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Mathesis III 22 (2007) 227-251. Impreso en México. Derechos reservados © 2007 por UNAM (ISSN 0185-6200)

Hacia una interpretación semiótica de los signos matemáticos.

Miguel Ariza

Resumen

El análisis de las propiedades geométricas de las configuraciones finitas ha sido uno de los objetivos fundamentales del estudio de las diversas geometrías discretas y de la geometría combinatoria. Este artículo pro-pone plantear la posibilidad de una elucidación de lo matemático desde una perspectiva derivada de las ‘matemáticas en acción’ y no desde una concepción ‘analítico gramatical’ de sus fundamentos, y establecer, al menos, un mínimo umbral de validez, que articule una interpretación semiótica de los signos matemáticos, a través del análisis de un par de ejemplos elementales de geometría configuracional, cuyas construccio-nes son propuestas por el autor.

Abstract The analysis of geometrical proprieties of finite configurations has been one of the main objectives in the study carried out by the several dis-crete geometries and combinatorial geometry. This article proposes the possibility of an elucidation of the mathematical knowledge from a point of view derived from ‘mathematic in action’ and not from an ‘analytic grammatical perspective’ of its foundations, and establish, at least, a minimum validity threshold, which articulates a semiotic inter-pretation of mathematical signs, through the analysis of two configura-cional geometry elementary examples, whose constructions are pro-posed by the author.

Introducción ¿Cuál es la naturaleza de los objetos con los que la matemática trabaja? ¿Estos objetos están cifrados? ¿Es por medio de un conjunto de símbo-los carentes de significado propio, sometidos a interpretación extrínseca que podemos dar cuenta de estos objetos? Consideremos el siguiente ejemplo:

∆ = ABC = Z; AO BO CO= = … = (x, y); x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

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Es decir, el lugar geométrico ∆ caracterizado por los puntos no coli-neales A, B, C, y que está constituido por el conjunto de los puntos Z equidistantes al punto O, o sea, de los puntos cuyas coordenadas carte-sianas (x, y) cumplen en cierto sistema de referencia la relación cuadrá-tica x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 [Guitart 2003, 55].

Desde un punto de vista semántico referencial estaríamos hablando de un mismo referente cuyos sentidos o modos de designarse son múltiples. En todos los casos estamos hablando del mismo conjunto de puntos, a saber, los de una circunferencia, sin embargo ¿este punto de vista agota el contenido matemático del ejemplo?

En el ejemplo anterior además de estar contenidas un conjunto de designaciones de un mismo referente, existe un proceso de generación signica, es decir, un proceso de Semiosis. Y es justamente este proceso el producto de una actividad, de un quehacer, en otras palabras, el texto matemático no puede comprenderse cabalmente de manera externa al hacer que plantea [Guitart 1999, 121]. Inclusive cuando la manifesta-ción de ese despliegue sea de carácter algebraico.

Una cuestión de gran interés a lo largo de la historia de las matemá-ticas ha radicado en cómo poder dar cuenta de una manera consistente de la naturaleza de lo múltiple, de la relación entre el todo y sus partes componentes. Y sobre todo, dilucidar cuáles son las leyes del pensa-miento humano que nos permitan esclarecer cuáles son los procesos de interacción entre lenguaje y pensamiento, que por lo menos evoquen certidumbres consistentes sobre el incierto enigma de lo múltiple.

Ya desde mediados del siglo XIX George Boole, después de reali-zar un análisis matemático de la lógica y observar su correlación con las leyes del pensamiento humano, llega a concluir que la matemática no es necesariamente una ciencia de la cantidad. El proyecto de Boole fue de carácter algebraico, posteriormente complementado y enrique-cido entre otros por De Morgan, Jevons, Veen, Schröder y Peirce. Este proyecto de álgebra lógica tuvo una importante influencia en el desa-rrollo de la matemática y la lógica subsiguientes.

Se ha llegado a afirmar que “la matemática pura fue descubierta por Boole” [Russell, apud Couturat 1985, 129] y que este pensador es el fundador del proyecto ‘Logístico’, dando lugar, debido a las aportacio-nes de Frege, Russell y Peano entre otros, a lo que hoy conocemos como ‘Lógica Matemática’. Sin embargo también se puede afirmar que Boole es el iniciador de otra tradición a la que Ivor Grattan-Guinness denomina ‘lógica algebraica’, siendo esta lógica una modalidad del estudio entre el todo y la parte. En su artículo Peirce: entre la lógica y la matemática, Grattan-Guinness, establece las grandes diferencias

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entre ambas tradiciones colocando a Peirce dentro de la segunda [Grat-tan-Guinnes 1992, 55-72]. Empero, más allá de ello, Peirce enriquece y a la vez exhibe, a través de sus contribuciones, una ruptura con las concepciones de Boole y de De Morgan [Zalamea 1993, 392]. Lo que realiza Peirce es una ‘transfiguración dinámica de la lógica’ [Mier 2006, 71-98; consultar también Zalamea 2006, 1-164] ya que sus ideas sobre la lógica y la matemática nunca estuvieron desvinculadas de su sistema filosófico y de su ‘semiótica’, en la que todo proceso de cono-cimiento es un proceso de semiosis, cuyo despliegue transita de la mul-tiplicidad a la unidad.

De igual manera, con Peirce, el desarrollo algebraico de los más di-versos procesos suscita una relevancia que está mucho más allá de la mera creación de símbolos establecidos de modo convencional, con vista a la producción de un tinglado estructural de carácter formalista. El signo algebraico entraña una profundidad que trasciende el conteni-do de la mera elaboración de un cálculo de naturaleza simbólico-formal. Más allá de ello, un signo algebraico es un esquema conceptual de sentido, que proporciona un régimen de inteligibilidad y esclarecimien-to, que permite hacer visible lo que una mera combinación y manipulación de símbolos nos oculta [De Lorenzo 1994, 235-254]. “La utilidad de las fórmulas algebraicas consiste precisamente en esa capacidad de develar verdades imprevistas” [Peirce 1895, Apud Zalamea 1994].

Esta cualidad consustancial de los entramados algebraicos, nos permite establecer que los esquemas especialmente producidos por la matemática tienen una semántica interna que trasciende cualquier simple reducción a la lógica formal. La matemática es ‘un pensamiento singular’, en donde “no basta con pensar en términos generales sino que también es necesario HACER algo” [Peirce 1902]. Es un pensamiento en permanente labor constructiva y la naturaleza de su despliegue excede cualquier posible reducción a una ‘situación de lengua simbólico-formal’. Es decir, ningún lenguaje formal es suficiente para dar cuenta en su totalidad de la ‘natu-raleza del hacer matemático’, ya que es su carácter ‘diagramático’ lo que articula manifiestamente su propia lógica interna.

El diagrama es por sí mismo una organización, una red de segmen-tos orientados relacionalmente entre puntos (comprendidos como luga-res abstractos) por decirlo así, en estado puro, sin proponer a priori más que eso, sin descansar en ningún sustrato semántico adicional, es decir, sin apoyarse “en ningún saber técnico por el cual haya que transitar para hacer conocer el objeto como simple dato organizacional, por ejemplo, las estructuras matemáticas (grupos, anillos, topologías, varie-dades, espacios de Riemann, etc.), ya se trate de las axiomáticas de esas

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estructuras, sus teorías o modelos subsumidas por estas, sólo son, en definitiva, organizaciones, presentables de manera puramente dia-gramática” [Guitart 2003, 123].

Este carácter eidético, noémico y diagramático de las matemáticas, que no está en discordancia con un despliegue axiomático constructivo, nos permite obtener un plausible grado de claridad y precisión, en la elaboración de una teoría de carácter semántico y semiótico de los obje-tos matemáticos:

Todo signo posee, al menos, dos sentidos o contenidos. Uno eidético; otro, operacional. Dentro de un sistema, un signo ‘significa’, designa algo; todo sistema lo es porque sus signos poseen una carga semántica interior, ya que cuando se utiliza el signo es para comunicar algo a al-guien, y el contenido de esta comunicación es, precisamente, el conte-nido eidético del signo. Por otro lado, un signo posee sentido operacio-nal, en el sentido de que se sabe cómo puede ser utilizado” [De Loren-zo 1989, 186].

El sentido operatorio de un signo resulta de las relaciones y de las

reglas sintácticas existentes en una lengua y que establecen cómo los signos se combinan en expresiones, y cómo pueden ser modificadas. El sentido eidético resulta de las reglas de significación y de determina-ción que establecen las relaciones existentes en una lengua entre los signos y los conceptos y los objetos representados por tales conceptos [Klaus 1969, 92 apud Rastier 2005, 29].

El noema es un rasgo de sentido establecido independientemente de

toda lengua natural, dicho término fue empleado por Husserl con diver-sas acepciones. La noémica no es aún sino programática, pero algunos sectores de la topología permiten investigaciones prometedoras (…) el metalenguaje de la geometría (y su expresión gráfica) bien podría reve-larse incomparablemente más adecuado que el de la lógica formal para representar el nivel noémico” [Rastier 2005, 19-45; consultar también Petitot 1995, 741-763].

La carencia de contenido eidético en el desarrollo de un cálculo for-

mal se ha exagerado, queriendo ver en el método formalista, por ejem-plo, un mero juego de signos del tipo del ajedrez -con el que se ha com-parado constantemente-, en el cual lo que importa, a parte de las fichas y de su posición inicial, son la reglas del juego y su manejo. Sin embar-go, el Cálculo formal que construye el matemático, se realiza teniendo en cuenta una ulterior realización y no por el exclusivo placer del juego formal [De Lorenzo 1989, 189].

El Hacer matemático es algo más que lenguaje: requiere del lenguaje

pero no se resuelve en el lenguaje [De Lorenzo 2000 Apud Zalamea 2007, 11]. Es la percepción de analogías entre estructuras al parecer dis-tintas uno de los principios fundamentales de la invención matemática [De Lorenzo 1989, 32].


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Sin embargo, ¿Cuál es el trayecto por el que debe transitar la ma-temática como labor creativa? Como seguramente rubricaría Poincaré: ‘no se puede hacer matemá-tica sin designar tan pronto objetos distintos con una misma letra como un mismo objeto con muchas letras’ [Guitart 2003, 66].1 En múltiples ocasiones Poincaré recalcó el importante papel que juega la intuición. Sin embargo, no es esa 'intuición' de la que a todos los matemáticos nos han enseñado a desconfiar, esa que se ampara en las diversas modalida-des del sentido común y que de acuerdo a Hans Hahn resulta ser suma-mente engañosa [Hahn 1974, 208-213]. No, la intuición de la que nos habla Poincaré es de raigambre más profunda; la califica como un “sen-timiento delicado y difícil de definir” [Poincaré 1974, 14-17] que susci-ta una ‘afección a la sensibilidad’ y que está amparada por un fondo vital. Este sentimiento, más que una certeza del reino de la apariencia es una sospecha de claridad, ‘certidumbre de lo incierto’ que está buscan-do forma a través del razonamiento preciso y riguroso, es un “senti-miento de belleza” que está buscando aflorar a través de la consolida-ción de “armonías y relaciones escondidas”. Está dimensión estética redefine el papel de la memoria, ya que más allá de ser un mero registro informativo del intelecto es una huella de la presencia, la memoria resulta ser el reconocimiento de lo singular a partir de una inscripción de patrones disueltos, combinados sin orden aparente. La memoria más que recordar construye, funda, evoca, sinte-tiza el entreverado tejido de lo múltiple en un súbito golpe de claridad. Lucidez atrapada en un puño, que para que no escape como agua entre los dedos es preciso un esfuerzo decidido de la voluntad. El trabajo conciente y reiterado suministra el ‘contenido de la experiencia’, super-ficie de fondo que posibilita la articulación de los elementos del incons-ciente. El yo conciente y el yo subliminal trabajan para producir ese proceso de síntesis al que llamamos significación, “las buenas combi-naciones”, que serán el producto de la labor creativa. Para Poincaré es fundamental esta continuidad extensiva entre el trabajo conciente y el inconsciente; en el terreno de lo inconsciente la presencia se agudiza, posee “tacto y delicadeza” siendo portadora de “Inspiraciones súbitas”; en el terreno de lo inconsciente el yo subliminal discierne y domestica, armoniza un conjunto heterogéneo de fuerzas ocultas, dejándolas a merced del poder unificador del campo de la conciencia. La concepción de todo este proceso de conocimiento es algo muy parecido a lo que para Peirce es la Semiosis, ya que todo proceso de

1. Henri Poincaré parafraseado por R. Guitart.

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conocimiento transita (en líneas muy generales) [Ver Peirce 1867] “de la multiplicidad a la unidad”, de la multitud de impresiones de los sen-tidos a la unidad del concepto, a través del establecimiento de una ley. El paralelismo entre estos dos pensadores puede quedar manifiesto al leer en el texto de Poincaré las siguientes palabras:

Por lo general, los fenómenos inconscientes privilegiados, los sus-ceptibles de convertirse en conscientes, son los que directa o indirecta-mente afectan más profundamente nuestra sensibilidad. Puede extrañar el ver apelar a la sensibilidad a propósito de demos-traciones matemáticas que, parece no pueden interesar más que a la in-teligencia. Esto sería olvidar el sentimiento de belleza matemática, de la armonía de los números y las formas, de la elegancia geométrica. Todos los verdaderos matemáticos conocen este sentimiento estético real. Y ciertamente esto pertenece a la sensibilidad. Ahora bien, ¿cuáles son los entes matemáticos a los que atribuimos estas características de belleza y elegancia y que son susceptibles de desarrollar en nosotros un senti-miento de emoción estética? Son aquellos cuyos elementos están dis-puestos armoniosamente, de forma que la mente pueda sin esfuerzo abrazar todo el conjunto penetrando en sus detalles. Esta armonía es a la vez una satisfacción para nuestras necesidades estéticas y una ayuda pa-ra la mente, a la que sostiene y guía. Y al mismo tiempo, al colocar ante nuestros ojos un conjunto bien ordenado, nos hace presentir una ley matemática... Así, pues, es esta sensibilidad estética especial la que jue-ga el papel de criba delicada de la que hablé antes. Esto permite com-prender suficientemente por qué quien no la posee no será nunca un verdadero creador [Poincaré 1974, 17].

Empero, este recorrido hacia la conformación de una ley matemática, no es el único recorrido que realiza un matemático en su labor creativa, también realiza el recorrido inverso, es decir, a partir de las leyes ma-temáticas y del trabajo conciente, el matemático da lugar a lo inédito a través de la ruptura de una trama simbólica, o sea, reconfigura los contenidos del saber ofreciendo una mirada renovada desde nuevas perspectivas, desentraña nuevos objetos, descubriendo nuevas combi-naciones de los objetos convencionales, esta subversión de lo habitual perfila al matemático como verdadero creador, proyectándolo más allá que el mero reproductor de la teoría aprendida. La creación matemática trasciende el mero contenido receptivo por muy luminoso que este sea, de ahí la cadena de desasosiegos e incertidumbres que el acto de crea-ción genera. Henri Poincaré nos hace asequible, tanto a matemáticos como a no matemáticos, el contenido profundo del despliegue de lo matemático. La actividad matemática figurada por Poincaré tiene mati-ces llenos de colorido y belleza.


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El matemático trabaja con rigor en una atmósfera llena de equilibrios y despliegues vertiginosos,2 sin embargo, ¿Podemos declarar la naturaleza de ‘la verdad matemática’, sin trastocarla por los efectos del lenguaje? O por el contrario ¿Basta con el despliegue de su propia inmanen-cia que dicha verdad da testimonio de su consistencia? Pronunciarse al respecto es una tarea extremadamente difícil, y no nos queda más que tomar partido por alguna de las posibles propuestas. Es así como por ejemplo Carl G. Hempel, con una firme convicción y un gran esfuerzo de claridad [Hempel 1997, 7-22] nos lleva de la mano a través de un recorrido panorámico, pero no por ello falto de rigor analítico, a desbrozar los diver-sos posibles equívocos, que las más variadas opiniones sobre la verdad matemática han suscitado. Este ejercicio es acompañado por una minucio-sa argumentación, que tiene por objetivo delimitar la naturaleza de ‘las proposiciones del sistema de la matemática’, entendiendo por ‘matemá-tica’ sólo la aritmética, el álgebra y el análisis; todo ello encaminado a dar sustento a su tesis principal: “La matemática es una rama de la lógica” (tesis logicista respecto de la naturaleza de la matemática). Esta propuesta tiene por objetivo enmarcar la naturaleza de la ver-dad matemática dentro del terreno de la matemática misma, siempre y cuando se conciba a la matemática como una rama de la lógica. Esto permite poder transformar los postulados de la ‘matemática’, que no son en si mismos ni verdaderos ni falsos, en enunciados de la lógica; es decir, al poder traducir, ‘los esquemas especialmente producidos por la matemática’ a ‘situaciones de lengua simbólico-formal’ se pretende una clara inteligibilidad sobre la validez de dichos esquemas.

Sin embargo, según otras propuestas,3 la matemática es algo mucho más complejo de lo que la ‘tesis logicista’ sostiene, y es algo muy distinto que una simple rama de la lógica. De ahí que podamos inferir que no es una simple casualidad que Hempel excluya a la geometría cuando se refiere a la ‘matemática’, ya que es su carácter ‘diagramáti-co’ (aún, a pesar de que sea posible traducir toda figura a expresiones algebraicas) lo que articula su propia lógica interna.4 Es decir, que para 2. “Entre el equilibrio y el vértigo, la matemática ha sido muy diversamente vista como ciencia y arte,

pero, en cualquiera de los dos casos, se ha reconocido su alto contenido estético. Como configura-ciones de cánones científicos que permiten ordenar lo real, la coherencia y la armonía de la ma-temática han llamado siempre la atención de los grandes artistas” [Zalamea 2006, 8].

3. Como ya hemos mencionado, las sustentadas por De Lorenzo, Zalamea, Peirce, Poin-caré, Guitar y Badiou, entre otros.

4. El interés propio del diagrama como objeto matemático es, que todo objeto matemático se remite a él, se reduce a él en teoría. Cualquier teoría admite una presentación diagramática, y eso de tal suerte que todo modelo de esa teoría sea otro diagrama coordinado con el primero. Toda prueba es un diagrama, una arborescencia, que articula fórmulas (también diagramas por su parte). Todo cálculo es un diagrama, y también toda figura geométrica [Guitart 2003, 125].

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producir conocimiento certero, es suficiente con la propia labor pro-ductiva del pensamiento, nuestra natural capacidad de razonar: “del mismo modo que para hablar no es necesario conocer la teoría de la formación de la vocales, así tampoco es necesario para razonar poseer la teoría del razonamiento” [Peirce 1902].

De este modo la matemática puede ser diferenciada de la lógica,5 y la ‘naturaleza de su verdad’ es producto de su propia ‘evidencia’. Decir esto es algo muy distinto a declarar las verdades matemáticas como ‘autoevidentes’. Ya que la evidencia a la que se hace referencia es pro-ducto de un develamiento, es el esclarecimiento de lo que se encuentra en permanente opacidad, es un proceso de descubrimiento, un proceso de exhibición permanente de lo que se encontraba oculto, evidenciar para exhibir una verdad. Esto (entre otras muchas cosas más) sitúa a la matemática como “la ciencia que obtiene conclusiones necesarias”:

El matemático y filósofo Richard Dedekind sostiene que la matemática es una rama de la lógica. Esto no resulta de la definición de mi padre, la cual significa no que la matemática sea la ciencia de la obtención de conclusio-nes necesarias- lo cual sería una definición de la lógica deductiva-, sino la ciencia que obtiene conclusiones necesarias. Es evidente y puedo dar fe de ello como testigo, que él tenía presente esta distinción […]

Yo afirmo que el razonamiento matemático verdadero es de eviden-cia tan superior a la que puede cualquier doctrina de la lógica propia-mente dicha- sin ese razonamiento- que la apelación de la matemática a la lógica no haría más que oscurecer la situación. Por el contrario, las dificultades que pueden surgir a propósito del razonamiento necesario deben ser resueltas por el lógico mediante su reducción a cuestiones de matemática. Y, como veremos claramente, es el lógico el que tiene que basarse en estos ‘dicta’ matemáticos [Peirce 1902].

En este sentido, el desarrollo configurativo de un entramado ma-

temático es un proceso de semiosis, cuyo despliegue transita de la mul-tiplicidad a la unidad, a través de un proceso relacional y apegado a un conjunto de regularidades.

Será por ello que tomaré como eje articulador las tres categorías peir-ceanas, y las propuestas teóricas de Javier de Lorenzo y Fernando Zala-mea, Alain Badiou y René Guitart, Henri Poincaré y Charles S. Peirce, para tratar de establecer, al menos, un mínimo umbral de validez, que articule algunos de los elementos constitutivos de dicha progresión semiótica en el ámbito de la geometría sintética configuracional.

5. “[…] es muy posible, acaso sea lo mejor, practicar ciclismo sin conocer las leyes de la

mecánica, o hacer matemática sin conocer la lógica o los problemas de fundamento. Como observa Peirce, muchos matemáticos son lógicos sólo por ingenuidad, por imi-tación bien conducida de modos de razonamiento que funcionaron antes de ellos, y también sin saber de qué hablan” [Guitart 2003, 17].


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Primeridad Desde una perspectiva fenomenológica es posible concebir a un entra-mado matemático, en primera instancia, como una multiplicidad, po-tencialmente infinita, de entidades puestas en situación sin más orde-namiento que el de las posibles trazas de sus manifestaciones. En este primer momento nos encontramos ante un entramado totalmente hete-rogéneo, cuyo advenimiento procede de todas partes, es una multiplici-dad inconsistente, una ‘situación’, lugar potencial de todo acontecer, sin mayor poder denotativo que el de su propia mismidad: “el lugar del tener-lugar cualesquiera sean los términos de la multiplicidad implica-da” [Badiou 1999, 34].6

En este ‘espacio’ todo objeto matemático es considerado como una posibilidad positiva simple,7 indiferenciada totalmente de la ‘situación’ que le da abrigo.

Es debido a la intervención del matemático, que el ‘texto matemáti-co’8 comienza a ser configurado a través de una primera demarcación fundante, “designación que señala un vacío, una mera virtualidad de sentido” [Flores 1991, 112].

Desde este punto de vista, el entramado (texto matemático en cier-nes) es un ‘nono lugar’, es la postulación de la existencia positiva de una entidad semiótica, de la que sólo puede formularse la hipótesis de que a través de un proceso de construcción relacional, es posible conce-birlo como unidad de sentido.

Es decir, el texto matemático es susceptible de ser concebido por medio de una ‘analítica fundante contextual’, a partir, como lo postula Hjelmslev, inclusive desde “el todo sin analizar” [Hjelmslev 1974, 51]. Segundidad Es en un plano segundo cuando realmente se comienza a hacer texto; es decir, a través de un mecanismo de discernimiento existencial, el en-tramado matemático comienza a configurarse como una entidad rela-cional “construyendo el objeto al momento de designarlo” [Flores

6. Una concepción situacional de la Teoría de Conjuntos (ZFC) con profundas repercu-

siones ontológicas puede encontrarse en esta obra. 7. "[...] la impresión total no analizada que produce cualquier multiplicidad no pensada

como un hecho real, sino simplemente como una cualidad, como una simple posibili-dad positiva de aparición, es una idea de primeridad" [Peirce, 1904].

8. Entiendo por ‘texto matemático’ lo que Javier de Lorenzo ha denominado construcción ideogramática, que más allá de visualizarse como un simple objeto en sí, es “acción potencial intencional constructiva”, que en su conformación genera propiedades de diversa índole, siendo justamente la intervención del matemático la que posibilitará actualizar esa “potencial intencionalidad intrínseca” [De Lorenzo 1994, 235-254].

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1991, 111]. Esta designación es la que posibilitará dar a las entidades sometidas a indagación calidad de existentes dentro del texto matemáti-co. Será en este proceso relacional donde los objetos ocupan una posi-ción definida con respecto al texto y entre ellos mismos. Cada objeto, entonces, toma una localización definida dentro de la ‘situación’ y con respecto a todos los demás objetos inmersos en ésta. Postular una existencia implica, en tal caso, la distinción de un obje-to con respecto a los de su misma especie, a través de la designación de una ‘membresía’. De lo anterior se desprende que en este contexto, un objeto matemá-tico no es una entidad definible apriorísticamente, sino un objeto que se construye a través de un proceso de configuración. Pongamos un ejemplo para afianzar ideas: Ejemplo 1 Sea P un conjunto de puntos en el plano que cumple lo siguiente: Para cada entero k = 2, 3,…, n existe una recta lk que contiene exactamente k puntos de P.

¿Cuál es el mínimo número de elementos que puede tener un conjunto P que cumple lo anterior?

En primera instancia el problema se nos presenta como un ámbito po-tencial. Posibilidad positiva simple, de la cual solo podemos extraer la situación abstracta P

Conforme vamos razonando el problema advertimos que se trata de

una configuración de puntos y rectas, las rectas forman un “texto ma-temático”, que determina el número de puntos del conjunto P. Es decir, es debido a la disposición de cada una de las rectas que el conjunto de puntos quedará configurado. Además sabemos que hay una configura-ción máxima y una configuración mínima, debido a que para cada ins-tancia de k el problema tiene un número finito de objetos, por lo tanto, se genera una división paradigmática entre dos situaciones límite: en una, la distribución de los objetos es totalmente independiente, y en la otra la distribución es totalmente dependiente. La división paradigmáti-ca planteada da lugar a lo que Hjelmslev denomina ‘sistema’. Este sistema estará delimitado por las situaciones límite máxima y mínima

P


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ya descritas; ambas situaciones son los ‘horizontes posibles’ de toda configuración de puntos en el problema. En un extremo se configura una progresión expresamente ‘cardinal’ formando una ‘constelación’ de ‘autonomías’. En el otro extremo se configura una progresión de carác-ter ‘ordinal conexo’ y las ordenaciones dependen totalmente unas de otras.9

Geométricamente la configuración cardinal se presenta de este modo:

Sin pérdida de generalidad podemos concebir todas las rectas ordenadas paralelamente, y la suma de puntos es máxima. Si las rectas se intersec-

9. Entiendo por despliegue cardinal una progresión semiótica de carácter discreto a la que

Hjelmslev ha denominado ‘constelación’; y por despliegue ‘ordinal conexo’ una pro-gresión semiótica que queda enmarcada en lo que Vigo Brondal ha denominado ‘espe-cies de relación’: “Una relación serial es asimétrica, transitiva y conexa, en otras pala-bras una serie presupone siempre dirección o unilateralidad, extensión o continuidad y encadenamiento o campo” [Brondal 1950, 29 apud Zilberberg, 1995, 157-213].

Max. Min.

L 2 ↑

L 3 ↑

L 4

↑ L n

L2

L 3

L 4

L 5 L 6

L 7 L 8.... L i…

L n

P máx. L 2 L 3

L 4 L 5…

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tan, el número de puntos disminuye hasta llegar a una configuración optima, en la que el número de puntos alcanza un mínimo. Entre ambas delimitaciones se encuentran las disposiciones compo-sicionales de todas las posibles configuraciones de rectas, cada arreglo composicional es un ‘proceso’ que media entre ambos límites, y puede coincidir o no con alguno de ellos. Entre ambos extremos existe una gradación en las que imperan en mayor o menor medida procesos de síntesis composicional. En el extremo cardinal impera la mera aditivi-dad entre elementos disjuntos, en el extremo ordinal conexo imperan procesos más refinados en los que la aditividad está supeditada a la ordenación composicional óptima.

Podemos así desplegar una semántica signica de objetos matemáticos

en la que la semanticidad de la configuración entera depende de la disposición composicional de cada una de sus partes. Así, obtenemos procesos de composicionalidad cada vez más refinados. A partir de una llana aditividad vamos creando (trastocando la configuración inicial) arreglos composicionales con un mayor poder de síntesis.

Terceridad Sin embargo el matemático no opera de manera mecánica en la cons-trucción de cada una de las configuraciones. El matemático construye dichos arreglos tratando de obtener conjuntos de regularidades, reglas de comportamiento, esquemas de comprensión, trata de encontrar las leyes generales que rigen la totalidad de las configuraciones. Todo esto lo logra a través de diversos procesos de traducción de signos. De esta manera, por ejemplo, en la configuración máxima podemos observar que:


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Para: k = 2 C (2) = 2 k = 3 C (3) = 5 = 2+3 k = 4 C (4) = 9 = 2+3+4 k = 5 C (5) = 14 = 2+3+4+5 k = 6 C (6) = 20 = 2+3+4+5+6 k = 7 C (7) = 27 = 2+3+4+5+6+7 (…)

k=n C (k) = - 1

En tanto que para la configuración mínima obtenemos:

Para: k = 2 C (2) = 2 k = 3 C (3) = 4 = 1+3 k = 4 C (4) = 6 = 2+4 k = 5 C (5) = 9 = 1+3+5 k = 6 C (6) = 12 = 2+4+6 k = 7 C (7) = 16 = 1+3+5+7

(…) k=n , k par C (k) =

, k impar Ambas expresiones finales son esquemas conceptuales de sentido que dan cuenta de manera global de todos los arreglos de ambas configuraciones límite. Nuevamente, desde un punto de vista semántico referencial, serían expresiones abiertas que son saturadas al dar un valor fijo de k. Pero desde un punto de vista peirceano son expresiones producto de un proceso de semiosis. Modalidades signicas, cuyos procesos de configuración obedecen a una ley de comportamiento. Relaciones escondidas que el matemático hace visibles en un proceso de labor creativa.10

10. “La notación algebraica, de esta manera, no surge como mero formalismo o regla de

cálculo con fines prácticos, sino como notación ideogramática con dos objetivos: mantener la intuición constructiva y universalizar […] de esta forma, el ideograma algebraico no es sólo representación de otros ideogramas previos sino que muestra, como en el caso geométrico, su elemento constitutivo de ser una intencionalidad po-tencial de acción” [De Lorenzo 1994, 245].

