Guia Sobre Sucesiones

8/19/2019 Guia Sobre Sucesiones

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ING Carlos Walsh e ING. Hank de Jesús Espinoza , NOV 2010 1

FOLLETO SOBRE SERIES NUMERICAS Y SERIES DEPOTENCIAS.

SUCESIONES.

En el lenguaje común usamos la palabra sucesión para referirnos a un conjunto deobjetos dotado de cierto orden. En matemática tiene un sentido similar. Dada unasucesión (una sucesión se considera dada, cuando se conoce la ley que permite calcularcualquier término

na , para un n dado) podemos hablar de primer término, un segundo,

etc. Definimos una sucesión como una clase de función, estribando su particularidad enque su dominio son los números naturales.

EJEMPLOS:

1) 1,3,5,7,...

2) cos ,cos 2 ,cos3 ,... x x x

DEFINICIÓN

Una sucesión es una función f cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Elvalor f n recibe el nombre de n-ésimo término de la sucesión.

NOTACIÓN: Como el dominio de cualquier sucesión siempre es el mismo , abreviamossu notación escribiendo únicamente su rango. En forma general la denotamos por laexpresión que nos describe el n-ésimo término. La mayoría de las veces f n está dada

de mediante una fórmula explicita, pero en ocasiones se requiere más de una fórmula para lograr esa descripción o una serie de instrucciones llamadas fórmulas de

recurrencia. 1 2 3, , ,... ,... ,n n n f n a a a a a donde a f n

na es el n-ésimo término.

EJEMPLOS:

1) 1

n

n

a

n

1

2

3

1

2

2 1 2 3, , ,..., ,...

3 2 3 4 1

3...

4

n

a

na a

n

a

2) cosn

b n


2/26


1

2

3

4

5

cos 1

cos 2 1

cos 3 1 1,1, 1,1, 1...

cos 4 1

cos 5 1....

n

b

b

b b

b

b

3)

2

1

1

1

n

si n es par n

c

si n es impar n

1 1 3 1 5

, , , , ,.....2 2 10 4 26

nc

4)

1 2 1 11; , 2n n na a a a a n Esta sucesión se conoce como la “sucesión de Fibonacci”.

1 2

3 2 1

4 3 2

5 4 3

6 5 4

1

1 1 2

2 1 3 1,1, 2, 3, 5,8,13, 21,....

3 2 5

5 3 8....

n

a a

a a a

a a a a

a a a

a a a

EJERCICIOS:

Encontrar el n-ésimo término de:

1) 1 1 1

1, , , ,...3 5 7

na

SOL: Lo primero es buscar algún patrón que se repita en los distintos términos.

En el numerador siempre se repite el 1, y en los denominadores vemos que son losnúmeros impares en orden creciente iniciando con el 1.

Los números impares podemos representarlos por2 1n

, según comience con el cero ocon el uno.

En nuestro ejemplo , comenzando con 1n , tenemos que el n-ésimo término es1

2 1n

a

n

2) 4 6 8 10

2, , , , ,...4 7 1 0 1 3

na

SOL: Observamos que los numeradores son los números pares, comenzando con el 2,luego pueden representarse por 2 , 1n n .

Los denominadores comienzan con el 1 y van creciendo de tres en tres: 1,4,7,..


3/26


EL hecho de que crecen de tres en tres sugiere que hay un tres como factor: 3n. Perocomo la numeración la estamos comenzando con el 1 hay que retroceder 2 unidades .Luego este denominador queda descrito por 3 2n . Finalmente tenemos que:

2

3 2n

n

a

n

3) 3 9 27 81

, , , ,...2 8 32 128

na

SOL: El numerador son potencias de 3, por tanto son de la forma 3 , 1n n .

El denominador son potencias de 2 pero con exponente impar por tanto son de la forma

2 12

n . Luego2 1

3

2

n

n na

.

SUCESIONES CONVERGENTES:

DEFINICIÓN: Si una sucesión na tiene límite finito L; se dice que la sucesión es

convergente y que na converge a ese límite. Si la sucesión no es convergente ( es

decir si el límite no existe o si limn

n

a

) se dice que es DIVERGENTE.

EJEMPLOS: Diga si las siguientes sucesiones convergen o divergen.

1) 1

na

n

SOL: 1lim lim 0, .n nn n

a a es una sucesión convergente a ceron

2) 2nnb

SOL:lim lim 2 2 ,

n

n nn n

b b diverge

3) cosn

c n

SOL:

Como cos 1 , 1n

n n y lim 1 n

n

no existe, entoncesnc diverge.

4) 2

1

n

nd

n

SOL:n

d converge a 2e ya que 22

lim 1

n

n

en

5)

1

n

e nsenn


4/26


SOL:

1

1

1

sen

nnsen

n

n

, por tanto la sucesiónn

e converge a 1 ya que

1

lim 11n

senn

n

SUCESIONES MONOTONAS:DEFINICIÓN: Se dice que una sucesión na es monótona si es creciente o

decreciente. CRECIENTE si

1n na a n N

DECRECIENTE si1n n

a a n N

SUCESIÓN ACOTADADEFINICIÓN: se dice que una sucesión

na es acotada si existe un número positivo

B tal quen

a B n .

