guia1A-ecuaciones-diferenciales

Guía 1AEcuaciones Diferenciales de Primer OrdenDiego Vallejo, Melina Podestá, Eva Almirón2do. Semestre 2015

Si una bacteria se divide en un segundo,transformándose en dos bacterias... ¿Cuántotiempo tardan 1000 bacterias en convertirse

en 1000 millones de bacterias?

Matemática III - 2◦ cuatrimestre 2015 guía 1a ecuaciones diferenciales de primer orden 2

Modelado

Biologia

Situación ^Consideremos una clase de bacterias capaces de reproducirse en un

medio adecuado. Entendemos por ello que cada célula bacteriana escapaz de dividirse, originando dos células hijas. En el gráfico, la célula Si te interesa leer más podés consul-

tar Crecimiento Bacteriano en Wiki-

pedia

madre A1 se transforma por división en un par de células B1 y B2, lascuales a su vez se dividen en C1, C2 y C3 y C4, respectivamente. Esteproceso ocurre aproximadamente a intervalos de 1 segundo para unagran población de bacterias.

t = 0 A1

''wwt = 1 B1

~~

B2

~~t = 2 C1 C2 C3 C4

· · · · · · · · · · · · · · ·

A medida que transcurre el tiempo t, varía la cantidad de bacteriasn. Supondremos que al inicio cuando t = 0, la cantidad es n = 1bacteria. Esta cantidad crece en todo instante de tiempo.

Actividad I

1. ¿Podemos considerar que n es función matemática de t? Cuál es lacondición para que lo sea? Concepto previo: Función Matemática

2. ¿Cuál es el dominio de n(t)? Concepto previo: Dominio de una función

3. ¿Podrías dibujar una gráfica de esta función n(t) aproximadamen-te?

4. La siguiente tabla da algunos valores de la función n(t). La variablen es la cantidad de bacterias medidas en miles de bacterias, y eltiempo t se mide en segundos. Completen la tabla. ¿Cuánto valdrán(4)?

5. ¿Recuerdan el cociente incremental de Matemática I? ¿Pueden ubi-car dicho cociente en la tabla?

6. Cuando el denominador del cociente incremental (en este caso ∆t)se hace muy pequeño, el cociente se aproxima a un importante con- Concepto previo: Derivada como límite del

cociente incremental

2 /14

http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_bacteriano

http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_bacteriano


t n(t) ∆n = n(t f )− n(ti) ∆t = t f − ti ∆n/∆t

0 1 n(1)− n(0) = 2− 1 = 1 1− 0 =n(1)− n(0)

1− 0= 1

1 2 n(2)− n(1) = 2− 1 =

2 4

3 8

... ...

t

Cuadro 1: Crecimiento Bacteriano

cepto. ¿Cuál es?

7. ¿Existe el valor de esta función para t = 1,5? ¿Porqué no podría va-ler 10000 ni tampoco 1500 ? Dé una cota inferior y una cota superiorpara n(1,5). ¿Qué relación tiene esto con el crecimiento o decreci-miento de la función?

Ahora consideraremos que podemos trazar una curva suave ycontinua que contenga a los puntos de la función n(t). En lo quesigue, supondremos que existe la derivada n′(t) de la función n(t)con respecto al tiempo y que aproximadamente equivale al cocienteincremental para ∆t pequeño.

8. Vuelvan a mirar la tabla, hay alguna relación entre la columna n(t)y la columna del cociente incremental ∆n/∆t ?

9. En muchos procesos de crecimiento o de decrecimiento, es una leyBiológica que:

En una colonia de bacterias, mientras exista un medio adecuado parasu crecimiento, la razón de cambio de la cantidad de individuos n′(t),es proporcional a la cantidad de células n(t) en cada instante t".

Escribiremos esto así:

n′(t) = k.n(t) (1)

donde la constante de proporcionalidad k es un número real.

10. ¿Cuánto vale k en esta situación de Crecimiento Bacteriano?

11. En general, a) ¿Qué pasaría si k = 0? Escriban la ecuación (1). Eneste caso ¿Cuánto vale n′(t)? ¿qué pasa con la función n(t)?

b) ¿Y si k > 0?c) ¿Y si k < 0?¿Qué relación tiene esto con el signo de n′(t) y con el crecimiento Concepto previo: Signo de la derivada y

crecimiento de la función

3 /14


y decrecimiento de n(t)?

12. Supondremos que existe n′′(t), la derivada segunda de n(t). Deri-ven con respecto a t la ecuación anterior.

13. ¿Qué signo tiene n′′(t)? Consideren los tres casos a), b) y c) yaestudiados del signo de k. ¿Qué pueden deducir de la función n(t)a partir de conocer el signo de su derivada segunda?

