Guia Proporciones y Porcentajes

Universidad la República

Matemáticas 1º año Prof.: Jim Molina Garcés - [email protected]

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Proporciones y Porcentajes

PROPORCIÓN DIRECTA

Un a rela ción d irecta m en te p roporcion a l es a qu ella qu e a m a yor ca n t ida d de u n a va r ia b le, m a yor ca n t ida d de la otra , lo qu e es equ iva len te a m en or cantidad de una, menor la cantidad de la otra.

Por ejemplo: Mientras más pan compro, más dinero pago por él. Mientras menos estudio, menos aprendo.

Ejemplos:

1) Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?

Como estas variables se relacionan en forma directa (ya que más kilometraje implica que se gastará más bencina), entonces su cociente es constante.

1216

192119216

1

192

16x*x*

x

litro

km

km

Respuesta: en un viaje de 192 kilómetros el vehículo consumirá 12 litros de bencina.

2) Una bandeja de 30 huevos cuesta $2.500 . ¿Cuánto costará una docena?

000.130

500.2*12500.2

12

30x

x

Respuesta: Una docena de huevos cuesta $1.000 .

S in em ba rgo, h a y s itu a cion es qu e n o gu a rda n u n a p roporción d irecta . Por ejem plo, en u n cen tro de rep rodu cción fotos tá t ica a m a yor n ú m ero de fotocop ia dora s m en or el t iem po qu e tom a rá pa ra fotocop ia r , o en u n a con s tru cción es de es pera r qu e a m en or el n ú m ero de t ra ba ja dores m a yor el t iem po qu e tom a rá com pleta r la . Es te t ipo de rela ción en tre va r ia b les es ta b lece una proporción inversa.



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PROPORCIÓN INVERSA

Las proporciones inversas se caracterizan porque al disminuir una variable, la otra aumenta.

Por ejemplo: Mientras más rápido viajo, menos tiempo me demoro. Mientras menos contamino el aire, más limpio estará.

Ejemplos: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros? Por estar en proporcionalidad inversa (ya que más obreros tardaran menos tiempo en hacer la zanja) el producto entre las variables: número de obreros

tiempo, es constante (por esto debo tener que 3 * 5 es constante y para eso se invierten las variables completas):

Nº obreros

días

3 5 4 x

Si hay mayor cantidad de obreros se morarán menos días en hacer el trabajo

Al ser proporción inversa invertimos el segundo término (el que no tiene incógnita)

7534

35

días

días 5

obreros

3

obreros 4I P.

días

días 5

obreros

4

obreros 3,

*x

xx

Respuesta: Se demoran aproximadamente 4 días en terminar la obra los 4 obreros (o demoran 3 días y 18 horas)



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Problem as d e regla d e tres s im ple d irectam en te proporcion ales :

1) En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿cuántas horas tardará en hacer 25 de esas mismas cajas? (20)

2) Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4 obreros dejan el trabajo. ¿cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan? (27 horas)

3) Un trabajo puede realizarse por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30 días, ¿cuántos obreros deberán aumentarse?

4) Un automóvil recorre 50 km en 1 h 32 m. ¿en qué tiempo recorrerá 30 km? (55 m 12 seg)

Problemas de regla de tres simple inversamente proporcionales:

1) Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas? (18)

2) Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m de ancho ¿cuántos rollos se necesitarán si el ancho fuera de 0,75 m? (9)

3) Un comerciante compró 33 kg de yerba a razón de $62 el kg. ¿cuántos kg de $66 podría haber comprado con esa misma suma de dinero? (31 kg)

4) A razón de 70 km/h un automovilista emplea 2hs 30 min para recorrer una cierta distancia. ¿qué tiempo empleará para recorrer la misma distancia a razón de 45 km/h? ¿cuál es esa distancia? (3 hs 53 min 20seg)



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5) En una hoja en blanco se quieren trazar renglones. Si se los ubica cada

