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GuiacuteaDel estudiante
Modalidad a distancia
Modulo
FUNDAMETOS MATEMAacuteTICOS PARA ADMINISTRACIOacuteN TURISTICA Y HOTELERA
I SEMESTRE
BIENVENIDA
DATOS DE IDENTIFICACION
TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas
Teleacutefono 435 29 52 ndash CEL 310 768 90 67
E-mail leav70gmailcom
Lugar Madrid Cundinamarca
Corporacioacuten Universitaria Minuto de Dios ndash Rectoriacutea Cundinamarca
Bienvenida
EL curso de Fundamentos Matemaacuteticos permite indicar un proceso de formacioacuten de
administradores de Agropecuarios que apropien competencias interpretativas
argumentativas y propositivas y competencias ciudadanas como liacutederes integrales en
sus desempentildeos el curso pretende fortalecer procesos
Fundamentos del Pensamiento Humano Que le permiten apropiarse del lenguaje y
herramientas loacutegicas para la contextualizacioacuten de su entorno
Las funciones exponenciales y logariacutetmicas Solucioacuten de problemas e induccioacuten
investiguen en la seleccioacuten de herramientas matemaacuteticas adecuadas para ser
aplicadas en el modelo financiero
Autoformacioacuten A partir del estudio auto programado del dialogo de saberes como
resultado del trabajo en equipo para la construccioacuten y socializacioacuten del conocimiento
de la investigacioacuten y accioacuten de las praacutecticas
Trabajo Cooperativo El curso propende por el trabajo en equipo con toda la
comunidad para el desarrollo del proyecto de investigacioacuten
El propoacutesito de formacioacuten de este curso es facilitar al estudiante de administracioacuten
Agropecuaria es vivenciar por contexto y las demaacutes aacutereas del programa el desarrollo
de las competencias que le permitan utilizar el lenguaje y herramientas necesarias en
las acciones propias del trabajo en equipo
El curso esta propuesto acorde a los principios expuestos por la universidad del
Tolima el IDEAD y el programa de Administracioacuten Agropecuaria los cuaacuteles dan
preeminencia a los procesos de auto formacioacuten del ser humano y el administrador ya
que la implementacioacuten de herramientas didaacutecticas y meacutetodos mentales de la
modalidad a distancia que deben esforzarse a muchas horas de estudio individual y
grupal sin la presencia fiacutesica del tutor
INTRODUCCIOacuteN
En esta guiacutea se presentan dos funciones de gran importancia en la matemaacutetica
como son la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Histoacutericamente los exponente fueron introducidos en matemaacuteticas para dar un meacutetodo
corto que indicara el producto de varios factores semejantes y con este propoacutesito
solo se consideraron inicialmente exponentes naturales
el estudio de las potencias de base real seraacute dividido en varios casos de acuerdo con
la clase de exponente un nuacutemero entero racional o en general un numero real
UNIDAD DE TRABAJO No5
INDICADORES
Objetivos
bull Reconocer y representar funciones exponenciales
bull Aplicar las funciones exponenciales al intereacutes compuesto y otras situaciones
bull Calcular el logaritmo de un nuacutemero
bull Interpretar las graacuteficas de las funciones logariacutetmicas
iquestQueacute estrategias implementariacutea para mejor uso de calculadora como herramienta tecnoloacutegica Coacutemo fortalecer mi desempentildeo en los modelos matemaacuteticos aplicados en situaciones econoacutemicos por medio de la interpretacioacuten graacutefica
TEMAS A DESARROLLAR
Funciones Exponenciales y Logariacutetmicas
Funciones exponenciales y logaritmos
Graacutefica y anaacutelisis de funciones exponenciales y logariacutetmicas encontrando el
dominio rango y condiciones de restriccioacuten
Manejo de propiedades de las funciones logaritmos y exponenciales a partir de la
calculadora
Aplicaciones a las funciones exponenciales y logaritmos con enfoque a la economiacutea
y al campo de alimento
Problemas sobre crecimiento decrecimiento capitalizacioacuten y rendimientos
financieros continuos y perioacutedicos
Contenidos
1 Funciones exponenciales Caracteriacutesticas Crecimiento exponencial Aplicaciones
3 Funciones logariacutetmicas Funcioacuten inversa de la exponencial Funcioacuten logariacutetmica Logaritmos
4 Ejercicios para practicar
Funciones exponencial y logariacutetmica
Benjamiacuten Franklin famoso cientiacutefico y estadista dejoacute un legado de 1000 libras a las ciudades de Boston y Filadelfia para que se prestasen a joacutevenes aprendices al 5 anual Seguacuten Franklin al cabo de 100 antildeos se habriacutean convertido en 131000 libras de las cuales 100000 seriacutean para obras puacuteblicas los 31000 restantes volveriacutean a utilizarse como prestamos otros 100 antildeos iquestCalculoacute bien
1 Funciones exponenciales
La funcioacuten exponencial es de la forma y=ax siendo a un nuacutemero real positivoEn la figura se ve el trazado de la graacutefica de y=2x
X -3 -2 -1 0 1 2 3 05y 0125 025 05 1 2 4 8 -2
bull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar a Observa que las graacuteficas de y=ax y de y= (1a)x =a-x son simeacutetricas respecto del eje OY
Graacutefica 1
Graacutefica 2
Graacutefica 3
Graacutefica 4
En las graacuteficas de 2 y 4 se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotax el punto de corte con el eje OY es (0k)Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asiacutentota horizontal pasa a ser y=b
Crecimiento exponencial
La funcioacuten exponencial se presenta en multitud de fenoacutemenos de crecimiento animal vegetal econoacutemico etc En todos ellos la variable es el tiempoEn el crecimiento exponencial cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a Donde k es el valor inicial (para t=0) t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempoSi 0ltalt1 se trata de un decrecimiento exponencialbull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano si su peso se multiplica por 2 cada diacutea iquestcuaacutel es su crecimiento si el peso inicial es 3 grPeso inicial 3 gr
Peso inicial 3 grCrecimiento por 2
x f(x)0 31=31 32=62 34=123 38=244 316=48
x f(x)0 31 62 123 244 48
170
AplicacionesLa funcioacuten exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione demodo que el aumento (o disminucioacuten) en un pequentildeo intervalo de tiempo seaproporcional a lo que habiacutea al comienzo del mismo A continuacioacuten se ven tres aplicacionesbull Crecimiento de poblacionesbull Intereacutes del dinero acumuladobull Desintegracioacuten radioactiva
1048633 Intereacutes compuestoEn el intereacutes compuesto los intereses producidos por un capital C0 se van acumulando a eacuteste de tiempo en tiempo para producir nuevos interesesLos intervalos de tiempo al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital se llaman periodos de capitalizacioacuten o de acumulacioacuten Si son t antildeos r es el reacutedito anual (intereacutes anual en ) el capital final obtenido viene dado por la foacutermula
CF = Co(1 + r100)t
Si se consideran n periodos de tiempo (n=12 si meses n=4 si trimestres n=365 si diacuteas) la foacutermula anterior queda
CF = Co(1 + rn100)nt
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6 anual iquestEn cuaacutento se convertiraacuten al cabo de 5 antildeosbull Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000(1+6100)5 = $669113
bull Si los intereses se acumulan mensualmenteCF $5000(1+61200)125 = $674425
bull Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF $5000(1+6400)45 = $ 673427
1048633 Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacioacuten viene dado por la diferencia entre nacimientos y defuncionesSi inicialmente partimos de una poblacioacuten P0 que tiene un iacutendice de crecimiento i (considerado en tanto por 1) al cabo de t antildeos se habraacute convertido en
P=P0middot (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacioacuten crece anualmente un 3 iquestCuaacutentos habitantes habraacute al cabo de 8 antildeosP = 600 (1+3100)8 asymp 760
