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Hacia la búsqueda de contextossigni�cativos para la

enseñanza-aprendizaje de la ley de lossignos

Germán Darío Avendaño Ramírez

Universidad Nacional de Colombia

Ciencias, Matemáticas

Bogotá, Colombia

2011

Hacia la búsqueda de contextossigni�cativos para la

enseñanza-aprendizaje de la ley de lossignos

Germán Darío Avendaño Ramírez

Tesis o trabajo de grado presentada(o) como requisito parcial para optar al título de:

Magister en enseñanza de las ciencias exactas y naturales

Directora:

Martha Cecilia Moreno Penagos

Línea de Investigación:

Educación matemática

Universidad Nacional de Colombia

Ciencias, Matemáticas

Bogotá, Colombia

2011

Dedicatoria

A Mis padres que fueron constante apoyo

durante estos dos años de estudio, a mi hija

Laurita por ser fuente de inspiración y a mi

compañera inseparable Nanita.

Agradecimientos

El autor expresa sus agradecimientos a todos aquellos que de una u otra forma han co-laborado, contribuído o aportado en el desarrollo de este trabajo; a la profesora MyriamAcevedo quien alguna vez propuso el tema y a la profesora Martha Cecilia Moreno Penagospor su constante apoyo y revisiones

ix

Resumen

Este trabajo de postgrado se realizó con el objetivo de construir una propuesta didácticaque permitiera poner en contexto y dar signi�cado a la ley de los signos en la multiplicaciónde números enteros, para ser aplicada en estudiantes de grado séptimo de educación básicasecundaria. Para lograr este objetivo se profundizaron en el capítulo 2 los aspectos históricosrelativos a la aparición de los números enteros, su aceptación e integración en la categoríade los sistemas numéricos. Así mismo, se estudiaron aspectos disciplinares concernientes a laconstrucción de los números enteros y sus operaciones en el capítulo 3 y a las justi�cacionesmás relevantes desde el punto de vista formal y pedagógico de la regla de los signos en elcapítulo 4. Posteriormente, en el capítulo 5 se presenta una propuesta didáctica que pretenderemediar en parte la di�cultad que representa el paso del estudio de la matemática práctica,de la que se hace uso cotidianamente, al estudio de la matemática formal necesaria en elabordaje de los números enteros.

Palabras clave: (aritmética, educación matemática, matemáticas, teoría de números,

números enteros, aprehensión).

Abstract

This post-graduate work was made with the aim of building an educational proposal thatwould put into context and give meaning to the law of the signs in the multiplication ofintegers, to be applied in seventh grade of basic secondary education. To achieve this objec-tive the historical aspects regarding the emergence of integer numbers, their acceptance andintegration into the category of number systems were studied in a deeper way in Chapter 2.Likewise, disciplinary issues concerning to the construction of the integers and its operationswere studied in Chapter 3. The relevant justi�cations from the formal and pedagogic pointof view of the rule of signs were stated in Chapter 4. Finally, in Chapter 5 was presenteda teaching proposal that seeks to solve partly the di�culty in passing from the practicalmathematics study, which is used daily, into the study of formal mathematics needed indealing with integer numbers.

Keywords: arithmetic, maths, math's education, number theory, integer numbers, appre-

hension

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen IX

1. Introducción 3

2. Historia del origen y desarrollo de los números enteros negativos 5

Etapa 1: Aparición y posterior reducción a la clandestinidad . . . . . . . . . . . . 5Etapa 2: Reaparición de los negativos. Su aceptación como arti�cios de cálculo . . 6Etapa 3: Intentos fallidos para su legitimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Etapa 4: Legitimación e integración de los negativos en la jerarquía de los sistemas

numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Números enteros 11

3.1. Acceso a Z por métodos informales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.1. Números enteros como operadores sobre segmentos orientados . . . . 113.1.2. Enteros negativos como opuestos de los naturales . . . . . . . . . . . 20

3.2. Construcción formal de ZNúmeros enteros como clases de equivalencia del conjunto cociente N× N/ ∼ 243.2.1. Operaciones de�nidas en N× N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. Algunas justi�caciones de la ley de los signos 31

4.1. Breve historia de algunas justi�caciones de la regla de los signos . . . . . . . 314.2. Veri�cación de la regla de los signos usando rectas paralelas sobre el plano

cartesiano [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3. Justi�cación de la regla de los signos mediante el uso de la composición de

operadores sobre segmentos dirigidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4. Justi�cación de la regla de los signos usando propiedades algebraicas . . . . 374.5. Justi�cación de la ley de los signos en el marco de la teoría de los pares ordenados 37

5. Propuesta didáctica 39

5.1. Taller 4 - Regla de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Contenido 1

6. Conclusiones y recomendaciones 47

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A. Anexo: Relación de equivalencia, clases de equivalencia y conjunto cociente 49

A.1. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A.2.1. Propiedades de las relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.2.2. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.2.3. Relación de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.3. Partición de un conjunto en clases de equivalencia mediante una relación . . 51A.4. Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

B. Anexo: Talleres y evaluaciones 53

B.1. Taller 1: Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53B.1.1. OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53B.1.2. Evaluación del taller 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55B.1.3. Análisis de resultados - Taller 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

B.2. Taller 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58B.2.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58B.2.2. Evaluación del taller 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64B.2.3. Análisis de resultados - taller 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

B.3. Taller 3: Refuerzo sobre talleres 1 y 2 e introducción a la multiplicación deenteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65B.3.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65B.3.2. Análisis de resultados - Taller 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Bibliografía 69

1. Introducción

Este trabajo surge a raíz de la lectura que se hiciera del artículo de Bernardo Gómez �La jus-ti�cación de la regla de los signos en los libros de texto: ¾Por qué menos por menos es más? �en el seminario de trabajo de grado, dirigido por la profesora Myriam Acevedo. A partir deese momento, se emprende la tarea de consultar cómo evolucionó el concepto de númeroentero a través de las diferentes culturas, desde los indios 1 hasta nuestros días tomandocomo base los libros Números enteros de editorial Síntesis e Historia de las matemáticas deE. T. Bell.

Después de esta pequeña revisión histórica se evidencia que el desarrollo del concepto denúmero entero tardó más de un milenio en ser completamente asimilado e integrado al cam-po del saber matemático y esto estuvo directamente relacionado con la di�cultad que tuvo lahumanidad de pasar de la matemática práctica, la de uso cotidiano, a la matemática formalrequerida para asimilar y entender los números enteros. Hasta que el ser humano no se des-pojó de ese �espíritu concreto� que gobernó durante mucho tiempo el quehacer matemáticoy cientí�co no se pudo avanzar en el desarrollo, aceptación y legitimación de los númerosenteros. Hubo que dar un paso más allá de lo puramente concreto y aceptar que los númerosenteros como muchas de las teorías matemáticas son construcciones humanas que a vecespoco o nada tienen que ver con la realidad, pero que en determinado momento nos sirvenpara entenderla, para que se superaran las di�cultades y �nalmente se les diera a los númerosenteros la estructura formal y se consideraran dentro del estatus de los sistemas numéricos.

Si el surgimiento, aceptación y posterior legitimación de los números enteros devino proble-mático, no es de extrañar que su enseñanza-aprendizaje sea problemática también. Habi-tualmente en la enseñanza de la matemática elemental, el maestro se encuentra con escasoselementos para introducir los números enteros y sus operaciones, en particular para intro-ducir y justi�car la regla de los signos. El paso de lo �concreto� representado por el manejode los números naturales y sus operaciones a lo �abstracto� relacionado con el manejo de losenteros y sus operaciones requiere de un proceso de transición que sea lo menos �traumático�posible. Para ello es indispensable paradójicamente partir de lo concreto, para gradualmenteavanzar hacia procesos que requieran mayores niveles de abstracción. Se necesita entonces,buscar entornos familiares, signi�cativos y problemáticos donde el estudiante pueda eviden-

1Gentilicio para habitantes de la India; debe diferenciarse del término �hindúes� que se re�ere a los practi-

cantes del hinduismo

4 1 Introducción

ciar la necesidad de operar con los números enteros y, con explicaciones lo su�cientementeconvincentes que permitan vislumbrar el sentido de éstos.

Para llevar a cabo lo que se propone, es necesario profundizar en los aspectos disciplinaresque permitieron consolidar los números enteros como sistema numérico. Por tanto en el capí-tulo 3 se profundiza en el análisis del concepto de número entero y su estructura revisandodiversas construcciones de los mismos; dos informales y una formal. Se estudian en detallela introducción de los números enteros como operadores sobre segmentos orientados y laconstrucción formal de los números enteros como clases generadas por una relación de equi-valencia de�nida sobre el conjunto N × N. Posteriormente en el capítulo 4 se presenta unabreve reseña histórica de las diversas justi�caciones de la regla de los signos dadas a travésde la historia de las matemáticas. Luego se estudian algunas justi�caciones de la misma reglaque se consideran relevantes tanto desde el punto de vista disciplinar como desde el puntode vista pedagógico.

Finalmente en el capítulo 5 se hace una propuesta didáctica que pretende contribuir en elproceso de transición del estudio de los números naturales al estudio de los números enterosmediante el uso de contextos familiares, cotidianos y signi�cativos para el estudiante quehagan este tránsito lo menos traumático de lo que inherentemente es. Se aclara que éstapropuesta aún está en etapa de implementación en estudiantes de grado 7◦ de la institucióneducativa distrital Arborizadora Baja jornada mañana (localidad 19, Ciudad Bolívar), portanto las conclusiones sobre su aplicación motivarán un trabajo futuro.

2. Historia del origen y desarrollo de

los números enteros negativos

Los números naturales y fraccionarios positivos al estar asociados a magnitudes desde suaparición, fueron fácilmente aceptados e integrados al saber matemático contrario a los en-teros negativos. Éstos tardaron más de mil años desde su aparición, para ser aceptados eincorporados al campo del saber matemático; su proceso de aceptación y legitimación estuvolleno de avances y retrocesos.

Según el libro Números enteros [5], la historia del desarrollo de los números enteros negativosse puede dividir en 4 etapas así:

Etapa 1: Aparición y posterior reducción a la

clandestinidad

Los griegos, debido a su propensión por la magnitud y la asociación del número con enti-dades geométricas fueron incapaces de concebir números negativos. El descubrimiento quehicieran de los números irracionales y su posterior rechazo, posiblemente fue la causa de supredilección por la geometría en detrimento de la aritmética y el álgebra. Ya en el períodoalejandrino que se inició hacia el año 300 a. c., los matemáticos griegos, in�uenciados por lacivilización egipcia y babilónica, desarrollaron una matemática orientada a resolver proble-mas prácticos. En este contexto se destaca Diofanto, quien plantea una regla para el productode diferencias (que en términos actuales se puede enunciar (a− b)(c−d) = ac−ad− bc+ bd),que puede ser considerada como el inicio de lo que después se denominaría la regla de lossignos. Esto no necesariamente quiere decir que Diofanto conociera y aceptara los númerosenteros negativos, ya que él en su regla se re�ere al producto de diferencias positivas exclu-sivamente (es decir a > b y c > d) y además él sólo consideró raíces positivas en la soluciónde ecuaciones.

Los matemáticos chinos al parecer consideraban números negativos y calculaban con ellosusando varillas rojas para representar los positivos y negras para representar los negativos.Es natural pensar que ellos tuvieran alguna idea del número negativo ya que en su cultura

6 2 Historia del origen y desarrollo de los números enteros negativos

se ha considerado el �ying�y el �yang�como expresión de la relación entre los opuestos;por ejemplo para expresar la oposición y complementariedad entre el día y la noche, etc.Pero realmente son los indios quienes introducen los números negativos como objetos aisla-dos, principalmente Brahmagupta, quien propone y explica algoritmos para efectuar sumas,restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces con lo que llamaba �losbienes�, �las deudas� y �la nada� es decir con lo que hoy llamamos los números positivos,negativos y el cero. Brahmagupta, no solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que losdotó de una aritmética concordante con la de los enteros. Tal vez lo que permite a los indiosconsiderar cantidades negativas se deba a su idiosincrasia, es decir a su despreocupación porel rigor y la fundamentación lógica, a la orientación predominante de buscar soluciones aproblemas de orden práctico; a su gusto por conjugar lo abstracto con lo poético, lo formalcon lo lúdico, como quedó plasmado en el juego de ajedrez.

En los árabes se destaca como matemático Al-Kwarizmi, del cual se sabe que murió hacia elaño 850 y fue quien escribió tratados sobre álgebra y aritmética. En el tratado de aritméticaexplica las reglas de cálculo de los indios y a él se debe el uso de la palabra algoritmo quehoy se usa para designar cualquier proceso operativo de resolución. Su obra tuvo gran in-�uencia posterior en la matemática europea de la edad media y comienzos del renacimiento.Sin embargo los árabes no logran avanzar en el desarrollo del concepto de número entero,sino que mas bien ignoran los números negativos heredados de los hindúes, tal vez por laidenti�cación que hacían del número con magnitud.

Durante la época medieval en Europa, predominantemente católica, se desechan los aportesde los �rivales�, los musulmanes y de los indios y Europa entra en una etapa de letargointelectual. Sin embargo el hijo de un comerciante que tuvo la oportunidad de viajar a Egip-to, Siria, Grecia y Sicilia y conocer la matemática árabe hace aportes a la matemática delmedioevo escribiendo su �Liber abaci�(libro del ábaco) que contrario a su título, expone enéste el sistema de numeración indio, explica los algoritmos de cálculo y desarrolla aplica-ciones comerciales. Se trata de Leonardo de Pisa, mas conocido como Fibonacci, quien alparecer considera los números negativos como deudas pero no logra avanzar mas allá en laaceptación del número negativo al desechar las soluciones negativas en las ecuaciones.

En conclusión, durante la civilizaciones griega y árabe y la poca medieval no se avanzó enreconocer los negativos dentro de la categoría de números después de que los indios los inven-taran, si no que mas bien hubo un retroceso y los números negativos estuvieron condenadosa la clandestinidad.

7

Etapa 2: Reaparición de los negativos. Su aceptación

como arti�cios de cálculo

Renacimiento

Con la invención y utilización de la imprenta, aunque se imprimieron muchos clásicos griegostraducidos, en el campo de la matemática se privilegió el trabajo de los matemáticos árabestal vez por resultar mas asequibles por su practicidad. En esta época se facilitó el accesoa los tratados de aritmética y álgebra árabes lo que inclinó la balanza hacia el desarrollodel álgebra durante el renacimiento. Es así que los negativos reaparecen en la solución demuchos problemas algebraicos así sea como simples arti�cios de cálculo.

Parece ser que en la obra Triparty del matemático francés Nicolás Chuquet (1445-1500)aparece por primera vez un número negativo aislado en una ecuación algebraica de la forma4x = −2 (según la notación actual ya que para la época no se utilizaban los símbolos alge-braicos �x�, �=� y �−� y a que el álgebra heredada de los árabes era principalmente retórica).

