Guia Razones y Proporciones Mat 1-Final

7/22/2019 Guia Razones y Proporciones Mat 1-Final

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GUIA DE RAZONES, PROPORCIONES Y

PORCENTAJES.



RAZONES Y PROPORCIONES

De…nición:Una razón, es una comparación por cuociente entre dos cantidades o mag-

nitudes,en la misma unidad de medida.Por ejmeplo si a es una cantidad y b otra, la razón entre a y b se anota:"a : b" o " a

b" y se lee "a es a b", donde "a es el antecedente" y "b es el

consecuente"Ej: Si el peso de un recien nacido es de 400 gramos y el peso de un adulto

es de60 kg. ¿cuál es la razón entre el peso del bebe y el del adulto?Sol: hay dos formas, transformar los gramos en kilos o los kilos en gramos.Así 60 kg = 60000 gramos luego la razón pedida será

peso bebe

peso adulto= 400

60000= 1

150= 0; 006

De…niciónUna proporción es una igualdad entre dos razones, se escribe: "a : b = c : d"

o" a

b= c

d" y se lee " a es a b COMO c es a d ", donde a y d se denominan

extremos,y b y c se denominan medios.Teorema Fundamental de las proporcionesEn toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los

extremos.a

b =c

d , a d = b cOBS: Si dos razones forman una proporción ab

= cd

; ENTONCES EXISTEuna cosntante k; tal que:a = k c y b = k d

Ej: La edad de un padre y un hijo están en la razón 3 : 2. Si la suma de susedades

es 75 años, ¿cuál es la edad de cada uno?Sol: p : edad del padre

h : edad del hijoluego tenemos la siguiente proporción p

h= 3

2

a su vez por la observación precedente tenemos que existe una cosntante k

tal que: p = 3k y h = 2k; además sabemos que p + h = 75ahora sustituyendo nos queda

3k + 2k = 755k = 75, de dondek = 75

5= 15

Así p = 3 15 = 45 y h = 2 15 = 30; por lo tanto el padre tiene 45 años yel hijo 30.

Proporcionalidad Directa

1



Diremos que dos variables x e y son directamente proporcionales, si el cuo-ciente

entre los valores correspondientes es igual a una constante k.variables valores

x x1 x2 x3 x4 ::: xn

y y1 y2 y3 y4 ::: yn

cuociente entre los valores correspondientes:x1

y1= x2

y2= x3

y3= ::: xn

yn

= k (constante)Proporcionalidad InversaDiremos que dos variables x e y son inversamente proporcionales, si el pro-

ductoentre los valores correspondientes es igual a una constante k.

variables valores

x x1 x2 x3 x4 ::: xn

y y1 y2 y3 y4 ::: yn

producto entre los valores correspondientes:x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ::: = xn yn = k (constante)Proporcionalidad compuesta1) Calcular la razón entre:(si utiliza decimales redondear a la milésima)a) 275 gramos y 3,5 kilos resp: 11

140= 0; 079

b) 56 centímetros y 1,84 metros resp: 7

23= 0; 304

c) 248 minutos y 3,2 horas resp: 31

24= 1; 292

d) Se sabe que para preparar una solución se requieren 324 ml de cloro y 4,8litros de agua, ¿cuál es la razón entre la cantidad de cloro y de agua que

contienela mezcla? resp: 27

400= 0; 0675

2) En cada caso determine el antecedente o el consecuente según sea:a) En una razón el antecedente es 4, si el valor de la razón es 0,25. ¿cuál es

elconsecuente? resp: 16b) En una razón el consecuente es 0; 3 y el valor de la razón es 1