1048633 Desintegracioacuten radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada porM=M0middotat M0 es la masa inicial 0ltalt1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos
Ejemplo 3
La rapidez de desintegracioacuten de las sustancias radiactivas se mide por el ldquoperiodo de desintegracioacutenrdquo que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 antildeos si en el antildeo 2000 teniacuteamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el antildeo 2000bull La funcioacuten esM(x) = 20 05 = 20x28 = 20 09755x
bull En el antildeo 2053 quedaraacuteM = 20 0975553 = 538 gr
EJERCICIOS
1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
Bienvenida
EL curso de Fundamentos Matemaacuteticos permite indicar un proceso de formacioacuten de
administradores de Agropecuarios que apropien competencias interpretativas
argumentativas y propositivas y competencias ciudadanas como liacutederes integrales en
sus desempentildeos el curso pretende fortalecer procesos
Fundamentos del Pensamiento Humano Que le permiten apropiarse del lenguaje y
herramientas loacutegicas para la contextualizacioacuten de su entorno
Las funciones exponenciales y logariacutetmicas Solucioacuten de problemas e induccioacuten
investiguen en la seleccioacuten de herramientas matemaacuteticas adecuadas para ser
aplicadas en el modelo financiero
Autoformacioacuten A partir del estudio auto programado del dialogo de saberes como
resultado del trabajo en equipo para la construccioacuten y socializacioacuten del conocimiento
de la investigacioacuten y accioacuten de las praacutecticas
Trabajo Cooperativo El curso propende por el trabajo en equipo con toda la
comunidad para el desarrollo del proyecto de investigacioacuten
El propoacutesito de formacioacuten de este curso es facilitar al estudiante de administracioacuten
Agropecuaria es vivenciar por contexto y las demaacutes aacutereas del programa el desarrollo
de las competencias que le permitan utilizar el lenguaje y herramientas necesarias en
las acciones propias del trabajo en equipo
El curso esta propuesto acorde a los principios expuestos por la universidad del
Tolima el IDEAD y el programa de Administracioacuten Agropecuaria los cuaacuteles dan
preeminencia a los procesos de auto formacioacuten del ser humano y el administrador ya
que la implementacioacuten de herramientas didaacutecticas y meacutetodos mentales de la
modalidad a distancia que deben esforzarse a muchas horas de estudio individual y
grupal sin la presencia fiacutesica del tutor
INTRODUCCIOacuteN
En esta guiacutea se presentan dos funciones de gran importancia en la matemaacutetica
como son la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Histoacutericamente los exponente fueron introducidos en matemaacuteticas para dar un meacutetodo
corto que indicara el producto de varios factores semejantes y con este propoacutesito
solo se consideraron inicialmente exponentes naturales
el estudio de las potencias de base real seraacute dividido en varios casos de acuerdo con
la clase de exponente un nuacutemero entero racional o en general un numero real
UNIDAD DE TRABAJO No5
INDICADORES
Objetivos
bull Reconocer y representar funciones exponenciales
bull Aplicar las funciones exponenciales al intereacutes compuesto y otras situaciones
bull Calcular el logaritmo de un nuacutemero
bull Interpretar las graacuteficas de las funciones logariacutetmicas
iquestQueacute estrategias implementariacutea para mejor uso de calculadora como herramienta tecnoloacutegica Coacutemo fortalecer mi desempentildeo en los modelos matemaacuteticos aplicados en situaciones econoacutemicos por medio de la interpretacioacuten graacutefica
TEMAS A DESARROLLAR
Funciones Exponenciales y Logariacutetmicas
Funciones exponenciales y logaritmos
Graacutefica y anaacutelisis de funciones exponenciales y logariacutetmicas encontrando el
dominio rango y condiciones de restriccioacuten
Manejo de propiedades de las funciones logaritmos y exponenciales a partir de la
calculadora
Aplicaciones a las funciones exponenciales y logaritmos con enfoque a la economiacutea
y al campo de alimento
Problemas sobre crecimiento decrecimiento capitalizacioacuten y rendimientos
financieros continuos y perioacutedicos
Contenidos
1 Funciones exponenciales Caracteriacutesticas Crecimiento exponencial Aplicaciones
3 Funciones logariacutetmicas Funcioacuten inversa de la exponencial Funcioacuten logariacutetmica Logaritmos
4 Ejercicios para practicar
Funciones exponencial y logariacutetmica
Benjamiacuten Franklin famoso cientiacutefico y estadista dejoacute un legado de 1000 libras a las ciudades de Boston y Filadelfia para que se prestasen a joacutevenes aprendices al 5 anual Seguacuten Franklin al cabo de 100 antildeos se habriacutean convertido en 131000 libras de las cuales 100000 seriacutean para obras puacuteblicas los 31000 restantes volveriacutean a utilizarse como prestamos otros 100 antildeos iquestCalculoacute bien
1 Funciones exponenciales
La funcioacuten exponencial es de la forma y=ax siendo a un nuacutemero real positivoEn la figura se ve el trazado de la graacutefica de y=2x
X -3 -2 -1 0 1 2 3 05y 0125 025 05 1 2 4 8 -2
bull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar a Observa que las graacuteficas de y=ax y de y= (1a)x =a-x son simeacutetricas respecto del eje OY
Graacutefica 1
Graacutefica 2
Graacutefica 3
Graacutefica 4
En las graacuteficas de 2 y 4 se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotax el punto de corte con el eje OY es (0k)Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asiacutentota horizontal pasa a ser y=b
Crecimiento exponencial
La funcioacuten exponencial se presenta en multitud de fenoacutemenos de crecimiento animal vegetal econoacutemico etc En todos ellos la variable es el tiempoEn el crecimiento exponencial cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a Donde k es el valor inicial (para t=0) t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempoSi 0ltalt1 se trata de un decrecimiento exponencialbull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano si su peso se multiplica por 2 cada diacutea iquestcuaacutel es su crecimiento si el peso inicial es 3 grPeso inicial 3 gr
Peso inicial 3 grCrecimiento por 2
x f(x)0 31=31 32=62 34=123 38=244 316=48
x f(x)0 31 62 123 244 48
170
AplicacionesLa funcioacuten exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione demodo que el aumento (o disminucioacuten) en un pequentildeo intervalo de tiempo seaproporcional a lo que habiacutea al comienzo del mismo A continuacioacuten se ven tres aplicacionesbull Crecimiento de poblacionesbull Intereacutes del dinero acumuladobull Desintegracioacuten radioactiva
1048633 Intereacutes compuestoEn el intereacutes compuesto los intereses producidos por un capital C0 se van acumulando a eacuteste de tiempo en tiempo para producir nuevos interesesLos intervalos de tiempo al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital se llaman periodos de capitalizacioacuten o de acumulacioacuten Si son t antildeos r es el reacutedito anual (intereacutes anual en ) el capital final obtenido viene dado por la foacutermula
CF = Co(1 + r100)t
Si se consideran n periodos de tiempo (n=12 si meses n=4 si trimestres n=365 si diacuteas) la foacutermula anterior queda
CF = Co(1 + rn100)nt
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6 anual iquestEn cuaacutento se convertiraacuten al cabo de 5 antildeosbull Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000(1+6100)5 = $669113
bull Si los intereses se acumulan mensualmenteCF $5000(1+61200)125 = $674425
bull Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF $5000(1+6400)45 = $ 673427
1048633 Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacioacuten viene dado por la diferencia entre nacimientos y defuncionesSi inicialmente partimos de una poblacioacuten P0 que tiene un iacutendice de crecimiento i (considerado en tanto por 1) al cabo de t antildeos se habraacute convertido en
