Guia Tercer Departamental ENE JUN 2012

GUIA PARA EL TERCER EXAMEN DEPARTAMENTAL

ACADEMIA DE MATEMTICAS-ESIQIE-IPN ENE-JUN-2012 Pgina 1

Funcin exponencial

Obtener la asntota horizontal y las intersecciones con los ejes, dominio y rango de las siguientes funciones exponenciales. Tambin bosqueje la funcin para los ejercicios

Grafica las siguientes funciones exponenciales

1. () = 2 2. () = 3 3. () = 2 4. () = 3 5. () = 2 6. () = 10+1 7. () = 1 8. () = 3 2 9. () = 12 10. () = , < 0

, 0 11. () = , 0

, > 0 12. () = 1 + 3

Funcin Respuesta () = 4 4 y = 4 ; ( )xI 1,0 ; ( )yI 0, 3 () = 12 12 y = 1/2 ; ( )xI 1,0 ; ( )yI 0,1/2 () = 2 + 1 y =1 ; ( )yI 0,2 () = 21 1 y = 1 ; ( )xI 1,0 ; ( )yI 0, 1/2 () = 31 + 3 y =3 ; ( )yI 0,6 () = (1/4)2 2 y = 2 ; ( )xI 1/ 4,0 ; ( )yI 0, 1 () = 222 1 y = 1 ; ( ) ( ){ }xI 1,0 , 2,0 ; ( )yI 0, 3/ 4 () = 1221 14 y = 1/ 4 ; ( ) ( ){ }xI 3,0 , 3,0 ; ( )yI 0,7 / 4 () = 4 2 2 y = 1 ; ( )xI 1,0 ; ( )yI 0, 2



Resuelva para x , en las siguientes ecuaciones exponenciales:

1 x =2 34 4

x = 1

2 ( )x =42 1 15

x =1

3 x + =2 43 1

x =2

4 xe e =2 0

x =1

5 ( ) ( )x x =22 2log 16 log 2 1 x =1/2 6 2 4 72x x+ =

3x =

7 2 4 8 84x x x+ + = 2x = 8 2 10 34 2 2 2x x+ + = + 3x = 9 ( )x x x++ + =3 2 22 2 2 6 0

x =0

10 x x+ + =22 2 2 1 25

x =2

11 ( )22 4 128x x+ = 3x = 12 ( )x x =3 3 6 27 x =2 13 ( )x x =2 2 1 240 x = 4 14 ( )( )x x+ = 3 1 3 2 2 x =0 15 ( )( )x x =2 1 4 2 42 x =2 16 ( )( )4 1 4 2 4030x x+ = 3x = 17 ( )( ) ( )( )3 3log log2 1 2 1 15x x + = 9x = 18 ( )2 22 1 15x = 4x = 19 ( )( )x x =3 1 1/3 4 /3 x =1 20 x xe e =2 3 1 02 ( )x = ln 2 21 ( )x + =log3 1 28

x =1000

22 ( )4log2 1 1x = 4x = 23 ( )

xx x x =33 13 x =2 24 ( )

xf x x =

2110000 10 1010000 { }x = 1,3



Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales 13. 102 = 1100 14. 87 1 = 0 15. 3 = 272 16. 2+2 = 8 17. 32 = 9 18. 3649 = 67

Grafique en el mismo diagrama y determine (analtica y grficamente) las coordenadas del punto de interseccin de las funciones si es que existe.

19. ( ) ( )75 125xf x g x+= =

20. ( ) ( )1 1327

xf x g x= =

21. ( ) ( )6 7 1216

xf x g x= =

22. ( ) ( )2 5 2354

xf x g x= =

23. ( ) ( )4 93 9xf x g x+= =

24. ( ) ( )3 124

xf x g x+= =

25. 543)( 1 = +xxf 2703)( 2 += +xxg

26. 813)( 1 = +xxf 273)( 2 += +xxg

27. 1( ) 2 48xf x += 322)( 3 += +xxg

28. 322)( 2 = +xxf 162)( 3 += +xxg

29. 813)( 1 = +xxf 2( ) 3 27xg x += +

30. ( ) ( )3 2 3 22 44 2 20x xf x g x+ += = +



FUNCIONES LOGARTMICAS Reformula la expresin exponencial en forma de una expresin logartmica equivalente.

