INACAP Temuco Guía de Ejercicios Vectores

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un muchacho tira de una cuerda atada a un cuerpo con una fuerza de 20 N. La cuerda forma un ángulo de 30º con el suelo. Hallar el valor de la fuerza que tiende a elevar verticalmente el cuerpo.

Solución:La fuerza que tiende a mover el cuerpo a lo largo del suelo es la componente horizontal Fx. La fuerza que tiende a elevarlo verticalmente es la componente vertical Fy.

Fx = 20 N * cos 30º = 20 N*0,866 = 17,3 NFy = 20 N * sen 30º = 20 N*0,500 = 10 N

2. Hallar la resultante de los cinco vectores fuerza coplanarios (19, 15, 16, 11, 12 N) aplicados a un cuerpo en un punto A, como indica la figura.

Solución: Cada fuerza se descompone en sus componentes horizontal y vertical. Las componentes horizontales con sentido hacia la derecha se consideran positivas y hacia

la izquierda negativas. Las verticales hacia arriba se toman positivas y hacia abajo negativas.

Las componentes horizontales se suman por separado algebraicamente; se hace lo mismo con las componentes verticales y se obtienen dos componentes resultantes (Fx y Fy), que forman un ángulo recto.

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30

60º45º

30º

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Las componentes de los cinco vectores son:

Fuerza (N) Componente horizontal (N) Componente vertical (N)19 19 * cos 0 = 19 19 * sen 0= 015 15 * cos 60º = 7,5 15 * cos 60º = 1316 16 * cos 45º = -11,3 16 * cos 45º = 11,311 11 * cos 30º = -9,5 11 * cos 30º = -5,512 12 * cos 90º = 0 12 * cos 90º = -12Suma Fx = 5,7 N Fy=6,8 N

Módulo de R = (Fx)2 + ( Fy)2 = 5,72 + 6,82 = 8,9 N

= tg-1(Fx/ Fy) = 6,8 N / 5,7 N = tg-1(1,2 ) = 50º

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. ¿Cuál es la masa en kilogramos de una persona que pesa 170 lb?2. Calcule el número de segundos que hay en un día y en un año.3. Convierta 60 millas/hr a pies/s4. Convierta 100 Km/Hr a m/s.5. El desplazamiento del pistón de cierto motor de automóvil es 2 litros. Teniendo en cuenta

solamente que 1 litro = 1000cm3 y que 1 pulgada =2,54 cm, exprese este volumen en pulgadas cúbicas.

6. Encontrar la magnitud y la dirección del vector representado por cada uno de los pares de componentes siguientes:

a) Ax = 3 cm, Ay = -4 cm b) Ax = -5 cm, Ay = -12 cmc) Ax = -2 cm, Ay = 3 cm

7. Una furgoneta recorre una milla en dirección norte, luego dos millas hacia el este y, por último, tres millas al noroeste. Encontrar el desplazamiento resultante.

8. Un arqueólogo está inspeccionando una cueva, y siguiendo un pasadizo recorre 100 m en línea recta hacia el este, luego 50 m en dirección 30° al oeste del norte y, a continuación 150 m a 45° al oeste del sur. Después de realizar un cuarto desplazamiento advierte que ha vuelto al punto de partida. Determine el módulo y la dirección de este cuarto desplazamiento.

9. Encontrar la magnitud y dirección del vector suma de las tres fuerzas de la figura:

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200 N

300 N

155 N

30° N

53° N

45° N

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10. Encontrar el vector suma A + B y el vector diferencia A – B de la figura:

11. El vector A tiene 2 pulg de longitud y su dirección forma un ángulo de 60° con el eje X en el primer cuadrante. El vector B mide 2 pulg y forma un ángulo de 60°con el eje X en el cuarto cuadrante. Encontrar: A + B ; A – B y B – A.

12. Las componentes del vector A son Ax= 2 cm, Ay= 3 cm; las del vector B son Bx= 4 cm, By= -2 cm. Encontrar:

a) Las componentes del vector suma A + B.b) El módulo y la dirección de A + B.c) Las componentes del vector diferencia A – B.d) El módulo y la dirección de A – B.

13. Un automóvil recorre 5 millas hacia el este, luego 4 millas hacia el sur y, por último, 2 millas hacia el oeste. Encontrar el módulo y la dirección del desplazamiento resultante.

