25

Guisasola - erein.eus · 1.1 adibidea Lurrak Eguzkiaren inguruan bira emateko behar duen denbora 365,2564 egunekoa da; batez besteko distantzia 150 · 10 6 km duelarik, zein izango

  • Upload
    others

  • View
    10

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Jenaro GuisasolaAne Leniz

Oier Azula

FisikaBATXILERGOA 2

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:22 Página 1

Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edoaldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitakosalbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edoeskaneatu nahi baduzu, jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos,www.cedro.org).

Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia (2015-V-15)

Maketazioa: IPAR S.L. arte grafikoen tailerra. DonostiaIlustrazioak: Iván Landa© Jenaro Guisasola, Ane Leniz eta Oier Azula© EREIN. Donostia 2015ISBN: 978-84-9746-817-6L.G.: SS-928-2015EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 10720018 DonostiaT 943 218 300 F 943 218 311e-mail: [email protected]: GertuZubillaga industrialdea 9, 20560 OñatiT 943 78 33 09 F 943 78 31 33e-mail: [email protected]

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:22 Página 2

Aurkibidea

FISIKA1. gaia. Indar grabitatorioa .............................................................................................................................................. 6

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 7 2. Planeten mugimendua: Kepler-en legeak ................................................................................................................ 8 3. Errotazioa eta planeten higidura .............................................................................................................................. 11 4. Kepler-en bigarren legea eta momentu angularra .................................................................................................. 16 5. Newton-en Grabitazio Unibertsalaren Legea .......................................................................................................... 17 6. Kepler-en hirugarren legea eta grabitazio unibertsalaren legea ............................................................................ 19 7. Grabitatea beste planeta batzuetan .......................................................................................................................... 21 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 23

2. gaia. Eremu grabitatorioa ............................................................................................................................................ 26

1. Sarrera ........................................................................................................................................................................ 27 2. Grabitazio-eremua ...................................................................................................................................................... 28 3. Eremua: Kontzeptu fisikoa ........................................................................................................................................ 32 4. Eremuaren adierazpen grafikoa ................................................................................................................................ 33 5. Energia potentzial grabitatorioa ................................................................................................................................ 33 6. Grabitazio-eremuaren erabilpena.............................................................................................................................. 38 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 43

3. gaia. Eremu elektrikoa .................................................................................................................................................. 46

1. Sarrera ........................................................................................................................................................................ 47 2. Karga elektrikoa .......................................................................................................................................................... 48 3. Eroaleak eta isolatzaileak .......................................................................................................................................... 50 4. Kargaren eredua. Laburpena .................................................................................................................................... 52 5. Indar elektrikoa eta Coulomb-en legea .................................................................................................................... 52 6. Eremu elektrikoa ........................................................................................................................................................ 57 7. Eremu elektrikoa: kontzeptua .................................................................................................................................. 60 8. Eremu-lerro elektrikoak.............................................................................................................................................. 66 9. Gauss-en legea eremu elektrikoarentzat: hurbilpen kuantitatiboa........................................................................ 67 10. Potentzial elektrikoa ................................................................................................................................................ 68 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 79

4. gaia. Eremu magnetikoa .............................................................................................................................................. 82

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 83 2. Magnetismoa .............................................................................................................................................................. 84 3. Eremu magnetikoa ...................................................................................................................................................... 85 4. Korronte elektrikoek ere eremu magnetikoak sortzen dituzte .............................................................................. 88 5. Eremu magnetikoek indarrak eragiten dituzte higitzen ari diren kargetan .......................................................... 98 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 111

5. gaia. Oszilazioak.............................................................................................................................................................. 114

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 115 2. Oszilazioak eta oreka.................................................................................................................................................. 116 3. Higidura harmoniko sinplea eta indar berreskuratzaile linealak ............................................................................ 119 4. Pendulua ...................................................................................................................................................................... 121 5. Higidura harmoniko sinplea ...................................................................................................................................... 122 6. Energia higidura harmoniko sinplean ...................................................................................................................... 126 7. Oszilazio indargetuak eta erresonantzia .................................................................................................................. 131 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 133

6. gaia. Uhin-higidura etra soinu-uhinak .................................................................................................................... 136

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 137 2. Uhin-higiduraren orokortasunak .............................................................................................................................. 138 3. Luzetarako uhinak eta zeharkako uhinak ................................................................................................................ 140 4. Uhin-higidura .............................................................................................................................................................. 141 5. Uhinen deskribapena .................................................................................................................................................. 144 6. Soinua eta argi-uhinak................................................................................................................................................ 149 7. Energia eta intentsitatea ............................................................................................................................................ 152 8. Doppler efektua eta talka-uhinak .............................................................................................................................. 154 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 159

7. gaia. Uhinen gainezarpena eta uhin geldikorrak .............................................................................................. 162

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 163 2. Uhinen gainezarpenaren printzipioa ........................................................................................................................ 164 3. Bi iturritako uhinen arteko interferentziak................................................................................................................ 167 4. Uhin geldikorrak .......................................................................................................................................................... 170 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 178

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:22 Página 3

8. gaia. Optika geometrikoa ............................................................................................................................................ 182

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 183 2. Zer da argia?................................................................................................................................................................ 184 3. Argiaren hedapen zuzena .......................................................................................................................................... 185 4. Islapena ........................................................................................................................................................................ 187 5. Errefrakzioa ................................................................................................................................................................ 189 6. Ispiluak eta leiarrak .................................................................................................................................................... 194 7. Tresna optikoak .......................................................................................................................................................... 208 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 212

9. gaia. Optika ondulatorioa ............................................................................................................................................ 214

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 215 2. Interferentziak ............................................................................................................................................................ 216 3. Difrakzioa .................................................................................................................................................................... 220 4. Polarizazioa ................................................................................................................................................................ 223 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 226

10. gaia. Erlatibitate berezia ............................................................................................................................................ 228

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 229 2. Higiduraren erlatibitatea ............................................................................................................................................ 230 3. Teoria elektromagnetikoaren iragarpenak .............................................................................................................. 232 4. Galileoren erlatibitatearen berrikuste kritikoa: erlatibitate bereziaren printzipioa .............................................. 233 5. Transformazioak erreferentzia-sistema batetik bestera ........................................................................................ 240 6. Argiren abiadura al da gure unibertsoan egon daitekeen abiadurarik handiena? .............................................. 243 7. XX. Mendeko fisikaren ekuaziorik ezagunena ........................................................................................................ 245 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 248

11. gaia. Fisika kuantikoa ................................................................................................................................................ 250