Los símbolos �+� y �−� fueron popularizados gracias a la obra del algebrista alemán MichaelStifel (1847-1567), titulada Aritmética Íntegra publicada en 1544. En esta obra su autor con-sidera los negativos como coe�cientes en las ecuaciones y opera con ellos, aunque los rechazacomo posibles raíces de una ecuación al considerarlos numeri absurdi

Posteriormente Giordano Cardano (1501-1576) en su obra �Ars magna�, no admite a losnegativos como coe�cientes en las ecuaciones algebraicas pero si admite las raíces negativasde ecuaciones cúbicas aunque cali�cándolas como �cticias. Aún François Viête (1540-1603),considerado el padre del álgebra simbólica por haber sido el primero en introducir símbolosliterales para los coe�cientes y las incógnitas, no admitió a los negativos ni como coe�cientesni como raíces. Por otro lado, el matemático S. Stevin (1548-1620) acepta los negativos comoraíces y como coe�cientes. Los utiliza como herramientas de cálculo lo que lo lleva a consid-erarlos como símbolos independientes en un cálculo numérico. Stevin admite la adición de unpositivo y un negativo en vez de considerarla como sustracción. También trató de justi�carla ley de los signos haciendo uso de la identidad algebraica (a− b)(c− d) = ac− bc− ad+ bd

a la que representaba mediante un rectángulo de lados a− b y c− d, pero, Stevin carece deinterpretación para los negativos y las raíces negativas de una ecuación.

En conclusión, durante el renacimiento los enteros negativos aparecen con fuerza aunque sonrechazados por muchos matemáticos de la época, algunos los utilizan en sus cálculos imperan-do el rechazo hacia ellos tal vez porque éstos no tienen asidero en las prácticas cotidianasde conteo y medición, sino que aparecen como arti�cios en la manipulación algebraica deecuaciones.


En el siglo XVII

Durante este periodo se puede decir que inicia la ciencia moderna con los trabajos de GalileoGalilei (1564-1642) y René Descartes (1596-1650) que posteriormente irá a permitir el de-sarrollo de la matemática en los campos del cálculo in�nitesimal, la teoría de números,el álgebra y por supuesto la geometría analítica, con lo que los números negativos apare-cen con mas fuerza y se amplía su uso aunque sigan siendo rechazados. En este periodoel matemático �amenco Albert Girard (1590-1639) reconoce la utilidad algebraica de ad-mitir raíces negativas porque ello permitía encontrar reglas. También el matemático JohnWallis (1616-1703), aceptó los negativos e hizo uso de ellos y llegó a dar reglas para oper-ar con potencias de exponentes negativos. Wallis llegó a concluir apresuradamente que losnegativos podían llegar a ser más grandes que el in�nito al considerar el cociente a/0 comoin�nito y luego sustituyendo 0 por un número b menor que cero que tendría que ser negativo.

Pero no todos los matemáticos de la época aceptan los enteros negativos y los usan, sino queun gran número de ellos los rechazan, como por ejemplo Descartes a�rma que no puedenhaber números menores que la nada. Sin embargo es en esta época que aparecen los primerosintentos de legitimación al asociar los números a la recta numérica. Descartes y Fermat quehabían empezado a trabajar con geometría analítica, no lograron apreciar la potencia dela misma porque no aceptaron los números negativos. Es Newton quien por primera vezpropone en su tratado Enumeratio linearum tertii ordinis en 1676 un sistema coordenadotal como lo conocemos hoy en día, al considerar los negativos como coordenadas de puntosopuestos a otros puntos con coordenadas positivas.

Etapa 3: Intentos fallidos para su legitimación

Durante el siglo XVIII, los matemáticos continúan pensando que su labor consiste en des-cifrar las verdades de la naturaleza escritas en lenguaje matemático. Al no comprenderque el conocimiento matemático es construído por el hombre para entender la naturaleza,los grandes matemáticos del siglo XVIII fracasan en el intento por comprender las nuevasnociones surgidas y por ende los números negativos continúan siendo rechazados o ignorados.

Los negativos continúan siendo rechazados

En el siglo XVIII aparecen D'Alembert y A. de Morgan evitando cuando es posible losnegativos, aduciendo que aparecen cuando se hace una suposición falsa. Especialmente

9

D'Alembert cuando se enfrenta a problemas cuyo planteamiento lleva a expresiones del tipoa+ x = b (con b < a) siendo a, b naturales y donde la incógnita x resulta ser del tipo

x = −t (t ∈ N)

prescinde de los negativos llevando el planteamiento a una expresión del tipo

a− t = b y a+ t = b

siendo t la incógnita. Así los negativos son eliminados.

La justi�cación que da D'Alembert de la regla de los signos se puede considerar un corolariodel método que usó para evitar los negativos: (−a)(−b) signi�ca restar b veces la cantidadnegativa −a, pero como �adjuntar una cantidad negativa equivale a restar una positiva yrestar una negativa equivale a adjuntar una positiva�, el resultado es +ab, pues(−a)(−b) = −(−a)− (−a)− ...− (−a) = +(+a) + (+a) + ...+ (+a) = +ab.

L. Carnot (1753-1823) advierte apelando al sentido común sobre las contradicciones de losnegativos; por ejemplo, argumenta que no puede ser que −3 siendo menor que 2 cuando seeleva a la potencia 2 resulta siendo que (−3)2 es mayor que 22, esto contradice al sentidocomún y a las leyes que gobiernan las cantidades. Precisamente este tipo de argumentosgeneró en la comunidad matemática la necesidad de fundamentar formalmente los númerosenteros.

Surgen múltiples esfuerzos por legitimarlos

Aun en el siglo XVIII y parte del siglo XIX la idea que se tiene de que las matemáticasdescriben la �realidad�, di�culta en gran medida que se avance en la legitimación y forma-lización de los números enteros. Muchos matemáticos de la época, importantes como Eulertratan de dar una signi�cación �real� a los negativos.

Un paso importante en la interpretación de los negativos la da Girard al considerar el númeronegativo en un contexto relativo donde el cero deja su carácter absoluto para tomar un carác-ter relativo. Así los negativos se pueden considerar como extensión respecto al orden de losnúmeros enteros positivos.

Aunque impera un espíritu concreto en la época, algunos matemáticos como McLaurin, Eulery Cauchy lo abandonan en algunas ocasiones y tratan de justi�car la regla de los signosusando métodos �cuasiformales�. Por ejemplo Cauchy [2], designa los números precedidos delsigno + como cantidades positivas y los precedidos del signo − como cantidades negativas ycon esto establece las convenciones siguientes: Si A representa un número −A representará


el opuesto y si a representa una cantidad, la expresión +a será equivalente y −a será laopuesta. Teniendo la siguientes ecuaciones

a = +A y b = −A

se tendrá

+ a = +A , +b = −A (2-1)

−a = −A y −b = +A. (2-2)

y si en las últimas cuatro ecuaciones se reemplaza a y b se obtiene

+ (+A) = +A , +(−A) = −A (2-3)

−(+A) = −A y −(−A) = +A (2-4)

con esto concluye Cauchy en tres teoremas con la ley de los signos.

Etapa 4: Legitimación e integración de los negativos en

la jerarquía de los sistemas numéricos

Con el advenimiento de las geometrías no euclidianas y los trabajos de Hamilton, Wessel,Argand y Gauss sobre números complejos[1], durante el siglo XIX se rompe con la idea queprevalecía en la época de que las matemáticas constituyen un cuerpo de verdades acerca dela naturaleza. Ahora se dará prioridad al formalismo y al rigor sobre el �n y los usos dela matemática en la realidad. Esta nueva forma de concebir las matemáticas permite queHamilton, proponga considerar los números complejos como parejas ordenadas y de�na sobreéstas las operaciones de adición y multiplicación. Estos nuevos números no tienen que vercon la realidad inmediata, sino que se aceptan como construcciones humanas.

Así, con base en los trabajos de Hankel sobre enteros y números complejos, y de Hamiltonsobre n �meros complejos, O Stolz (1885) y Tannery (1886) proponen la teoría de los paresordenados para construir los números enteros. Finalmente Richard Dedekind (1831-1916)formalizaría la teoría de los pares ordenados al proponer una relación de equisustratividadasí: a − b = c − d ⇔ a + d = b + c demuestra que esta es una relación de equivalencia y alconjunto de las clases de equivalencia respecto a la relación de�nida lo presentará como elconjunto de los números enteros. De�ne sobre las parejas ordenadas de N×N las operacionesde adición y multiplicación y veri�ca que estas de�niciones satisfacen las leyes usuales de laaritmética.

3. Números enteros

Se puede abordar la introducción de los números enteros desde dos perspectivas; una formal yotra informal. Desde cada una de estas perspectivas se pueden estudiar varias vías de accesoa los números enteros. Para los propósitos de este trabajo, se abordarán varios acercamientosinformales y una construcción formal de los números enteros.

3.1. Acceso a Z por métodos informales

3.1.1. Números enteros como operadores sobre segmentos

orientados

Una de las formas de introducir los números enteros, de manera informal, intuitiva, fácilde entender y por tanto pedagógica[9], es mediante el uso de la noción de segmento derecta dirigido. Inicialmente se pueden representar los segmentos mediante rayas de diferenteslongitudes y direcciones. Debe observarse que un segmento puede estar orientado en unsentido determinado dentro de una dirección, o puede ser un segmento no orientado.

Figura 3-1.: Segmentos orientados

?

-−→s

�

6

El segmento orientado se puede representar con una punta de �echa en un extremo. Pararepresentar un segmento orientado se podrá utilizar preferiblemente una letra minúscula, porejemplo la s, con una �echa encima −→s .

Se puede ahora elegir un segmento orientado−→u , que se designará como unidad y luego escogerun conjunto de segmentos que sean divisibles por esa unidad común −→u que se denotarápor Sd. Habrán muchos segmentos congruentes, es decir que sean divisibles por la unidadun determinado número de veces. Esto permite clasi�car los segmentos por congruencia yseleccionar un representante de cada clase denotado por

−→Sn en donde n es un número natural

12 3 Números enteros

que indica el número de segmentos unitarios en que está dividido. Por ejemplo, si el segmento−→q mide 3 unidades, se dice que el segmento −→q es congruente con el representante de clase−→S3 de los segmentos que miden 3 unidades y se nota −→q ∼= −→S3.

Figura 3-2.: Segmentos orientados divisibles

-−→u

-

−→S3 -

−→S2

-

−→S5

Adición de segmentos orientados:

Se selecciona un eje horizontal, y se establece un segmento unitario −→u . Se consideran ini-cialmente segmentos en el mismo sentido (hacia la derecha) en dirección horizontal. Parasumar segmentos, se conviene en colocar un segmento a continuación de otro, es decir seubica el origen de un segmento sobre la punta del otro. Por ejemplo si se suma el segmento−→q ∼= −→S3 con el segmento −→r ∼= −→S2, se obtiene el segmento −→q � −→r ∼= −→S5 tal como apareceen la �gura 3-2. Nótese que se está tratando con una operación que no es precisamente laadición entre números naturales sino que se trata de una operación especial que se notará�.

Con el conjunto de segmentos divisibles Sd y la operación de adición de segmentos � seforma el sistema (Sd,�) que goza de las siguientes propiedades:

(a) La adición de segmentos orientados divisibles es siempre un único segmento orientadodivisible, es decir, si −→s ,−→t ∈ Sd entonces

−→s �−→t ∈ Sd . El sistema entonces es cerrado

para la suma.

(b) Dados tres segmentos −→q ,−→r ,−→t ∈ Sd, se cumple que (−→q �−→r )�−→t = −→q � (−→r �−→t ).

El sistema goza satisface la propiedad asociativa.

(c) Dados dos segmentos −→r ,−→t ∈ Sd, se veri�ca que−→r �

−→t =−→t �−→r . El sistema cumple

la propiedad conmutativa

(d) Un punto sobre la recta se denotará por−→S0, tal que si −→r ∈ Sd, entonces

−→r �−→S0 =−→

S0 �−→r = −→r . El segmento

−→S0 es el módulo de la operación �

Es claro que la propiedad (a) se veri�ca intuitivamente, ya que al sumar segmentos orientadosen el mismo sentido en dirección horizontal se obtiene un nuevo segmento orientado en

3.1 Acceso a Z por métodos informales 13

el mismo sentido y conservando la dirección horizontal como se observa en la �gura 3-2. La propiedad asociativa se veri�ca tomando tres segmentos cualesquiera −→q ,−→r y

−→t y

comprobando que (−→q �−→r )�−→t = −→q � (−→r �−→t ), tal como aparece en la �gura 3-3.

Figura 3-3.: Propiedad asociativa

- - -−→q −→r −→

t

- -(−→q �−→r )�−→t

- -−→q � (−→r �

−→t )

Para veri�car la propiedad conmutativa se observa en la �gura 3-4 que −→q �−→r = −→r �−→q

Figura 3-4.: Propiedad conmutativa

- -−→q �−→r

- -−→r �−→q

Luego el sistema (Sd,�) es un semigrupo conmutativo con un elemento identidad, que re-sulta al aceptar la existencia de un segmento orientado divisible nulo

−→S0 que corresponde

a un punto matemático, con todos los problemas conceptuales que tal expresión implica.Aceptando el segmento

−→S0, el sistema (Sd,�) es un monoide conmutativo o abeliano.

Todas estas propiedades se pueden veri�car fácilmente con estudiantes de básica secundariausando segmentos de diferentes longitudes, palos de colombina, etc, que sean divisibles to-dos por alguna unidad común. Luego de realizar algunas actividades, los estudiantes sepercatarán que es lo mismo que calcular las sumas usando los subíndices y la adición usualde números naturales.

Números naturales como operadores sobre segmentos orientados

Sobre el sistema (Sd,�) se ha de�nido el operador binario � que representa la adición desegmentos; ahora, se de�nirá el operador unario n( ) sobre Sd para cada número natural ntal que dado −→q ∈ Sd, al aplicarle el operador unario n(−→q ), transforma al segmento −→q en


Figura 3-5.: Operador unario aplicado a un segmento orientado

-−→q

-3−→q

el segmento obtenido al sumar n copias idénticas de −→q . Por ejemplo el operador 3( ) (tresveces) aplicado a −→q transforma −→q en el segmento que resulta de sumar tres copias idénticasde −→q .El operador unario 1( ), aplicado sobre −→q que se lee �una vez. . . �, deja intacto a −→q ; 1( ) esentonces el operador idéntico sobre Sd. También se puede de�nir sobre Sd el operador unario0( ) que se lee �0 veces. . . � que transforma a cualquier segmento −→q en el segmento nulo; eloperador 0( ) es el operador nulo sobre Sd.

Se obtiene así un conjunto de operadores unarios sobre segmentos, que se nota

Ops = {n( ) : Sd −→ Sd|n ∈ N}

Adición de operadores sobre segmentos

Parece natural de�nir la suma de �el doble más el triple� que obviamente será el �quíntuple�.Es posible entonces de�nir la adición sobre operadores unarios usando la adición del sistema.Ésta suma se simbolizará con ⊕ para distinguirla de la suma de segmentos y de la suma denaturales. En general, se de�ne el operador binario [n( )⊕m( )]( ) así:

[n( )⊕m( )](−→q ) = n(−→q )�m(−→q ) (3-1)

el cual resulta equivalente a

[n( )⊕m( )]( ) = (n+m)( ), (3-2)

donde n+m es la suma usual en N. Ésta equivalencia reduce la operación con segmentos ala operación con naturales.