Sin

C a decimos que C es una cota inferior

Si n D a decimos que D es una cota superior.TEOREMA: Una sucesión monótona converge si y solo si es acotada.O sea:Monótona y acotada converge.Monótona y convergente acotada.

EJEMPLO: Determine si las siguientes sucesiones son acotadas o no.

1) 2 1

n

n

a

n

SOL: Hay que averiguar si la serie converge.

1lim2 1 2nn

n

por tanto na converge, luego hay que probar si la sucesión es

monótona.

2 3 4 2 3 4

1, , , ,.. 1 ...2 1 3 5 7 3 5 7

n

n

a

n

¿se cumplirá para cualquier n?

2 1n

n

a

n

, 11 1

2( 1) 1 2 1n

n n

a

n n

, hay que probar que

1n na a n N

2 2

1

2 1 2 1

2 1 1 2 1

2 2 1 0 1

n n

n n

n n n n

n n n n

Se cumple por tanto, la sucesión es decreciente y converge, luego la sucesión esacotada.

2) cos2

n

n

a

SOL: cos 0, 1, 0, 1, 0, 1,....2

n

, vemos que no es ni creciente ni decreciente

por tanto no es monótona no es acotada.


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EJERCICIOS:I. Determine el n-ésimo término si

1) 1,3,7,15,...na

2) 1 3 5 7

, , , ,...

2 4 6 8

na

3) 2, 2 2 , 2 2 2 ,...na

4) 1,1*3,1*3*5,1*3*5*7,...n

a

II. Investigue si las siguientes sucesiones son acotadas.

1) 2

2

2

3 1

n

n

2) 2

2n

n

3) ln n

n

4) 1n n

5) 2

1 2 3 4 ... n

n

SERIES INFINITAS.Dada una sucesión

n

a formamos la sucesión de sumas

n s donde

1 1

2 1 2

1 2

1

1 2

...

, , ..., , ...

k

k k n

n

n n

s a

s a a

s a a a a

s s s s

Esta sucesión infinita de sumas recibe el nombre de serie infinita y la simbolizamos

como

1 2

1

... ...n n

n

a a a a

El problema fundamental en el estudio de las series es investigar cuando le podemos

asignar un valor a la suma infinita1

n

n

a

y si es posible, como determinar este valor.

Esto está ligado a los conceptos de convergencia y divergencia.


6/26


DEFINICIÓN:

Sea1

n

n

a

una serie infinita dada y sea n s la sucesión de sumas parciales que define

esta serie infinita. Entonces si existe el limn

n

s

y es igual a S, decimos que la serie

dada es convergente y que S es la suma de esta serie infinita.Si lim

nn

s

no existe, decimos que la serie es divergente. Es decir1

n

n

a

= lim nn

s

=S si

1

n

n

a

es convergente.

La definición de convergencia establece que1

limn n

nn

a es convergente s existe

EJEMPLO: Demostrar que las serie convergen.

1. 1

1

1 2n

n n

SOL:Hemos de buscar una expresión para

n s e investigar su limite al crecer n.

Al descomponern

a en fracciones parciales tenemos

1 1 1

1 2 1 2n

a

n n n n

Luego

1

2 1 2

1 1

2 3

1 1 1 1 1 1

2 3 3 4 2 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...

2 3 3 4 4 5 1 2 2 2k

s

s a a

sk k k

Luego1 1 1 1 1

lim2 2 2 2 2

nn

s yn n

, como el limite existe, la serie es

convergente y su suma es1

2.

Como muchas veces es muy difícil encontrar una expresión para n s se hace uso deunos criterios que estudiaremos a continuación.

SERIES NUMÉRICAS.

Dada la serie1

n

n

a

, si cada término es un número determinado, dicha serie recibe el

nombre de serie numérica de términos constantes.

PROPIEDADES DE LAS SERIES NUMERICAS.CRITERIOS DE CONVERGENCIA.


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Como señalamos anteriormente el problema básico en el estudio de las series esdeterminar si convergen o no. En muchos casos es difícil o casi imposible encontraruna expresión general que represente

n s . De ahí la necesidad de apoyarnos en las

propiedades de las series y en particular de los teoremas relacionados con laconvergencia para dilucidar si la serie en estudio converge o no.

CONDICION NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA.

TEOREMA1. Si la serie1

n

n

a

es convergente , entonces lim n

n

s

= 0.

Subrayemos que el criterio analizado es sólo indispensable pero no es suficiente, esdecir, de que si el n-ésimo término tiende a cero no se deduce obligatoriamente que laserie converge ( la serie puede ser divergente).

EJEMPLOS:

1. 1

3

4 1n

n

n

, como

3 3lim , tan .

4 1 4n

n por to la serie diverge

n

2. 1

1

n n

, es la llamada serie armónica y aunque1

lim 0n n

, la serie diverge.

Para demostrarlo, escribamos más detalladamente la serie armónica:1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ...2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Escribamos luego, una serie auxiliar:1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ...2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16

La segunda serie se forma de modo que su primer término es igual a 1; el segundo a1/2 ; el tercer y cuarto son iguales a 1/4 ; los términos desde al quinto al octavo son1/8; los términos desde el noveno hasta el 16 son iguales a 1/16 ; etc.Designemos por 1

n s la suma de los n primeros términos de la serie armónica (1) y por

2

n s , la suma de los n primeros términos de la serie (2).