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 251 2. Erradioazioen iturriaren ikusmolde klasikoa ............................................................................................................ 252 3. Interpretatzen zaila den fenomenoa: efektu fotoelektrikoa.................................................................................... 253 4. Efektu fotoelektrikoa .................................................................................................................................................. 255 5. Fotoiak.......................................................................................................................................................................... 261 6. Uhin materialak .......................................................................................................................................................... 264 7. Energia kuantizaturik dago ........................................................................................................................................ 265 8. Ziurgabetasunaren printzipioa .................................................................................................................................. 267 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 269

12. gaia. Fisika nulearra eta partikulena .................................................................................................................... 270

1. Sarrera.......................................................................................................................................................................... 271 2. Erradioaktibitatea........................................................................................................................................................ 272 3. Nukleo atomikoren egitura ........................................................................................................................................ 275 4. Transformazio erradioaktiboak.................................................................................................................................. 279 5. Elementu erradioaktiboen desintegrazio-abiadura ................................................................................................ 282 6. Egonkortasun nuklearra eta indar nuklearrak ........................................................................................................ 285 7. Fisika nuklearraren medikuntza-aplikazioak............................................................................................................ 286 Ariketak ............................................................................................................................................................................ 288

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 4

1.1 irudia. Komunikazio-enpresa baten satelitea.

1. gaia

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 6

Indar grabitatorioa materiaren elkarrekintzarik ahulena da. Arbuiagarria da oinarrizko partikulen artekoelkarrekintzetan, eta ondorioz, ez du inolako garrantzirik molekula, atomo eta nukleoei buruzko ikerke-tetan. Tamaina arrunteko objektuen arteko erakarpen grabitatorioa txikiegia da behagarria izateko. Eraikinbatek auto batean eragiten duen erakarpena, adibidez, ez dugu nabaritu ere egiten. Haatik, planeta, sa-telite edo izarren moduko gorputz astronomikoen arteko elkarrekintzei behatzen diegunean, garrantzihandia du grabitateak. Lurrak gure gorputzetan eta inguratzen gaituzten objektuetan eragiten duen indargrabitatorioa oinarrizkoa da gure bizitzan. Grabitateak lotzen gaitu lurrera, eta horrek mantentzen dituplanetak (gurea barne) eguzki-sistemaren baitan. Indar grabitatorioak zerikusi handia du izarren gara-penean eta galaxien portaeran. Demagun, eskalarik handienean, grabitateak unibertsoaren garapenazuzentzen duela.

Newton-en garaian, unibertsoaren eta Lurraren arauek elkarren artean zerikusirik ez zutela pentsatzenzuten askok. Hala ere, haren aurreko ikerlari askok Newtonek beharrezkoak izan zituen ondorio askoatera zituzten. Kopernikok, esaterako, planetek Eguzkiaren inguruan biratzen zutela ondorioztatu zuen;Galileok gorputz guztiak azelerazio berberaz jausten zirela aurkitu zuen, eta Kepler-ek planeten orbitaeliptikoa zela. Behaketaren bitartez deskribatutako fenomeno horiei guztiei azalpen teorikoa emateaizan zen, hain zuzen ere, Newtonen ekarpen nagusia. Newton-en grabitazio unibertsalaren legearen etadinamikaren hiru legeen bitartez frogatu zen naturak lege berberei jarraitzen diela edonon. Horrek errotikaldatu zuen unibertsoaren inguruko ikuspuntua.

Indar grabitatorioa

1. Sarrera

Udako gau lasai batean, telefonoz hizketan ari zara lagun batekin zure hiriko eraikin altu batetik,eta hara non ikusten duzun, urrunean, komunikazio-enpresa batek erabiltzen duen sateliteazure gainean. Nola lortzen da beti hiri beraren gainean egotea? (Ikusi 7. adibidea).

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 7

1.2 irudia. Eguzkiaren inguruko planeten orbitak.

2Planeten mugimendua: Kepler-en legeak

Gizadia liluraturik egon da beti gauean zeruan ikus daitezkeen izar eta planeta argitsuekin.

1. Galdera: Nola bereiziko zenituzke izar bat eta planeta bat?

Planeta eta izarren arteko desberdintasunei buruz ari garela, garrantzitsua da jakiteaplanetek ez bezala, izarrek distira egiten dutela. Planetek, aldiz, etenik gabe islatzendute argia, distiratu gabe. Izarren eta gure artean dagoen distantzia askoz ere handiagoaizatea da horren arrazoia. Gainera, izarrak zirkuluak eginez mugitzen dira gauean zehar.Planetek, aldiz, ibilbide korapilatsuagoak egin ohi dituzte.

XVI. mendearen bukaeran, Tycho Brahe astronomoak planeten higidura aztertu zuen,eta aurretik egindako behaketak baino behaketa zehatzagoak egin zituen. Braherendatuetan oinarrituta, planetek Eguzkiaren inguruan egiten zuten ibilbidea eliptikoa zelaohartu zen Johannes Kepler (1.2 irudia). Frogatu zuen, halaber, planetak ez zirela abia-dura konstantean higitzen; Eguzkitik zenbat eta hurbilago egon orduan eta azkarragohigitzen zirela frogatu zuen, hain zuzen. Azkenik, Kepler-ek erlazio matematiko bat ze-haztu zuen planeten periodoa eta Eguzkiaren arteko batez besteko distantzia lotuz (1.1taula). Planeten higidura azaltzen duten hiru lege enpirikotan adierazi zituen Kepler-ekemaitzak. Lege horiek izan ziren Newtonentzat grabitatearen legea azaltzeko oinarria.Hona hemen lege horiek:

Merkurio

Artizarra

Lurra

Marte

Jupiter

Saturno

Urano

Neptuno

Pluton

1.1 taula. Planeten batez besteko erradioak etaperiodo orbitalak.

Planeta

Batezbestekoerradioorbitala(x1010 m)

Periodoa T(urteak)

Merkurio 5,79 0,241

Venus 10,8 0,615

Lurra 15,0 1

Marte 22,8 1,88

Jupiter 77,8 11,9

Saturno 143 29,5

Urano 287 84

Neptuno 450 165

Pluton 590 248

1. gaia: Indar grabitatorioa8

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 8

1. legea: Planeta guztiak fokua Eguzkian duten orbita eliptikoetan higitzen dira.

1.3 irudia. Eguzkiaren inguruko erradioa orbitalak.

1.4 irudia. Elipsearen deskripzio geometrikoa.

P

F F

A

r

ax

b

y

rp ra

r2

r1

F foku izeneko bi puntu finkotara dauden distantzien batura konstanteko plano batekopuntu guztien leku geometrikoa da elipsea (1.4 irudia). Foku batean Eguzkia duen pla-neta baten ibilbide eliptikoa adierazten du. 1.4 irudian, ia zirkularra da Lurraren orbita;Eguzkirako distantzia perihelioan (punturik hurbilena) da, eta afelioan (punturik urru-nena). Ardatz nagusiak bi distantzia horien batura neurtzen du; Lurraren orbitaren ka-suan, erradioa da, hain zuzen.

