FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS

LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO GUIA DE POTENCIACIN Y RADICACIN DOCENTE: IDALY MONTOYA A.

Ing. Idaly Montoya Aguilar

1. POTENCIACIN Llamamos potencia de un nmero relativo, al producto de tomarlo como factor tantas veces como se

quiera. Si a es un nmero relativo cualquiera y es un nmero natural, tendremos la notacin , que se lee a elevado a la ensima (infinita) potencia, e indica que a debe tomarse como factor n veces.

As:

En la notacin , llamamos potencia al producto , base al nmero que tomamos como factor

, y exponente a , que nos indica las veces que debemos tomar como factor a . A la operacin de

hallar el producto , la llamamos potenciacin o elevacin a potencia. Ejemplo:

La Potenciacin es una operacin binaria que est conformada por tres partes, a saber:

BASE (a), EXPONENTE (n) y POTENCIA (p).

pa n = BASE (a): Es el nmero que se multiplica tantas veces por s mismo, como lo indique el

exponente. EXPONENTE (n): Es el nmero de veces en que se multiplica la base por s misma, para obtener la

potencia. POTENCIA (p): Es el resultado de multiplicar la base por s misma tantas veces como lo indica el

exponente. Ejemplo:

1624 = Por que 162222 = ( ) 644 3 = Por que ( )( )( ) 64444 =

Por que La potenciacin satisface cuatro condiciones, que son:

CONDICIN SIMBOLOGA EJEMPLO Si la base es un nmero entero positivo, y el

exponente es un nmero par positivo, la potencia es un nmero entero positivo

Si ,,, + na n es par, 0, fp

8134 =

Si la base es un nmero entero positivo, y el exponente es un nmero impar positivo, la

potencia es un nmero entero positivo

Si ,,, + na n es impar, 0, fp

3225 =

Si la base es un nmero entero negativo, y el exponente es un nmero par positivo, la potencia

es un nmero entero positivo

Si ,,, na n es par, 0, fp

( ) 162 4 = Si la base es un nmero entero negativo, y el exponente es un nmero impar positivo, la

potencia es un nmero entero negativo

Si ,,, na n es impar, 0, pp

( ) 273 3 =

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Ing. Idaly Montoya Aguilar

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN La operacin de Potenciacin satisface las siguientes propiedades:

PROPIEDAD OPERACIN EJEMPLO

POTENCIA DE IGUAL BASE mnmn aaa += 10643643 22222 == ++ POTENCIA DE UNA POTENCIA ( ) mnmn aa = ( )( ) ( ) ( )205454 333 == POTENCIA DE UN PRODUCTO ( ) nnn baba = ( )( ) ( )555 4343 =

POTENCIA DE UN COCIENTE n

nn

b

a

b

a =

16

9

4

3

4

32

22

==

POTENCIA DE UN COCIENTE DE IGUAL BASE

mnaa

a mnm

n

f,= 5383

8

555

5 ==

POTENCIA DE UN COCIENTE DE IGUAL BASE

mnaa

anmm

n

p,1

= ( )( ) ( ) ( )691515

9

3

1

3

1

3

3

=

=

La potencia de un nmero positivo siempre es positiva. La potencia de un nmero negativo ser positiva si el exponente es entero y par: negativa si el exponente entero es impar. As:

a. PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE. Para multiplicar dos potencias de igual base, se

eleva dicha base a la potencia que resulte de la suma de los exponentes respectivos. Ejemplo:

b. POTENCIA DE UNA POTENCIA. Para hallar la potencia de una potencia se multiplican los exponentes

y se mantiene la base primitiva. Ejemplo:

Hay que poner especial cuidado en no confundir la potencia de una potencia, con la elevacin de un nmero a una potencia cuyo exponente, a la vez est afectado por otro exponente. As, no es lo mismo

.

c. DIVISION DE NUMEROS RELATIVOS. Teniendo en cuenta las Leyes formales de las operaciones

fundamentales con nmeros reales7 de las leyes formales de la multiplicacin, que de acuerdo con el

axioma principio VI (existencia del inverso), a todo nmero real , corresponde un nmero

real, y slo uno, , de modo que Este nmero se llama inverso o recproco de , y

se representa por . El inverso o recproco de un nmero relativo cualquiera distinto de cero tiene su mismo signo:

Podemos enunciar tres casos de la elevacin a potencia de un nmero cualquiera.

