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Guia con ejercicios de vectores, usach
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Gua de Ejercicios Propuestos sobre
Vectores
Ejercicio N 1 Demuestre que el tringulo con vrtices P (2,4,0), Q (1,2,1) y R (1,1,2) es un tringulo equiltero. Ejercicio N 2 Determine si los siguientes tros de puntos se encuentran en lnea recta: A.- P (5,1,3), Q (7,9,1) y R (1,15,11) B.- P(0,3,4), Q (1,2,2) y R (3,0,1) Ejercicio N 3 Encuentre las longitudes de las medianas del tringulo con vrtices en los puntos P (2,3,4), Q (5, 2,6) y R (2,7,4) Ejercicio N 4 Encuentre la ecuacin de una esfera si uno de sus dimetros tiene puntos extremos P (3,3,4), Q (5,1,2). Ejercicio N 5 Encuentre las ecuaciones de las esferas con centro C (6,-3,5) y que son tangentes a los planos coordenados. Ejercicio N 6 Demuestre que x2 + y2 + z2 +4x 6y +2z +6 = 0 es la ecuacin de una esfera, y encuentre su centro y radio. Ejercicio N 7 Encuentre la ecuacin de la esfera mas grande con centro C (6,3,9) y que est contenida en el primer octante. Ejercicio N 8 Encuentre la ecuacin de una esfera que pasa por el origen y cuyo centro tiene coordenadas C (2,-5,11) Ejercicio N 9 Encuentre la ecuacin de la esfera con centro C (6, 5,- 2) y radio 7 . Describa su interseccin con cada uno de los planos coordenados. Ejercicio N 10
Sean los vectores en IR 3: )2,3,1( =v , )4,3,2( =u , = (2,0,-1) y = (1,5,4) a
b
A.- Determine los vectores: UV y AB B.- Determine el vector ST = ABUV C.- Calcule: ABSTUV
D.- Determine si el vector es una combinacin lineal de los vectores , , V
u
a
b
E.- Determine si los vectores , , son una combinacin lineal del vector .
u
v
a
)20,15,0(
Ejercicio N 11 En IR3 sean los vectores )5,4,3( =v y )3,2,1( =u , determinar:
A.- uv B.- uv C.- vu D.- u )v u (
+ x Ejercicio N 12 Sean los vectores en IR 3: )3,1,2( =v , )4,0,1(=u y )2,1,1( =w , obtener: A.- UWUV B.- UW x UV Ejercicio N 13 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos: A.- y . Est el punto )2,1,3(P )4,7,2( Q )1,2,5( A sobre la recta? B.- y . Est el punto sobre la recta? )2,4,1(P )5,3,3(Q )14,1,13(B Ejercicio N 14 Encuentre una ecuacin del plano que pasa por los siguientes tros de puntos de IR 3: A.- , , y ) 2 ,3 ,1 (P )4,3,2( Q )1,0,2( R . B.- , , y )4,3,2(P )4,2,5(Q )4,7,2(R . C.- , )7,3,1( P )5,3,2( Q , y )5,0,2( R . Ejercicio N 15 Encuentre una ecuacin del plano que pasa por el punto y que es paralelo al plano dado por la ecuacin:
)4,2,5( P0863 =++ zyx .
Ejercicio N 16 Encuentre la distancia del punto al plano dado por la siguiente ecuacin:
. Dibuje el punto y el plano dado. )4,3,2(P
24234 =++ zyx
Ejercicio N 17
Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto: y que es paralela a la recta cuyo vector director es:
)2,1,3(P
kjiv 472 ++= .
Ejercicio N 18 Sean los vectores en IR 3: )5,3,2( =v , )3,0,1(=u y )1,4,0( =w . Es el vector
una combinacin lineal de los vectores V, U y W? Determine la ecuacin del plano que contiene a los puntos: V, U y W.
)2,15,4( =A
Ejercicio N 19 Sean los vectores en IR 3: )5,3,2( =v , y )2,1,3( =w . Es el vector )2,15,4( =a coplanar a los vectores V, U y W? Si no los es calcule el volumen del paraleleppedo. Ejercicio N 20 Encuentre una ecuacin del plano que contiene a los puntos de IR 3: )5,4,2( P ,
y ; adems hllese un vector normal a dicho plano y el rea determinada por los tres puntos.