Puesto que cada término de la serie (1) es mayor que el correspondiente de la serie(2) o es igual a esté, entonces, para 2n ,tenemos

1 2

n n s s Si calculamos las sumas parciales de la serie (2) para los valores de n, iguales a

1 2 3 4 52 ,2 , 2 ,2 ,2 , ...


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2

4

8

16 8

8

11

2

1 1 1 11 1 2 *

2 4 4 2

1 1 1 1 1 1 1 11 1 3*2 4 4 8 8 8 8 2

1 1 1 1... 1 4 *

16 16 16 2

sumandos

s

s

s

s s

Del mismo modo se calcula que

5

6

322

642

2

11 5*

2

11 6 * .....,

2

11 *2

k

s s

s s y en general

s k

Por consiguiente , las sumas parciales para un k suficientemente grande , pueden sermayores que cualquier número positivo, es decir 2lim

nn

s

, pero entonces de

1 2

n n s s , se deduce que también 1lim

nn

s

, es decir, la serie armónica diverge.

SERIE GEOMETRICA:

Veamos las serie1

3 3 3 3...

10 10 100 1000n

n

Tenemos 13 3 3 3 3 1 1 1

... 1 ...10 100 1000 10 10 10 100 10

n n n s

Del algebra elemental se tiene la factorización:

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

...

...

n n n n n n

n nn n n n

a b a b a a b a b b luego

a ba a b a b b

a b

Por tanto

2 1

11

1 1 1 101 ...

110 10 101

101 1

1 13 3 1 110 10

11 910 10 3 10

110 10

1 1lim lim 0

3 10

n

n

n n

n

n

n

nn n

y

s

y s ya que

La serie de este ejemplo es un caso particular de las series conocidas como SERIESGEOMETRICAS.

DEFINICIÓN: Una serie de la forma


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2 1 1

1 0

... ...n n n n

n n

a ar ar ar ar ar ar

Recibe el nombre de serie geométrica. Al número “r” se le llama razón de la serie. El

valor de " "a es el primer término y la razón “r” es el cociente entre cualquiertérmino y su antecesor.TEOREMA:

Una serie geométrica0

n

n

ar

converge a 1 1

1

aS si r y diverge si r

r

EJEMPLOS:

1. 1

1

2n

n

es convergente ya que1

12

r . El valor de1

2a ( recuerde que " "a es

el primer término), luego

1

21

11

2

S

2. 1

4

3

n

n

es divergente ya que4

13

r

3. 0

1

3

n

n

es convergente ya que

1 1, 1

3 3r

. En este caso

1 31,

1 413

a luego S

4. 2 3 4

1 2 4 8...na

e e e e

Tenemos que es una serie geométrica con1 2 1

1 tan .2

a y r por to converge S e e e

.

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS.CRITERIOS DE CONVERGENCIA.

TEOREMA: Una serie infinita de términos positivos es convergente si y solo si susucesión de sumas parciales tiene una cota superior.

CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA:

i. Si los términos de la serien

a no son mayores que los términos

correspondientes de la serienb , es decir, , 1, 2, 3,...n na b n y la

serie nb converge, entonces la seriena también converge


10/26


ii. Si los términos de la serien

a no son menores que los términos

respectivos de la serien

b , es decir, , 1, 2, 3,...n na b n y la

serie nb diverge, entonces la serie na también diverge.

EJEMPLOS: Investigar la convergencia de las siguientes series.

1. 1

1

n

n n

SOL: La serie2 3 4

1

1 1 1 1 1...

1 2 3 4n

n n

converge puesto que sus términos son

menores que los términos correspondientes de la serie

1 2 3 4

1

1 1 1 1 11 ...

2 2 2 2 2n

n

que es una serie geométrica con1

12

r y

2S . Por consiguiente la serie1

1

n

n n

también converge y su suma no supera a 2.

Otra manera de probar sin listar los términos de la serie es verificando si se cumple para estas dos series la parte i. de el criterio de comparación directa, es decir,

1

1

1 1 2

, 2 ,2 2

1 2

2

2 2

n n

nn

n n

n n

n n

a b

como entoncesn

n

n que se cumple n N

2. 1

1

n n

SOL: esta serie diverge puesto que sus términos son iguales o mayores que lostérminos correspondientes de la serie armónica.

1

1

1 1 1 1 11 ...2 3 4

1 1 1 1 11 ...

2 3 4

n

n

n n

n n

Probando la parte ii. del criterio de comparación directa

1 1

,

n na b

nn

n n que se cumple n N

CRITERIO DE COMPARACIÓN POR LIMITE:


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TEOREMA: Seann n

a y b dos series de términos positivos.

i. Si lim 0 ,n n nn

n

a L y b converge entonces a converge

b .

ii. Si lim 0 ,n n nn n

a L y b diverge entonces a diverge

b

EJEMPLOS: Investigar la convergencia de

1. 2

1

1

1n n n

SOL: Dado que el grado del denominador es 2, parece razonable compararla con la

serie2

1

1

n n

, la cual es una serie p (p-serie), con 2 1 p y por tanto convergente.

