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INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más

cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o

demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las

inecuaciones también se conocen como desigualdades de

condición.

Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de

las incógnitas que satisfagan la inecuación.

La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades

de las desigualdades antes expuestas y en las consecuencias

que de las mismas se derivan.

INECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO

Ejemplos

1) Resolver 2x - 3 > x + 5

Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:

2x - x > 5 + 3

Reduciendo: x > 8

S=

2)

Suprimiendo denominadores (ver propiedad 2) se tiene: 42 - 3x

> 10x - 36

Trasponiendo términos: - 3x - 10x > - 36 - 42

- 13x > - 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el

signo de la desigualdad, origina: 13x < 78

.

S=

3) Encontrar el límite de x en (x + 3)(x - 1) < (x - 1)2 + 3x

Efectuando las operaciones indicadas:

x 2 + 2x - 3 < x 2 - 2x + 1 + 3x

Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:

2x + 2x - 3x < 1 + 3

x < 4

S=

4) Dada la siguiente inecuación . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Sumando -5 a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Multiplicando por a ambos miembros de la ecuación para obtener:

S=

5) Dada la siguiente inecuación . Halle el conjunto solución y

grafíquelo.

Sumando 2 y a ambos miembros de la inecuación se obtiene:


Multiplicando por a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Note que se multiplicó por un número negativo y se invirtió el sentido de la

inecuación.

El conjunto solución es entonces; S=

6) Dada la siguiente inecuación . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Se tiene que tener una expresión lineal en la inecuación, por tanto se debe

multiplicar a ambos miembros por la variable x. Pero como se desconoce el signo

de esta variable se deben considerar dos casos.

Caso 1: Cuando

Caso 2: Cuando

El caso no se considera porque no se puede dividir por cero.

Caso I: Al multiplicar por el sentido de la inecuación no se altera,

obteniéndose:

Multiplicamos por a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Para el Caso 1 se obtiene una solución parcial que llamaremos , la cual debe

incluir todos los números reales que cumplan con:

y

Si es el conjunto solución de y el conjunto solución de

entonces la solución parcial será: .

=

=

= =

Caso 2: Al multiplicar por el sentido de la inecuación se invierte

obteniéndose:


Para el Caso 2 se obtiene una solución parcial , la cual debe incluir todos los

números reales que cumplan con:

y

Si es el conjunto solución de y al conjunto solución de

entonces la solución parcial será: .

=

=

= =

Teniendo ya las soluciones parciales para los Casos 1 y 2, entonces podemos

obtener la solución general que será denotada por y que vendrá dada por la

unión de y , es decir:

7) Dada la siguiente inecuación . Halle el conjunto solución

y grafíquelo.

Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la

inecuación para obtener:

Sumando 8 y a ambos miembros de la inecuación se obtiene:



S=

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas de forma analítica:

Primer Paso: Factorizar el polinomio.

Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.

Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo

al caso seleccionado.

Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

Ejemplo

1) Dada la siguiente inecuación . Halle el conjunto solución y

grafíquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado: , quedando

una inecuación de la forma:

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:

Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

y

Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

y

Solución Caso I:

Sea el conjunto solución de la inecuación y al conjunto solución

de la inecuación , la solución del Caso I viene dada por:

Solución para

Solución para

La solución para es entonces:

Solución Caso II:

Si llamamos al conjunto solución de la inecuación y al conjunto

solución de la inecuación , la solución del Caso II viene dada por:

Solución para :

Solución para :

La solución para es entonces:

Solución General

La solución general será la unión de y , es decir:

El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama

método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también

se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces. El

procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método

consiste igualmente en factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces

reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la

recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el

signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que

pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se

seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.

Ejemplos:

1) Dada la siguiente inecuación , halle el conjunto solución y

grafique.

Se factoriza el polinomio, , quedando la inecuación de

la forma:

Las raíces que anulan son y . Se ubican sobre la recta

real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se

determinan los signos.

Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos

intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación

> 0, por lo tanto la solución viene dada por:

2) Dada la siguiente inecuación , halle el conjunto solución y

grafique.

Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la

inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo:

Factorizando el polinomio resultante, se tiene: ,

resultando una inecuación de la forma:

Las raíces de son y , las cuales se ubican sobre la recta

real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los

signos de la desigualdad.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos

intervalos donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la

solución viene dada por:

Gráficamente:

INECUACIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el

denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado

mayor a 2. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método

analítico o el método gráfico.

Ejemplo:

1) Dada la siguiente inecuación halle el conjunto solución y

grafique.