P=P0middot (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacioacuten crece anualmente un 3 iquestCuaacutentos habitantes habraacute al cabo de 8 antildeosP = 600 (1+3100)8 asymp 760
1048633 Desintegracioacuten radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada porM=M0middotat M0 es la masa inicial 0ltalt1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos
Ejemplo 3
La rapidez de desintegracioacuten de las sustancias radiactivas se mide por el ldquoperiodo de desintegracioacutenrdquo que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 antildeos si en el antildeo 2000 teniacuteamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el antildeo 2000bull La funcioacuten esM(x) = 20 05 = 20x28 = 20 09755x
bull En el antildeo 2053 quedaraacuteM = 20 0975553 = 538 gr
EJERCICIOS
1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
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EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
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INTRODUCCIOacuteN
En esta guiacutea se presentan dos funciones de gran importancia en la matemaacutetica
como son la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Histoacutericamente los exponente fueron introducidos en matemaacuteticas para dar un meacutetodo
corto que indicara el producto de varios factores semejantes y con este propoacutesito
solo se consideraron inicialmente exponentes naturales
el estudio de las potencias de base real seraacute dividido en varios casos de acuerdo con
la clase de exponente un nuacutemero entero racional o en general un numero real
UNIDAD DE TRABAJO No5
INDICADORES
Objetivos
bull Reconocer y representar funciones exponenciales
bull Aplicar las funciones exponenciales al intereacutes compuesto y otras situaciones
bull Calcular el logaritmo de un nuacutemero
bull Interpretar las graacuteficas de las funciones logariacutetmicas
iquestQueacute estrategias implementariacutea para mejor uso de calculadora como herramienta tecnoloacutegica Coacutemo fortalecer mi desempentildeo en los modelos matemaacuteticos aplicados en situaciones econoacutemicos por medio de la interpretacioacuten graacutefica
TEMAS A DESARROLLAR
Funciones Exponenciales y Logariacutetmicas
Funciones exponenciales y logaritmos
Graacutefica y anaacutelisis de funciones exponenciales y logariacutetmicas encontrando el
dominio rango y condiciones de restriccioacuten
Manejo de propiedades de las funciones logaritmos y exponenciales a partir de la
calculadora
Aplicaciones a las funciones exponenciales y logaritmos con enfoque a la economiacutea
y al campo de alimento
Problemas sobre crecimiento decrecimiento capitalizacioacuten y rendimientos
financieros continuos y perioacutedicos
Contenidos
1 Funciones exponenciales Caracteriacutesticas Crecimiento exponencial Aplicaciones
3 Funciones logariacutetmicas Funcioacuten inversa de la exponencial Funcioacuten logariacutetmica Logaritmos
4 Ejercicios para practicar
Funciones exponencial y logariacutetmica
Benjamiacuten Franklin famoso cientiacutefico y estadista dejoacute un legado de 1000 libras a las ciudades de Boston y Filadelfia para que se prestasen a joacutevenes aprendices al 5 anual Seguacuten Franklin al cabo de 100 antildeos se habriacutean convertido en 131000 libras de las cuales 100000 seriacutean para obras puacuteblicas los 31000 restantes volveriacutean a utilizarse como prestamos otros 100 antildeos iquestCalculoacute bien
1 Funciones exponenciales
La funcioacuten exponencial es de la forma y=ax siendo a un nuacutemero real positivoEn la figura se ve el trazado de la graacutefica de y=2x
X -3 -2 -1 0 1 2 3 05y 0125 025 05 1 2 4 8 -2
bull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar a Observa que las graacuteficas de y=ax y de y= (1a)x =a-x son simeacutetricas respecto del eje OY
Graacutefica 1
Graacutefica 2
Graacutefica 3
Graacutefica 4
En las graacuteficas de 2 y 4 se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotax el punto de corte con el eje OY es (0k)Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asiacutentota horizontal pasa a ser y=b
Crecimiento exponencial
La funcioacuten exponencial se presenta en multitud de fenoacutemenos de crecimiento animal vegetal econoacutemico etc En todos ellos la variable es el tiempoEn el crecimiento exponencial cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a Donde k es el valor inicial (para t=0) t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempoSi 0ltalt1 se trata de un decrecimiento exponencialbull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano si su peso se multiplica por 2 cada diacutea iquestcuaacutel es su crecimiento si el peso inicial es 3 grPeso inicial 3 gr
Peso inicial 3 grCrecimiento por 2
x f(x)0 31=31 32=62 34=123 38=244 316=48
x f(x)0 31 62 123 244 48
170
AplicacionesLa funcioacuten exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione demodo que el aumento (o disminucioacuten) en un pequentildeo intervalo de tiempo seaproporcional a lo que habiacutea al comienzo del mismo A continuacioacuten se ven tres aplicacionesbull Crecimiento de poblacionesbull Intereacutes del dinero acumuladobull Desintegracioacuten radioactiva
1048633 Intereacutes compuestoEn el intereacutes compuesto los intereses producidos por un capital C0 se van acumulando a eacuteste de tiempo en tiempo para producir nuevos interesesLos intervalos de tiempo al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital se llaman periodos de capitalizacioacuten o de acumulacioacuten Si son t antildeos r es el reacutedito anual (intereacutes anual en ) el capital final obtenido viene dado por la foacutermula
CF = Co(1 + r100)t
Si se consideran n periodos de tiempo (n=12 si meses n=4 si trimestres n=365 si diacuteas) la foacutermula anterior queda
CF = Co(1 + rn100)nt
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6 anual iquestEn cuaacutento se convertiraacuten al cabo de 5 antildeosbull Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000(1+6100)5 = $669113
bull Si los intereses se acumulan mensualmenteCF $5000(1+61200)125 = $674425
bull Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF $5000(1+6400)45 = $ 673427
1048633 Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacioacuten viene dado por la diferencia entre nacimientos y defuncionesSi inicialmente partimos de una poblacioacuten P0 que tiene un iacutendice de crecimiento i (considerado en tanto por 1) al cabo de t antildeos se habraacute convertido en
P=P0middot (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacioacuten crece anualmente un 3 iquestCuaacutentos habitantes habraacute al cabo de 8 antildeosP = 600 (1+3100)8 asymp 760
1048633 Desintegracioacuten radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada porM=M0middotat M0 es la masa inicial 0ltalt1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos
Ejemplo 3
La rapidez de desintegracioacuten de las sustancias radiactivas se mide por el ldquoperiodo de desintegracioacutenrdquo que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 antildeos si en el antildeo 2000 teniacuteamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el antildeo 2000bull La funcioacuten esM(x) = 20 05 = 20x28 = 20 09755x
bull En el antildeo 2053 quedaraacuteM = 20 0975553 = 538 gr
EJERCICIOS
1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
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EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
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TEMAS A DESARROLLAR
Funciones Exponenciales y Logariacutetmicas
Funciones exponenciales y logaritmos
Graacutefica y anaacutelisis de funciones exponenciales y logariacutetmicas encontrando el
dominio rango y condiciones de restriccioacuten
Manejo de propiedades de las funciones logaritmos y exponenciales a partir de la
calculadora
Aplicaciones a las funciones exponenciales y logaritmos con enfoque a la economiacutea
y al campo de alimento