6; determine

elantecedente. resp: 1

18= 0; 05

c)2

3

x= 1

4, resp: x = 8

3d) x

5

3

= 1;38

, resp: x = 5

18

3) Veri…car si los siguientes pares de razones forman una proporcióna) 3

4; 12

16b) 2

5; 30

45c) 6

4; 24

16d) 13

14; 28

26

e) Utilice el teorema de las proporciones y determine el valor que falta encada

caso para que se cumpla la proporcionalidad:e1) 2

x= 5

10, Sol: x = 4 e2) x

1

2

= 4

5, Sol: x = 2

5e3) 4

7= 12

x, Sol:

x = 21e4) 6

5= x

35, Sol: x = 42 e5)

x

2

3

4

=5

10

15

20

, Sol: x = 1

2



4) Calcular media, tercera o cuarta proporcional geométrica según corre-sponda:

a) x2 = 8

x resp: x = 4 b) 27x = x

3 resp: x = 9 c) y12 = 12

6 resp:y = 24

d) 7

8= 8

yresp: y = 64

7e) 3

x= 5

4resp : x = 12

5

f) La cuarta proporcional geométrica entre f7; 4; 8g resp: 7

2;14; 32

7

g) La tercera proporcional geométrica entre f9; 8g resp: 81

8; 64

9

h) La media proporcional geométrica entre f16; 4g resp: 85) La diferencia positiva de dos números es 48 y ellos se encuentran en la

razón

9 : 5. El valor del menor de ellos esA) 46B) 54

C) 60D) 406) Hace dos años las edades de Pedro y de Juan estaban en la razón 2 : 3.

Siacutalmente sus edades suman 44 años. ¿cuál es la edad de Pedro hoy?A) 18B) 16C) 24D) 367) Dada la siguiente tabla:A 10 15 20B 3 x 1,5¿Cuál(es) de las siguientes a…rmaciones es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales.II. El valor de x es 2.III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III8) 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias.¿Cuál(es) de las siguientes a…rmaciones es(son) verdadera(s)?I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias.II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3



9) En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos

es 7: 3, entonces ¿cuántos duraznos hay en la quinta?A) 54B) 77C) 84D) 126E) 21010) Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la

razón desus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo

alorden de las razones dadas?A) 180 mm 120 mm 90 mmB) 420 mm 180 mm 120 mmC) 320 mm 240 mm 160 mmD) 510 mm 120 mm 90 mmE) Ninguna de las medidas anteriores11) En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km en

larealidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces

ladistancia real esA) 50 kmB) 65 kmC) 67,5 kmD) 62,5 km

E) ninguno de los valores anteriores.12) La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dosciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellas?A 1,75 kmB 17,5 kmC 175 kmD 1.750 kmE 17.500 km13) La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas esP V

T = constante, donde P es la presión del gas, V su volumen y T su

temperaturaabsoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes a…rmaciones es(son) verdadera(s)?I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la temper-

aturaII) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al vol-

umenIII) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la tem-

peraturaA) Solo I

4



B) Solo IIC) Solo I y II

D) Solo I y IIIE) I, II y III14) Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que susvolúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4

litros,¿cuántos litros tiene la mezcla total?A 6 litrosB 10 litrosC 12 litrosD 14 litrosE 16 litros15) A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3

hombres,¿cuántas mujeres asistieron al evento?A) 8B) 21C) 24D) 28E) 3216) En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de febrero,

decada seis personas solo una es residente permanente, ¿cuántas personas hay

enfebrero?A) 416

B) 4.000C) 12.500D) 15.000E) 17.50017) La mitad de una parcela de 10.000 m2, está dividida en dos partes que

están enla razón 1: 4. La parte menor será utilizada para cultivo, ¿cuántos metros

cuadradosserán usados para este …n?A) 625B) 2.000C) 400D) 1.250

E) 1.00018) Entre tres hermanos compran un número de rifa que cuesta $ 1.000.

Juanaporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosa aporta el resto. El premio es de $

60.000.

5



Deciden, en caso de ganarlo repartirlo en forma directamente proporcionalal aporte

de cada uno, ¿Qué cantidad de dinero le correspondería a Rosa?A) $ 30.000B) $ 18.000C) $ 24.000D) $ 20.000E) $ 40.00019) Para embaldosar el piso de una terraza se ocupan 75 baldosas cuadradas

de40 cm de lado. ¿cuántas baldosas de 50 cm de lado se ocuparían?A) 48B) 50C) 60D) 9420) Tres personas demoran 6 horas en confeccionar 45 artículos, ¿cuántas

horasdeben trabajar 5 personas de igual e…ciencia que los anteriores para producir