( 1)2

k k +

2 24

k k+

2( 1)4

k +

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Es así, como las diversas formalizaciones de un entramado matemático pueden estar en concordancia con un despliegue diagramático construc-tivo. -- Sea lk un conjunto de puntos en el plano con cardinalidad k.

Decimos que lk es k-conectable si para los k puntos del conjunto existe una recta que los contiene.

De esta manera, podemos visualizar nuestro problema de configuración de puntos como un texto matemático de conjuntos k-conectables, en donde nuestro conjunto P será la unión de k-1 conjuntos k-conectables.

Sean lk’ y lk” dos de tales conjuntos. Decimos que lk” presupone lk’, si y sólo si k”> k’ y para todo punto “u” perteneciente a lk’’ y para todo punto “v” perteneciente a lk’, existe una trayectoria dirigida que emplea los puntos y las rectas de nuestro texto y va de “u” a “v”.

i.e. lk’ « lk” si y sólo si v ↵ u; ∀u∈ lk” ,∀v∈ lk’

E iniciamos la configuración del Texto a partir del siguiente enunciado:

∀ lk’∀ lk” [(lk’ « lk”) → (lk’ ⊆ ℑ ∧ lk” ⊆ ℑ)]

‘Si para todo par de conjuntos k-conectables, podemos establecer que están relacionados presuposicionalmente, entonces sus elementos (cada uno de los puntos de los conjuntos) pertenecen al texto matemático’.

Cabe hacer notar que el anterior enunciado es un enunciado condicional, por consiguiente, aunque el antecedente sea falso, la implicación será ver-dadera. Es decir, aunque los conjuntos k-conectables no estén relacionados presuposicionalmente serán subconjuntos de ℑ, y sus elementos pertene-cerán, no obstante, al texto matemático. Con ello damos a los conjuntos k-conectables y a sus puntos pertenecientes calidad de existentes, pasando de ser entidades “inmersas” en una situación, a entidades pertenecientes a un texto matemático. Lo que en el fondo genera el enunciado, resulta ser una ‘membresía’.

Sin embargo, no es una ‘membresía ociosa’, ya que funda una divi-sión paradigmática entre dos situaciones límite: en una, la distribución de los conjuntos k-conectables es totalmente independiente, y en la otra la distribución es totalmente dependiente. En uno de los extremos, los conjuntos k-conectables se inscriben en el texto matemático con plena independencia unos de otros; en el otro de los extremos, los conjuntos k-conectables son articulados por la presuposición de manera total, resultando totalmente dependientes unos de otros.

En efecto, si resulta ser verdadero que todo par de conjuntos conse-cutivos k-conectables está articulado por la presuposición, entonces todos ellos formarán un ‘orden total’. Si ningún par de conjuntos resulta


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articulado por la presuposición, entonces formarán un texto de conjun-tos k-conectables disjuntos dos a dos.

Así, podemos observar que nuestra configuración de puntos mínima está regida por un carácter constructivo de carácter presuposicional, y nuestra configuración máxima carece de tal principio relacional de articulación. Asimismo en nuestra configuración mínima cada conjunto lk+1 es condición suficiente para asegurar la existencia de un conjunto lk, y cada conjunto lk es condición necesaria para la existencia de un con-junto lk+1. La articulación presuposicional nos permite visualizar la existencia de un proceso constructivo de secuencialidad relacional, en donde cada paso en la conformación del texto dependerá de los diversos procesos previos en la configuración. Entonces, en el trazo de la k-esima recta deberán ser tomadas en cuenta las k-1 configuraciones previas en un despliegue recursivo de carácter ordinal conexo.

Sea Pk = l2 U l3 U … U lK Sea ⊗k el conjunto unitario producto de la intersección entre lk y

lk -1 i.e. [lk ∩ lk -1 ]= ⊗ k, donde k ≥ 3; entonces PK = p1, p 2, p 3,…, p k-1, ⊗k

U PK-1 Como lk presupone lk -1, entonces existen trayectorias dirigidas que co-

nectan a cualquier punto de lk con cualquier punto de lk-1. En particular, existe una trayectoria dirigida que va de ⊗k a ⊗k-1 para toda k ≥ 3.

Entonces podemos decir que ⊗k es condición suficiente para ase-gurar la existencia de ⊗k-1, y ⊗k-1 es condición necesaria para ⊗k. Por lo tanto, podemos definir la relación de presuposición entre puntos de intersección de la siguiente forma: Decimos que

⊗k-1 « ⊗ k si y sólo si ⊗ k-1 ↵⊗k para toda k ≥ 3.

Si para cada conjunto PK elegimos el unitario ⊗k como su represen-tante, y a este último le asociaciamos un objeto al que llamaremos ordi-nal conexo, entonces:

A ⊗ k le asociamos Ok-2. Así, P3 → ⊗3 → O1; P4 → ⊗4 → O2;…; Pk → ⊗k → Ok-2

Además podemos asociar una magnitud numérica a cada uno de los ordinales conexos, a la que llamaremos módulo:

Así, mód O1 = card P3 = 4; mód O2 = card P4= 6; mód O3 = card P5 = 9; mód O4 = card P6 = 12; mód O5 = card P7 = 16… etc.

De esta manera hemos asociado a cada punto de intersección de las rectas del Texto, un objeto que condensa y envuelve a todos los puntos de la configuración para un número k dado. Diagramáticamente pode-mos visualizar todo el proceso de la siguiente forma:

242 Miguel Ariza

Mathesis

Como P2 ⊆ P3 ⊆… ⊆ Pk-1 ⊆ Pk entonces Pk-1 U Pk = Pk para toda K Entonces ⊗k presupone ⊗k-1 si y sólo si Pk-1 es subconjunto de Pk.

i.e. ⊗k-1 « ⊗k si y sólo si Pk-1 ⊆ Pk

Y ⊗k-1 Ц ⊗k = ⊗K Si y sólo si Pk-1 U Pk = Pk, para toda k. Por lo tanto podemos definir la presuposición entre ordinales co-

nexos en términos reticulares.

Om « On si y sólo si Om Ц On = On Un ordinal conexo cualquiera presupone a otro ordinal conexo cual-quiera, si y sólo si, de la fusión de ambos obtenemos el primer ordinal conexo

O1 ↑

O2

↑ O3 ↑ ↑

Ok-2

p1

p2 p3

p4 p5

p6

p7.... pi… ⊗k

Pk

Pk↑ O2 ↑

O

3 ↑ ↑

⊗k

P (Pk)


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Diagramáticamente:

A través de un proceso constructivo configuracional ‘activo-reactivo’, hemos obtenido un reglado estructural en donde se interrelacionan la parte con el todo, lo uno con lo múltiple, a través de procesos escalona-dos de representación [ver Zalamea 2006, 19-30].

El texto matemático resulta entretejido a partir de partes rectilíneas conjuntadas, a través de un proceso de discernimiento, para posterior-mente diseminar unidades puntuales.

Analicemos problema desde este otro punto de vista: Supongamos una situación de lengua en la que exista una regla de valoración de enunciados. La más habitual de tales normas es la distinción entre enunciado verídico y enunciado erróneo [Badiou 2003, 172-175]. Su-pongamos dos términos exhibidos cualesquiera, por ejemplo dos con-juntos K-conectables de nuestro texto, lk y lk-1. Consideremos ahora expresiones de la lengua que comporten dos lugares para términos. Supongamos, por ejemplo:

‘y es mayor que x’; que podemos interpretar como ‘lk presupone lk -1’.

Diremos que tal expresión discierne [ibid, 173] a lk de lk -1 ya que el valor de la fórmula ℘(lk, lk -1) es distinto que el valor de la fórmula ℘(lk -1, lk).

En efecto, si resulta ser verdadero que lk presupone a lk-1, la expresión: ‘y es mayor que x’, ‘discierne’ a lk de lk-1, puesto que ‘lk-1 presupone lk’ es falso.

Así, la relación de presuposición entre conjuntos k-conectables es una relación de distinción existencial entre las partes que entretejen la totalidad de nuestro texto.

244 Miguel Ariza

Mathesis

Tomemos ahora como dominio de partida el conjunto PK. Sea P (PK) el conjunto de las partes de PK; entonces LK = l2, l3,…, lk, será el conjunto de todos los conjuntos k-conectables que articulan nuestro texto y un subconjunto del conjunto de las partes de PK. LK es construi-do, a través de la expresión: ‘y es mayor que x’, que podemos interpre-tar como: ‘lk+1 presupone l i’ (i ≤ k). Además, se puede decir que la unión de Lk, U(LK), conjunto de los elementos de los elementos de Lk, disemina, que dispersa sus elementos, y reúne enseguida esta dispersión en el conjun-to Pk [ibid 281-282]. Ejemplo 2 Supongamos ahora que queremos calcular el número de subconjuntos de un conjunto P al que le pertenecen ‘n’ objetos, y queremos hacerlo dando argumentos puramente configuracionales. Entonces, podemos visualizar el problema como una configuración de puntos en el plano. Nuevamente pongamos un ejemplo: Sea P un conjunto con 6 elemen-tos: P = ⊥, #, +, x, ∗,♦. ¿Cuál es el número de elementos del conjun-to potencia de P?

De nuevo, en primera instancia el problema se nos presenta como un ámbito potencial. Una posibilidad positiva simple, de la cual solo podemos extraer una ‘situación abstracta’ que eventualmente se conver-tirá en un texto matemático, que al ser sometido a diversas interpreta-ciones configuracionales nos permitirá determinar el número de ele-mentos del conjunto P (P).

Conforme vamos razonando el problema, nos percatamos de la exis-tencia de una entidad paradigmática a la que también denominaremos ‘sistema’. Esta entidad está delimitada por los elementos más evidentes del conjunto P (P). El subconjunto de cardinalidad mínima (el conjunto vacío) y el subconjunto de cardinalidad máxima (el conjunto P):

∅ P

Entre ambos extremos se encuentran todas las configuraciones compo-sicionales generadas por todos los subconjuntos de P. Todos los sub-conjuntos de 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 elementos.

Diagramáticamente, podemos visualizar el problema como un texto formado por configuraciones de puntos en el plano.


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1) De esta manera podemos visualizar nuestra configuración mínima de la siguiente forma:

2) Geométricamente la configuración de todos los subconjuntos unita-rios se presenta de este modo:

Podemos representar a cada uno de los subconjuntos unitarios de P como un punto en el plano, así su número será igual a 6, i.e. N(1) = 6. 3) Si representamos a través de un segmento de recta la unión entre cualquier par de conjuntos unitarios, obtenemos la siguiente configura-ción:

∅ N(0) = 1

⊥, #, +, x, ∗, ♦ N(1) = 6

246 Miguel Ariza

Mathesis

De esta forma calcular el número de subconjuntos de dos elementos equivale a contar el número segmentos de recta de la configuración: Sabemos que cada uno de los puntos está conectado con cada uno de los cinco puntos restantes y cada uno de los segmentos de recta une dos puntos, por lo tanto: N(2) = = 15. 4) Si a cada uno de los subconjuntos de dos elementos le unimos un conjunto unitario obtenemos cada uno de los subconjuntos con tres elementos. Esto es equivalente a relacionar cada una de las duplas, delimitadas por un segmento de recta, con un punto de la configuración. Entonces el problema equivale a contar el número de triángulos genera-dos en la configuración; cada una de las duplas está asociada con cuatro de los puntos restantes y cada triángulo está generado por tres duplas distintas. Por lo tanto: N(3) = = 20.

x ∪ y= x, y; N(2) = 15

x, y ∪ z= x, y, z; N(3) = 20

6 52×

15 43×


III 22 (2007)

5) Ahora bien, continuando con nuestro razonamiento, a cada uno de los triángulos le podemos asociar un cuarto punto. Y el problema de contar todos los subconjuntos de cuatro elementos es equivalente a contar cada uno de los cuadriláteros generados por los triángulos:

Cada cuadrilátero es generado por cuatro triángulos distintos al asociar-le a cada uno de ellos, uno de los tres puntos restantes, por lo tanto:

N(4) = 20 34× = 15.

6) Si a cada uno de los cuadriláteros le asociamos un quinto punto, obtenemos pentágonos cuyo número corresponde al de todos los sub-conjuntos de cinco elementos del conjunto P, cada cuadrilátero está conectado con uno de los dos puntos restantes en la configuración y cada pentágono está generado por cinco cuadriláteros distintos, enton-ces necesariamente: N(5) = = 6.

x, y, z ∪ w= x ,y, z, w N(4) = 15

x, y, z, w ∪ s=x, y, z, w, s N(5) = 6

15 25×

248 Miguel Ariza

Mathesis

7) Por último cada uno de los seis pentágonos genera un único hexágo-no al conectarse con el sexto punto restante de la configuración, enton-ces el número de subconjuntos con seis elementos es: N(6) = = 1.

Así pues, a partir de una misma configuración de puntos hemos obteni-do diversos textos matemáticos que surgen de un proceso de interpreta-ción signica. Obtenemos entonces: el texto vacío, el texto de los puntos, el texto de las rectas, el de los triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos. Asimismo, al sumar los correlatos numéricos de cada uno de los textos, obtenemos:

N(0) + N (1) + N (2) + N (3) + N (4) + N (5) + N (6) =

1+ 1 61× + 6 5

2× + 15 4

3× + 20 3

4× + 15 2

5× + 6 1

6× =

1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 =

60⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+61⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+62⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+63⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+64⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+65⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+66⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= (1 + 1)6 = 26 = 64.

De esta manera podemos obtener una expresión general, de carácter recursivo, para números combinatorios: = 1; = ⇒ = Nuevamente, el anterior esquema conceptual de sentido ha surgido de los diversos despliegues textuales de nuestra configuración de puntos.

x, y, z, w, s∪t = x, y, z, w, s, t N(6) = 1

6 16×

0n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

nk⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ( 1)]1

nn k

kk

⎛ ⎞− − ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1n

k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

[ ]

1

nn k

kk

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠+


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En general, para un conjunto P con n elementos tendremos una confi-guración de n puntos en el plano que formarán un eneágono con n + 1 despliegues textuales distintos. Cada despliegue textual presupone el des-pliegue textual anterior. Por lo tanto, diremos que el despliegue textual B presupone el despliegue textual A si y sólo si para todo conjunto B miembro de B existe un conjunto A miembro de A, tal que A es subcon-junto de B. i.e. A « B si y sólo si ∀B ∃ A | A ⊆ B. De está manera podemos visualizar nuestro ejemplo como un retícu-lo de sesenta y cuatro conjuntos repartidos en siete niveles, jerarquiza-dos a través de la relación de inclusión y de la relación de presuposi-ción:

Más allá de la mera articulación de un simple tinglado estructural en donde el reglado reticular pareciera proveerse a sí mismo de su propio significado, <como si del mero juego gramático-combinatorio de la estructura emergiera su propia semántica, de acuerdo a un acoplamiento conforme sin mayor diferenciación entre expresión y contenido> el texto matemático se revela como una ‘red de identidades y diferencias’ producto de un quehacer diagramático, en donde el sujeto que lo cons-truye e interpreta se manifiesta en acto. El quehacer matemático es un permanente actuar en labor constructiva:

Doble trabajo en ‘interoridad y ‘exteroridad’, cuyo primer aspecto apunta a la construcción, la elaboración en sí del espacio constituido por el diagrama, e interroga finalmente su fijeza, su origen, la legitimi-dad de su postulación, su fundabilidad, y cuyo segundo aspecto interro-ga su movilidad, su flexibilidad, su transformabilidad, la legitimidad de su uso, su funcionalidad [Guitart 2003, 124].

Confección diagramática que comporta el despliegue topológico, ‘noé-mico’, de la envoltura; despliegue figurativo que articula compacidad y conexidad, interioridad y exterioridad, delimitaciones y fronteras. ‘Ma-

⊥, #, +, x, ∗, ♦

N(5) = 6

N(4) = 15

N(3) =20

N(2) = 15

N(1) = 6

∅

Presuposición

250 Miguel Ariza

Mathesis

tema’, “gracias a lo cual se descubre lo que está allí desde el inicio, a saber el diagrama y el sujeto como su descubridor” [Ibid], pero que sin embargo está siempre abierto para dar cuenta de lo no dicho, de lo que queda aún por explorar, de las múltiples interpretaciones textuales que el quehacer matemático está aún por construir y formular.

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El Cenáculo de Leonardo da Vinci. Una discusión geométrica.

(Disertaciones artísticas. Parte I)

Alberto Cardona Suárez

Resumen El artículo se concentra en dos ambigüedades asociadas con la compo-sición geométrica del espacio representado en la Última Cena de Leo-nardo Da Vinci. En primer lugar, el privilegio del sector izquierdo para representar la salvación; y, en segundo lugar, las dimensiones reducidas para acomodar a trece personas. Se formula en el artículo una propuesta para ampliar las dimensiones del recinto representado y una explicación para la inversión de lateralidad.

Abstract This paper is a discussion of two anomalous features of the geometric composition of the space represented in Leonardo da Vinci's Last Supper. First, the privileging of the left sector to represent salvation; and, second the reduction of dimensions required to accommodate thirteen people. It this paper, a proposal is made to enlarge the dimensions of the represented en-close and an explanation is offered to the left-right inversion.

La Última Cena de Leonardo Da Vinci reúne, sin duda, las condiciones de una obra inmortal. La riqueza hermenéutica asociada con la obra es un síntoma de su grandeza. El espectador renacentista, acostum-brado a la precisión y enemigo de las ambigüedades, y puede sentir-se inconforme con las múltiples posibilidades de interpretación de la obra, puede llegar a molestarse con el número elevado de ambigüe-dades que ha de encontrar en un fresco de 9 m. por 7 m. Enumere-mos algunas. No es fácil decidir con absoluta seguridad si el pintor desea retratar el momento en el cual Jesús anuncia que uno de sus discípulos le traicionará; o si mas bien quiere inmortalizar el mo-mento en el que Cristo indica quien es el traidor —aludiendo a quien, junto con él, moja el pan sobre el mismo plato [Mat., 26:23, Juan, 13:26]—; o si prefiere tornar sublime el momento de la eucaristía —

254 Alberto Cardona Suárez

Mathesis

al dirigir la atención del espectador al pan y al vino sobre la mesa, el pintor enfatiza más la salvación que la traición—. También es posible imaginar que Leonardo no desea concentrarse en un solo momento, sino proponer una mezcla abigarrada de diversos acontecimientos desarrollados durante la cena y, de otros sucesos que estarían por venir: Anuncio de la traición; identificación del traidor; agresión de Pedro sobre el soldado que pretendía capturar a Jesús —el cuchillo en manos de Pedro es un anuncio de la reacción del apóstol cuando se vio conducido a arrancarle una oreja a Malco (soldado roma-no) en el preciso momento de la captura del Mesías [Juan, 38:10]—; manifestación de la duda airada de Tomás cuando con su dedo exige contar con una constatación precisa de la resurrección; prefiguración de la crucifixión si atendemos la posición de los pies de Cristo sobre un travesaño que copia en el piso la ubicación de la viga central que atra-viesa el techo a lo largo de la habitación;1 prefiguración de la sentencia que se dictará el día del juicio final —si nos arriesgamos a conjeturar que la mano derecha de Cristo, dirigida hacia abajo, condena a los cas-tigados, en tanto que la mano izquierda, dirigida hacia arriba, ofrece la salvación a quienes la merecen—;2 prefiguración del ahorcamiento de Judas si ponemos atención al cuidado dispuesto por Leonardo para el trazado de los músculos del cuello en los estudios del discípulo.3

1. Dado que los pies de Jesús en el fresco original se han perdido en virtud de la puerta

que los dominicos habilitaron en 1652 en el salón del cenáculo, justo debajo de la fi-gura de Cristo, debemos apoyarnos en el análisis, no del todo concluyente, de algunas copias que se hicieron en épocas cercanas a la terminación de la obra. En ese orden de ideas, la copia atribuida a Andrea Solario (1510, aprox) conservada en una pared del monasterio de Castellazzo hasta que fue destruida por una bomba en 1943, aporta uno de los testimonios más valiosos en la tarea de reconstruir algunos sectores del fresco original. En dicha copia se observan los pies de Jesús reposando sobre una división vertical trazada en el piso con el objeto de reflejar especularmente el trazo central que define una parte del decorado del techo. Así las cosas, los pies de Jesús imitan la postu-ra de unos pies sobre la cruz.

2. Conjeturamos, en este caso, que Leonardo copia algunas imágenes renacentistas que se ocupan del juicio final. En particular, en el Baptisterio de Florencia reposa una imagen atribuida a la escuela de Marcovaldo (1270 aprox.) en la que Jesús divide a justos de pecadores a través de un gesto que guarda un estrecho parecido de familia con el gesto que Leonardo ha dispuesto para las manos de Cristo. Hay que advertir, sin embargo, que el papel desempeñado por las manos izquierda y derecha en las dos obras se en-cuentra en abierta contradicción: La imagen del Baptisterio se vale de la derecha para ofrecer la salvación, en tanto que Leonardo se vale, en caso de que dicha interpretación posea alguna plausibilidad, de la mano izquierda.

3. Esos detalles no se pueden observar en el estado actual del fresco; sin embargo hemos de concluir que debían enriquecer el fresco original si le damos crédito al estudio de Judas que reposa hoy en Windsor (12547).

El Cenáculo de Leonardo da Vinci 255

III 22 (2007)

La atención del presente artículo estará dirigida a esclarecer un par de ambigüedades asociadas especialmente con la organización del es-pacio. En primer lugar, en el fresco podemos distinguir claramente dos zonas en virtud de la iluminación que ostentan: una región iluminada al costado izquierdo de Jesús —allí se encuentran, en orden, Tomás, San-tiago el mayor, Felipe, Mateo, Tadeo y Simón—; una región ligeramen-te ensombrecida al costado derecho —allí se encuentran Juan, Pedro, Judas, Andrés, Santiago el menor y Bartolomé—.4 La reunión articula-da de luz y oscuridad es, sin duda, expresión del encuentro de pasión y salvación, traición y conciliación.5 El estado anímico de los apóstoles bien puede interpretarse en un doble sentido: O bien reaccionan a la imputación de traidores, o bien pretenden desentrañar el elusivo y mis-terioso ofrecimiento de una salvación por venir. Lo que resulta del todo paradójico, y despierta nuestra curiosidad, es ¿por qué razón ha decidi-do Leonardo subvertir el orden con el que nos hemos acostumbrado a distinguir el bien del mal? Es decir, ¿por qué reserva el lado derecho para referirse al ensombrecimiento que produce el anuncio de la trai-ción, en tanto que se vale del lado izquierdo para insinuar el sosiego que anuncia la salvación? La incomodidad que produce la inversión de lateralidad la podemos ver, por ejemplo, en la versión preparada por Pieter Soutman en 1620 a partir de unos dibujos de Rubens. Dicha versión, aunque copia los ges-tos y los rasgos pictóricos centrales de la Cena de Leonardo, se ha en-cargado, en primer lugar, de trasladar, sin otra variación importante, los apóstoles de la izquierda a la derecha y los apóstoles de la derecha a la izquierda; y, en segundo lugar, se ha encargado de invertir tanto la disposición de las manos derecha e izquierda de Jesús, como la direc-ción de su mirada. Así las cosas, la salvación se ofrece con la mano derecha, en tanto que la condena y la identificación del traidor se reser-van para el costado izquierdo. La versión de Soutman muestra también una clara incomodidad del pintor con las dimensiones del lugar en don-de transcurre la cena. En este nuevo espacio se han reducido claramente las dimensiones del salón hasta presentarnos la cena en una estancia

4. La identificación de los apóstoles ha llegado a estandarizarse gracias a la copia anóni-

ma del Ponte Capriasca posiblemente de 1530. En dicha copia cada apóstol se acom-paña con una etiqueta que exhibe su nombre.

5. En una de sus representaciones alegóricas, Leonardo alude al placer y al dolor como dos caras de una misma moneda: Dos facetas que, aunque contradictorias, se hallan condenadas a reunirse sin pérdida de continuidad. Leonardo comenta: “Placer y dolor se representan como gemelos dado que nunca se da el uno sin el otro, y se representan como si estuvieran unidos espalda con espalda, pues ellos son contrarios el uno al otro” [Da Vinci, 1970, I; § 676, véase también la lámina LIX].


Mathesis

humilde y, se ha limitado la presencia de objetos sobre la mesa a un pan y una copa de vino, quizá con el objeto de centrar la atención sobre la eucaristía y eliminar así una de las ambigüedades incómodas en la in-terpretación de la obra. La segunda ambigüedad mencionada se relaciona con las dimensio-nes del recinto. La mesa se atraviesa de una manera absolutamente incómoda en el salón,6 de suerte que no sólo obstaculiza el transito libre por la estancia, sino que reduce los espacios que han de ocupar los apóstoles que se acomodan en los extremos de la mesa, precisamente contra las paredes del recinto. Nos referimos a Bartolomé y Simón. Efectivamente, el espacio del que dispone Simón para sentarse es en exceso reducido, la mesa lo aprisiona contra la pared de tal manera que nos resulta muy difícil imaginar que el apóstol pueda humanamente sentarse allí con algún grado de comodidad en su postura. Las dimen-siones reales del cenáculo representado han despertado las más variadas y enconadas polémicas entre los comentaristas. Möller, por ejemplo, esquematiza así la distribución general del espacio en el cenáculo y pretende con ello insinuar un inexcusable error del maestro al organizar el espacio para sus discípulos [Steinberg 2001, 27]:

Fig. 1. Distribución del espacio de acuerdo con Möller

Nos ocuparemos de las ambigüedades mencionadas en el orden en el que se han expuesto. Procuraremos no trivializar las respuestas atribu-yendo, primero, un valor protagónico al carácter ambidextro de Leo-

6. De hecho en una dirección diferente a la que ostentan las mesas ubicadas en los refec-

torios cristianos. En dichos refectorios las mesas se disponen muy cerca y paralelas a las paredes laterales.


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nardo para explicar su preferencia por la izquierda, o al conjeturar, en segundo lugar, un inexcusable error de perspectiva en los cálculos y proyecciones del autor. Se defenderá en el artículo, en primer lugar, que la preferencia del sector izquierdo para figurar la salvación está asociada, mas bien, con la ubicación geográfica de la pared destinada a albergar el fresco; y, en segundo lugar, que es posible reorganizar la composición geométrica de la obra de tal manera que las dimensiones del cenáculo representado se amplíen, tanto a lo largo como a lo ancho, para disminuir así el impacto negativo que produce en nosotros el reducido espacio al que se ven confinados los discípulos de los extremos.

I ¿Por qué razón Jesús ofrece la salvación con la mano izquierda y señala a los pecadores y traidores con la mano derecha? ¿Hay algún sentimien-to de irreverencia en Leonardo que lo lleve a burlarse de quienes han estigmatizado a quienes se valen de su mano izquierda para dirigir sus manipulaciones? Creo que es más sensato pensar en una explicación que tenga en cuenta los accidentes relacionados con la ubicación ge-ográfica de la pared que alberga el fresco. Leo Steinberg ha propuesto una interesante conjetura que llama la atención sobre estos aspectos geográficos. Si extendemos la mano izquierda de Jesús por fuera del plano de la pared en la dirección que ella indica, lograremos advertir dos hechos sorprendentes. En primer lugar, la mano se dirige al lugar en donde se encontraba la antigua puerta de entrada al refectorio, de suerte que todos los espectadores que ingresaban al recinto descubrían a pri-mera vista la mano de Cristo, quizá invitándolos a participar de la cena del Señor. En segundo lugar, si llevamos más allá la línea que advierte la dirección de la mano izquierda, ella atraviesa el patio interior del convento de los dominicos, ingresa por una puerta de acceso a la capilla y converge con precisión milimétrica al centro del domo de la iglesia de Santa María de la Gracia.7

7. Véase Steinberg [2001, 145-147]. La iglesia de Santa María de la Gracia fue encomen-

dada a Donato Bramante en 1492. Muchos comentaristas han puesto de relieve la ca-maradería y amistad que existía entre Leonardo y Bramante.


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Fig. 2. Plano de la Plaza de Santa María de la Gracia

El hallazgo de Steinberg lo podemos complementar con una sugerencia adicional. La pared que alberga el fresco es la pared norte (tal como se advierte en la figura 2), en tanto que la puerta de ingreso se encuentra al costado oriental del salón. En consecuencia, en horas de la tarde el Sol debe hallarse al occidente de tal manera que debe iluminar directamente el costado oriental (el mismo de la puerta), en tanto que el costado occidental yace a la sombra.8 Así las cosas, no es descabellado imaginar que Leonardo tuviese la intención de figurar, con precisión milimétrica, la hora en la que transcurrió el encuentro de Jesús con sus discípulos. A juzgar por la descripción de los evangelios, la cena tuvo lugar a una hora ya cercana al ocaso: “Al caer la tarde, púsose [Jesús] a la mesa con sus doce discípulos” (Mat., 26:20); “puesto ya el sol, fue Jesús allá con los doce” (Mar, 14:17). Leonardo quiso figurar con precisión no sólo cada uno de los acontecimientos inmortalizados en los relatos bíblicos,

8. Conviene señalar que antes de la destrucción del salón que alberga el fresco, a conse-

cuencia de los bombardeos de agosto de 1943, la pared occidental contaba con dos amplios ventanales a la altura de la ubicación de los apóstoles.