1,2 cm entran 48: a) ¿cuántos entrarán si se los ubica cada 0,96 cm?; b) ¿cuántos cm deberán estar separados si se quieren poner 64 renglones? (60; 0,9)

6) Un camión recorre una cierta distancia viajando a 80 km/h en 7 h . a) ¿en cuánto tiempo recorrerá ese camino si viajase a 70 km/h?; b) ¿a qué velocidad debería viajar si la quiere recorrer en 5 hs? ( 8 hs-112 km/h)

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. - Un a em pres a pos ee 3 m á qu in a s qu e con s tru yen 120 m 2 de ca r retera a l d ía . ¿Cu á n ta s m á qu in a s s e n eces ita pa ra con s tru ir 480m 2

de carretera en un día?

2. - En u n ca m pa m en to de vera n o, 28 pers on a s h a n ga s ta do $2 20 .000 pa ra los a lim en tos de u n a s em a n a ¿Cu á n to ga s ta rá n en con d icion es similares 7 personas?

3. - 7 ob reros ca va n en 2 h ora s u n a za n ja de 10 m . ¿Cu á n tos m etros cavarán en el mismo tiempo 42 obreros?

4. - Un bus destinado al transporte de trabajadores lleva 800 kilogramos de equ ipa je ju n to con 50 pa s a jeros . An tes de in icia r el via je y com o con s ecu en cia de u n a em ergen cia debe lleva r 40 pa s a jeros m á s . ¿Cu á n tos k ilogra m os de equ ipa je lleva rá a h ora s i los t ra ba ja dores lleva n la misma proporción de equipaje?

5. - Un a la n ch a dem ora 0 ,5 h ora s en a t ra ves a r u n la go a u n a ra p idez prom ed io de 40 km / h . ¿Qu é ra p idez p rom ed io n eces ita la la n ch a pa ra regresar en 0,2 horas?

6. - Un cu rs o de 36 es tu d ia n tes va de pa s eo a la p la ya y a n tes de volver

deciden recoger la b a s u ra . S i 9 es tu d ia n tes lim p ia n la p la ya en 2 h ora s . ¿Cuánto demorarán si lo hace todo el curso?



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7. - Pa ra llen a r u n es ta n qu e con u n a s ola lla ve de a gu a , s e requ ieren 12

h ora s . ¿Cu á n ta s lla ves igu a les a la p r im era s e requ ieren pa ra llen a r el estanque en 3 horas?

PORCENTAJES

O ta n to por cien to, es la fra cción de u n n ú m ero en tero expres a da en centésimas.

El térm in o s e der iva del la t ín per cen tu m , qu e s ign ifica por cien to , pu es rep res en ta fra ccion es cu yo den om in a dor es 100 . As í, 20 por cien to s ign ifica

100

20 .

Norm a lm en te, s e rep res en ta con el s ím bolo % . Los cá lcu los de porcen ta jes s e u t iliza n a m en u do en la in du s tr ia y la s fin a n za s , y en el m u n do cien t ífico pa ra evaluar resultados.

Las distintas maneras de expresión y su uso

Cu a n do u s a m os n ú m eros , podem os expres a r los de d iferen tes m a n era s , lo cu al pu ede res u lta r ú t il pa ra qu e s e h a ga én fa s is en la idea de lo qu e en m a tem á t ica s s e lla m a redu cción , qu e s im p lem en te con s is te en es cr ib ir u n a expresión en forma diferente que conserve su valor.

Conversión de fracción a decimal y a porcentaje y viceversa

La s fra ccion es s e en cu en tra n m a s s egu ido en la vida rea l qu e los porcen ta jes . En es ta s ección revis a rem os el len gu a je de los porcen ta jes y cóm o con ver t ir fra ccion es a decim a les y/ o a porcen ta jes y a la in vers a . Ta m bién res olverem os m u ch os p rob lem a s de in terés pa ra los con s u m idores , en los cu a les los porcen ta jes a pa recen com o ta s a s de in crem en to, ta s a s de decrem en to, ta s a s de interés, tasas de inflación y así, sucesivamente.