En el caso particular del ejemplo, se tendría:

2( )⊕ 3( ) = 5( )

Ahora bien, si se aplica el operador [2( )⊕ 3( )]( ) a cualquier segmento −→q , se obtendrá porde�nición el segmento 2(−→q )⊕ 3(−→q ), que es 5(−→q ) 3-6.La facilidad de calcular en otro sistema es una de las ventajas de la idea subyacente deisomor�smo:1 el sistema de los operadores sobre segmentos con la adición de operadores1Un isomor�mo es una biyección entre dos conjuntos que da cuenta de una estructura �similar� o �equiva-

lente� de los mismos bajo unas operaciones de�nidas en cada conjunto.


Figura 3-6.: Adición de operadores

-−→q

-2(−→q )

-3(−→q )

-2(−→q )⊕ 3(−→q ) = 5(−→q )

(Ops,⊕) es isomorfo al sistema de los números naturales con la adición (N,+), si se asigna acada operador n( ) de Ops el respectivo número natural n. Si se designa esta aplicación porf , se tendrá el diagrama conmutativo:

Ops ×Ops⊕−−−→ Ops

f

y yf

N× N +−−−→ N

que se aclara tomando elementos de los respectivos conjuntos:

(n( ),m( ))⊕−−−→ [n( )⊕m( )]( )

f

y yf

(n,m)+−−−→ n+m

Composición de operadores unarios sobre segmentos

Se de�ne ahora la composición de operadores unarios de Ops, notada ◦, y leída �. . . de . . . �.Por ejemplo parece natural hablar de ` `el doble del triple� para hacer alusión a

2( ) ◦ 3( ) = 6( ).

Se de�ne el operador unario [n( ) ◦m( )]( ) así:

De�nición 3.1.

[n( ) ◦m( )](−→q ) = n(m(−→q )). (3-3)

equivalente a:

[n( ) ◦m( )]( ) = (n×m)( ), (3-4)


De nuevo se reduce la operación �◦� con operadores a la multiplicación con números naturales.

Por ejemplo, si se aplica el operador [2( ) ◦ 3( )]( ) a cualquier segmento −→q , se obtiene porde�nición el segmento 2(3(−→q )) que es 6(−→q ).

Figura 3-7.: Composición de operadores

-←−q

-3(−→q )

-2(3(−→q ))

Otra vez se encuentra subyacente la idea de isomor�smo. El sistema de los operadores sobresegmentos con la composición de operadores, (Ops, ◦) es isomorfo al sistema de los númerosnaturales con la multiplicación (N,×). El diagrama conmutativo es el siguiente:

Ops ×Ops◦−−−→ Ops

f

y yf

N× N ×−−−→ No con elementos de los respectivos conjuntos:

(n( ),m( ))◦−−−→ Ops

f

y yf

(n,m)×−−−→ N

Éste tipo de isomor�smo no es tan trivial como el anterior, pues en los números naturalesno existe la composición: el tres del dos. Como la aplicación f es la misma en ambos casos,se puede decir que el sistema (Ops,⊕, ◦) es isomorfo al sistema (N,+,×).

El operador cambio de orientación

Se habrá notado que al darle la vuelta a un segmento orientado, conservando su direcciónhorizontal, pero cambiándole el sentido, se ha hecho una operación manual práctica, que serepresenta por un operador ∗( ). Este operador es claramente un operador unario, y se lee�el opuesto de . . . �.

Como ya se tiene un conjunto de operadores unarios, Ops, se le puede añadir el nuevooperador ∗( ) y estudiar qué pasa si se hace la composición de ∗( ) con cualquier n( ); con el


Figura 3-8.: Operador cambio de orientación

-−→s

�−→∗s

sistema de lectura elegido se tendría simplemente que [∗( ) ◦ 2( )]( ) podría leerse �el opuestodel doble�, y esto siempre tiene sentido, (como también lo tendría �el doble del opuesto�).Para simpli�car, se notará ∗2( ) al opuesto del doble, y en general:

∗n( ) = [∗( ) ◦ n( )]( ). (3-5)

Se descubrirá fácilmente que

[∗( ) ◦ ∗( )]( ) = 1( ) (3-6)

Además: ∗ 1( ) = ∗( ) (3-7)

y: ∗ 0( ) = 0( ). (3-8)

El operador nulo es el único operador de Ops correspondiente a un número natural que esigual a su opuesto. Si se añade ahora como nuevos operadores a Ops todos los opuestos delos originales Ops∗, se tendrá luego un conjunto mayor que se notará Ops = Ops

⋃Ops∗.

Estos son todos operadores unarios sobre los segmentos orientados divisibles, Sd, en loscuales se puede considerar ahora que todos los segmentos horizontales, estén orientadoshacia la derecha o hacia la izquierda. En este conjunto extendido Sd es posible la adición yla sustracción de cualquier pareja de segmentos. El sistema extendido (Sd,�) tiene ahora lapropiedad invertiva: cualquier segmento dado tiene un inverso aditivo, es decir, un segmentoque sumado con él da el segmento nulo. El inverso aditivo del segmento −→q es precisamenteel opuesto de −→q , −→∗q.Se debe notar que a un segmento cualquiera −→s en el sistema extendido Sd no se le puededeterminar su orientación. Por tanto −→∗s no está necesariamente orientado hacia la izquierda,sólo se sabe que −→∗s está orientado en sentido opuesto a −→s en caso de que −→s sea no nulo.

Sustracción de segmentos orientados.

La sustracción de segmentos orientados divisibles por una unidad común se denotará � paradistinguirla de la sustracción de naturales. Ésta sustracción tiene sentido si a segmentos de�mayor longitud� restamos segmentos de �menor longitud�. Es decir si a un segmento −→rrestamos un segmento de menor longitud −→s , se obtendrá intuitivamente como resultado el


segmento que le haría falta a −→s para tener la misma longitud de −→r : el resultado −→t de laoperación −→r � −→s es precisamente el segmento

−→t tal que −→s �

−→t = −→r . La representación

grá�ca aparece en la �gura 3-9:

Figura 3-9.: Sustracción de segmentos

-−→r

-−→s -

−→t

También se podría invertir el orden de−→t y −→s :

Figura 3-10.: Sustracción invirtiendo los segmentos

-−→r

-−→t -

−→s

y así parece más natural la idea de cambiarle la orientación a −→s y seguir de�niendo la adiciónde segmentos orientados con la idea intuitiva de colocar el origen del segundo segmento enla punta del primero.

El resultado de la sustracción −→r �−→s sería pues el mismo de la adición −→r �−→∗s.−→r �−→s = −→r �−→∗s (3-9)

La representación grá�ca en la �gura 3-11:

Figura 3-11.: Sustracción como adición cambiando la orientación de un segmento

-−→r

-−→t �

−→∗s

Con la primera de�nición la sustracción no estaría de�nida si −→r es de menor longitud que−→s mientras que si se admiten segmentos en el otro sentido, no hay problema en hacer


sustracciones en cualquier caso. Por ejemplo, con los mismos segmentos anteriores tendríasentido hablar de −→s � −→r , pues esto es simplemente −→s � −→∗r, lo cual se representa en lagrá�ca 3-12

Figura 3-12.: Adición de un segmento con el opuesto de otro

-−→s

�−→∗r

�−→∗t

en donde se aprecia que −→s �−→r es simplemente−→∗t

El sistema Ops y sus operaciones

Con el conjunto Ops, el operador unario ∗ y los operadores binarios ⊕, y ◦, se forma elsistema (Ops, ∗,⊕,, ◦). Éste nuevo sistema no es isomorfo con los naturales pues éstos notienen opuestos y no siempre se puede efectuar la sustracción. En el nuevo sistema, si esposible calcular el resultado de la adición o sustracción de operadores, aunque m( ) sea demenor longitud que n( ); por ejemplo

[m( )⊕ ∗n( )](−→s ) = ∗(n−m)(−→s ). (3-10)

Ahora se puede simpli�car la notación y poner −n( ) en lugar de ∗n( ). Nótese que ahora labarra es un operador unario −( ) sobre los nuevos símbolos y que:

−(n) = −n (3-11)

−(−n) = n (3-12)

para todo número natural n.

Calculando ahora la suma, resta y composición de operadores con la notación simpli�cada,se obtiene:

(m+ n)(−→s ) = (m+ n)−→s (3-13)

(m− n)(−→s ) ={

(m− n)−→s si m ≥ n

−(n−m)−→s si m < n(3-14)

(m ◦ n)(−→s ) = m(n(−→s )) = mn(−→s ) = mn−→s (3-15)


en donde mn es el producto de m por n en los naturales. Se puede entonces simpli�car lanotación de la composición de operadores utilizando también la mera yuxtaposición. Así sepuede calcular:

(−m)n = −mn (3-16)

m(−n) = −mn (3-17)

(−m)(−n) = mn (3-18)

Las ecuaciones 3-15 - 3-18 se justi�carán en el capítulo siguiente.

Se tiene entonces un conjunto de símbolos de operadores que es cerrado con respecto ala operación unaria de cambio de orientación, notada −, y con respecto a las operacionesbinarias de adición, notada +, sustracción, notada también −, pero con un puesto a cadalado, y composición o multiplicación, notada por simple yuxtaposición, en caso de duda, porun × o un punto. Al conjunto de símbolos con notación simpli�cada se le llama Z y se leda el nombre de conjunto de números enteros. La parte de los enteros que coincide con losnaturales se les llama enteros positivos y se nota

Z+ = {n|n ∈ N} = {n( )|n ∈ N},

considerando N = {0, 1, 2, 3, . . .} El conjunto de opuestos de Z+, se llamará los enterosnegativos y se notará

Z− = {−n|n ∈ N} = {∗n( )|n ∈ N}

es fácil ver que: Z = Z+ ∪ Z− y que: Z+ ∩ Z− = {0}También se pueden introducir los enteros estrictamente positivos Z+ y los estrictamentenegativos Z−, eliminando el cero de los originales:

Z+ = Z+ − {0}Z− = Z− − {0}

de donde Z = Z+∪Z−∪{0}.El conjunto Z con el operador unario − y los operadores binarios+,−,× es un sistema que tiene la propiedad clausurativa con respecto a todas las operacionesseñaladas. Así el sistema (Z,−,+,−,×) es claramente isomorfo a (Ops, ∗,⊕,, ◦) que enrealidad es el mismo con notación simpli�cada.

3.1.2. Enteros negativos como opuestos de los naturales

Se pueden de�nir los números simétricos a los números naturales respecto al origen como losenteros negativos y así de�nir los números enteros.


De�nición 3.2. De�nición de los números enteros a partir de los naturales:

Z = N ∪ {−n : n ∈ N}

En otras palabras, los enteros son los naturales más una copia de los números positivos n

poniéndoles una rayita antes para indicar que son negativos: así, por ejemplo, el −3 es lacopia negativa del 3 [3]. Inmediatemente se nota que N ⊆ Z.

Orden en los enteros

De�nición 3.3. Entre números naturales el orden es el mismo que se tenía en N

Si a es negativo y b es un natural, a < b (todo negativo es menor que todo positivo).

Si a, b son ambos negativos, donde a = −n y b = −m (con n,m ∈ N), entonces a < b

si y sólo si m < n (en negativos, el orden �se invierte�).

Esta de�nición se resume así: −(n + 1) < −n < . . . < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <

. . . < n < n+ 1.

Suma en los enteros

De�nición 3.4. Para enteros naturales, la suma es la misma de los naturales

Si a, b son ambos negativos, donde a = −n y b = −m (con n,m ∈ N− {0}), entoncesa + b se de�ne como el número −(n + m) (donde este último + denota la suma denaturales). [Por ejemplo, −4 + (−3) = −(4 + 3) = −7]. Esta de�nición garantiza quela suma de negativos es negativo.

Si a es negativo y b es positivo, donde a = −n y b = m, con (n,m ∈ N−{0}), entoncesse tienen dos casos a considerar:

� Si m ≥ n entonces a+ b = (m− n), donde este último − indica la sustracción denaturales y se tiene que la suma a+ b es positiva.

� Si m < n entonces a + b = −(n − m), donde n − m está en los naturales y lasuma a+ b será negativa.

Para el caso que a sea positivo y b sea negativo se procede de manera análoga a laanterior.

(N,+) es un monoide conmutativo ya que en él se veri�ca la propiedad asociativa, tieneun elemento neutro 0 y se cumple la propiedad conmutativa. Faltaría ver que propiedadesadicionales se veri�can en los enteros con la suma.


Propiedad asociativa No es necesario considerar el caso a, b y c naturales. En el caso quea, b y c sean negativos, donde a = −m, b = −m y c = −p, con m,n, p ∈ N, se tiene

a+(b+c) = a+(−(n+p)) = −(m+(n+p)) = −((m+n)+p) = −(m+n)+(−p) = (a+b)+c

En el caso que a, b sean positivos y c sea negativo, donde a = m, b = n y c = −p, conm,n, p,∈ N se tiene

a+ (b+ c) = m+ (n− p) = m+ n− p = (m+ n)− p = (a+ b) + c

siendo n ≥ p. Se puede veri�car considerando los otros casos también

Propiedad conmutativa Con a y b naturales se cumple. Al considerar el caso que a y b

sean negativos, donde a = −m y b = −n con m,n ∈ N se tiene

a+ b = −(m+ n) = −(n+m) = b+ a

Para el caso que a sea positivo y b sea negativo, con a = m, b = −n y m ≥ n, se tiene

b+ a = −n+m = m+ (−n) = m− n = a+ b

Análogamente se prueba para el caso en que m < n.

Propiedad modulativa Considerando el caso que nos interesa, es decir haciendo a negativocon a = −n, donde n ∈ N− {0} se tiene que:

a+ 0 = −(n+ 0) = −(0 + n) = −(n) = −n = a

Existencia de inversos Se cumple que para todo a = m ∈ N, existe su inverso, notado −atal que

a+ (−a) = (a− a) = −a+ a = 0.

En el caso que a sea negativo, donde a = −m, con m ∈ N se tiene

a+ (−a) = −m+m = m−m = 0

Como los enteros así de�nidos cumplen con las anteriores propiedades para la suma, se diceque (Z,+) tiene estructura de grupo abeliano.

Multiplicación en los enteros

En el conjunto Z de los números enteros puede de�nirse una operación llamada multipli-cación y notada · que cumple con las siguientes propiedades:

Para todo a, b, c ∈ Z, se tiene:


Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c).

Conmutativa: a · b = b · a.

Existencia del elemento neutro: Existe un número entero 1 que es elemento neutro dela multiplicación, es decir, para todo entero a se veri�ca

1 · a = a · 1 = a

Relación entre adición y multiplicación

Las operaciones + y ·, se relacionan mediante la siguiente propiedad:

Propiedad distributiva: a · (b+ c) = a · b+ a · c

Consecuencias de las propiedades algebraicas de los números enteros

De las propiedades de los números enteros con la adición y la multiplicación se derivan lossiguientes teoremas [8]:

Teorema 3.1. Propiedad cancelativa de la suma: a+ b = a+ c⇒ b = c

Demostración. Se tiene:

a+ b = a+ c⇒ (−a) + (a+ b) = (−a) + (a+ c) (3-19)

⇒ (−a+ a) + b = (−a+ a) + c (3-20)

⇒ 0 + b = 0 + c (3-21)

⇒ b = c (3-22)

Teorema 3.2. Ley de absorción del cero:

a · 0 = 0

Demostración.

a · a+ 0 = a · a = a · (a+ 0) por propiedad modulativa de + (3-23)

= a · a+ a · 0 (3-24)

De a · a+ 0 = a · a+ a · 0 por el teorema 3.1 se deduce 3.2.