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así como el momento justo de la reunión. Esta intención, unida a la contingencia de tener que disponer de la pared norte para el fresco, le condujo a recargar sobre el costado oriental la iluminación que habría de representar la salvación. Ahora bien, el hecho de que la puerta de ingreso estuviese sobre la pared oriental determinó que la mirada de Cristo se dirigiera hacia ese lugar para invitar a quien ingresa al refecto-rio a participar de la eucaristía; descuidando así el hecho de que la ma-no activa (derecha), la mano que pretende asir la copa de vino o dispu-tar el plato con Judas, no estuviese acompañada por la mirada de Cristo, en una falta de coordinación que desconcierta al espectador.

II Aun cuando no conocemos escritos de Leonardo que estén asociados con bosquejos preliminares para la organización geométrica del cenácu-lo,9 existe un número importante de consensos entre los comentaristas a propósito de algunos aspectos de importancia capital en relación con la organización geométrica. Presento a continuación el esquema de orga-nización a la manera de cuadrícula sugerido por Brachert [1971, fig. 3] y recogido por Martin Kemp [2000, 56]. Este esquema exhibe una parte de los consensos mencionados. A continuación del esquema, presento las dimensiones del fresco de acuerdo con los datos reportados por Pinin Brambilla Barcilon [1984, 4]. El primer esquema se puede sinte-tizar así: (1) se divide el espacio del fresco que alberga la habitación frente al espectador en una cuadrícula de 12 por 6 unidades; (2) esta estructura se puede ahora subdividir en un cuadrado central ABDC (6×6) y en dos rectángulos laterales (BEFD, GACH) (3×6); (3) se tra-zan las diagonales CB y AD, y se define el punto de corte J como el punto de convergencia de las ortogonales; (4) allí donde las diagonales corten las verticales trazadas en el interior de ABCD se definen los vértices de dos cuadrados LMNO y PQRS; (5) el trapecio ABML define el espacio para distribuir el techo visible del cenáculo (las líneas que se originan en J y pasan por cada una de las seis divisiones de AB deter-minan, sobre LM, otras seis divisiones que permiten trazar las vigas que definen el fondo del techo; (6) la primera y la segunda líneas horizonta- 9. Con la excepción, quizá, del esbozo preparatorio que yace en la Biblioteca Real del

Castillo de Windsor, o el esbozo que se encuentra en la Academia de Venecia (estos esbozos pueden contemplarse en la edición de Jean Paul Richter de las notas de Leo-nardo, figuras XLV y XLVI). No obstante, dichos esbozos están muy alejados de la composición final de La Cena de Leonardo. En el primero de ellos aparece Judas al otro lado de la mesa, de acuerdo a la tradición; en tanto que en el segundo Juan aparece recostado sobre la mesa respetando también la tradición de los cenáculos.


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les de la cuadrícula, contando desde abajo hacia arriba y sin tener en cuenta a HF, definen, en el mismo orden, el borde del mantel que cae en el primer plano y el borde posterior de la mesa de la cena (éste últi-mo coincide con la línea que se extiende sobre SR); (7) el cuadrado PQRS se reserva para la ubicación de Cristo disponiendo para él el triángulo central JSR; (8) se replica cuatro veces el triángulo JSR en forma especular sobre la prolongación de SR y con respecto a ejes ver-ticales, de tal manera que se definen así los contornos de la ubicación de los cuatro grupos de apóstoles; (9) los bordes verticales de la pared trasera han de delinearse sobre las rectas LO y MN, sin embargo, el límite inferior de la pared trasera se oculta por la presencia de los após-toles; no obstante, en una primera aproximación heurística al estudio, podemos sospechar que dicho límite se encuentra sobre el cruce de las paredes verticales LO y MN y la prolongación de la recta RS (el borde posterior de la mesa); así las cosas, las líneas que separan el piso y las paredes laterales deben ser, precisamente, JF y JH; en dicho esquema EF y GH definen los límites absolutos del cenáculo, de tal manera que el espacio del que disponen Simón y Bartolomé resulta absurdamente estrecho; (10) por último, se hacen los arreglos para trazar el artesonado del techo (de ello nos ocuparemos más adelante).

Fig. 3. Esquema básico

A BG E

C D

J

FH

S R

L M

P Q

O N


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Fig. 4. Dimensiones del Cenáculo

La dificultad para establecer las dimensiones reales del cenáculo pinta-do y su articulación con las dimensiones del recinto que aloja la obra, reside básicamente en escoger en forma adecuada el borde inferior de la pared posterior. Hablamos de un secreto que Leonardo llevó consigo a su tumba. El marco de la solución que presentamos en este artículo está inspi-rado en una idea seminal de Francis Naumann, quien en 1973 mientras asistía en calidad de estudiante a un seminario sobre la Última Cena en el Hunter College de New York, propuso reorientar las discusiones relacionadas con la configuración de los márgenes del fresco. La pro-puesta de Naumann, en las palabras de Leo Steinberg [2001, 159], se puede sintetizar asi:

Imaginemos el margen vertical más próximo no como parte de la pared [lateral], y no como una parte de un estructura plana [la pared lateral], sino como el flanco de una columna, o de una pilastra de la esquina, un soporte ficticio para que el falso arquitrabe pueda descansar; un elemen-to bien recibido, habida cuenta de que el arquitrabe no posee ningún otro medio de soporte.


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La pequeña superficie que se insinúa a espaldas de Simón, justo entre el borde del primer tapiz y el límite que determina la iniciación del fresco, puede interpretarse de dos maneras: (1) como una continuación de la pared lateral izquierda, y de hecho un puente que define la continuidad entre la pared lateral pintada y la pared lateral real del refectorio en donde reposa la obra; (2) como una columna de soporte que se quiebra perpendicularmente con respecto a la pared lateral izquierda del cená-culo pintado y con respecto a la pared real del refectorio —en caso, eso sí, que aceptemos que las paredes laterales del cenáculo son continua-ción de las paredes reales del refectorio (tesis ésta muy difícil de soste-ner)—. En el primer caso hemos de familiarizarnos con una trama con-tinua, en tanto que el segundo caso exige que nos familiaricemos con una ruptura, la franja de pared mencionada ha de interpretarse como una franja paralela a la pared lateral pero no en forma continua con ella. Si aceptamos la sugerencia de Naumann, el punto F define el límite del espacio pictórico pero no el límite del borde izquierdo del salón representado. Si nos disponemos a elevar ligeramente el segmento de recta que determina el borde inferior de la pared trasera, esta operación elevará también la semirrecta que partiendo de J define el límite entre la pared lateral y el piso del cenáculo. Así, dicha semirrecta ya no corta la base horizontal del frente en F, sino en un punto que se encuentra a la izquierda de F. Esta maniobra amplía el espacio para disponer en forma más cómoda la postura de Simón. Lo propio ha de ocurrir en el extremo derecho con la ubicación de Bartolomé. La pregunta que salta a la vista, y de la que nos ocuparemos a continuación, es ¿qué tanto es necesario elevar el borde inferior de la pared trasera para ampliar el salón del cenáculo? En otras palabras, estamos interesados en determinar las dimensiones de la columna que sirve de soporte al arquitrabe. En el siguiente diagrama X, Y representan las nuevas e hipotéticas posiciones que definen la elevación del borde inferior de la pared trasera; F’ y H’ definen los nuevos extremos del salón representado —estos puntos se encuentran sobre las semirrectas JX, JY que definen los límites entre las paredes laterales y el piso del salón—. Nuestro problema consiste en estructurar un conjunto de hipótesis que permita establecer la ubicación plausible de X y Y y, con ello, las posiciones de F’ y H’.


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Fig. 5. Hipótesis de Naumann

La solución que queremos proponer depende del estudio del entramado del techo. Imaginamos, a manera de conjetura, que Leonardo ha trazado el entramado del techo atendiendo a un plan estructurado y apoyado en principios geométricos. No obstante, conviene que atendamos algunas dificultades. En opinión de Pinin Brambilla Barcilon, quien dirigió la última restauración de la obra, el estado de conservación del artesonado del techo ha estado sujeto a cambios muy drásticos que han puesto en entredicho el esquema original de Leonardo. El restaurador del siglo XVIII, por ejemplo, asumió que el esquema del techo no obedecía las reglas más elementales de perspectiva y, en consecuencia, se sintió con la libertad de hacer sus propios ajustes. Estas intervenciones han difi-cultado la tarea de exhibir con absoluta seguridad el modelo seguido por el maestro. Los nuevos restauradores lograron hallar rastros de intervenciones anteriores a la que hemos mencionado y que parece que se ajustan en forma más acertada al hipotético modelo de Leonardo. Ellos también han conjeturado que el decorado del techo posiblemente se perdió en épocas muy cercanas a la terminación de la obra, quizá a causa de errores imperdonables en la preparación de los colores, aso-ciados estos errores con la adherencia de los pigmentos. Ya en el siglo XVI pocos trazos del decorado eran claramente legibles. Los nuevos restauradores han logrado establecer que las vigas eran originalmente más grises en tono, decoradas con tonos color madera y decoradas con bordes estrechos de color rojo y artesones con un trasfondo azul. La tarea de restauración también puso en evidencia una estructura en forma de parrilla compuesta por una serie de incisiones que debían cumplir el papel de líneas de guía para el esquema geométrico. Una de estas líne-as, por ejemplo, define el eje central de la Cena. También se recupera-ron algunas líneas horizontales que definían el ritmo de los artesones. De otra parte, en el área superior de la pintura se halló una serie de

A BG E

J

F

L M

H

X Y

H' F'


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líneas de perspectiva que finalmente no corresponden al plan de Leo-nardo. Estas líneas, de acuerdo con la conjetura de Barcillon y colabo-radores, obedecen a un plan previo de Leonardo que tuvo que ser aban-donado por motivos desconocidos y que concebía la posibilidad de extender el decorado del techo en una zona más amplia que la actual, reduciendo la profundidad del cenáculo [Barcilon 2001, 345-355]. Martin Kemp [2006 185] ha propuesto en forma sugestiva aunque no concluyente que la composición geométrica de la Última Cena está basada en una regla de disminución óptica que reproduce una escala musical; dicha regla, por ejemplo, se ilustra con la disminución en la anchura de los tapices que cuelgan de las paredes laterales y que sigue el ritmo:

1 1 11: : :2 3 4

.

¿Cuáles pudieron ser los principios geométricos para el trazado del artesonado del techo? Creo que no es difícil aceptar con un alto grado de plausibilidad dos fuentes en la composición del techo ajedrezado de Leonardo: Alberti o Piero della Francesca. Veamos, en primer lugar, el procedimiento sugerido por Alberti para enfrentar un viejo problema entre los pintores: dibujar en profundidad el entramado rectangular del piso de un gran salón. Se construye inicialmente un gran rectángulo que bien puede representar el panel que el pintor tiene al frente; se divide este rectángulo con una línea horizontal (línea de horizonte) a la altura del observador concebido para la obra. Sobre dicha horizontal se elige un punto central P al cual convergen todas las líneas que concebimos ortogonales al plano. Marcamos con los puntos A, B, C, D, E las divi-siones del piso al nivel inferior del panel del pintor. Trazamos los seg-mentos PA, PB, PC, PD, PE (representación de ortogonales al plano pictórico) y elegimos, sobre la horizontal que contiene a P, el punto arbitrario M. La longitud del segmento ML (siendo L el corte del rayo PM con el rectángulo inicial) representa la distancia a la que el obser-vador concebido para la obra ha de ubicarse al frente del panel pictórico si quiere contemplar con precisión la composición.10 Trazamos a conti-nuación los segmentos MA, MB, MC, MD, ME y establecemos las inter-secciones respectivas con LA. A partir de dichas intersecciones traza-mos paralelas a AE y dejamos que ellas definan el ritmo de presentación de los cuadrados en escorzo que conforman el ajedrez. Este entramado

10. Alberti no ofrece ningún argumento para aceptar dicha regla. De hecho habrá que esperar

hasta la intervención de los matemáticos profesionales (Giambattista Benedetti (1530-1590) el primero de ellos) para hallar una justificación convincente de la regla.


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ha de ser tal que un observador a la altura de P y ubicado a la distancia señalada por ML puede verse inclinado a concebir allí un piso ajedreza-do en un supuesto plano perpendicular al plano del dibujo.11

Fig. 6. Piso ajedrezado Alberti está cerca de advertir que si trazamos las diagonales de los cuadrados así degradados, ellas convergen en puntos de la línea de horizonte, simétricos con respecto a P (en la Figura 7. los puntos R y S). Él cree que se trata de un síntoma que expresa que el resultado es co-rrecto (no es un corolario de una construcción adecuada, ni tampoco la idea directriz de la misma): “Si una línea recta contiene la diagonal de varios cuadrángulos descritos en la pintura, ello es para mí una indica-ción de que ellos fueron trazados en forma correcta” [Alberti 1966, 57].

Figura 7. Convergencia de las diagonales

11. Es muy posible que el procedimiento sugerido por Alberti sea una adecuación de la

proposición 11 de la óptica de Euclides [Véase, Euclides 2000, 145]. A propósito del método véase Alberti [1966, 57].

A E

P

CB D

M L

A E

P

CB D

R SM


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El siguiente fragmento de Leonardo exhibe claramente la familiaridad del artista con los métodos sugeridos por Alberti:

Todas las cosas transmiten su imagen al ojo por medio de pirámides; […] El ojo f y el ojo t son una y la misma cosa; pero el ojo f te indica la distancia, es decir: a que distancia estás del objeto; en tanto que el ojo t te indica la dirección, es decir: si estás frente al objeto que miras, o a un lado, o de canto. Y recuerda que el ojo f y el ojo t han de estar siempre situados a la misma altura; de suerte que si tú, por ejemplo, bajas o al-zas el ojo de la distancia, f, deberás bajar o alzar el ojo de la dirección t. Y si el punto f indica a qué distancia está el ojo del cuadro, pero ignora en qué dirección esté situado, y, por su parte, el punto t indica la direc-ción, pero ignora la distancia, para conocer una y otra habrás de servirte de ambos puntos como si fuesen una misma cosa. Si el ojo f viera un cuadrado perfecto, cuyos lados fuesen todos iguales a la distancia entre s y c, y en la base del lado que está frente al ojo situáramos un palo, o algo semejante, en posición perpendicular, tal como aparece en rs, yo te diría que si miras el límite del cuadrado que tiene más próximo te pare-cerá estar en el arranque del plano vertical rs, pero que si miras el límite opuesto parecerá que alcanza el punto n del plano vertical. [Da Vinci 1970 I, § 55, p. 34].

Fig. 8. Construcción en escorzo.

Nos ocuparemos ahora de la segunda fuente sugerida, a saber Piero della Francesca (1412-1492). Piero conjugó armónicamente sus dos pasiones más poderosas: la pintura y la geometría. En sus últimos años de vida consignó en forma prodigiosa los resultados de sus pesquisas geométricas en relación con los temas asociados con la representación en escorzo12 en un bello tratado titulado De Prospectiva Pingendi. Di-cho tratado no ha gozado del reconocimiento que, en sana justicia, merece. Piero se ocupa también, entre otros múltiples e interesantes asuntos, del problema de desentrañar la regla de degradación de un entramado ajedrezado. Sin entrar en detalles, el procedimiento se puede sintetizar, haciendo incluso una paráfrasis del método de Alberti, de la siguiente manera: Se construye un rectángulo (Figura 9) y se divide 12. La palabra española escorzo viene del verbo italiano scorciare que significa represen-

tar las cosas acortándolas según las reglas de la perspectiva. En el lenguaje toscano de Piero della Francesca se usa la expresión ‘scurto’ asociada con el término ‘curto’.


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con una línea horizontal (línea de horizonte) a la altura del observador concebido para la obra. Sobre dicha horizontal se elige un punto central P al cual convergen todas las líneas que concebimos ortogonales al plano. Establecemos las divisiones regulares A, B, C, D, E. Trazamos los segmentos PA, PB, PC, PD, PE (representación de ortogonales al plano pictórico) y elegimos, sobre la horizontal que contiene a P, el punto arbitrario R. La longitud del segmento PR representa la distancia a la que el observador concebido para la obra ha de ubicarse al frente del panel pictórico para contemplar desde allí la composición. Traza-mos RB, RC, RD y RE y establecemos las intersecciones respectivas con PA. A partir de dichas intersecciones trazamos paralelas a AE y dejamos que ellas definan el ritmo de presentación de los cuadrados que conforman el ajedrez.

Fig. 9. El método de Piero della Francesca

Piero le asigna a la diagonal un papel central. Dado que Alberti no ha mostrado la convergencia de las diagonales sobre la línea de horizonte, ni Piero la convergencia sobre la línea de horizonte de las rectas que unen las divisiones A, B, C, D, E con las intersecciones de las paralelas y las verticales que definen el rectángulo inicial, no es posible advertir que los dos métodos son equivalentes. Estos resultados, por ejemplo, han de conducirnos a establecer la congruencia entre ML (Alberti) y PR (Piero). En 1585, Giovanni Batista Benedetti publicó una clara funda-mentación matemática del resultado de Alberti. Un tiempo después, Pietro Accolti interpretó erróneamente la demostración de Benedetti como si fuese una prueba de que el método de Alberti fuese el único posible y propuso el nombre, que todavía se usa, de ‘costruzione legit-

A E

P

CB D

R S


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tima’ para referirse a él. ¿Contamos con evidencias que sugieran que Leonardo conocía el método de Piero? La respuesta categórica es ‘Sí’. Luca Pacioli fue discípulo de Piero della Francesca y a juicio de Gior-gio Vasari fue él quien se encargo de divulgar las ideas de Piero sin darle el crédito que merecía. Giorgio Vasari cree, y parece que no le falta razón, que el trabajo recogido en La divina proporción de Luca es un claro plagio de las ideas de Piero [Vasari 2004, 300-305]. El tratado de La divina proporción fue presentado por primera vez el 9 de febrero de 1498 (el mismo año de la supuesta terminación de la Cena) en la fortaleza de los Sforza en la ciudad de Milán. En la carta de presenta-ción Luca alude a las personas ilustres allí presentes, entre ellos Leo-nardo a quien dedica la mayor extensión y prolijidad de elogios:

Leonardo da Vinci, nuestro compatriota florentino, cuyo renombre en los campos de la escultura, fundición o pintura es atestiguado por todos, como lo demuestra la admirable y magnifica estatua ecuestre […] dedi-cada a vuestra santísima e invicta memoria paterna [el padre de Ludovi-co Sforza], obra que nada tiene que envidiar a la de Fidias y Praxíteles en Monte Cavallo; o también el hermoso simulacro del ardiente deseo de nuestra salvación [La última cena] pintado por su mano en el digno y devoto lugar, de corporal y espiritual confortación, del sagrado templo de las gracias, obra ante la cual se estima hoy que cederían Apeles, Mirón o Polícleto rindiéndose ante su fama […] [Pacioli 1991, 30].

Unas páginas después Luca [1991, 39] se expresa así de La última cena:

¿Quién, al ver una airosa figura, bien dispuesta, con sus debidas alinea-ciones y a la que sólo parezca faltar el aliento, no la juzgaría como cosa más divina que humana? Hasta tal punto de perfección imita la pintura a la naturaleza. Y es algo que se hace patente ante nuestra vista en el exquisito simulacro del ardiente deseo de nuestra salvación, en el que no es posible imaginar a los apóstoles prestando mayor atención al so-nido de la voz de la infalible verdad cuando dijo: unus vestrum me tra-diturus est; escena ésta en la que, con actos y gestos, parece que se hablan unos a otros con viva y afligida admiración: tan dignamente lo representó nuestro Leonardo con su airosa mano.

Quien haya leído el Tratado de la pintura de Leonardo, especialmente el parangón, se sorprenderá ante el parecido de familia con muchas de las declaraciones de Leonardo. He aquí un ejemplo: «En la pintura no falta sino el alma de las cosas fingidas» [Da Vinci 1995, § 18]. ¿Quién hace una paráfrasis de quién? Bien se ha ganado ya Luca la fama de ser poco cuidadoso con sus fuentes. No nos cabe, pues, duda que Leonardo y Luca coincidieron en la corte de los Sforza en Milán a finales del siglo XV y que tuvieron la oportunidad de intercambiar discusiones interesantes a propósito de puntos de vista de carácter teórico acerca del arte de la pin-tura. Ello se constata también por la voluntad de Leonardo de hacerse


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cargo de los hermosos dibujos de los sólidos platónicos y arquimedianos presentes en la edición de La divina proporción. Un estudio más atento, que sobrepasa ya los alcances del presente ensayo, puede poner en evi-dencia que, en algunos casos, Leonardo sigue cuidadosamente las reglas de proyección en escorzo de Piero Della Francesca. Este, por ejemplo, es el caso del rombicuboctaedro (figuras XXXV y XXXVI)13 que resulta del mayor interés toda vez que dicho sólido arquimediano es el que sirve de trasfondo en el bello cuadro de Jacopo de Barbari en el que se repre-senta a un profesor de geometría (supuestamente Luca Pacioli) impar-tiendo una clase, apoyada en los Elementos de Euclides, acerca de la construcción de sólidos. También conviene llamar la atención acerca del parecido de familia entre la representación del tetraedro truncado de Leonardo (figuras III y IV) y el mismo de Piero en el Trattato d’abaco [Field 2005, 122].14 Ahora bien, la pregunta a la que nos vemos avocados es la siguiente: ¿En la composición del artesonado del techo de La última cena, sigue Leonardo a Alberti o a Piero? Quizá la pregunta carezca de interés, toda vez que los dos métodos son equivalentes. No obstante, la pretendida equivalencia no era un dato seguro para Alberti, Piero o Leonardo. El método de Piero comporta una ventaja técnica en nada despreciable. Alberti exige trabajar con un punto sobre la línea de horizonte muy ale-jado de la escena pictórica (nos referimos al punto M en la figura 6). Entre tanto, Piero trabaja con un punto que eventualmente puede hallarse en el interior del rectángulo pictórico (el punto R en la figura 9). Si acep-tamos, como podemos defender más adelante, que Leonardo anclaba clavos para tender desde allí cuerdas que permitiesen seguir atentamente las rectas convergentes,15 hemos de aceptar también que resultaba más conveniente un método que tuviese todos los puntos de convergencia en el interior del rectángulo pictórico que, para el caso de La última cena, tiene sus límites laterales restringidos por las paredes que encierran el recinto del cenáculo. Admitiremos, a manera de hipótesis de trabajo, que Leonardo atiende el método de Piero y hemos de indagar ahora por la ubicación de los puntos P, R y S de la composición. Enumeraremos las hipótesis centrales de la argumentación:

13. Leonardo y Luca usan como nombres del sólido: Vigintisex Basium Planus Solidus y

Vigintisex Basium Planus Vacuus. 14. Compárese así mismo el cuboctaedro del Trattato d’abaco de Piero [Field 2005, 123]

y el cuboctaedro de Leonardo (Figuras IX y X). 15. Tal como sugiere Cennino Cennini (Tirar con cuerda) en uno de los tratados de

pintura más conocidos de la época [Cennini 2006, 112-118, 132-133].


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(1) El punto de convergencia de las ortogonales: P. La presencia de un pequeño agujero sobre el eje vertical muy cerca al ojo derecho de Jesús sugiere que en dicho lugar se hubiese podido anclar un clavo para proyectar desde allí, por medio de cuer-das, todas las líneas de perspectiva. Este punto se encuentra sobre la recta vertical que divide el rectángulo inicial en dos partes iguales, a unos 15 cm. por encima de la recta horizontal que divide el rectángulo inicial (nos referimos a la horizontal que contiene al punto J en la figura 3) [Barcilon 2001, 415]. Por tanto, la distancia de P a la recta QR (Figura 10) es, aproximadamente, 2.18 m.

(2) La altura del recinto representado está señalada por el punto más elevado de la luneta central (altura: 6.89 m. con respecto a H’F’). 16

(3) El rectángulo inicial para la composición se descompone en un rectángulo central (4.81 m. por 4.60 m.) y dos rectángulos laterales (izquierdo: 2.04 m. por 4.60 m., derecho: 2.00 m. por 4.60 m.).17 En la figura 10, construida a escala, el rectángulo central se advierte a partir de los puntos Q y R. En ese orden de ideas, la recta PQ define uno de los bordes laterales del te-cho. Ahora bien, PQ corta la recta que define la altura del re-cinto en F”. Por F” se traza una vertical y se define el punto de ampliación del recinto en F’. Considerando la información de (1), (2) y (3) se infiere que FF’ tiene una longitud de 0.55 m.

(4) Puntos R y S. Los puntos de convergencia de las diagonales sobre la línea de horizonte se establecen en las posiciones que den mayor cobertura. Esto está definido por la restricción que imponen las paredes del refectorio de Santa Maria de la Gra-cia. En consecuencia dichos puntos se fijaran en D1 y D2.

(5) Asumimos que el recinto es cuadrado. En consecuencia, dado que PH’ y PF’ definen las fronteras entre el piso y las paredes laterales, y F’D1 es la representación en escorzo de una diagonal, D (la inter-sección entre PH’ y F’D1) ha de representar el vértice inferior iz-quierdo de la pared posterior. El segmento vertical DE, por lo tanto, representa el borde vertical izquierdo de la pared posterior. Con-

16. Las lunetas fueron redescubiertas en 1854 gracias a la restauración dirigida por Stefa-

no Barezzi. Ellas fueron cubiertas en alguna restauración anterior con un número ele-vado de capas de color blanco.

17. Las medidas se ajustan a los datos suministrados por Barcilon (ver figura 4) y coinci-den con los datos aportados por Naumann [1979, 87-89].


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viene subrayar que la horizontal que contiene a D está cerca de la mayor elevación permitida por el punto de encuentro de los brazos de Jesús y Juan.

Figura 10. Síntesis de las hipótesis (1) – (5)

Esta composición, sin embargo, tiene una problema que no podemos pasar por alto. El levantamiento del borde DE no coincide con el contorno obser-vado en el fresco, tal como se advierte en la reproducción de la Figura 11. DE, de acuerdo a los cálculos ajustados a las medidas que se han presentado, dista del punto P por 1.5 m., cuando debíamos esperar 1.45 m. Esto nos obliga a renunciar a la hipótesis (5). Asumiremos que el recinto no es cuadra-do y agregaremos medio artesón en profundidad. Así las cosas, estamos pensando en un recinto de magnitud 6 celdas por 6.5 celdas. Ajustados así los cálculos, el nuevo borde posterior izquierdo dista 1.44 m. de P, cuando deb-íamos esperar 1.45 m. Este ajuste en la hipótesis explica también por qué Leonardo dividió cada cuadrado del ajedrez inicial en dos artesones rectangu-lares. Así, el recinto a la vista debía contar con seis artesones de ancho y trece artesones de profundidad (cada una de las celdas que constituye nuestro esquema de decoración del techo está realmente conformada en el fresco por dos artesones rectangulares, cada uno de ellos dos veces más ancho que profundo). La figura 12 ilustra la corrección comentada. 18 18. Kemp [2000, 57].insiste en que no tenemos elementos seguros para definir si los

artesones del fresco pretenden representar celdas cuadradas o rectangulares.

H

P

F'H'

D

D1 D2

E

Q

F''

F


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Figura 11. Contraste de las hipótesis (1) a (5).

