANCHO

1

2

3

4

5

Tabla N 1.2

TABLERONLARGOANCHO

1

2

3

4

5

Tabla N 1.2

PUERTANLARGOANCHO

1

2

3

4

5

Tabla N1.3

2. Calcule el error absoluto y relativo de las mediciones anteriores, y consgnelo en las siguientes tablas.

MESA DE TRABAJOTIPO DE MEDICIONERROR ABSOLUTOERROR RELATIVO %

Largo

Ancho

Tabla N1.4

TABLEROTIPO DE MEDICIONERROR ABSOLUTOERROR RELATIVO %

Largo

Ancho

Tabla N1.5

PUERTATIPO DE MEDICIONERROR ABSOLUTOERROR RELATIVO %

Largo

Ancho

Tabla N1.6

3. Con los datos de las tablas 1.1,1.2 y 1.3, calcule el rea de los objetos, y exprselo como un valor central ms o menos la incertidumbre.

REAERROR ABSOLUTOERROR RELATIVO %

MESA

PUERTA

TABLERO

4. Con los datos de la tabla 1.1,1.2 y 1.3, utilice el mtodo de las diferencias secuenciales para calcular el error porcentual, y exprese la medicin como un valor central ms o menos la incertidumbre.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Compare el error absoluto, relativo y el porcentual, calculado por el mtodo de las diferencias secuenciales, y diga cual de estos tres, es el de mayor confiabilidad y porque.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Se puede estimar el error sistemtico? Justifique su respuesta.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Calcular el permetro de la puerta, mesa, tablero, y estimar el error cometido, expresando dicho permetro, como un valor central ms o menos la incertidumbre.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CONCLUSIONES.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFA:

[1] BAIRD D. C. Experimentacin. Una introduccin a la teora de mediciones y al diseo de experimentos. Segunda edicin. Editorial Prentice Hall. Mxico: 1991.

[2] NEIL TORRES, RIPOLL LUIS. Laboratorio de Fsica Mecnica. Cuarta edicin. Ediciones Uninorte.

[3] LEONOR HERNANDEZ HERNANDEZ, OFELIA ORTIZ SONIA. Guas de laboratorio de fsica. Primera edicin. Ediciones Fundacin Universidad Central.

MEDICION E INCERTIDUMBRE

EXPERIMENTO N 1

Fecha __________________________ nota _____________ grupo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________Nombre __________________________________________ cdigo __________

FUNDAMENTACION FSICO MATEMATICA.

Para la realizacin del correspondiente laboratorio, se hace necesario que el estudiante, tenga una base conceptual fsico matemtica, relacionada con los siguientes aspectos:

Conceptos bsicos de estadstica Conocimiento de matemticas bsicas (binomio de Newton). Anlisis dimensional de cantidades fsicas

NOTA: Los temas anteriores, deben ser consultados y presentados, en forma escrita e individual el da de la realizacin de la prctica.