)6,1,0( Q )4,3,2(R
Ejercicio N 21 Halle la ecuacin de la recta que pasa por los puntos: )5,1,1( P y . Est el punto sobre la recta? Y el punto ?-1 + t
)5,0,7(Q)1,2,5(A )14,1,13(B
Ejercicio N 22 Sean los vectores en IR2: , )3,1(=V )4,3(=U , )1,2( =A y )4,5(=B : A.- Grafique los vectores: UV y AB . B.- Determine si UV AB Ejercicio N 23 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos: P (-3,1,-2) y Q (2,-7,4).
Respuestas
Respuesta Ejercicio N 1 Demuestre que el tringulo con vrtices P (2,4,0), Q (1,2,1) y R (1,1,2) es un tringulo equiltero.
d (P,Q) = 14 149 2)1(2)2(2(3) 2)01(2)42(2)21( =++=++=+++
d (P,R) = 14 49 1 2)2(2)3(2(1) 2)02(2)41(2)21( =++=++=+++
d (P,R) = 14 9 14 2)3(2)1(2(-2) 2)12(2)21(2)11( =++=++=+++ d (P,Q) = d (P,R) = d (P,R) = 14 , el tringulo PQR es equiltero. Respuesta Ejercicio N 2 Determine si los siguientes tros de puntos se encuentran en lnea recta: A.- P (5,1,3), Q (7,9,1) y R (1,15,11)
d( P, Q ) = 84 16464 2)4(2)8(2(2) 2)31(2)19(2)57( =++=++=++
d( P, R ) = 336 6425616 2)8(2)16(2(-4) 2)311(2)115(2)51( =++=++=++
d( Q, R ) = 756 14457636 2)12(2)24(2(-6) 2)111(2)915(2)71( =++=++=+++ 75633684 =+ recta. lneaen encuentran se Ry Q , P puntos Los B.- P (0,3,4), Q (1,2,2) y R (3,0,1)
d( P, Q ) = 6 411 2)2(2)1(2(1) 2)42(2)32(2)01( =++=++=+++
d( P, R ) = 43 2599 2)5(2)3(2(3) 2)41(2)30(2)03( =++=++=+++
d( Q, R ) = 17 944 2)3(2)2(2(2) 2)21(2)20(2)13( =++=++=+++ 43176 + recta. lneaen encuentran se no Ry Q , P puntos Los
Respuesta Ejercicio N 3 Encuentre las longitudes de las medianas del tringulo con vrtices en los puntos P (2,3,4), Q (5, 2,6) y R (2,7,4) Primero se determina los vrtices de las medianas:
M1 = M PQ =
=
+ 1- , 2 5- ,
27
26-4 ,
22-3- ,
252
M2 = M QR =
=
+ 1 , 2 5 ,
23
24-6 ,
272- ,
225
M3 = MPR
= ( ) 0 , 2 , 0 2
4-4 , 2
73- ,2
22 =
+
Luego se calcula las longitudes de cada mediana:
d( 2M1M ) = 33 4254 2)2(2)5(2(-2) 2)11(2)
2
5
2
5(2)
2
7
2
3( =++=++=++++
d( 3M2M ) = 27
14
1
4
9 2)1(2)
2
1(2)
2
3(- 2)10(2)
2
52(2)
2
30( =++=++=++
d( 3M1M ) = 2
67 1
4
81
4
49 2)1(2)
2
9(2)
2
7(- 2)10(2)
2
52(2)
2
70( =++=++=++++
La longitud de cada mediana es: 21MM = 33 ; 32MM = 27 y 31MM = 267 Respuesta Ejercicio N 4 Encuentre la ecuacin de una esfera si uno de sus dimetros tiene puntos extremos P (3,3,4), Q (5,1,2). Determinando el punto medio para calcular las coordenadas del centro:
MPQ
= ( 1 , 2- , 4 2
2-4 , 2
1-3- ,2
53 =