H

P

F'H

'

D

D1

D2

Q

F''

F

E


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Figura 12. Corrección a las hipótesis (1) a (5) Conviene subrayar dos dificultades adicionales que saltan a la vista. En primer lugar, si la hipótesis de Naumann es correcta, la capa de Simón debía ocultarse detrás de la pared que sirve de soporte para el arquitrabe; sin embargo, la capa se antepone a la columna, lo que sugiere una estricta continuidad entre la pared de la supuesta columna y la pared lateral iz-

H

P

F'H

'

D

D1

D2

Q

F"

F


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quierda del recinto. No hay duda en que si estuviésemos al frente del fresco original, esta dificultad constituiría un argumento crucial para desestimar la hipótesis de Naumann; sin embargo, no es del todo descabellado conjeturar que los restauradores hubiesen pasado por alto el quiebre de la columna y se hubiesen inclinado naturalmente a favorecer la continuidad entre las paredes aportando un fragmento de capa que se antepone al muro que nos interesa. Barcilon sostiene, refiriéndose a la restauración de Simón, que “la actual remoción y operación de limpieza alcanzaron la superficie de la pintura de Leonardo, revelando que la versión original era sustancialmente diferente” [Barcilon 2001, 363]. Según los restauradores, las anteriores intervenciones sobre Simón habían ya transformado el perfil del apóstol; su ojo, por ejemplo, se ha perdido irremediablemente y había sido substituido por un leve sombreado; la nariz había sido acortada, en tanto que la barba se había alargado; la parte de atrás de la nuca y el cuello habían sido am-pliadas con una línea que se extendía hacia el tapiz ubicado a espaldas del apóstol [Barcilon 2001, 362]. En fin, no es del todo insensato, con el ánimo de defender una hipótesis plausible, conjeturar una intervención indebida en la capa de Simón, de tal manera que la continuación entre las dos pare-des fuese obra de restauradores. En segundo lugar, la ampliación de las dimensiones del recinto no alcanza a ser suficiente para acomodar adecua-damente a Simón. Con las nuevas dimensiones, el espacio entre el borde de la mesa y la pared lateral es, aproximadamente, la mitad de la extensión entre las dos manos de Jesús, ¿podría en ese espacio sentarse cómodamente un ser humano de contextura robusta? Francis Naumann publicó en 1979 los resultados de la investigación que había iniciado en 1973 a raíz de la recomendación que formuló para ampliar las dimensiones del salón y que en este artículo se ha adoptado como una hipótesis de trabajo. No obstante, las conclusiones difieren substancialmente de las que aquí se presentan. Las diferencias se pue-den resumir así: (1) Naumann sigue las recomendaciones de Alberti. Este hecho, sin embargo, no debe marcar diferencias en los resultados, salvo si atendemos a las ventajas técnicas que reportaría el uso del método de Piero. (2) Él asume que el punto de convergencia de las ortogonales coincide con el corte de las diagonales del rectángulo ini-cial que sirve de base para la construcción [Nauman, F. 1979, 75, n. 41, apéndice B]; (3) Considera que cada uno de los artesones es, efectiva-mente, cuadrado. Estos elementos le permiten establecer que el obser-vador para el que está calculado el diseñó debe ubicarse a 10.29 m, al frente del fresco y a la altura indicada por el centro de convergencia de las diagonales. Nuestros cálculos nos llevan a evaluar una distancia


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(D1P) cercana a 4.4 m.19 (4) Naumann encuentra que al construir los artesones ocultos, ellos no coinciden en una fracción exacta con la altura definida por la luneta central [Naumann 1979, 76]. La situación cambia si se modifica la ubicación del punto de convergencia de las ortogonales. Naumann, sin embargo, coincide en señalar que la máxima elevación del borde inferior de la pared posterior coincide con el vértice señalado por la convergencia de los brazos de Juan y Jesús; (5) Los cálculos de Naumann conducen a un salón rectangular de seis artesones de ancho por quince artesones de profundidad (no debemos olvidar que los artesones de Naumann son cuadrados y los nuestros rectangulares). La construcción de Naumann ofrece un espacio más amplio para la acomodación de los apóstoles en los extremos. No hay duda que este ejercicio arqueológico no ofrece resultados absolutamente concluyentes y posiblemente tendremos que resignarnos a ofrecer argumentos heurísticos que no permiten develar con absoluta claridad el diseño completo de Leonardo. No obstante, hemos querido contribuir a desestimar los argumentos que en forma apresurada se escudan en defectos del diseño. De otra parte, lejos de mostrar la falta de ambigüedades en el cuadro, hemos querido ilustrar cómo ellas no se reducen a los acontecimientos narrados, sino que se extienden a la con-figuración misma del espacio. La figura 13, elaborada con ayuda del programa Cabri, muestra la Última Cena con algunos elementos centra-les de la reconstrucción que se ha propuesto. 19. Naumann propone dos métodos para evaluar dicha distancia, el primero ajustado a los

criterios de Alberti y el segundo ajustado a los de Piero (sin embargo no menciona a Piero en su explicación) [Naumann 1979, 76]. La diferencia entre el cálculo de Naumann y el nuestro se deriva de considerar los artesones cuadrados (Naumann) o rectangulares.


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Figura 13. Esquema propuesto para la Última Cena.

D1

D2


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VINCI, Leonardo da. 1995. Tratado de pintura. Madrid: Ediciones Akal. (Tercera edición. Traducción al español de Ángel González García).


El teorema del valor medio del cálculo diferencial

Jacobo G. Núñez Urías

RESUMEN En este trabajo hacemos una revisión histórica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, desde la publicación de éste en los es-critos de Cauchy, pasando por algunas demostraciones aparecidas en el American Mathematical Monthly, poniendo énfasis en el carácter evolu-tivo de la disciplina, en donde importa, no sólo el propósito de un autor al presentar una demostración, sino, las posibles lecturas que se pueden hacer de lo escrito. Recreamos algunas demostraciones de éste y de otros resultados relacionados, mostrando cómo a partir del texto o de la demostración del resultado, se pueden desencadenar otras formas de in-terpretación, de expresión o generalización.

ABSTRACT In this text we historically review the Mean Value Theorem from Dif-ferential Calculus, since its publication on Cauchy’s writings, as well as several other demonstrations that appeared over the years on the Ameri-can Mathematical Monthly, focusing on the evolutive character of the subject, in which what it is important is not just the purpose of the au-thor on presenting such a proof, but an interpretation of the possible readings that can be made of it. We recreate some demonstrations of the aforementioned theorem and of some other results related to it, showing how, starting from the setting of the theorem or from its proof, it is pos-sible to unveil several other ways of interpreting it, of settling it or gen-eralizing it.

280 Jacobo G. Nuñez Urías

Mathesis

Para evitar cualquier especie de confusión en el lenguaje y la escritura algebraicos, vamos

a fijar en estos preliminares el significado de varios términos y de varias notaciones que tomaremos

ya sea del álgebra ordinaria o de la trigonometría. Las explicaciones que daremos son necesarias

para tener la certeza de ser perfectamente comprendidos por quienes leerán la obra.

Augustin Louis Cauchy

1. Introducción Desde el punto de vista de la estructura lógica de la matemática, un ‘teorema’ se basa en ideas, conceptos y resultados de la misma discipli-na, que en un momento determinado la comunidad matemática compar-te. Esto es sabido desde el reconocimiento mismo de la disciplina como ciencia deductiva. Pero, las formas de expresión de los teoremas, sus demostraciones y las formas de interpretación que de ellos se haga, no han sido siempre las mismas, y en ocasiones, formas distintas de inter-pretación pueden desencadenar nuevas formas de demostración y de expresión del mismo resultado. Lo anterior es aplicable al Teorema del Valor Medio, aún en su versión real de variable real, esto sin considerar versiones del resultado más generales en espacios más abstractos, valga como información, que únicamente en el American Mathematical Monthly se han publicado más de doscientos artículos relacionados con el mencionado teorema en los últimos cien años. No está por demás recordar que este resultado es uno de los más importantes del cálculo, ya que a partir de éste, se pueden definir otros conceptos como el de la integral de funciones reales, deducir una gran cantidad de resultados del análisis numérico y del mismo cálculo, como el Teorema del Valor Medio de la Integral, la regla de L´Hôpital, entre otros. Cualquier profesor de cálculo, conoce el resultado y sabe que una demostración la puede consultar casi en cualquier libro de texto de cálculo o de análisis. Presentaremos en el desarrollo del escrito las formas actuales de su demostración, haciendo comparaciones entre ellas, mostraremos una parte de la evolución del resultado, reconstruiremos una demostración la cual permite no sólo su generalización sino también otras formas de interpreta-ción, tanto del texto del teorema como de sus demostraciones. Todo esto acompañado de algunas reflexiones y comentarios que posiblemente pasa-mos por alto y que pueden ser de utilidad tanto a los profesores de la mate-ria, como a los interesados en el estudio de este tipo de tópicos.

El teorema del valor medio ... 281

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2. Antecedentes En la parte final de la séptima lección de las Lecciones de cálculo infi-nitesimal, Cauchy afirma [1994, 259-262]:

Vamos a dar a conocer una relación digna de ser observada1 y que exis-te entre la derivada f´(x) de una función arbitraria f(x) y la razón de las diferencias finitas

[...]. Dicho esto, se establecerá sin dificultad la proposición siguiente. Teorema.- Si la función f(x) es continua entre los límites x = x0, x = X y si se designa con A al valor más pequeño y con B al valor más grande de la función derivada f´(x) en ese intervalo la razón de las diferencias finitas

(4)

estará necesariamente comprendido entre A y B. [...]. Corolario.- Si la función derivada f´(x) es también continua entre los límites x = x0, x = X al pasar de un límite al otro esta función variará de tal modo que permanece siempre entre los dos valores A y B y toma todos los valores intermedios. Así, cualquier cantidad media entre A y B será un valor de f´(x) que corresponde a un valor de x entre los límites x0 y X = x0 + h, o igualmente, a un valor de x de la forma

x0 + θ h = x0 + θ ( X – x0 )

donde θ designa a un número menor que la unidad. Al aplicar esta observación a la expresión (4), se concluirá que

existe entre los límites 0 y 1 un valor de θ capaz de verificar la ecua-ción

= f´( x0 + θ ( X – x0 )) (5)

o, lo que es lo mismo, la siguiente

(6)

Esta última fórmula deberá subsistir, cualquiera que sea el valor de x representado por x0, siempre y cuando la función f(x) y su derivada f´(x) permanezcan continuas entre los valores extremos x = x0, x = x0 + h. Se tendrá generalmente bajo esta condición

1. Se puede consultar sobre este punto una Memoria de M. Ampere en el reporte XIII del

Journal de l´École Polytechnique [Nota de Cauchy].

( ) ( )f x h f xh

+ −

0

0

( ) ( )f X f xX x−−

0

0

( ) ( )f X f xX x−−

0 00

( ) ( ) ´( )f x h f x f x hh

θ+ −= +


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(7)

Además, al escribir ∆x en lugar de h, se obtendrá

f(x + ∆x ) –f(x) = f´(x + θ∆x) ∆x (8) Es importante observar que en las ecuaciones (7) y (8), θ designa siempre a un número desconocido pero menor que la unidad.

Observaciones a la cita: Podemos apreciar (en el pié de página) el reco-nocimiento de Cauchy a Ampere sobre la primacía del resultado. Tam-bién podemos apreciar que los objetos de discusión son las funciones y sus propiedades, en donde se combinan expresiones simbólicas acom-pañadas de un discurso textual explicativo, pero sin referencia alguna a diagramas o interpretación geométrica que pretenda ilustrar lo que el resultado afirma. Esto es común en la obra Cursos de Análisis de Cau-chy, de la cual las ‘lecciones’ son sólo una parte, y esto tiene que ver con la intención del autor de escribir los fundamentos del cálculo, en donde no tienen cabida nociones o ideas que se apoyen en intuiciones o cuestiones geométricas; es decir, de lo que se trata es de introducir el rigor en el análisis, y su forma de expresión es el lenguaje simbólico. Reconocemos en el extenso corolario, una forma de expresión del Teorema del Valor Medio, y una argumentación discutible y dudosa. Discutible, porque supone la hipótesis de continuidad en la función derivada; y dudosa, porque la argumentación se apoya en resultados o propiedades de las funciones continuas, que suponemos fueron presen-tados y probados muchos años después, como son: El Teorema de Wei-erstrass (toda función continua en un intervalo cerrado alcanza el su-premo y el ínfimo), y la propiedad de Darboux (toda función continua en un cerrado, toma todos los valores entre dos valores cualesquiera de la función). Estos resultados, forman parte de las conclusiones de un largo proceso de reconstrucción de los fundamentos del cálculo, que se realizó durante todo el siglo XIX. Apreciamos también, en la última expresión simbólica, una expre-sión útil para introducir la integral como una suma de diferencias, sin referencia alguna al área bajo la curva, y apuntala de paso, al Teorema Fundamental del Cálculo, pero esto es otra historia. 3. Las versiones actuales El Teorema del Valor Medio, también conocido como Teorema de Lagrange, se puede escribir en la siguiente forma:

( ) ( ) ´( )f x h f x f x hh

θ+ −= +


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Teorema 1. Sea f:[a,b] →ℜ, continua en el cerrado [a,b] y derivable en el abierto (a,b). Entonces existe ξ∈ (a,b), tal que

f´(ξ) =( ) ( )f b f a

b a−−

o en forma equivalente:

f´(ξ) ( b – a ) = f(b) – f(a). Su demostración se apoya en el siguiente teorema: Teorema 2. (Teorema de Rolle) Sea f:[a,b]→ℜ, continua en el cerrado [a,b] y derivable en el abierto (a,b), y tal que f(a) = f(b). Entonces exis-te ξ∈ (a,b), tal que

f´(ξ) = 0

El siguiente teorema es una generalización del Teorema de Lagrange, conocido como Teorema de Cauchy: Teorema 3. (Teorema del Valor medio Generalizado). Sean F y G continuas en el cerrado [a, b] y diferenciables en el abierto (a, b), si G(a) ≠ G(b) y F´ y G´ no se anulan simultáneamente, entonces existe ξ∈ (a,b) tal que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

F b f a FG b G a G

ξξ

−=

−


[F(b) – F(a)]G´(ξ) = F´(ξ) [G(b) – G(a)]. 4. Esquema general de las demostraciones Tanto la demostración del Teorema del Valor Medio como la del Teo-rema del Valor Medio Generalizado se apoyan en la aplicación del Teorema de Rolle. El esquema consiste en buscar o construir una ‘ade-cuada función’, a la que se le aplica el Teorema de Rolle, para obtener el resultado deseado, recordemos este esquema: Demostración 1 Para demostrar el Teorema del Valor Medio, se considera la función:

φ(x) = f(x) – [( ) ( )f b f a

b a−−

(x-a) + f(a)]

φ(x) es continua en el cerrado y derivable en el abierto y φ (a) = φ(b).


Mathesis

Por lo que existe ξ∈ (a, b) tal que

φ´(ξ) = 0 de donde

φ´(ξ) = f´(ξ) - ( ) ( )f b f a

b a−−

= 0

y así

f´(ξ) = ( ) ( )f b f a

b a−−

.

Demostración 2 Una demostración más simple que la anterior se logra al aplicar el Teo-rema 2 a la función

φ(x) = f(x) – ( ) ( )f b f a

b a−−

x

φ(x) es continua en el cerrado y derivable en el abierto y φ(a) = φ(b), por lo que existe ξ∈ ( a, b ), tal que

φ´(ξ) = 0 de donde

φ´(ξ) = f´(ξ) - ( ) ( )f b f a

b a−−

= 0

y, así,

f´(ξ) = ( ) ( )f b f ab a−−

.

Al seguir el esquema de la demostración 1 se puede demostrar el Teo-rema del Valor Medio Generalizado. Demostración 3 Se definen

K = ( ) ( )( ) ( )

F b F aG b G a

−−

y ( ) ( ) [ ( ( ) ( )) ( )]x F x K G x G a F aφ = − − + .

Entonces, como φ(a) =φ(b)

φ´(x) = F´(x) - KG´(x).

Por el Teorema de Rolle, existe ξ ∈ (a,b), tal que


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0 = φ´(ξ) = F´(ξ) - KG´(ξ) de donde

K = ( )( )

FG

ξξ

.

Es decir, ( ) ( )( ) ( )

F b F aG b G a

−−

= ( )( )

FG

ξξ

.

Observación: Si en la conclusión del Teorema 3, tomamos G(x) = x, obtenemos el Teorema del Valor Medio. Demostración 4 Al seguir el esquema de la demostración 2, también podemos obtener una demostración más simple del Teorema del Valor Medio Generali-zado, al definir:

K = ( ) ( )( ) ( )

F b F aG b G a

−−

y ( ) ( ) ( )x F x KG xφ = −

y repetir exactamente el esquema de la demostración 3. Comentarios a las demostraciones En las últimas dos demostraciones, la función φ, a la que se le aplica el Teorema de Rolle, se obtiene de la repetición del esquema de la demos-tración anterior. Hemos dicho que la demostración 2 es más simple que la demostración 1, porque la expresión de la función auxiliar φ, es más simple, por lo menos, en su expresión algebraica, que la utilizada en la demostración 1. Pero, lo que no se menciona en ninguna de las demos-traciones, es la ocurrencia o la forma de construir la función auxiliar φ. 5. La representación geométrica de los teoremas Para dar una interpretación geométrica del teorema o de su demostra-ción, se requiere hacer una conversión de los objetos que están en juego y describir el teorema o el proceso de demostración, en otros términos. Por ejemplo, en el Teorema del Valor Medio, la función real de variable real, se representa por medio de una curva en el plano, la característica de ser derivable en cada x en el abierto, la interpretamos con el hecho de que la curva admite una recta tangente en cada punto, excepto en los extremos, y la expresión simbólica de la conclusión escrita por medio de una igualdad, con la afirmación de que siempre existe un punto in-termedio donde la derivada en ese punto está determinada por los ex-


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tremos y los valores de la función en esos extremos. Si somos más específicos con la conclusión del resultado, entonces se puede ‘descri-bir’ en los siguientes términos (o en otros que se le ocurran al lector): Para una función continua en un intervalo cerrado y derivable en el abierto, siempre existe un punto intermedio en el cual, la derivada en ese punto es igual a la pendiente de la secante que une a los extremos. En una curva continua, siempre hay un punto intermedio en la cur-va, cuya tangente tiene una inclinación igual a la secante que une sus extremos. En una trayectoria, siempre hay un punto intermedio donde el vector tangente es paralelo al vector que une a los extremos. Para cual-quier curva ‘suave’, y cualquier par de puntos de la curva, siempre existe al menos un punto ‘intermedio’ en la curva, en el cual su pen-diente es igual a la del segmento que une al par de puntos de la curva. De las descripciones anteriores, ¿hay alguna razón para dudar de que el resultado sea válido para curvas en el espacio? Volveremos a esta cuestión más adelante. Para ‘ilustrar’ las ‘descripciones’ anteriores, o para ilustrar el texto de los Teoremas 1 y 2, podemos hacer uso de gráficas como las si-guientes:

a b

b – a

f (b) –f (a)

)´()()( ξfab

afbf=

−−

f (a)

f (b)

ξ


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Evidentemente, no es lo mismo ‘el texto’ del teorema, ‘la descripción’ del resultado y ‘la gráfica’ que lo ilustra, pero, cada una de ellas son partes complementarias que pueden servir o permiten tener una visión más general y completa del resultado y su demostración. En la demostración 1 del Teorema del Valor Medio, la función φ tiene la ‘interpretación geométrica’ de ser la función que para cada x, mide la longitud del segmento que hay entre la función f y la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), como lo ‘muestra’ la siguiente gráfica En el caso de la demostración 2 del Teorema del Valor Medio, la fun-ción φ tiene la ‘interpretación geométrica’ de ser una función que para cada x, mide la longitud del segmento que hay entre la función f y la recta que pasa por el origen con pendiente igual a la recta que pasa por los dos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), podemos ‘ilustrar’ con la siguiente gráfica:

f (a) = f (b)

ξ b a

f ´ (ξ) = 0

a b x

f (x)

R (x)

φ (x) = f (x) - R (x)


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6. Una revisión del teorema La primera publicación del siglo pasado del American Mathematical Monthly, que hace referencia al Teorema del Valor Medio, es un artícu-lo de Bennet (1924), en donde el autor se manifiesta por buscar acer-camientos didácticos para las demostraciones del Teorema del Valor Medio y del Teorema del Valor Medio Generalizado. Al retomar las ideas de Bennett, Putney (1953) publica una demostración del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. Entre otras publicaciones, en la misma revista, que buscan enfoques en donde se justifique el origen y papel de la función auxiliar que se emplea en la demostración del Teo-rema del Valor Medio, podemos mencionar los artículos de Spiegel (1956),Yates (1959), Evans (1960), Barrett y Jacobson (1960) y Barret (1962). En particular, nos interesa retomar el trabajo de Bennett, ya que en éste se encuentra la clave para cambiar el esquema de la demostración y obtener una generalización del resultado. En relación al esquema de demostración, el autor afirma:

Estas funciones son justificadas por el hecho de que ellas sirven para esta-blecer el teorema deseado como consecuencia de un teorema conocido, pero no son sicológicamente motivadas. […]. No hay necesidad de tal artificiali-dad y en el caso del Teorema de Lagrange no hay excusa.

En relación a la ausencia en los textos, de una interpretación geométrica del Teorema de Cauchy, el autor afirma:

En el caso del Teorema de Cauchy el silencio es unánime. Esto es más sorprendente puesto que se puede dar la misma interpretación geométri-ca como la anterior, usando la variable independiente como parámetro. Si f(t) es llamada y y g(t) es x, El Teorema de Cauchy como el teorema de Lagrange (aunque ahora aplicable a una clase más amplia de curvas)

a b x

f (x)

R (x)

φ (x) = f (x) - R (x)


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establece que existe un punto en el arco para el cual la tangente es para-lela a la cuerda.

Con la pretensión de escribir expresiones algebraicas más fáciles de ser recordadas, que engloben los dos resultados, y explicar o justificar de dónde se obtienen las funciones en las que se apoya la demostración, el autor afirma:

Pudiéramos escribir la conclusión del Teorema de Cauchy en la siguiente forma algebraica simétrica: Existe al menos un ξ entre a y b tal que

( ) ( ) 0( ) ( ) 1( ) ( ) 1

x yx a y ax b y b

ξ ξ = 0 (1)

esto pudiera compararse con la forma más usual e identificarla. O pu-diera ser verificado directamente del primer principio de la geometría analítica de vectores del plano como la condición de que el vector infi-nitesimal del origen a (x´(ξ), y´(ξ)) será paralelo a la línea que une a (x(a), y(a)) con (x(b), y(b)). Es obvio que la expresión (1) es de la forma F´(ξ) = 0, donde F(t) satisface la condición

F(t) = ( ) ( ) 1( ) ( ) 1( ) ( ) 1

x t y tx a y ax b y b

. (2)

Esto se convierte, de cara a las cosas, en una de las funciones lo más simple posible involucrando funciones arbitrarias x(t) y y(t) las cuales se anulan para t = a y t = b como el Teorema de Rolle lo requiere.

Es claro de la forma de la demostración que en lugar de tomar (2) pudimos haber tomado

F(t) = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t y t z tx a y a z ax b y b z b

.

Observaciones a la cita anterior. El hecho de que la función F(t), a la que se le aplica el Teorema de Rolle, tenga la expresión de un determi-nante, tiene consecuencias importantes, que pasamos a comentar: Al hacer una combinación entre argumentos algebraicos, basados en pro-piedades de los determinantes o basados en la expresión de la función, y apoyados en interpretaciones geométricas, podemos obtener las con-clusiones de los resultados en cuestión. 1) La expresión del determinante, remite al hecho geométrico de que para cada t, la función determinante mide dos veces el área de del trián-


Mathesis

gulo formado por los puntos A P B, o si se prefiere, el área del paralelo-gramo determinado por tres puntos, donde

A = F(a), P = f(t), y B = f(b).

En el caso de t = a, o t = b, el determinante vale cero, puesto que tiene dos renglones iguales, es decir F(a) = F(b) = 0, o también puede obte-nerse algebraicamente al sustituir estos valores en la expresión de la función, y como al desarrollar el determinante la expresión de la fun-ción es de la forma:

F(t) = k1x(t) + k2y(t) + k3

La cual cumple con las condiciones del Teorema de Rolle; al aplicarlo, se obtiene la conclusión del Teorema del Valor Medio Generalizado de Cauchy

x´(ξ) [y(b) – y(a) ] = y´(ξ)[x(b) – x(a)] 2) Si la expresión del determinante la escribimos en la forma:

F(x) = ( ) 1( ) 1( ) 1

x f xa f ab f b

.

Y, al seguir el esquema de interpretación y argumentación anterior, obtendremos la conclusión del Teorema de Lagrange:

f(b) – f(a) = f´(ξ)( b – a).

3) Al tomar en cuenta el último párrafo de la cita anterior, obtendremos la versión del Teorema del Valor Medio para curvas en el espacio. Veamos este último desarrollo con detalle: Una curva en el espacio la podemos representar por medio de la expresión:

C(t) = ( x(t), y(t), z(t)).

Si llamamos C(a) = A, C(b) = B y para cada t, C(t) = P, e imaginamos los tres vectores, anclados en el origen, la expresión auxiliar a la que se le aplica el Teorema de Rolle

F(t) = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )



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representa algebraicamente, a la expresión que representa geométrica-mente, el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores A, B y P. Como en el caso anterior, si t = a o t = b, F(t) = 0, el argumento algebraico es que la expresión del determinante tiene dos renglones iguales, el argumento geométrico es que el vector P coincidiría con A o B, y el argumento algebraico-vectorial es porque (A×B)P = 0 si P coin-cide con A o B. Si desarrollamos el determinante, la expresión de la función es de la forma:

F(t) = k1x(t) + k2y(t) + k3 z(t)

la cual satisface las condiciones del Teorema de Rolle, y al aplicarlo, toma la forma:

x(a)[y(b) z´(ξ) – z(b) y´(ξ)] + z(a)[x(b) y´(ξ) – y(b) x´(ξ)] = y(a)[x(b) z´(ξ) – z(b) x´(ξ)]


x´(ξ)[y(a) z(b) – y(b) z(a)] - y´(ξ)[x(a) z(b) – x(b) z(a)] = -z´(ξ)[x(a) y(b) – x(b)y(a)]

la cual es la conclusión del Teorema del Valor Medio para tres funcio-nes reales de variable real. Con una breve modificación en los argumentos, podemos expresar en forma vectorial dos de los resultados anteriores: La forma vectorial del Teorema del Valor Medio para curvas en el plano. Si tenemos una curva en el plano definida paramétricamente por

C(t) = (x(t), y(t), 0)

donde las funciones componentes son continuas en el cerrado [a,b] y derivables en el abierto (a,b). Designemos por C(a) = (x(a), y(a), 0 ) = A y C(b) = (x(b), y(b), 0 ) = B, A y B representan vectores en el plano. Si designamos por K, al vector constante que va de A a B

K = (x(b) – x(a), y(b) – y(a), 0)

Y al vector variable V que une a A con P, donde P es cualquier punto de la curva

V(t) = ( x(t) – x(a), y(t) – y(a), 0). El vector

K× V(t) = (0, 0, (x(b) - x(a)) ( y(t) – y(a)) – (x(t) – x(a)) (y(b) – y(a))

cuya magnitud es


Mathesis

F(t) = (x(b) - x(a)) ( y(t) – y(a)) – (x(t) – x(a)) (y(b) – y(a))

la cual corresponde a la expresión que es dos veces el área del triángulo APB. De donde, al aplicarle el Teorema de Rolle, se obtiene la ley me-dia extendida, la cual asegura que existe al menos un ξ tal que

x´(ξ)( y(b) – y(a)) = y´(ξ)( x(b) – x(a)) 7. El Teorema del Valor Medio para curvas en el espacio Si seguimos el esquema de la prueba anterior, obtendremos la expresión de la ley media para curvas en el espacio: Si tenemos una curva en el espacio, representada paramétricamente por

F(t) = (x(t), y(t), z(t))

donde las funciones componentes son continuas en el cerrado [a,b] y derivables en el abierto (a,b). Designemos por

F(a) = (x(a), y(a), z(a) ) = A y F(b) = (x(b), y(b), z(b) ) = B.

En este caso A y B representan vectores en el espacio. Si designamos al vector constante que une a A con B por

K = (x(b) – x(a), y(b) – y(a), z(b) – z(a)),

y al vector variable que une a A con P por

V(t) = ( x(t) – x(a), y(t) – y(a), z(t) – z(a))

la magnitud del vector K×V(t) es el volumen del paralelogramo deter-minado por los vectores A, B y P, que también es la mitad del área del triángulo APB y puede ser expresado mediante

F(t) = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )


o

F(t) = x(t)[y(a)z(b) – y(b)z(a)] – y(t)[ x(a)z(b) – x(b)z(a)] + z(t)[x(a)z(b) – x(b)y(a)]

y, al aplicarle el Teorema de Rolle, se obtiene la ley media extendida. La cual asegura que existe al menos un ξ tal que

x´(ξ)[y(a) z(b) – y(b) z(a)] - y´(ξ)[x(a) z(b) – x(b) z(a)] = -z´(ξ)[x(a) y(b) – x(b)y(a)].


III 22 (2007)

Al seguir el orden de las observaciones anteriores, el texto de los res-pectivos teoremas se convierten en: Teorema. Si x(t) y y(t) son continuas en [a,b] y derivables en (a,b) en-tonces existe al menos un ξ∈ (a,b) tal que

x´(ξ) [y(b) – y(a) ] = y´(ξ)[x(b) – x(a)].

Teorema. Sea f:[a,b]→ℜ, continua en el cerrado y derivable en el abierto (a,b), entonces existe ξ∈ (a,b), tal que

f´(ξ) (b – a) = f(b) – f(a).

Teorema. Si x(t), y(t) y z(t) son continuas en [a,b] y derivables en (a,b) entonces existe al menos un ξ∈ (a,b), tal que

x´(ξ)[y(a) z(b) – y(b) z(a)]- y´(ξ)[x(a) z(b) – x(b) z(a)] = -z´(ξ)[x(a) y(b) – x(b)y(a)].

8. Comentarios a los textos de los teoremas Si reordenamos los textos de los teoremas, por el número de funciones reales de variable real, que cumplen con las condiciones del Teorema de Rolle, entonces las conclusiones se convierten en una ‘ley media’ algebraica. En los textos de los teoremas anteriores, no se supone que las funciones involucradas sean las componentes de las parametrizacio-nes de las curvas que representan y que juegan un papel muy importan-te de guía en el desarrollo de la demostración, lo que muestra que el lenguaje algebraico-simbólico utilizado en la escritura de los teoremas, sintetiza y rebasa a las interpretaciones geométricas, pero estas últimas, tienen un lugar fundamental en la demostración, que incluso, permiten darle una nueva lectura e interpretación al texto del teorema, que a su vez rebasa a la simple lectura de una ‘ley media’ algebraica. Esto muestra que las formas de expresión, tanto en el texto del teo-rema como en la demostración se influyen mutuamente para que se hagan lecturas distintas de ellos. 9. Consecuencia del teorema para curvas en el espacio Si retomamos las ‘descripciones’ que hicimos del Teorema 1, no había razón alguna para dudar que el resultado pudiera ser válido para curvas en el espacio. Sin embargo, al desarrollar el punto 3 de la sección ante-rior, o al reinterpretarla para obtener la versión del resultado para cur-vas en el espacio, vemos que no se cumple el resultado en los términos de la descripción, y la conclusión tampoco corresponde a una descrip-ción fácil de expresar.


