Guía Teórica, Geometría Proporcional II - WEB (1)

7/23/2019 Guía Teórica, Geometría Proporcional II - WEB (1)

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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 28

UNIDAD: GEOMETRÍA

GEOMETRÍA PROPORCIONAL II

DIVISIÓN DE TRAZOS

DIVISIÓN INTERNA

Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m: n, si AP : PB = m : n

Observación: Un caso particular de división interna, es la división áurea, que consiste endividir un trazo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmentomayor, sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor.

(AP > PB)

La razónP

se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO:

EJEMPLOS

1. Un punto P divide interiormente a un segmento AB en la razón 5 : 3. Si PB = 36 cm,¿cuánto mide AB?

A) 12 cmB) 48 cmC) 60 cmD) 72 cmE) 96 cm

P m

PB n

A BP

A BP

= AB

AP = 5 + 1

2 1,618034

B P

PB

P

C u r s o : Matemática

Material N° 28



2

2. Un punto Q divide en sección áurea a un trazo CD, con CQ > QD. Si CD = 10 cm yCQ = x, entonces la ecuación para determinar x es

A) x2 + 10x – 100 = 0B) x2 – 10x + 100 = 0C) x2 – 10x – 100 = 0D) x2 + 10x + 100 = 0E) x2 + x – 100 = 0

3. ¿Cuál(es) de los siguientes trazos, se encuentra(n) dividido(s) interiormente por elpunto P en la razón 2 : 3?

I)

II)

III)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

4. En la figura 1, el punto B divide interiormente al segmento AC en la razón 3 : 2. Si

AB = 6 cm, ¿cuál es la medida de AC?A) 2 cmB) 4 cmC) 6 cmD) 10 cmE) 15 cm

5. La pierna y el brazo de Juan están en razón áurea, respectivamente. Si la pierna mideun metro de longitud, entonces ¿cuánto mide el brazo?

A)

5 + 1

2 m

B)

5 + 13

m

C)

5 1

2

m

D)

5 1

3

m

E)

5 1

4

m

20

A BP 12

15

2 A BP5

6

18

A BP

fig. 1A CB



3

TEOREMA DE THALES

Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una deellas, son respectivamente proporcionales a los segmentos determinados en la otra.

En la figura 1, L1 y L2 son rectas y AD // BE // CF.

Entonces:

EJEMPLOS

1. En la figura 2, si L1 // L2 // L3, entonces x vale

A) 0B) 2C) 3D) 4E) 6

2. Si en la figura 3, L1 // L2 // L3, entonces x + y =

A) 24B) 11C) 8

D) 5E) 3

4 2

x + 2 x – 1

L1

L2

L3

fig. 2

L1

L2

L3

6

x

8

y

16

4

fig. 3

AB DE=

BC EF

A

B

C

D

E

F

L1 L2 fig. 1



4

3. En la figura 4. Si L1 // L2 // L3, entonces x + y

y =

A)

2

3

B)

3

5

C)

3

2

D)

5

3

E)

5

2

4. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras la medida de x es igual a 5?

I) II) III)

A) Solo en IB) Solo en IIIC) Solo en I y en IID) Solo en I y en III

E) En I, en II y en III

5. En la figura 5, si ABCD es paralelogramo y EF // CD , entonces la medida de GF es

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

6. En la figura 6, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . Si EF // AB , BF : FC = 1 : 2 yAD = 30 cm, ¿cuál es la medida de AE ?


L1

L3

L2

15

10 x

y

fig. 4

L1 // L2 // L3

L1

12 15

L2 L3

4x

L1 // L2

1512L1 L2

4x

L1 // L2

L1

L2

4

15

12

x

fig. 5

D C

A B

GE F4

6

fig. 6

A B

D C

E F

5



5

HOMOTECIA

Es una transformación que a partir de un punto fijo (centro de homotecia) multiplica todaslas distancias por un mismo factor (razón de homotecia). Es decir, al aplicar una homoteciade centro O y razón k a un punto P cualquiera, se obtiene otro punto P’, tal que P, O y P’ son

colineales y OP’ = k · OP En la figura 1, O es centro de homotecia y k es la razón de homotecia.

Propiedades:

1)

Los ángulos de las figuras homotéticas tienen igual medida.

2) AB // A B , CA // C A , BC // B C

3)

Entonces,

OBSERVACIONES

A las figuras que cumplen con todas las propiedades, se les llama figurashomotéticas, y a las que no cumplen con la propiedad 2, sólo se les denomina figurassemejantes.