+ )= C( h , k , l ) Para obtener el radio, basta con calcular la distancia de C a cualquiera de los puntos dados:
d(C,Q) = 11 911 )3()1((1) )12()21()45( 222222 =++=++=+++ = r Luego aplicando la formula de la ecuacin de esfera se tiene:
( x h )2 + ( y k )2 + ( z l )2 = r2 ( x 4 )2 + ( y + 2 )2 + ( z 1 )2 = 211
X2 + y2 + z2 8x + 4y 2z + 10 = 0
Respuesta Ejercicio N 5 Encuentre las ecuaciones de las esferas con centro C (6,-3,5) y que son tangentes a los planos coordenados. Formulando las ecuaciones de las esferas con radio r1= 6 , r2 = 3 y r3 = 5
( x h )2 + ( y k )2 + ( z l )2 = r2
=+++=+++=+++
2222
2222
2222
5)5z()3y()6x(3)5z()3y()6x(6)5z()3y()6x(
se tiene:
x2 + y2 + z2 12 x +-6y 10z + 34 = 0
x2 + y2 + z2 12 x +-6y 10z + 61 = 0
x2 + y2 + z2 12 x +-6y 10z + 45 = 0 Respuesta Ejercicio N 6 Demuestre que x2 + y2 + z2 +4x 6y +2z +6 = 0 es la ecuacin de una esfera, y encuentre su centro y radio. Asociando y completando cuadrados de binomio para escribir la ecuacin de la esfera se tiene:
(x + 2)2 + (y 3)2 +(z + 1)2 = 8 Comparando esta ltima ecuacin con la de la forma normal, vemos que es la ecuacin de una esfera con centro C (-2,3,-1) y su radio r = 8 .
Respuesta Ejercicio N 7 Encuentre la ecuacin de la esfera mas grande con centro C (6,3,9) y que est contenida en el primer octante. Se desea que la esfera sea del primer octante entonces usaremos el radio r =3. Luego la ecuacin pedida es:
(x 6)2 + (y 3)2 +(z 9)2 = 32
x2 + y2 + z2 12x 6y 18z +117 = 0
Respuesta Ejercicio N 8 Encuentre la ecuacin de una esfera que pasa por el origen y cuyo centro tiene coordenadas C (2,-5,11) Determinaremos su radio, calculando la distancia desde el origen al centro dado.
d( C, O ) = 29162 1212516 )11()5((4) )011()05()02( 222222 ==++=++=++ = r Luego la ecuacin es:
( x h )2 + ( y k )2 + ( z l )2 = r2 ( x 2 )2 + ( y +5)2 + ( z 11)2 = 2162
x2 + y2 + z2 4x + 10y 22z 12 = 0 Respuesta Ejercicio N 9 Encuentre la ecuacin de la esfera con centro C (6, 5,- 2) y radio 7 . Describa su interseccin con cada uno de los planos coordenados. Determinando la ecuacin de la esfera:
( x h )2 + ( y k )2 + ( z l )2 = r2 ( x 6 )2 + ( y 5 )2 + ( z +2 )2 = 2
7
Luego la ecuacin pedida es: x 2 + y 2 + z2 12 x 10y + 4z + 58 = 0 Su interseccin ser: Si x = 0 y2 + z2 10y + 4z + 58 = 0 ( y 5)2 + ( z +2 )2 = 29, esto no es consistente ya que la suma de dos cuadrados es siempre no negativa, por lo tanto la interseccin es vaca.
Si y = 0 x2 + z2 12 x + 4z + 58 = 0 (x 6)2 + (z +2)2 = 18 la interseccin es vaca.