Mathesis

Esto nos muestra que el lenguaje algebraico puede revelarnos afir-maciones no sospechadas y que no siempre corresponden a descripcio-nes sencillas de expresar y de explicar. Otra forma de ver (con el ojo de la mente) que el resultado no se cumple para funciones que representan curvas en el espacio, es considerar e imaginar una hélice circular, con dominio del parámetro de 0 a 2π, el segmento que una a (1,0,0) con (1, 0 2π) es un segmento paralelo al eje z, sin embargo, ninguna tangente a la curva es paralelo al eje z. El argumento algebraico, descansa en la expresión algebraica que representa a la curva. Así, una parametrización de la hélice circular es

F(t) = (cos t, sen t, t) y su derivada es

F´(t) = (-sen t, cos t, 1).

De donde, para que F´(t) represente un vector paralelo al eje z requeri-mos que

sen t = cos t = 0,

por lo que no existe tal valor de t. Lo anterior es una muestra de la complementariedad de las formas de expresión y de interpretación que podemos poner en juego, en la justificación de una afirmación o de una negación, como es éste el caso. 10. Otra forma de obtener el Teorema del Valor Medio Aunque no contamos con evidencia de que el teorema lo haya probado Lagrange, ni es prudente esperar encontrar un resultado en los términos como se expresa actualmente, podemos ver que resolver el problema de aproximar una función por medio de una función lineal, y con el auxilio del Teorema de Rolle, nos lleva a la conclusión del Teorema del Valor Medio: ¿Qué condiciones debe cumplir una función lineal para que aproxime a una función f ? Tomemos la expresión de una función lineal g(x) = A + Bx, donde A y B son instantes por determinar. Tomemos la diferencia entre la fun-ción f(x) y g(x) y llamémosla

F(x) = f(x) – g(x)

F(x) = f(x) – [A+ Bx]

Para determinar las constantes A y B de tal forma que la recta y la fun-ción sean iguales, por lo menos en dos puntos a y b muy cercanos, entonces debe cumplir que


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F(a) = F(b) =0. Es decir,

F(a) = f(a) – (A + B a) = 0

F(b) = f(b) – (A + B b) = 0 Puesto que F ‘satisface las condiciones del Teorema de Rolle’, entonces existe ξ tal que

F´(ξ) = 0. De donde

F´(ξ) = f(ξ) – B = 0 con a < ξ < b.

Lo que significa que f´(ξ) = B,

pero si resolvemos el sistema

F(a) = f(a) – (A + Ba) = 0

F(b) = f(b) – (A + Bb) = 0 para B, obtenemos

f(b) – (A + Bb) = f(a) – (A + Ba)

f(b) – f(a) = - (A + Ba ) + ( A + Bb)

= - B a + B b

= B(b – a) de donde

B = ( ) ( )f b f a

b a−−

.

Es decir,

f´(ξ) = ( ) ( )f b f a

b a−−

Por último, vamos a presentar otro ejemplo en donde quede de mani-fiesto la potencia del lenguaje algebraico-simbólico y que rebasa a las interpretaciones geométricas que se pueden generar a partir de éste. Una versión apropiada del Teorema del Valor Medio, para funciones de varias variables con valores reales y que conserva la misma forma, tanto en el texto como en la conclusión, podemos escribirla en los tér-minos siguientes: Sea f diferenciable en todo su dominio, y tal que si A


Mathesis

y B ∈ Df, entonces existe un punto Z0 en el segmento que une A con B tal que

f(B) – f(A) = ∇f (Z0) (B – A) Demostración La expresión del segmento que une a A con B se puede escribir por medio de la función

g(t) = A + t(B-A) con 0 ≤ t ≤ 1, donde

g(0) = A y g(1) = B.

La imagen bajo f, de este segmento es:

f(g(t)) = f(A+ t(B - A)).

Como f(g(t) es una función real de variable real, denotémosla con F,

F(t) = f(g(t)). Además,

F(0) = f(g(0)) = f(A) y F(1) = f(g(1)) = f(B). Es decir,

F(0) = f(A) y F(1) = f(B). (1)

Si a F le aplicamos el Teorema del Valor Medio en el intervalo (0, 1), entonces el teorema nos asegura que existe ξ∈ (0, 1), tal que

F(1) – F(0) = F´(ξ)(1 – 0) = F´(ξ). ( 2)

Al derivar la función F, y usar la regla de la cadena, obtenemos

F´(t) =∇ f(g(t)g´(t))

=∇ f(g(t))(B – A))

Para el valor ξ∈ (0, 1), g(ξ ) será un punto en el segmento que une a A con B, llamémoslo Z0, de donde

F´(ξ ) =∇ f(g(ξ )g´(t))

=∇ f(g(ξ ))(B – A)

F´(ξ ) =∇ f(Z0)(B – A). (3)

Al combinar (1), (2) y (3), obtenemos

∴ f(A) - f(B) =∇ f(Z0)(B – A).


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Observaciones. El lector podrá constatar la semejanza que existe entre el texto del teorema 1 y el texto del resultado anterior, pero, la connota-ción de los términos y las operaciones que expresan las conclusiones de ambos resultados son muy distintas. El lector también se podrá percatar que no especificamos un valor para la dimensión n, por lo que la argumentación empleada en la de-mostración es válida independientemente del valor de n; sin embargo, se puede dar una interpretación geométrica para el caso n = 2, en la cual, por la forma de la construcción de la demostración, podemos visualizar que la curva en el espacio siempre se encuentra en un plano, pero hay que tener cuidado de no confundir esto como una prueba de que el resultado sea válido en general para curvas en el espacio. 11. Comentarios finales Respecto a la conexión que hemos hecho de las dos publicaciones del Teorema del Valor Medio, guardando toda proporción, entre la versión del resultado dada por Cauchy y el artículo de Bennet (1924), no sólo hay una diferencia de más de cien años; también hay diferencias en la intención de los autores; hay diferencia entre el público a quien se diri-gen, y lo más importante, es que median más de cien años de evolución de la disciplina, en lo que concierne a la fundamentación del Cálculo. La publicación de los Cursos de Análisis de Cauchy estaba dirigida a sus estudiantes de la Escuela Politécnica; sin embargo, Cauchy era consciente que su obra sería leída por los grandes matemáticos de su tiempo, quienes fueron los que lo motivaron y animaron a escribir sus lecciones, por lo que también tenía el propósito explícito de escribir sobre los fundamentos del Cálculo. Su obra tuvo tal influencia, que marcó el inicio del proceso conoci-do en la historia de la matemática como la Aritmetización del Análisis, el cual ocupó la atención de los especialistas todo el siglo antepasado y parte del siglo pasado; y aún en nuestros días, todavía se siente su in-fluencia en la forma de escritura de los textos de Matemáticas. En el caso de Bennet, su intención es mucho más modesta como lo podemos constatar en las citas que hemos recogido de su artículo; de hecho, su trabajo inaugura una sección del American Mathematical Monthly, dedicada a la divulgación de ideas e inquietudes entre los profesores de Matemáticas, para tratar de forma novedosa tópicos o resultados conocidos. Por lo demás, Bennet, no tuvo las intenciones o propósitos de Cauchy. Sin embargo, aún con las loables intenciones de éste, expresadas en el epígrafe que encabeza este escrito, el autor, jamás


Mathesis

tendrá la certeza de ser perfectamente comprendido por quienes leerán su obra. Hemos mostrado que la intención del autor de un escrito, puede generar cambios en la lectura e interpretación, motivando otras signifi-caciones que enriquecen y complementan al escrito, lo hemos ejempli-ficado a través del texto del Teorema del Valor Medio y de su demos-tración. Indudablemente que en un texto de análisis, el teorema será expre-sado en términos precisos, en donde las hipótesis y la conclusión serán escritas en una forma concisa, el desarrollo de la demostración será sin comentarios, y en caso de que existan, éstos serán puestos al margen, o se aclarará que esos comentarios no forman parte de la demostración. La razón es que cuando al autor sólo le interesa a partir de las premisas obtener el resultado deseado, quedan fuera de la argumentación los orígenes de las expresiones que se ponen en juego, las posibles signifi-caciones o ilustraciones que de ellas se pudieran hacer, dado que su interés es únicamente hacer un análisis lógico del resultado. El asunto es que en un texto de análisis, lo que está a prueba no sólo es su simplicidad, concisión y elegancia, cualidades que aprecian los especialistas, y que reflejan lo que comparte la comunidad en un mo-mento determinado, pero no hay que olvidar que estas cualidades o el concepto que de ellas se tenga, también son cambiantes. Pero, cuando lo que se pretende es explicarlo, comentarlo, y buscarle otras interpreta-ciones o nuevas lecturas, entonces todos los recursos son válidos; vale el texto, la explicación, la descripción en otros términos, la búsqueda de nuevas formas de lectura, los comentarios explicativos, las figuras y todo lo que pueda contribuir a una recreación del resultado. Referencias APOSTOL, Tom M. 1965. Mathematical analysis. A modern approach

to advanced calculus. Addison Wesley. (2da impresión). BARRET Louis C. 1962. “Methods of Proving the Mean Value Theo-

rems”. American Mathematical Monthly 69: 50-57. BARRET, Louis C. y JACOBSON, Richard A. 1960. “Extended Laws

of The Mean”: American Mathematical Monthly 67: 1005-1007. BENNETT, A. A. 1924. “A Discussion: the consequences of Rolle´s

Theorem.” American Mathematical Monthly 31: 40-42. CAUCHY, Augustin Louis. 1994. Curso de Análisis. México: UNAM.

(Col. Mathema).


III 22 (2007)

EVANS, Jaqueline P. 1960. “The Extended Law of the Mean by a Tra-slatión-Rotatión of Axes”. American Mathematical Monthly 67: 580-581.

KURATOWSKI, K. 1984. Introducción al cálculo. México: Limusa. SPIEGEL, M. R. 1956. “Mean Value Theorems and Taylor Series”.

American Mathematical Monthly 29: 263-266. YATES, R. C. 1959. “The Law of Mean”. American Mathematical

Monthly 66: 579-580.


La especularia.

Euclides*

* La edición facsimilar de la obra La especularia de Euclides se presenta en este volu-men de Mathesis gracias a la Dra. María de la Luz de Teresa de Oteyza, quien ama-blemente permitió la reproducción de la obra original.

HOJA EN BLANCO

HOJA EN BLANCO


Contribuciones a la Fundamentación de la Teoría de los Números Transfinitos.

Una Introducción

Clara H. Sánchez B.

Admitimos en geometría, no solamente magnitudes infinitas,

esto es, magnitudes mayores que cualquier magnitud asigna-ble, sino magnitudes infinitamente más grandes, la una de la

otra. Esto asombra nuestra dimensión del cerebro, el cual tie-ne cerca de seis pulgadas de largo, cinco de ancho y seis de

profundidad en las cabezas más grandes. Voltaire

La teoría de conjuntos es un campo autónomo y sofisticado de las matemáticas, enormemente exitoso no solo en el continuo

desarrollo de su histórica herencia sino en el análisis de tipos de proposiciones matemáticas en términos teórico-conjuntistas

y en la precisión de su consistencia. Akihiro Kanamor

1. Revoluciones en matemáticas Se discute si en matemáticas ha habido revoluciones en el sentido de las revoluciones científicas de Kuhn, y aunque este autor usa la noción en muy diversos sentidos, algunos autores consideran que si ha habido revoluciones en matemáticas, dándole a estas características especiales. Por ejemplo, Gillies [1996b] considera que la lógica de Frege en su Begriffschrift es una revolución en lógica, una revolución que se carac-teriza por no acabar completamente con la teoría anterior, la teoría del silogismo de Aristóteles, y porque hay una fuerte resistencia al cambio en la comunidad científica. El trabajo de Frege es de 1879 y todavía en los años cincuenta del siglo XX se seguía usando la lógica aristotélica en los textos de enseñanza de la lógica; aún hoy se enseña la teoría del

346 Clara H. Sánchez B.

Mathesis

silogismo como la herramienta básica de ‘control’ de razonamientos en algunas áreas del conocimiento como la filosofía o el Derecho. En matemáticas, que es el área que nos incumbe, los textos de lógica son todos de lógica matemática y difícilmente se menciona el nombre de Aristóteles en ellos como referencia. Por otro lado, Dauben [1995], gran conocedor de la obra de Cantor, considera que su teoría de conjun-tos transfinitos es una revolución en matemáticas como lo fue en su momento el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables en la escuela pitagórica. El propio Cantor [1976, 49] hace una comparación entre ambas teorías:

Los números transfinitos son, en cierto sentido, nuevas irracionalidades y, ciertamente, creo que el mejor método para definir números irracio-nales finitos es en principio mi método para introducir los números transfinitos. Podemos decir que los números transfinitos permanecen o se derrumban como los números irracionales finitos; en su esencia ellos son parecidos, pues ambos son definitivamente modificaciones delimi-tadas del infinito en acto.

La resistencia al cambio es un aspecto que vale igualmente para la teoría de conjuntos cantoriana. No hay duda que la teoría de conjuntos transformó completamente el quehacer matemático, como dijera J. de Lorenzo, al, entre otras cosas, cambiar el lenguaje de la matemáticas basado en la noción de conjunto. Y en esta revolución los Beiträge zur Begründug der transfiniten Mengenlehre jugaron papel central, mos-traremos por qué. La historia de la teoría de conjuntos tiene dos facetas diferentes que es conveniente explicitar para entender mejor su historia. Una es la historia de la teoría abstracta de conjuntos o teoría matemática del infi-nito, creada por Georg Cantor en sus trabajos a partir de 1872 y la otra es la historia del enfoque conjuntista de la matemática, la historia de la noción de conjunto como idea fundamental de la disciplina. La noción de conjunto, como la idea de coleccionar en un todo individuos, parece tan vieja como la humanidad misma; con esto que-remos decir que parece ser una idea ‘natural’ de nuestro pensamiento, y por lo tanto puede rastrearse hasta los orígenes de la matemática en los griegos. Pero una cosa es que esta idea sea natural y otra muy diferente es que se haya convertido en noción básica de la matemática. En este aspecto de la historia juegan papel importante matemáticos como Bern-hard Riemann (1826-1866) y Richard Dedekind (1831-1916), además de Cantor. En la historia de la matemática de Bourbaki se hace la dis-tinción, pero allí no me parece tan clara y explícita como en Ferreirós trabajo cuyo objetivo es justamente analizar las dos caras de la historia. Estas son las palabras de Bourbaki [1969, 43]:

Contribuciones a la fundamentación …. Una introducción 347

III 22 (2007)

Puede decirse que, en todas las épocas, matemáticos y filósofos han empleado razonamientos de la teoría de conjuntos de modo más o me-nos consciente. Pero en la historia de sus concepciones sobre este tema es necesario separar claramente todas las cuestiones relacionadas con la idea de número cardinal (y en particular la noción de infinito) de aque-llas en las que solamente intervienen las nociones de pertenencia e in-clusión. Estas últimas figuran entre las (nociones) más intuitivas y no parecen haber dado nunca lugar a controversias. Hasta finales del siglo XIX no hay dificultad en hablar del conjunto (o clase, según el autor) de los objetos que poseen tal o cual propiedad y la célebre definición de Cantor (se entiende por conjunto la agrupación, en un todo, de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento) apenas despertara objeciones en el momento de su publicación.

Estas son las de Ferreirós [1991, 24]:

[...] me parece necesario establecer un par de distinciones que dejarán claro el enfoque que voy a desarrollar, y sobre todo precisarán cuáles son las preguntas que van a guiar este trabajo. La primera de ellas es la distinción entre la teoría de conjuntos como objeto de investigaciones autónomas —digamos la teoría abstracta de conjuntos— y la teoría de conjuntos como herramienta fundamental o lenguaje básico de la ma-temática —digamos, el enfoque conjuntista—.

La unificación de un lenguaje para la matemática con la noción de conjunto en la base, llevó su tiempo; Riemann usó la palabra ‘varie-dad’, Dedekind la palabra ‘ideal’ y Cantor la palabra ‘agregado’ en sus trabajos, todas esas palabras han venido a unificarse en la palabra ‘con-junto’. Por su lado, las palabras ‘variedad’ e ‘ideal’ ahora tienen signi-ficados específicos en geometría diferencial y en álgebra respectiva-mente. En este trabajo nos ocuparemos del nacimiento de la teoría de conjuntos de Cantor, o teoría matemática del infinito, sin duda una teoría que marcó un cambio sustantivo en la matemática del siglo XX, una revolución según varios autores. Antecedentes de los trabajos de Cantor El siglo XIX comienza sin tener claros dos conceptos esenciales del análisis, los conceptos de función y de número real a pesar de que el cálculo de Newton y Leibniz había hecho necesario extender el concep-to de función y de que Euler lo amplía al usar las series infinitas para abordar ciertos problemas de la física como es el caso de la cuerda vibrante. Para 1900 aún se entendía por función ciertas fórmulas alge-braicas o trigonométricas, lo habitual era definir una función como una expresión analítica posiblemente infinita, que involucraría variables, constantes, y operaciones conocidas como por ejemplo, +, √ y seno [Kline 1972, 459]. El trabajo de Joseph Fourier (1768-1830) sobre conducción del calor en medios sólidos llevó a considerar una gama


Mathesis

más amplia de funciones cuando dio buenas razones para que una fun-ción ‘arbitraria’ pudiera ser representada por medio de una serie trigo-nométrica; esto es, por medio de una serie de la forma

01

1 sen cos2 n n

n

a a nx b nx∞

=

+ +∑ x ∈ [−π, π]

donde an, bn son constantes definidas por medio de las integrales

( ) cosnb f x nxπ

π−= ∫ y ( )senna f x nx

π

π−= ∫ .

Este resultado, sin embargo, no fue acogido por los grandes matemáti-cos de la época como Euler, D’Alembert y Lagrange quienes a pesar de que los trabajos sobre series trigonométricas hacían pensar en que cual-quier tipo de función podía representarse por medio de ellas, nunca abandonaron la posición de que una función arbitraria no podía ser representada por una de tales series entre otras razones porque Fourier nunca se preocupó por la convergencia de las series descuidando el rigor que empezaba a ser preocupación seria de los matemáticos del siglo XIX [Kline 1972, 459]. Así, la representación de una función por medio de series trigo-nométricas se convirtió en tema de investigación de importantes ma-temáticos de la época. Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) fue el primero en dar un demostración correcta de que la serie de Fourier de una función f(x) convergía en un intervalo dado si en dicho intervalo la función estaba definida y acotada, el número de máximos y mínimos era finito y la función era continua salvo en un número finito de puntos;

justamente en sus investigaciones sobre el tema, formuló el concepto de función como hoy lo entendemos, una correspondencia entre dos varia-bles sin que haya necesariamente una ley común entre ellas. Riemann continuó con las investigaciones de Dirichlet debilitando las hipótesis al darse cuenta que no era necesario que la función fuera continua en casi todas partes; para Riemann lo esencial era que la fun-ción fuera integrable en todo el dominio y no tuviera un número infinito de máximos y mínimos. Este fue uno de los motivos para dedicarse al estudio de la noción de integral. Los estudios de Riemann le permitie-ron distinguir claramente entre una serie trigonométrica general y una serie de Fourier. Sus resultados influyeron inmediatamente en la comu-nidad matemática. Uno de los aspectos importantes en las investigacio-nes era de demostrar la unicidad en la representación de la función. Cantor entrará a jugar papel definitivo, ya que, matemáticos tan impor-


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tantes como Dirichlet, Lipschitz (1832-1903) o Riemann fueron incapa-ces de resolver el problema de la unicidad en la representación [véase: Dauben 1971], y Cantor lo hizo, y al hacerlo comenzó a reflexionar sobre el continuo matemático y su relación con el infinito. Datos biográficos de Georg Cantor Georg Cantor nació en San Petersburgo el 3 de marzo de 1845, fue el mayor de cuatro hijos de Georg Woldemar Cantor y María Anna Bóhm; el padre era luterano y la madre católica de quienes recibió una sólida formación religiosa, particularmente de su padre, un próspero comer-ciante. Por razones de salud del padre la familia se trasladó a Alemania, cuando Cantor contaba apenas once años. Allí, estudio matemáticas en la Universidad de Berlín siendo sus profesores los prestigiosos matemá-ticos Karl Weierstrass, Leopold Kroneckaer y Ernst Kummer. Bajo la orientación de los dos últimos presentó su tesis de doctorado en 1867 y su Habilitation schript en 1869, ambos trabajos en teoría de números. Comenzó su carrera docente, como Privatdozent en la Universidad de Halle, institución respetada, si bien no de tan gran prestigio en ma-temáticas como las universidades de Gottingen o Berlín. En 1877 se casó con Valery Guttman y con ella tuvo seis hijos. Era un padre cari-ñoso con sus hijos y les escribía cuando se encontraba lejos de casa. Usaba un gran cuarto de su casa para su estudio en el cual tenía la bi-blioteca que estaba repleta de libros desde el suelo hasta el techo y el el cual permanecía por largos períodos de tiempo. Su casa era lugar de reunión de matemáticos de halle y cercanías de Leipzig. De la familia de su madre heredó el talento para la música y fue un destacado violi-nista [Grattan-Guinness 1990, 17]. Además de la matemática se interesó por la filosofía y particular-mente por la teología. Todo parece indicar que Cantor fue un maniaco depresivo, su enfermedad fue endógena y no causada por sus fuertes controversias especialmente con Kronecker [Grattan-Guinness 2000, 77]. Este, un finitista y precursor de la escuela intuicionista en matemá-ticas, pensaba que Cantor era un ‘charlatan científico’, un ‘renegado’ y un ‘corruptor de la juventud’ por sus trabajos que aceptaban el infinito en acto. Uno de sus mejores amigos y corresponsales fue Richard De-dekind (1831-1916), a quien también preocupaba el problema de la estructura del continuo y la fundamentación del análisis. Cantor fue uno de los fundadores de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung y organi-zador del Congreso de Matemáticas de 1897. A pesar de todas las difi-cultades que tuvo para que su teoría fuera aceptada por la comunidad matemática recibió varios homenajes antes de su muerte, ocurrida en


Mathesis

Halle en 1918, de un ataque cardíaco cuando se encontraba en una clínica psiquiatrita [véase: Dauben 1971, 1979 y Grattan-Guinness 2000]. La obra de Cantor Uno de sus colegas en Halle, Heinrich Eduard Heine (1821-1881), estaba trabajando en la teoría de series trigonométricas y animó a Can-tor a atacar el difícil problema de la unicidad de tales series. En 1872, contando Cantor 27 años, publicó un artículo donde presen-taba una solución muy general a tal problema, juntamente con el ger-men de lo que llegaría a convertir-se en la teoría de conjuntos transfi-nitos como veremos en seguida. En cinco artículos publicados entre 1870 y 1872 Cantor resuelve el problema de la unicidad en la re-presentación de una función por medio de series trigonométricas y es allí donde se encuentra el germen de la teoría abstracta de conjuntos. En marzo de 1870 publica en la revista Journal de Crelle1 su primer artículo sobre el tema, en el cual prueba que: Si a1, a2,…b1, b2,… son dos series infinitas tales que

lim ( sen cos ) 0n nna nx b nx

→∞+ =

para todo valor de x en un intervalo (a, b) de números, entonces,

lim lim 0n nn na b

→∞ →∞= = .

Un mes después aparece publicado en la misma revista otro artículo en el cual demuestra que: Si una función de variable real f(x) es dada por medio de una serie trigonométrica convergente para todo valor de x, entonces no hay otra serie de la misma forma que converja igualmente para todo valor de x y represente a la función f(x). 1. Nombre con el que se conoce la revista alemana de matemáticas puras y aplicadas

Journal für die reine und angewandte Mathematik fundada por August Leopold Crelle in 1826 y que aún se publica.


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Este teorema había sido conjeturado por Heine y Riemann había conseguido demostrarlo exigiendo que los coeficientes de la serie fue-ran coeficientes de Fourier, la función continua y la convergencia de la serie, uniforme. Cantor demostró el segundo teorema enunciado utilizando el prime-ro; la demostración de la prueba se fundamenta en propiedades de las sucesiones infinitas mas que en las propiedades de las funciones trigo-nométricas. La habilidad de Cantor para encontrar sucesiones y subsu-cesiones adecuadas es notable, mostrando desde ya su excelente manejo de los conjuntos infinitos como infinitos acabados o en acto. Pero descontento con las fuertes restricciones en la hipótesis, se propuso debilitarlas al máximo; en su artículo de 1871 afirma: “[…] se pueden modificar las hipótesis en el sentido de que para ciertos valores de x se abandonen la representación de cero por medio de una serie trigonométrica o la convergencia de la serie” [Dauben 1971, 195]. Para lograr su objetivo, Cantor supone la existencia de una serie cre-ciente infinita de valores ... χ-1, χ0, χ1, χ2, ... , tal que para estos χn la representación de cero por medio de la serie o la convergencia de la serie falla.2 Cantor hace resaltar que estos χn ocurren solamente en número finito en intervalos finitos. Con esta restricción comenzó a explorar los conjuntos de puntos excepcionales en intervalos finitos; más tarde mostraría que los conjuntos excepcionales podían llegar a ser infinitos. El artículo a que nos referimos fue publicado en enero de 1871 y es conocido como el Notiz ya que se presentó como una simple noticia sobre el trabajo de abril del 70; esta nota contiene un significativo refi-namiento del teorema de unicidad que Dauben [1971, 196] califica de la siguiente manera

Es una tentación sugerir que este artículo marca una transición en el pensamiento de Cantor. En cierto sentido lo es. Aquí con el “Notiz” de 1871 comenzó un importante trabajo en conjuntos excepcionales. Aun-que hizo una extensión, lo hizo sin el recurso de elementos matemáticos de su propia creación.

“Sobre series trigonométricas” es el título del cuarto artículo publicado en abril de 1871 en los Mathematische Annalen; además del teorema de unicidad de la representación de una función en serie trigonométrica contiene tres lemas preparatorios. En el primer lema, aunque similar al de marzo del 70, apela Cantor a la geometría para expresar su visuali- 2. Obsérvese que infinito en este momento es infinito numerable (potencial) y todavía no

se piensa en otro tipo de infinitos.


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zación del problema, lo cual marca un cambio importante en Cantor, ya que habiendo sido formado por Weierstrass quería trabajar aritmética-mente como su maestro. El lema 2 no ofrece nada nuevo y en el lema 3 se aprecia nuevamente su habilidad para escoger sucesiones y subsuce-siones adecuadas para la obtención de sus resultados. Para noviembre de este año (1871), Cantor había conseguido exten-der el teorema de unicidad considerando conjuntos excepcionales infi-nitos. Sus resultados fueron publicados en los Mathematische Annalen en marzo de 1872. Este histórico artículo contiene tres partes: la prime-ra está dedicada a su teoría sobre los números irracionales, la segunda a describir la estructura de los conjuntos excepcionales y la tercera con-tiene el teorema propiamente dicho. Cantor se había propuesto desarrollar sobre una sólida base aritmé-tica, una teoría satisfactoria de los números irracionales; quería evitar el circulo vicioso en que puede caerse al definir número real como el límite de una sucesión convergente, sin tener de antemano un conjunto al cual pertenezcan esos limites, como es el caso de Cauchy en su texto Cours d’Analyse algebraique (1821), cuando afirmaba [Kline 1972, 951]:

Cuando los valores sucesivos atribuidos a una variable se acercan inde-finidamente a un valor fijo de tal manera que los últimos términos de la sucesión difieren de él (el valor fijo) por una cantidad tan pequeña co-mo se quiera, este último se llama el límite de todos los otros. Así por ejemplo, un irracional es el límite de diversas fracciones las cuales se aproximan cada vez más al límite.

Cauchy omitió este ejemplo en sus trabajos de 1823 (Resumé des leçons donées à l´Ecole Polytechnique sur le calcul infinitesimal) y 1829 (Le-çons sur le calcul differentiel). En su teoría de los irracionales Cantor parte del sistema de los números racionales al cual denomina sistema A, luego considera las sucesiones de elementos de A que satisfacen el criterio de Cauchy3 y que denomina series fundamentales. A cada una de estas series funda-mentales asocia un símbolo b. Con estos símbolos constituye un nuevo sistema B que llegará a ser el conjunto de los números reales cuando da a B una estructura de cuerpo ordenado y lo pone en correspondencia 1-1 con los puntos de una línea recta. Dos sucesiones fundamentales an, bn definen el mismo número real si y solo si la sucesión an - bn → 0 cuando n crece. Si suponemos

3. Una sucesión an satisface el criterio de Cauchy si dado un ε > 0, existe N ε N tal

que an - am < ε para todo n, m > N.