Teorema 3.3. −(−a) = a

Demostración. a+(−a) = (−a)+a = 0 por propiedad conmutativa de +, es decir el opuestode −a, −(−a) es a.

Así, (Z,+, ·) es un anillo conmutativo con unidad, ya que (Z,+) es un grupo conmutativo y(Z, ·) es un semigrupo conmutativo con unidad. Además (Z,+, ·) es un dominio de integridad,ya que no tiene divisores de 0 como se verá en el capítulo 4.

Teorema 3.4.

a · (−b) = −(a · b), (−a) · b = −(a · b)

(−a) · (−b) = a · b

Las igualdades del teorema 3.4 serán demostradas en el capítulo 4.

3.2. Construcción formal de ZNúmeros enteros como clases de equivalencia del

conjunto cociente N× N/ ∼En las ecuaciones del tipo x+ b = a con a, b naturales, se observa que la solución se obtienemediante la diferencia x = a− b, siempre y cuando b ≤ a. En el caso b > a la diferencia noestaría de�nida en los números naturales. Deberá entonces existir un conjunto numérico, enel cual las diferencias del tipo x = a− b estén de�nidas aunque b > a.

Ahora bien, cualquier número natural se puede representar mediante la resta de dos naturales.Así, por ejemplo, el número natural 5, se puede representar así:

5 = 5− 0 = 6− 1 = 7− 2 = 8− 3 = . . . = (n+ 5)− n = . . . .

Puede verse fácilmente que las diferencias 5− 0, 6− 1, 7− 2 y 8− 3 son equivalentesy además puede observarse que:

5 + 1 = 0 + 6, 6 + 2 = 1 + 7, 7 + 3 = 2 + 8;

es decir la diferencia a− b es equivalente con la diferencia c− d si y solamente sía+d = b+ c, para a, b, c y d naturales. Lo fundamental en la última igualdad es que se estánconsiderando números naturales, sin mencionar para nada la sustracción. Esto sugiere quecon parejas ordenadas de naturales y con la relación de�nida podrá reconstruirse la idea desustracción usando la adición de naturales[11].

3.2 Construcción formal de ZNúmeros enteros como clases de equivalencia del conjunto cociente N× N/ ∼ 25

De�nición 3.5. Sobre N× N se de�ne la relación ∼ tal que

(a, b) ∼ (c, d)⇔ a+ d = b+ c

Proposición 3.1. La relación ∼ es una relación de equivalencia

Demostración. Sean (a, b), (c, d) y (e, f) elementos de N× N.∼ es re�exiva ya que a + b = b + a por conmutatividad de la adición en N, entonces(a, b) ∼ (a, b).∼ es simétrica. Si (a, b) ∼ (c, d) se sigue que a+ d = b+ c y por propiedad conmutativa dela adición en N y por simetría de la igualdad se tiene que c+ b = a+ d luego se deduce que(c, d) ∼ (a, b).∼ es transitiva. Si (a, b) ∼ (c, d) y (c, d) ∼ (e, f) se tiene que a + d = b + c, c + f = d + e,sumando miembro a miembro: a + d + c + f = b + c + d + e y cancelando c + d se obtienea+ f = b+ e, lo cual demuestra que (a, b) ∼ (e, f)

3.2.1. Operaciones de�nidas en N× NDe�nición 3.6. Para cualesquiera (a, b) y (c, d) ∈ N×N se de�nen las operaciones binarias

(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, b+ d) y (a, b)� (c, d) = (ac+ bd, ad+ bc)

Proposición 3.2. Las operaciones de�nidas ⊕ y � son conmutativas en N× N

Demostración. (a, b)⊕(c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) = (c, d)⊕(a, b) (la conmutatividadde + en N hace válida la segunda igualdad.)(a, b)� (c, d) = (ac+ bd, ad+ bd) = (ca+ db, da+ db) = (c, d)� (a, b) (siendo verdadera lasegunda igualdad por la conmutatividad de + y · en N).

Teorema 3.5. La relación ∼ es compatible con las operaciones ⊕ y � de�nidas en N× N

Demostración. Al ser conmutativas las operaciones ⊕ y � basta probar que si (a, b) ∼ (c, d),entonces

(a, b)⊕ (e, f) ∼ (c, d)⊕ (e, f)

(a, b)� (e, f) ∼ (c, d)� (e, f)

siendo (a, b), (c, d) y (e, f) elementos cualesquiera de N× N

Por supuesto: Si (a, b) ∼ (c, d), entonces a + d = b + c; sumando e + f a los dos miembros,conmutando y asociando convenientemente se obtiene

(a+ e) + (d+ f) = (b+ f) + (c+ e) o sea

(a+ e, b+ f) ∼ (c+ e, d+ f) esto es

(a, b)⊕ (e, f) ∼ (c, d)⊕ (e, f)


Análogamente, por hipótesis (a, b) ∼ (c, d) luego

a+ d = b+ c ∧ b+ c = a+ d,

de donde multiplicando por e y f respectivamente se obtiene

ae+ de = be+ ce ∧ bf + cf = af + df

y sumando miembro a miembro,

ae+ de+ bf + cf = be+ ce+ af + df, o sea

(ae+ bf) + (de+ cf) = (af + be) + (ce+ df) es decir

(ae+ bf, af + be) ∼ (ce+ df, de+ cf) esto es

(a, b)� (e, f) ∼ (c, d)� (e, f)

La relación ∼ permite partir el conjunto N × N en clases disyuntas de equivalencia2. Senotará [a, b] como el conjunto de todas las parejas equivalentes con (a, b), es decir

[a, b] = {(x, y) ∈ N× N|(x, y) ∼ (a, b)}

El conjunto de clases de equivalencia se denotará por Z así:

Z = {[(a, b)]∼ | (a, b) ∈ N× N}

Las clases de equivalencia determinadas por la relación∼ pueden visualizarse al representarsegrá�camente N× Ny se hallan sobre rectas paralelas a la diagonal y = x. En la �gura 3-13 las parejas{(2, 1), (3, 2), (4, 3)} representan al entero 1 ya que 2− 1 = 3− 2 = 4− 3 = 1

Del teorema 3.5 se puede concluir que las operaciones ⊕ y � se pueden pasar al conjuntocociente3 N× N/ ∼, o sea que entre clases de equivalencia se pueden de�nir correctamente,

De�nición 3.7.

[(a, b)] + [(c, d)] = [(a, b)⊕ (c, d)] y [(a, b)] · [(c, d)] = [(a, b)� (c, d)]

El conjunto N × N/ ∼, es precisamente el conjunto de los números enteros, que ya se notópor Z

2Ver secciones A.4 y A.3 del apéndice A3Ver sección A.3 del apéndice A


Figura 3-13.: Clases de equivalencia en N × N/ ∼ que representan a los enteros 0 y 1respectivamente

Teorema 3.6. Las operaciones + y · (entre clases) de�nidas en Z tienen las siguientespropiedades:

(a) Las dos operaciones son asociativas y conmutativas.

(b) El módulo de + es [(a, a)] para cualquier a ∈ N

(c) El módulo de · es [(1, 0)]

(d) El inverso de [(a, b)] con respecto a + es [(b, a)]

(e) La operación · es distributiva respecto a +

Demostración.

{[(a, b)] + [(c, d)]}+ [(e, f)] = [(a, b)⊕ (c, d)] + [(e, f)] por la de�nición 3.7

= [(a+ c, b+ d)] + [(e, f)] = [(a+ c+ e, b+ d+ f)]

= [(a+ (c+ e), b+ (d+ f)] por asociatividad de+ enN= [(a, b)⊕ (c+ e, d+ f)] = [(a, b)] + [(c, d)⊕ (e, f)]

= [(a, b) + {[(c, d)] + [(e, f)]}

con lo cual queda demostrada la asociatividad de + en N× N/ ∼


{[(a, b)] · [(c, d)]} · [(e, f)] = [(a, b)� (c, d)][̇(e, f)] = [(ac+ bd, ad+ bc)� (e, f)]

= [ace+ bde+ adf + bcf, acf + bdf + ade+ bce]

= [a(ce+ df) + b(de+ cf), a(df + de) + b(df + ce)]

= [(a, b)� (ce+ df, de+ cf)] = [(a, b)] · [(c, d)� (e, f)]

= [(a, b)] · {[(c, d)] · [(e, f)]}los pasos anteriores se sustentan en la asociatividad y conmutatividad de la adición y la mul-tiplicación y, en la propiedad recolectiva (factorización) en N con lo cual queda demostradala asociatividad de · en N× N/ ∼

Por la proposición 3.2 y la de�nición 3.7 se sigue que + y · son conmutativas en N× N/ ∼

Para probar (b) se observa que (a, a) ∼ (0, 0) para cualquier a ∈ N, luego [(a, a)] = [(0, 0)] yse tiene

[(c, d)] + [(0, 0)] = [(c, d)⊕ (0, 0)] = [(c, d)]

así que [(a, a)] es módulo para + y [(0, 0)] su representante canónico4

Para probar (c) se hace

[(a, b)] · [(1, 0)] = [(a, b)� (1, 0)] = [(a1 + b0, a0 + b1)]

= [(1a+ 0b, 1b+ 0a)] = [(1, 0)� (a, b)] = [(1, 0)] · [(a, b)] = [(a, b)]

Se probará (d) así:

[(a, b)] + [(b, a)] = [(a, b)⊕ (b, a)] = [(a+ b, b+ a)]

= [(a+ b, a+ b)] = [(0, 0)]

con lo cual queda demostrado (d)Al efectuar

[(a, b)] + [(c, d)] · [(e, f)] = [(a, b)⊕ (c, d)] · [(e, f)]= [(a+ c, b+ d)] · [(e, f)] = [(a+ c, b+ d)� (e, f)]

= [((a+ c)e+ (b+ d)f, (a+ c)f + (b+ d)e)]

= [(ae+ ce+ bf + df, af + cf + be+ de)]

= [(ae+ bf, af + be)⊕ (ce+ df, cf + de)]

= [(a, b)� (e, f)] + [(c, d)� (e, f)]

= {[(a, b)] · [(e, f)]}+ {[(c, d)] · [(e, f)]}se demuestra (e)

4En general, el representante canónico de una clase de la forma [m+ n, n] es [m, 0].


Se dice que el conjunto Z con las operaciones + y · tiene estructura de anillo conmutativocon unidad por las propiedades que se veri�caron en el teorema 3.6.

Un número entero tiene tres opciones de ser: o es positivo, o negativo o cero como puedeverse en la siguiente proposición

Proposición 3.3. Dado un entero [(a, b)], existe un único natural n tal que [(a, b)] = [(n, 0)]

ó bien [(a, b)] = [(0, n)]

Demostración. Dado [(a, b)], por la tricotomía del orden en N, se cumple solamente una delas relaciones

a = b, a > b, a < b

Considerando el primer caso [(a, b)] = [(a, a)] = [(0, 0)] y n = 0. En el segundo caso, existeun único n tal que a = n+ b y se tiene

[(a, b)] = [(n+ b, b)] = [(n, 0)]

ya que (n+ b, b) ∼ ((n, 0)

Finalmente, cuando a < b existe n ∈ N∗, N∗ = N− {0} tal que a+ n = b y

[(a, b)] = [(a, a+ n)] = [(0, n)]

Se de�ne N̂ como el conjunto de los enteros de la forma [(n, 0)]. Este conjunto en nada sediferencia del conjunto N y por tanto se puede concluir que N ⊂ Z y en lugar de [(n, 0)]

podemos escribir simplemente n

Ahora bien como

[(0, n)] + n = [(0, n)] + [(n, 0)] = [(0, 0)] = 0

se concluye que [(0, n)] es el inverso de n, es decir, [(0, n)] = −n; con esta notación se puedereducir la escritura de Z así:

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Como la adición en Z es conmutativa y todo elemento de Z tiene inverso (ver teorema 3.6)se puede de�nir la diferencia entre a, b ∈ Z así:

a− b = a+ (−b) = −b+ a (3-25)

Ahora la diferencia que estaba parcialmente de�nida en N, (cuando el sustraendo es menoro igual que el minuendo) pasa a estar totalmente de�nida en Z


Proposición 3.4. (a) ∀n ∈ Z se tiene −(−n) = n

(b) ∀n ∈ Z∗,Z∗ = Z− {0} se tiene n ∈ N∗ ∨ −n ∈ N∗

(c) (∀m,n ∈ Z)(m(−n) = −(mn) = (−m)n)

(d) (∀m,n ∈ Z)((−m)(−n) = mn)

(e) (∀n ∈ Z)(n · 0 = 0)

(f) (∀n ∈ Z∗)(np = nq ⇒ p = q)

(a), (c) y (d) serán justi�cadas en el capítulo 4

Demostración. Por la proposición 3.3 se tiene que n = [(a, b)], para cualesquiera a, b ∈ N∗ ya 6= b si a < b entonces −n ∈ N∗. En el otro caso, si a > b entonces n ∈ N∗.Si n ∈ Z∗,

np = nq = [(n, 0)] · [(p, 0)] = [(n, 0)] · [(q, 0)]= [(np, 0)] = [(nq, 0)]

= [(p, 0)] = [(q, 0)]⇒ p = q

n · 0 = [(n, 0)] · [(0, 0)] = [(n0 + 0, n0 + 0)] = [(0, 0)] = 0

así se demuestra (e)

En Z se mantiene el orden total que poseen los naturales y que se de�ne así:

m ≤ n ↔ n−m ∈ N,

lo cual también se puede entender así: m ≤ n ↔ ∃r ∈ N (m+ r = n).

Proposición 3.5. La relación ≤ es de orden total para Z

Demostración. Propiedad re�exiva: Como n− n ∈ N para todo n ∈ Z entonces n ≤ n.

Propiedad anti-simétrica: Si n ≤ m y m ≤ n entonces se tiene que m− n ∈ N y n−m ∈ Nlo cual implica por la propiedad (b) de la proposición 3.4 que n = m.

Propiedad transitiva: Si m ≤ n y n ≤ p entonces se tiene que existen r y r′ ∈ N tal quem + r = n y n + r′ = p; sumando miembro a miembro las dos igualdades, se tiene quem + r + n + r′ = n + p, cancelando n, se obtiene m + r + r′ = p por tanto m ≤ p ya quer + r′ ∈ N

4. Algunas justi�caciones de la ley de

los signos

En la enseñanza de los números enteros, se suele justi�car la aparición de cantidades nega-tivas y positivas mediante el uso de estas en problemas donde aparecen deudas y abonos,temperaturas bajo cero y sobre cero, mediciones de altura y profundidad, etc. Con estosmodelos se pueden explicar las leyes de la adición de enteros, pero, todos estos modelosfracasan cuando se intenta justi�car la ley de los signos en la multiplicación, ya que es in-verosímil por ejemplo, pensar que el producto de dos deudas sea una ganancia. La soluciónal problema de la enseñanza de esta regla brilla por su ausencia y simplemente se pide a losestudiantes que la acepten y memoricen para que la utilicen cuando sea necesario.