31. 412 = 12 32. 90 = 1 33. 104 = 10000 34. 100.3010 = 2 35. = 36. 153 = 0.008

Reformula la expresin logartmica en forma de una expresin exponencial equivalente.

37. 2128 = 7 38. 5 125 = 2 39. 381 = 8 40. 162 = 14 41. = 42. 6 136 = 2

Obtener las ecuaciones de las asntotas horizontales, las intersecciones con los ejes, dominio y rango para las siguientes funciones logartmicas. Tambin bosqueje dichas funciones.

Funcin Respuesta ( x =asntota; xI =interseccin con el

eje de las abscisas; yI =interseccin con el eje de las ordenadas)

1 ( ) ( )f x x= + 2log 2 3 x = 2 ; ( )xI 6,0 ; ( )yI 0, 2 2 ( ) ( )f x x= + +2log 4 2 x = 4 ; ( )xI 15/ 4,0 ; ( )yI 0,4 3 ( ) ( )f x x= + 3log 3 2 x = 3 ; ( )xI 6,0 ; ( )yI 0, 1 4 ( ) ( )f x x= + 4log 4 2 x = 4 ; ( )xI 12,0 ; ( )yI 0, 1 5 ( ) ( )f x x= + 1/2log 1 2 x = 1 ; ( )xI 3/ 4,0 ; ( )yI 0, 2 6 ( ) ( )f x x= + +1/3log 9 1 x = 9 ; ( )xI 6,0 ; ( )yI 0, 1 7 ( ) ( )f x x= + +1/4log 1/ 4 1/2 x = 1/ 4 ; ( )xI 7 / 4,0 ; ( )yI 0,3/2 8 ( ) ( )f x x= + +1/4log 1/2 1/2 x = 1/2 ; ( )xI 3/2,0 ; ( )yI 0,1 9 ( ) ( )ef x x= + log 1 1 x = 1 ; ( )xI e 1,0 ; ( )yI 0, 1

10 ( ) ( )f x x= +1/2log 2 2 x =2 ; ( )xI 2,0 ; ( )yI 0,1 11 ( ) ( )f x x= 2log 1 2 x =1 ; ( )xI 3,0 ; ( )yI 0, 2 12 ( ) ( )f x x= +2log 1 1 x =1 ; ( )xI 1/2,0 ; ( )yI 0,1



Grafica las siguientes funciones logartmicas

43. () = 44. () = 2( + 1) 45. () = () 46. () = 3 ( + 3) 47. () = 1 2( 4) 48. () = 1 + () 49. () = 1 + 4 50. () = || 51. () = |()|

Usando las propiedades de los logaritmos combine los trminos para obtener uno solo:

1. 10(100) 10(252) 2. 12 6( + ) 1 32 6() 3. 4(3) + + 4 1+2

Solucin:

1. 10(100) 10(252) = 10 100252 = 10 42 2. 12 6( + ) 1 32 6() = 6 + 63 1 Posteriormente 1 = 6(6) 12 6( + ) 1 32 6() = 6 + 3 6 62 Con lo cual se concluye que: 12 6( + ) 1 32 6() = 6 + 363

3. 4(3) + + 4 1+2 = 4 3+2 + 44=4 34+2

Usa las propiedades de logaritmos para reescribir las siguientes expresiones como un solo logaritmo.

52. 2 + 25 53. 12 549 13 58 + 1351 54. (4 4) (2 + 2) 55.

23 4

56. 5 + 52 + 53 56 57. 52 + 23 34



Expansin de expresiones logartmicas. Ejemplos: expanda las expresiones:

1. 4(4) 2. 3 33(+1) 3. 2 64

Solucin:

1. 4(4) = 4(4) + 4() = 1 + 4() 2. 3 33(+1) = 3(3) 33( + 1)

Desarrollando cada trmino del lado derecho 3(3) = 3() + 3(3) = 3() + 33()

33( + 1) = 3(3) + 3( + 1) = 1 + 3( + 1) Finalmente se obtiene:

3 33( + 1) = 3() + 33() 1 3( + 1) 3. 2 64 = 2() + 2(6)1/4

2(6)1/4 = 14 2(6) = 14 {2() + 62()} Entonces

2 64 = 2() 14 2() 32 2()

Expanda las expresiones:

58. lnbxyyz

=

59. logby xy=

60. ( )23lny yz yx= 61.