90artículos?A) 4 horasB) 9 horasC) 4,8 horasD) 7,2 horas21) Para hacer los arreglos en un edi…cio 2 electricistas demoran 6 días

trabajandodurante 8 horas diarias. ¿cuánto tardarían 3 electricistas en hacer los mimos

arreglos trabajando la misma cantidad de horas diarias? resp: 4 días22) Una llave tarda a minutos en llenar la tercera parte de un estanque.Entonces

¿en cuánto horas lo llenará completamente? resp: a20

horas

Respuestas a los problemas desde el 5 al 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C A D A D C C B C C E D E C A D

PROBLEMAS DE PLANTEO:

1. Hallar el valor del antecedente cuya razón es 0,5 y su consecuente es igual

a 5.2. Hallar el valor del consecuente de una razón cuyo valor es 1/2 y el an-tecedente es 3/4 .

3. La diferencia entre el sueldo de dos empleados es $180.000 y están en larazón 5:2 Calcular el sueldo de cada empleado.

6



4. Sea t + u + v = 50 y t : u : v = 3 : 5 : 2 Calcular el valor de la variable“ v”.

5. Un computador que permanece encendido las 24 horas necesita manten-ción cada 4200 horas de trabajo, ¿Cada cuántos días deberá realizar la manten-ción si solo permanece funcionando un tercio de las horas mencionadas?.

6. 4 personas instalan una red de 16 computadores en 2 días, ¿ cuantos díasse demoran 5 personas en instalar una red con el triple de computadores?.

7. Tres personas se reparten $504.000 en la razón 1:3:4 ¿Cuánto le corre-sponde a cada una?

8. Si hoy ud. puede adquirir un disco duro y una disquetera por un montode $70.000 iva incluido, a un dólar de $710. ¿Cuánto deberá pagar mañana porcada pieza si se piensa que el dólar subirá $3?

9. Una empresa de capacitación requiere de 20 computadores para realizarcursos de computación a 100 alumnos. ¿Si la matrícula aumentará en un cuartode dicha cantidad? Cuantos equipos se necesitarán?

10. Un automóvil recorre 225 km en 3 horas. ¿cuántos kilómetros recorreráen 10 horas, si mantiene la misma velocidad?

11. 50 hombres realizan la instalación de una RED en 68 días. ¿cuántoshombres de iguales condiciones se necesitarían para hacer el mismo trabajo en12 días?

12. Si en una ciudad hay 60 televisores por cada 200 personas ¿Cuántostelevisores hay si la ciudad tiene 300.000 habitantes

13. En un disco duro de 10GB se van a instalar 3 sistemas operativos,Windows 98, Windows NT Server y Linux. Se ha pensado reservar para Linuxuna partición de 3,7 GB y para Windows 98 una partición con el 45% de elespacio restante. ¿Qué porcentaje del disco duro total queda para cada sistemaoperativo

14. Un segmento de 120 cm. Se divide en tres partes cuyas longitudes sondirectamente proporcionales a los números 3:4:5.Hallar las longitudes de cadauna de ellas.

15. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4.Calcular losnúmeros

16. Si Ricardo tiene 6 años más que Mónica y el doble de la suma de susedades es 60 ¿Cuál es la razón entre sus edades?

17. Los gastos que demandan en una empresa los departamentos de contabil-idad, marketing y …nanzas son de $45.000.000 mensuales y están en la razón 2: 3 :10. Determine el gasto de cada departamento en el período mensual.

18. El total a cancelar por dos computadores es $1.128.000. Si los preciosestán en la razón 7:5 .Cuál es el precio de cada uno?

19. 120 Operarios producen 3600 artículos de escritorio al día ¿Cuál es el

número de operarios requeridos para producir 720 artículos?20. Una casa es de dos hermanos. La parte del primero, que es los 5/13 de la

casa, está avaluada en 15300 U.F. Hallar el valor de la parte del otro hermano.21. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta

obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los 3/7 de la obra. ¿Con cuántos hombrestendrán que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo …jado?

7



22. En una Empresa de Computación se asignan 26.000 proyectos de maneraque al dpto. A recibe el triple de B menos 600 y el dpto. C la tercera parte de

A más 1800. ¿ Cuántos proyectos recibe cada uno?23. En una tienda se puede comprar lectores de CD a $25.000 y disqueteras

a $7.000; en total debe invertirse $71.000 para comprar la cantidad requerida.En otra tienda los lectores se encuentran a $20.000 y las disqueteras a $9.000, sin embargo la inversión asciende a $67.000. ¿Cuál es la razón entre el n delectores de CD y el n de disqueteras que se desea comprar?