1. Si un numero cualquiera , se eleva a la potencia , es igual a . As:

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2. Si un nmero cualquiera , se eleva a un exponente negativo cualquiera es igual al reciproco de la potencia , de exponente positivo. As:

3. La divisin de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la potencia que d la

diferencia de ambos exponentes. As:

d. EXPONENTES FRACCIONARIOS POSITIVOS.

Si se define

2. RADICACIN: La Radicacin es una operacin binaria que est conformada por tres partes, a saber:

INDICE (n), CANTIDAD SUBRADICAL (p) y RAZ (a). apn = INDICE u ORDEN DEL RADICAL (n): Es el nmero de veces en que se multiplica la raz por s mismo, para obtener la cantidad subradical. El ndice de un radical siempre es un nmero natural mayor que uno. CANTIDAD SUBRADICAL o RADICANDO (p): Es el nmero que se busca, multiplicando la raz por si misma tantas veces como lo indique el ndice. RAZ (a): Es el nmero que multiplicado por s mismo tantas veces como lo indica el ndice da como resultado la cantidad subradical. Ejemplo:

2164 = Puesto que: 162222 = ( ) ( ) ( ) ( ) 162222 = 4643 = Puesto que: ( ) ( ) ( ) 64444 = La Radicacin satisface cuatro condiciones, que son:

CONDICIN SIMBOLOGA EJEMPLO Si la cantidad subradical es un nmero entero

positivo, y el ndice es un nmero par positivo, la raz puede ser un nmero entero positivo o un

nmero entero negativo

Si ,,, + np n es par, 0,,0, pf aa 216

4 =

Si la cantidad subradical es un nmero entero positivo, y el ndice es un nmero impar positivo,

la raz es un nmero entero positivo

Si ,,, + np n es impar, 0, fa

51253 =

Si la cantidad subradical es un nmero entero negativo, y el ndice es un nmero par positivo, la

raz no existe en los nmeros reales

Si ,,, np n es par, a, =

2 64

Si la cantidad subradical es un nmero entero negativo, y el ndice es un nmero impar positivo,

la raz es un nmero entero negativo

Si ,,, np n es impar, 0, pa

4643 =

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PROPIEDADES DE LA RADICACIN La operacin de Radicacin satisface las siguientes propiedades:

PROPIEDAD OPERACIN EJEMPLO

RAIZ DE UN PRODUCTO nnn baab = 62316811681444 ===

RAIZ DE UN COCIENTE n

n

n

b

a

b

a = 3

10

27

1000

27

10003

3

3==

RAZ DE UNA RAZ mnn m aa = 404522 5 4 131313 ==

nn aa1

= 31

3 55 = n

mn m aa = 3

73 7 55 = RAIZ DE UNA POTENCIA

aaaa nn

n n === 1 5555 133

3 3 ===

La radicacin se puede indicar como potenciacin, pero en exponente fraccionario Donde n es el ndice de la raz y representa el denominador del fraccionario.

Raz de una potencia: nn aa =

1

Ejemplos:

98181 221

==

( ) 2)8(8 331

==

38181 441

==

n mn

m

aa =

Ejemplos:

( ) ( ) ( ) ( )5825425 4425 4 22216 xxxx =

==

53

5 35 228 ==

3 232

88 = = 4

Raz de un producto nnn baba =

Ejemplos:

1535 =

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21

4 24 4444 )2(2)2()2(4*164*16 ===

( ) ababbaabaaba2

93

2

3)3(

2

393

8

12943

8

33 3333 323 33 2 ====

Raz de un cociente n

n

n

b

a

b

a =

Ejemplos:

3

5

3

5 =

y

x

y

x

yx

yxyxyx

xy

yx

xy

yx==

=====

4

41)4(

4

11)4(

4

116

4

116

4

1

3

48

4

1

34

482

223113

3

33

Raiz de una raz mnm n aa =

Ejemplos:

3))3(()3(729729729 3 2 233 2 63 2236 =====

22))2(()2(10241024 5 55 2 255 2 102510 ===== BIBLIOGRAFIA

Ttulo Algebra elemental. Autor. Aurelio Baldor. Editor Cultural Venezolana, 1973

Titulo Algebra elemental. Autor. Barnett Rich, Ph. D. McGraw-Hill. 1990

Titulo Introduccin a la Matemtica Moderna. Autor. Elbridge P. Vance. Fondo Educativo

Interamericano 1995