Si z = 0 x2 + y2 12 x 10y + 58 = 0 (x 6)2 + (y 5)2 = 3 Luego la interseccin con el plano XY resulta ser la circunferencia:
x2 + y2 12 x 10y + 58 = 0 de centro C ( 6 , 5 ) y radio r = 3 . Respuesta Ejercicio N 10
Sean los vectores en IR 3: )2,3,1( =v , )4,3,2( =u , = (2,0,-1) y = (1,5,4) a
b
A.- Determine los vectores: UV y AB
UV = ( 1+2 , 3 3 , 2 + 4 ) = ( 3 , 6 , 6 ) = uv
AB= ab = ( 12 , 5 0 , 4 +1 ) = (1 , 5 , 5 )
B.- Determine el vector ST = ABUV
ST = ABUV = (3, 6, 6) x (1, 5, 5) = 5 5 1-
6 6- 3 k j i
= ( 60, 21
C.- Calcule: ABSTUV
= )ABST(UV ( 3 , 6 , 6 ) [ ]) 5 , (-1,5 x ) 9 ,21,60(
= ) ABST(UV (3, 6, 6) 5 5 1-
9 21- 60- k j i = (3 , 6 , 6) (150, 291, 321)= 630
D.- Determine si el vector es una combinacin lineal de los vectores , , V
u
a
b
Sea el vector ) 2 ,3,1 (v = , y los escalares , , entonces: V = (-2,3,-4) + b a u =++ (2,0,-1) + (1,5,4)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
= 13 8
, = 0 y = 13 3
) 2 ,3,1 (v = = 13 8 )4,3,2( +0 (2,0,-1)+
13 3
(1,5,4)
Significa que es combinacin lineal de los vectores , , V
u
a
b
E.- Determine si los vectores , , son una combinacin lineal del vector .
u
v
a
)20,15,0(
) 20 , 15 , 0( = + + = u v a )4,3,2( + ) 2 ,3,1 ( + ( 2 , 0 , -1 )
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
= 3 , = - 2 y = 4
Respuesta Ejercicio N 11 En IR3 sean los vectores )5,4,3( =v y )3,2,1( =u , determinar:
A.- uv
uv = )5,4 ,3( 21583352413)3 , 2,1( 6==++=
B.- uv
uv = x (1, 2, 3) =)5,4 ,3( 3 2- 1
5- 4 3- k j i
= ( 2, 4 , 2 )
C.- vu
vu = (1, 2, 3) x =)5,4 ,3( 5- 4 3-
3 2- 1 k j i
= ( 2, 4 , 2 )
D.- u )v u ( + x
=+ u x )v u ( = (-2,2,-2) x (1,2,3) [ ] ) 3 , 2- , 1 ( x ) ,-5 ,4 3- ( ) 3 , 2,1( +
Entonces:
) 2 , 4 ,10 (
3 2- 1 2- 2 2-
k j i u x )v u ( ==+
Respuesta Ejercicio N 12 Sean los vectores en IR 3: )3,1,2( =v , )4,0,1(=u y )2,1,1( =w , obtener: A.- UWUV
UWUV == ) uw ( )uv( ( 1, 1 , 1) ( 0, 1 , 2) = 3 B.- UW x UV
) 1- , 2 ,1 ( 2- 1- 0
1- 1- 1 k j i
2)- , 1- 0, ( x 1)- , 1- 1, (UW x UV ===
Respuesta Ejercicio N 13 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos: A.- y . Est el punto )2,1,3(P )4,7,2( Q )1,2,5( A sobre la recta?
Determinemos las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos: )2,1,3( P y )4,7,2( Q
Un vector director de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q.
PQ = PQ = )4, 7 ,2( )2,1,3( = (5,6,2) Por lo tanto, la ecuacin de la recta r en forma vectorial es:
(x,y,z) = P + PQ = + )2,1,3( (5,6,2)
En forma paramtricas es: r :
+==+=
2 2z 6 1 y 5 3 x
En forma continua es: r : 2
2z61y
53x +=
=
En forma implcita es: r :
==+
0 16z 5x 2 0 23y 5 x 6
Reemplazando el punto )1,2,5( A sobre la recta en forma paramtricas tenemos:
=+=
==
=+=
21 2 21-
21 6 1 2-
5 8 5 3 5
El punto no esta sobre la recta. )1,2,5( A
B.- y . Est el punto sobre la recta? )2,4,1(P )5,3,3(Q )14,1,13(B Determinemos las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos: y
)2,4,1(P )5,3,3(Q
Un vector director de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q.
PQ = PQ = = ( 2,1,7) )5, 3 ,3( )2 ,4,1(
Por lo tanto, la ecuacin de la recta r en forma vectorial es: (x,y,z) = P + PQ = + ( 2,1,7) )2 ,4,1(
En forma paramtricas es r:
===
7 - 2 z 4 y
2 - 1- x
En forma continua es r: 72z
14y
21x
=
=+
En forma implcita es r:
=+=+
0 11z 2x 7 0 9y 2 x
Reemplazando el punto sobre la recta en forma paramtricas )14 , 1, 13 (Btenemos:
======
7 12 72 14
3 4 1 7 2 1 13
El punto no esta sobre la recta, ya que los son todos diferentes entre si.