4.1. Breve historia de algunas justi�caciones de la

regla de los signos

Históricamente, se han dado variadas justi�caciones a esta ley; por ejemplo, Diofanto men-ciona una regla que traducida al lenguaje de hoy diría:

Lo que es lo que falta multiplicado por lo que es lo que falta da lo que es positivo;mientras que lo que es lo que falta multiplicado por lo que es positivo, da lo quees lo que falta. (Diofanto, libro I)

Dentro de las justi�caciones de la ley de los signos realizadas a �nales del siglo XVI y comien-zos del XVII se destaca la de Stevin (1540-1620). Esta justi�cación se basa en una doblecomprobación, una mediante un ejemplo del producto de dos sustracciones y otra, geométri-ca, usando básicamente el mismo argumento, es decir usando el producto de sustraccionesrepresentada por el área de un rectángulo. Stevin enuncia la regla como un teorema y luego,propone los ejemplos que la comprobarán así:

Teorema:Más multiplicado por más, da producto más; menos multiplicado por menos, daproducto más; más multiplicado por menos, o menos multiplicado por más, da

32 4 Algunas justi�caciones de la ley de los signos

producto menos.

Explicación: Sea 8−5multiplicado por 9−7, de esta manera:−7 veces−5 hacen(+35), porque como dice el teorema − por − hace +. Después −7 veces 8 hace−56 (-56, porque como se dice en el teorema − por + hace −). Y análogamentesea 8 − 5 multiplicado por el 9, dará como productos 72 − 45. Después juntad+71+35, que son 107. Después juntad los −56− 45, que son 101. Y sustrayendoel 101 del 107, que restan 6, se tiene el producto de la multiplicación dada. Ladisposición de caracteres de la operación es esta:

8 - 59 - 7-56 + 35

72 -456

Explicación de la regla: Hay que demostrar por lo enunciado que + multipli-cado por + hace +, que − por − hace +, que + por −, o − por +, hace −.

Demostración: El número a multiplicar, 8−5 vale 3, el multiplicador 9−7 vale2. Pero multiplicando 2 por 3 el producto es 6. Luego el producto de aquí tambiénarriba también es 6, es el producto verdadero. Pero el mismo se ha obtenido pormultiplicación, aquella donde hemos dicho que + por + da producto +, − por −da producto +, + por −, o − por + da producto −, luego el teorema es verdadero.

Otra demostración geométrica Sea AB(8− 5) (a saber AD(8)−DB(5)). Des-pués, AC(9−7) (a saber AE(9)−EC(7)). Su producto será CB, o bien según lamultiplicación DE(72)−EF (56)−DG(45)+GF (35). Los cuales demostraremosque son iguales a CB de esta forma. De todo el ED+GF , se sustrae EF y DG,resta CB. 1 Figura 4-1.

Conclusión: Luego más multiplicado por más, da producto más; menos mul-tiplicado por menos, da producto más; más multiplicado por menos, o menosmultiplicado por más, da producto menos, que era lo que había que demostrar.

Euler también hace su aporte en la justi�cación de la ley de los signos; propone, medianteejemplos con deudas que más por menos y menos por más es menos, ya que por ejemplo,al triplicar una deuda, seguirá siendo ésta una deuda. Así que si menos por más, o más por

1La notación un poco confusa pertenece a la época en que vivió Stevin; sin embargo con un poco de esfuerzo,

el lector podrá entenderla.

4.1 Breve historia de algunas justi�caciones de la regla de los signos 33

5 10 35

213

2 7

6

A

DF

C

G

E

B

Figura 4-1.: Otra demostración

menos es menos, entonces por eliminación se debe tener que menos por menos es más ya quemás por más es más. Así, de las cuatro posibilidades dos productos son negativos luego losotros dos deben ser positivos.

Mc-Laurin (1698-1746), propone una justi�cación de la regla de los signos que simpli�cadase puede expresar así: Considerando la diferencia +a− a = 0, se puede multiplicar esta dife-rencia por cualquier número n obteniéndose n(+a− a) = +na− na = 0; el segundo términodel segundo miembro de la igualdad es −na ya que debe anularse con el primer términona concluyendo que el producto de cantidades de signos distintos es negativo; así mismo sepuede multiplicar la diferencia +a − a por −n obteniéndose −n(+a − a) = −na + na = 0

siendo el segundo término del segundo miembro de la igualdad na ya que debe anularse con−na; por tanto concluye que el producto de cantidades de signos iguales es positivo.

Algunos otros matemáticos propusieron justi�caciones de la ley de los signos; por ejemploLaplace (1749-1827) usó el argumento empleado por Euler en combinación con el argumentousado por Mac-Laurin para justi�carla. También Cauchy intentó dar una justi�cación (ecua-ciones 2-3 y 2-4). Una justi�cación más moderna[4], que merece ser mencionada, hace usode la propiedad distributiva así:

(−1)(−1) = (−1)(−1) + (0)(1) = (−1)(−1) + (−1 + 1)(1) = (−1)(−1) + (−1)(1) + (1)(1)

= (−1)(−1 + 1) + (1)(1) = (−1)(0) + (1)(1) = (1)(1)


con lo cual se veri�ca que − por − es lo mismo que + por +.

En �n, la historia de los números negativos y en especial de la regla de los signos es largay llena de di�cultades y tropiezos, de ensayos y errores tal como se mencionó en el capítulo 2.

Ahora se intentará justi�car la regla de los signos usando las construcciones expuestas en elcapítulo 3.

4.2. Veri�cación de la regla de los signos usando

rectas paralelas sobre el plano cartesiano [7]

Es posible presentar a los estudiantes formas de veri�car la regla de los signos que estén alalcance de ellos, como la que se presenta a continuación. Si se desean multiplicar los números−3 por 2, se traza una recta que corte al eje �x� en el punto −3 correspondiente al primerfactor, y al eje y en la unidad. Luego, se traza otra recta paralela a la anterior que corte aleje y por el punto correspondiente al segundo factor 2. El punto de corte con el eje x de lasegunda recta será el producto, es decir −6 (ver �gura 4-2). Con esto se veri�ca que − por+ es −. Así mismo se pueden elegir otros pares de números y hacer la veri�cación para éstecaso y los demás (+ por − es menos; + por + es más y − por − es −).

1

2

−1−2−3−4−5−6

Figura 4-2.: Multiplicación de enteros usando rectas paralelas sobre el plano cartesiano

4.3 Justi�cación de la regla de los signos mediante el uso de la composición deoperadores sobre segmentos dirigidos 35

4.3. Justi�cación de la regla de los signos mediante el

uso de la composición de operadores sobre

segmentos dirigidos

Ahora, se justi�carán las ecuaciones 3-15 - 3-18. Para ello se supondrá un segmento orientado−→s de cualquier longitud en dirección horizontal y orientado hacia la derecha (bien podríasuponerse lo contrario e igual funcionaría).

Se someterá el segmento −→s a la composición de los operadores (m ◦ n), (−m ◦ n), (m ◦ −n)y (−m ◦ −n), suponiendo m,n ∈ N− {0} para facilitar la tarea.

Por la de�nición 3.1,

[m( ) ◦ n( )](−→s ) = m(n(−→s )) = mn(−→s )

y aquí no hay nada que veri�car, ya que el producto de naturales es un natural como seaprecia en la �gura 4-3. El segmento m(n(−→s )) conserva su sentido, hacia la derecha, esdecir el producto es positivo.

Figura 4-3.: Composición de los operadores m y n

-−→s

-n(−→s )

-m(n(−→s ))

Ahora tomando de la ecuación 3-16 el primer miembro −m(n) y aplicándolo al segmentodirigido −→s , por de�nición se tiene:

[−m( ) ◦ n( )](−→s ) = −m(n(−→s ) = ∗mn(−→s )

como se aprecia en la �gura 4-4, −m(n) = −mn ya que el segmento ∗m(n(−→s )) está orien-tado hacia la izquierda. Recuérdese que el operador ∗( ) cambia la orientación de un segmento.

Tomando el primer miembro de la ecuación 3-17, m(−n) y aplicándolo al segmento −→s seobtiene por de�nición

[m( ) ◦ −n( )](−→s ) = m(−n(−→s )) = m(∗n(−→s )) = ∗mn(−→s )

como se observa en la grá�ca 4-5.


Figura 4-4.: Composición de los operadores -m y n

-−→s

-n(−→s )

�∗m(n(−→s ))

Figura 4-5.: Composición de los operadores m y -n

-−→s

�∗n(−→s )

�m(∗n(−→s ))

Se concluye entonces que m(−n) = −mn y el segmento resultante está orientado hacia laizquierda, y de acuerdo a la convención hecha, el producto es negativo.

Tomando por último el primer miembro de la ecuación 3-18 −m(−n) y aplicándolo comocomposición sobre el segmento −→s se tiene por de�nición:

[−m( ) ◦ −n( )](−→s ) = −m(−n(−→s )) = −m(∗n(−→s )) = ∗m(∗n(−→s ))

que en el grá�co 4-6 es igual al producto obtenido en la �gura 4-3, es decir es positivo.

Figura 4-6.: Composición de los operadores -m y -n

-−→s

�∗n(−→s )

-∗m(∗n(−→s ))

4.4 Justi�cación de la regla de los signos usando propiedades algebraicas 37

4.4. Justi�cación de la regla de los signos usando

propiedades algebraicas

Se justi�carán las ecuaciones del teorema 3.4 así:

Demostración.

b+ (−b) = 0 por propiedad invertiva de + (4-1)

⇒ a · (b+ (−b)) = 0 por teorema 3.2 (4-2)

⇒ a · b+ a · (−b) = 0 Por propiedad distributiva (4-3)

⇒ a · (−b) = −(a · b) por existencia de inversos (4-4)

Para (−a) · (−b) se procede así:

(−a) · (−b) = −(a · (−b)) = −(−(a · b)) por 4-4 (4-5)

= a · b por teorema 3.3 (4-6)

4.5. Justi�cación de la ley de los signos en el marco de

la teoría de los pares ordenados

La ley de los signos se enunció en los items (a), (c) y (d) de la proposición 3.4, los cuales seprobarán a continuación

Demostración.

−(−n) + (−n) = −[(0, n)] + [(0, n)] = [(0, n)]− [(0, n)] = 0

luego n = −(−n) ya que este último es el inverso de −n con lo cual queda demostrado (a);para el caso n < 0 se procede de manera análoga.

Para probar (c), se procede así:

m(−n) = [(m, 0)] · [(0, n)] = [(m0 + 0n,mn+ 0 · 0)] = −mn

(d) se prueba así:

(−m) · (−n) = [(0,m)] · [(0, n)] = [(0 +mn, 0n+m0)] = [(mn, 0)] = mn

5. Propuesta didáctica

Identi�cadas las di�cultades históricas y epistemológicas relacionadas con el tránsito de lamatemática práctica a la matemática formal y abstracta que implicó la introducción de losnúmeros enteros, tal como se evidenció en los capítulos 2 y 3 se proponen ahora algunostalleres y actividades que pretenden remediar en parte, algunas de estas di�cultades. Enrelación a la ley de los signos, el problema radica en que generalmente se presenta a losestudiantes de grado séptimo de educación básica secundaria como regla que es necesariomemorizar sin hacer el su�ciente énfasis en la interpretación de su signi�cado; luego, algunosestudiantes la memorizan, otros, ni siquiera ésto consiguen porque no signi�ca nada paraellos. Esto conlleva a serias di�cultades en el desarrollo de las matemáticas de cursos supe-riores.

Para llegar a presentar la regla de los signos, antes, se debe hacer una presentación delos números enteros que sea asequible a los estudiantes de éste nivel. En el libro �númerosenteros� [5] se plantean cinco etapas previas que permiten llegar a que el estudiante aprehendael número entero como objeto matemático en una última etapa 1. Así, a groso modo, enlas primera etapas, se debe crear el ambiente propicio para introducir los números enterosmediante situaciones problemáticas cotidianas donde sean éstos necesarios.

Las aplicaciones y problemas no se deben reservar para ser considerados sola-mente después de que haya ocurrido el aprendizaje, sino que ellas pueden y debenutilizarse como contexto dentro del cual tiene lugar el aprendizaje. El contextotiene un lugar preponderante en todas las fases del aprendizaje y la enseñanzade las matemáticas, es decir, no sólo en la fase de aplicación sino en la fase de

1Las seis etapas planteadas en el libro �Números enteros� son:

1. El número relativo como relación en contextos concretos

2. De la relación útil a la relación-objeto. Contextos concretos con el número natural implícito.

3. El número relativo como objeto contextualizado.

4. Del número relativo al número entero.

5. El número entero como útil matemático.

6. El número entero como objeto matemático.

40 5 Propuesta didáctica

exploración y en la de desarrollo, donde los alumnos descubren o reinventan lasmatemáticas [6].

Para cumplir con éste objetivo, luego de haber trabajado lo su�ciente con números natu-rales, y haber detectado posibles di�cultades en la aprehensión de los números enteros, sediseñó un primer taller (ver anexo B B.1. Con éste también se pretende ejercitar la lecturacomprensiva, partiendo de un fragmento de la historia de los números enteros.

Este primer taller y el siguiente, se aplicaron a una población de aproximadamente 116 es-tudiantes repartidos en tres grupos, 701, 702 y 703 de la Institución Educativa Distrital Ar-borizadora Baja jornada mañana, ubicada en la localidad 19 �Ciudad Bolívar�. La poblaciónse caracteriza por pertenecer a los estratos socio-económicos 1 y 2 mayoritariamente y al-gunos pocos al estrato 3, con poco interés por la academia ya que ésta no representa paraellos una forma inmediata de ascender socialmente.Luego de socializado el taller 1, se hizo una evaluación escrita (ver anexo B sección B.1.2).Seobservó en la evaluación que algunos pocos estudiantes continuaron presentando las di�cul-tades evidenciadas en el desarrollo del taller.

Posteriormente, se aplicó un taller más sobre números enteros y la adición (ver anexo B ??),para a�anzar y poner en contexto una vez más el uso de los números enteros. La evaluaciónque se hizo de este taller luego de haber sido socializado se inserta en el anexo B B.2.2.

Después se aplicará un tercer taller (Ver anexo B.3). En este taller, se hace un refuerzo de lostemas tratados en los dos talleres aplicados y se hace una introducción a la multiplicaciónde números enteros, especialmente a la regla de los signos. Para ello, se proponen problemas(problemas 1-3 de la segunda parte) relacionados con el movimiento de un ciclista que sedesplaza con determinada rapidez hacia la izquierda o hacia la derecha. Por convención seadopta que la rapidez es positiva cuando el ciclista se desplaza hacia la derecha y negativacuando se desplaza hacia la izquierda. En cuanto al tiempo, se conviene en aceptar que espositivo después de que el ciclista pasa por el origen y que es negativo antes de que pase porel origen.

En el problema 1 de la segunda parte del taller, se propone una situación con unas preguntastendientes a que el estudiante determine el producto de dos enteros positivos. En el proble-ma 2 se presenta la misma situación con algunas variantes y con preguntas dirigidas a queel estudiante llegue concluya con el producto de un entero positivo por un negativo. En elproblema 3, se propone una situación en la que necesariamente se llega al producto de dosnegativos como solución.