2. Galdera:Zer egin dezakegu hain zenbaki handiak ez erabiltzeko?

Lurra-Eguzkia batez besteko distantziak unitate astronomikoa definitzen du (UA):

1 UA = 1,50 · 1011 m

Eguzki-sistemari lotutako problemetan erabili ohi da UA.

3. Galdera:Zenbat metro daude Bilbotik Donostiara? Eta Gasteiztik NewYork-era? Zenbat metro egingo genituzke Lurrari bira osoa emanezgero? Zenbat bira eman beharko genizkioke Lurrari 1 UA distantziaegiteko?

Kometa

1. gaia: Indar grabitatorioa9

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 9

2. legea: Planetatik Eguzkira doan irudizko lerroak azalera berdina hartzen dudenbora-tarte berean.

10

1. gaia: Indar grabitatorioa

4. Galdera: Zer ondorio atera daiteke irudiko (1.5 irudia) bi gainazalakalderatuz gero?

5. Galdera: Tycho Brahe-ren taulari erreparatuta egiaztatzen al da 3.legearen erlazioa?

1.5 irudia. Kepler-en bigarren legea erakusten du.

Dr

Dr

Hau da, planeta bat azkarrago higitzen da Eguzkitik gertu dagoenean urrun dagoeneanbaino. Ondorioz, denbora-tarte jakin batean bektoreak egindako azalera berdina izangoda orbita osoan zehar.

3. legea: Planetak orbita osatzeko behar duen periodoaren karratua proportzio-nala da bere orbitaren ardatzerdi nagusiaren kuboarekiko.

Kepler-en hirugarren legeak erlazionatu egiten ditu planetaren periodoa eta Eguzkia-rekiko batez besteko distantzia. Era aljebraikoan, r Eguzkiaren eta planeta baten artekodistantziaren batez bestekoa bada eta T planetaren biraketa-periodoa bada, Kepler-enhirugarren legeak honako hau ezartzen du:

T2 = K r3

non K konstanteak balio bera duen planeta guztientzat.

1.1 adibideaLurrak Eguzkiaren inguruan bira emateko behar duen denbora 365,2564 egunekoa da; batez besteko distantzia 150 · 106 km duelarik, zein izango da Venus-ek Eguzkiaren inguruan orbita bat egiteko beharko lukeen distantzia, baldin eta batez besteko orbitaren distantzia 108,2 · 106 km-koa bada?

Erantzuna:

Beste planeta baten orbitaren arabera badakigu T2 = Kr3 berdina dela planeta guztientzat. Lurraren periodoa eta batez bes-teko orbitaren distantzia jakinik, K-ren balioa aterako dugu. K-ren balioa atera ondoren, eta Venusen batez besteko orbitarendistantzia erabiliz, Venus planetaren periodoa aterako dugu.

Kometa

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 10

11

1. gaia: Indar grabitatorioa

Gogoratu

Errotazioaren zinematika

Irudi hauetan mugimendu zirkularraren hainbat aldagai eta horien arteko harremanak agertzen dira. Mugimendu zirkularrekopartikula abiadura konstantez higitzen bada, higidura zirkular uniformea duela esaten dugu. Partikulak orbita batean hi-gitzen den satelite bat, soka baten muturrean dagoen baloi bat edo gurpil batean erantsitako partikula bat izan daitezke.Partikulak zer ordezkatzen duen alde batera utzita, haren bektorea ibilbide zirkularrarekiko ukitzailea izango da beti. Parti-kularen v abiadura konstantea izango da; beraz, bektorearen luzerak konstante iraungo du partikula zirkuluan higitzen bada.

Higidura mota horretan, partikula θH hasierako posiziotik θB bukaerako posiziora mugituko da Dt denbora-tartean. Dθ = θH – θB aldaketari desplazamendu angeluarra deritzo.

Kontuan hartu erabiltzen dugun denbora-unitatearen araberako unitateekin azalduko dugula Venus-en periodoa.

Beraz, honako hau da Venus planetaren periodoa:

Logikoa da kalkulatutakoa, Venus Eguzkitik Lurra baino gertuago dago, eta, beraz, logikoa Lurrak baino periodo txikiagoaizatea, hau da, denbora gutxiago behar izatea Eguzkiari bira oso bat emateko.

(365,2564 egun)2

(150 · 106 km)3K =

(365,2564 egun)2

(150 · 106 km)3T 2 = · (108,2 · 106 km)3v

3Errotazioa eta planeten higidura

Badakigu planetak izar finkoen inguruan biratzen direla eta sateliteak daudela, maiz,planeta horien inguruan biraka. Lurraren kasua adibide berezia da, Ilargia baitu inguruanbiraka.

6. Galdera: Pentsatu al duzu inoiz zergatik Lurretik Ilargiaren aurpegibera ikusten dugun beti?

Ilargiak orbita bat osatzen du Lurraren inguruan hilean behin. Gainera, bere ardatzareninguruan ere bira egiten du sateliteak, bira osoa hilero hain zuzen (27,32 egun beharditu). Hau da, biak berdinak dira!! Horrenbestez, Ilargiak beti erakusten dio Lurrari aur-pegi bera.

(365,2564 egun)2

(150 · 106 km)3T =

T v = 223,76 egun

· (108,2 · 106 km)3v

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 11

Partikularen abiadura angeluarra, ondorioz, era honetara definituko dugu bere modulua.

Abiadura angeluarraren nazioarteko unitateak rad/s dira.

Gogoratu abiadura lineala abiadura angeluarraren zuzenki proportzionala dela:

V = wR

1.7 irudia. Partikula baten higidura zirkularra. 1.8 irudia. Partikula baten higidura 0i eta 0f artean.

Abiadura angeluarrak denborarekiko duen aldakuntza azelerazio angeluarra da, eta bere modulua honela adierazten da:

Azelerazio lineala ere azelerazio angeluarraren zuzenki proportzionala izango da:

a = ∝ · R

y

v

v

v

x

r

tf = ti + Dt

ti

xθf

θf

w

y

x

y

xar

v

12

1. gaia: Indar grabitatorioa

1.6 irudia. Higidura zirkularra gogoratzen.

desplazamendu angeluarradenbora-tartea

DθDt

w = =

dw

dtd2 θd t2

a = =

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 12

13

1. gaia: Indar grabitatorioa

Ilargiaren abiadura angeluarraren modulua:

Lurretik Ilargiari begiratzen diogunean eta zeruan mugitzen ari dela ikusten dugunean, bi mugimendu horien gainezarpenada benetan ikusten ari garena.