2

2

2

1

1lim lim lim 1 0

1 1

n

n n nn

a nn n

b nn

, por tanto la serie21

1

1n n n

es

convergente.

CRITERIO DEL COCIENTE (CRITERIO DE D´ALEMBERT) :

TEOREMA: Si en una de términos positivos 1, lim ,nn

nn

aa el L

a

entonces:

i. La serie converge si 1 L ii. La serie diverge si 1 L

iii.

Si 1 L , el criterio falla. La serie puede ser convergente o divergente.

EJEMPLOS: Investigar la convergencia de:

1. 1

!

2n

n

n

SOL:

1 1

1 !!,

2 2n nn n

nn

a a

, luego

1

1

1 ! 1 !2 2 1lim lim * lim * lim 1

2 ! 2 * 2 ! 2

n n

n

n nn n n n

n

n n na n

a n n

, por lo tanto

la serie1

!

2n

n

n

diverge.

2. 1

!

1* 3* 5 *... * 2 1n

n

n

SOL:

1

1 !!,

1*3*5*...* 2 1 1*3*5*... 2 1 * 2 1n n

nn

a a

n n n

, luego

1

1 ! 1*3*5*...* 2 1lim lim *

1*3*5*...* 2 1 * 2 1 !

1 1lim 1

2 1 2

n

n nn

n

n na

a n n n

n

n


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Por lo tanto la serie 1

!

1* 3* 5 *... * 2 1n

n

n

converge.

CRITERIO DE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY)

TEOREMA: Seana una serie de términos positivos. Si lim n n

n

a L

, entonces:

i. Si 1 L la seriena converge.

ii. Si 1 L la seriena diverge.

iii. Si 1 L el criterio falla.

EJEMPLOS: Investigar la convergencia de:

1. 2

1

1

2 2

n

n

n

n

SOL:2 2

1 1lim lim 0 1

2 2 2 2

n

n

n n

n n

n n

Por tanto la serie2

1

1

2 2

n

n

n

n

converge

CRITERIO DE LA INTEGRAL

TEOREMA: Supongamos que existe una función continua decreciente f(x) tal que( ) n f n a , es el n-ésimo término de la serie de términos positivos

1 2

1

... ...n n

n

a a a a

, entonces la serie1

n

n

a

y la integral1

( ) f x dx

son

simultáneamente convergentes a divergentes.

EJEMPLO: Investigar si las series convergen.

1.

22

1

40

4 1n

n

n

SOL:

2 22 240 40

( ) , ( )4 1 4 1

n x f n hacemos f x

n x

22

1

2

2 2 21 1 12 2

1

2 21

2 21 12 2

40

4 1

4 1 8

40 5*8 1lim lim 5 lim 5 lim

4 1 4 1

1 1 15 lim 5 lim

4 1 4 1 3

40 40lim

4 1 4 1n

nn n

n n n n

n

n n

n

n

n

n

sea u x du xdx

x x dudx dx

u u x x

x n

x xdx dx

x x

5

3


13/26


Por tanto la serie

22

1

40

4 1n

n

n

converge.

2. 1 1 1 1

...

4 2 9 3

sen sen sen

SOL:2 2

1 1 1 1( ) , ( ) f n sen haciendo f x sen

n n x x , en el intervalo

2 2 222

22 22

2, ( ) 0 .

1 1 1 1 1 1lim ,

1 1 1 1 1 1lim lim lim cos

n

n

nn n

n n n

x f x decrece cuando x aumenta

sen sen dx sea u du dxn n x x x x

sen dx senudu x x x

Por tanto la serie converge.

EJEMPLOS VARIOS: Investigar la convergencia o no de las siguientes

series.

1. 2

1 2n

n

sen n

SOL: Al compararla directamente con1

1

2n

n

, la cual converge por ser una

serie geométrica con1

12

r , se tiene que

2

2

1

2 2

1,

n n

sen n

sen n n N

Por tanto la serie2

1 2n

n

sen n

también converge.

2. 1

2 1

3

n

n

n

SOL:1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 3 3 3 3

nn n

n n n nn n n n n

, las dos series

resultantes son convergentes, por tanto la serie1

2 1

3

n

n

n

converge.

3. 3 2

3

1

4 1

5n

n n

n

SOL: Como3 2 2

3 3

4 1 194

5 5

n n n

n n

, entonces

3 2 2

3 3

1 1 1

4 1 194 1

5 5n n n

n n n

n n

, la serie

1

1n

, por tanto diverge.


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Para la otra serie2

3

1

19

5n

n

n

, por el criterio de comparación en el limite con

la serie 2

3

1 1

1

n n

n serie divergente

n n

, obtenemos que

2

2 33

3 3

1919 195

lim lim * lim 1 01 5 5n n n

n

n nn

n

n n

n

, que también diverge,

luego la3 2

3

1

4 1

5n

n n

n

diverge.

4.

1

1

2 1 !n

n

SOL: Al aplicar el criterio del cociente, se tiene,

1

1 1 1 1;

2 1 ! 2 3 ! 2 3 2 2 2 1 !2 1 1 !n n

a a

n n n n nn

Luego,

1

1 1lim lim * 2 1 ! lim 0 1

2 3 2 2 2 1 ! 2 2 3 1

n

n n n

n

a

n

a n n n n n

, por tanto la serie converge.