Problemas sobre crecimiento decrecimiento capitalizacioacuten y rendimientos
financieros continuos y perioacutedicos
Contenidos
1 Funciones exponenciales Caracteriacutesticas Crecimiento exponencial Aplicaciones
3 Funciones logariacutetmicas Funcioacuten inversa de la exponencial Funcioacuten logariacutetmica Logaritmos
4 Ejercicios para practicar
Funciones exponencial y logariacutetmica
Benjamiacuten Franklin famoso cientiacutefico y estadista dejoacute un legado de 1000 libras a las ciudades de Boston y Filadelfia para que se prestasen a joacutevenes aprendices al 5 anual Seguacuten Franklin al cabo de 100 antildeos se habriacutean convertido en 131000 libras de las cuales 100000 seriacutean para obras puacuteblicas los 31000 restantes volveriacutean a utilizarse como prestamos otros 100 antildeos iquestCalculoacute bien
1 Funciones exponenciales
La funcioacuten exponencial es de la forma y=ax siendo a un nuacutemero real positivoEn la figura se ve el trazado de la graacutefica de y=2x
X -3 -2 -1 0 1 2 3 05y 0125 025 05 1 2 4 8 -2
bull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar a Observa que las graacuteficas de y=ax y de y= (1a)x =a-x son simeacutetricas respecto del eje OY
Graacutefica 1
Graacutefica 2
Graacutefica 3
Graacutefica 4
En las graacuteficas de 2 y 4 se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotax el punto de corte con el eje OY es (0k)Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asiacutentota horizontal pasa a ser y=b
Crecimiento exponencial
La funcioacuten exponencial se presenta en multitud de fenoacutemenos de crecimiento animal vegetal econoacutemico etc En todos ellos la variable es el tiempoEn el crecimiento exponencial cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a Donde k es el valor inicial (para t=0) t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempoSi 0ltalt1 se trata de un decrecimiento exponencialbull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano si su peso se multiplica por 2 cada diacutea iquestcuaacutel es su crecimiento si el peso inicial es 3 grPeso inicial 3 gr
Peso inicial 3 grCrecimiento por 2
x f(x)0 31=31 32=62 34=123 38=244 316=48
x f(x)0 31 62 123 244 48
170
AplicacionesLa funcioacuten exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione demodo que el aumento (o disminucioacuten) en un pequentildeo intervalo de tiempo seaproporcional a lo que habiacutea al comienzo del mismo A continuacioacuten se ven tres aplicacionesbull Crecimiento de poblacionesbull Intereacutes del dinero acumuladobull Desintegracioacuten radioactiva
1048633 Intereacutes compuestoEn el intereacutes compuesto los intereses producidos por un capital C0 se van acumulando a eacuteste de tiempo en tiempo para producir nuevos interesesLos intervalos de tiempo al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital se llaman periodos de capitalizacioacuten o de acumulacioacuten Si son t antildeos r es el reacutedito anual (intereacutes anual en ) el capital final obtenido viene dado por la foacutermula
CF = Co(1 + r100)t
Si se consideran n periodos de tiempo (n=12 si meses n=4 si trimestres n=365 si diacuteas) la foacutermula anterior queda
CF = Co(1 + rn100)nt
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6 anual iquestEn cuaacutento se convertiraacuten al cabo de 5 antildeosbull Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000(1+6100)5 = $669113
bull Si los intereses se acumulan mensualmenteCF $5000(1+61200)125 = $674425
bull Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF $5000(1+6400)45 = $ 673427
1048633 Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacioacuten viene dado por la diferencia entre nacimientos y defuncionesSi inicialmente partimos de una poblacioacuten P0 que tiene un iacutendice de crecimiento i (considerado en tanto por 1) al cabo de t antildeos se habraacute convertido en
P=P0middot (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacioacuten crece anualmente un 3 iquestCuaacutentos habitantes habraacute al cabo de 8 antildeosP = 600 (1+3100)8 asymp 760
1048633 Desintegracioacuten radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada porM=M0middotat M0 es la masa inicial 0ltalt1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos
Ejemplo 3
La rapidez de desintegracioacuten de las sustancias radiactivas se mide por el ldquoperiodo de desintegracioacutenrdquo que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 antildeos si en el antildeo 2000 teniacuteamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el antildeo 2000bull La funcioacuten esM(x) = 20 05 = 20x28 = 20 09755x
bull En el antildeo 2053 quedaraacuteM = 20 0975553 = 538 gr
EJERCICIOS
1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
X -3 -2 -1 0 1 2 3 05y 0125 025 05 1 2 4 8 -2
bull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar a Observa que las graacuteficas de y=ax y de y= (1a)x =a-x son simeacutetricas respecto del eje OY
Graacutefica 1
Graacutefica 2
Graacutefica 3
Graacutefica 4
En las graacuteficas de 2 y 4 se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotax el punto de corte con el eje OY es (0k)Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asiacutentota horizontal pasa a ser y=b
Crecimiento exponencial
La funcioacuten exponencial se presenta en multitud de fenoacutemenos de crecimiento animal vegetal econoacutemico etc En todos ellos la variable es el tiempoEn el crecimiento exponencial cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a Donde k es el valor inicial (para t=0) t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempoSi 0ltalt1 se trata de un decrecimiento exponencialbull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano si su peso se multiplica por 2 cada diacutea iquestcuaacutel es su crecimiento si el peso inicial es 3 grPeso inicial 3 gr
Peso inicial 3 grCrecimiento por 2
x f(x)0 31=31 32=62 34=123 38=244 316=48
x f(x)0 31 62 123 244 48
170
AplicacionesLa funcioacuten exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione demodo que el aumento (o disminucioacuten) en un pequentildeo intervalo de tiempo seaproporcional a lo que habiacutea al comienzo del mismo A continuacioacuten se ven tres aplicacionesbull Crecimiento de poblacionesbull Intereacutes del dinero acumuladobull Desintegracioacuten radioactiva
1048633 Intereacutes compuestoEn el intereacutes compuesto los intereses producidos por un capital C0 se van acumulando a eacuteste de tiempo en tiempo para producir nuevos interesesLos intervalos de tiempo al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital se llaman periodos de capitalizacioacuten o de acumulacioacuten Si son t antildeos r es el reacutedito anual (intereacutes anual en ) el capital final obtenido viene dado por la foacutermula
CF = Co(1 + r100)t
Si se consideran n periodos de tiempo (n=12 si meses n=4 si trimestres n=365 si diacuteas) la foacutermula anterior queda
CF = Co(1 + rn100)nt
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6 anual iquestEn cuaacutento se convertiraacuten al cabo de 5 antildeosbull Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000(1+6100)5 = $669113
bull Si los intereses se acumulan mensualmenteCF $5000(1+61200)125 = $674425
bull Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF $5000(1+6400)45 = $ 673427
1048633 Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacioacuten viene dado por la diferencia entre nacimientos y defuncionesSi inicialmente partimos de una poblacioacuten P0 que tiene un iacutendice de crecimiento i (considerado en tanto por 1) al cabo de t antildeos se habraacute convertido en
P=P0middot (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacioacuten crece anualmente un 3 iquestCuaacutentos habitantes habraacute al cabo de 8 antildeosP = 600 (1+3100)8 asymp 760
1048633 Desintegracioacuten radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada porM=M0middotat M0 es la masa inicial 0ltalt1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos
Ejemplo 3
La rapidez de desintegracioacuten de las sustancias radiactivas se mide por el ldquoperiodo de desintegracioacutenrdquo que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 antildeos si en el antildeo 2000 teniacuteamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el antildeo 2000bull La funcioacuten esM(x) = 20 05 = 20x28 = 20 09755x
bull En el antildeo 2053 quedaraacuteM = 20 0975553 = 538 gr
EJERCICIOS
1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
Graacutefica 2
Graacutefica 3
Graacutefica 4
En las graacuteficas de 2 y 4 se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotax el punto de corte con el eje OY es (0k)Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asiacutentota horizontal pasa a ser y=b
Crecimiento exponencial
La funcioacuten exponencial se presenta en multitud de fenoacutemenos de crecimiento animal vegetal econoacutemico etc En todos ellos la variable es el tiempoEn el crecimiento exponencial cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a Donde k es el valor inicial (para t=0) t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempoSi 0ltalt1 se trata de un decrecimiento exponencialbull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano si su peso se multiplica por 2 cada diacutea iquestcuaacutel es su crecimiento si el peso inicial es 3 grPeso inicial 3 gr
Peso inicial 3 grCrecimiento por 2
x f(x)0 31=31 32=62 34=123 38=244 316=48
x f(x)0 31 62 123 244 48
170
AplicacionesLa funcioacuten exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione demodo que el aumento (o disminucioacuten) en un pequentildeo intervalo de tiempo seaproporcional a lo que habiacutea al comienzo del mismo A continuacioacuten se ven tres aplicacionesbull Crecimiento de poblacionesbull Intereacutes del dinero acumuladobull Desintegracioacuten radioactiva
1048633 Intereacutes compuestoEn el intereacutes compuesto los intereses producidos por un capital C0 se van acumulando a eacuteste de tiempo en tiempo para producir nuevos interesesLos intervalos de tiempo al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital se llaman periodos de capitalizacioacuten o de acumulacioacuten Si son t antildeos r es el reacutedito anual (intereacutes anual en ) el capital final obtenido viene dado por la foacutermula
CF = Co(1 + r100)t
Si se consideran n periodos de tiempo (n=12 si meses n=4 si trimestres n=365 si diacuteas) la foacutermula anterior queda
CF = Co(1 + rn100)nt
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6 anual iquestEn cuaacutento se convertiraacuten al cabo de 5 antildeosbull Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000(1+6100)5 = $669113
bull Si los intereses se acumulan mensualmenteCF $5000(1+61200)125 = $674425
bull Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF $5000(1+6400)45 = $ 673427
1048633 Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacioacuten viene dado por la diferencia entre nacimientos y defuncionesSi inicialmente partimos de una poblacioacuten P0 que tiene un iacutendice de crecimiento i (considerado en tanto por 1) al cabo de t antildeos se habraacute convertido en
P=P0middot (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacioacuten crece anualmente un 3 iquestCuaacutentos habitantes habraacute al cabo de 8 antildeosP = 600 (1+3100)8 asymp 760
1048633 Desintegracioacuten radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada porM=M0middotat M0 es la masa inicial 0ltalt1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos
Ejemplo 3
La rapidez de desintegracioacuten de las sustancias radiactivas se mide por el ldquoperiodo de desintegracioacutenrdquo que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 antildeos si en el antildeo 2000 teniacuteamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el antildeo 2000bull La funcioacuten esM(x) = 20 05 = 20x28 = 20 09755x
bull En el antildeo 2053 quedaraacuteM = 20 0975553 = 538 gr
EJERCICIOS
1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
En las graacuteficas de 2 y 4 se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotax el punto de corte con el eje OY es (0k)Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asiacutentota horizontal pasa a ser y=b
Crecimiento exponencial
La funcioacuten exponencial se presenta en multitud de fenoacutemenos de crecimiento animal vegetal econoacutemico etc En todos ellos la variable es el tiempoEn el crecimiento exponencial cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a Donde k es el valor inicial (para t=0) t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempoSi 0ltalt1 se trata de un decrecimiento exponencialbull El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivosbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OY en (01)bull El eje OX es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano si su peso se multiplica por 2 cada diacutea iquestcuaacutel es su crecimiento si el peso inicial es 3 grPeso inicial 3 gr
Peso inicial 3 grCrecimiento por 2
x f(x)0 31=31 32=62 34=123 38=244 316=48
x f(x)0 31 62 123 244 48
170
AplicacionesLa funcioacuten exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione demodo que el aumento (o disminucioacuten) en un pequentildeo intervalo de tiempo seaproporcional a lo que habiacutea al comienzo del mismo A continuacioacuten se ven tres aplicacionesbull Crecimiento de poblacionesbull Intereacutes del dinero acumuladobull Desintegracioacuten radioactiva
1048633 Intereacutes compuestoEn el intereacutes compuesto los intereses producidos por un capital C0 se van acumulando a eacuteste de tiempo en tiempo para producir nuevos interesesLos intervalos de tiempo al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital se llaman periodos de capitalizacioacuten o de acumulacioacuten Si son t antildeos r es el reacutedito anual (intereacutes anual en ) el capital final obtenido viene dado por la foacutermula
CF = Co(1 + r100)t
Si se consideran n periodos de tiempo (n=12 si meses n=4 si trimestres n=365 si diacuteas) la foacutermula anterior queda
CF = Co(1 + rn100)nt
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6 anual iquestEn cuaacutento se convertiraacuten al cabo de 5 antildeosbull Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000(1+6100)5 = $669113
bull Si los intereses se acumulan mensualmenteCF $5000(1+61200)125 = $674425
bull Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF $5000(1+6400)45 = $ 673427
1048633 Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacioacuten viene dado por la diferencia entre nacimientos y defuncionesSi inicialmente partimos de una poblacioacuten P0 que tiene un iacutendice de crecimiento i (considerado en tanto por 1) al cabo de t antildeos se habraacute convertido en
P=P0middot (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacioacuten crece anualmente un 3 iquestCuaacutentos habitantes habraacute al cabo de 8 antildeosP = 600 (1+3100)8 asymp 760
1048633 Desintegracioacuten radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada porM=M0middotat M0 es la masa inicial 0ltalt1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos
Ejemplo 3
La rapidez de desintegracioacuten de las sustancias radiactivas se mide por el ldquoperiodo de desintegracioacutenrdquo que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 antildeos si en el antildeo 2000 teniacuteamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el antildeo 2000bull La funcioacuten esM(x) = 20 05 = 20x28 = 20 09755x
bull En el antildeo 2053 quedaraacuteM = 20 0975553 = 538 gr
EJERCICIOS
1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
x f(x)0 31 62 123 244 48
170
AplicacionesLa funcioacuten exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione demodo que el aumento (o disminucioacuten) en un pequentildeo intervalo de tiempo seaproporcional a lo que habiacutea al comienzo del mismo A continuacioacuten se ven tres aplicacionesbull Crecimiento de poblacionesbull Intereacutes del dinero acumuladobull Desintegracioacuten radioactiva