14. Tracen tres gráficas de n(t) para cada caso, a), b) y c) basados enla información obtenida anteriormente.

Definiciones

Podemos observar que n′(t) = k.n(t) es una igualdad entre funcio-nes que contiene la derivada de una función desconocida n(t). Aquílo que estamos buscando es una o varias funciones que satisfagan laecuación anterior.

¿Qué significa satisfacer una ecuación?Recordemos que hasta ahora hemos visto ecuaciones que no con-

tienen derivadas, a las cuales denominamos ecuaciones algebraicas. Lasolución a una ecuación algebraica es un número, o un conjunto denúmeros que reemplazados en la ecuación en cuestión, la conviertenen una igualdad. Por ejemplo, x1 = 1 es solución de

x2 − 4x + 3 = 0

dado que si reemplazamos dicho valor en la ecuación,queda 12 − 4 · 1 + 3 = 0, o sea obtenemos una igualdad.

Ejercitación �

1. Para la ecuación anterior ¿x = 3 es solución? ¿Porqué x = 0 no essolución?

2. Den algún ejemplo de ecuación algebraica que no posea soluciónpara x real?

3. ¿cuántas soluciones posee la ecuación sin(x) = 0

Llamaremos ecuaciones diferenciales a las que contienen deriva-das. La importancia de las ecuaciones de esta naturaleza reside ensu aplicación a múltiples áreas del conocimiento: desintegración ra-diactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones químicas, problemasgravitatorios, modelos económicos.

4 /14


Resolver una ecuación diferencial es encontrar una o más funcio-nes que junto con sus derivadas satisfagan la ecuación dada. A estasfunciones las llamaremos soluciones.

Por ejemplo la ecuación diferencial

y′ = y/x (2)

admite como solución a la función y(x) = 3x dado que derivandoy′(x) = 3 y reemplazando,

3 = 3x/x

se verifica la ecuación.

Ejercitación �

Para la ecuación diferencial (2)

1. ¿y = −x es solución?

2. ¿Por qué y = cos(x) no es solución?

3. Suponiendo que k es un número real fijo cualquiera, y(x) = k.x ¿essolución? ¿cuántas soluciones hay entonces?

Notemos que esta última solución y(x) = k.x contiene a las anteriores,y = −x, y = x, y = 3x ... como casos particulares. Por este moti-vo denominaremos a y(x) = k.x solución general, que incluye unaconstante arbitraria. A cada una de las infinitas funciones y = −x,y = x, y = 3x... (que se obtienen de la solución general seleccionan-do un valor particular de la constante k) las llamaremos solucionesparticulares. A este conjunto de infinitas funciones, también podre-mos denominarlo familia de funciones. Notemos que hay una solaconstante k en la solución y(x) = k.x, y que la mayor derivada en laecuación diferencial y′ = y/x es una derivada primera y′.

Ejercitación �

1. Verifica que las siguientes funciones son soluciones de las ecuacio-nes diferenciales dadas.

a) y(x) = e− sin(x), para y′ + cos(x)y = 0

b) y(x) = sen(x)− 1, para y′ + cos(x)y = sen(x) cos(x)

c) y(x) = c1ex + c2, para y′′ − y′ = 0

(En este caso la solución contiene dos constantes c1 y c2, y la ma-yor derivada en la ecuación diferencial es una derivada segunda)

d) y(x) = sen(2x), para y′′ + 4y = 0.

5 /14


e) y(x) = c1 sen(kx) + c2 cos(kx), para y′′ + k2y = 0.

En matemática I y II, ya hemos resuelto ecuaciones diferenciales.Por ejemplo, cuando buscamos mediante antiderivación una funcióncuya derivada es la función coseno. Esto puede escribirse como la ecua-ción diferencial y′ = cos(x). Al igual que en el ejemplo anterior, nohay una única función solución, sino una solución general de la formay = sin(x) + C, donde C es una constante real arbitraria. Este proce-dimiento sirve para toda ecuación de la forma y′ = f (x), es decir, quepuedo despejar y′ y no contiene a la variable y.

−2π −π 0 π 2π

−3

0

3

6

x

y

Soluciones de y′ = cos(x)

Ejercitación �

Basado en tu conocimiento de la función y = sin(x), en el gráficoanterior,

1. ¿cuál curva corresponde al valor de la constante C = 0?

2. ¿cuál para C = 3?

3. ¿hay alguna para C = 20?