5. 1

1

1 2n n n n

SOL: Por comparación directa con la serie3

1

1

n n

que es convergente por

ser una serie p con3

12

p , tenemos:

3

3 3 2

1 1

1 2

3 2

n n n n

n n n n n N

Por tanto la serie 1

1

1 2n n n n

6. 1

1ln

n

n n

SOL: Por el criterio de la raíz, tenemos

1 1lim ln lim ln

n

n

n nn n

, al cual aplicando las propiedades de

los logaritmos, diverge.


15/26


7.

1

1 ! 3 !3

2 !

n

n

n n

n

SOL: Por el criterio del cociente

1

1

1

1 ! 3 !3 ! 4 !3,

2 ! 2 2 !

1 ! 4 3 !3*3

2 2 2 1 2 !

n n

n n

n

n

n n n n

a a

n n

n n n n

a

n n n

Luego,

2

1

2

3 4 3 4 3lim lim lim 1

2 1 2 1 2 2 3 1 4

n

n n n

n

n na n n

a n n n n


8. 1

tan

2

1 1

n

n

e

n

SOL: Sea1 1tan tan

2 2( ) , ( )

1 1

n xe e f n haciendo f x

n x

, luego aplicando el

criterio de la integral1 1

tan tan

2 2

1 1

lim1 1

n x x

n

e e

x x

1

2tan ,

1

dx sea u x du

x

,

1

1

1 1

tan

tan

21

1 1

tan tan 1 2 4

lim lim lim1

lim

n n xn

u x

n n n

n

n

ee du e

x

e e e e


9. 1

!

n

n

n

n

SOL: Usando el criterio del cociente se tiene

1

1

1 ! 1 !lim lim * lim * lim

! ! 11 1 1

1 1 1lim lim 1

1 11 1

nn n

n

n nn n n n

n

n

nn n

n n na n n n

a n n nn n n

e

nn


EJERCICIOS: INVESTIGAR LA CONVERGENCIA DE LAS SERIES:

1.

2

1n

sen n n

n n


16/26


2.

2

2

1

!

2n

n

n

3. 3 7

1

ln

n

n

n

4. 2

1

ln

3n

n n

n

5. 12

1

1 3tan

53n

n

nn

6.

1

1* 3* 5*... 2 1

3 1 !n

n

n

n

7. 3 5

3

tan

n

n

n

8. 21

1

ln 2 1n n n

9.

2

1

3 2 !

10n

n

n

n

10. 1

3 7

5n

n

n

n

SERIES DE TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS.

1

21

1

1

2

1

cos 1 1 11 ...

2 3 4

9 81 1 4 ...

1 ! 2 3

1 2 3 4 5 61 ...

1 2 3 4 5 6 7

n

n

n

n n

n

n

n

n

n

n

n

Estos son ejemplos de series de términos positivos y negativos. Las de los primeros dostipos donde los signos van cambiando alternadamente reciben el nombre de series

alternadas o alternas.Una manera de definir las series alternantes es la siguiente.DEFINICIÓN: Si 0

na para toda n, entonces las series de la forma

1

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1

1 ... 1 ...n n

n n

n n

a a a a a y a a a a a

se llaman

series alternantes.

CRITERIO DE LEIBNIZ PARA LAS SERIES ALTERNAS.TEOREMA: Si los números

1 2 3, , ,...a a a son alternadamente positivos y negativos y

1 2 3 ....a a a y lim 0

nn

a

, entonces la serie alterna 1

1 n

n

n

a

es convergente.


17/26


Convergencia absoluta y convergencia condicional.Para el análisis de las series de términos positivos y negativos es conveniente asociarlela serie formada por los valores absolutos de sus términos. Las siguientes definiciones y

teoremas muestra la relación entre ellas.

DEFINICION: Se dice que la seriena es absolutamente convergente si la serie

na es convergente.

DEFINICION: Una serie que es convergente, pero no absolutamente convergente, sedice que es condicionalmente convergente.

EJEMPLOS:

1.

La serie 1

1

2

n

n

n

n

es absolutamente convergente, ya que 1 11

2 2

n

n n

n n

n n

es convergente.

2. La serie

1

1 n

n n

es condicionalmente convergente, ya que ella

converge(criterio de Leibniz), pero1

1

n n

es divergente.

TEOREMA: Si la serien

a es absolutamente convergente, entonces es convergente y

n na a . (El reciproco no es valido).

Este teorema proporciona una vía para analizar la convergencia de una serie de términos positivos y negativos, la cual consiste en analizar la serie formada con los valoresabsolutos. Sin embargo este camino no nos ayuda cuando se presentan seriesdivergentes o condicionalmente convergentes. Para resolver estas situaciones serequiere contar con otros criterios, entre ellos tenemos el criterio de la razón y el criteriode la raíz,etc.

EJEMPLOS: Diga si las siguientes series son absolutamente convergentes ocondicionalmente convergentes.

1.