1048633 Intereacutes compuestoEn el intereacutes compuesto los intereses producidos por un capital C0 se van acumulando a eacuteste de tiempo en tiempo para producir nuevos interesesLos intervalos de tiempo al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital se llaman periodos de capitalizacioacuten o de acumulacioacuten Si son t antildeos r es el reacutedito anual (intereacutes anual en ) el capital final obtenido viene dado por la foacutermula
CF = Co(1 + r100)t
Si se consideran n periodos de tiempo (n=12 si meses n=4 si trimestres n=365 si diacuteas) la foacutermula anterior queda
CF = Co(1 + rn100)nt
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6 anual iquestEn cuaacutento se convertiraacuten al cabo de 5 antildeosbull Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000(1+6100)5 = $669113
bull Si los intereses se acumulan mensualmenteCF $5000(1+61200)125 = $674425
bull Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF $5000(1+6400)45 = $ 673427
1048633 Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacioacuten viene dado por la diferencia entre nacimientos y defuncionesSi inicialmente partimos de una poblacioacuten P0 que tiene un iacutendice de crecimiento i (considerado en tanto por 1) al cabo de t antildeos se habraacute convertido en
P=P0middot (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacioacuten crece anualmente un 3 iquestCuaacutentos habitantes habraacute al cabo de 8 antildeosP = 600 (1+3100)8 asymp 760
1048633 Desintegracioacuten radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada porM=M0middotat M0 es la masa inicial 0ltalt1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos
Ejemplo 3
La rapidez de desintegracioacuten de las sustancias radiactivas se mide por el ldquoperiodo de desintegracioacutenrdquo que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 antildeos si en el antildeo 2000 teniacuteamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el antildeo 2000bull La funcioacuten esM(x) = 20 05 = 20x28 = 20 09755x
bull En el antildeo 2053 quedaraacuteM = 20 0975553 = 538 gr
EJERCICIOS
1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
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13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
Ejemplo 1
Se colocan $5000 al 6 anual iquestEn cuaacutento se convertiraacuten al cabo de 5 antildeosbull Si los intereses se acumulan anualmente
CF $5000(1+6100)5 = $669113
bull Si los intereses se acumulan mensualmenteCF $5000(1+61200)125 = $674425
bull Si los intereses se acumulan trimestralmenteCF $5000(1+6400)45 = $ 673427
1048633 Crecimiento de poblacionesEl crecimiento vegetativo de una poblacioacuten viene dado por la diferencia entre nacimientos y defuncionesSi inicialmente partimos de una poblacioacuten P0 que tiene un iacutendice de crecimiento i (considerado en tanto por 1) al cabo de t antildeos se habraacute convertido en
P=P0middot (1+i)t
Ejemplo 2
Un pueblo tiene 600 habitantes y su poblacioacuten crece anualmente un 3 iquestCuaacutentos habitantes habraacute al cabo de 8 antildeosP = 600 (1+3100)8 asymp 760
1048633 Desintegracioacuten radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo La cantidad de una cierta sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada porM=M0middotat M0 es la masa inicial 0ltalt1 es una constante que depende de la sustancia y de la unidad de tiempo que tomemos
Ejemplo 3
La rapidez de desintegracioacuten de las sustancias radiactivas se mide por el ldquoperiodo de desintegracioacutenrdquo que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad
Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 antildeos si en el antildeo 2000 teniacuteamos 20 gr y tomamos como origen de tiempo el antildeo 2000bull La funcioacuten esM(x) = 20 05 = 20x28 = 20 09755x
bull En el antildeo 2053 quedaraacuteM = 20 0975553 = 538 gr
EJERCICIOS
1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
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httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
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1 Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4middotDominio= IR
Recorrido = (0+infin)Asiacutentota y=0Corte OY (04)Creciente
b) f(x)=2middot3-x +1
Dominio= IRRecorrido = (1+infin)Asiacutentota y=1Corte OY (04)Decreciente
2 Construye una tabla de valores de una funcioacuten exponencial en cada caso escribe la expresioacuten algebraica
a) f (-2)=29 y constante de crecimiento 3
x f(x)-2 29-1 0 1 2 3
b) f (0)=3 y constante de decrecimiento frac14
x f(x)-1-1 0 3 1 2 3
3 La tabla corresponde en cada caso a una funcioacuten exponencial Escribe la foacutermulaa)
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)0 41 2 -1 -2 -3
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
x f(x)-2 19-1 130 11 32 83 27
b)
4 Indica si el graacutefico corresponde a una funcioacuten con crecimiento exponencial o con decrecimiento Escribe la funcioacutena)
Observa la graacuteficaf (0)=3f (1)=6=3middot2f(-1)=15=32La funcioacuten es
x f(x)-2 25-1 50 11 152 1253 1125
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
f(x)=3middot2x
y es creciente
b)
Observa la graacuteficaf(0)=1f(-1)=3f(-2)=9=32
La funcioacuten esf(x)=(13)x=3-x
y es decreciente
2 Funciones logariacutetmicas
La funcioacuten inversa de la exponencialDada una funcioacuten inyectiva y=f(x) se llama funcioacuten inversa de f a otra funcioacuten g tal que g(y)=x En la figura adjunta se puede ver la inversa de la funcioacuten exponencialPara cada x se obtiene ax Al valor obtenido lo llamamos y o f(x) La funcioacuten inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x Esta funcioacuten se llama funcioacuten logariacutetmica y como puedes observar es simeacutetrica de la funcioacuten exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
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13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
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20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
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13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
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19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
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19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
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3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
La funcioacuten logariacutetmicaEs la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial y se denota de la siguiente maneray = logax con agt0 y distinto de 1 En la figura se representa la graacutefica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la exponencial Sus propiedades sonsimeacutetricas
x 0125 025 05 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
En los graacuteficos inferiores se puede ver como cambia la graacutefica al variar aEn las graacuteficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=kmiddotlogax cambia la rapidez con que la funcioacuten crece o decrece (klt0) Al sumar (o restar) una constante b la graacutefica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) bunidades cambiando el punto de corte con el eje de abscisas
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
bull El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los realesbull Es continuabull Si agt1 la funcioacuten es creciente y si 0ltalt1 es decrecientebull Corta al eje OX en (10)bull El eje OY es asiacutentotabull La funcioacuten es inyectiva esto es si am=an entonces m=n
Los logaritmos
Dados dos nuacutemeros reales positivos a y b (ane1) llamamos logaritmo en base a de b al nuacutemero al que hay que elevar a para obtener b La definicioacuten anterior indica que logab=c equivale a ac=b
Fiacutejate en los ejemplos
log2128 =7 larrrarr 27 = 128log3 (1243) =-4 larrrarr 3-4 = 1243log128=-3 larrrarr (12)-3=8log13 19 =2 larrrarr(13)2 = 9