23

2logbxyyz

=

62. 3 4

52ln

x yyz

=

Aplica las propiedades de logaritmos de modo que la expresin no contenga productos, cocientes ni potencias 63. = 102+5

83+23 64. = (2+1)(3+2)4+3 65. = 3354+32+18

(7+5)9



Resuelve las siguientes ecuaciones logartmicas 1 ( )x + =22log 3 8 x =8 2 ( )x + =24log 1 1 { }x 3,1 3 ( ) ( )x x + =4 4log 2 log 4 1/2 x = 4 4 ( )x + =22log 1 4 4 x =2 5 ( ) ( )x x+ + =4 4log 2 log 1 1 x =2 6 ( ) ( )x x = +23 3log 2 18 2 log x =6 7 ( ) ( )x x + =2 2log 1 log 2 2 x =2 8 ( ) ( )x x + + =2 2log 1 log 1 3 x =3 9 ( ) ( ) ( )x x+ + + =3 3 3log 3 log 1 3log 2 x =1 10 ( ) ( )x x+ + =3 3log 3 log 3 3 x =6 11 ( ) ( )2 4log log 9 / 2x x+ = 8x = 12 ( ) ( ) ( )2 4 8log log log 22 / 3x x x+ + = 16x = 13 ( )x =2log 4 3 x =516 14 ( ) ( )x x+ =6 6log log 1 1 x =3 15 ( ) ( )x x + + = 8 8log 1 log 1/3 x =1 16 ( ) ( ) ( )x x+ =4 4 4log 20 log 16 log 5 x =25 17 ( ) ( ) ( )x x = 9 9 9log log 2 log 2 x = 4 18 ( ) ( ) ( )x x x + + = 2 2 22log 1 log 2 log 1 5 x =3 19 ( ) ( )

( )( )3 2

ln 2log log 2 2

ln 3x x =

4x = 20 ( ) ( ) ( ) ( )e e e ex x + = log 2 log 3 log 3 log 2 x = 13 21 ( ) ( ) ( ) ( )x x x+ + + =3 3 3 3log 2 4 log 2 log 1 log 5/2 x =3 22 ( ) ( )x x + = 2 22 2log log 3 { }x = 1/ 8,2 23 ( ) ( )x x + = 3 43 3log log 0 { }x = 1,9 24 ( ) ( ) 22 42log log 3x x+ = { }4,64x = 25 ( ) ( ) 31/3 1/3log log 2x x+ = 8x = 26 ( )( ) 21/3 3log log 1x = { }3 3,27x = 27 ( )( ) 22 1/2log log 1x = 1 2,4 2x = 28 [4()]4 4 = 0 x =

2 21 ,44



Resuelve las siguientes ecuaciones logartmicas 66. 2 210 = 29.3 67. + ( 2) = 3 68. 2( 3) 2(2 + 1) = 24 69. 1

= 2

70. 2(10 2) = 4 71. 3(2 1) + 3(3 + 1) = 0

Problemas de aplicacin de ecuaciones exponenciales y logartmicas a la Ingeniera Qumica 1. La ecuacin de Arrhenius se utiliza para modelar la dependencia de la constante de rapidez de una reaccin qumica. Este modelo depende de dos parmetros de la siguiente manera:

/

eE RTk k = 0 Donde los parmetros son el factor de frecuencia ( k0 ) y la energa de activacin (E ).

R es la constante de los gases. Dada la temperatura (T) queda determinada la

constante de rapidez (k). Usando las propiedades de los logaritmos y exponenciales muestre que los parmetros pueden determinarse dadas dos temperaturas con las respectivas constantes (k1 y k2) de la siguiente manera: T T kE R T T k = 1 2 22 1 1ln y E RTk k= /10 1 e 2. La viscosidad de un lquido puede calcularse con la siguiente expresin: BTA = e Donde es la viscosidad y A y B son constantes arbitrarias y T la temperatura a la cual se desea la viscosidad en kelvin. Para el siguiente conjunto de datos encuentre las constantes A y B.

T , g/cm-s 273 1.054 313 0.639 343 0.441 373 0.326

Resp. A=0.0135 g/cm-s; B=1195.7 K 3. La presin de vapor (Pv) en bar de una sustancia pura en estado lquido puede calcularse con la correlacin de Antoine la cual tiene la forma:

( )V BP A T C= +ln Donde T es la temperatura en K; A, B y C son constantes que dependen de cada fluido. Para el ciclohexeno las constantes son: A=9.2041; B=2813.53 y C=-49.98 para 300T360 K Calcule la presin de vapor a 300, 325 y 350 K.