1.2 adibidea. Lurraren eta Ilargiarenabiadura angeluarrak

Lurrak 24 ordu behar ditu bere ardatzaren inguruan bira bat emateko eta Ilargiak 29 egun gutxi gorabehera Lurrari biraoso bat emateko. Zein da Lurraren abiadura angeluarra? Eta Ilargiaren abiadura angeluarra Lurraren biraketa-ardatza-rekiko?

Erantzuna:

Lurrak bere ardatzaren inguruan bira oso bat emateko 24 ordu behar ditu, segundotan TLurra= 8,64 · 104 s. Ilargiak Lurrari

bira oso bat emateko gutxi gorabehera 29 egun behar ditu, segundotan TIlargia = 2,52 · 106 s.

Bira oso batean 2π radian daude, beraz 2π zati bira bat emateko behar den denbora, periodoa, abiadura angeluarra moduluaizango da w. Lurraren abiadura angeluarra:

TLurra

8,64 · 104 swLurra = = = 3,36 · 10-5 rad/s

TIlargia

2,51 · 106 swIlargia = = = 2,50 · 10-6 rad/s

Momentu angeluarra

Newton-en lehenengo legeak dioenez, isolatutako partikula baten momentua kontser-batu egiten da; lerrozuzenean higitzen den partikula batek “aurrera jarraitzen” duelaesan nahi du horrek, higidura hori aldaraziko duen kanpoko eragilerik ez baldin badagobehintzat.

7. Galdera: Zer gertatuko da higidura zirkularrean, baldin eta isolatutakopartikula bat baldin badugu?

Higidura zirkularrari erreparatzen badiogu, horretan pmomentua ez dela kontserbatzenarrazoitu dezakegu. Momentua bektore bat da, eta higidura zirkularrean dagoen parti-kula baten momentua aldatu egiten da norabidea aldatzen denean.

Adibidez, bizikleta baten gurpilak biraka jarraituko luke marruskadurarik ez balego. Hi-gidura zirkularraren ideia hori adierazten duen balioa momentu angeluarra da.

1.9 irudian O jatorriarekiko r posizioan dagoen eta v abiaduraz higitzen den m masakopartikula agertzen da. Partikularen momentu lineala p = m · v da. Partikularen O ja-torriarekiko L momentu angeluarra r eta v -ren arteko biderkadura bektorial gisa de-finitzen da.

L = r x p

1.9 irudia. Momentu angeluarraren irudikapengrafikoa.

y

x

O

ø

r m

p = m · v

L = r x p

→ →

→ → →

→ →

→ →

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 13

1.9 irudian ikus daitekeen moduan, r eta p xy planoan badaude, orduan L z planoarekikoparaleloa izango da, eta era honetara adieraziko dugu:

L = r x p = m · v · r sin φ k

Kontuan hartu behar dugu momentu angeluarra espazioaren puntu batekiko definitzendela.

14

1. gaia: Indar grabitatorioa

Tresna matematikoak

Biderkadura bektoriala

Bi bektoreren (demagun A eta B) arteko biderkadura bektore gisa adierazten da C = A x B. Azken horren modulua A eta Bbektoreek sortzen duten paralelogramoaren azaleraren berdina izango da (1.10 irudia), eta norabidea A eta B bektoreekosatzen duten planoarekiko perpendikularra. C bektorearen noranzkoa kalkulatzeko, eskuineko eskuaren legea erabilikodugu (1.11 irudia): A-k B-rekiko bira egiten du bien arteko angelu txikiena eginez. Bi bektoreen arteko angelua � bada eta nhaiekiko perpendikularra eta C-ren noranzkoa duen bektore unitarioa bada, A eta B-ren arteko biderkadura bektoriala honakohau izango da:

C = A x B

B

A

C = A x B

B

A

Ø

A x B = AB sin φ n

A eta B paraleloak baldin badira, A x B nulua izango da. Biderkadura bektorialaren definiziotik honako hau ondoriozta daiteke A x A = 0 eta A x B = -B x A

Biderkaduran garrantzi handikoa da bektoreen ordena. Bi bektoreen arteko biderkaduraren ezaugarri garrantzitsuenakhonako hauek dira:

• 1. Biderkadura bektorialak batuketaren banatze-legea betetzen du:

A x (B + C) = (A x B) + (A x C)

• 2. A eta B t moduko aldagai baten funtzioak badira, A · B-ren deribatua bider-kaduren deribatuen lege normaletik lortzen da.

• 3. i, j eta k bektore unitarioek (1.12 irudia), perpendikularrak izanik beren artean,honako hau betetzen dute:

i x j = k, j x k = i, k x i = j

Gainera

i x i = j x j = k x k = 0

1.10 irudia. A eta B bektoreen biderketa C bektorea da. 1.11 irudia. Norabidea eskuin eskuaren arauak ematen du.

y

y

j

i

x

k

1.12 irudia. Bektore unitarioak.

→ → →

→ → →

→ → → →

→ → → → → →

→ → → →

→ → → → → →

→ → → → → → → → →

→ → → → → →

→ → →

→ →

→ → →

→ → → →

→ →

^

^

^

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 14

15

1. gaia: Indar grabitatorioa

Momentu angeluarraren kontserbazioa

Sistema baten gainean eragiten duen kanpo-momentu erresultantea nulua bada,

Hau da,Lsist = konstantea

Ekuazio hori momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioaren enuntziatua da.

Sistema bati eragiten dion kanpo-momentu erresultantea nulua bada, sistemaren mo-mentu angeluar totala konstantea izango da.

Printzipio hori momentu linealaren kontserbazio-printzipioaren baliokidea da. Sistemabat bere ingurutik isolaturik badago eta, ondorioz, kanpoko indar edo momentuek siste-man eragiten ez badute, hiru magnitude hauei eutsiko zaie: energia, momentu linealaeta momentu angeluarra. Momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa naturarenoinarrizko legea da. Eskala mikroskopikoan, Fisika atomiko eta nuklearrean, mekanikanewtondarra betetzen ez bada ere, sistema isolatu baten momentu angeluarra konstantemantenduko da denboran zehar.

Indar zentral oro da aipatutakoaren adibide garbia. Kasu horretan, posizio bektorea etaabiadura bektorea perpendikularrak izango dira: r ⊥ v

d Lsist

dt= 0

rhrb

1.3 adibidea

Jone, institutu bateko ikaslea, 2 metroko erradioa duen zaldiko-maldiko batenertzean dabil biraka, jolasean. Jonek 60 Kg-ko pisua du. Une jakin batean,pauso bat eman du biraketa-ardatzerantz, eta zentrotik metro batera geldituda. Momentu angeluarraren kontserbazioa dela-eta handitu egin du abiaduraangeluarra. Hasieran abiadura angeluarra wh = 0,2 rad/s-koa zela kontuanhartuta, kalkulatu zenbatekoa izango den abiadura hori bukaeran.