Para atacar el problema propuesto, el cual tiene que ver con proponer estrategias de apren-dizaje para la enseñanza-aprendizaje de la ley de los signos, se diseña el taller n◦ 4.

5.1 Taller 4 - Regla de los signos 41

5.1. Taller 4 - Regla de los signos

5.1.1. Objetivos

Presentar a los estudiantes la regla de los signos en diferentes contextos que seansigni�cativos para ellos.

Hacer uso de los operadores sobre segmentos orientados divisible, para presentar laregla de los signos y además usar algunas justi�caciones tratadas en el capítulo 4

Multiplicación de números enteros

1. Supongan que un atleta viaja hacia la derecha (sentido positivo) a 4 kilómetros porhora. Si se encuentra en el origen. ¾Dónde se encontrará dentro de 5 horas?

a) Representen esta situación sobre la recta numérica.

b) Para saber dónde se encuentra el ciclista dentro de tres horas. ¾Qué operaciónmatemática realizan?

2. Supongan que el atleta viene viajando hacia la derecha (sentido positivo) a 4 kilómetrospor hora. Si en este momento se encuentra en el origen. ¾Dónde se encontraba hacetres horas?


b) Como es necesario saber dónde se encontraba el ciclista hace tres horas, considereneste tiempo pasado como negativo.

c) Para saber dónde se encontraba el ciclista hace tres horas. ¾Qué operación matemáti-ca realizan?

3. Supongan que el atleta viene viajando hacia la izquierda (sentido negativo). Recorre 4kilómetros por hora. Si en este momento se encuentra en el origen. ¾Dónde se encon-traba hace tres horas?


b) Para saber dónde se encontraba el ciclista hace tres horas, ¾qué operación matemáti-ca realizan?

Multiplicación de números enteros de forma grá�ca

Ahora bien, podemos multiplicar números enteros grá�camente. Para ello, se dibujandos rectas numéricas perpendiculares que se corten en el origen de cada una. Las rectasnuméricas perpendiculares se llaman ejes de coordenadas y el punto de corte tambiénse llama origen. El eje horizontal también recibe el nombre de eje x o eje de las abcisasy el eje vertical eje y o eje de las ordenadas.


Un plano así construido con este marco referencial se llama plano cartesiano. Paramultiplicar números enteros, solamente debemos saber ubicar los números involucradossobre los ejes mencionados y trazar rectas paralelas como se muestra a continuación:

Ejemplo 1: Si queremos multiplicar el número entero −2 por el número entero 4,seguimos los siguientes pasos.

Ubicamos el número −2 sobre el eje x, luego ubicamos la unidad sobre el eje y.(Figura 5-1)

Trazamos una recta que pase por −2 en el eje x y por la unidad en el eje y.

Figura 5-1.: Recta que pasa por x=-2 y por y=1

1

2

3

4

−1

1−1−2−3−4−5−6−7−8

Ubicamos el número 4 que es el segundo factor sobre el eje y.

Luego trazamos una recta paralela a la anterior que pase por el punto 4 ubicadosobre el eje y.

El resultado se obtiene al veri�car el punto de corte de la segunda recta trazadacon el eje x que en este caso se produce en −8. Luego el producto de −2 y 4 es−8 tal como aparece en la �gura 5-2

4. Usando el método expuesto anteriormente realice las siguientes multiplicaciones:

a) 3× 4

b) −3× 4

c) 3×−4d) −3×−4

e) 2× 3

f ) −2× 3

g) 2×−3h) −2×−3

5. ¾Qué puedes concluir acerca del producto de dos números positivos?


Figura 5-2.: Ejemplo 1: Producto de -2 y 4

1

2

3

4

−1

1−1−2−3−4−5−6−7−8

Primer factor

Segundo factor

Producto

Unidad

6. ¾Qué puedes concluir acerca del producto de un número positivo por un número nega-tivo o viceversa?

7. ¾Qué puedes concluir acerca del producto de dos números enteros negativos?

Otra manera de multiplicar enteros

Escogiendo un segmento horizontal orientado hacia la derecha de 1 cm, el cual vamosa designar como unidad y que simbolizaremos como −→s , vamos a multiplicarlo porcualquier número natural, lo cual hará que el segmento se �estire� tanto como el númeropor el cual multiplicamos lo indique. Así como se observa en la grá�ca 5-3:

Figura 5-3.: Multiplicación del segmento unidad por 4

-−→s

-4(−→s )

Ahora bien, si ese mismo segmento unidad se multiplica por −1 hará que el seg-mento unidad cambie de orientación; ahora estará orientado hacia la izquierda y losimbolizaremos −→∗s.(�gura 5-4)

Figura 5-4.: Multiplicación del segmento unidad por −1

-−→s

�−→∗s


Se puede ahora multiplicar el segmento unidad dos veces o más por varios números así:2(3(−→s )) con lo cual se obtiene el segmento 6−→s . Si multiplicamos el segmento unidadpor −1 y luego por 2, se obtendrá el segmento 2(−1(−→s )) = 2(−→∗s) es decir un segmentoorientado hacia la izquierda.

Figura 5-5.: Multiplicación del segmento unidad por −1 y luego por 2

-−→s

�−→∗s

�2−→∗s

También se puede multiplicar el segmento unidad por 2 y luego por −1 con lo cualobtenemos el mismo resultado. Ahora si multiplicamos cualquier segmento por −1hará que el segmento cambie de orientación no importando si está orientado hacia laderecha o hacia la izquierda, por ejemplo −1(4(−→∗s)) = 4(−→s ) estará orientado hacia laderecha. Cualquier segmento multiplicado por un número negativo hará que éste cambiede orientación ya que un número negativo se puede considerar como el producto deun número positivo por −1. (−3 = −1(3) = 3(−1)) Por ejemplo el segmento 2−→∗sestá orientado hacia la izquierda y al multiplicarlo por −3 se obtendrá el segmento−3(2−→∗s) = −1(3(2−→∗s)) = −1(6−→∗s) = 6−→s , orientado hacia la derecha.

8. Hacer los dibujos correspondientes a las siguientes situaciones:

a) 2(3(−→s ). ¾Hacia donde está orientado el segmento resultante?

b) −2(3−→s ). ¾Hacia donde está orientado el segmento resultante?

c) 2(−3−→s ). ¾Hacia donde está orientado el segmento resultante?

d) −2(−3−→s ). ¾Hacia donde está orientado el segmento resultante?

e) 3(4−→∗s). ¾Hacia donde está orientado el segmento resultante?

f ) −3(4−→∗s. ¾Hacia donde está orientado el segmento resultante?

g) 3(4−→∗s). ¾Hacia donde está orientado el segmento resultante?

h) −3(−4−→∗s). ¾Hacia donde está orientado el segmento resultante?

9. ¾Que sucede si multiplicamos dos números enteros positivos?

10. ¾Qué signo tendrá el producto de dos números negativos?

11. ¾Qué signo tendrá el producto de un número entero positivo por un número enteronegativo?


ConcluyamosEl producto de dos números enteros es positivo si los dos factores tienen igual signo yes negativo si los dos factores tienen signos diferentes.

6× 3 = 18 El resultado es positivo porque(−5)× (−2) = 10 los dos factores tienen igual signo4× (−7) = −28 El resultado es negativo porque los(−8)× (3) = −24 dos factores tienen signos diferentes.

Tabla 5-1.: Ejemplos

Este taller no se ha aplicado aún, pero se espera que los estudiantes logren dar signi�cadoa la regla de los signos en la multiplicación de números enteros y la sepan usar cuando larequieran.

6. Conclusiones y recomendaciones

6.1. Conclusiones

El desarrollo de este trabajo �nal de maestría complementa en gran medida la formaciónrecibida durante estos dos años de estudio en la Universidad Nacional de Colombia en elprograma de maestría en la �Enseñanza de las ciencias exactas y naturales�, porque me per-mitió plasmar en éste una propuesta que venía madurando desde el semestre anterior sobreel proceso de enseñanza-aprendizaje de la ley de los signos. Ya desde el primer semestre mepercaté de la importancia para la enseñanza, de la historia del desarrollo de los conceptosmatemáticos, en el curso historia y �losofía de las matemáticas dictado por la profesoraClara Helena Sánchez.

El estudio que hice de la historia de los números enteros en el capítulo 2, me permitió en-tender la complejidad de lo que habitualmente se enseña en grado 7◦ y sobre lo cual pocose re�exiona. El desconocimiento de la historia ha sido un factor determinante en el an-quilosamiento del profesor de secundaria, que encuentra más fácil apoyarse en los libros detexto tradicionales, que en las propias fuentes, donde tuvieron lugar el desarrollo de las ideasmatemáticas, perdiéndose de la posibilidad de reconocer en este proceso histórico elementosque ayuden a mejorar su práctica.

También, el estudio de los aspectos disciplinares, junto con el estudio de los aspectos históri-cos relativos al tema de éste trabajo, me permitieron repensar y re�exionar sobre mi prácticadiaria como maestro de matemáticas de nivel �elemental�, al brindarme nuevos elementos quedifícilmente se encuentran en los libros de texto usados tradicionalmente como apoyo. Conla ayuda de estos elementos nuevos recogidos y el entendimiento de la complejidad de lostemas objeto de enseñanza elaboré la propuesta didáctica en el capítulo 5.

48 6 Conclusiones y recomendaciones

6.2. Recomendaciones

Como la propuesta didáctica se encuentra aún en etapa de implementación, las conclusionesderivadas de la aplicación de ésta, podrían dar lugar a un trabajo posterior. En cuanto a lasestrategias de aprendizaje planteadas, éstas son susceptibles de mejora y de ampliación, yaque aquí, están restringidas principalmente a la enseñanza de la ley de los signos, y, paracompletar una unidad didáctica sobre los números enteros, debería prepararse un materialsimilar para ser aplicado en una introducción más extensa de éstos y la adición, presentadosen diferentes contextos, antes de pasar a abordar la multiplicación, como debe ser lo indicado,para que la transición del número natural al entero sea lo más cómoda posible para losestudiantes de grado 7◦

A. Anexo: Relación de equivalencia,

clases de equivalencia y conjunto

cociente

A.1. Producto cartesiano

De�nición A.1. Dados dos conjuntos A y B se de�ne el producto cartesiano A×B así:

A×B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}.

Para ilustrar, sean los conjuntosN = {2, 4, } y P = {1, 3} el producto cartesianoN×P estaráconformado por 4 parejas donde las primeras componentes de cada pareja son elementos deNy las segundas componentes son elementos de P . Es decirN×P = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3)}.

A.2. Relaciones

De�nición A.2. Se de�ne una relación R de un conjunto A en un conjunto B como unsubconjunto del producto cartesiano A×B; es decir

R es una relación de A en B si R ⊆ A×B.

Como ejemplo, se tiene que el conjunto R1 = {(2, 1), (4, 3), (2, 3)} es un subconjunto deN × P . y por tanto es una relación de N en P . Se puede escribir que la pareja (2, 1) ∈ R1 osimplemente 2R 1

Es posible de�nir una relación de A en A. Una relación así de�nida, es un subconjunto delproducto cartesiano A×A y se dice que la relación está de�nida en A. Si se toma el conjuntoD = {0, 1, 2, 3, . . . 8, 9}, el conjunto de dígitos, y se de�ne la relación R2 en D × D tal quey = 2x, se tiene que

R2 = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.

50 A Anexo: Relación de equivalencia, clases de equivalencia y conjunto cociente

A.2.1. Propiedades de las relaciones

De�nición A.3. Una relación de�nida en A se llama re�exiva en A, si todo elemento de A

está relacionado mediante ella consigo mismo. Es decir:

R es re�exiva en A⇔ (∀x ∈ A)(xRx)

La relación R2 de�nida en D, del ejemplo anterior no es re�exiva, en cambio la relaciónR3 = {(x, y) ∈ D ×D |x ≤ y} si es re�exiva ya que para todo elemento x ∈ D, x ≤ x.

De�nición A.4. Una relación de�nida en un conjunto A es simétrica en A, si cada vez queun elemento está relacionado con otro, también el segundo lo está con el primero. Es decir:

R es simétrica en A ⇔ (∀x, y ∈ A)(xRy → yRx)

La relación R3 no es simétrica ya que por ejemplo la pareja (2, 4) ∈ R3 y la pareja (4, 2) 6∈ R3.Si se de�ne la relación R4 = {(a, b), (a, c), (b, a), (c, a), (c, c)} de�nida en E = {a, b, c} seobserva que si es simétrica.

De�nición A.5. Una relación de�nida en A se dice que es transitiva si cada vez que unelemento esté relacionado mediante ella con un segundo y éste a su vez lo esté con un tercero,entonces también el primero está relacionado con el tercero; más precisamente:

R es transitiva enA⇔ (∀x, y, z ∈ A)(xRy y yRz → xRz)

Por ejemplo la relación R1 no es transitiva, mientras que R3 si es transitiva ya que si x ≤ y

y y ≤ z entonces x ≤ z.

A.2.2. Relación de orden

Una relación R de�nida en un conjunto A es de orden si R es re�exiva, antisimétrica ytransitiva. La relación ≤ de�nida en los números naturales es una relación de orden porqueveri�ca las tres propiedades mencionadas.

A.2.3. Relación de equivalencia

Una relación de�nida en un conjunto A es de equivalencia si es re�exiva, simétrica y transiti-va. Una relación de equivalencia típica es la igualdad. Por ejemplo si se de�ne enD la relaciónR5 = {(x, y), x, y ∈ D | y = x} la relación R5 de�nida así es una relación de equivalenciaporque satisface las propiedades re�exiva, simétrica y transitiva.

A.3 Partición de un conjunto en clases de equivalencia mediante una relación 51

A.3. Partición de un conjunto en clases de

equivalencia mediante una relación

De�nición A.6. Dada una relación de equivalencia R en un conjunto no vacío A, una �par-tición� de A consiste en una colección no vacía C de subconjuntos de A con las propiedadessiguientes:

(i) X ∈ C → X 6= ∅

(ii) X, Y ∈ C ∧X 6= Y → X ∪ Y = ∅

(iii)⋃

X∈C X = A

La propiedad (iii) indica que la unión de todos los subconjuntos X ∈ C es igual a A

A.4. Clases de equivalencia

La relación ∼ de�nida en 3.5 es una relación de equivalencia y ésta relación genera unpartición de N × N en clases disyuntas dos a dos. En la �gura 3-1, se observan dos clasesdisyuntas, la clase del 0 y la clase del 1. A la clase del 0 pertenecen todas las parejas de laforma (a, a) y a la clase del 1 pertenencen todas las parejas de la forma (a+1, a) con a ∈ N.

De�nición A.7. Sea R una relación de equivalencia de�nida en un conjunto A no vacío ysea a un elemento cualquiera de A; se llama clase de equivalencia de a (con respecto a larelación R) al conjunto constituido por todos los elementos de A que están relacionados cona mediante R.

La clase de a según la relación R se denota [a]R o simplemente [a]. Si se toma la relaciónR6 = {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c, c)} de�nida en E = {a, b, c} las clases de equivalenciadeterminada por ella son:

[a] = {a, b} = [b] y [c] = {c}.