Al aplicar una homotecia se obtiene una figura semejante a la original, por lo tanto,

se cumplen todas las propiedades de las figuras semejantes.

La homotecia permite ampliar o reducir figuras, manteniendo la forma.

Si k > 1 implica una ampliación de la figura, si k < 1 implica una reducción de lafigura.

Al aplicar una homotecia de razón negativa, se obtiene una imagen invertida de la

figura original.

EJEMPLOS

1. A un hexágono de perímetro 36 cm, se le aplica una homotecia de razón k = 2 : 1,entonces el perímetro del nuevo hexágono es


ABC A’B’C’

OA' OB' OC' = = = k

OA OB OC

fig. 1A

B

C

A’

B’

C’

O



6

2. A un pentágono de área 108 cm2, se le aplica una homotecia de razónk = 1 : 3, entonces el área del pentágono resultante es

A) 9 cm2 B) 12 cm2 C) 36 cm2

D) 324 cm2

E) 972 cm2

3. Si a una figura del plano se le aplica una homotecia de centro cualquiera y razónnegativa ( < 0), entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) La figura homotética está ubicada al mismo lado con respecto al centro dehomotecia y con diferente orientación.

II) La figura homotética está ubicada a distinto lado con respecto al centro dehomotecia y con diferente orientación.

III) Si = -1, La figura homotética es equivalente con la figura original.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

4. Si al ABC se le aplica una homotecia con centro en P y razón k = -1 : 2, se obtieneel A’B’C’ , entonces la figura que mejor representa esta transformación corresponde a

A) B) C)

D) E)

A B

C

A’ B’

C’

P

A B

C

A’ B’

C’

P

A B

C

A’ B’

C’

P

A B

C

A’ B’

C’ P A B

C

A’ B’

C’

P



7

PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA

Teorema de las cuerdas

Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan enel interior de ella, el producto de los segmentos

determinados en una de ellas, es igual al producto desegmentos determinados en la otra.

Teorema de las secantes

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazandos secantes, el producto de una de ellas por susegmento exterior, es igual al producto de la otra secantepor su segmento exterior.

Teorema de la tangente y la secante

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazanuna tangente y una secante, la tangente al cuadrado, esigual al producto entre la secante y su segmento exterior.

EJEMPLOS

1. En la circunferencia de la figura 1, AB y CD son cuerdas que se intersectan en P. SiAP = 9 cm, PB = 12 cm y CP = 18 cm, entonces CD mide

A)

24 cmB) 21 cmC) 13,5 cmD) 6 cmE) 3 cm

2. En la figura 2, PS y PU son secantes a la circunferencia de centro O. Si PR = RS = 14y PT = 8, entonces TU es igual a

A) 8B) 16,5C) 24,5D) 41E) 49

A D

C B

P

A

B

C

D

P

AB

T

P

AP · PB = CP · PD

PA · PC = PB · PD

=2

PT PA · PB

fig. 1

DP

CA

B

R

S

U

PT

O

fig. 2



8

3. En la circunferencia de centro O de la figura 3, AB es tangente y AC secante.Entonces, según los datos proporcionados en la figura, ¿cuál es la longitud de DC?

A) 18B) 21C) 25D) 29E) 30

4. En la figura 4, AC y BD son cuerdas. Si AE = EC, entonces la cuerda AC mide

A) 36B) 18C) 9D) 6 2

E) 3 2

5. En la circunferencia de la figura 5, PS y PR son secantes. Si PQ = 2 cm, QR = 5 cmy PS = 14 cm, ¿cuál es la longitud de PT?

A) 1 cmB) 2 cmC)

4 cm

D)

5

7 cm

E) 13 cm

6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, MN es tangente en N y MS es secante.

Si MR = 3 cm y RS = 45 cm, entonces la tangente MNmide

A) 144 cmB) 72 cmC) 32 cmD) 12 cmE) 3 5 cm

RESPUESTAS

Ejemplos

Págs. 1 2 3 4 5 61 y 2 E A C D C

3 y 4 D B D D A A

5 y 6 D B D B

7 y 8 A D B D A DDMQMA28

P

Q

T

R

S

fig. 5

S

N

M

R

O

fig. 6

A

B

C

D10

4fig. 3

O

E

fig. 4

A

B

C

D

E

6

3

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