Universidad TecnicaFederico Santa MarıaDepartamento de Matematica

Matematica IVSeptima Guıa

Integrales de SuperficiePrimer Semestre 2015

Contenidos

Teoremas de Stokes y Gauß.

Ejercicios Resueltos

1. Calcular el flujo del campo de vectores ∇×F , donde: F (x, y, z) = (h(x),− cos(xy)+2x+yz2, cos(xy)+y2z), hes una funcion diferenciable en y a traves de la superficie S, que se obtiene uniendo el origen O por segmentosrectilıneos con los puntos de la curva C que resulta de la interseccion del paraboloide z = 4x2 + 9y2 , con elplano Π : z = 2y + 3 y con orientacion inducida por el vector (0,−2, 1).Solucion. Sean P = h(x), Q = −2 cos(xy) + 2x+ yz2 y R = cos(xy) + y2z, entonces

∇× F =

∣∣∣∣∣∣ı k∂x ∂y ∂zh(x) Q R

∣∣∣∣∣∣ = (2yz − x sen(xy), y sen(xy), 2y sen(xy) + 2)

Figura 1: A la izquierda, curva C formada por la interseccion del paraboloide y plano, orientada antireloj debidoa la normal del plano z = 2y+ 3 que se une al origen por rectas. A la derecha, S1, que considera la region interior

a la elipse en el espacio z = 2y + 3, 4x2 + 9(y − 1

9

)2 ≤ 289

La interseccion del paraboloide y el plano es la elipse C : z = 4x2 + y2 = 2y+ 3 cuya proyeccion en el plano xy

se puede escribir como 4x2+9(y − 1

9

)2= 28

9 . La superficie S yla superficie S1 : z = 2y+3, 4x2+9(y − 1

9

)2 ≤ 289

tienen por frontera comun a la curva C. Por el teorema de Stokes y de acuerdo a la orientacion inducida por

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el vector ~n = (0,−2, 1), se tiene que∫∫S

∇× F · ~n dS =

∫C

F · d~r =

∫∫S1

∇× F · ~n dS

=

∫∫4x2+9(y− 1

9 )2≤ 28

9

∇× F · (0,−2, 1) dxdy

=

∫∫4x2+9(y− 1

9 )2≤ 28

9

2 dxdy

= 2Area(4x2 + 9

(y − 1

9

)2

≤ 28

9) =

√7

3· 2√

7

9· π =

14π

27.

2. Considere el campo vectorial~F (x, y, z) = (4z, 0, 4y),

y la curva C dada por la interseccion de las superficies

S1 : z = 2x2 + 2y2, S2 : 4x2 + 4y2 + 1 = 4x+ 4y.

(a) Calcule el trabajo usando la definicion de integrales de lınea.

(b) Calcule el trabajo mediante el Teorema de Stokes y aplique este resultado usando dos superficies distintas.

Solucion:

(a) Primero se parametriza la curva interseccion, de la forma

x(t) = 1/2 + 1/2 cos t

y(t) = 1/2 + 1/2 sin t

z(t) = 2(1/2 + 1/2 cos t)2 + 2(1/2 + 1/2 sin t)2 = 3/2 + sin t+ cos t,

con t ∈ [0, 2π]. Usando definicion el trabajo se obtiene como∮~F · dr =

∫ 2π

0

~F (x(t), y(t), z(t)) · (x′(t), y′(t), z′(t))dt

=

∫ 2π

0

(4z(t), 0, 4y(t)) · (x′(t), y′(t), z′(t))dt

=

∫ 2π

0

(6 + 4 sin t+ 4 cos t, 0, 2 + 2 sin t) · (−1/2 sin t, 1/2 cos t, cos t− sin t)dt

= −4π,

(b) Para utilizar el Teorema de Stokes, es necesario el rotacional el cual es ∇× ~F = (4, 4, 0).Forma 1: Parametrizando la superficie S limitada por el plano,

ϕ(x, y) =

(x, y,

4x+ 4y − 1

2

),

con (x, y) ∈ D =

(x, y) ∈ R2 :

(x− 1

2

)2

+

(y − 1

2

)2

≤ 1

4

cuya normal es ~n = (−2,−2, 1) y el vector

unitario es n = ~n/||~n|| , luego∮~F · dr =

∫∫S

∇× ~F · ndσ = −∫∫

D

16dA = −4π

Forma 2: Parametrizando la superficie S limitada por el paraboloide,

ϕ(x, y) =(x, y, 2x2 + 2y2

),

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con (x, y) ∈ D =

(x, y) ∈ R2 :

(x− 1

2

)2

+

(y − 1

2

)2

≤ 1

4

cuya normal es ~n = (−4x,−4y, 1) y el

vector unitario es n = ~n/||~n|| , luego∮~F · dr =

∫∫S

∇× ~F · ndσ = −16

∫∫D

(x+ y) dA = −4π......Usar coordenadas polares

3. Sea S el manto del hiperboloide acotado x2 + y2− z2 = 1, −1 ≤ z ≤ 2 y T1, T2 las tapas superior e inferior delsolido respectivamente, encerrado por las tres superficies y orientado por la normal exterior. Sea ademas

~X(x, y, z) = (2x+ z, y + x,−3z)

(a) Haga un bosquejo del solido.