Resp. 0.1288, 0.3583 y 0.8405 bar. 4. La ecuacin de vant Hoff en su forma integrada permite calcular la constante de equilibrio de una reaccin reversible como una funcin de la temperatura y la entalpa de reaccin. Dicha ecuacin es:

e

=

HR T TK K 1 0

1 1

1 0

Donde K 0 es la constante de equilibrio a una temperatura de referencia (T0 ),K 1 es la constante de equilibrio a la temperatura T1 , H es la entalpa de reaccin y R es la constante de los gases.

a) Despeje T1 de dicha ecuacin. Resp. ( )ln /

RTHTT k k = + 01 01 01 .

b) Muestre H y K 0 pueden determinarse si se conocen a varias temperaturas diferentes los correspondientes valores de las constantes de equilibrio. Resp. Graficar

( )ln /iK vs T1 5. De la siguiente ecuacin despeje 1 , x 1 y x 2 :

( ) A xA A x = + 212 11 12 21 2ln 1 6. Un laboratorista mide la concentracin molar de iones H+ en gmol/L ( HC + ) en una solucin que contiene algo de cido clorhdrico. El valor reportado del pH fue de 13.288. Sin embargo su jefe se da cuenta de que la frmula del pH usada por el laboratorista fue:

( )HpH log C += 2 Cul es el valor real del pH? Resp. pH=4.0 Derive una frmula para determinar el pH real como una funcin de la frmula empleada por el laboratorista.

( )( )

Hlog CpH += 22log 10 7. La viscosidad de un hidrocarburo de petrleo se puede calcular con la siguiente

frmula:

( ) ( )Tc A B T + + = + 10 10 1 1 10log log 0.7 log

Donde A1 ,B1 y cT son constantes que se obtienen de tablas, T es la temperatura

absoluta y es la viscosidad cinemtica.

Despeje de esta ecuacin

a) la temperatura. Resp. ( ) ( ) BA B TT c = + + 1/ 1/1 1 1010 log 0.7 b) el coeficiente de viscosidad: Resp. ( )

A BT Tc = +1 11010 0.7



Grafica las siguientes funciones trigonomtricas

72. ( ) 14f x sen x = +

73. ( ) ( )cos 2f x x = +

74. ( ) 2 22

f x sen x = +

75. ( ) 1tan3 2

f x x = +

76. = 4 77. = 5 2 78. = 32 79. = 52 4 80. = 2 4 81. = 2 2 82. = 1 + 23 83. = 1 + 2 84. = 85. = 2 86. = 1 + 87. = 88. = 3 89. = 2 2 Grafica las siguientes funciones en los intervalos dados

90. ( )2 4y sen x x =

91. 1 4 44 2

xy sen x x =

92. 3cos 4 42xy x =

93. ( )1 cos 2 2 23

y x x=

Grafica las siguientes funciones y expresa su dominio y rango

94. ( ) ( )f x arcsen x= 95. ( ) ( )arccosf x x=

96. ( ) ( )arctanf x x=



Calcule la medida exacta de y exprsela en radianes

97. 1arccos

2 =

98. 2

2arcsen

=

99. ( )arctan 1 =

100. ( )arctan 3 =

101. 3

2arcsen

=

102. ( )arccos 1 =

Simplifique cada expresin utilizando identidades fundamentales 103. ( ) ( )tan cscx x

104. ( )( )

2sec 1tan

xx

105. ( ) ( )2 2

1 1csc secx x

+

106. ( )( ) ( )

( )

2 21 cos1 cos

x sen xx

+

107. ( ) ( )( )

( )

22cos 11

x sen xsen x+ +

+

Verifica las siguientes identidades

108. ( ) ( ) ( ) ( )tan cos secx sen x x x+ =

109. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2sec csc 1 2 tanctg x x x sen x x = 110. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tan cos cos 1x sen x x sen x x ctg x+ =

111. ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2cos cosctg x x ctg x x= + 112. ( ) ( ) ( )1 tan 2 tan sec 2x x x+ =

113. ( )( )

( ) ( )( ) ( )

tan tantan tan

sen x y x ysen x y x y

+ +=



Resuelva los siguientes problemas de ecuaciones trigonomtricas:

