Ecuaciones diferenciales y en diferenciasFacultad de Ciencias BsicasUniversidad Tecnolgica de BolvarCartagena, agosto 26 de 20111. Obtenga en cada caso la solucin de la EDO o del PVI dado. Siempre que sea posible,escriba la solucin en forma explcitaa. (r2+ 1)dydx + 2r = r.b. dr + (r c2yr2)d = 0. (0) = 1c. (sin r) 0 = ln .

2

= c.d. 3cxtan dr + (2 cx) tan2 d = 0e.dydx =xy+3x3yxy2x+4y8f. dr + (r c2yr2)d = 0. (0) = 1.g. (cx+ cx) dydx = 2.h. p1 2dr p1 r2d = 0. (0) = 3,2.i. r (1 + 2)1=2dr = (1 + r2)1=2d.2. Obtenga la solucin general de la EDOddr = 2+ 9y luego, determine una solucin particular que pase por el punto dado en cada casoc) (0. 0) . /) (0. 3) c) (1,3. 1)3. Dada la ecuacin diferencialddr = r + 3rr + 1(1)a. Hallar la solucin general de de la ecuacin diferencial (1) en forma explcita.b. Garantiza el teorema de existencia y unicidad una nica solucin cuya grca pasepor(1) = 3?.4. Resuelva cada uno de los siguientes problemasa. Suponga que la variacin del precio 1. en dlares, respecto al tiempo t. en meses,de una mercanca es directamente proporcional al exceso de demanda Qd Qs.donde Qd = 1121. es la cantidad demandada y Qs = 14 es la cantidadofrecida. Si el precio inicial de la mercancia es de 1(0) = 5 Encuentre la ecuacin diferencial que modela el precio de la mercanca en uninstante t. sabiendo que en el instante t = 1. el precio es 1 = 6. Obtenga la solucin del PVI obtenido en el inciso c.1b. Una cierta mercanca fue promocionada por medio de una sustancial campaa pub-licitaria y antes de nalizar la promocin, el nmero de ventas por da era de10000unidades. Inmediatamente despus de suspender la publicidad, las ventas diariasdisminuyeron a una razn proporcional a las ventas diarias. Si10 das depus decerrada la campaa publicitaria el nmero de ventas por da era de 8000 unidades,calcular las ventas diarias 20 das despus de terminada la promocin del producto.c. Suponga que un estudiante tiene tres horas para prepararse apresurada mente paraun examen y durante ese tiempo desea memorizar una serie de 60 hechos. Segnlos psiclogos, la razon a la cual una persona puede memorizar una serie de hechoses proporcional a los que faltan por memorizar. Si el estudiante memoriza hechosa los t minutos. Formule y resuelva la ecuacin diferencial que modela la memorizacin deuna serie de hechos , teniendo en cuenta que inicialmente el estudiante nosabe nada, y que memoriza 15 hehos en los primeros 20 minutos Cuanto memorizar en una hora?, en tres horas?d. Modelo macroeconmico de Harrod. Sea 1 (t) la produccin neta (renta) en elinstante t y C(t) e 1(t), respectivamente, el consumo e inversin en dicho instante.Si suponemos que :H1) El consumo es funcin lineal de la rentaC(t) = c + /.1 (t). c0. 0 < / < 1.donde la constante / (multiplicador) representa la propensin marginal al con-sumo.H2) El crecimiento en la renta es proporcional a la inversin efectuada10(t) = /.1(t)H3) Finalmente, se considera la condicin de equilibrio econmico1 (t) = C(t) + 1(t) Modelizar la dinmica de la renta por medio de una ecuacin diferencial depriemer orden. Obtener su nica solucin con dato inical 1 (0) = 10. Analizar el comportamiento de la renta a largo plazo.e. Transcurrido 60 das despus de haberse elaborado cierto producto lcteo, los defen-sores del consumidor prueban que el nmero de bacterias presente es de 100000,y arman que estn poniendo en riesgo la salud del consumidor; puesto que elproducto se vence a los 46 dias despus de haberse elaborado y en ese instante elnmero de bacterias es de 10000. lo cual lo hace no apto para el consumo humano. Modele con una ecuacin diferencial la rapidez de crecimiento de las bacteriasy determine la cantidad que haba inicialmente. Cantas bacterias habr a los 10 das ?2f. Un cierto compuesto se convierte en otro compuesto mediante una reaccin qumica.El coeciente de variacin instantnea con el que se convierte el primercompuesto es proporcional, en cualquier instante, a la cantidad presente. En5 minuto se ha convertido el diez por ciento de la cantidad original del primercompuesto. Qu porcentaje del primer compuesto se habr convertido en 20 minutos? En cuntos minutos se habr convertido el 60 % del primer compuesto?g. Una reaccin qumica convierte un cierto compuesto en otro, siendo la razn deconversin del primer compuesto proporcional a la cantidad de ste presente encualquier instante. Al cabo de una hora quedan 50 gramos del primer compuesto,mientras que al cabo de tres horas solamente quedan 25 gramos. Cuntos gramos del primer compuesto existan inicialmente? (Rta 50p2gramos). Cuntos del primer compuesto quedarn al cabo de cinco horas? (Rta 12,5gramos). En cuntas horas quedarn solamente 2 gramos del primer compuesto? (Rta10,29 horas).h. Supongamos que la poblacin de cierta ciudad aumenta con un coeciente devariacin que es proporcional al nmero de habitantes en ese tiempo. Si lapoblacin se dobla en 40 aos, en cuntos aos se triplicar?i. La poblacin de una ciudad aumenta con un coeciente de variacin que es propor-cional al nmero de sus habitantes en cualquier instante t. Si la poblacin de laciudad era 30000 en 1960 y 35000 en 1970, cul ser su poblacin en 1980?j. Un cuerpo se enfra de 60