24. La escala de un mapa automovilístico es de 1:500.000 ¿Qué longitudnatural corresponde al trayecto de 4,5 cm. en el mapa?

25. Seis operarios producen en 20 días 430 piezas de un cierto producto.Cuántas piezas de este mismo producto serán producidas por 25 operarios en31 días.

26. Diez obreros trabajando 12 horas diarias, pintan un condominio en 20días. Cuántos días demoran 20 obreros en pintar el mismo condominio ,traba-

jando 9 horas diarias.27. 10 hombres, trabajando en la construcción de un puente hacen 3/5 de la

obra en 8 días,. Si retiran 8 hombres, ¿Cuánto tiempo emplearán los restantespara terminar la obra?

28. técnicos reparan 100 computadoras en 15 días trabajando 8 horas diarias.¿En cuántos días 12 técnicos realizaran el mismo trabajo en iguales condiciones,si trabajaran 10 horas diarias?

29. En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 3:2. Si elnúmero de damas es 10.¿Cuál es el número de alumnos en total?

30. La razón entre las velocidades de un avión y un tren es de 15:2. Si lavelocidad del avión de 60 km./h. ¿Cuál es la velocidad del avión?

31. La razón entre dos cantidades es 0,8. Si el antecedente es 4, ¿Cuál es el

consecuente?32. Calcular el antecedente en una razón cuyo valor es 1,5 y el consecuentees 6.

33. Las aristas de dos cubos miden respectivamente 2cm y 4cm. ¿En querazón están sus volúmenes?

34. Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente 10m y 20m. ¿En que razón están sus áreas?

35. La altura de una puerta y una ventana en un edi…cio miden 1,80 m y1,20 m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál esla altura de la ventana?

36. La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones porminuto, en tanto que la mayor hace 80.¿Cuál es la razón de sus velocidades?

37. Dos ruedas que engranan tienen velocidades que guardan una razón

de 2:3. Suponiendo que la menor haga 75 revoluciones por minuto ¿cuántasrevoluciones por minuto hará la mayor? (La razón de sus velocidades es lainversa de la razón de sus diámetros).

38 Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km./h mientras que unaeroplano vuela a 300 km./h. Hállese la razón de sus velocidades.

8



39 Un metro de alambre de cobre de 0,025 mm de diámetro tiene una re-sistencia de 8,6 ohmios, en tanto que un metro de alambre de aluminio del

mismo diámetro tiene una resistencia de 15 ohmios. ¿Cuál es la razón de lasdos resistencias?

40. El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una partede estaño. Hállese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa8,5 kg.?.

41. El metal Britannia consiste en dos partes de antimonio, una parte debismuto y una parte de estaño. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en una piezafundida que pesa 24 kg.?.

42. La longitud de una circunferencia de 2,75 cm de diámetro es 8,6394 cm.Hallar la razón de la circunferencia al diámetro. Indicar la respuesta con cuatrodecimales.

43. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Sipara llenarlo se necesitan 15 litros, ¿Cuál es la capacidad del estanque?

RESPUESTAS A PROBLEMAS:1. 2,52. 3/23. $300.000 y 120.0004. 105. 525 días6. 4,8 días7. $63.000,$189.000,$252.0008. $70.2969. 2510. 750 km11. 283 hombres

12. 90.00013. 28,35%;37% ; 34.65%14. 30 cm., 40cm., 50cm.15. 8,12, 1616. 3:217. $6.000.000;$9.000.000;$300.0000018. $658.000,$470.00019. 24 operarios.20. 24.480 U.F.21. 21 hombres22. A$14.400 ; B $5.000 C $660023. 2:324. 22,5 km.