(b) Encontrar el flujo a traves de la superficie S.

Solucion.

(a) El contexto de trabajo se muestra a continuacion.

Figura 2: Ω, el solido acotado por la superficie S del hiperboloide, la superficie T2 formada por la tapa superiorz = 2, x2 + y2 ≤ 5, y T1 la superficie formada por la tapa inferior z = −1, x2 + y2 ≤ 2. Se muestran las normalesa cada superficie en rojo.

(b) La frontera del solido, ∂Ω es una superficie cerrada simple que se obtiene como ∂Ω = S∪T1∪T2, orientada

por el vector normal unitario exterior. El campo de vectores ~X es de clase C1 en todo conjunto abiertoΩ? ⊃ Ω. Entonces por el teorema de la divergencia∫∫∫

Ω

∇ · ~X dV =

∫∫∂Ω

~X · ~n dS

Como la divergencia del campo ~X es ∇ · ~X = ∂x(2x+ z) + ∂y(y + z) + ∂z(−3z) = 0, entonces

0 =

∫∫∫Ω

∇ · ~X dV =

∫∫S

~X · ~n dS +

∫∫T1

~X · ~n dS +

∫∫T2

~X · ~n dS

⇒∫∫

S

~X · ~n dS = −∫∫

T1

~X · ~n dS −∫∫

T2

~X · ~n dS

Sobre la tapa superior z = 2, ~X ·~n = (2x+2, y+x,−3z)·(0, 0, 1) = −3z = −6∫∫T2

~X ·~n dS =∫∫T2

(−6)dS =

−6Area(T2) = −30π.

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Sobre la tapa inferior z = −1, ~X · ~n = (2x + z, y + x,−3z) · (0, 0,−1) = 3z = −3∫∫T1

~X · ~n dS =

−3∫∫T1dS = −3Area(T1) = −6π. El flujo sobre la superficie S es∫∫

S

~X · ~n dS = −∫∫

T1

~X · ~n dS −∫∫

T2

~X · ndS = 30π + 6π = 36π

4. Sea Ω ⊆ R3 un abierto acotado de frontera regular a trozos ∂Ω, orientada segun la normal exterior. Considereun campo escalar φ de clase C2 en un dominio Ω ∪ ∂Ω ⊆ D, tal que ∆φ = 0. Sea ~a ∈ Ω. Se define la funcion

u(~r) =1

‖~r − ~a‖, ~r = (x, y, z).

(a) Calcule ∇u(~r) para ~r 6= ~a. Muestre que ∆u = 0 en R3 \ ~a.

(b) Sea S(~a, ε) ⊆ Ω, la esfera de centro ~a y radio ε > 0 que se orienta por su normal exterior. Pruebe que∫∫∂Ω

(φ∇u− u∇φ) · d~S =

∫∫∂S(~a,ε)

(φ∇u− u∇φ) · d~S.

Solucion.

(a) Definimos a ~ρ = ~r − ~a y notamos que ~ρx = ~rx, ~ρy = ~ry, ~ρz = ~rz. De esta manera, se tiene que

u(~ρ ) =1

ρ, donde ρ = ‖~ρ ‖,

y ademas

∇u = − ~ρ

ρ3= ~ρf(r), f(r) = − 1

ρ3.

Ahora, ∆u = ∇ · ∇u y luego, si ~r 6= ~a:

∆u = 3f(ρ) + ρdf

dr= − 3

ρ3+

3

ρ3= 0.

(b) Definimos a ~F = φ∇u−u∇φ y notamos que el teorema de Gauß es aplicable al dominio Ω∗ = Ω \S(~a, ε).Esto se ilustra en la figura:

dS

Figura 3: Contexto de trabajo. Teorema de Gauß es aplicable en Ω∗ = Ω\S(~a, ε). Notamos ademas que las normalesexterior de ∂Ω e interior de ∂S(~a, ε) apuntan hacia afuera y dentro respectivamente.

Como

∇ · ~F = ∇ · (φ∇u− u∇φ)

= ∇φ · ∇u+ φ∆u−∇u · ∇φ− u∆φ

= 0,

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por la hipotesis del problema y el inciso anterior. De esta manera

0 =

∫∫∫Ω∗

∇ · ~F dV =

∫∫∂Ω

(φ∇u− u∇φ) · d~S +

∫∫∂S(~a,ε)

(φ∇u− u∇φ) · d~S

(orientacion) =

∫∫∂Ω

(φ∇u− u∇φ) · d~S −∫∫

∂S(~a,ε)

(φ∇u− u∇φ) · d~S

=⇒∫∫∂Ω

(φ∇u− u∇φ) · d~S =

∫∫∂S(~a,ε)

(φ∇u− u∇φ) · d~S.