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que a es el número asociado con an y b con bn, la relación de orden entre elementos de B se define como sigue: Para cualquier racional ε > 0 suficientemente pequeño, y para todo número natural n mayor que un N suficientemente grande se tiene

a = b si (an - bn ) < ε a < b si (an - bn) < −ε a > b si (an - bn) < ε

Además se puede mostrar que an ± an′, an . an′ y an / an′ son sucesiones fundamentales que definen los números b ± b′, b . b′ y b / b′ (b′ ≠ 0) respectivamente. Como hemos dicho los símbolos del sistema B solo adquieren senti-do cuando son puestos en correspondencia 1-1 con los puntos de una línea recta. Cantor sabía que si un punto guardaba una relación racional con la unidad entonces era expresable por medio de un elemento de A; en caso contrario podía aproximarlo por medio de una sucesión de puntos racionales a1, a2, ..., an, ... cada uno de los cuales correspondía a un elemento de A y considerar an como una sucesión fundamental que se aproximaba al punto dado tanto como se quisiera. Dado que cada elemento de A tiene un único correspondiente en B, la unicidad de la representación de los puntos de la recta en B estaba garantizada. Lo que naturalmente Cantor no pudo garantizar fue la correspondencia inversa; que a cada elemento de B correspondiera un punto de la recta; tuvo que invocar entonces al axioma que garantiza que ‘a toda magnitud numéri-ca [del sistema B] corresponde un punto en una línea recta cuya coor-denada es igual a esa magnitud numérica’. Cantor mostró que el espacio de las sucesiones fundamentales es cerrado para las operaciones aritméticas y que, como toda sucesión constante a es una sucesión fundamental, todo elemento de A debe ser un elemento de B. De esta manera sumerge el conjunto de los racio-nales dentro de su sistema B que será el de los reales. Ahora bien, si se consideran sucesiones fundamentales bn de B y a cada una se le asocia con un símbolo c se constituye un nuevo sistema C. Continuando el proceso Cantor obtiene dominios de orden cada vez mayor y después de λ construcciones alcanza el dominio L, el cual es cerrado para las operaciones aritméticas y en él se puede definir un orden como en el caso de B. Pero hay una diferencia crucial entre A, B y los sistemas de órdenes siguientes, mientras que a cada elemento a de A se puede hacer corresponder uno de B, no todo elemento de B tiene un correspondiente en A. Sin embargo, cada elemento b de B tiene un


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correspondiente c en C y recíprocamente, cada c de C tiene un corres-pondiente en B y recíprocamente, y así sucesivamente con todos los sistemas hasta L, lo cual significa que todos los sistemas a partir de B son iguales salvo isomorfismo. De esta manera consigue que su sistema sea completo. Luego de su discusión sobre los números reales, Cantor procede a trasladar sus resultados al lenguaje de los conjuntos de puntos, haciendo la salvedad de que siempre que use la palabra ‘punto’ se debe tener en mente su correspondiente magnitud numérica. Llamará Wertmenge [conjunto de valores] a una colección finita o infinita de valores y Punkmenge [conjunto de puntos] a una colección cualquiera de puntos. Define ‘punto límite de un conjunto puntual’ P como un punto p de la recta en una situación tal que en una vecindad del mismo se encuentran infinitos puntos de P, pudiendo suceder que el mismo p pertenezca al conjunto P. Por ‘vecindad de un punto’ se debe entender todo intervalo que tenga al punto en su interior; de aquí es fácil concluir que un con-junto puntual acotado que conste de una cantidad infinita de elementos debe tener siempre por lo menos un punto límite. Con este último resultado Cantor puede ahora afirmar que dado un conjunto P de puntos de la recta y un punto p cualquiera de ella, p es punto límite de P o no lo es. Esto le permite formar el conjunto de los puntos límites de P que llamará ‘conjunto derivado’ y notará P′. Como P′ es un conjunto de puntos, se puede formar su conjunto derivado (P′)′ y el derivado de este ((P′)′)′ y así sucesivamente haciendo una analogía con las construcciones de los sistemas B, C, D, ... a partir de A. La noción de conjunto derivado permite a Cantor clasificar los con-juntos en dos tipos: los de la ‘primera especie’ son aquellos para los cuales existe un natural n tal que el n-ésimo conjunto derivado de P sea vacío, esto es P(n) = ∅; los de la ‘segunda especie’ son aquellos para los cuales no existe un tal n y el proceso de derivación se puede continuar indefinidamente

(1) P(1), P(2), P(3), ..., P(n), ... .

Como cada término de la serie de derivados de P está contenido en el precedente ya que P(n) se obtiene de P(n-1) quitando probablemente algu-nos puntos, entonces, si P es de la segunda especie, P′ constara de dos conjuntos Q y R: El conjunto Q estará formado por aquellos puntos que eventualmente desaparecen al avanzar lo suficiente en la sucesión (1) y R por los puntos que permanecen en todos los conjuntos de la sucesión, o sea, la intersección de todos los derivados de P. Cantor denota al conjunto R por P(∞) y lo llama ‘el conjunto derivado de P de orden ∞’.


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El conjunto derivado de P(∞), P(∞)′ se denota P(∞+1) y continuando el proceso puede formar, sucesivamente P(∞+2), ..., P(∞+n). Nuevamente P(∞) puede tener un derivado de orden infinito que será denotado P(2∞) y, con esta construcción, se llega a la sucesión

P P P P P P Pm∞ ∞+ ∞+ ∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞∞∞

, ,..., ,..., ,..., ,..., ,...,,1 2 2

La concepción de estos conjuntos de la segunda especie fue el paso crucial en la creación de los números transfinitos, que consideramos más adelante; los de la primera especie son esenciales en la demostra-ción del teorema de unicidad en presencia de conjuntos excepcionales infinitos, del cual trata la tercera y última parte del artículo de 1872.

Debe resaltarse que el concepto de punto límite y la idea asociada de primer conjunto derivado P´ de puntos límites de P son los elementos básicos, fun-damentales en el desarrollo de la teoría de conjuntos de Cantor. No sola-mente juegan ellos un papel importante en la demostración del teorema de unicidad publicado en 1872, sino que contienen también las semillas de im-portantes consecuencias [...]. El concepto de primer conjunto derivado de P, fue también el medio por el cual Cantor más tarde categorizó conjuntos co-mo siendo, por ejemplo, perfectos, cerrados o densos [Dauben 1971, 209].

Estos trabajos llevaron a Cantor a reflexionar muy seriamente sobre conjuntos infinitos y decidió emprender su estudio. El infinito ha lla-mado la atención de filósofos y matemáticos desde la época de los griegos por sus aparentes propiedades contradictorias; basta recordar las paradojas de Zenón y la distinción aristotélica entre infinito actual e infinito potencial. Aristóteles no podía negar totalmente la existencia del infinito pues tenía la evidencia del infinito en matemáticas y en geometría. Los números naturales son tales que dado uno de ellos por más grande que sea siempre se puede pensar en uno mayor y por otro lado en geometría en la noción de línea recta (lo que hoy llamamos segmento de recta) como una magnitud continua está implícita la divisibilididad indefinida. Como bien decía Aristóteles [Física, Libro III, Capítulo VII]:

[…] nuestra manera de pensar no quita nada a las matemáticas de su ciencia, desaprobando la existencia real del infinito... De hecho ellos no necesitan del infinito y no lo usan. Ellos solamente postulan que una línea recta finita puede prolongarse tanto como se quiera.

Con Moore [1982, 22] podemos afirmar que el infinito actual, que Aristóteles desterró en favor del infinito potencial, reentró en favor de las matemáticas a través de la teoría de los conjuntos de Cantor. Lo que Galileo, en sus Diálogos acerca de dos nuevas ciencias de 1638, había visto y considerado como anomalía al poner en correspondencia biuní-


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voca las sucesiones de números enteros positivos con sus respectivos cuadrados 1 2 3 4 5 6 7 8 … n … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 4 9 16 25 36 49 64 n2 … se convirtió en la definición de infinito para Cantor. Así un conjunto es infinito si puede ponerse en correspondencia 1-1 con una parte propia de si mismo. Bernard Bolzano (1781-1848) en su libro Paradojas del infinito (1851) había usado la noción de correspondencia biunívoca como principio de clasificación de conjuntos según su tamaño, pero Bol-zano nunca intentó desarrollar sistemáticamente la teoría de conjuntos infinitos. Fue Cantor quien usó este método para probar en 1874 que los números racionales se pueden poner en correspondencia 1-1 con los núme-ros enteros positivos. Su segunda prueba dada en 1875 es la más conocida; los números racionales se colocan como sigue y se cuentan siguiendo las flechas, evitando las repeticiones obvias, como 2/2 = 3/3 = 4/4 etc. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ... 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 ... 3 3 3 3 3 1 2 3 4 5 ... 4 4 4 4 4 2 2 3 4 5 ... 5 5 5 5 5 También en 1874 Cantor demuestra por primera vez en un artículo titulado: “Sobre una propiedad de la totalidad de los números algebrai-cos” que los reales no son enumerables, la prueba es como sigue [Dau-ben 1984]: Supongamos que los números reales fueran numerables, esto significaría que los podríamos poner en correspondencia biunívoca con los números naturales y formar una lista con ellos, digamos

r1, r2, r3, ..., rn, ... (r).


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Entonces, afirmaba Cantor, debe existir por lo menos un elemento ηde R en un intervalo cerrado dado [a, b] en R que no pertenezca a la suce-sión. Suponiendo que a < b, toma los dos primeros términos de (r) que caen dentro del intervalo [a, b]; llama a estos números a′, b′ y forma con ellos otro intervalo [a′, b′]. Procede de igual manera para formar una sucesión de intervalos cerrados encajados [an, bn], donde an y bn son los dos primeros números de (r) que caen dentro [an-1, bn-1]. Si el número de estos intervalos fuera finito entonces en el último [an, bn] solo podría estar incluido un elemento más de (r) como máximo; pero en este caso es caso fácil obtener como conclusión que se podría tomar un número η perteneciente a este último intervalo y que no figurase en (r); basta tomar cualquier número real en [an, bn], con tal que no coinci-da con el número de la sucesión que hemos mencionado. Ahora bien, si el número de intervalos [an, bn] no es finito Cantor considera las sucesiones monótonas a1, a2, ..., an ,... acotada superior-mente por b, y por tanto con un límite superior que denotaremos a∞, y b1, b2,..., bn, ... acotada inferiormente por a , y por tanto con un límite superior b∞. Obviamente se tiene que a∞ ≤ b∞. Analiza entonces Cantor las dos posibilidades: 1) Si a∞ < b∞ entonces como en el caso finito es fácil encontrar un real η ∈ (a∞, b∞) que no esté en la sucesión; y, 2) si a∞ = b∞ razonando nuevamente por reducción al absurdo llega al resul-tado esperado. En efecto, si η = a∞ = b∞ fuera alguno de los rp, por un lado estaría fuera de los intervalos encajados [an, bn] para un n suficientemente grande, pero por otro lado, dada la definición de η, estaría en todos los intervalos independientemente de n, llegándose así a una contradicción. Por lo tanto R no es enumerable. Cantor probó en este artículo que los números algebraicos son enu-merables y obtiene como resultado de manera indirecta que hay infini-tos números trascendentes. Esta demostración se considera el punto de partida de la teoría abstracta de conjuntos y causó un serio distancia-miento entre Cantor y Dedekind, pues el segundo consideraba que la prueba de Cantor era en realidad suya [Ferreirós 1991, 210]. Cantor al descubrir, por lo tanto, que hay dos tipos de infinito: el de los naturales y el de los reales, se estimuló por investigar si habría con-juntos infinitos de cardinalidad mayor a la de los números reales o si existen subconjuntos infinitos de R con cardinales distintas de las de N o R mismo. La afirmación es una de las formas de la Hipótesis del Con-tinuo, motor indiscutible en la obra de Cantor a la que dedicamos una sección especial en esta introducción. Inicialmente pensó que conjuntos continuos de dimensiones mayores o iguales a 2 servirían de ejemplo.


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Su sorpresa fue mayor al darse cuenta que no era el caso cuando probó que un cuadrado y su lado tienen el mismo número de puntos; en esta ocasión en carta a Dedekind afirmó “lo veo y no lo creo” [Grattan-Guinness 2000, 89]. La prueba fue publicada en 1878. En este artículo Cantor estableció que dos conjuntos tienen el mismo tamaño, el mismo cardinal, si pueden ponerse en correspondencia biunívoca y que en el caso que si M y N son dos conjuntos infinitos tales que M es equipoten-te a un parte N´ de N pero no es equipotente con la totalidad de N en-tonces se puede afirmar que el cardinal de M es menor que el cardinal de N. En este artículo está implícita la propiedad de la tricotomía entre cardi-nales, esto es, que car(M) < card(N) o card(N) < card(M) o card(M) = card(N), resultado que hoy sabemos depende del Axioma de Elección. Cantor afirma que el concepto de número cardinal generaliza la noción de número para conjuntos finitos, esto es el concepto de número natural en su función de responder a la pregunta ¿cuántos elementos tiene un conjunto? Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis artículos en los Mathematische Annalen en los cuales desarrolla su teoría de los núme-ros cardinales y ordinales transfinitos. Allí se encuentran las nociones básicas de su teoría de conjuntos. Felix Klein era el editor de la revista y facilitó su publicación. El quinto de estos artículos se titula: “Funda-mentos de una teoría general de conjuntos” conocido como los Grund-lagen por su título en alemán. En él hace una defensa de sus ideas en términos matemáticos, teológicos y filosóficos para responder a los críticos de sus investigaciones. En este artículo [Cantor 1976, 70] hace una distinción entre dos significados de la palabra ‘infinito’:

[…] el infinito matemático ha ocurrido principalmente con el significa-do de una magnitud que crece sobre todos los límites o decrece a una pequeñez arbitraria, siempre, sin embargo permaneciendo finita. Llamo a este infinito el infinito no genuino (o infinito impropio). Al lado de es-to, en los períodos modernos y contemporáneos, tanto en geometría como, en particular en la teoría de funciones, un concepto de infinito di-ferente pero igualmente justificado ha aparecido. […] ha sido necesario y de hecho es una práctica común imaginar un punto en el infinito. Cuando este infinito ocurre lo llamo infinito genuino (o infinito propio).

Cantor desarrollará la teoría de los infinitos propios; el cálculo maneja-ba desde tiempo atrás las variables que pueden hacerse tan pequeñas o tan grandes como se quiera, es decir, usaba el infinito impropio, que se simbolizaba y se sigue simbolizando por ∞; para el infinito propio in-troducirá luego su propia notación. Dice Babini [1974, 54]: La teoría cantoriana legitima el infinito actual, este infinito como ser, que está ‘en la naturaleza de las cosas’ y que hasta entonces había estado reprimido, a manera de complejo freudiano, para no permitir emerger a la luz de la conciencia matemática más que el infinito poten-


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cial, el infinito como devenir. Y así como el siglo XIX había legislado sobre el infinito potencial, Cantor con su teoría de conjuntos legislará, jerarquizará y clasificará este infinito actual. Para demostrar el teorema de unicidad en la representación de una función por medio de series trigonométricas, Cantor necesitó, como ya vimos, del concepto de ‘conjunto derivado’.4 El teorema de Bolzano-Weierstrass garantiza que cuando un conjunto es infinito y acotado, su conjunto derivado no es vacío. Recordemos que Cantor clasifica los conjuntos en dos tipos, los de la ‘primera especie’ y ‘n-ésima clase’, aquellos para los cuales existe un entero n tal que P(n) es vacío y aquellos para los cuales no existe tal n, los llama de la ‘segunda especie’. En este último caso el proceso de derivación puede continuarse indefinidamente, como vimos en el apar-tado anterior, formándose la sucesión

P P P P Pn∞ ∞+ ∞+ ∞ ∞∞

, , , , , , , ,1 2

… … … … Los superíndices son introducidos apenas como ‘símbolos del infinito’. Cantor en un comienzo pensaba que estos símbolos tenían solo un carácter formal, pero para fines de 1883 en carta a Dedekind, le mani-fiesta su creencia en que son números legítimos. En esta carta cambia el símbolo tradicional ∞ por el símbolo ω (última letra del alfabeto grie-go) para representar el límite de la sucesión

1, 2, 3, ..... , n, .... (I)

Cantor observa que (I) se obtiene añadiendo una unidad al elemento inmediatamente anterior y llama a esta ley, ‘Primer principio de gene-ración’. Aunque no se puede hablar de un número máximo en (I) si se puede imaginar un número ω que sea mayor que todos y que exprese que (I) está dada en su orden natural. Permitiendo añadir una unidad a ω y aplicando el primer principio, se forma una nueva sucesión ω, ω+1, ω+2, ω+3, ..., ω+n, ... la cual tampoco tiene un máximo: pero como en el caso de (I) se puede pensar en un número mayor que todos y lo deno-ta 2ω.5 Esta operación lógica que permite obtener ω y luego 2ω Cantor la llamó ‘Segundo Principio de Generación’. Aplicando reiteradamente los dos principios construye la sucesión

ω, ω+1, ..., ω+n, ..., 2ω, 2ω+1, ..., 3ω, ..., ωω, ..., ωωω (II)

4. El conjunto derivado de un conjunto P es el conjunto de los puntos límites de P. 5. Posteriormente Cantor invirtió el orden de los términos en la multiplicación de ordina-

les, con lo cual 2ω pasó a ser ω2 y esta es la notación moderna.


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Si se toma la totalidad de los números en (II) que Cantor llama ‘núme-ros de la segunda clase’, la primera es (I), y se piensa en uno mayor que todos ellos, se aplica un nuevo principio, que Cantor denominó ‘Princi-pio de limitación’; él mismo señala que (I) y (II) no tienen la misma potencia y que por lo tanto el número obtenido a partir de este último principio, debe ser necesariamente de una potencia mayor, justamente la siguiente potencia de la de (I). Este principio de limitación le permite definir potencias cada vez más grandes. En conjuntos finitos, cualquiera sea la forma que contemos o enu-meremos sus elementos siempre llegaremos a un mismo número; en conjunto infinitos el número depende del orden que escojamos. Cantor fue quien se dio cuenta de que la ‘enumeración’ de un conjunto infinito depende del buen orden que se le dé; sin embargo, el número de ele-mentos del conjunto no puede cambiar si se cambia su orden. Cantor definió el concepto de buena ordenación en la segunda sección de los Grundlagen y la precisará en la segunda parte de los Beiträge. El tipo ordinal de los conjuntos bien ordenados lo llamará ‘números ordinales’ y pretenden generalizar la idea de serie, implícita en los naturales, los cardinales pretenden responder a la pregunta de cuántos elementos tiene un conjunto. Cantor se expresa al respecto como sigue:

La concepción de número la cual, infinito, tiene solo el fundamento de numerar, explota, en cierta manera de hablar, cuando nos dirigimos al infinito, en las dos concepciones de potencia... y enumeración ...; y, cuando nuevamente desciendo a lo finito, veo justamente cuan clara y bellamente estas dos concepciones se unen nuevamente para formar los enteros finitos [Cantor 1915, 52].

En 1884 recibió una nota de Mittag Leffler el editor de los Mathema-tishe Annalen en la que le negaba la publicación de uno de sus artículos. Este fue un duro golpe para Cantor, ya que además de su gran oponente como lo era Kroneker, finitista por excelencia, y quien pensaba que la teoría de conjuntos no tenía importancia alguna, Mittag leffler a quien consideraba su amigo, le rechazaba uno de sus trabajos. Por esta época sufre uno de sus primeros graves problemas mentales que le exigen hospitalización y decide no publicar más en revistas de matemáticas y más bien en revistas de filosofía. Sin embargo sigue trabajando en ma-temáticas y dando sus cursos en la universidad. En 1891, Cantor encuentra una nueva prueba sobre la no enumera-bilidad de los reales, es esta la más famosa de las dos ya que en ella usa el método de la diagonalización, método que resultó muy fecundo en matemáticas, (Gödel lo usará más tarde en sus pruebas de incompleti-tud, por ejemplo). El mismo lo usará para demostrar que cualquier conjunto A tiene una cardinalidad estrictamente menor que la del con-


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junto de sus partes P(A). Este importante resultado permite encontrar cardinalidades cada vez más grandes. Cantor termina este trabajo soste-niendo que los números cardinales representan la única y necesaria generalización de los números cardinales finitos, salvo que algunas de las propiedades que cumplen estos no valen para los cardinales transfi-nitos. El estudio de las aritmética transfinita será elaborada sistemáti-camente en los Bieträge, trabajo que nos ocupa. La prueba la hace por reducción al absurdo en los siguientes térmi-nos: Suponiendo que el intervalo (0, 1) sea enumerable y usando la expansión decimal de los reales tendríamos que la siguiente lista los agotaría completamente x0 = 0,a11a12a13 ... x1 = 0,a21a22a23 ... x2 = 0,a31a32a33 ... aij ε 0,1,2, ..., 9 Ahora bien, si consideramos un número de la forma b = 0,b1 b2 b3 .... donde bi ε 0,1,2, ...,9 y bi ≠ aii para cualquier i, tenemos que b ε (0, 1) pero b no está en la lista, llegándose así a una contradicción. Si lo aña-dimos a la lista el proceso se repite, con lo cual es imposible poner en correspondencia biunívoca a N con R. Las dos pruebas son distintas en carácter, la primera es constructiva y la segunda por reducción al absurdo. Kanamori [1996, 4] resalta este hecho anotando que Cantor siempre fue muy cauteloso en sobrepasar el espíritu matemático de su tiempo. En los libros de texto, dice, la inver-sión puede ser inevitable, y una presentación histórica inadecuada ha perpetuado que la diagonalización se asocie con no constructibilidad. La primera prueba por intervalos encajados permite obtener expansio-nes decimales tan precisas como se desee de un determinado número real. Al Cantor decidir no volver a publicar en revistas de matemáticas resuelve dedicarse a otros intereses como estudiar la historia de Inglate-rra y su literatura para participar en la polémica Bacon-Shakespeare de moda en la época en la que algunos afirmaban que Francis Bacon era el verdadero autor de las obras de Shakespeare. Fue una época en la que quiso enseñar filosofía en la Universidad de Halle, pero no lo logró, y tuvo una interesante correspondencia con teólogos que se interesaron por sus teorías acerca del infinito [véase: Dauben 1990]. Cantor pensa-ba que era un enviado de Dios para transmitir esta teoría como se puede leer entre líneas en los epígrafes del primero de los Beiträge.


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En 1891 ante la asociación de matemáticos alemanes de la que fue gestor presentó una nueva demostración del teorema de la no enumera-bilidad de los reales, con el método de la diagonalización mucho más general que el primero y que usó en el mismo trabajo para probar que un conjunto siempre tendrá un cardinal menor que sus partes de gran trascendencia pues garantiza la existencia de infinitos cardinales trans-finitos. Sus últimas publicaciones son los Beiträge escritos especial-mente para matemáticos dejando de lado las consideraciones filosófi-cas. Los “Beiträge zur Begrundug der transfiniten Mengenlehre” [“Contribuciones a la fundamentación de la teoría de números transfini-tos”] fueron publicados en dos partes en 1895 y 1897 en la revista Mat-hematische Annalen. En ellos resume sus resultados más significativos y mejora la presentación de su teoría al hacer una exposición clara y sucinta sin detenerse en mayores explicaciones. Estos artículos fueron traducidos casi de inmediato al italiano y al francés lo que permitió la divulgación y consolidación de la teoría de conjuntos de Cantor. Fueron igualmente traducidos al inglés por Philip E. B. Jourdain (1879-1919) y publicados en 1915 con un excelente prólogo, texto que para los que no leemos en alemán y estamos interesados en la historia de la teoría de conjuntos fue una fuente principal. En español nos llegan ciento diez años tarde,6 más vale tarde que nunca y serán accesibles a un amplísimo grupo de estudiantes, profesores e investigadores atraídos por el tema. La teoría de conjuntos después de los Beiträge La Hipótesis del Continuo Uno de los puntos a resaltar es que siendo la Hipótesis del Continuo un punto central en las investigaciones de Cantor no encontramos en su ‘resumen’ para los matemáticos mención a esta. Era realmente un punto muy sensible en su investigación que como veremos solo pudo ser resuelto unos cuantos años después de su muerte. La teoría de conjun-tos, permitió resolver problemas que habían sido atacados por los ma-temáticos durante mucho tiempo. Tal vez el problema más interesante desde los puntos de vista filosófico y matemático es el del continuo lineal, esto es, el de caracterizar completamente el conjunto de los números reales. Los griegos tuvieron serias dificultades al tratar de unir las nociones de número y magnitud. Para ellos, números eran solamente 6. Además de esta traducción hecha directamente de los originales en alemán, existe otra

versión en español en el libro de Stephen Hawking [2006, 841-908]. Con una breve introducción sobre la vida y obra de Cantor [págs. 835-839] es traducción de la ver-sión en inglés de Jourdain [Cantor 1915]..


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los números naturales y los concebían como entidades discontinuas; en cambio las magnitudes eran continuas. Por magnitud entendían las longitudes, las áreas, los volúmenes y podían ser inconmensurables con respecto a una unidad dada, como en el caso de la longitud de la diago-nal de un cuadrado con respecto a la longitud del lado. De ahí el con-flicto presentado por los irracionales, números como √2 no podían existir. La teoría de las proporciones de Eudoxio, que permite comparar magnitudes de la misma especie y evitar el uso de los irracionales, era para los griegos independiente de la teoría de números como es fácil-mente observable en los Elementos de Euclides, ya que la primera se encuentra en el libro V mientras que la segunda se encuentra en los libros VII, VIII y IX. El conflicto presentado por la no conciliación entre números y magnitudes fue lo que llevó a privilegiar la geometría sobre el álgebra durante tantos siglos. Apenas en el siglo XIX con la corriente de rigorización del análisis se resolvió el viejo problema de los irracionales. Weierstrass, Dedekind y Cantor dieron sus soluciones, quizás la más conocida es la de Dedekind: un número real es una corta-dura de números racionales [Dedekind 1998]. La continuidad de la recta fue cuestionada por Zenón de Elea en sus famosas paradojas sobre el movimiento, éstas envuelven los conceptos de continuidad, de infinito y de infinitesimal. Los infinitesimales fueron desterrados de la matemática con la aritmetización del análisis, basada en la definición de número real, que permitió a su vez rigorizar el con-cepto de límite fundamental en análisis. Cantor entró en este movimien-to y fue quien además de dar una definición rigurosa de número real logró dar un tratamiento matemático riguroso al concepto de infinito. La teoría de conjuntos permitió, entonces, dar una explicación a las paradojas de Zenón [véase: Russell 1903, capítulo XLII] y conciliar sobre una buena base, las teorías de números y la teoría de las magnitu-des. Cantor caracterizó el continuo de la recta real por medio de un tipo de orden que llamó θ al que dedica la sección once de los “Beiträge”. Si un conjunto ordenado es perfecto7 y contiene un subconjunto denso enumerable tiene el tipo de orden θ . De esta manera Cantor caracterizó el tipo ordinal de R pero nunca pudo responder a la pregunta de cuál es la potencia, o cardinal del con-tinuo. Me explico, demostró que era 2ℵ0 pero nunca supo a qué álef correspondía. Conjeturó que sería ℵ1, la potencia del conjunto de los números de la segunda clase. En carta a Dedekind en 1882 dio el nom-

7. Un conjunto es perfecto si todos sus puntos, son puntos límites.


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bre de ‘teorema de la segunda clase’ (los números de la segunda clase son tratados en la sección 15) a esa conjetura que formuló como sigue: Todo subconjunto infinito de R es enumerable o tiene la potencia del continuo. Esta fue la formulación original de la Hipótesis del Continuo. Más tarde dio una versión más fuerte: R tiene la potencia de la segunda clase. Afirmación que en notación álef se establece como

012ℵ =ℵ

ya que él había demostrado (sección 4) , como anotamos, que R tiene como cardinal 2ℵ0. Cantor probó en 1891 su famoso teorema de que el cardinal de un conjunto A siempre es estrictamente menor que el cardinal del conjunto de partes P(A),

( )A P A<

con ello garantizó la existencia de cardinales cada vez mayores y aun-que él nunca estableció la hipótesis generalizada del continuo de que

12 nn

ℵ+=ℵ

para todo número natural n, si lo sugiere en sus escritos.8 Explícitamen-te afirma en un artículo de 1883 que el conjunto de todas las funciones de reales tienen la potencia de la tercera clase, o sea

122ℵ =ℵ .

Muchas veces creyó Cantor haber demostrado la Hipótesis del Conti-nuo y ante su fracaso y el rechazo de algunos matemáticos por su teoría no volvió a investigar sobre ella. La Hipótesis del Continuo (HC) junto con el Axioma de Elección han sido los axiomas más discutidos de la teoría de conjuntos. Gödel en su artículo titulado ¿Qué es el problema del continuo de Cantor? afirma

[…] ni siquiera podemos asignar una cota superior, por grande que sea a la cardinalidad del continuo. Tampoco la cualidad de número cardinal del continuo nos resulta mejor conocida que su cantidad [Gödel 1981, 343].

8. Felix Haussdorff, primero en desarrollar la teoría de los transfinitos después de Cantor,

fue quien primero sugirió la riqueza de posibilidades en la investigación matemática sobre los transfinitos más grandes. El se aventuró con entusiasmo más allá de los números de la segunda clase [Kanamori 1996,17].


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Gödel demostró en 1938 que la Hipótesis del Continuo es consistente con el sistema axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y solo en 1963, Cohen consiguió demostrar su indepen-dencia. Resulta entonces que para una gran cantidad de álefs la igualdad

012ℵ =ℵ

es consistente con ZF y por tanto no implica ningún nuevo teorema de la teoría de números. El problema de la Hipótesis del Continuo, que consistía en demos-trar que es un teorema de la teoría de conjuntos, fue el primero de los diez problemas propuestos por David Hilbert en el Congreso Interna-cional de Matemáticas en París en 1900; como hemos señalado solo vino a resolverse negativamente en 1963 con el trabajo de Paul Cohen, quien inventó una nueva técnica llamada ‘forcing’ para conseguir este importante resultado.