4. ¿cuál pasa por el punto (0, 6)?

La última respuesta es la gráfica de la función y(x) = sin(x) + 6.Esta función verifica la ecuación diferencial y′ = cos(x) y a la veztambién verifica la condición y(0) = 6. A dicha condición la llama-remos condición inicial. Mirando la gráfica podemos comprobar quey(x) = sin(x)− 3 resuelve la ecuación y′ = cos(x) y cumple la condi-ción inicial y(π) = −3

Cada una de las funciones graficadas anteriormente, será una solu-ción particular de la ecuación diferencial que cumplirá una particular

6 /14


condición inicial.

↪→ Definición

Un problema con valor inicial (PVI) es el conjunto de una ecuacióndiferencial junto con una condición inicial.y′ = f (x, y)

y(x0) = y0(3)

donde f (x, y) es una expresión que puede contener a x y a yUna solución de un PVI es una función h(x) que satisface al mismo

tiempo la ecuación diferencial y la condición inicial.

Reemplazando en y′ = f (x, y) debe verificarse la igualdad h′(x) =f (x, h(x)) y debe verificarse reemplazando en y(x0) = y0 que: h(x0) =

y0. La gráfica de la función solución h(x) debe pasar por el punto(x0, y0):

x0

y0

x

y

Función solución h(x)

Ejercitación �

Resuelva los siguientes problemas con valor inicial (utilizando elmétodo de antiderivación):

1. y′ + 2x = 2, y(0) = 1

2. xy′ + xex = 0, y(1) = e

3. y′ + 2 sen(2x) = 0 y(π/2) = 1

Clasificación

Clasificaremos las ecuaciones diferenciales por tres criterios: tipo,orden y grado.

↪→ Definición

Una ecuación diferencial será ordinaria (EDO) si la función incóg-nita depende de una única variable independiente, o será una ecua-

7 /14


ción diferencial parcial (EDP) si la función incógnita depende de doso más variables independientes. En este último caso, la EDP contienederivadas parciales.

Ejemplo 1

Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias: Dos formas de escribir la derivada pri-

mera: y′(x) ≡ dydxdy

dx+ y = ex

Asimismo: y′′(x) =d2ydx2d2y

dx2 −dydx

+ 3y = 0

Son ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:la Ecuación de onda

∂2y∂t2 = a2 ∂2y

∂x2

donde a ∈ R

la Ecuación de difusión

∂u∂t

= h2 ∂2u∂x2

donde h ∈ R

↪→ Definición

El orden de una ecuación diferencial es orden de la derivada deorden más alto que aparece en la ecuación diferencial.

Ejemplo 2:

d2ydx2 + 2

(d2ydx2

)3

+ 6y = sen(x)

es una EDO de 2° orden

3xdydx

+ 2y2 = x

es una EDO de 1° orden.

Ejercitación �

1. Halle el orden de cada una de las ecuaciones diferenciales del ejem-plo 1.

2. Halle el grado de cada una de las ecuaciones diferenciales del ejem-plo 1 y del 2.

8 /14


Método 1: Separación de Variables

Este método se aplica a algunas ecuaciones diferenciales ordinariasde primer orden. Comencemos con un ejemplo. Consideremos la ecua-ción:

dydx

= x2y

multipliquemos por el diferencial dx

dydx

dx = x2y dx

Recordemos que el miembro derechodydx

dx = dy

dy = x2y dx

Ahora dividimos la ecuación por la variable y, así pasa al lado izquier-do

1y

dy︸︷︷︸no contiene x

= x2 dx︸︷︷︸no contiene y

Miremos la ultima ecuación: el lado derecho sólo depende de x mien-tras que el lado izquierdo sólo depende de y. Diremos que las variablesquedaron separadas

Ahora integramos cada miembro respecto de la variable correspon-diente. ∫ 1

ydy =

∫x2dx

En la primera integral y será considerada variable independiente, y enla segunda integral la variable independiente será x. Recordando quela primitiva de 1/y es el logaritmo natural del valor absoluto de y paray > 0 o y < 0, y que la primitiva de x2 es x3/3

ln |y|+ C1 =13

x3 + C2

Aquí hay en apariencia dos constantes de integración, sin embargo noson independientes. Resto C1, y llamo C a C2 − C1

ln |y| =13

x3 + C

despejo |y| en función de x

|y| = exp (13

x3 + C)

9 /14


aplico potencia de una suma

|y| = exp (13

x3) exp C

llamo A = exp C, por tanto A > 0

|y| = A exp (13

x3)

permitiendo valores negativos de A:

y = A exp (13

x3)