Se observa que la relación R6 genera una partición de E en dos clases disyuntas, la clase[a] = [b] y la clase [c], es decir la relación R6 genera la partición

E/R6 = {a, b, c}/R6 = {{a, b}, {c}}

sobre el conjunto E. Al conjunto E/R6 se le denomina conjunto cociente.

Las clases de equivalencia, gozan de propiedades interesantes. Por ejemplo son no vacías, yaque para todo a ∈ A, a ∈ [A]R. Son recubridoras porque todo elemento de A está en al menosuna clase de equivalencia, a saber en la clase de el mismo ya que a ∈ [A]R. Son disyuntas

52 A Anexo: Relación de equivalencia, clases de equivalencia y conjunto cociente

dos a dos, es decir, si [a]R 6= [b]R entonces [a]R ∩ [B]R = ∅. Efectivamente, suponiendo[a]R 6= [b]R, esto es equivalente a decir que �no� aRb. Ahora bien, por contradicción, sesupone que [a]R ∩ [b]R 6= ∅: entonces existe x ∈ ([a]R ∩ [b]R) y se tiene xRa y xRb. Como R

es simétrica, de xRa se deduce aRx, y como R es transitiva, de aRx y xRb se deduce aRb,lo que resulta en contradicción (con �no� aRb).

B. Anexo: Talleres y evaluaciones

B.1. Taller 1: Números enteros

B.1.1. OBJETIVOS

Reforzar la comprensión lectora, necesaria en la metodología de resolución de proble-mas.

Presentar a los estudiantes situaciones relativamente cercanas que requieren del uso delos números enteros.

Indagar por preconceptos e ideas previas que puedan tener los estudiantes respecto alos números enteros.

¾SABÍAS QUÉ. . . ?Las actividades comerciales han estado presentes en el origen de muchas actividades matemáti-cas. ¾A quién podría interesar más saber de números que a un comerciante o a un prestamista?Se sabe que hace más de 4000 años los babilonios usaron sus conocimientos matemáticos paracalcular los intereses que debía pagar alguien que recibía un préstamo. Por cierto, parece queeran bien usureros.Durante siglos, los matemáticos fueron conscientes de que algunos problemas no podían re-solverse sin recurrir a algún tipo de número que nadie había de�nido todavía y que son losque ahora llamamos NEGATIVOS.Uno de los primeros europeos que fue capaz de dar algún signi�cado a los números negativos(Z−) fue Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci. La idea surgió cuando tratabade resolver un problema económico imposible de solucionar si no se admitía como resultadoun Z−. �El problema - dijo - no tiene solución a menos que se admita que el primer hombretenía una deuda�.

Responde el cuestionario siguiendo la instrucción: encierra en un círculo la letra F, si laproposición es falsa, la letra V, si es verdadera y la letra N si no aparece en el texto.

1. Leonardo de Pisa fue un conocido prestamista italiano. F V N

2. Hace ya cuatro siglos que los babilonios usaban su conocimiento matemático paracalcular los intereses que pagaba algún prestamista. F V N

54 B Anexo: Talleres y evaluaciones

3. Los babilonios fueron los creadores de los Z− F V N

4. A los comerciantes y prestamistas antiguos poco o nada les importó saber de números.F V N

5. Fibonacci dio un signi�cado claro a los Z− F V N

6. Los prestamistas babilonios practicaron la usura. F V N

7. Muchas actividades matemáticas han estado ligadas al comercio.F V N

8. La actividad comercial, realmente es poco lo que ha contribuido al desarrollo de lasmatemáticas. F V N

9. El número negativo se puede expresar por ejemplo, que uno tiene una deuda. F V N

10. Los matemáticos antiguos tuvieron muchas di�cultades para manejar los préstamosque hacían a las personas. F V N

ACTIVIDADES PRÁCTICAS

11. ¾Qué temperatura está marcando un termómetro si:

a) Marcaba 15� y disminuyó 12�?

b) Marcaba 10� bajo cero y aumentó 7�?

c) Marcaba 18� y aumentó 7�?

d) Marcaba 6� bajo cero y disminuyó 5�?

12. Escribe una situación que pueda representar cada número

a) -12 m

b) 10 �

c) 30 k/h

d) $ -586

13. Estima la temperatura de los elementos de la derecha y luego aparéalos con la tempe-ratura aproximada, de la columna de la izquierda

1200� Temperatura del cuerpo humano-30� temperatura de la super�cie del sol3� temperatura de un congelador5750� temperatura en Siberia37� temperatura de una nevera-50� temperatura de la lava de un volcán

B.1 Taller 1: Números enteros 55

14. Analiza cuáles a�rmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explica cada caso sobreuna recta numérica:

a) 5 está a la derecha de -3

b) -2 está a la izquierda de 6

c) -6 está a la derecha de -4

d) -7 está a la izquierda de -6

e) Entre 5 y 3 hay 2 unidades de distancia.

f ) La distancia entre -2 y 2 es de 2 unidades.

g) De cero a -5 la distancia es de 5 unidades.

h) Entre -3 y 8 la distancia es de 5 unidades.

15. Observa los periodos en que se ubican las culturas antiguas y responde las preguntas

Grandes culturas de Mesopotamia: 200 a 500 a. de C.

Cultura superior egipcia: 1800 a 525 a. de C.

La civilización del oriente antiguo: 3000 a. de C. al 1000 d. de C.

a) ¾Cuál es el punto de referencia para la ubicación de las culturas?

b) ¾Qué año se encuentra después del 500 a. de C.?

c) ¾Qué año está antes de 1326 a. de C.?

d) ¾Qué puedes concluir al respecto del orden en los números Z−?

16. Un gusano sube por una pared lisa. Si por cada 3 cm que avanza se desliza 2 cm, ¾alcabo de cuántos intentos logra trepar 5 cm?

17. Buscando una dirección, Luis caminó inicialmente 5 cuadras, pero como no la encontróretrocedió 3 cuadras y avanzó una más, ¾a cuántas cuadras quedó de donde inició subúsqueda?

18. A las 6:00 a.m. el termómetro marca -8°C. A las 10:00 a.m. la temperatura es 20°Cmás alta y después de esta hora hasta las 9:00 p.m. bajó 6°C. Expresa la temperaturaa las 9:00 p.m.

B.1.2. Evaluación del taller 1

Después de realizado el taller 1, se socializó con los estudiantes, se discutieron algunas solu-ciones a los problemas y/o ejercicios y luego de una retroalimentación, se aplicó la siguienteevaluación.


Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Curso: . . . . . . Fecha: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. ¾Qué temperatura está marcando un termómetro si:

a) Marcaba 18� y disminuyó 12�? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Marcaba 12� bajo cero y aumentó 5�? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Marcaba 25� y aumentó 4�? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Marcaba 8� bajo cero y disminuyó 6�? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Escribe una situación que pueda representar cada número

a) -15 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) 12� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) 30 k/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) $ -5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Estima la temperatura de los elementos de la derecha y luego aparéalos con la tempe-ratura aproximada, de la columna de la izquierda

1200� Temperatura del cuerpo humano-30� temperatura de la super�cie del sol3� temperatura de un congelador5750� temperatura en Siberia37� temperatura de una nevera-50� temperatura de la lava de un volcán

4. Analiza cuáles a�rmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explica cada caso sobreuna recta numérica:

a) 6 está a la derecha de -4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) -4 está a la izquierda de 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) -8 está a la derecha de -6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Entre 5 y 3 hay 2 unidades de distancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) La distancia entre -2 y 2 es de 2 unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f ) De cero a -5 la distancia es de 5 unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g) Entre -3 y 8 la distancia es de 5 unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. ¾Qué año se encuentra después del 600 a. de C.? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B.1 Taller 1: Números enteros 57

6. ¾Qué año está antes de 1356 a. de C.? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. ¾Qué puedes concluir al respecto del orden en los números Z−? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Un gusano sube por una pared lisa. Si por cada 4 cm que avanza se desliza 2 cm, ¾alcabo de cuántos intentos logra trepar 7 cm? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Buscando una dirección, Luis caminó inicialmente 8 cuadras, pero como no la encontróretrocedió 4 cuadras y luego retrocedió 6 cuadras más, ¾a cuántas cuadras quedó dedonde inició su búsqueda?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. A las 6:00 a.m. el termómetro marca -6°C. A las 10:00 a.m. la temperatura es 15°Cmás alta y después de esta hora hasta las 9:00 p.m. bajó 12°C. Expresa la temperaturaa las 9:00 p.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B.1.3. Análisis de resultados - Taller 1

Después de aplicado el taller, se observó que la mayoría de estudiantes tienen serias di�cul-tades en la comprensión lectora, factor que di�culta el proceso de enseñanza-aprendizaje entodas las áreas de la educación básica y media. Esto es etendible en la medida en que muchosestudiantes del grado presentaron bajo rendimiento académico el año anterior al cambiarsede un sistema de evaluación permisivo que admitía la denominada �promoción automática�(Decreto 230 de 2002) 1 a un sistema de evaluación institucional, que acordado con la comu-nidad educativa elevó los niveles de exigencia, apoyados en el decreto 1290 2. El año escolarinmediatamente anterior se caracterizó por unos altos índices de repitencia no solamente anivel institucional, sino también a nivel distrital y nacional.

Pese a las di�cultades con la comprensión lectora, la mayoría de los estudiantes respondieronacertivamente al taller. Las di�cultades se presentaron en determinados puntos; por ejemploen el punto 11, en el cual había que indicar la temperatura que está marcando un termómetrodespués de ciertas variaciones en la temperatura (aquí se presenta de manera implícita laadición de enteros), muy pocos estudiantes tuvieron di�cultades; por el contrario en el punto12, donde se presentaban números enteros a los que había que asociarles situaciones, muchosestudiantes tuvieron di�cultades. Se evidencia entonces que para ellos, es más difícil propon-er situaciones que se puedan representar con números enteros y les es más fácil el proceso

1El decreto 230 de 2002 obligaba a las instituciones educativas a promover al 95% de los estudiantes de

una institución educativa2El decreto 1290 expedido en el 2009, deroga en su artículo 19 el decreto 230 de 2002 y brinda la autonomía

para que las instituciones educativas diseñen un sistema de evaluación institucional de acuerdo a sus

necesidades y a su PEI (Proyecto Educativo Institucional)


inverso; es decir, dada una situación encontrar los números adecuados para describirla.

En el punto 15 no se presentaron mayores di�cultades, en el cual se pide a los estudiantesdeterminar qué número está a la derecha o a la izquierda en la recta numérica, dados dosnúmeros enteros. Con relación a la pregunta 15 donde se indagaba por la relación de ordenen los enteros usando la secuenciación de los años en dos eras, antes de Cristo y despuésde Cristo se observaron algunas di�cultades ya que implícitamente se está trabajando conla relación de orden. Algunos estudiantes llegaron a conclusiones interesantes después de lasocialización del taller. Hubo conclusiones del tipo: �El antes es el después y el después es elantes�, re�riéndosen al orden en la secuenciación de los años en el período antes de Cristo ypor tanto concluyendo que el orden en los negativos es completamente diferente al orden enlos enteros positivos.

B.2. Taller 2

B.2.1. Objetivos

Continuar familiarizando a los estudiantes con los números enteros y la adición pre-sentados en diferentes contextos

Presentar situaciones problemáticas relacionadas con la adición de números enteros.

Trabajar la relación de orden en los números enteros.

Enfatizar en las propiedades de los números enteros con la adición.

1. Ubica en la recta numérica los siguientes enteros: -1, 0, -3, 4, 2, 1, -2,

Figura B-1.: Recta numérica

2. Anota el opuesto simétrico de :

a) -3 opuesto

b) 8 opuesto

c) -4 opuesto

d) 15 opuesto

e) -6 opuesto

f ) 0 opuesto

g) a opuesto

h) −b opuesto

B.2 Taller 2 59

3. Escribe el entero que representa las siguientes situaciones:

a) 3 grados bajo cero:

b) Debo $ 2.000:

c) 4 grados sobre cero:

d) Tengo $ 10000 en la cuenta:

e) 25 metros de profundidad:

f ) 80 metros de altura:

g) 6 metros a la derecha:

h) 3.000 años antes de Cristo:

i) 10 metros a la izquierda:

j ) 2011 después de Cristo:

4. Escribe el signo <, > o = según corresponda

a) -3 3

b) -6 -1

c) 5 0

d) -2 0

e) 6 +6

f ) 0 |-8|

g) 0 +8

h) -4 +4

i) -9 0

j ) -1 -1.000

k) |-3| |+3|

l) |-6| |+2|

5. Ordena de menor a mayor estos conjuntos:

a) A = {−5, 4, 0,−7, 3} A = { }b) B = {−5, 4, 0,−7, 3} B = { }c) C = {−15,−6,−2,−100,−1} C = { }

6. Ordena de mayor a menor estos conjuntos:

a) D = {18,−14, 26,−32} D = { }b) E = {−48,−35,−94,−76} E = { }

7. Dadas las siguientes temperaturas de cinco días de la semana registradas en ciertaciudad del Sur de Chile. Responde:

Temperaturas Lunes Martes Miércoles Jueves ViernesMáxima � 8 10 0 -3 15Mínima � 0 3 -1 -7 7

a) ¾Qué día se produjo la menor de las temperaturas mínimas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) ¾Cuál fue la mayor de las temperaturas máximas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Ordena las temperaturas mínimas de menor a mayor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Ordena las temperaturas máximas de mayor a menor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Resuelve las siguientes adiciones:


a) 2 + 5 =

b) -7 + -3 =

c) 6 + -4 =

d) -4 + 8 =

e) -10 + -20 =

f ) 10 + -30 =

g) -18 + 24 =

h) 100 + -32 =

i) 238 + 136 =

j ) -529 + -469 =

k) 800 + -468 =

l) 357 + -900 =

m) 5 + -3 + 10 =

n) -8 + -12 + 10 + -13 + -15 =

9. Anota el número de la columna �A� que corresponda en la �B�

A B1) 5 + 0 = 5 . . . . . . Conmutativa2) 2 + (−3) = −3 + 2 . . . . . . Asociativa3) 7 + (−7) = −7 + 7 = 0 . . . . . . Neutro aditivo4) (−4 + 6) + (−2) = −4 + (6 + (−2)) . . . . . . Inverso aditivo

10. Escribe el nombre de las siguientes propiedades de la adición:

a) a+ 0 = a

b) a+ (b+ c) = (a+ b) + c

c) a+ b = b+ a

d) a+−a = 0

11. Resuelve las siguientes adiciones usando la propiedad asociativa:

a) -3 + 4 + -8 =

b) 6 + -5 + -2 + 9 =

c) -1 + 2 + -3 + -4 + 5 =

d) -10 + l5 + 34 + -28 + 60 =

12. Resuelve las siguientes proposiciones abiertas de adición:

a) +9 +� = 5

b) +1 +� = −3c) (−8) +� = 0

d) �+ (−7) = −4

13. Resuelve las siguientes sustracciones

a) 9 - 5 =

b) -6 - ( -4) =

B.2 Taller 2 61

c) -2 - 7 =

d) 5 - (-1) =

e) 18 - 30 =

f ) -24 - ( -19) =

g) -89 -56 =

h) 67 - (-33) =

i) 234 - (-500) =

j ) -538 - 700 =

k) -800 - ( -208) =

l) 600 - 209 =

m) -10 - (-8) - (-15) =

n) -7 - 3 - (-10) - 15 =

ñ) 12 - (-8) - (-3) - 5 - (-4) =

14. Resuelve estos ejercicios combinados de adición y sustracción:

a) 3 + 5 - 8 + 4 - 9

b) 6 - 9 + 4 - 5 + 8 - 3 + 7

c) 9 - 8 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1

15. Resuelve estos ejercicios combinados con uso de paréntesis:

a) −6− (−2 + 1) + 8 =

b) −8− [15− (3− 7)− 10] =

c) −7− {−3[−5(1− 9) + 4]− 6}+ 8 =

16. Resuelve estos problemas, anotando la operación y la respuesta:

a) Si pierdes 15 láminas en un juego y 18 láminas en otro. ¾ Cuántas láminas hasperdido en total?

b) Un equipo de fútbol tiene 8 goles a favor y en otro partido hizo 5 goles más¾Cuántos goles tiene en total?

c) Un submarino descendió 46 metros y luego subió 18 metros. ¾ A qué profundidadse encuentra?