Es una histórica ironía que muchos de los matemáticos que se opusieron al axioma de Elección

lo habían usado implícitamente en sus trabajos. Moore [1982, 64]

El Axioma de Elección Conocido como el Principio de Buena Ordenación (PBO), Cantor [1976, 72] conjeturó en 1883 en sus Grundlagen que todo conjunto (bien definido) puede ser bien ordenado; pensaba que esta era una ley del pensamiento, fundamentalmente rica en consecuencias y particu-larmente notable por su validez general. Había escrito a Dedekind sobre si existían potencias infinitas, además de los álefs, pensando que no hay otras y de ahí su Hipótesis del Continuo. Sus contemporáneos no esta-ban de acuerdo y Cantor transformó su ley en una pregunta. Intentó una respuesta y en 1897 pensó haberla encontrado. En 1900 en el Congreso de París, como ya mencionamos, Hilbert al colocar como primer pro-blema a resolver en el siglo XX el de la Hipótesis del Continuo, resaltó la necesidad de tener un buen orden para los reales. A partir de este momento la demostración del PBO adquiere mayor interés. En 1904, Ernst Zermelo (1871-1953) publica en los Mathematische Annalen una prueba del PBO; el artículo hacía parte de una carta que Zermelo había escrito a Hilbert el 24 de septiembre de ese año. La prueba de Zermelo hacía uso de una nueva herramienta en matemáticas el Axioma de Elección (AE). Según el propio Zermelo el AE había


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surgido de conversaciones con Erhard Smith. En este histórico artículo el AE fue enunciado de la siguiente manera:

A cada subconjunto M′ [de un cierto conjunto M] se puede asociar un elemento cualquiera m´1 de M′ mismo y que puede ser llamado el “ele-mento distinguido” de M′ [Moore 1982, 90].

El principio supone que aún para totalidades infinitas de conjuntos hay siempre funciones que asocian a cada subconjunto uno de sus elemen-tos, o, expresado formalmente, que el producto de una totalidad infinita de conjuntos cada uno de ellos con al menos un elemento no es vacío. La prueba de Zermelo fue fuertemente atacada por matemáticos de la época. Esto hizo que Zermelo se defendiera en un artículo de 1908 titulado: “Una nueva prueba de la posibilidad de un buen orden”; artí-culo que contiene dos partes: en la primera ofrece una nueva prueba del PBO, en la cual también hace uso del AE; y en la segunda discute las objeciones hechas a la primera prueba. Según Zermelo éstas tenían tres fuentes principales: 1) los malos entendidos sobre la teoría de conjuntos de Cantor; 2) reservas sobre el AE; y 3) sospechas sobre cualquier argumento que recordara las paradojas de la teoría de conjuntos. En este artículo Zermelo propone una nueva versión del axioma en la que reconocemos la forma actual más conocida del axioma:

Si un conjunto S se parte en una familia disjunta A de conjuntos no vac-íos. Entonces existe al menos un subconjunto T de S que contiene exac-tamente un elemento en común con cada miembro de A [Moore 1982, 144].

Los ataques al axioma llegaron de todas partes, incluso de matemáticos que lo habían usado implícitamente en sus investigaciones como Baire, Borel y Lebesgue en Francia, W. H. Young en Alemania, Russell y Whitehead en Inglaterra. Los italianos Peano, Bettozi y Levi atacaron el axioma fuertemente por salirse de los patrones lógicos usados hasta el momento. Esto sin contar los ataques de los intuicionistas como Brou-wer que rechazaron siempre el uso del infinito actual en matemáticas [Moore 1982, capítulo II]. Una de las características del AE es que aparece implícito en mu-chas ramas de la matemática. Parte de la historia de este axioma radica justamente en esto, en los intentos por demostrarlo se descubrieron muchas de sus formas equivalentes que ‘escondían’ el AE. La situación de rechazo del axioma cambia en 1918 cuando aparece un abogado del axioma, el matemático polaco Waclao Sierpinski (1882-1969). Aunque él había escrito sobre el axioma en 1916, es en el artículo de 1918 que hace un detallado estudio sobre los usos del AE, clarificó su papel y motivó a sus discípulos a estudiarlo con mayor profundidad. La recién


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creada escuela polaca, que se dedicó al estudio de la teoría de conjun-tos, aceptó el axioma y exploró las relaciones con otras ramas de la matemática. En un cursillo dictado en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1938, Gödel demuestra que el axioma es consistente con la teoría axiomática de conjuntos, si ésta es consistente, y con ello des-pejó las dudas sobre la posibilidad de que el axioma introdujera contra-dicciones en la matemática.9 El trabajo de Cohen, ya mencionado, de-mostró en 1963 que tanto el AE como la HGC son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo Fraenkel. La importancia del axioma la podemos justificar plenamente dicien-do que el axioma ha resultado equivalente a más de cien proposiciones de las diferentes ramas de la matemática. Esto significa que el axioma se esconde detrás de muchos disfraces y juega papel primordial en la matemática actual [véase: Moore 1982 y Caicedo 1980].

Quizás la mayor de todas las paradojas es que haya paradojas en la matemática.

Kasner y Newmann

Es seguro decir que ninguna actitud ha sido completamente exitosa al responder las

cuestiones fundamentales, sino más bien las dificultades parecen ser inherentes

a la propia naturaleza de las matemáticas. Paul Cohen

Las paradojas y algunas soluciones propuestas Cantor no solamente no pudo resolver algunas cuestiones fundamenta-les como la Hipótesis del Continuo o la tricotomía del orden en los cardinales sino que se dio cuenta de que su teoría encerraba paradojas. Otros matemáticos de su época como Bertrand Russell (1872-1970) o George Berry encontraron otras antonomias. Así que además de sus fuertes opositores por su manejo del infinito, como Kronecker y Poin-caré para quien la teoría de conjuntos era un mal de cual algún día la matemática debía curarse, había serios problemas intrínsecos en su teoría. Se dice que el primero en hacer pública una de las paradojas que presentaba la teoría fue Cesare Burali Forti (1861-1931) quien la comu- 9. El cursillo sería publicado en 1940 de las notas tomadas por George W. Brown bajo el

título: La Consistencia del Axioma de Elección y de la Hipótesis Generalizada del Continuo con los axiomas de la teoría de conjuntos [Gódel 1981, 195-204].


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nicó el 28 de marzo de 1897 en un encuentro del Circulo Matemático di Palermo y que luego fue publicada en los Rendiconti [van Heijernoot 1967, 104].10 El enunciado de la paradoja es bastante sencillo, dice: ‘Siendo el conjunto de los ordinales bien ordenado debe tener un ordi-nal; pero este ordinal es a la vez un elemento del conjunto y mayor que todos’. Contradiciendo el hecho de que dado un ordinal siempre existe uno mayor. La paradoja está en que siendo On la colección de todos los ordinales bien ordenada, es posible encontrar dos ordinales, que no satisfacen la propiedad de tricotomía, esto es, no se cumple que α = β o α < β o α > β. Parece ser que desde 1895 Cantor era consciente de esta dificultad y de una situación análoga con los cardinales, llamada la paradoja de Cantor que consiste en lo siguiente: el conjunto de todos los conjuntos debe tener el mayor cardinal posible; sin embargo, al aplicar el teorema de que el cardinal de un conjunto siempre es estrictamente menor que el cardinal del conjunto de sus partes obtenemos una contradicción. Cantor no fue el único matemático que a finales del siglo pasado trabajó en la fundamentación conjuntista del análisis. Gottlob Frege (1848-1925) elaboró un sistema formal que intentaba servir como fun-damento de las matemáticas. Se basa en dos principios, el Principio de Extensionalidad (dos conjuntos son iguales si poseen los mismos ele-mentos) y el Principio de Abstracción (toda propiedad define un con-junto). Desafortunadamente este sistema resultó inconsistente. Bertrand Russell, en 1902, escribió a Frege una carta en la cual le demostraba que su Principio de Abstracción llevaba a la contradicción siguiente: ‘El conjunto de los conjuntos que no se pertenecen a si mismos, es a la vez, elemento de si mismo’ [van Heijenoort 1967, 124]. Esta paradoja, que hizo una fuerte mella en la teoría de conjuntos, es particularmente importante ya que trata con el concepto de pertenencia, básico en la teoría de conjuntos. Frege tuvo que reconocer el fracaso de su sistema; lo hizo añadiendo como apéndice la carta de Russell al segundo tomo de su obra, Grundgesetze der Aritnmetik, que estaba en imprenta. Sin embargo, como dice Hatcher [1982, 98] aunque el siste-ma de Frege resultó contradictorio, la forma en que Frege hizo su análi-sis sobre los fundamentos de la aritmética no lo fue. La inconsistencia 10. Ahora se discute históricamente que el origen y desarrollo de esta proposición es

mucho más complicado que lo que anteriormente se había supuesto. Hoy en día se ar-gumenta que Burali-Forti no asevera haber descubierto dicha paradoja, sino que ésta se materializó a través de una discusión en torno a las obras de Russell, Jourdain, Poincaré y Bernstein, entre otros [véase: Moore y Garciadiego 1981]. Para compren-der el origen y desarrollo de las paradojas conjuntistas véase, entre otros: Garciadie-go 1985, 1986, 1992 y 1993].


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de este sistema mostró, eso si, que ciertos principios intuitivamente naturales, tales como el principio de abstracción son falsos. Muchas otras paradojas aparecieron por la misma época, las cuales no se refieren exactamente a la teoría de conjuntos sino a razonamien-tos plausibles que conducen a conclusiones inaceptables. Es el caso de las paradojas del mentiroso, de Berry y de Richard. El origen de estas paradojas que los griegos conocieron en diferentes formas es la parado-ja de Euclides quien afirmaba: ‘Esta sentencia que estoy haciendo es falsa’. Si la afirmación es cierta es falsa y si es falsa es cierta. No hay manera de evitar el círculo vicioso. La paradoja de Berry es un poco más refinada [véase: Garciadiego 1992]. Consideremos todas las expresiones del español que tienen me-nos de doscientas letras. Hay solamente un número finito de ellos. Con-sideremos además el conjunto de los números naturales nombrables por medio de estas expresiones, el cual es, obviamente, un conjunto finito y, por lo tanto, su complemento es no vacío. Tomemos el mínimo número de este complemento. Por definición es: ‘el menor número no nombrable con menos de doscientas letras’. Pero, la expresión anterior tiene menos de doscientas letras! La paradoja de Berry es un caso especial de la paradoja de Richard que se basa en el método de la diagonalización de Cantor. Fue publicada en 1905 en la Revue General des Sciences Pures et Appliquées y consiste en lo siguiente: Consideremos todas las combinaciones posibles de dos letras, tres letras, etc. y pongámoslas en orden alfabético o lexicográfico. Entre todas estas combinaciones posibles consideremos las que definen un número real y entre éstas las que contienen solo un número finito de palabras. El conjunto E de los números reales definidos por estas últi-mas, resulta ser un conjunto bien ordenado y enumerable,

E = p1, p2, p3.....

Sea s = 0.a1 a2 a3 ... un número real entre 0 y 1 definido como sigue: an = dn +1 donde dn es el n-ésimo dígito de la expansión decimal de pn . Por lo tanto, s es un número real que no aparece en la lista y ha sido definido con un número finito de palabras, contradicción. ¿Cómo puede resolverse esta cuestión? preguntaba Richard a los editores de la Revue [Moore 1982, 104]. La definición de s requiere de la definición de E, conjunto al cual pertenece; esta situación de autoreferencia es bastante común en matemáticas y en los lenguajes ordinarios. Henri Poincaré acuñó el término técnico ‘impredicativo’ para des-cribir el tipo de auto-referencias que no podían usarse en matemáticas. Una definición de un individuo es impredicativa cuando requiere de la


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totalidad a la cual el individuo pertenece y lo caracteriza, para poder definirse. Desafortunadamente son muchas las definiciones en análisis que son impredicativas. Un ejemplo contundente es la definición de extremo superior de un conjunto ya que es el más pequeño elemento, mayor que cualquiera de los elementos del conjunto dado. Si en matemáticas se prohibieran las definiciones impredicativas habría que excluir buena parte de ella. Hermann Weyl (1885-1955) en su libro Das Kontinuum [El Continuo] (1918) trató de hallar en qué medida podría ser reconstruido el análisis sin recurrir a definiciones impredicativas. Logró obtener una buena parte del análisis, pero no el teorema de que un conjunto no vacío de números reales que tenga una cota superior tiene una mínima cota superior [Kline 1972, 49]. Y ésta es nada menos que la propiedad que marca la diferencia fundamental entre el cuerpo de los números reales y el de los racionales. El lógico ingles Frank Ramsey clasificó las paradojas en dos clases en su libro Fundamentos de la Matemática (1931). Las de la primera clase, llamadas paradojas lógicas, son aquellas que envuelven nociones directamente expresables en un lenguaje de la teoría de conjuntos, co-mo son las paradojas de Russell, Cantor y Burali Forti. Las de la segun-da clase, llamadas paradojas semánticas por Alfred Tarski, son aquellas que envuelven nociones como las de verdad o definibilidad. Ejemplos de paradojas semánticas son las de Berry, Richard y el mentiroso. Alfred Tarski estudió las paradojas semánticas, muy especialmente la paradoja del mentiroso. Llegó a la conclusión de que estas antino-mias se presentan porque los lenguajes en que ellas ocurren son lengua-jes semánticamente cerrados. Esto es, lenguajes donde vale la lógica clásica y contiene además de sus expresiones los medios para referirse a las expresiones mismas. La solución que ofrece Tarski consiste en hacer una distinción entre dos lenguajes: el lenguaje objeto, aquel para el cual se define la verdad y el metalenguaje, aquel en el cual se define la ver-dad para el lenguaje objeto. La idea de Tarski, en su teoría semántica de la verdad, es similar a la que ofreció Hilbert como solución a las para-dojas presentadas en la teoría de conjuntos de Cantor, cuando plantea la necesidad de colocar las teorías matemáticas en un nivel como sistemas formales completos y en otro nivel, que llama de la matemática, el estudio de la consistencia de dichos sistemas formales. A medida que se fue desarrollando la teoría de conjuntos y la ma-temática basada en ella, fueron apareciendo aparentes paradojas cada vez más sofisticadas. Aparentes antinomias, porque son teoremas extra-ños e increíbles, lógicamente inatacables y que han de aceptarse aunque


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trasciendan la intuición y la imaginación. Es el caso de las llamadas paradojas de Skolem11, Hausdorff12 y Banach-Tarski.13 El que se adentra profundamente en el estudio de las paradojas desde las de Zenón hasta las antinomias modernas de la teoría de con-juntos no acepta fácilmente los argumentos de quienes creen haberlas resuelto. Sin embargo, las paradojas han sido bastante útiles en la cien-cia y en la filosofía. Kant las usó para demostrar en la Crítica de la razón pura que la metafísica no puede ser una ciencia, Zenón Elea para atacar a los pitagóricos y defender la filosofía del continuo de su maes-tro, Parménides; Lewis Carroll las usó en sus cuentos de Alicia en el país de las maravillas y Alicia a través del espejo para distraer a los niños y sorprender a los adultos y Gödel se inspiró en las del mentiroso y de Richard para demostrar sus famosos teoremas sobre la incompleti-tud de la aritmética. Soluciones a las paradojas de la teoría de conjuntos Kronecker, Poincaré y Weyl, entre otros, como hemos anotado fueron fuertes opositores a la teoría cantoriana de conjuntos, Russell, Hilbert, Zermelo y muchos más, por el contrario sus defensores. En el Primer Congreso Internacional de Matemáticas en Zurich en 1897, Hurwitz y Hadamard mostraron aplicaciones de la teoría de los números transfini-tos al análisis; pronto se encontraron aplicaciones a la teoría de la me-dida y la topología, convirtiéndose la teoría de Cantor en nuevo funda-mento para las matemáticas. Las antinomias generaron diferentes res-puestas por parte de matemáticos y lógicos interesados en los funda-mentos. Las respuestas se pueden enmarcar en dos tipos: las que recha-zaron la teoría por considerarla fundamentalmente errada y las que opinaban que la teoría era esencialmente correcta y había que acabar con la fuente de las contradicciones. Entre las primeras está la del holandés L. E. J. Brouwer (1881-1966) quien creó una escuela de filo-sofía matemática llamada intuicionismo. Entre las segundas se encuen-tran la de Russell con su escuela logicista y la de Hilbert con su pensa-miento formalista.

11. Como consecuencia del teorema de Löwenheim-Skolem, se puede demostrar que

existe un modelo de los números reales que es enumerable. 12. Para n ≥ 3 no existe una medida finita e invariante para el grupo de desplazamientos

de Rn. 13. La paradoja establece que una esfera tridimensional puede dividirse en varias piezas

las cuales pueden reorganizarse de tal manera que se pueden obtener dos esferas tri-dimensionales iguales a la original.


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Para los logicistas la matemática se reduce a la lógica; esto es, todo concepto matemático puede definirse por medio de nociones lógicas como las de conjunto, relación, implicación etc., y todo enunciado matemático puede ser demostrado a partir de principios lógicos, como los de no-contradicción y tercero excluido. Las ideas originales del logicismo se deben a Frege y fueron redes-cubiertas más tarde por Russell. Frege opinó que dado que la matemáti-ca es independiente de la realidad física sus verdades también deben ser independientes. Tales verdades lo son, simplemente en virtud de la manera como usamos las palabras. Las verdades de la matemática re-sultan por lo tanto ser verdades universales y anteriores a toda expe-riencia (sintéticas a priori, según terminología kantiana). Resulta enton-ces válido intentar fundamentar la matemática en la lógica o sea derivar la matemática de principios lógicos. Esta derivación debe hacerse en un lenguaje formal en el cual se explicitan claramente las reglas de infe-rencia. Una verdad en tal sistema será un axioma o un teorema. Este programa propuesto por Frege y Russell fue completamente desarrolla-do en la famosa obra de Russell y Whitehead titulada Principia Mat-hematica, publicada en tres volúmenes en 1910, 1912 y 1913. Para eliminar las paradojas, Russell creó la teoría de los tipos lógi-cos. Por esta teoría las diversas entidades de que trata la lógica como, individuos, clases, proposiciones, propiedades, etc. son dispuestas en una jerarquía de tipos distintos. Para los conjuntos, por ejemplo, se considera que los individuos tienen tipo cero, los conjuntos de indivi-duos son de tipo uno, los conjuntos de conjuntos de individuos de tipo 2 y así sucesivamente. La teoría de tipos procura evitar un cierto círculo vicioso que se presenta al suponer que una colección pueda contener elementos definibles por medio de la colección como un todo, o sea pretende evitar que los elementos de la teoría sean definidos por medio de una definición impredicativa. Kleene [1974, 82] afirma que cada una de las paradojas envuelve una definición impredicativa si se analizan cuidadosamente; excluyen-do esta clase de definiciones mediante su teoría de los tipos lógicos, Russell consigue eliminar las paradojas en la teoría de conjuntos: un conjunto jamás podrá ser elemento de si mismo. Infortunadamente esta separación de órdenes hace imposible construir el análisis que requiere de las definiciones impredicativas; para evitar esta situación Russell postuló el Axioma de reducibilidad, el cual afirma que cualquier pro-piedad perteneciente a un orden mayor que cero, es equivalente a una propiedad de orden cero. Este axioma no gustó a la comunidad matemá-


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tica; la complejidad de la teoría hizo que esta solución a las paradojas no tuvieran acogida. La tesis intuicionista está basada en la idea de que los principios válidos para conjuntos finitos no pueden ser generalizados sin restric-ciones a los conjuntos infinitos. La teoría de conjuntos muestra un caso evidente de ello, al negar el principio, aceptado desde la antigüedad, ‘el todo es mayor que la parte’. Brouwer no aceptó para los conjuntos infinitos el principio del tercero excluido: una proposición cualquiera o es verdadera o es falsa. Este principio, que es piedra angular de la lógi-ca clásica, los intuicionistas lo rechazan pues consideran que entre lo verdadero y lo falso hay lugar para lo que no se ha verificado como verdadero ni reconocido como absurdo. Los intuicionistas han creado una matemática totalmente nueva, aunque menos poderosa (hasta el momento) que la matemática clásica al no aceptar el infinito actual y trabajar con el infinito potencial o constructivo. Sin embargo, tienen una teoría del continuo y una teoría de conjuntos (o ‘especies’). El mismo año (1908) en que aparecía el primer artículo completo de Russell sobre su teoría de los tipos, Brouwer publicaba sus ideas sobre ‘la no fiabilidad de los principios de la lógica’ y Zermelo publicaba su artículo sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos. En este artícu-lo Zermelo expone el primer sistema axiomático para la teoría de con-juntos que logra evitar las paradojas. El método axiomático, que había mostrado su fuerza desde los griegos es vigorizado por Hilbert y toma-do como base de la escuela formalista encabezada por él. El formalismo es el resultado de la manera como Hilbert y sus colaboradores (Bernays, Ackermann, entre otros) atacaron la crisis causada por las paradojas y el desafío de Brouwer a la matemática clásica. El formalismo desea trans-formar el método axiomático, de técnica que es en la esencia misma de la matemática [da Costa 1977, 33]. El programa de Hilbert para las teorías matemáticas debía seguir tres pasos: axiomatización, formalización y demostración de la consis-tencia de la teoría axiomática formalizada.14 La demostración de la consistencia se debía hacer en un lenguaje mucho más rico que el len-guaje formal de la teoría en cuestión y por medio de métodos especia-les, para lo cual Hilbert creó un nueva rama de las matemáticas que llamó metamatemática. Esta tenía como objetivo estudiar las teorías matemáticas como un todo, investigando propiedades como las de con-sistencia, completez (completitud), decidibilidad, etc... 14. El segundo de los problemas propuestos por Hilbert en el célebre Congreso Interna-

cional de Matemáticas de 1900 fue justamente demostrar la consistencia de la aritmé-tica.


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Para 1930 el programa formalista parecía tener éxito; Peano había axiomatizado la aritmética y Russell la había formalizado; existían dos ‘buenas’ axiomatizaciones de la teoría de conjuntos, la de Zermelo-Fraenkel y la de Gödel-Bernais-von Neumann, cuando Gödel mostró con sus teoremas de incompletitud que el programa de Hilbert no era posible. Sin embargo, el teorema de Gödel no cierra el camino de de-mostración de la no contradicción siempre que se prescinda, al menos en parte, de las restricciones de Hilbert referentes a los ‘procedimientos finitistas’. De este modo llego Gentzen a demostrar en 1936 la no con-tradicción de la aritmética formal. De las tres soluciones generales propuestas a las paradojas, el logi-cismo no tuvo mucha aceptación por la complejidad de la teoría de los tipos y porque el axioma de infinito de la teoría de conjuntos no puede obtenerse exclusivamente a partir de la lógica; el intuicionismo tampo-co ha ganado aceptación general entre los matemáticos por su radica-lismo y por excluir una buena parte de la matemática clásica; el forma-lismo finitista estricto también fracasó en sus intentos. La matemática sigue usando como una de sus principales herra-mientas el método axiomático y así la solución escogida por la comuni-dad científica para evitar las paradojas fue la axiomatización de la teor-ía de conjuntos.15 La primera axiomatización de la teoría de conjuntos, como ya hemos mencionado, se debe a Ernst Zermelo (1871-1953) y fue publi-cada, en 1908, en su artículo “Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos” en los Mathematische Annalen. La idea básica de Zermelo tiene que ver con lo que Russell denominaba ‘teoría de la limitación de tamaño’ la cual procuraba evitar colecciones muy grandes como son: el conjunto de todos los conjuntos, el conjunto de todos los cardinales o el conjunto de todos los ordinales que llevaron a las para-dojas. Zermelo considero que los conjuntos no son simples colecciones, sino que deben satisfacer ciertas condiciones y como él mismo dice se propone mostrar como la teoría creada por Cantor y Dedekind puede ser reducida a unas pocas definiciones y siete principios o axiomas que parecen ser mutuamente independientes

no he podido aun demostrar que mis axiomas son consistentes aunque esto es ciertamente muy esencial; en lugar de esto me he confiado a se-ñalar ahora y después de que las antinomias descubiertas hasta el momento

15. En la introducción a su libro Teoría de Conjuntos, Bourbaki dice: creemos que la

matemática esta destinada a sobrevivir, y que las partes esenciales de su edificio nun-ca colapsarán con el repentino aparecimiento de una contradicción, pero no podemos pretender que esta opinión descanse en algo diferente de la experiencia.


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fallan una y todas si los principios aquí propuestos son adaptados como ba-se [van Heijenoort 1967, 200].

El sistema de axiomas fue mejorado por Adolf Fraenkel (1891-1965) y Thoralf Skolem (1888-1963) quienes lo formalizaron completamente evitando el problema que podía presentarse con el axioma de separa-ción al no explicitar Zermelo lo que es ‘una propiedad definida’ en un conjunto. Weyl fue otro de los matemáticos que criticó la vaguedad en la noción ‘propiedad definida’, esencial al axioma de separación, se pre-ocupó por encontrar una formulación precisa de dicha noción. En 1917, definió como ‘propiedad definida’ una proposición que era de la forma x∈ y ó x = y o era obtenida por un número finito de usos de la negación, conjunción, disyunción, cuantificación existencial y substitución de una constante por una variable. O sea, aceptaba únicamente las fórmulas bien formadas de una teoría cuyos símbolos primitivos, además de los lógicos, fueran los de igualdad y pertenencia. Sin duda Skolem estaba en la línea de Weyl, solo que Skolem restringió explícitamente la cuan-tificación a individuos solamente, mientras que Weyl, no. Así, Skolem trató el axioma de separación de Zermelo como un esquema de axiomas dentro de la lógica de primer orden [Moore 1982, 260-261]. En 1930 en un artículo publicado en la revista Fundamenta Mat-hematicae (la primera especializada en teoría de conjuntos) Zermelo propone una forma de axiomatización de la teoría de conjuntos muy cercana a lo que hoy conocemos como ZF. En ella propone siete axio-mas: los de, extensionalidad, conjunto potencia, unión , del par (si a y b son conjuntos entonces a, bes un conjunto) en lugar del axioma de conjuntos elementales, y el axioma de separación que es alterado de la siguiente manera: “Si M es un conjunto y F(x) una función proposicio-nal (del primero o según orden) entonces el conjunto de los x que satis-facen F(x) es un conjunto”. El último axioma, que Zermelo llamó Axioma de Fundamentación, procuraba evitar las cadenas infinitas de conjuntos con respecto a la relación de pertenencia (∈ cadenas). Dimitri Mirimanoff en 1917 había notado que el sistema de Zermelo de 1908 permitía las ∈ cadenas des-cendentes ... ∈ M2 ∈ M3 ∈ M1, pero las prohibió [Moore 1982, 261-262]. Fue John von Neumann (1903-1957) quien introdujo en 1925 un axioma que sí los prohibía y Zermelo [van Heijenoort 1967, 393-413], no se sabe si independientemente de von Neumann o influenciado por éste postuló: ‘No existen sucesiones ∈ descendentes’. Para este axioma dio más adelante, una segunda formulación que afirmó ser equivalente a la primera y es la que se usa más comúnmente


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hoy en día: ‘Todo conjunto no vacío A posee un elemento minimal’. Este último axioma tiene un carácter técnico. Nunca es usado en la matemática convencional dice Cohen [1966, 53], evita de inmediato la paradoja de Russell ya que prohíbe explícitamente que x∈ x para cual-quier conjunto x. Al analizar las paradojas y ver las contradicciones que podían resul-tar al aceptar como conjuntos las colecciones formadas por todas la cosas que satisfacen una cierta propiedad, Cantor comenzó a distinguir, entre dos tipos de multiplicidades a las que llamó ‘inconsistentes’ o ‘conjuntos de inconsistentes’ o absolutamente infinitos. Russell toma esta idea y la interpreta con su concepto de la limitación de tamaño. Von Neumann [1963] recoge ambas ideas y formula una teoría de con-juntos conocida como teoría de clases en la cual distingue entre clases y conjuntos. Los conjuntos son clases que pueden pertenecer a otras cla-ses, mientras que las clases propiamente dichas, no. Así, todos los con-juntos son clases, pero existen clases que no son conjuntos. El sistema de von Neumann no fue dado en el lenguaje de los conjuntos y las cla-ses, sino que usa como noción básica la de función. Este sistema fue traducido al lenguaje de primer orden por Skolem en 1938, mejorado por Bernays en publicaciones de 1937, 1954 y 1958 y por Gödel en 1940. Por esta razón la teoría de clases a que nos referimos se conoce como la teoría NBG. En esta teoría se toman como símbolos primitivos ∈, = y m(x), este último significando ‘x es un conjunto’. Las axiomatizaciones formales de la teoría de conjuntos fueron posibles gracias a los adelantos de la lógica matemática que se sucedie-ron paralelamente con los adelantos en teoría de conjuntos. La historia de la lógica matemática comienza con los trabajos de Boole a mediados del siglo pasado cuando decidió algebrizar la lógica aristotélica. Es hoy una rama independiente en matemáticas a la cual han dado su aporte grandes figuras como son Frege, Russell, Hilbert, Bernays, Gödel y Tarski. La relación entre lógica y matemática es uno de los puntos que distingue cada una de las corrientes filosóficas matemáticas de comien-zos del siglo. Para Russell y Frege, matemática y lógica se confunden, para Hilbert son ramas paralelas que se apoyan la una en la otra y para Brouwer la lógica matemática surge de la matemática. Lo que si es evidente es que la lógica si es herramienta indispensable para la ma-temática y junto con la teoría de conjuntos se han convertido en sus fundamentos. Sin embargo, Hatcher [1982, 312] nos hace caer en cuen-ta que las pruebas de independencia de Cohen muestran que hay varios modelos incompatibles de la teoría de conjuntos y por tanto no hay una


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fundamentación absoluta de la matemática. Pues ante la afirmación de que la matemática se reduce a la teoría de conjuntos habría que pregun-tarse, a cuál? Además la nueva teoría de las categorías ha cuestionado la irreduc-tibilidad de las nociones de conjunto y pertenencia y algunas de las construcciones que se han hecho en teoría de las categorías no pueden realizarse ni en ZF ni en NBG. Beiträge zur Begründug der transfiniten Mengenlehre Contribuciones a la fundamentación de la teoría de conjuntos transfinitos Nadie mejor que Dauben [1979, 167] resume el significado de este trabajo de Cantor en la siguiente cita:

Los Beiträge zur Begründug der transfiniten Mengenlehre fue para Cantor su último y más importante publicación matemática. Cuando se confrontó con la tarea de presentar su trabajo al escrutinio cercano de un foro escéptico si no hostil de sus contemporáneos, él al menos esco-gió presentar sus nuevas ideas revolucionarias en una forma directa y simple. Después de más de viente años y desarrollo y meticulosas con-sideraciones, el estaba preparado para resumir los elementos estricta-mente matemáticos de su teoría.