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
Propiedades de los logaritmosSean x=logab ax=b y=logac ay=c z=loga(bmiddotc) az=bmiddotc
bull axmiddotay=ax+y=az entonces z=x+ybull axay=ax- y=az entonces z=xndashybull (ax)m=axm=az entonces z=xm
bull Logaritmo del producto loga(bmiddotc)=logab+logacbull Logaritmo del cociente loga bc =logabndashlogacbull Logaritmo de una potencia loga(bm)=mmiddotlogabbull En cualquier base loga1=0 ya que a0=1 logaa=1 ya que a1=a
Logaritmos decimalesSon los de base 10 son los maacutes usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizanlog 10 = log 101=1log 100 = log 102=2log 1000 = log 103 = 3log 10000 = log 104 = 4 hellipetc
Observa que entonces el log de un nuacutemero de 2 cifras comprendido entre 10 y 100 es 1 el log de los nuacutemeros de 3 cifras seraacute 2 etc Por otra partelog 01 = log 10-1 = -1log 001 = log 10-2 = -2log 0001 = log 10-3 = -3 hellipetcEntonces el log de un nuacutemero comprendido entre 001 y 01 seraacute -1 el de uno comprendido entre 0001 y 001 seraacute -2 etc Cambio de baseLas calculadoras permiten calcular dos tipos de logaritmos decimales (base=10) y neperianos o naturales (base=e) que se estudian en cursos posteriores Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la foacutermula del cambio de base
Para practicar
1 Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales Escribe la funcioacuten querelaciona el nuacutemero de botellas y su capacidad2 Un moacutevil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante Escribe la funcioacuten velocidadrarrtiempo calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50kmh y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas3 Un grifo con un caudal de 8 litrosmin tarda 42 minutos en llenar un depoacutesitoiquestCuaacutento tardariacutea si el caudal fuera de 24 litrosmin Escribe la funcioacuten caudalrarrtiempo
4 Escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten cuya graacutefica es una hipeacuterbola como la de la
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
figura con el centro de simetriacutea desplazado al punto (2-1)
5 Los costes de edicioacuten en euros de x ejemplares de un libro vienen dados pory=21x+24 (xgt0) iquestCuaacutento cuesta editar 8 ejemplares iquesty 80 ejemplares Escribe la funcioacuten que da el coste por ejemplar Por muchos ejemplares quese publiquen iquestcuaacutel es el coste unitario como miacutenimo7 En queacute se convierte al cabo de 15 antildeos un capital de 23000euro al 55 anual8 Un capital colocado a intereacutes compuestoal 2 anual se ha convertido en 3 antildeos en 955087euro iquestCuaacutel era el capital inicial9 Un capital de 29000euro colocado a intereacutes compuesto se ha convertido al cabo de4 antildeos en 3139053 euro iquestCuaacutel es el reacutedito (intereacutes anual) a que ha estado colocado10 Un capital de 7000euro colocado a intereacutes compuesto del 2 anual se ha convertido al cabo de unos antildeos en 820161euro iquestCuaacutentos antildeos han transcurrido11 iquestCuaacutentos antildeos ha de estar colocado cierto capital al 3 anual para que seduplique12 El periodo de desintegracioacuten del Carbono 14 es 5370 antildeos iquestEn queacute cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 antildeos13 iquestCuaacutentos antildeos han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 2086 gr (Periodo de desintegracioacuten del C14 5370 antildeos)14 Una muestra de 60 gr de una sustancia radiactiva se convierte en 3567 gr en30 antildeos iquestCuaacutel es el periodo de desintegracioacuten15 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos Sisuponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias iquestdentro de cuaacutentas horas tendraacute 320 millones de bacterias16 El tamantildeo de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos sial cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias iquestcuaacutentas habiacutea en
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
agt1
0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
Graacutefica de la funcioacuten logariacutetmica
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0ltalt1
Estudio de la Funcioacuten Logariacutetmica
Se llama funcioacuten logariacutetmica a la funcioacuten real de variable real
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
La funcioacuten logariacutetmica es una aplicacioacuten biyectiva definida de R+ en R
o La funcioacuten logariacutetmica solo estaacute definida sobre los nuacutemeros positivos o Los nuacutemeros negativos y el cero no tienen logaritmo
o La funcioacuten logariacutetmica de base a es la reciacuteproca de la funcioacuten exponencial de base a
o Las funciones logariacutetmicas maacutes usuales son la de base 10 y la de base e = 2rsquo718281
Debido a la continuidad de la funcioacuten logariacutetmica los liacutemites de la forma
se hallan por medio de la foacutermula
Logaritmos
A las operaciones ya conocidas de Adicioacuten Sustraccioacuten Multiplicacioacuten Divisioacuten Potenciacioacuten y Radicacioacuten antildeadimos una nueva que llamamos Logaritmacioacuten
Los logaritmos fueron introducidos en las matemaacuteticas con el propoacutesito de facilitar simplificar o incluso hacer posible complicados caacutelculos numeacutericos Utilizando logaritmos podemos convertir productos en sumas cocientes en restas potencias en productos y raiacuteces en cocientes
Definicioacuten de logaritmo
Se llama logaritmo en base a del nuacutemero x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho nuacutemero
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
que se lee el logaritmo en base a del nuacutemero x es b o tambieacuten el nuacutemero b se llama logaritmo del nuacutemero x respecto de la base a
Como podemos ver un logaritmo no es otra cosa que un exponente hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos
La constante a es un nuacutemero real positivo distinto de 1 y se denomina base del sistema de logaritmos La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a gt 0
La funcioacuten logariacutetmica (o funcioacuten logaritmo) es una aplicacioacuten biyectiva del conjunto de los nuacutemeros reales positivos sin el cero en el conjunto de los nuacutemeros reales
Es la funcioacuten inversa de la funcioacuten exponencial
La operacioacuten logaritmacioacuten (extraccioacuten de logaritmos o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el nuacutemero x son positivos (siendo ademaacutes a distinto de 1)
Propiedades
Logaritmos Decimales
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero 10 Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base
Logaritmos Neperianos
Se llaman logaritmos neperianos naturales o hiperboacutelicos a los logaritmos que tienen por base el nuacutemero e
Cambio de Base
Antilogaritmo
Es el nuacutemero que corresponde a un logaritmo dado Consiste en el problema inverso al caacutelculo del logaritmo de un nuacutemero
es decir consiste en elevar la base al nuacutemero resultado
Cologaritmo
Se llama cologaritmo de un nuacutemero N al logaritmo de su reciacuteproco
Equivalencias uacutetiles
Ecuaciones Logariacutetmicas
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
Aquella ecuacioacuten en la que la incoacutegnita aparece sometida a la operacioacuten de logaritmacioacuten
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolucioacuten de ecuaciones logariacutetmicas tambieacuten se llama tomar antilogaritmos)
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas en orden inverso simplificando y realizando transformaciones oportunas
Sistemas de Ecuaciones Logariacutetmicas
Se llaman sistemas de ecuaciones logariacutetmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incoacutegnitas estaacute sometida a la operacioacuten logaritmo
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes
Caracteriacutesticas uacutetiles