)14 , 1, 13 (B Respuesta Ejercicio N 14 Encuentre una ecuacin del plano que pasa por los siguientes tros de puntos de IR 3: A.- , , y ) 2 ,3 ,1 (P )4,3,2( Q )1,0,2( R .
PQ = ( 3 , 6, 6 ) ; PR = ( 1 ,3 , 3 )
PRPQ = ( 3 , 6, 6 ) x ( 1 ,3 , 3 )= == 3- 3 1 6- 6 3 -
k j i 5 1- , 15 , 0 =
n
n es un vector normal al plano. Por consiguiente, de acuerdo a la formula punto-normal. a( x x0) + b ( y y0) + c ( z z0) = 0 , se tiene: 0( x 1) + 15 ( y + 3) 15 ( z 2) = 0 es decir 15 y 15z + 75 = 0 , es la ecuacin general del plano ; considerando que P es el punto en el plano. B.- , , y )4,3,2(P )4,2,5(Q )4,7,2(R .
) 8- , 10 , (-4 PR ; ) 0 , 1 , 3 ( PQ ==
PRPQ = ( 3 , 1, 0 ) x ( 4 ,10 , 8 )= == 8- 10 4-
0 1 3 k j i
34 , 24 , 8- = n
es un vector normal al plano. Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal. a( x x0) + b ( y y0) + c ( z z0) = 0 , Se tiene:
8 ( x 5 ) + 24 ( y + 2 ) + 34 ( z 4) = 0
es decir 8x + 24 y + 34 z 48 = 0 , es la ecuacin general del plano, considerando que Q es el punto en el plano. C.- , )7,3,1( P )5,3,2( Q , y )5,0,2( R .
) 2 , 3- , 1 (- PR ; ) 12 , 6 - , 3 ( PQ ==
PRPQ = ( 3 , 6 , 12 ) x ( 1 , 3 , 2 ) == 2 3- 1-
12 6- 3 k j i
15- , 18- , 24 = , n
( es vector normal al plano). n
Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal. a ( x x0) + b ( y y0) + c ( z z0) = 0 , Se tiene 24 ( x +2 ) 18 ( y 0 ) 15 ( z +5 ) = 0 es decir 24 x 18 y 15 z 27 = 0 , es la ecuacin general del plano, considerando que R es el punto en el plano. Respuesta Ejercicio N 15 Encuentre una ecuacin del plano que pasa por el punto y que es paralelo al plano dado por la ecuacin:
)4,2,5( P0863 =++ zyx .
Como los dos planos son paralelos, tienen las mismas normales.
La normal al plano dado es = n 6- , 1 , 3
Por tanto: 3 ( x 5 ) + 1 ( y + 2 ) 6 ( z 4 ) = 0 3 x + y 6 z + 11 = 0, es la ecuacin del plano desconocido. Respuesta Ejercicio N 16 Encuentre la distancia del punto al plano dado por la siguiente ecuacin:
. Dibuje el punto y el plano dado. )4,3,2(P
24234 =++ zyx Aplicamos la formula de distancia de un punto a un plano, dada por:
d = 222
000
c b a
d z c y b xa
+++++
d = 186,02929
29 1
2 3 4
24- 4 2 3 3 2 4 222
==++++
Respuesta Ejercicio N 17 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto: y que es paralela a la recta cuyo vector director es:
)2,1,3(P
kjiv 472 ++= .
Se tiene = ( a , b , c ) = ( 2 , 7 , 4 ) v
Luego aplicando la forma: cz - z
by y
a xx 000 ==
Se obtiene la ecuacin de la recta: 4
2 - z7
1 y23 x ==
Respuesta Ejercicio N 18 Sean los vectores en IR 3: )5,3,2( =v , )3,0,1(=u y )1,4,0( =w . Es el vector
una combinacin lineal de los vectores V, U y W? Determine la ecuacin del plano que contiene a los puntos: V, U y W.
)2,15,4( =A
A.- Por determinar si los vectores dados son combinacin lineal del vector A.