25. 2777 piezas26. 13 días27. 26,6666 días28. 20 días29. 25 alumnos30. 450 km./h

9



31. 532. 9

33. 1:834. 1 : 435. 4 cm36. 3:137. 112,538. 4:1539. 113 a 15040. 8,541. 12 kg. Sb,6 kg. Bi,6 kg.42. 3,141643. 30 litrosPORCENTAJE (TANTO PORCIENTO)El tanto por ciento se puede entender como un caso particular de laproporcionalidad directa, donde uno de los valores es 100, al cual se le asocia

unacantidad de referencia.

Cantidad P orcentaje(%)C 100Q P

C: cantidad de referenciaQ: cantidad variable (valor al calcular P% de C)P: tanto por ciento

De lo anterior se desprende que para calcular el P% de C, se hace como sigueQ = P % de C = P C

100= P

100 C

Ej: determinar el 25% de 45025% de 450 = 25

100 450 = 225

2= 112; 5

1) Determinar el P% de la cantidad que se indique en cada casoa) 20% de 460 resp: 92b) 35,4% de 6540 resp: 2315,16c) 19% de 12520 resp: 2378,8d) 0; 3% de 3900 resp: 13e) 0,125% de 80000 resp: 1002) Calcular los siguientes porcentajes sucesivos sobre la cantidad indicada(de haber decimales redondear a la milésima)a) 25% del 15% de 350 resp: 13; 125b) 20% del 12% del 0,25% de 12500 resp: 0; 75

c) 42% del 16,5% del 1; 3% de 33000 resp: 30; 492d) 25% del 0,6% de 16,5 resp: 0; 0253) De que cantidad es:a) 45 el 15% resp: 300b) 92 el 20% resp: 460c) 52 el 1; 3% resp: 3900

10



d) 2280 el 19% resp: 12000e) 0,4 el 0,5% resp: 80

4) Determine la cantidad de referencia en cada casoa) de que cantidad es 120 un 50% mas resp: 80b) de que cantidad es 40 un 25% menos resp: 53; 3c) de que cantidad es 48,5 un 62% mayor resp: 29,93827d) de que cantidad es 0,75 un 0; 3 menor resp: 225

299= 0; 75251

e) de que cantidad es 125 un 12,5% mayor resp: 111,111115) Determine que porcentaje es una cantidad de otraa) 20 de 50 resp: 20 es el 40% de 50b) 15 de 10 resp: 15 es el 150% de 10c) 4250 de 15400 resp: 27,597%d) 1; 3 de 0; 3 resp: 400%e) 1400 de 42000 resp: 3; 3%6) En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60%

de lostrabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de

loscajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?A) 108B) 72C) 180D) 90E) 547) Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se

ofreceuna oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se

descuenta un10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% encada

pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos paresde

zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?A) $ 45.000B) $ 50.000C) $ 57.150D) $ 72.000E) $ 81.9008) Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, más un 8% de las ventas

por

comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes?A) $ 254.625B) $ 532.000C) $ 1.275.000D) $ 1.812.500E) $ 3.962.500

11



9) Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. ¿Cuál(es) de lassiguientes

a…rmaciones es(son) verdadera(s) ?I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían10 vasos para llenar el jarro.II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4vasos para llenar el jarro.III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III10) El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas sentadas

yotro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el

25% de sucapacidad y el B llena sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes a…rmaciones

es(son)verdadera(s) ?I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B.II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habríaquedado en éste, menos del 50% de sus asientos vacíos.III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan

en1.000 a la capacidad de B.A) Sólo I

B) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III11) Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad,

entoncespara que llegue al 30% de su capacidad hay que agregarA) 4 litros.B) 24 litros.C) 40 litros.D) 60 litros.E) ninguno de los valores anteriores.12) En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%,

30% y40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en

lasegunda.¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio

…nalsea un 5,1?

12



A) 5,0B) 5,1

C) 5,2D) 6,0E) 6,313) En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cerámica y 100

m2 depiso ‡otante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica

cuesta$P y el metro cuadrado de piso ‡otante es un 75% más caro que la cerámica,entonces el costo total es de:A) $ 145PB) $ 170PC) $ 175PD) $ 245PE) $ 195P14) Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor de a

bes:

A) 400

7B) 35

8C) 18

35D) 35

18E) 8

35

15) Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumentoes:

A) 1

5% B) 1

6% C) 2% D) 20% E) 30%

16) En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad delprecio

marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $600,

¿cuánto me descuentan?A) $ 555B) $ 510C) $ 255D) $ 45E) $ 90

17) En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente:“Antes $ 400, ahora $ 300”.Con respecto al precio original, ¿cuál es el por-

centajede rebaja?A) %B) 10%

C) 25%D) 33,3 %E) 75%18) En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los que practican teatro

y los

13



que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatroen

relación al total del curso?A) 20%B) 80%C) 16,6.....%D) 83,3.....%E) No se puede determinar19) Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M

recibe el8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $

100.000más un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en

un mes,vende $ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe

comosueldo, ese mes, cada empleado?