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1.- De porcentaje a decimal 17% es 0.17

2.- De decimal a fraccionario 0.32 = 100

32 al reducir la fracción queda

25

8

Ejemplo: Fracción Decimal Porcentaje

100

5 0.05 5%

100

57 0.57 57%

100

7.5 0.057 5.7%

Ya que los porcentajes están dentro del uso común, es útil el poder ir fácilmente de las fracciones comunes a los decimales a los porcentajes y viceversa. Ya hemos discutido la aproximación de las fracciones comunes por medio de las fracciones decimales y el convertir una fracción decimal a una fracción común. Aquí esta una revisión de los métodos para convertir decimales a porcentajes y viceversa.

Convirtiendo decimales a porcentajes

Para convertir una fracción decimal a un porcentaje, mueva el punto decimal dos lugares a la derecha y agregue el signo de porcentaje (%) a la derecha, por ejemplo:

0.785 = 78.5% ya que 0 .785 = 100

5.78 ,

3.03 = 303% ya que 3.03 = 100

303 ,

0.0025 = 0.25% ya que .0025 = 100

25.0 .



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Expresa en forma de porcentaje, decimal y en fracción, cada uno de los siguientes números

1.- 17% 8.- 0.23 15.- 1/2

2.- 13% 9.- 0.99 16.- 5/32

3.- ½ % 10.- 2.58 17. 5/8

4.- 1.32% 11.- 1.50 18.- 6/20

5.- 2 ¼ % 12.- 0.93 19.- 3/4

6.- 100% 13.- 1.25 20.- 1/3

Ya qu e los porcen ta jes s on fra ccion es , el len gu a je de la s fra ccion es s e u s a don dequ iera qu e s e p res en ten los porcen ta jes . As í, 30 es el 75% de 40 y s e puede escribir:

30 es 100

75 de 40 ó, reduciendo : 30 es

4

3 de 40 30 = 4

3

40.

Convirtiendo Porcentajes a decimales Para convertir un porcentaje a una fracción decimal, mueva el punto decimal dos lugares a la izquierda y borre el signo de porcentaje, por ejemplo:

75% =0.75, .04% = .0004, y 110.5% = 1.105.



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Ejercicios Propuestos.

1) ¿Cuál es el 25% de $ 60.000? A. $ 2.400 B. $ 15.000 C. $ 41.667 D. $ 45.000

2) Si 3 alumnos inasistentes de un curso corresponden al 10%, ¿cuántos alumnos tiene el curso? A. 13 B. 27 C. 30 D. 110

3 ) Un gru po de pers on a s a s is te a u n con cier to de m ú s ica don de s e h a ce reba ja de u n 10% por ca da 5 en tra da s . S i u n a pers on a ju n ta a 14 pers on a s m á s y ca da en tra da in d ividu a l s a le a $5000 , ¿cu á l es el va lor de cada entrada con la rebaja? A. 4.750 B. 4.500 C. 4.400 D. 4.200

4 ) En u n cu rs o de 30 a lu m n os el 55% t ien e bu en a s n ota s , el 35% t ien e n ota s regu la res y el res to n ota s deficien tes . En ton ces , los a lu m n os con n ota s deficientes son:

A. 10 B. 3 C. 7 D. 13

5) El 10 % de 10 es A. 10 B. 100 C. 1 D. 0,1

6) Un vendedor comunica a un cliente que sobre el precio total de su compra debe aplicar un impuesto de 20%, pero que le hará un 10% de descuento. Y le p regu n ta : ¿Qu é qu iere qu e h a ga p r im ero: el im pu es to o el des cu en to?