C a 50

C en 15 min, encontrndose sumergido en aire quese mantiene a 30

C. Cunto tiempo tardar este cuerpo en enfriarse de 100

Ca 80

C en aire que se mantiene a 50

C? Supngase vlida la ley de enfriamientode Newton.k. Un paciente llega a las 9 am de la maana al consultorio de un dermatlogo yeste inmediatamente le formula una crema cuya temperatura es de 25

C, pero suaplicacin debe hacerse cuando su temperatura est a 6

C. El paciente observaque a las 10 am la temperatura de la crema ha descendido a 16

C despus dehaberla introducido en una nevera cuya temperatura es de 2

C. A que horapuede aplicarse la crema el paciente?l. Suponga que cuando en cierto lago se puebla con peces, la tasa de natalidad , y demortalidad c son ambas inversamente proporcionales a p1. Demuestre que1(t) = (12/t + p10)2donde / es constante. Si 10 = 100 y despus de 6 meses hay 169 peces en el lago,cuntos habr al cabo de un ao?3m. Considere una poblacin 1(t) que satisface la ecuacin logsticad1dt = c1 /12donde 1 = c1 es la tasa, con respecto al tiempo, a la cual ocurren los nacimientosy, /12es la tasa a la cual ocurren las muertes. Si la poblacin inicial es 1(0) = 10y 10 los nacimientos por mes y 10 muertes por mes que tiene en el instante t = 0,demuestre que la poblacin lmite es` = 101010n. Un objeto es lanzado desde el suelo hacia arriba con velocidad inicial de 500 piespor segundo. Si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad,laecuacin para la aceleracin del objeto est dada porc =

32 + / 2

donde /0. es una constante. Obtenga una expresin para la velocidad delcuerpo en el tiempo t?o. Un cuerpo de masa : est sujeto al extremo de un resorte; de constante /; queoscila con movimiento armnico simple. Si el ritmo de cambio de la posicin conrespecto al tiempo t est dado porddt =r/ (22):donde es el desplazamiento mximo. Obtenga una expresin para en funcinde t?p. Suponga que un tanque cilndrico que contiene agua, tiene un agujero en su basey que el agua se drena por el agujero. Si /(t) representa la profundidad (en pies)del agua enel tanque en el tiempo t (en segundos). entonces el ritmo de cambioinstntaneo de la profundidad con respecto al tiempo, est dado pord/dt = 19p/.q. Si el agua en el tanque tiene una profundidad de 10 jic: al mediodia y de 5 jic:a la 1 : 00 j:. Cundo se vaciar el tanque? La tasa dVdt . de depreciacin de unamquina es inverasamente proporcional al cuadrado de t + 1. donde \ es el valorde la mquina t despus de haberse comprado. Si el valor inicial de la mquinafue de 1150 millones de pesos y su valor decreci en 230 millones despus delprimer ao, cul ser su precio aproximado despus de 4 aos?r. En el instante t = 0, se quita el tapn del fondo (en el vrtice) de un tanque cnico,de 16 pies de altura, lleno de agua. Despus de 1 h el agua del tanque tiene 9 piesde profundidad. Cunto tardar el tanque en vaciarse?4s. Un tanque tiene la forma de un cilindro vertical; inicialmente contiene agua con unaprofundidad de 10 pies y un tapn en el fondo es retirado en el momento t = 0(horas). Despus de 1 / la profundidad del agua ha descendido a 4 jic:. Cuntotiempo tardar el agua en salir por completo? Respuesta.(972 segundos)t. Suponga que un tanque cilndrico que inicialmente contiene \0 galones de agua sevaca (a travs de un agujero en el fondo) en 1 minutos. Utilice la ley de Torricellipara demostrar que el volumen del agua en el tanque despus de t1 minutosest dado por\ = \0[1 ( t1 )]25