Erantzuna:

Kalkulua egiteko, Joneren momentu angeluarra baino ez dugu kontuan edukiko; hori ez da oso hurbilpen ona, baina balia-garria izango da estimazio bat egiteko.

Lehenengo, Joneren hasierako momentu angeluarra hasierako abiadura angeluarrarekiko kalkulatuko dugu w0. Horretarako,momentu angeluarraren ekuazioan abiadura angeluarra eta abiadura lineala mugimendu zirkularrean erlazionatzen duenekuazioa ordezkatuko dugu:

Lh = rh x ph = rh m vh sin φ = rh m (rh wh) = m rh2 wh

Amaierako momentu angeluarrarentzat ekuazio berdina du, baina amaierako erradioarekin eta abiadura angeluarrarekin:

Lb = rb x pb = rb mvb sin φ = rb m (rb wb) = m rb 2 wb

Sistema horretan momentu angeluarra kontserbatzen denez, berdinak izango dira hasierakoa eta bukaerakoa:

Lh = Lb fi m rh2 wh = m rb

2 wb fi wb = � w1 = = 0,2 rad/s = 0,8 rad/s

R

2

( ) 2 m1 m

2

( )

→ →

→ → →

→ → →

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 15

4Kepler-en bigarren legea eta momentu angeluarra

Kepler-ek frogatu zuenez, objektu bat (planeta edo kometa bat, adibidez) 1/r2-ren men-dekoa den indar baten eraginez zentro baten inguruan mugitzen denean (Eguzkia, esa-terako), objektuaren ibilbidea sekzio koniko (elipse, parabola edo hiperbola) bat dela.

8. Galdera: Noiz izango dira orbitak itxiak?

9. Galdera: Nola kalkulatu daiteke azalera?

10. Galdera: Zenbateko balioa du Eguzkiarekiko momentu angeluarrak?

Eguzkitik gertu behin baino igarotzen ez diren objektuek sortzen dituzte ibilbide para-boliko edo hiperbolikoak. Orbita horiek ez dira itxiak. Elipseak dira gisako indar-eremuaduten orbita itxi bakarrak. Eguzkiak planeta baten gainean eragiten duen indarra Eguz-kiaren noranzkoan dagoela da Kepler-en bigarren legearen arrazoia. Indar zentrala dahori. Eguzkiaren inguruan orbita eliptikoan higitzen den planeta bat ikus daiteke irudian(1.13 irudia). Planetak distantzia bat egiten du denbora-tartean, eta irudian adierazitakoazalera hartzen du erradio bektoreak.

Eguzkia

Eguzkia

Peritelio

Afelio

r

Planeta

(a)

(b)

m

v dt

vp

va

ra

rp

1.13 irudia. Eguzkiaren inguruan orbita eliptikoanmugitzen den planeta bat.

r eta v dt bektoreek sortzen duten paralelogramoaren azaleraren erdia izango da aza-lera, hau da: | r x vdt |. Ondorioz, honako hau da dt denbora-tartean r erradio bektoreakekortutako dA azalera

hau da,

non L = | r x mv | planetak Eguzkiarekiko duen momentu angeluarraren modulua den.Denbora-tarte jakin batean ekortutako azalera, dt, L momentu angeluarrarekiko pro-portzionala izango da ondorioz.

12

dA = = 12m

| r x vdt | | r x mv | dt

dAdt

L2m

=

Eguzkiarekiko momentua nulua izango da, planetan eragiten duen indarra planeta etaEguzkia lotzen dituen lerroan zuzendurik dagoelako. Ondorioz, planetaren momentuangeluarra kontserbatu egingo da, hau da, L konstantea da eta denbora-tarte jakin ba-tean ekortutako azalera berdina izango da orbitaren zati guztietan (Kepler-en bigarrenlegea). Era horretara, L konstantea delako, gauza jakina da rv sin φ ere konstanteaizango dela. Bai perihelioan bai afelioan φ = 90º, eta beraz rava = rp vp

→ → → →

→ → → →

1. gaia: Indar grabitatorioa16

→ →

→→ →

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 16

Newton-en grabitazio unibertsalaren legeak berdin eragiten diela bi gorputz horiei.

Denok entzun izan dugu inoiz Newton-ek sagar bat erortzen ikusi zuenean pentsatuzuela lehen aldiz grabitatean. Istorio hori ez dago errealitatetik oso urrun. Sagarra era-karpenaren ondorioz erortzen bazen, zergatik ez luke Ilargiak erakarpen hori jasanbehar? Lurrak Ilargiarengan (eta Eguzkiak planetengan) eragindako erakarpen-indarra,Lurrak sagarrarengan eragindakoaren berdina dela ondorioztatu zuen Newton-ek. Hitzgutxitan esanda, unibertsoko objektu guztien arteko erakarpen-indarra da grabitazioa!Gaur egun esaldi hori deigarria egiten ez zaigun arren, Newton-en aurretik inork ezzuen sekula pentsatu Lurreko objektuen eta unibertsokoen artean inolako loturarik egonzitekeenik.

Newton-ek grabitatearen indarra distantziarekin txikituz doala ere ondorioztatu zuen.Grabitatearen inguruko bi ideia horiek –unibertsala dela eta distantziarekin txikitu egitendela– dira Newton-en grabitatearen legearen oinarria.

Newton-ek unibertsoko objektu guztiek beste edozein objektu erakartzen dutela pro-posatu zuen. Erakarpen-indar horrek ezaugarri hauek betetzen ditu:

Indarra objektuen arteko distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala da.

Indarra bi objektuen masen biderkaduraren zuzenki proportzionala da.

1.14 irudiak r distantziara bereizitako m1 eta m2 masa esferikoak irudikatzen ditu. Masabakoitzak erakarpen-indar bat eragiten du bestearengan, indar grabitazionala hainzuzen. Bi indar horiek, akzio/erreakzio bikotea eratzen dute, beraz; F1,2 eta F2,1 indarrek

1.4 adibidea

Badakigu Lurrak orbita eliptiko bat osatzen duela Eguzkiaren inguruan bira egitean. Punturik gertuenean 147.5 · 106 km-rabadago eta punturik urrunenean 152.6 · 106 km-ra, zenbatekoa izango da bi puntu horien arteko abiaduren erlazioa?

Erantzuna:

1. Badakigu, Kepler-en bigarren legeak dioen moduan, momentu angeluarra kontserbatu egiten dela.

L = m1 v1 · r1 = m2 v2 · r22. Jakinda zer distantziatara dagoen Lurra Eguzkitik hurbilen pasatzen den puntua eta urrunen pasatzen den puntua, eta

masa berdina dela kontuan hartuz, datuak txertatzea baino ez zaigu falta.