¿Qué contestarías? Fundamenta tu respuesta

7 ) En u n colegio h a y eleccion es pa ra el cen tro de a lu m n os . Por J u a n vota ron 300 es tu d ia n tes , por Ma ría vota ron 125 y por An ton io 75 . ¿Qu é porcen ta je obtuvo Juan del total de los votos?

A. 60 % B. 3266 % C. 80 % D. 120

%

8) Un a t ien da ofrece el 20 % de des cu en to. Al com pra r u n a r t ícu lo con es ta rebaja pagué $ 10.000 ¿Cuál fue el monto del descuento?

A. $ 2.000 B. $ 2.500 C. $ 4.000 D. $ 1.250



9

9) Com pré u n lib ro y u n cu a dern o, a m bos m e cos ta ron el m is m o precio $

2.400 cada uno. El precio original del cuaderno era un 20 % más barato, y el p recio or igin a l del lib ro era u n 20 % m á s ca ro. S i h u b iera pa ga do el precio original por mi compra, habría pagado

A. más B. menos C. lo mismo D. Faltan datos

10 )Los exper tos es t im a n qu e el 25 % del tota l de a cciden tes en m oto in volu cra n h er ida s en la ca beza , y qu e u n 80 % de es ta s h er ida s s on fa ta les . ¿Qu é porcen ta je del tota l de los a cciden tes en m oto in volu cra n h er ida s fa ta les en la cabeza?

A. 16 % B. 20 % C. 55 % D. 105 %

11) Un artículo aumenta de precio de $ 600 a $ 750 ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

A. 15 % B. 20 % C. 25 % D. 30 %

12) A u n es ta n qu e qu e es tá h a s ta el 64 % de s u ca pa cida d con a gu a s e le s a ca 70 lt de es te líqu ido y qu eda con s u n ivel h a s ta la m ita d ¿Cu á n tos lit ros de agua quedan en el estanque?

13) Una piscina tiene una capacidad de 320 m3. Si está hasta la mitad de su capacidad con agua y se le sacó un 40 % de dicha cantidad ¿Cuánta agua deberemos agregarle para llenarla completamente?

A.160 m 3 B . 192 cm 3 C. 224 cm 3 D. 256 cm3

14) ¿En qué porcentaje es más, el producto de 25 18 que el producto de 20 18?

A. 5 % B. 25 % C. 18 % D. 20 %

Más Ejercicios.

1. Al con gela rs e el a gu a a u m en ta s u volu m en en u n 9%. ¿Qu é ca n t ida d de a gu a (expres a r en lit ros ) s e debe con gela r pa ra ob ten er 5450 cm 3 de hielo?



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2. Des pu és de d is t r ibu ir el 27% de la s ca ja s qu e h a b ía en u n depós ito h a n

quedado 389. ¿ Cuántas cajas había?.

3. El p recio de u n a r t ícu lo con pa go a l con ta do es de $750 . S i el p recio en cuotas resulta de $840. ¿Cuál es el porcentaje de recargo?.

4. El a u m en to del 15% en el pes o de u n a n im a l y s u pos ter ior d is m in u ción en u n 15% ¿s e a n u la n ?. ¿Es lo m is m o qu e p r im ero d is m in u ya el pes o en u n 15% y lu ego a u m en te el m is m o en u n 15%?. J u s t ifica la respuesta.

5. ¿Cu á l es la form a m á s rá p ida de ca lcu la r el va lor or igin a l de u n a ca n t ida d , con ocien do el va lor a u m en ta do en u n 18%?. ¿Y s i conociéramos el valor disminuido en un 18%?

6. De u n b idón de 4 lit ros llen o de fer t iliza n te pu ro, s e extra e 1 lit ro y s e lo com pleta con a gu a . De es a m ezcla , s e extra e 1 lit ro y n u eva m en te s e completa con agua

a) Qué porcentaje de fertilizante puro tiene esa última mezcla? b) Cu á n tos en va s es de 200 cm 3 s e pu eden llen a r con los 4 lit ros de

fertilizante?

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