17. Las temperaturas máximas y mínimas de tres días fueron las siguientes:


Día temperatura mínima en � temperatura máxima en �1 12 25 �2 15 273 10 23

a) ¾Cómo se calcula habitualmente la diferencia de temperaturas en un día?

b) Representa en una recta numérica, como se muestra a continuación, el resultadode la diferencia de temperatura en cada día.

Figura B-2.: Diferencia de temperatura en el día 1

25-12

2512

c) Escribe las operaciones aritméticas que permiten encontrar los resultados. Porejemplo, en el primer caso 25− 12 = 13

d) Encuentra la diferencia entre la máxima y la mínima en los siguientes tres casos:

Temperatura mínima temperatura máxima0 10-4 5-8 3

e) Realiza los cálculos apoyándose en una representación grá�ca en la recta numérica.

18. Resuelve los siguientes problemas

a) Santiago tuvo ayer una temperatura de 3� bajo 0 en la mañana y en la tardesubió 18�. ¾Cuál fue la temperatura alcanzada.

b) Una sustancia química que está a 5� bajo cero se calienta en un mechero hastaque alcanza una temperatura de 12� sobre cero. ¾Cuántos grados subió?

c) María deposita el día lunes, en su libreta de ahorros, cuyo capital ascendía a$123.000, la cantidad de $12.670. El día miércoles por una urgencia, realiza un girode $ 56.000. ¾Cuál es el nuevo capital que posee?. Escribe la operación utilizandonúmeros enteros.

d) En invierno en cierto lugar del sur de Chile la temperatura a las 16 horas fue de12�. A las 3 de la mañana hubo un descenso de 17�. ¾Cuál fue la temperaturaregistrada a esa hora?

e) Un submarino de la �ota naval, desciende a 50 metros bajo el nivel del mar yluego desciende 20 metros más . Entonces queda a una profundidad de

B.2 Taller 2 63

f ) Calcula tu edad hasta el año 2004

g) ¾Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César (año 44 A.de C.)hasta la caída del Imperio Romano de Occidente (año 395 D. de C.)

h) Euclídes, geómetra griego, nació en el año 306 A de C y murió en el año 283 A.de C. ¾Qué edad tenía cuando murió ?

i) La invención de la escritura data del año 3.000 A de C. ¾Cuántos años han tran-scurrido hasta hoy?

j ) En cada una de las siguientes actividades imagina que partes del número cero yque cada paso avanzas un número entero:

1) Retrocedes 5 pasos y avanzas 3 pasos. ¾En qué punto te encuentras?

2) Avanzas 10 pasos y retrocedes 8 pasos. ¾En qué punto te encuentras?

3) Avanzas 2 pasos y retrocedes 2. ¾En qué punto te encuentras?

4) Si avanzas 13 pasos. ¾Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto−5?

k) ¾Cuál es la diferencia de nivel entre un punto que está a 1.500 metros sobre elnivel del mar y otro que está a 300 metros bajo el nivel del mar?

l) En Calama la temperatura de hoy fue de 8� sobre 0 en la tarde y 5� bajo 0 enla noche. ¾En cuántos grados varió la temperatura?

m) Un auto está ubicado a 7 m a la derecha de un punto A, luego avanza 23 m,retrocede 36 m, vuelve avanzar 19 m y retrocede 36 m. ¾A qué distancia delpunto A se encuentra?

n) Dada la siguiente serie numérica: . . . − 7,−4,−1, 2, 5, . . . ¾Cuál es la suma delnúmero entero anterior a −7 con 5?

ñ) En la primera parada de un bus suben 7 personas, en la segunda suben 5 y bajan 2,en la tercera suben 9 y baja 1, en la cuarta parada baja la mitad de los pasajeros.¾Cuántos pasajeros quedan en el bus?

o) ¾Cuántos números enteros hay entre dos números enteros consecutivos?

p) Encuentra el valor de las siguientes expresiones, sabiendo que: a = 2, b = −5 yc = 4

1) a+ b+ c

2) a− b+ c

3) a− b− c

4) a+ b− c

Luego de socializar la solución a los problemas y/o ejercicios del taller, se aplicó una evalua-ción escrita que se presenta a continuación.


B.2.2. Evaluación del taller 2

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Curso: . . . . . . Fecha: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Escribe el entero que representa las siguientes situaciones:

a) 50 m de altura

b) Debo $3.275

c) 13 grados bajo cero

d) 450 años A.C.

e) 2500 años D.C.

f ) 28 m de profundidad

2. Escribe el signo <, > ó = según corresponda:

a) 3 5

b) 4 0

c) 0 12

d) -2 0

e) 0 -3

f ) -6 -2

g) -8 -15

h) | − 3| |3|i) |4| | − 4|

3. Ordena de menor a mayor los siguientes conjuntos

a) A = {10,−10, 15,−2, 0, 30,−25}b) B = {−3, 5, 0,−12, 15,−18, 20}

4. Anota el opuesto simétrico de los siguientes enteros:

a) 10 opuesto

b) −12 opuesto

c) 0 opuesto

d) | − 3| opuestoe) a opuesto

f ) −x opuesto

5. Dadas las siguientes temperaturas de cinco días de la semana registradas en ciertaciudad del Sur de Argentina. Responde:Temperatura Lunes Martes Miércoles Jueves ViernesMáxima � 12 10 18 9 -1Mínima � 0 -2 -5 -8 -10

a) ¾Qué día se produjo la menor de las temperaturas mínimas?

b) ¾Cuál fue la mayor de las temperaturas máximas?

c) Ordena las temperaturas mínimas de menor a mayor.

d) Ordena las temperaturas máximas de mayor a menor.

e) Calcula la diferencia de temperaturas los días miércoles y viernesMiércoles:Viernes:

B.3 Taller 3: Refuerzo sobre talleres 1 y 2 e introducción a la multiplicación de enteros65

6. Resuelve estos problemas, anotando la operación y la respuesta:

a) Si pierdes 13 láminas en un juego y 17 láminas en otro. ¾Cuántas láminas hasperdido en total?:

b) Un equipo de fútbol tiene 8 goles a favor y en otro partido recibió 15 y anotó 5goles. ¾Cuántas goles tiene a favor en total?

c) Un submarino descendió 36 metros y luego subió 15 metros. ¾A qué profundidadse encuentra?:

7. Una sustancia química que está a 12� bajo cero se calienta en un mechero hasta quealcanza una temperatura de 25� sobre cero. ¾Cuántos grados subió?

8. ¾Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Alejandro Magno (año 323 A.C.)hasta el nacimiento de Galileo Galilei (año 1564 D.C.)?

9. Escribe un conjunto de números enteros negativos que sean menores que −12 y mayoreso iguales que −20.

10. ¾Cuál es la diferencia de nivel entre un punto que está a 2.500 metros sobre el niveldel mar y otro que está a 145 metros bajo el nivel del mar?

B.2.3. Análisis de resultados - taller 2

La aplicación de este taller evidencia nuevamente la falta de comprensión lectora de lamayoría de los estudiantes. También se evidencian di�cultades en hallar variaciones de tem-peratura, altura, etc en ciertos problemas, sobre todo cuando el dato inicial es menor que eldato �nal lo cual a su vez evidencia di�cultades con el manejo de los números negativos.En vista de las di�cultades detectadas en la aplicación de los dos talleres anteriores, sepropone un tercer taller de refuerzo que será aplicado posteriormente.

B.3. Taller 3: Refuerzo sobre talleres 1 y 2 e

introducción a la multiplicación de enteros

B.3.1. Objetivos

Hacer un refuerzo de los temas tratados en los talleres 1 y 2

Presentar una introducción a la multiplicación de números enteros


Mediante situaciones problemáticas, hacer una pequeña introducción a la regla de lossignos.

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Curso: . . . . . . Fecha: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

REPASO DE NÚMEROS ENTEROSAl sumar dos números enteros debes tenerpresente:

Si los dos enteros son positivos, el resul-tado de la suma es otro entero positivo.

Si los dos enteros son negativos, debensumar los valores absolutos de losnúmeros y colocar el signo negativo alresultado.

Si los dos enteros tienen diferente signo,la suma se obtiene de sumar del enterode mayor valor absoluto, el entero demenor valor absoluto. En el resultadose escribe el signo del entero con mayorvalor absoluto.

La adición de números enteros cumple lassiguientes propiedades:

Clausurativa. Si a y b son números en-teros

a + b

es otro número entero.

Conmutativa. Si a y b son números en-teros

a + b = b + a.

Asociativa. Si a, b, c son números en-teros

(a + b) + c = a + (b + c)

Modulativa. Para todo entero a, secumple que:

a + 0 = 0 + a = a.

Inverso aditivo. Para todo entero a,existe −a tal, que:

a + (−a) = (−a) + a = 0

1. Digan cuáles de las siguientes a�rma-ciones son verdaderas y cuáles falsas.En caso de ser falsas presenten uncontra-ejemplo de la a�rmación.

a) La suma de dos enteros positivoses un número positivo. . . . . . . . . . .

b) La suma de dos enteros negativoses un número positivo. . . . . . . . . . .

c) La suma de dos enteros de diferen-te signo es un número positivo. . .

d) La suma de dos enteros de diferen-te signo es un número negativo. .

e) La suma de dos enteros negativoses un número negativo. . . . . . . . . .

2. Re�exionen sobre los siguientes inte-rrogatorios y contéstenlos con ejemplosque a�rmen su respuesta:

a) ¾La suma de dos números enterosserá otro número entero? . . . . . . . .

b) Si a un número entero cualquierale suma el número cero, ¾cuál es elresultado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) ¾Qué entero deben sumar a 5 paraobtener cero? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B.3 Taller 3: Refuerzo sobre talleres 1 y 2 e introducción a la multiplicación de enteros67

d) ¾Qué entero deben sumar a -3 paraobtener cero? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) ¾La suma de dos enteros será con-mutativa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f ) ¾La suma de dos enteros será aso-ciativa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Completa los siguientes enunciados:

a) El inverso aditivo de 4 es: . . . . . . .

b) El módulo de la adición en losnúmeros enteros es: . . . . . . . . . . . . .

c) La propiedad que se cumple en

4 + 10 = 10 + 4

es: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INTRODUCCIÓN A LA MULTIPLI-CACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1. Supongan que un ciclista viaja hacia laderecha (sentido positivo) a 20 kilóme-tros por hora. Si se encuentra en el ori-gen. ¾Dónde se encontrará dentro de 3horas?

a) Representen esta situación sobrela recta numérica.

b) Para saber dónde se encuentra elciclista dentro de tres horas. ¾Quéoperación matemática realizan?

2. Supongan que el ciclista viene viajandohacia la derecha (sentido positivo) a 20kilómetros por hora. Si en este momen-to se encuentra en el origen. ¾Dónde seencontraba hace tres horas?


b) Como es necesario saber dónde seencontraba el ciclista hace tres ho-ras, consideren este tiempo pasadocomo negativo.

c) Para saber dónde se encontraba elciclista hace tres horas. ¾Qué ope-ración matemática realizan?

3. Supongan que el ciclista viene viajan-do hacia la izquierda (sentido negativo).Recorre 20 kilómetros por hora. Si eneste momento se encuentra en el origen.¾Dónde se encontraba hace tres horas?


b) Para saber dónde se encontraba elciclista hace tres horas, ¾qué ope-ración matemática realizan?

4. Analicen si los siguientes enunciadosson falsos o verdaderos. De ser ver-daderos ilustren con ejemplos e in-diquen el nombre de la propiedad quese está cumpliendo. Si es falso den uncontraejemplo.

a) El producto de dos números en-teros es siempre otro número en-tero.

b) El orden de los factores en la mul-tiplicación de enteros no altera elproducto.

c) Al multiplicar cualquier entero por1 el producto es igual al entero da-do.

d) Al multiplicar tres enteros, el re-sultado no depende de la forma co-mo se asocien los factores.


e) Si tengo un entero a cualquiera,puedo encontrar otro entero b talque a · b = 1

f ) El producto de un entero por unasuma indicada, es igual a la sumade los productos parciales del en-tero por cada uno de los suman-dos.

El producto de números enteros cumple lassiguientes propiedades:

Clausurativa. Si a, b ∈ Z, entonces

a · b ∈ Z

Conmutativa. Si a, b ∈ Z, entonces

a · b = b · a

Asociativa. Si a, b, c ∈ Z, entonces

(a · b) · c = a · (b · c)

Modulativa. Si a ∈ Z, entonces

a · 1 = 1 · a = a

Distributiva. Si a, b, c ∈ Z, entonces

a · (b + c) = a · b + a · c

1. Busca el número que reemplaza la letram en cada igualdad.

a) 3 ·m = 24, entonces m = . . .

b) (−5) · m = (−20), entoncesm = . . .

c) m · 7 = −35, entonces m = . . .

d) (−2)·m = 16, entoncesm = . . .

e) (4 + 5) · m = −36, entoncesm = . . .

f ) (−10) ·m = 40, entonces m =

. . .

g) 1 ·m = 0, entonces m = . . .

2. Analiza y responde

a) ¾Es posible encontrar un enteroque multiplicado con 8 dé 20? ¾Porqué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) ¾Es posible encontrar un enteroque multiplicado por 5 dé 4? ¾Porqué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) ¾Es posible encontrar un enteroque multiplicado por 6 dé 42? ¾Porqué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�El sabio puede sentarse en un hormiguero, pero

sólo el necio se queda sentado en él�. - Proverbio

chino

B.3.2. Análisis de resultados - Taller 3

Este taller, no se ha aplicado a todos los grupos, solamente se aplicó en el curso 701 j.m., sinembargo los resultados de la aplicación del taller, no son muy alentadores, algunos estudiantespresentan di�cultades en la comprensión y utilización de la regla de los signos (naturalmentese esperaba que fuera así), por tanto se propone otro taller que luego será aplicado a los tresgrupos de séptimo.

Bibliografía

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// elcentro. uniandes. edu. co/ cr/ mate/ estructural/ . El centro, Universidad delos Andes

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da, Yolanda: Matemáticas 7. MEN (Postprimaria)

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http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural/

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Hacia la búsqueda de contextos signi cativos para la ... · que permitiera poner en contexto y dar signi cado a la ley de los signos en la ... la introducción de los números enteros