3. v2/v1 = r1/r2= 147.5/152.6 = 0,967, hau da, Lurraren abiadura punturik hurbilenean baino %3.3 aldiz azkarragoa da pun-turik urrunean.

5Newton-en Grabitazio Unibertsalaren Legea

11. Galdera: Zer ote dute komunean pilota baten erorketak eta Ilargiaren higidurak?

1.14 irudia. Grabitate-indarrak masen artean.

r

m1

m2

F1,2

F2,1

r(UA) r(m) F(N)

0.5 UA 7,50 · 1010 1,41 · 1023

1 UA 1,50 · 1011 3,52 · 1022

2 UA 3,00 · 1011 8,81 · 1021

3 UA 4,50 · 1011 3,91 · 1021

4 UA 6,00 · 1011 2,20 · 1021

5 UA 7,50 · 1011 1,41 · 1021

1.2 taula. Grabitate-indarra Lurraren antzekoplanetentzat, hainbat distantziatara.

1. gaia: Indar grabitatorioa17

→ →

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 17

balio bera baina kontrako noranzkoak izango dituzte. Indarren balioa Newton-en gra-bitazio unibertsalaren legeak emango digu.

Newton-en grabitazio unibertsalaren legea. m1 eta m2 masako bi objektu r distan-tziara badaude, objektuek erakarpen-indar bat eragiten dute batak bestearengan:

Indarren norabidea bi objektuak batzen dituen zuzenaren norabide bera da. G grabita-zio-konstantea da. Honako balio hau du nazioarteko unitate-sisteman:

G = 6,67 · 10-11 N · m2 / kg2

Objektuen arteko r distantzia handitu ahala txikitzen da haien arteko grabitazio-indarra.Haien arteko distantzia biderkatuz gero, indarra lau aldiz txikiagoa izango da. Ekuaziomatematiko horrek duen garrantzia ikusita, garrantzizkoa iruditzen zaigu sakonago aztertzea.

18

1. gaia: Indar grabitatorioa

mlurrarekiko

(mL)

masa(kg)

F(N)

mL*0.5 2,99 · 1024 1,76 · 1022

mL 5,97 · 1024 3,52 · 1022

mL*2 1,19 · 1025 7,04 · 1022

mL*3 1,79 · 1025 1,06 · 1023

mL*4 2,39 · 1025 1,41 · 1023

mL*5 2,99 · 1025 1,76 · 1023

1.3 taula. Grabitate-indarra Lurraren antzekoplanetentzat distantzia berean baina masagehiagorekin.

|F1,2|=m1m2

r 2|F2,1| = G

Tresna matematikoak

Karratuaren alderantzizko erlazioa

Bi balioak karratuaren alderantzizko erlazioa izango dute, baldin eta y-ren balioa x-ren karratuaren alderantziz proportzionala bada. Honela adierazten dugu erlazio ma-tematikoa:

x bikoiztuz gero, y 4 aldiz txikituko da, grafikoan ikus daitekeen moduan.

X 3 aldiz txikiagoa eginez gero, y 9 aldiz handituko da.

x hirukoiztuz gero, y 9 aldiz txikituko da.

Orokorrean: x C aldiz txikitzean y C2 aldiz handituko da (1.15 irudia).

Ax 2

y =

1.15 irudia. Karratuen alderantzizko erlaziomatematikoa.

0 1 2 3 4

x

y

A

A

A

x 2y =

1

4

Indar grabitatorio bat dago unibertsoko objektu guztien artean, baina tamaina arruntekobi objekturen arteko erakarpen grabitatorioa oso txikia da, eta, ondorioz, ez da nabariaizango. Bi objektuetako bat (edo biak) bereziki handia denean baino ez da handia izangograbitazio-indarra. Lurrak zugan egiten duen indarra –zure pisua– handia da, Lurrarenmasa oso handia delako. Baina erakarpena bi norabidetan gertatzen da; Newton-en hi-rugarren legeak dioen moduan, Lurrarengan eragiten duzun indarra zure pisuaren ber-dina da. Dena dela, Lurraren masa handia dela-eta, arbuiagarria da indar hori.

Esan bezala, Lurraren eta zure gorputzaren arteko erakarpen-indarra da zure pisuarenerantzule. Beste planeta batera bidaiatuko bazenu, zure masa berdina izango litzatekebaina zure pisua aldatu egingo litzateke.

→ →

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 18

19

1. gaia: Indar grabitatorioa

1.5 adibidea. Bi pertsonen arteko erakarpen grabitatorioa

Fisikako zure gelan eserita zaude, zure ikaskide batetik 0.6 metrora. Estimatu zuen arteko erakarpen grabitatorioarenindarra, 65 kg-ko masa duzuela pentsatuta.

Erantzuna:

Masa guztia puntu batean baldin badago, hori ez da oso hurbilpen ona, baina baliagarria izango da estimazio bat lortzeko.0,6 m izango da bi puntu horien arteko distantzia.

1.13. ekuazioa erabiliko dugu. Datuak ordezkatuz:

Indar hori oso txika da. Gutxi gorabehera ile baten pisua.

Gmzumbeste ikaslea

r2F(zu) (beste ikaslea) = = = 7,8 · 10-7 N

(6,67 · 10-11 N · m2 / kg2) (65 kg) (65 kg)(0,60 m)2( )

Orbita zirkularren kasuan, Newton-en grabitazio unibertsalaren legeak Kepler-en hiru-garren legea dakar. Hori frogatzeko, demagun Eguzkiaren inguruan r erradiodun orbitazirkularrean v abiaduraz higitzen den planeta bat dugula. Eguzkiaren eta planetaren ar-teko erakarpen-indar grabitatorioak v2/r baliodun azelerazio zentripetua eragiten du.Newton-en bigarren legearen arabera, F = Mpa norabide berdinean daudenez moduluak

non Me Eguzkiaren masa eta Mp planetaren masa diren. v2 bakantzen badugu, honakohau dugu:

6Kepler-en hirugarren legea eta grabitazio unibertsalaren legea

G Me Mp

r2v2

r= Mp

GMe

rv2 =

→ →

jarriko ditugu:

1.6 adibidea. Grabitazio-indarraren aldaketa

Bi bola handiren arteko erakarpen-indar grabitatorioa 0.010 N-koa da 20 metrora daudenean, beraien zentroetatik neur-tuta. Zenbatekoa da beraien zentroen arteko distantzia erakarpen grabitatorioa 0.160 N-koa denean?