Si a gt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo negativoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 lt a lt 1Los nuacutemeros menores que 1 tienen logaritmo positivoLos nuacutemeros mayores que 1 tienen logaritmo negativo
CALENDARIO DEL MODULO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA
Acuerdo Pedagoacutegico Presentacioacuten del modulo firma de acuerdos entrega del PIC y asignacioacuten de actividades y consultas para ser discutidas el 20 de febrero
1
13 de febrero de
2010
Loacutegica y Conjuntos Trabajo en pequentildeos grupos para la preparacioacuten de la socializacioacuten de la temaacutetica y resolucioacuten de la guiacutea del modulo 1 Evaluacioacuten y control de actividades
2
20 de febrero
Pensamiento y En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la 3
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22html
httpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdf
httprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
Sistema Numeacuterico mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
27 de Febrero
De 2010
Pensamiento Variacional y sistemas Algebraicos
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
4
13 de Marzo de
2010
Operaciones de Orden Superior
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
5
19 de Marzo de
2010
Funciones Exponenciales y logariacutetmicas
En el encuentro presencial el los estudiantes haraacuten la mayor cantidad de preguntas para ser resueltas en la sesioacuten se resolveraacuten problemas y ejercicios al igual que presentaran evaluaciones escritas que se corregiraacuten y calificaran para efectos de planes de mejora se revisaraacute el estado del portafolio
6
19 de Marzo
Primera Convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
7
26 de Marzo
Segunda convocatoria
Prueba final escrita individual aplicada a todos los estudiantes
8
3 de abril
METODOLOGIA
En la educacioacuten a distancia es importante que el estudiante asuma una estricta responsabilidad con sus procesos condicioacuten que lo lleva a adquirir auto exigencia con su aprendizaje Debido a que ese proceso es baacutesicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constante del tutor el estudiante debe considerar la capacidad para organizar el tiempo de su estudio por si mismo (autodisciplina) teniendo en cuenta que esta modalidad presenta flexibilidad en los horarios
La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
Recursos asociados
cideadmeceshttpcideadcnicemecesCentro para la Innovacioacuten y Desarrollode la Educacioacuten a Distancia
httphuitotoudeaeducoMatematicas22htmlhttpdocenciaudeaeducoingenieriacalculopdf1_3_4pdfhttprecursosticeducacionessecundariaedad4esomatematicasBimpresosquincena10pdf
EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
Recursos asociados
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La palabra meacutetodo significa camino (odos) para llegar a un fin (meta) en este sentido el concepto de metodologiacutea integra los meacutetodos y las teacutecnicas para desarrollar habilidades conducentes a adquirir una competencia
Usted cuenta con Varios recursos a su disposicioacuten los cuales le ayudaran a alcanzar la competencia al final de este modulo Ellos son
Lecturas Recomendadas
Estudio y anaacutelisis de la temaacutetica de acuerdo a los contenidos de los capiacutetulos 10 y 11 paacuteginas 201 ndash 212 y 223 ndash 234 de las matemaacuteticas Universitarias de Allendoerfer
Desarrollo del trabajo o taller sobre ecuaciones incluido en el material de apoyo aportado por el tutor
Lecturas Recomendadas
Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y referente a aplicaciones los siguientes- Lectura analiacutetica de los capiacutetulo 2 y 3 sobre ecuaciones lineales de las Matemaacuteticas
Aplicadas a la Economiacutea y a la Administracioacuten de Jagdish C Arya Robin W Lardner Editorial Prentice Hall 1996
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EVALUACION
Dentro de la guiacutea se encontraran ejercicios y problemas que el estudiante resolveraacute y presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor se haraacute una socializacioacuten y correccioacuten de algunos problemas propuestos al azar se tendraacute en cuenta una autoevaluacioacuten que cada estudiante haraacute una
cooevaluacioacuten que le haraacuten los estudiantes del grupo y una hetero-evaluacioacuten que seraacute realizada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos actitudinales y comporta-mentales del estudiante al igual que las competencias interpretativa argumentativa y proposicional
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
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POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas sintetizar los conceptos en un portafolio resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guiacutea asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero participar activamente de las actividades de socializacioacuten y trabajo colaborativo
Rol del Tutor
El propoacutesito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias La supervisioacuten que hagan los tutores se enfocaraacute tanto a los procesos como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia para ello el tutor asume entre otros los compromisos de
Atender directamente a los estudiantes a eacutel asignados utilizando diversos medios encuentro tutorial teleacutefono celular fax e-mail sistemas de mensajeriacutea yo cualquier otro medio acordado previamente con el estudiante de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didaacutecticasAsistir al lugar de tutoriacutea asignado en la hora y el diacutea indicados previamente para tal finRespetar el calendario acadeacutemico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar facilitar asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexioacuten e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacioacuten socializados al estudiante al plantearse la actividadRetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutorLas dudas acadeacutemicas seraacuten atendidas por teleacutefono fax e-mail y medios como foros en aulas virtuales
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes honestos y comprometidos que Como tales son los principales responsables de iniciar dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que esteacuten a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurriraacuten en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interaccioacuten actividades terminales e intermedias Se espera que los estudiantes participen
activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre aacutelgebra baacutesica y ecuaciones y sus aplicaciones
Sydsaeter ndash Hammond Knut ndash Meter J Matemaacuteticas para el anaacutelisis econoacutemico Prentice ndash Hall 1996
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activamente en cada una de las actividades descritas en la guiacutea de estudio para ello es necesario tener en cuenta que
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje que lo lleva a ser mas activo y propositivo por consiguiente a desarrollar el auto ndash estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje habiendo leiacutedo los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guiacutea de estudioDebe realizar las actividades planteadas en la guiacutea de estudio entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluacioacuten dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas deberaacute saber citar las fuentes es decir usar debidamente la bibliografiacutea a fin de evitar el plagio
BIBLIOGRAFIacuteA GENERAL
TEXTOS BAacuteSICOS
Allendoerfer C y Oakley Cletus O Matemaacuteticas Universitarias Cuarta edicioacuten revisada Editorial Mc Graww- Hill Santafeacute de Bogotaacute DC 1994 Caacutep 4 5 6 7 8 10 y 11
Arya J y Lardner R Matemaacuteticas aplicadas a la administracioacuten y a la economiacutea Tercera edicioacuten Editorial Prentice Hall 1989 capiacutetulos 1 al 6
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