1

1

3

n

n

n

.SOL: Inicialmente vemos que es una serie alternante. Investigamos si satisface lascondiciones del Teorema de Leibniz:

i)

1 1

1

1,

3 3

3 1

3

13 1 1

n n n n

n

n

n n

a a

n

n

n

n


18/26


ii)1

lim lim 03 3 ln 3

n nn n

n

(Aplicando la regla de L´Hopital. Por lo tanto la serie

es convergente.Pero hasta ahora no he averiguado si la serie es absolutamente convergente ocondicionalmente convergente.

APLICANDO EL CRITERIO DE LA RAZON:

11

1

13

3

3

n

n

n

n

n

a n

na n

, 1

1 1lim lim 1

3 3

n

n n

n

a n

a n

, luego la serie es absolutamente

convergente y por tanto es convergente.

2. 1

2

1

12 1

nn n

n

n

n

.

SOL:

Analicemos la serie formada con los valores absolutos, o sea1 2 1

n

n

n

n

.

Aplicando el criterio de la raíz, se tiene:

1lim lim 1

2 1 2 1 2

n

n

n n

n n

n n

. Luego la serie es absolutamente convergente.

3. 2

1

6

n

n

sen

n

SOL:

Consideremos2 2 2

16 6. 1,6

n n sen sen

nComo sen tenemos

n n n

. Sabemos que

2

1

1

n n

es convergente por ser una serie p con 2 1. p Luego por el criterio de

comparación directa 2

1

6

n

n

sen

n

es convergente y por tanto

21

6

n

n

sen

n

es

absolutamente convergente.

4. 2

1

21

n

n

n

n n

.

SOL:

2 2

1 1

2 21

n

n n

n n

n n n n

, por el criterio de comparación en le límite,

2 2

2 1;

n n

n na b

n n n n

es una serie divergente.


19/26


2

2

2

2lim lim *

2lim 1 0

n

n nn

n

a nn

b n n

n n

n n

Por tanto la serie 2 2

1 1

2 21

n

n n

n n

n n n n

,

diverge, entonces la serie 2

1

21 n

n

n

n n

no es absolutamente convergente.

Ahora hay que probar si la serie es condicionalmente convergente, para ello usamosel criterio de Leibniz.

i)1n n

a a , 12 22 3

3 2n n

n na a

n n n n

2 2

2 2

2 3

3 2

2 3 2 3

n n

n n n n

n n n n n n n N

ii) 2 2lim lim 0nn n

na

n n

,por tanto la serie 2

1

21 n

n

nn n

converge por Leibniz

Dado que 2 2

1 1

2 21

n

n n

n n

n n n n

diverge y 2

1

21

n

n

n

n n

converge

entonces , la serie es condicionalmente convergente.

5. 0

cos

1n

n

n

.

SOL:

cos 1 n

n , por lo tanto la serie 0 0

cos 11

1 1

n

n n

n

n n

es alternante.

0 0

1 1| 1 |

1 1

n

n nn n

, que es por el criterio de comparación en el límite

divergente.

Por Leibniz:0

1

1n

n

i) 11 1

1 2

2 1,

n na a

n n

n n n N

ii)1

lim 01n n

, por tanto la serie

0 0

cos 111 1

n

n n

nn n

y 0

11n n

diverge,

entonces,0

cos

1n

n

n

es condicionalmente convergente.

6. 2

11

ln

n

n n

.


20/26


SOL: Es alternante y decreciente 1n na a , además lim 0nn

a

, luego por el

criterio de Leibniz es convergente. Pero2

1

lnn

n

es divergente, por tanto

2

11

ln

n

n n

es condicionalmente convergente.

7.

2

2

11

ln

n

n n n

converge absolutamente, ya que

2

2

1

lnn n n

es

convergente.(se verifica aplicando el criterio de la integral).

8. 1

1!

n n

n

n

e n

n

SOL: Usando el criterio del cociente

11

1

2

1 !lim lim *

1 !

1 1lim lim 1 1

nn

n

n nn n

n

n n

nn n

e na n

a n e n

e n

e e

n n

Por tanto la serie diverge.

TEOREMA: Los términos de una serie absolutamente convergente se puedenreagrupar en cualquier orden y las series resultantes son convergentes hacia lamisma suma.

TEOREMA: La suma, diferencia y producto de dos series absolutamente

convergentes son absolutamente convergentes.

Sucesiones y series de funciones.

Las sucesiones y series cuyos términos son ciertas funciones de valores reales ocomplejas, reciben el nombre de sucesiones de funciones o funcionales y series defunciones respectivamente.Para cada valor fijo de la variable que contenga, estas sucesiones y seriesrepresentan las sucesiones y series numéricas ya analizadas.CONVERGENCIA.

- La sucesión

na x se llama convergente en

0 x x , si la sucesión numérica

0na x converge.

EJEMPLO: La1n

x

n x

converge a 0, 0 x .

- La sucesión na x se dice convergente sobre el conjunto x, si converge encada punto del conjunto x.

- De manera similar la serie xa x se llama convergente en el punto 0 x X ,

si converge la serie numérica 0n

a x


21/26


- La serie se llama convergente sobre el conjunto X, si converge en cada puntodel conjunto X.

- La serie x

a x se llama absolutamente convergente sobre el conjunto X, si

sobre este conjunto converge la serie na x .- El conjunto de valores de x para los cuales la serie converge se llama dominio

de convergencia de esta serie.- El límite de las sumas parciales de la serie convergente sobre el conjunto X se

llama su suma S x .