M PA) $ 288.000 $ 72.000B) $ 288.000 $ 172.000C) $ 388.000 $ 172.000D) $ 960.000 $ 240.000E) $ 960.000 $ 340.00020) En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. ¿Por cuál

númerose deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?A) Por 15%

B) Por 0,15C) Por 1,5D) Por 1,15E) depende del precio de cada artículo21) En una liquidación de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha sidorebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el abrigo antes de la liquidación?A) $ 21.450B) $ 23.571C) $ 28.050D) $ 55.000E) $ 115.50022) En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, una

estampilla

de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra unartículo en

$ 19.800, ¿a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento?A) $ 600B) $ 750C) $ 792

14



D) $ 800E) $ 19.200

23) El precio de un artículo ha sido rebajado en un 20%. En el momento desu

venta se hace una nueva rebaja de un 10%. Estas dos rebajas son equivalentesa

un descuento único del:A) 72% B) 30% C) 28% D) 24%24) Si m es el 25% de n, y n es el 25% de s.¿qué tanto por ciento es m de s?A) 25% B) 6,25% C) 16% D) 0,25%25) Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% esálgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía

son:resp: 28 páginasRespuestas a los problemas desde el 6 al 24

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24C D C E E A D D B D D C C B D D A C B

INTERES SIMPLE

El interés es la cantidad que se ha de pagar o recibir en caso de haber pedidoun

préstamo o haber realizado un deposito por una cierta cantidad inicial, du-rante un

tiempo.

El interés simple, es el que genera una cantidad inicial, en donde la taza de

interesse aplica al …nal de cada unidad de tiempo sólo sobre el deposito inicial, losinteres

se acumulan durante el período de tiempo y se agregan al …nal.Según lo anterior las fórmulas para este tipo de interés son:

I = C n i

I : intereses (ineterés ganado o acumulado)C : cantidad iniciali : taza de interés por unidad de tiempon : tiempo o plazo

C F = C (1 + ni)

C : cantidad inicialC F : cantidad …nal (monto …nal, monto acumulado)i : taza de interés por unidad de tiempon : tiempo o plazo

Ej:

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¿Qué ineterés produce un capital de $ 40.000 en 1 año 7 meses y 21 días al24% anual simple?

Sol:I : ?C : $ 40.000i: 24% anual = 0,24 anualn: 1 año 360 días = 360 días

7 meses30 dias = 210 días21 días = 21 dias

n: 591 dias (hay que llevarlos a años) ! 591

360a~nos

Ahora reemplazamosI = 40000 591

360 0; 24 = 15760

1) ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durantetres

años, para obtener una ganancia de $ 157,5? resp: 5,25%

2) ¿Qué capital, con taza de interés del 12% anual simple produce interesesde

$15.000 en 10 meses? resp: $150.0003) Se deposita $35.000 en el banco al 10% mensual simple. ¿en cuánto tiempoel monto acumulado es el triple del depositado inicialmente? resp: 20

meses

4) ¿Cuál es la taza de interés simple a la que han estado invertidos $110.000que

durante 2 años y 5 meses produjeron $39.875 intereses? resp: 1,25%mensual

5) Realice el ejercicio 4, pero ahora buscando la taza de interés simple anual.resp: 15% anual

6) ¿Qué tiempo habrá estado invertido un capital de $85.000 que produjointereses

de $35.700 a una taza anual simple del 21%? resp: 2 años

7) ¿Cuál es el capital inicial que produjo un capital …nal de $135.000 a unataza de

interés del 14% anual simple durante 9 meses? resp: $122.171, 94

8) Se depositan $1.250 a una taza del 12% mensual simple durante 2 años y

medio. ¿cuál es el monto …nal? resp: $5.750

INTERES COMPUESTO

El interés compuesto ocurre cuando al …nal de un período los intereses gen-erados

