Gonzalo Fuster, Pedro Del Canto, Martín Vargas 1

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Física 110 Guía de trabajo N° 5 Primer Semestre 2013

INFORMACION IMPORTANTE: El contenido de esta guía se evaluará en el Control 3, el jueves 09 de mayo.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Esta guía es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos: Reconocer, aplicar y analizar, gráfica y algebraicamente, fuerzas dependientes del tiempo, de la velocidad y de la posición, en los casos unidimensionales mencionados a continuación. Para fuerzas dependientes del tiempo:

Calcular gráficamente el cambio xv , a partir del área bajo la curva de xF en función del tiempo.

Para fuerzas dependientes de la velocidad:

Definir y aplicar los conceptos de roce viscoso vf k v , y roce de arrastre 2

f D v .

Analizar gráfica y algebraicamente la velocidad y la posición en función del tiempo. Reconocer, calcular y aplicar el concepto de velocidad terminal. Para fuerzas dependientes de la posición:

Identificar fuerzas restauradoras. Definir y aplicar la fuerza Fx = –k·x de un resorte ideal.

Aplicar el segundo principio de Newton al sistema masa-resorte (horizontal y vertical). Obtener e interpretar la ecuación diferencial del movimiento armónico simple.

Reconocer la función senoidal (o cosenoidal) como la solución de la ecuación diferencial del M.A.S.

Calcular la frecuencia de las oscilaciones para el sistema masa-resorte, incluyendo, combinaciones de resortes.

PREGUNTAS Y EJERCICIOS DEL TEXTO GUÍA:

Cap. 5: “Aplicaciones de las leyes de Newton”. Preguntas para análisis: 25, 27, 29, 33. Ejercicios: 41, 42. Problemas: 100, 102.

Cap. 13: “Movimiento periódico”. Preguntas para análisis: 6. Ejercicios: 6, 7, 10, 12, 13, 16, 18. Problemas: 60, 63.

PROBLEMAS ADICIONALES:

1. Para un cuerpo de masa m que se mueve a lo largo del eje x, el segundo principio de

Newton puede expresarse como: x x xF m a m dv d t , donde Fx es la componente

escalar de la fuerza neta en dirección x. Suponga que Fx está dada gráficamente como una función del tiempo. Para un intervalo pequeño de tiempo ∆t, la expresión anterior

puede escribirse como: x xF t m v . Explique cómo puede usarse esta expresión

para calcular el cambio ∆vx en un intervalo de tiempo arbitrariamente largo, a partir de un

gráfico de Fx en función del tiempo.

t t1 t2

Fx

2. Un cuerpo de masa m se mueve a lo largo del eje x. La fuerza neta está dada por xF F (t) i . Muestre que

entre dos instantes t1 y t2 la componente vx de la velocidad varía en: 2

1

t

x xt

1v F (t) dt

m

3. Sobre un carrito de 3,0[kg] actúa una fuerza neta horizontal cuya

componente Fx varía con el tiempo según el gráfico adjunto. En t = 0 el carrito se mueve a 3[m/s]. a) Describa cualitativamente el movimiento del carrito durante el intervalo entre 0 y 40[s].

b) Calcule el cambio xv entre los instantes 15[s] y 25[s].

c) Dibuje un gráfico de la componente xv de la velocidad del carrito en

función del tiempo.

x [N]F

t[s] 0

50

100

150

–50

–100

10 20 30 40

4. La masa de una bola de billar es 200 gramos. La magnitud de la fuerza horizontal ejercida por el taco de billar sobre la bola, varía con el tiempo según el gráfico adjunto (note que el tiempo está en milisegundos). El efecto del roce durante el intervalo del golpe es despreciable. Si la bola estaba inicialmente en reposo, calcule aproximadamente la rapidez de la bola después del golpe del taco.