0

lim

n

n k n

k

S x s x a x

.

- La serie 11

k

k

a x

se llama el resto o residuo n-ésimo de la serie y se denota

por n R x

- Si la serie converge sobre X, 0n R x .

CONVERGENCIA UNIFORME.

Sea n

a x una sucesión de funciones de una variable. Suponemos que estas

funciones están definidas y son continuas cuando x pertenece a un intervalo I dado,y que para cada valor x I la sucesión numérica

na x tiende a un límite a x

que también es función.Surge la pregunta ¿ el límite de una sucesión de funciones continuas, es continua?.La respuesta no siempre es afirmativa. Para ello se requiere que la sucesiónconverja uniformemente. No hay que olvidar que la continuidad es muy importante

para asegurar la existencia de derivadas e integrales.Antes de la definición formal de convergencia uniforme, veamos el ejemplo desucesiones que no convergen uniformemente.

1. Sea , 01

n

nx

a x x

nx

Veamos que pasa en el intervalo [0,1]; n

a x es función continua de x en [0,1]

cualquiera sea n.Cuando n , 1

na x excepto cuando x=0.

Si x=0, 0 0na y el límite es nulo, luego na x es discontinua en x=0.

1 0

lim0 0

nn

si xa x

si x

2. Consideremos la serie

2 2 2 2

2 322 2 2

... ...1 1 1 1

n

x x x x

x x x x

Esta es una serie geométrica con primer término2

21

xa

x

y razón

2

1

1r

x

, de

manera que la suma de sus primeros n términos es


22/26


2

2

2

2

1111

1 1 11

1

nn

n n

xa r xS x recordemos que S

x r

x

Puesto que 21 0 x , se reduce a 2

2 211

1

n

n xS x x x

, Si 0 x , podemos

cancelar 2 x del numerados y del denominador.

2

11 1 0

1

n

n nS x luego S x si x

x

, pero si 0, 0 0n x S , por tanto

1 0

lim0 0

nn

si xa x

si x

Definición: Decimos que la sucesión de funciones

na x converge

uniformemente en X hacia un límite a x si la distancia

0,na x a x cuando n .

Veamos cual es la diferencia con la convergencia “ORDINARIA” y por que su

importancia. Cuando decimos que n

a x tiende hacia a x en cada punto x X ,

decimos que dado un , se puede hallar para cada x un número , N x tal que

na x a x para ,n N x . El número N depende de y el valor de x .

Cuando decimos que converge uniformemente sobre X, decimos que hayconvergencia en todo punto de X y que además N depende solo de , no dependede x.

Criterios de convergencia uniforme de Weierstrass.

Si existe una sucesión de constantes positivas n

c tal que en un cierto intervalo:

a) 1, 2,3,....n n

a x c para n

b)nc converge, entonces na x es uniformemente y absolutamente

convergente en el intervalo.

EJEMPLO:2

1

cos

n

nx

n

.Puesto que 2 2

cos 10, 2

nx paratoda x

n n y

21

1

n n

converge, entonces2

1

cos

n

nx

n

converge absoluta y uniformemente.

PROPIEDADES DE LAS SERIES UNIFORMEMENTE CONVERGENTES.1. Si na x ,con na x para 1, 2,3...n funciones continuas en [a,b] y si

n

a x converge uniformemente hacia la suma S x en [a,b], entonces

S x es continua en [a,b].


23/26


Esto es, una serie uniformemente convergente de funciones continuas, es unafunción continua. Este resultado puede utilizarse para demostrar que una serie dadano es uniformemente convergente haciendo ver que la función suma es discontinuaen algún punto.

En particular si 0 , x a b ,

0 0 01 1 1lim lim

n n n x x x x

n n n

a x a x a x

2. Si n

a x , 1,2,3...n son continuas en [a,b] y si n

a x converge

uniformemente hacia la suma S x en [a,b] entonces

0 0

b b b

n n na a a

n n

S x dx a x dx o a x dx a x dx

.

Esto es, una serie uniformemente convergente de funciones continuas se puedeintegrar término s término.3. Si

na x , 1,2,3...n son continuas y tienen derivadas continuas en [a,b] y si

n

a x converge hacia S x en tanto nd

a xdx

es uniformemente

convergente en [a,b], entonces es este intervalo

,n n nd d

S x a x a x a xdx dx

.

SERIES DE POTENCIAS:

DEFINICIÓN: Una serie de potencias en x a es una serie de la forma

2

0 1 2

0

... ...n n

n n

n

c c x a c x a c x a c x a

donde cada ic y a

son números reales ( nc depende de n).

Un caso particular se obtiene cuando 21 2

0

0 : ... ...n n

o n n

n

a c c x c x c x c x

.

Al tener una serie numérica, la pregunta esencial es si converge o no. Al tener unaserie de funciones entre ellas las series de potencias, la pregunta esencial será ¿paraque valores converge? La importancia de estas series radica en que si la serieconverge para ciertos valores de X, podemos definir una función de x haciendo

0

n

n

n

f x c x a

valida para estos valores de x para los cuales la serie

converge.Veremos que prácticamente todas las funciones estudiadas en los cursos anteriores:trigonométricas, logarítmicas, etc. Pueden desarrollarse en series de potencias, portanto es necesario conocer que condiciones deben de satisfacer para poder obtenertal desarrollo.CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE POTENCIAS.