=++ A w u v
) 2 , 15- , 4 ( ) 1 4,- 0, ( ) 3 0, (-1, ) 5 ,3,2 ( =++ Desarrollando el sistema de ecuacin, se tiene: 3 y 2 - ; 1 === Los vectores dados son combinacin lineal del vector . A B.- Determinacin de la ecuacin del plano que contiene a los puntos dados.
) 2- , 4- , 1 ( VW ; ) 2 , 3 - , 3 ( UV ==
VWUV = ( 3 , 3 , 2 ) x ( 1 , 4 , 2 ) == 2 - 4- 1
2 3- 3 k j i
9- , 8- , 14
Luego la ecuacin del plano est dada por:
( 14, - 8 , -9 ) [ ] 0 ) 1 - z ( , ) 4 (y , ) 0 - x ( =+ 14 x 8 y 9 z 23 = 0 Respuesta Ejercicio N 19 Sean los vectores en IR 3: )5,3,2( =v , y )2,1,3( =w . Es el vector )2,15,4( =a coplanar a los vectores V, U y W? Si no los es calcule el volumen del paraleleppedo.
Los vectores son coplanares si: 0 ) w x v ( u =
Entonces: ) w x u ( v = = 2 1- 3-
3 3 1- 5 3- 2
89 0 por lo tanto no son
coplanares.
El volumen de un paraleleppedo est expresado por: V = ) w x v ( u
El volumen del paraleleppedo corresponde a 89 = 89. Respuesta Ejercicio N 20 Encuentre una ecuacin del plano que contiene a los puntos de IR 3: )5,4,2( P ,
y ; adems hllese un vector normal a dicho plano y el rea determinada por los tres puntos.
)6,1,0( Q )4,3,2(R
A.- PRPQ = ( 2 , 3 , 1 ) x ( 0 , 7 , 1 ) == 1- 7 0
1 3 1- k j i
14- , 2 - , 10 - = , n
( vector normal al plano). n
Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal.
: 14- , 2 - , 10 - ) z ,y , x ( 14- , 2 - , 10 - ) 6 , 1 ,0 ( = 0 , Se tiene: - 10 x 2 y 14 z + 82 = 0 , es la ecuacin general del plano, considerando que Q
es el punto en el plano. B.- El rea determinada por los tres puntos la obtenemos por la formula:
66,82300
214210
2AA
222
2
n QR x PQ
2=++====
Ejercicio N 21 Halle la ecuacin de la recta que pasa por los puntos: )5,1,1( P y . Est el punto sobre la recta? Y el punto ?-1 + t
)5,0,7(Q)1,2,5(A )14,1,13(B
A.- Sabemos que ) 0 , 1 , 6 ( PQ = es paralelo a la recta, el vector de direccin es: =
n 0 , 1 , 6
Luego la ecuacin paramtricas de la recta es: X = )5 , 1, 1 ( + t ( 6, 1 , 0 ) X =( 1 + 6 t , -1 + t , 5 ) x = 1 + 6 t ; y = -1 + t ; z = 5 B.- Est el punto sobre la recta? )1,2,5(A 5 = 1 + 6 t t = 1 2 = 1 + t t = 1 1 = 5 A a la recta. C.- Est el punto ? )14,1,13(B 13 = 1 + 6 t t = 2 1 = 1 + t t = 2 14 = 5 B a la recta.
Respuesta Ejercicio N 22 Sean los vectores en IR2: , )3,1(=V )4,3(=U , )1,2( =A y )4,5(=B : A.- Grafique los vectores: UV y AB . UV = ( - 4 , - 1 ) y AB = ( 3 ,5 )
x
y
U
V
UV
x
y
B
A
ABB
B.- Determine si UV AB Grficamente se observa que los vectores no son congruentes. Respuesta Ejercicio N 23 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos: P (-3,1,-2) y Q (2,-7,4).
)2,1,3(P y . )4 ,7,2(Q
Determinemos la ecuacin de la recta r que pasa por los puntos dados, calculando un vector director de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q.
PQ = PQ = )4 , 7 - ,2( )2,1,3( = ( 5 , 8 , 6 ) Por lo tanto, la ecuacin de la recta r en forma continua es:
r : 6
2z81y
53x +=
=+ considerando el punto P.
r : 6
4z87y
52x =
+= considerando el punto Q.