Ejercicios Propuestos

1. Sea el campo F (x, y, z) = (3, 5, 2) y S una superficie tal que su borde es la curva x2 + y2 = 9 y z = 1.

Calcular

∫∫S

F · ~n dσ con normal exterior a la superficie, usando el teorema de Stokes. Asuma que la curva

con orientacion antihoraria cumple la hipotesis del teorema de Stokes.

2. Sea C la curva de interseccion del paraboloide hiperbolico z = y2−x2 y el cilindro x2 + y2 = 1 que vista desdearriba esta orientada en sentido antihoraria. Sea ~F (x, y, z) = (ax3 − 3xz2, x2y+ by3, cz3). Sea S un superficie

cuya frontera es C. Encuentre los valores de a, b y c para los cuales

∫∫S

~F ·~n dσ es independiente de la seleccion

de S.

3. Evalue la integral de superficie

∫∫S

~F · ~n dσ del campo vectorial ~F dado y la superficie orientada S indicada.

~F = xzi− 2yj + 3xk; S es la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con orientacion hacia fuera.

4. Calcular el flujo del campo de vectores ∇× ~F , donde: ~F (x, y, z) = (h(x),−2 cos(xy)+2x+yz2, cos(xy)+y2z), sih es una funcion diferenciable en y a traves de la superficie S, que se obtiene uniendo el origen O por segmentosrectilıneos con los puntos de la curva C, que resulta de la interseccion del paraboloide z = 4x2 + 9y2, con elplano Π : z = 2y + 3 y con orientacion inducida por el vector (0,−2, 1). Bosqueje la grafica de S.

5. Determinar una expresion para el flujo del campo F (x, y, z) = (1, z, 1 + 2y) a traves de la parte de la superficieS : x2 + y2 + (z − 3)2 = 4, z ≥ 3, interior a D : x2 + y2 ≤ 2x, z ≥ 0.

6. Aplique el Teorema de Stokes para demostrar o refutar la siguiente identidad∫γ

~F · d~r = 2a(a+ b),

donde γ es la curva interseccion entre el cilindro x2 +y2 = a2 y el plano x/a+z/b = 1 y ~F = (y−z, z−x, x−y).

7. Hallese el flujo de ~F (x, y, z) = 2x2i + 3y2j + z2k a traves de toda la superficie del cuerpo√x2 + y2 ≤ z ≤√

2R2 − x2 − y2 en direccion de la normal exterior.

8. Hallar la integral de superficie

∫∫S

~F · ~n dσ donde ~F (x, y, z) = (x, y,−2z) , S es la caja sin tapa formada por

los planos x = 1, x = 3, y = −2, y = 3, z = −1, −1 ≤ z ≤ 2 (la tapa no considerada es la que esta sobre elplano z = 2), y la normal considerada es la que apunta hacia el exterior de la caja.

9. Resuelva los siguientes problemas

(a) Encuentre el valor de a de modo que el area de la superficie S obtenida como la parte superior del conoz2 − x2 − y2 = 0 y limitada por x2 + y2 + z2 = 2ax sea

√2π.

(b) Hallar el flujo del rotacional del campo ~F (x, y, z) = (−y3, x3, z3) sobre la semiesfera S dada por x2 +y2 +z2 = 1 con x ≥ 0.

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10. Sea S una superficie cerrada orientable la cual se puede considerar compuesta como S = S1 ∪ S2 ∪ S3, dondelas superficies S1 y S2 estas descritas de la forma

S1 : x+ z = 9, S2 : z + x2 = 4x,

con (x, y) ∈ D = (x, y) ∈ R3 / x2 + y2 + 4 ≤ 4(x+ y) y en la que S3 representa una superficie que permitecerrar S.

(a) Verifique que existen constantes a y b de modo que∫∫S3

∇× ~F · ~n dσ + a

∮C1

~F · d~r + b

∮C2

~F · d~r = 0,

donde C1 y C2 son las correspondientes fronteras de S1 y S2 orientadas en sentido antihorario respecto ala normal unitaria exterior.

(b) Determine el flujo del campo rotacional de ~F a traves de S3 respecto a la normal unitaria exterior, paraesto considere que

~F (x, y, z) = (y, x, z)

11. Considere el solido K encerrado por las superficies S1 : x2 +y2 = 4, S2 : z = 4−√x2 + y2 y S3 : z+4 = x2 +y2

y el campo ~F (x, y, z) =

(x

(x2 + y2 + z2)3/2,

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

z

(x2 + y2 + z2)3/2

)(a) Demuestre que div(~F ) = 0

(b) Usando el teorema de Divergencia, calcule

∫∫S

F · ~n dσ donde S = S1 ∪ S2 ∪ S3

12. Demostrar que

(a) Si ~r = (x, y, z) y r = ‖~r‖ entonces

∫∫∫K

dV

r2=

∫∫S

~r · ~nr2

dσ

(b) Si f y g son CAMPOS ESCALARES de clase C2, sea C curva cerrada que es a frontera de una superficieS, entonces ∫

C

f∇g · d~r =

∫∫S

(∇f ×∇g) · ~n dσ

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