F[N]

t [ms] 0

500

1000

1500

1 2 3 4

5. Un cuchillo de 250 gramos cae verticalmente desde una altura de 1[m] sobre un piso de madera, incrustándose algunos milímetros en el piso. La magnitud de la fuerza ejercida por el piso sobre el cuchillo durante la incrustación, varía con el tiempo según el gráfico adjunto (tiempo en milisegundos). a) Calcule la rapidez del cuchillo al llegar al piso. b) ¿Por qué la fuerza ejercida por el piso sobre el cuchillo no es cero después del choque? c) Calcule aproximadamente la máxima magnitud de dicha fuerza.

F[N]

t 4[ms]

máxF

Guía de trabajo 5 – Física 110 1s 2013

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6. Un pequeño cuerpo se deja caer desde el reposo y desciende a través del aire. La fuerza de roce ejercida por el aire sobre el cuerpo para velocidades pequeñas se llama roce viscoso y es función de la velocidad:

f = {kv v, misma dirección y sentido opuesto al vector velocidad}

siendo kv una constante, que depende de la forma del objeto y de las propiedades del aire.

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del cuerpo para un instante durante la caída. b) Explique qué condición se cumple cuando un cuerpo alcanza su velocidad terminal. c) Usando el segundo principio de Newton, encuentre una expresión para la velocidad terminal en función del peso

del cuerpo y de la constante kv.

d) Para un instante cualquiera, use el segundo principio de Newton y encuentre que :

v v

dv dt

(mg / k ) v m / k.

e) Muestre que (mg/kv) tiene dimensiones de velocidad y que (m/k) tiene dimensiones de tiempo. f) Integrando, encuentre una expresión para la rapidez v en función del tiempo (*). Considere que en t = 0, v = 0. g) Integrando nuevamente, encuentre una expresión para la distancia recorrida desde el punto de partida, en función del tiempo. h) Se define la “distancia de 95%”, como la distancia recorrida por el cuerpo desde el reposo hasta alcanzar el 95% de su velocidad terminal. Encuentre una expresión para la distancia de 95%. (*) Nota: Para evaluar integrales, puede usar un “tabla de integrales”, o un programa de integración, por ejemplo, en la barra de Google, escriba “integrator”.

7. La constante kv, mencionada en el problema anterior, está dada por el producto de dos factores: kv = K , en

donde K tiene dimensiones de longitud y depende de la forma del cuerpo, y es una propiedad del aire llamada

“coeficiente de viscosidad”. Para un cuerpo esférico, K = 6 R, siendo R el radio del cuerpo. a) ¿Qué unidades tiene el coeficiente de viscosidad, en el sistema MKS? b) Calcule la velocidad terminal de una gotita de neblina de 0,1[mm] de diámetro cayendo en el aire. El coeficiente

de viscosidad del aire, a condiciones normales, es aire 2 10–5

[unidades MKS].

8. A velocidades grandes, la fuerza de roce ejercida por el aire se llama fuerza de arrastre, y es proporcional al cuadrado de la rapidez:

f = { D·v2, misma dirección y sentido opuesto al vector velocidad}

siendo D una constante que depende de la forma del cuerpo y de la densidad del aire. Suponga que un cuerpo se deja caer desde el reposo, en presencia de la fuerza de arrastre del aire.

a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del cuerpo, aplique el segundo principio de Newton, y encuentre una expresión para la velocidad terminal del cuerpo.

b) Integrando, encuentre una expresión para la rapidez del cuerpo en función del tiempo. (*)Ver nota al final del problema 6.

9. La constante que aparece en la fuerza de arrastre puede expresarse como: 1

D C A2

, en donde C es una

constante que depende de la forma del cuerpo, es la densidad del aire (≈ 1,2[kg/m3], a condiciones normales), y A

es el área de la sección transversal del cuerpo, perpendicular al movimiento: por ejemplo, para una esfera de radio

R, la sección transversal perpendicular al movimiento es A = 2

R .

a) ¿Qué dimensiones tiene la constante C? b) Desde un edificio muy alto se deja caer una pelota de tenis que tiene una masa de 57 gramos y un diámetro de 6,5 centímetros. Calcule la velocidad terminal de la pelota de tenis. (Para una esfera no muy lisa, C ≈ 0,5).

10. Dos pelotas de ping-pong, una de las cuales ha sido rellenada con plomo, se dejan caer simultáneamente desde el reposo. Suponiendo roce de arrastre: ¿Cuál de las dos adquiere mayor velocidad terminal?

11. Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba con una gran velocidad. Dibuje un gráfico cualitativo de la

componente vy de la velocidad del proyectil en función del tiempo. (Vea el problema 1 de la Guía 2)

12. Un proyectil de masa m es lanzado con un ángulo inicial 0 respecto a la horizontal, con una velocidad grande

de modo que la fuerza de arrastre ejercida por el aire no puede despreciarse. a) Para un instante cualquiera, dibuje un diagrama de cuerpo libre mostrando todas las fuerzas que actúan sobre el proyectil en un instante dado. ¿En qué dirección apunta la fuerza neta sobre el proyectil?

b) Usando el segundo principio de Newton, muestre que las componentes ax y ay

de la aceleración del proyectil en un instante t arbitrario, pueden expresarse como:

x x

Da v v

m ;

y y

Da g v v

m

0 x

y gr

0

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13. El carrito de la figura es desplazado una distancia A de su posición de equilibrio y luego es soltado. El roce es despreciable. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del carrito cuando pasa por una posición cualquiera x.

k

m

b) Escriba la ecuacion diferencial para la posición en función del tiempo y encuentre su solucion, x(t). c) Encuentre la constante de fase, la frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. d) Dibuje los vectores fuerza neta, aceleración y velocidad del bloque en las posiciones extremas y en el punto de equilibrio.

14. El sistema de la figura está oscilando con amplitud A de tal forma que el bloque de masa m no resbala respecto al carrito. El roce del suelo sobre el carrito puede despreciarse. a) Encuentre una expresión para la fuerza de roce ejercida por el carrito sobre el bloque en función del tiempo.

2m

em

b) ¿Cuál es la máxima amplitud con que puede oscilar el sistema, sin que el bloque resbale con respecto al carrito? 15. Un carrito unido a un resorte de constante k está sobre un plano inclinado, como se indica en la figura. Se suelta el carrito desde la posición mostrada cuando el resorte se encuentra en su largo natural. El roce es despreciable. a) Determine la posición de equilibrio del sistema.

b) Escoja el punto de equilibrio como origen del sistema de coordenadas. Use el segundo principio de Newton, y resuelva la ecuación diferencial hallada para encontrar la posición del carrito en función del tiempo x(t).

c) Calcule la frecuencia de las oscilaciones del carrito en función del ángulo de

inclinación del plano . Aplique la solución a los casos particulares = 0 (plano

horizontal) y = /2 (plano vertical, la normal se hace cero).

k, 0

Roce despreciable

gr

M

16. La esfera superior cuelga de un resorte de la figura que tiene una constante k. La esfera inferior cuelga de la

superior mediante una cuerda ideal. Las dos esferas tienen masas m1 = m2 = m, y se encuentran inicialmente en

reposo en el punto de equilibrio. A continuación, se desplazan las esferas una distancia hacia abajo y se sueltan.

a) Describa el movimiento resultante. En particular: ¿qué debe cumplirse para que

la cuerda permanezca siempre tensa?

Para las siguientes preguntas use: k = 400 [N/m], m = 2 [kg], = 10 [cm]:

b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda en el instante que la velocidad de ambas

esferas es máxima?

c) ¿Cuál es la tensión de la cuerda en el instante que su aceleración es máxima y

hacia abajo?

d) Repita las preguntas anteriores si la deformación inicial es ’ = 20 [cm]

m

k

m

cuerda

g

17. Los tres sistemas de la figura se encuentran formados por un carro de masa M y dos resortes ideales de constantes k1 y k2, y de igual largo natural. El roce puede despreciarse. A cada sistema se le da una misma deformación inicial para que comiencen a oscilar.

k2 M

k1

k1

k2

M

k2 k1

M

a) Dibuje un DCL para cada uno de los bloques, en un instante cualquiera. b) Escriba la ecuación diferencial de movimiento del sistema y encuentre la solución. c) Determine en cada caso la frecuencia de las oscilaciones, el periodo, la máxima velocidad y la máxima aceleración que alcanza cada bloque.