Erantzuna:

Problema hori bi bolen masa jakin gabe ebatz dezakegu. Horretarako, indarren eta distantzien arteko zatidura hartu behar dugukontuan. Indar grabitatorioak distantziaren karratuaren alderantzizko proportzionaltasuna du. Indarra (0,160N) / (0,010N) = 16aldiz handiagoa egiten da. Beraz, distantzia 16 = 4 aldiz txikiagoa egin behar da. Distantzia berria orduan 20 m / 4 = 5,0 m.

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 19

Planetak 2π distantzia T denboran egiten duenez, haren abiadura periodoarekin erla-zionaturik egongo da:

Aurreko ekuazioan lortutakoa ordezkatuz, honako hau lortzen da:

Hau da;

Eguzkiaren Me masa planetaren masarekin ordezkatzen badugu, edozein planetarensateliteen orbitentzat ere baliagarria da ekuazio hau.

20

1. gaia: Indar grabitatorioa

1.7 adibidea. Satelite geoestazionario bat kokatzen

Komunikazio-sateliteak Lurreko puntu berdinaren gainean daude beti. Era horretako sateliteei geoestazionarioak esatenzaie. Zenbatekoa izan behar du bere orbitaren erradioak beti Lurreko puntu beraren gainean egon ahal izateko?

Erantzuna:

Satelitea beti Lurreko puntu berdinaren gainean egoteko, bere periodoak Lurraren periodoaren berdina izan behar du, hauda, 24 ordukoa. Segundotan T = 8,64 · 104 s.

Satelitearen orbitaren erradioa 1.19 ekuazioaren bitartez kalkula dezakegu:

Hori oso orbita handia da, Lurraren erradioaren halako 7!

2πrT

v=

4π2 r2

T2

Me

rv2 = = G

4π2

GMe

T2= r3

15. irudia. ZTG adibidea. NOAA-19 satelitegeoestazionarioak jasotako bi datu multzoerabilita, landaretzak duen garapenaaztertzen du irudiak. Satelitegeoestazionarioak oso erabiliak diraeguraldia aztertzeko, eta baitatelekomunikazioetan ere. Altuerakdeterminatzen du bere funtzioa, eta EEUUgobernuak ematen ditu baimenak.

GMeT2

4π2( ) (6,67 · 10-11 N · m2 / Kg2) (5,98 · 1024 Kg) (8,64 · 104 s)2

4π2( )1

3

1

3r = = = 4,22 · 107 m

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 20

21

1. gaia: Indar grabitatorioa

7Grabitatea beste planeta batzuetan

1.16 irudia. Astronauta bat masa neurtzen Ilargian.

mF = mg

m

Milargia

Rilargia

Rilargia

Milargia

GMilargiam

R2ilargia

Objektuen erorketari buruz Ilargian egindako esperimentuetan, gIlargia-k 1,62 m/s2 balioa

duela lortu da.

Dena dela, harriaren pisua Ilargiaren grabitazio-erakarpenaren eraginez sortzen delakontuan hartzen badugu eta RIlargia Ilargiaren erradioa dela, beste ekuazio hau ere erabildezakegu:

Azken bi ekuazio horiek indar berdina adierazten dute, eta, ondorioz, biak berdindu di-tzakegu honako hau aurkitzeko:

Kalkulua Ilargian dagoen objektu batentzat egin dugun arren, emaitza guztiz orokorraizango da. Planeta edo izar baten azalean, era honetara kalkula daiteke erorketa askekog azelerazioa, grabitateak eragiten duena:

Ilargiaren kasu zehatzerako lortu dugun gilargia = 1,62 m/s2 baliora itzulita, objektu batekIlargian Lurrean baino gutxiago pisatuko duela ondoriozta dezakegu.

Ilargiko grabitate txikia dela-eta oso erraza da bertan oinez ibiltzea, baina urrats geldoez.

Aurreko ekuazioak planeta baten azaleko g-ren balioa ematen digu. Era orokorragoan,demagun objektu bat dugula planetaren zentrotik r > R distantziara. Distantzia horretanobjektuak izango duen erorketa askeko azelerazioa honako hau izango da:

GMIlargiamR2

Ilargia

FIlargiak masan =

GMIlargia

R2Ilargia

gIlargia =

GMplaneta

R2planeta

gplaneta =

GMr2

g=

Astronautak Ilargira iritsi zirenean, oinez eta jauziak emanez ibili ziren satelitearen gai-nean, haien jantziek 80 kg-ko masa baino handiagoa izan arren. Objektuek Ilargian gu-txiago pisatzen dutela gogorarazi zigun horrek. Baina zergatik gertatzen ote da hori?

1.16 irudiak Ilargian mmasadun harri baten pisua neurtzen ari den astronauta bat era-kusten digu. Lurraren gainean objektu batek duen pisua kalkulatzen dugunean w = mgformula erabiltzen dugu. Kalkulu bera egin dezakegu Ilargian dagoen masa batekin,irudietan ikusten den bezala g -k Ilargian duen balioa erabiltzen baldin badugu, noski.Norabide bakarra dagoenez moduluak landuko ditugu:

w = mgIlargia

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 21

1.8 adibidea. Grabitatea Saturnon

Saturno planetak Lurrak baino 100 aldiz masa handiagoa du, 5,68 · 1026 kg. Erradioa ere Lurraren erradioa baino askozere handiagoa da 5,85 · 107 m. Zein da g-ren balioa Saturnoren azalean?

Erantzuna:

Ondorengo ekuazioaren bitartez, gSaturno kalkula daiteke:

Saturnok Lurra baino askoz masa handiagoa du, baina erradioa ere askoz handiagoa denez, Saturnoren grabitatea Lurrare-naren nahiko antzekoa da.

GMSaturno

RSaturno2

(6,67 · 10-11 N · m2 / Kg2) (5,68 · 1026 Kg)(5,85 · 107 m)2( )gSaturno = = = 11,1 m/s2

Emaitza orokorrago horrek aurreko ekuazioarekin bat egiten du r = R denean, baina r > R distantziara egon daitezkeen erorketa askeko azelerazioak zehazteko aukeraematen digu. Azken ekuazioak Newton-en ideia adierazten du: g-k txikitu beharko lukeazaletik urruntzen garen heinean.

Hegazkinean 10 km-ko altueran joanez gero, erorketa askeko azelerazioa Lurrekoabaino % 0,3 txikiagoa da. Transbordadore espazial bat aurki daitekeen altueran, hauda, gutxi gorabehera 300 km-ko altueran, ekuaziori jarraituz g = 8,9 m/s2-ko azelerazioaizango dugu; Lurraren azaleko erorketa askeko azelerazioa baino % 10 txikiagoa daia-ia. Balio hori satelitearen orbitaren periodoa kalkulatzeko erabiltzen badugu, 90 mi-nutuko periodoa duela lortuko dugu. g-ren balio horrek, lurrazalean lortzen dena bainozertxobait txikiagoa denak, adierazten du orbitan dagoen objektua ez dela “grabitaterikgabea”; grabitatea egon badago espazioan, baina objektua (satelitea, esaterako) eror-keta askean dago.