Factorizando los polinomios dados:

,

Las raíces que anulan el numerador son y , y las que anulan el

denominador son y , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le

asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la

desigualdad.

Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos

intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original < 0 (es

negativa) por lo tanto la solución viene dada por:

Gráficamente:

SISTEMAS DE INECUACIONES EN UNA VARIABLE

Un sistema de inecuaciones es un conjunto mayor o igual a dos inecuaciones que

se satisfacen de manera simultánea por los mismos valores de la variable.

Ejemplos

1) Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones:

Resolviendo la inecuación (I):

Resolviendo la inecuación (II):

La solución general es:

2) ¿Qué valores de x satisfacen las inecuaciones siguientes?

2x - 4 > 6

3x + 5 > 14

Resolviendo la primera:

2x > 6 + 4

2x > 10

x > 5

Resolviendo la segunda:

3x > 14 - 5

3x > 9

x > 3

La solución general es entonces:

3) Hallar el límite de las soluciones comunes a las inecuaciones:

3x + 4 < 16

- 6 - x > - 8


3x < 16 - 4

3x < 12

x < 4


- x > - 8 + 6

- x > - 2

x < 2


4) Encontrar el límite superior e inferior de los valores de x que

satisfacen las inecuaciones:

5x - 10 > 3x - 2

3x + 1 < 2x + 6


5x - 3x > - 2 + 10

2x > 8

x > 4


3x - 2x < 6 - 1

x < 5


5) Encontrar el límite superior e inferior de los valores de x que

satisfacen las inecuaciones:

5x − 10 > 3x − 2

3x + 1 < 2x − 6


5x - 3x > - 2 + 10

2x > 8

x > 4


3x − 2x < −6 − 1

x < −7


NOTA: como puede ver, las soluciones parciales no llegan a intersectarse, por lo tanto la solución es el conjunto vacío.

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Definición de valor absoluto

Sea Se define el valor absoluto de x como:

Algunas propiedades del valor absoluto

Sean

i)

ii)

iii) Desigualdad triangular.

iv) Desigualdad triangular. Demostración:

Desigualdades con valor absoluto

Sea . Se tiene entonces:

1)

Intervalo simétrico respecto a cero.

2)

Inecuaciones de primer grado con valor absoluto

Sean . Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar ls siguientes formas:

1)

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: y grafique.

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: y grafique.

2)

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: y grafique.

-2

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: y grafique.

EJERCICIOS

1) Resolver las siguientes ecuaciones:

1.1)

1.2)

1.3)

1.4)

1.5)

1.6)

1.7)

1.8)

1.9)

1.10)

1.11)

1.12)

2) Resolver las siguientes desigualdades. Represente las soluciones en notación de intervalos y geométricamente

2.1)

2.2)

2.3)

2.4)

2.5)

2.6)

2.7)

2.8)

2.9)

2.10)

2.11)

Inecuaciones

01) 3x < 15 02) 3x + 6 > 2x + 12 03) 4x - 8 > 3x - 14 04) 10x + 24 < 16x + 12

05)

06) - 2x + 3 > - 3x - 1 07) 5(x + 6) - 5 > - 10

08)

09)

10) 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1) 11) 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4

12)

13)

14) 2x - 3 - 4(x2 - 5) > 20 + 5x - 4x2

15) 7x(2x +5) - 5x(2x + 3) < (2x + 4)2

16) (4x + 2)(4x + 9) (4x + 6)2

17)

18)

19)

20)

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

a) X 2 16 R. IR - ] -4 , 4[

b) 9x 2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [

c) 36 > ( x - 1) 2 R. ] - 5 , 7 [

d) (x + 5) 2 ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 ) 2 R. IR - ] 0 , 8 [

e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ] - 2 , 6 [

f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - _3_

g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 R.

h) 2x2 + 25 x ( x + 10 ) R. _5_

i) 1 - 2x (x + 5) 2 - 2(x + 1) R. IR

j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [

k) x ( x + 1) 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [

l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - _2_

m) ( x - 2) 2 0 R. IR

n) ( x - 2) 2 < 0 R.

o) ( x - 2) 2 0 R. _2_

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Ejercicios Sistemas de inecuaciones1. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones y representa las soluciones

gráficas por intervalos: a. ) x - 5 > 0

2x < 10b. ) 3 - x > 16

-3x > -152. Resuelve los siguientes sistemas:

a. ) 2x - 3 > 5 2x + 5 > 3x - 8

b. ) 2+ 4x > 1 x > -3

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