↪→ Definición

llamaremos ecuación de variables separables a toda ecuación dife-rencial ordinaria de primer orden que pueda escribirse del siguientemodo:

f (y)y′ = g(x)

donde la función f (y) no depende de la variable x, ni la función g(x)depende de la variable y

Ejercitación �

1. En el ejemplo de la página 9 identifique la función f (y) y la funcióng(x) de la definición anterior.

2. Para cada una de las siguientes ecuaciones: i) determina la solucióngeneral (puedes seguir los pasos del ejemplo) y ii) grafica la regióndel plano xy donde está definida y′

a) y′ = x2

y

b) y′ + y2 sen(x) = 0

c) y′ = cos2(x) cos2(2y)

d)dydx

= x2

y(1+x3)

e)dydx

= x2

1+y2

Volvamos a la situación de la página 2 y resolvamos la ecuacióndiferencial.

1. Reescribamos la ecuación recordando la notación de Leibnitz de laderivada, n′(t) =

dndt

y que n = n(t) :

dndt

= k.n (4)

10 /14


2. Esta es una Ecuación Algebraica o Ecuación Diferencial? Es ordina-ria o parcial? cuál es su orden? Cuál es su grado? ¿Es separable?

3. Qué unidades tiene n? Qué unidades tendrádndt

? A partir de ahorasupongamos que k = 2.

4. Halle la solución particular que verifica la condición inicial n(0) = 1millón.

5. Utilizando la solución obtenida grafique n(t) en función de t.

Comparen este último gráfico con los gráficos realizados previa-mente

6. En qué se parecen? En qué se diferencian? Qué necesito para crearcada gráfico?

Retomemos ahora la pregunta inicial...¿Cuánto tiempo tardan 1000 bacterias en convertirse en 1000 millones debacterias?

11 /14


Enfriamiento. Modelo de Newton.

Situación ^Consideraremos una esfera de hierro que inicialmente está a una tem-

peratura T0 = 40 ◦C. Al inicio en t = 0 se la sumerge en el mar cuyatemperatura ambiente es TA = 20 ◦C. Llamaremos T = T(t) a la tem-peratura del cuerpo en el instante t. Luego de 4 segundos comproba-mos que la temperatura del cuerpo es T = 30 ◦C.

La ley de enfriamiento de Newton indica que la razón de cambio de

la temperatura del cuerpo con respecto al tiempodTdt

es proporcional ala diferencia entre la temperatura del cuerpo T y la temperatura delambiente TA (cuando la diferencia entre T y TA es lo suficientementepequeña).

T0=40

TA=20

1. Podrías hacer una gráfica de la Temperatura en función del tiempobasado en tu intuición y experiencia?

2. Cuáles de las temperaturas hasta ahora mencionadas (TA, T0 o T)varían con el tiempo? ¿Son funciones matemáticas del tiempo?

3. ¿Cómo escribe matemáticamente la diferencia entre la temperaturadel cuerpo T y la temperatura del ambiente TA ?

4. ¿Cómo se escribe matemáticamente quedTdt

es proporcional a ladiferencia que escribieron en el item anterior?

Si todo anduvo bien, en estos momentos tendrás en tu hoja algoparecido a esto:

dTdt

= k.(T − 20) (Ley Newton)

donde k es una constante numérica.

12 /14


5. ¿Qué unidades tiene k?

6. Podría ocurrir que...

a) k = 0 ?

b) k < 0 ?

c) k > 0 ?

Tal como lo hicieron en el primer modelo (página 3) realicen unestudio de la función T(t) mediante el análisis del signo de T′(t)y de T′′(t) (crecimiento/decrecimiento, concavidad) y realicen ungráfico de T(t)

7. Basado en lo anterior, explique cuál de las siguientes gráficas puederepresentar la solución T(t).

0 2 4 6 810

20

30

40

t

T(t)

T1

0 2 4 6 810

20

30

40

t

T2

0 2 4 6 810

20

30

40

t

T(t)

T3

0 2 4 6 810

20

30

40

t

T4

8. Halla la solución general de la ecuación diferencial

9. Halla la solución particular que satisface la condición inicial T(0) =T0 = 40

10. Halla la constante k que verifica la segunda condición: "Luego de4 segundos comprobamos que la temperatura del cuerpo es T =

30 ◦C"

13 /14


Mapa Conceptual

Ecuaciones Di-ferenciales

Modelado/Biología

Definiciones/Clases

Ecuacionesde 1er.Orden.

Separaciónde Variables

Modelado/Newton

14 /14

Documents

guia1A-ecuaciones-diferenciales