1. gaia: Indar grabitatorioa22

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 22

Ariketak

1. NASAko zientzialariek Eguzkiaren inguruan orbita oso eliptikoa duenkometa berri bat aurkitu dute, eta kometaren periodoa 127,4 urtekoa da.Eguzkitik dagoen distantziarik hurbilena 0,1 UA dela jakinik, zein izandaiteke kometa Eguzkitik urrunen egon daitekeen distantzia?

2. Zein izango da Uranoren periodoa Eguzkiaren inguruan 2,87 · 1012 m or-bitan mugitzen bada, baldin eta Lurraren periodoa urtebetekoa bada etaLurraren orbita 1,496 · 1011 m-koa?

3. Duela gutxi asteroide berri bat aurkitu dute Europar Agentzia Espaziale-koek, eta Hector izena jarri diote. Asteroide hori 5,16 UA erradioa duenorbita ia zirkularrean higitzen da Eguzkiaren inguruan, zein izango da,bada, orbita bat egiteko behar duen denbora?

4. Ilargiaren orbita Lurraren inguruan 27,3 egunekoa da. Bere orbitaren apo-geoan 406.395 km-ko distantzian badago eta perigeoan 357.643 km-kodistantzian, zer abiadura izango du Ilargiak puntu bakoitzean?

5. “Europa”, bizi garen kontinentea izendatzeko erabiltzeaz gainera, Jupite-rren inguruan dabilen satelite bat da. Bere orbitaren batez besteko distan-tzia 6,71 · 108 m dela eta bira bakoitza emateko 3,55 egun behar dituelajakinda, kalkulatu al dezakegu Jupiterren pisua? Zein da?

6. Askotan entzun da astronautak espazioan daudenean grabitateak ez duelaeraginik haiengan. Esaera horiek gezurra ala egia dira? Kalkulatu zer indareragingo dien Lurrak lurrazaletik 400 km-ra dagoen espazio-ontziko as-tronautei. Orduan, zergatik izango dute sentipen hori?

7. Lurraren periodoa (1 urte) eta Eguzkiaren inguruan egiten duen orbitarenbatez besteko distantzia (1,496 · 1011 m) eta G-ren balioa jakinda, esanzein den Eguzkiaren masa.

8. Urrutiko galaxia bateko M-545 planeta momentu angeluar konstantez mu-gitzen da S-24 izar handiaren inguruan. Planeta periheliotik pasatzean,Eguzkitik 1,0 · 1015 m-ra, 5 · 104 m/s-ko abiadura darama. Zein izango daplaneta horren abiadura afelioan, baldin eta 2,2 · 1015 m distantziara ba-dago S-24 Eguzkitik?

1. gaia: Indar grabitatorioa23

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 23

9. Estazio Espazial Internazionalak (ISS) 280.000 kg masa du eta Lurrareninguruan orbita zirkularra deskribatzen du, lurrazaletik bataz besteko 360km-ko altueran. Goi-atmosferarekin duen marruskadura dela-eta, altueragaltzen du etengabe; eta, ondorioz, zuzenketak egin behar zaizkio aldiro.Demagun arrazoi horregatik estazioa 340 km-ko altuerara jaitsi dela, kal-kulatu:

a) Abiadura orbitalak 340 km eta 360 km altueran dagoela.

b) Beharrezko energia estazioa orbitarik altuenera eramateko.

c) Zein da periodoak jasango duen aldaketa orbita bakoitza kontuanizanda?

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MLurra

= 5,99 · 1024 kg; RL = 6,37 · 106 m.

10. Martek Eguzkiaren inguruan deskribatzen duen orbitaren batez bestekodistantzia Lurrak deskribatzen duena baino 1,52 aldiz handiagoa da. Or-bita zirkularrak direla dioen hurbilpena ontzat hartuta, kalkulatu Marten“urte” batek zenbat iraungo lukeen. Kalkulatu Marteren eta Lurrarenmomentu angeluarren koefizienteak Eguzkiaren erdigunearekiko.

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MLurra

= 5,97 · 1024 kg; M

Lurra= 6,42 · 1023 kg; Lurrean urtea ≈ 365 egun

11. Europako Agentzia Espazialak lan bat eskaini dizu. Martera satelite geoestazionarioak (puntu baten gainean geldirik daudenak) bidali nahi ditu.

a) Zer ezaugarri izan behar du satelitearen orbitak?

b) Marteren azaletik zer distantziara egongo dira?

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MMarte

= 6,41 · 1023 kg; Errotazio-denbora = 24 h 37 min 23 s; Marteren erradioa = 3 388 km.

12. Lurraren inguruan orbita zirkular bat duen 500 kg-ko masako sateliteartifizial batek 48 ordu behar ditu Lurraren inguruan bira bat emateko.Kalkulatu:

a) Lurrazaletik zer altuerara dago?

b) Zein da satelitearen azelerazioa orbita horretan?

c) Zein izango da satelite horren periodoa Lurrazaletik Lurraren erra-dioaren distantzia bikoitzera jartzen baditugu?

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MLurra

= 5,97 · 1024 kg; RLurra

= 6 370 km

24

1. gaia: Indar grabitatorioa

Ariketak

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 24

25

1. gaia: Indar grabitatorioa

13. Eguzkiaren erdialdetik azalera dagoen distantzia: a) Zein izango da Eguzkiaren azalean egongo den azelerazioa?

b) Zein izango da, gutxi gorabehera, Eguzkiak eta Lurrak Ilargiaren gai-nean egingo duten indarren koefizientea. Aukeratu erantzun bat etaarrazoitu erantzuna.

a. 4000

b. 2

c. 106

d. 10-6

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MLurra

= 6 · 1024 kg;M

Ilargia=7 · 1022 kg; M

Eguzkia = 2 · 1030 kg;

REguzkia-lurra

= 1,5 · 108 km; RLurra-ilargia

= 4 ·105 km

14. M = 3 · 1024 kg masa duen planeta batek bera baino 16 aldiz masa txi-kiagoa eta 250.000 km erradioa duen orbita zirkularra egiten duen sate-lite bat du.

a) Kalkulatu satelitearen abiadura orbitala.

b) Kalkulatu planetaren erdigunea eta satelitearen erdigunea lotzen duensegmentuaren zer puntutan izango den grabitatearen azelerazioanulua.

c) Puntu horretan espazio-ontzi bat jartzen badugu eta perturbazio batenondorioz planetarantz erorketa librean hasten bada, zein izango daplanetaren azalean izango duen abiadura?

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; planetaren erradioa: 5.000 km

FISIKA_ikaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 29/07/15 10:23 Página 25