Se cuenta con los siguientes teoremas sobre las series de potencias, los cuales sededucen de los criterios de comparación y el de la razón.


24/26


1. Si0

n

n

n

c x

es convergente para 1 0 x x , entonces es absolutamente

convergente para toda x tal que1

x x .

2. Si0

n

n

n

c x

es divergente para

2 x x , entonces es divergente para toda x tal que

2 x x .

3. Sea0

n

n

n

c x

, entonces exactamente se cumple una de las proposiciones

siguientes:- La serie converge exactamente para 0 x .- La serie es absolutamente convergente para toda x.- Existe un número 0 R , tal que la serie es

a) Absolutamente convergente para todos los valores x para los cuales x R

. b) Divergente para x R .

c) Cuando x R , queda inicialmente sin esclarecer. Para tales valores,

x R hay que analizar las series numéricas.

Al considerar la serie 0

n

n

n

c x a

, las conclusiones del teorema anterior se convierten

en :- La serie converge solamente para x a .- La serie es absolutamente convergente para toda x.

-

Existe un número 0 R

, tal que la serie esa) Absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales x a R .

b) Divergente para x a R .

c) Cuando x a R , queda inicialmente sin esclarecer. Para tales valores,

x a R , hay que analizar las respectivas series numéricas.

RADIO E INTERVALO DE CONVERGENCIA.El número R al cual se hace referencia en el teorema anterior recibe el nombre de radiode convergencia y el conjunto de valores x para los cuales es convergente recibe el

nombre de dominio o intervalo de convergencia.Cuando se cumple el primer caso decimos que 0 R y cuando sucede el segundodecimos que R .El dominio o intervalo de convergencia podemos representarlos Gráficamente sobre unarecta numérica. Dicho intervalo puede ser cerrado, semicerrado o abierto, segúnconverja o no en los extremos del intervalo.El centro del intervalo es el punto x a y los extremos son a R y a R .Los criterios de D´Alembert y el de Cauchy( Criterio de la Razón y el de la Raíz) sonlos mas utilizados porque permiten obtener fórmulas para calcular directamente R.EJEMPLOS:

1.

Encontrar los valores de x para los cuales

1

1 2

n

n

x

n

es convergente.


25/26


SOL:Utilizando el criterio de la razón tenemos:

1 1

1

1 1 1

1 1 1 1 2 1 1, * *

1 2 2 2 2 2 2 21

n n n n

nn n nn n n

n

x x x n xa na a luego

n n a n n x

1 1 11 1 1lim lim * lim

2 2 2 2 2

n

n n n

n

x xa x n n

a n n

.

De acuerdo a lo que establece el criterio se tiene:

- Si1

12

x

o sea 1 2 x la serie es absolutamente convergente, resultando

que si 3 1 x la serie es absolutamente convergente.

- Si1

12

x

o sea 1 2 x la serie diverge.

- Si1

1

2

x

o sea 1 2 x queda sin esclarecer con este criterio, tomando

1 3 x o x y analizando por otros criterios resultan las series numéricassiguientes:

Si 1 x tenemos la serie 0 0 1

2 1 1

1 2 1

n

n

n n nn n n

, vemos que resulta la serie

armónica la cual sabemos que diverge.

Si 3 x tenemos la serie

1

0 0 1

2 1 1

1 2 1

n n n

nn n nn n n

, al aplicar el

Criterio de Leibniz para las series alternas vemos que converge. Combinando los

resultados concluimos que la serie converge para 3,1 x

2. 1 2

n

n

n

x

n

SOL:

1

1

1

2*

1 2 2 1

n n

n

n n

n

a x n n

x

a n x n

lim

2 1 2n

xn

x

n

.

Luego la serie es absolutamente convergente para 12

x

o sea | | 2 2 x y R .

Para | | 2, 2 x x

Si 2 x , se obtiene1 1

2 1

2

n

n

n nn n

, la cual es divergente.

Si 2 x , se obtiene

1 1

2 1

2

n n

n

n nn n

, la cual es condicionalmente

convergente, luego el intervalo de convergencia es 2, 2 x

3.

21

3 n

n

n x


26/26

SOL:

2

1 1

3n

n

a n x

a n

2

1 1

lim lim 3 3n

n n

n

a n

x x

a n

Luego la serie es absolutamente convergente para 3 1 1 x y R .

Si 3 1 x se obtiene 2 4 x o x , valores para los cuales la serie diverge por

tanto la serie es convergente para 3 1 2, 4 x o sea x

4. 1 !

n

n

x

n

1

1 ! 1lim lim * | | lim 01 ! 1

n

n

nn n n

n

a x n

x

a n x n

Luego la serie es absolutamente convergente para todos los valores de x y R

EJERCICIO: HALLAR EL DOMINIO DE CONVERGENCIA DE LAS SERIES.

1. 21

1* 4 6

3

n

n

n

n

x x

2.

1

1 3

1 5

n n

n

n

x

n

3.

1 1

n

n

n

x

x

4. 1

1 1*

3 1

n

n

x

n x

5. 1 3 2

nxn

x

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