1 cos() = 32 = 6 + , 116 + : = 2 2 sec() = 2 = 4 + , 74 + : = 2

3 cot() = 3 = 6 + ,16 + : =

4 tan() = 33 = 6 + : = 5 sen() = 2/2 = 54 + , 74 + : = 2

6 cos( 1) + 1 = 3/2 = 1 + 3 + , 1 + 53 + : = 2

7 sen() cos() 22 = 0 = 0 + , + ,4 + , 74 + = 2 8 3tan(x) tan2(x) = 0 = 0 + ,3 + : =

9 sec2() 3 sec() = 2 = 0 + ,3 + , 53 + : = 2

10 csc(x) + 2 = 6 = 512 + , 712 + : = 2 11 tan2() 1 = 0 = 4 + , 34 + , 54 + , 74 + : = 12 tan() + cot() = 2 = 34 + : = 13 cos() + sec() = 52 = 3 + , 53 + : = 2 14 cos2() 34 = 0 = 6 + , 56 + , 76 + , 116 + : = 2

15 log8(4sen2() 2) = 0 = 3 + , 23 + , 43 + , 53 + : = 2



ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Determina todas las soluciones de cada una de las ecuaciones trigonomtricas siguientes 114. = 1 115. = 0 116. = 1 117. = 233 118. 1 + = 0 119. = 2 120. 2 1 = 0 121. 32 = 122. 22 3 2 = 0

RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 123. ( ) ( )22 0sen x sen x todo x+ =

124. ( ) ( )28 5 10cossen x x todo x= + 125. ( ) ( )2sen x sen x todo x= 126. ( ) ( )cos cot 0 2x x x = < 127. ( ) ( )tan 2 0 2x sen x x = <

128. ( )2 1cos 22

sen todo =

129. ( ) ( )22 2 0sen sen todo + = 130. 2 2cos 2 0 2sen x + = < 131. ( ) ( )22cos 3 0 0 2sen x + = < 132. ( ) ( )2cos 2 0 0 2sen x + = < 133. ( ) ( )24cos 2 4cos 2 1 0 0 2x x x + =

134. 22 3 1 0 0 22 2x xsen sen x + =



Calcula las Races de polinomios de grado mayor a dos 135. () = 53 32 + 8 + 4 136. () = 3 8 3 137. () = 44 72 + 5 1 138. () = 4 + 23 + 102 + 14 + 21 139. () = 64 53 22 8 + 3 140. () = 4 + 63 7 141. () = 5 + 4 53 + 2 6 142. () = 12 3 94 2 + 174 3 143. () = 2.53 + 2 + 0.6 + 0.1

Encuentra las soluciones reales de las ecuaciones 144. 23 + 32 + 5 + 2 = 0 145. 24 + 73 82 25 6 = 0 146. 5 24 + 23 42 + 5 2 = 0 147. + = 148. + =

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por regla de Cramer y Gauss-Jordan

149. 4 = 1 + 2 = 1

150. + 7 = 259 + 3 = 5 151. 2 1 = 03 + 4 1 = 0 152. 6 2 = 44 + 5 = 12 153.

3 = 203 + 54 = 9 2

154. 3 = 02 + 3 = 0 155. 6 + 4 = 165 + 2 = 4 156. 8 2 2 = 02 + 4 6 7 = 0 157.

3 = 2 + 4 + 5 = 6



SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA RESOLVER UTILIZANDO ELIMINACIN DE GAUSS-JORDAN Y REGLA DE CRAMER

158.

4 3 152 2

2 2 4

x y zx y zx y z

+ + = = + =

159.

3 2 43 3 26 3 2 6

x y zx y zx y z

+ = + + = =

160.

2 3 5 47 6 7

7 2 9 6

x y zx y zx y z

= + + = =

161.

5 4 5 66 2 44 9 12 5

x y zx y zx y z

+ = + = + =

162.

2 3 85 2 3 13

2 5 15

x y zx y zx y z

+ + = + = + =

163.

3 22 2 5

5 2 7

x y zx y z

x z

+ = + = + =

164.

3 2 4 47 5 9

9 9 1

x y zx y z

x y z

+ = + = + =

165.

5 24 3 5 33 2 4 1

x y zx y zx y z

+ = + = + =

166.

3 5 2 22 3 34 3 8

x y zx zy z

+ = + = =

167.

2 3 8 23 2 52 3 3

3 2 3 7 5

w x y zw x y zw x y zw x y z

+ = + + = + + + = + + =

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