14. Un barco de vela navega 2 Km hacia el este, luego 4 Km hacia el sudeste y, finalmente, otra distancia en dirección desconocida. Al final se encuentra 5 Km al este del punto de partida. Encontrar el módulo y la dirección del tercer recorrido del trayecto.

15. El vector M, de magnitud 5 cm, forma un ángulo de 36,9° en sentido contrario al de las manecillas del reloj sobre el eje +X. Se le suma un vector N y la resultante es un vector de 5 cm de modulo que forma un ángulo de 53,1° en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje +X. Encontrar las componentes de N, su módulo y dirección.

16. Un vector A, de 10 unidades de longitud, forma un ángulo de 30° con un vector B de 6 unidades de longitud. Encontrar el módulo del vector diferencia A – B y el ángulo que forma con el vector A.

17. Dos vectores tienen el mismo módulo. ¿En qué circunstancias el vector suma A + B tiene el mismo módulo que A y B? ¿Cuándo tiene este valor el vector diferencia A – B?.

18. Sean los vectores A = 2i + 3j y B = i – 2j, obtener:a) El módulo de cada vector.b) El vector suma en su forma canónica.c) El módulo y la dirección del vector suma.d) El vector diferencia en su forma canónica.e) El módulo y la dirección del vector diferencia.

19. Sean los vectores A = 2i + 3j + 4k y B = i – 2j + 3k, obtener:a) El módulo de cada vector.b) El vector suma en su forma canónica.c) El módulo y la dirección del vector suma.d) El vector diferencia en su forma canónica.e) El módulo y la dirección del vector diferencia.

20. Calcule el producto escalar y vectorial de los dos vectores dados en el problema 18.21. Calcule el producto escalar y vectorial de los dos vectores dados en el problema 19.22. Dado los vectores: A = 4 i + 5 j B = 3 i + 6 j (a). Calcule A X B (b).Grafique este resultado

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B (20 N)

A (7 N)37° N

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(c). Calcule , interprete.

(d). Calcule , interprete.

(e). Calcule , interprete. Rpta.: (a). 9 k , (c). 4.5, (d). 9, (e). 81

23. Un vector tiene una magnitud de 60 y forma un ángulo de 30° con la dirección positiva del eje X. Encuentre sus componentes cartesianas.Rpta.: RX = 52, RY = 30

24. El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y forma un ángulo de 35° con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12. Encontrar la magnitud del otro vector y el ángulo entre ellos. Rpta.: 6.9 , 56.5º

25. Calcular el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 50º con el vector mayor. Calcular la magnitud del vector resultante. Rpta.: 73.5º, 8.67

26. Un auto recorre 20.0 km. rumbo al norte y después 35.0 km. en una dirección 60.0º al oeste del norte, como indica la figura. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

Y (km) B 40 N 60º 20 O E A S

- 20 0 X (km) Rpta.: 48.2 Km., 38.9º 27. Dado los vectores A = 3i + 4j - 5k , B = -i + j - 2k. Encontrar: (a). La dirección de su resultante

y su magnitud, (b). la diferencia: A - B, (c). el ángulo entre A y B.

pta.: (a). R = 2i + 5j - 7k, =71.1º, = 36º, = 119.1º, R = , (b) 4i+3j-7k, (c). 121.3º

28. Un piloto de aviación desea volar hacia el norte. El viento sopla de NE a SO a la velocidad de 30 km / hr y la velocidad del avión respecto al aire es de 180 Km / hr. (a). ¿En que dirección debe mantener el piloto su rumbo?, (b)¿Cuál será su velocidad respecto a la tierra? Rpta.: (a).6º 46 ', (b). 156 km / hr.

29. Un aeroplano desea volar hacia el Norte. La velocidad del aeroplano relativa al aire es de 200 km / hr, y el viento lo empuja hacia el Oeste con el Este a 90 km / hr. (a). ¿Hacia que dirección debería dirigirse el avión?, (b). ¿Cuán rápido viaja el avión respecto a la tierra?Rpta.: (a) 26.7º , (b). 179 hm / hr

30. Las dos fuerzas P y Q actúan sobre un tornillo. Determine su resultante.

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Q = 60 N

25º P = 40 N 20º

Rpta.: R = 98 N, = 35º

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