16



por el capital no se retiran, y se agregan al monto inicial produciendo unnuevo

capital, que generará nuevos intereses al …nal de un segundo período y así sucesivamente.En terminos sencillos los inetereses se capitalizan para generan más intereses.La fórmula que describe este tipo de interés es la siguiente:

C F = C (1 + i)n

C : cantidad inicialC F : cantidad …nal (monto …nal, monto acumulado)i : taza de interés por unidad de tiempon : tiempo o plazoEsta fórmula corresponde cuando la taza y el plazo están en la misma unidad

dede tiempo y no hay capitalizaciones en unidades de tiempo menores a la de

la taza.De no ocurrir lo anterior le hacemos unos arreglos a la fórmula, quedando

de lasiguiente maneraC F = C (1 + i

j)nj

C : cantidad inicialC F : cantidad …nal (monto …nal, monto acumulado)i : taza de interés por unidad de tiempon : tiempo o plazo

j : sub-períodos de capitalizaciónLa tasa proporcional es la resultante de considerar la tasa que correspondeaplicar al subperíodo si la tasa nominal es periódica. A esos subperíodos los

designamos con m, y la tasa a aplicar resulta de dividir a la tasa nominalporel número de subperíodos (m) que tiene el período enunciado para la tasa.

im

= tasa proporcionalDadas dos o mas tasas de interés con distintas unidades de tiempo se llaman

tasasproporcionales a aquellas que son proporcionales a las respectivas unidades

de tiempo.Ejemplos:i = 2,40 anual con capitalización bimestral

im

= 2;406

= 0; 4 proporcional bimestrali = 0,60 semestral con capitalización cada 15 días

im

= 0;60180

15

= 0;6012

= 0; 05 proporc. p/15 días

Ej: ¿Cuál es el monto acumulado de un capital de $10.000 impuesto a uninterés

compuesto con una taza del 18% anual durante 6 años’Sol:

17



C : $10.000C F : ?

i : 18% anual = 0,18 anualn : 6 añosReemplazamosC F = 10000(1 + 0; 18)6 = 26995; 54

Ej: Determine el monto …nal, al depositar un capital de $12.500 a interéscompuesto

con una taza del 25% anual capitalizable mensualmente, durante un año.

C : $12.500C F : ?i : 25% anual = 0,25 anualn : 1 año

j : 12 meses (sub-períodos de acuerdo a la unidad de tiempo de la taza)ReemplazamosC F = 12500(1 + 0;25

12)112 = 16009; 14

1) ¿Cuál es le monto de un capital de $85.000 impuesto a un interés com-puesto

con una taza del 22% anual durante 12 años? resp: $924:138; 13

2) ¿Qué capital produce un monto de $379.899,89 a los 6 años con una tazade interés compuesto del 3,5% trimestral? resp: $166.379,86¿cuáles fueron los intereses ganados en los 6 años? resp: $213.520,03

3) Un capital de $18.000 ha estado invertido durante 3 años a interes com-puesto,luego de los cuales acumuló un monto de $26.000.¿a qué taza de interés secelebró la operación? resp: 13,0404% anual

4) ¿Qué capital hay que invertir al interés compuesto del 2% trimestralmentepara

obtener al cabo de 1 año $ 1.300.000? $1.200.999,05

5) Viviana deposita en una …nanciera $ 100.000 al 2% de interés compuestomensual.

¿Cuál es el valor más cercano a lo que ganara al cabo de tres meses, si nohace

retiros ni depósitos en ese período? resp: $6.120,8

6) Un capital de $20.000 ha estado invertido durante 5 años a interes com-puesto,

luego de los cuales acumuló un monto de $46.000.¿a qué taza de interés secelebró la operación? resp: 18,126% anual

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7) Determine el monto …nal, al depositar un capital de $12.500 a interéscompuesto

con una taza del 15% anual capitalizable cuatrimestralmente, durante 2 años.resp: $16.751,19

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Documents

Guia Razones y Proporciones Mat 1-Final