Los Beiträge están compuestos por dos artículos separados dos años en el tiempo. Los conocedores de la obra afirman que aunque el podría haberlos publicado en el mismo año de 1895, quería probar su Hipóte-sis del Contínuo y al no lograrlo se decidió por hacer la publicación. Los Beiträge están compuestos de veinte numerales, los primeros once se encuentran en el primer artículo y el resto en el segundo como se puede observar en las reproducciones.


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El mensaje de los epígrafes es bastante significativo y en ellos obser-vamos que Cantor se siente un ‘enviado de Dios’ para dar a conocer la teoría del infinito y espera que algún día su misión de revelar esas ver-dades llegará a tener el reconocimiento que merece: 1) No hago hipóte-sis; 2) No damos leyes al intelecto o a las cosas a nuestro arbitrio, sino como escribas fieles los recibimos y copiamos de la voz revelada de la naturaleza misma; y, 3) Llegará el tiempo en que a beneficio de repeti-das y diligentes observaciones se harán patentes ciertas verdades que hoy ignoramos. La primera parte se abre con su ya famosa noción de conjunto

Por un ‘conjunto’ entendemos una colección M de objetos bien deter-minados m distinguibles entre si por nuestra experiencia o nuestro pen-samiento (a los cuales llamaremos ‘elementos’ de M ).

que continuará con la de nociones de ‘número cardinal’ y de ‘equipo-tencia’ entre conjuntos. Dedica las siguientes tres secciones al definir en los cardinales una relación de orden y las operaciones algebraicas de adición, como el cardinal de dos conjuntos disyuntos, multiplicación, como el cardinal del producto cartesiano, y potenciación entre cardina-les, como el cardinal de un ‘cubrimiento’, el de un conjunto N sobre otro M. Esta noción equivale a lo que conocemos como el conjunto de las funciones de N en M. ¿Por qué no definió Cantor la potenciación como una multiplicación abreviada? Simplemente porque hubiera re-querido de una multiplicación con infinitos factores, lo que no podía hacer pues no contaba con las herramientas adecuadas. Sin embargo, Cantor ya había demostrado [véase sección 4 de la traducción] que la potencia del continuo era 2ℵ0 y requería dar una definición general adecuada de potenciación entre cardinales transfinitos. De suma importancia para su teoría era mostrar que los números transfinitos son los sucesores naturales de los cardinales finitos, por ello en la quinta sección Cantor escoge la noción de número natural en la que cada número es el sucesor de otro, esto es la definición de número natural a través de una inducción. Usará esta noción para definir ‘con-junto finito’ como el tiene cardinal finito y ‘conjunto infinito’, como el que tiene cardinal transfinito.

Un único objeto eo, cuando lo consideramos como un conjunto Eo = eo co-rresponde al número cardinal que llamamos “uno” y denotamos con 1; te-nemos que

01 E= . Ahora se une con Eo otro objeto e1, el conjunto unión se llama de tal suerte que E1 = ( Eo, e1) = (e0 , e1 ). El número cardinal de E1 se llama “dos” y se denota 2:


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12 E= . Mediante la adición de nuevos elementos obtenemos la sucesión no acotada de conjuntos E2 = (E1, e2), E3 = (E2, e3), ..... que nos proporcio-na los restantes números denotados 3, 4, 5, … llamados ‘números car-dinales finitos’.

La definición de álef cero, el menor número cardinal transfinito, título de la sexta sección, muestra claramente la dependencia de la noción de números transfinitos de la teoría abstracta de conjuntos y específica-mente de su noción de conjunto y su aceptación del infinito en acto; en otras palabras sin la aceptación de éste la definición de ℵ0 no tendría sentido.

La totalidad de los ‘números cardinales finitos’ n, nos proporciona el ejemplo más cercano de un conjunto transfinito; al número cardinal asociado a él lo llamamos ‘áleph-cero’, en símbolos ℵ0, así que esta-blecemos

o nℵ = . En la sección probará que ‘Todo conjunto finito E tiene la propiedad de que no es equivalente a ninguno de sus subconjuntos’ y que, por el contrario, ‘Todo conjunto transfinito T tiene la propiedad de que con-tiene un subconjunto T1 equivalente a él’, esta última propiedad había sido la propiedad ‘anómala’ que había encontrado Galileo y que Dede-kind toma como la característica de los conjuntos infinitos. . Es entonces lógico pensar en cuál es el siguiente cardinal transfinito de ℵ0, cuál es el siguiente de éste y así sucesivamente. Cantor denotará estos cardinales por

(A) ℵ0, ℵ1, ℵ2, ..., ℵn, ...

y formará con ellos un conjunto bien ordenado, similar al de los núme-ros finitos. Pero la sucesión (A) no contiene todos los números cardina-les transfinitos. Cantor prueba la existencia de un cardinal más grande que todos los ℵn y lo denota ℵω. El ‘primer principio de generación’ de números transfinitos le permite obtener ℵω+1, ℵω+2, ..., ℵω+n y conti-nuar sin límite. En el numeral siete comienza su teoría de los tipos de orden la que le permitirá definir el concepto de número ordinal, uno de los conceptos básicos y centrales de su teoría. Cantor había introducido los números ordinales transfinitos en dos artículos publicados en 1880 y 1883 bajo el título de “Sobre el infinito, variedades lineales de puntos”. Abre la sección con la noción de ‘simplemente ordenado’:


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Llamamos a un conjunto M simplemente ordenado si se establece entre sus elementos m un cierto orden, respecto del cual para cualesquiera dos elementos m1 y m2 uno tiene menor y el otro mayor rango y de tal forma que para cualesquiera tres elementos m1, m2, y m3 , si digamos m1 tiene menor rango que m2 y m2 tiene menor rango que m3 entonces siempre se cumple que m1 es de menor rango que m3 .

La relación así definida se notará como es usual como m1 < m2 o m2 > m1. Más adelante Cantor afirmará que todo conjunto ordenado M tiene un tipo ordinal definido o más brevemente un ‘tipo’ el cual denotará por

M y continúa ‘esta es la noción general que se obtiene de M prescindiendo de la naturaleza de los elementos m pero considerando el orden entre ellos’. Y anotará que si se abstrae de un tipo ordinal

M también el orden entre sus elementos se obtendrá el número cardinal

M del conjunto M. Vemos como la notación de Cantor destaca el hecho de que el cardinal de un conjunto se obtiene por un proceso de doble abs-tracción. Para clasificar los conjuntos según su tipo de orden definirá Cantor la relación de similaridad entre conjuntos: Dos conjuntos M y N se llaman ‘similares’ y se nota M ≅ N si existe un isomorfismo entre ellos, esto es, una función biunívoca que preserve el orden. Muestra que es una relación de equivalencia y escoge las letras minúsculas del alfabeto griego para denotarlas. Resaltará que no es una noción arbitraria y que generaliza de manera natural la noción de contar. Mencionará en esta sección a los conjuntos bien ordenados que llamará números ordinales transfinitos a los que dedicará la sección 12 y da el nombre de ω al tipo de orden de un conjunto bien ordenado e1, e2, …, en, … en el cual en < en+1 y n recorre todos los números cardinales finitos, esto es el tipo de orden de los orden natural de los números naturales. La sección octava está dedicada a la suma y multiplicación de ordi-nales. La ‘adición’ entre ordinales la define como el ordinal del conjun-to unión, o sea si

M y Nα β= = se tiene que


Mathesis

( , )M Nα β+ = .

Con ejemplos observará que en general α + β ≠ β + α ya que ω + 1 ≠ 1 + ω = ω. El ‘producto’ de dos ordinales α, β es el tipo de orden obtenido al tomar β copias de α y colocarlas una después de la otra en el orden de β . Prueba que la multiplicación es asociativa y distributiva con respecto a la suma entre ordinales pero no cumple la propiedad conmutativa. Así como la adición repetida permite definir el producto entre ordi-nales, una multiplicación repetida permite definir la potenciación. Co-mo hemos visto ni la suma ni la multiplicación entre ordinales son conmutativas lo que nos lleva a concluir rápidamente que las operacio-nes entre ordinales no se comportan muy bien. En realidad el estudio de las propiedades de las operaciones entre ordinales es una parte bastante extensa y altamente especializada de la teoría de conjuntos. La novena sección está dedicada al tipo de orden de los números racionales que denotará por η y que caracteriza por no tener máximo ni mínimo con respecto a este orden y entre dos de sus elementos siempre se encuentra otro. Esta característica la llamará ‘denso en todas partes’. La décima sección trata sobre las ‘sucesiones fundamentales’, son suce-siones crecientes o decrecientes, contenidas en un conjunto bien orde-nado, prepara el camino para en la siguiente sección definir el tipo ordinal θ del continuo lineal X. En esta encontramos la noción de ‘con-junto perfecto’ como aquel en el cual todo conjunto acotado superiora-mente tiene un ‘límite’ (el conjunto es ‘cerrado’) y es ‘denso en si mis-mo’. Así X, el continuo lineal, será un ‘conjunto perfecto’ y su tipo ordinal un ‘tipo perfecto’. Este es uno de los resultados sobresalientes de la teoría cantoriana de conjuntos caracterizar el continuo como un tipo de orden. La segunda parte de los “Beiträge” está dedicada a los conjuntos bien ordenados y su teoría de los números ordinales. En efecto, la sec-ción duodécima está dedicada a la caracterización de los conjuntos bien ordenados, los cuales para Cantor ocupan una posición destacada entre los conjuntos simplemente ordenados; a sus tipos ordinales los llamará ‘números ordinales’. Los identificará como aquellos que tienen un primer elemento y para los cuales todo subconjunto también debe tener-lo. El siguiente apartado siguiente está consagrado al concepto de ‘sec-ción’ de un conjunto bien ordenado, noción que le definir un orden entre los ordinales y probar algunas de sus propiedades y de las propie-dades de la suma, multiplicación y potenciación como casos particula-res de las operaciones definidas en la primera parte entre tipos de orden.


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A partir de la decimoquinta sección y hasta el final Cantor se dedica al estudio de Z(ℵo) los ‘números de la segunda clase’ la que define como ‘la totalidad de los tipos de orden de los conjuntos bien ordena-dos de cardinalidad ℵo’. Esta clase tiene un primer elemento que deno-tará ω y es el límite de los números naturales en su orden natural y tiene cardinal ℵ1. Cantor demuestra así que la potencia de los números de la segunda clase es el segundo menor cardinal transfinito. Kanamori [1996, 3] afirma: “La teoría de conjuntos nació el 7 de diciembre de 1873 día en que Cantor demostró que los números reales no son enumerables, y las siguientes décadas las dedicó a florecer a través de los prodigiosos progresos hechos por él en la teoría de núme-ros ordinales y cardinales.” Invitamos al lector a seguir el texto original de Cantor en la excelente y cuidadosa traducción de en la cual se ha querido respetar al máximo el texto original; se trata, como hemos anotado, del último trabajo de Cantor, hecho especialmente para ma-temáticos, en el cual recoge los puntos esenciales de su teoría. Los invitamos a reconocer en sus páginas las ideas revolucionarias de la teoría de conjuntos, paraíso del que Hilbert afirma nadie podrá expul-sarnos. Referencias ARISTÓTELES. 2001. La Física. México: UNAM. BABINI, José. 1974. Historia de las ideas modernas en Matemática.

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Contribución a los fundamentos de la teoría de conjuntos transfinitos.

[Beiträge zur Begründung der

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46 (1895) 481-512; 49 (1897) 207-246].

Georg Cantor

Traducción del alemán por Luis Miguel Villegas Silva. Revisión técnica de Clara H. Sánchez B. y Gonzalo Serrano.

Corregido por Carlos Lingan Pérez.

“Hypotheses non fingo.” [Newton] “Neque enim leges intellectui aut rebus damus

ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus

et describimus.” “Veniet tempus, quo ista quae nunc latent, in

lucem dies extrahat et longioris aevi diligentia.”

[481] §1.

La noción de cardinalidad o número cardinal. Por ‘conjunto’ entendemos cualquier colección M de objetos determi-nados m distinguibles entre sí por nuestra experiencia o nuestro pensamien-to (que llamaremos los ‘elementos’ de M) que conforman un todo. En símbolos expresamos esto mediante:

(1) M = m.

La unión de varios conjuntos M, N, P, . . . , que no tengan elementos en común, para conformar uno sólo la denotamos como

(2) (M, N, P, . . . ).

388 Georg Cantor

Mathesis

Los elementos de este conjunto son entonces los elementos de M, de N, de P, etcétera. Llamamos ‘parte’ o ‘subconjunto’ de un conjunto M a cualquier otro conjunto M1, cuyos elementos son a la vez elementos de M. Si M2 es una parte de M1, y M1 una parte de M, entonces M2 es tam-bién una parte de M. Cada conjunto M tiene una potencia o cardinalidad que llamaremos número cardinal. La ‘cardinalidad’ o el ‘número cardinal’ de M es la noción general, que con ayuda de nuestro intelecto surge del conjunto M, y que es in-dependiente de la naturaleza de sus distintos elementos m y del orden en que se encuentran. [482] El resultado de este doble proceso de abstracción, la cardinalidad o el número cardinal de M, lo denotamos con

(3) M . Puesto que cada elemento m, sin considerar su índole, forma una ‘unidad’, el número cardinal mismo M es un conjunto formado exclu-sivamente por unidades, que existe en nuestro espíritu como una ima-gen virtual o una proyección del conjunto dado M. Llamaremos ‘equivalentes’ a dos conjuntos M y N, lo que denota-mos como (4) M ∼ N o N ∼ M,

cuando es posible relacionarlos de tal forma que cada elemento de uno de ellos corresponde a uno y sólo un elemento del otro. A cada parte M1 de M corresponde entonces una determinada parte equivalente N1 de N y viceversa. Si se tiene tal correspondencia entre dos conjuntos equivalentes, ésta se puede modificar en varias formas (excepto en el caso en que cada uno de los conjuntos consista en un sólo elemento). A saber, siempre se puede tomar la prescripción de que un elemento particular m0 de M corresponde a un cierto elemento n0 de N. Porque si de acuer-do a la correspondencia original, el elemento m0 no está asociado a n0, sino que m0 está asociado al elemento n1 de N y el elemento n0 al ele-mento m1 de M, entonces se considera la correspondencia modificada, en la que m0 está relacionado con n0 así como n1con m1 y para el resto de los elementos se preserva la correspondencia original. Con esto se alcanza la meta original. Cada conjunto es equivalente a sí mismo:

(5) M ∼ M.

Contribución a los fundamentos … 389

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Si dos conjuntos son equivalentes a un tercero, entonces también son equivalentes entre sí:

(6) de M ∼ P y N ∼ P se deduce M ∼ N.

Es de gran importancia que dos conjuntos M y N tengan el mismo número cardinal cuando y sólo cuando son equivalentes:

(7) de M ∼ N se deduce M = N y (8) de M = N se deduce M ∼ N.

Así que la equivalencia de conjuntos proporciona el criterio nece-sario y suficiente para la igualdad de sus números cardinales. [483] De hecho, de acuerdo con la definición anterior de cardinalidad el número cardinal M permanece invariable cuando se sustituye un ele-mento o varios o incluso todos los elementos m de M por otro objeto. Ahora, si M ∼ N, entonces existe una correspondencia a través de la cual M y N se relacionan entre sí; en tal situación a cada elemento m de M corresponde un elemento n de N. En consecuencia, podemos pensar que cada elemento m de M se sustituye por el elemento n de N, con lo que se transforma M en N sin cambio del número cardinal; por consiguiente, (8) M = N . El recíproco del teorema se obtiene al observar que entre los ele-mentos de M y las distintas unidades de su número cardinal M existe una correspondencia mutua unívoca. Porque, como se observa, M surge de M, de tal forma que de cada elemento m de M se obtiene una unidad particular de M . Por ello podemos decir que

(9) M ∼ M .

De la misma forma N ∼ N . Por lo que si M = N , se sigue de (6)

que M ∼ N. También podemos derivar directamente de la noción de equivalen-cia el siguiente teorema: Si M, N, P, . . . , son conjuntos que no tienen elementos en común, M′, N′, P′, . . . son conjuntos de tal característica y se cumple

M ∼ M′, N ∼ N′, P ∼ P′, . . . ,

entonces siempre se cumple que

(M, N, P, . . . ) ∼ (M′, N′, P′, . . . ).

390 Georg Cantor

Mathesis

§2. ‘Menor’ y ‘mayor’ entre números cardinales.

Si se satisfacen las dos condiciones siguientes para dos conjuntos M y N con número cardinal a = M y b = N y si:

1) no existe ninguna parte de M equivalente a N, 2) existe una parte N1 de N, tal que N1 ∼ M,

entonces, primero es claro que lo mismo sigue siendo válido cuando se sustituyen M y N por conjuntos equivalentes M’ y N’; por consiguiente esas condiciones expresan una cierta relación entre los números cardi-nales a y b. [484] Además, está excluida la equivalencia de M y N, es decir, la igualdad de a y b; en caso contrario se tendría M ∼ N, de donde se deduciría, ya que N1 ∼ M, que N1 ∼ N por lo que debería existir una parte M1 de M, puesto que M ∼ N, tal que M1 ∼ M, y también M1 ∼ N, lo que contradice la condición 1). Tercero, la relación de a con b es tal que la misma relación de b con a es imposible; pues si en 1) y 2) intercambiamos los papeles de M y N, se originan dos relaciones contradictorias entre sí. Expresamos de la siguiente forma la relación de a con b caracteri-zada por las condiciones 1) y 2): a es menor que b, o también: b es mayor que a, en símbolos (1) a < b o b > a. Se prueba fácilmente que

(2) si a < b, b < c, entonces siempre se cumple a < c.

También se sigue sin dificultad de la definición, que si P1 es una parte del conjunto P, de a < 1P siempre se deduce que a < P y de P <

b siempre se sigue que también 1P < b. Hemos visto que en las tres relaciones

a = b, a < b, b < a

cada una excluye a las otras dos. Por el contrario, de ninguna manera se sobreentiende, y difícilmen-te puede ser demostrado en este momento de nuestra disertación, que entre cualesquiera dos números cardinales a y b se deba cumplir algu-na de esas relaciones. Sólo después que hayamos analizado la sucesión creciente de los números cardinales transfinitos y tengamos conocimientos sobre las relaciones entre ellos, se obtendrá la veracidad del teorema:


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A. ‘Si a y b son dos números cardinales arbitrarios, entonces se cumple a = b o a < b o a > b’. Fácilmente se derivan de este teorema los siguientes, de los que por el momento no podemos hacer uso: B. ‘Si dos conjuntos M y N se conforman de tal manera que M es equivalente a una parte N1 de N y N es equivalente a una parte M1 de M, entonces también M y N son equivalentes’. C. ‘Si M1 es una parte del conjunto M, M2 una parte del conjunto M1, y los conjuntos M2 y M son equivalentes, entonces M1 también es equivalente a M y M2’. D. ‘Si para dos conjuntos M y N se satisface la condición de que N no es equivalente a M ni a una parte de M, entonces existe una parte N1 de N, que es equivalente a M’. E. ‘Cuando dos conjuntos M y N no son equivalentes, y existe una parte N1 de N, equivalente con M, entonces ninguna parte de M es equivalente con N’. [485]

§3. La adición y multiplicación de cardinales.

La unión de dos conjuntos M y N, que no tienen elementos en común, se denotó en §1, (2) con (M, N). La llamamos el ‘conjunto unión de M y N’. Si M′ y N′ son otros dos conjuntos sin elementos en común, y se cumple M ∼ M′, N ∼ N′, entonces se observa que también se cumple

(M, N) ∼ (M′, N′).

De lo anterior se sigue que el número cardinal de (M, N) sólo de-pende de los números cardinales M = a y N = b. Esto conduce a la definición de la suma de a y b, si hacemos

(1) a + b = ( , )M N .

Ya que la noción de cardinalidad es independiente del orden de los elementos, se sigue sin dificultad que

(2) a + b = b + a

y para cualesquiera tres números cardinales a, b, c

(3) a + (b + c) = (a + b) + c.

Ahora atendemos la multiplicación.

392 Georg Cantor

Mathesis

Cada elemento m de un conjunto M se puede enlazar con cada elemento n de otro conjunto N para formar un nuevo elemento (m, n); para el conjunto de todos estos enlaces (m, n) introducimos la notación (M . N). Llamamos a este conjunto “el conjunto de enlaces de M y N”. Se tiene entonces (4) (M . N) = (m, n).

Se verifica también que la cardinalidad de (M . N) sólo depende de las cardinalidades M = a, N = b; porque, si se sustituyen los conjuntos M y N por conjuntos equivalentes a ellos

M′ = m′ y N′ = n′

y se consideran m, m′ así como n, n′ como elementos asociados, el conjunto M′ · N′ = (m′, n′)

se puede poner en correspondencia mutua unívoca con (M . N), si se consideran asociados los elementos (m, n) y (m′, n′); así, se cumple que

(5) (M′ . N′) ∼ (M . N).

Ahora definimos el producto a · b mediante la ecuación:

(6) a . b = ( . )M N .

[486] Un conjunto con número cardinal a·b se puede generar a partir de dos conjuntos M y N con números cardinales a y b mediante la siguien-te prescripción: se parte del conjunto N y se sustituye en él cada ele-mento n por un conjunto Mn ∼ M; si se colectan los elementos de todos estos conjuntos Mn en un todo S, entonces se verifica fácilmente que

(7) S ∼ (M . N), en consecuencia, S = a.b.

Pues dada una correspondencia entre los conjuntos equivalentes M y Mn, denotamos con m al elemento de M correspondiente a mn, así que

(8) S = mn,

por lo que se pueden poner en correspondencia recíproca unívoca los con-juntos S y (M . N), relacionando el elemento mn con el elemento (m, n). De nuestras definiciones se siguen fácilmente los teoremas:

(9) a . b = b . a, (10) a . (b . c) = (a . b) . c


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(11) a(b + c) = ab + ac, porque (M . N) ∼ (N . M), (M . (N . P)) ∼ ((M . N) . P), (M . (N ,P)) ∼ ((M . N), (M . P)).

La adición y multiplicación de cardinales están sujetas a las leyes ge-nerales de conmutatividad, asociatividad y distributividad.

§4. Exponenciación de cardinales.

Por una ‘valuación del conjunto N con elementos del conjunto M’ o expresado en forma más simple, por una ‘valuación de N en M’ enten-deremos una ley, mediante la cual cada elemento n de N está asociado a un determinado elemento m de M, donde un mismo elemento de M puede utilizarse repetidamente. El elemento de M asociado a n es en cierto sentido una función unívoca de n y se puede denotar, digamos con f(n); ella se llama ‘función valuación de n’; la valuación correspon-diente de N se denota f(N). [487] Dos valuaciones f1(N) y f2(N) se dicen iguales cuando y sólo cuando para cada elemento n de N se satisface la ecuación

(1) f1(n) = f2(n),

de tal suerte, que si para algún elemento n = n0 no se cumple esta ecua-ción, f1(N) y f2(N) se consideran valuaciones de N distintas. Por ejemplo, si m0 es un elemento particular de M, se puede impo-ner que para toda n

f (n) = m0;

esta ley constituye una valuación particular de N en M. Otro tipo de valuación se obtiene cuando m0 y m1 son dos elementos distintos de M, n0 un elemento de N y se prescribe

f (n0) = m0, f (n) = m1

para toda n que sea distinta de n0. La totalidad de las valuaciones de N en M conforman un conjunto con elementos f(N); llamamos a este conjunto el ‘conjunto de valuacio-nes de N en M’ y lo denotamos por (N |M). Se tiene que

(2) (N | M) = f (N).

Si M ∼ M′ y N ∼ N′, se deduce fácilmente que

394 Georg Cantor

Mathesis

(3) (N | M) ∼ (N′ | M′).

El número cardinal de (N | M) depende sólo de los números cardina-les M = a y N = b; él nos sirve para definir el exponente ab:

(4) ab = ( | )N M .

Para tres conjuntos arbitrarios M, N y P se demuestran con facilidad los teoremas: (5) ((N | M) . (P | M)) ∼ ((N, P) | M), (6) ((P | M) . (P | N)) ∼ ((P | (M . N)), (7) (P | (N | M)) ∼ ((P . N) | M),

de los que, si se establece P = c, por (4) y teniendo en cuenta §3 obtene-mos los teoremas siguientes para números cardinales arbitrarios a, b y c: (8) ab . ac = ab+c (9) ac . bc = (a . b)c (10) (ab)c = ab·c.

[488] Qué tan valiosas y trascendentes son estas fórmulas sobre cardi-nalidades, se reconoce en los siguientes ejemplos: Denotemos con o la cardinalidad del continuo lineal X (es decir, la totalidad X de los números reales x, ≥ 0 y ≤ 1), se deduce sin dificultad que este se puede representar entre otras formas, mediante la ecuación

(11) o = 02ℵ

donde el significado de ℵ0 se aclara en §6. De hecho, según (4), 02ℵ no es otra cosa que la cardinalidad de todas las representaciones

(12) (donde f (ν) = 0 ó 1) de los números x en sistema binario. Notemos que cada número x sólo tiene una representación con excepción de los números

2 1 12vx µ

+= <

que se representa en dos formas, entonces tenemos, si denotamos con sν la totalidad ‘numerable’ de estos, primero

02ℵ = ( , )vs X .

Si de X quitamos algún conjunto ‘numerable’ tν y denotamos el resto con X1, se cumple que

2

(1) (2) ( )... ...2 2 2v

f f f vx = + + + +


III 22 (2007)

X = (tν, X1) = (t2ν−1, t2ν, X1),

(sν, X) = (sν, tν, X1),

t2ν+1 ∼ sν, t2ν ∼ tν, X1 ~ X1, con lo que

X ∼ (sν, X), así que (§1)

02ℵ = X = o.

De (11) se sigue al elevar al cuadrado que (§6, (6))

o · o = 02ℵ · 02ℵ = 0 02ℵ +ℵ = 02ℵ = o

y después de multiplicar repetidamente por o

(13) oν = o,

donde ν es un número cardinal finito. Si se eleva ambos lados de (11) a la potencia ℵ0, se obtiene

0 0 0 0 0(2 ) 2 .ℵ ℵ ℵ ℵ ⋅ℵ= =0

Pero según §6, (8) ℵ0 · ℵ0 = ℵ0, por lo que

(14) 0 .ℵ =0 0

Las fórmulas (13) y (14) no tienen otro significado que: “Tanto el con-tinuo n-dimensional como el ℵ0-dimensional tienen la cardinalidad del continuo unidimensional”. Así que todo el contenido del trabajo en el volumen 84 del Crelle’s Journal, pág. 242 se deriva de las fórmulas elementales del cálculo de cardinalidades en forma puramente alge-braica. [489]

§5. Los números cardinales finitos

Primero se debe mostrar como los principios expuestos, sobre los cua-les se basará después la teoría de los números cardinales infinitos o transfinitos, también proporcionan la fundamentación más corta, natural y formal de la teoría de números finitos. Un único objeto e0, cuando lo consideramos como un conjunto E0 = e0, corresponde al número cardinal que llamamos ‘uno’ y denotamos con 1; tenemos (1) 1 = 0E .

396 Georg Cantor

Mathesis

Ahora se une con E0 otro objeto e1, el conjunto unión se llama E1, de tal suerte que (2) E1 = (E0, e1) = (e0, e1).

El número cardinal de E1 se llama ‘dos’ y se denota con 2: (3) 2 = 1E . Mediante la adición de nuevos elementos obtenemos la sucesión no acotada de conjuntos

E2 = (E1, e2), E3 = (E2, e3), . . . ,

que nos proporciona los restantes, denotados 3, 4, 5, . . . así llamados números cardinales finitos. El uso de los mismos números como índices se justifica porque un número se usa con este significado una vez que se ha introducido como número cardinal. Tenemos, si por ν − 1 se entiende el número que antecede inmediatamente a ν en la sucesión que,

(4) ν = 1vE − ,

(5) Eν = (Eν−1, eν) = (e0, e1, . . . , eν).

De la definición de suma en §3 se sigue que

(6) vE = 1vE − + 1,

es decir, cada número cardinal finito (excepto 1) es la adición del inme-diato previo y el 1. De nuestra disertación resaltan los siguientes tres teoremas: A. “Los miembros de la sucesión no acotada de números cardinales finitos

1, 2, 3, . . . ν, . . .

son distintos entre sí (es decir, la condición de equivalencia planteada en §1 no se satisface entre los conjuntos correspondientes)”. [490] B. “Cada uno de estos números ν es mayor que sus predecesores y menor que sus sucesores (§2).” C. “No existe un número cardinal que esté, por su magnitud, entre dos consecutivos ν y ν + 1 (§2)”. La demostración de estos teoremas se basa en los siguientes teoremas D y E, que primero se deben justificar. D. “Si M es un conjunto con la propiedad de que ninguno de sus subconjuntos tenga la misma cardinalidad que él, entonces también el conjunto (M, e), que se obtiene de M mediante la adición de un único elemento nuevo e, tiene la propiedad de que ninguno de sus subconjun-tos tiene la misma cardinalidad que él.”


III 22 (2007)

E. “Si N es un conjunto con cardinalidad finita ν, N1 un subconjun-to de N, entonces el número cardinal de N1 es igual a alguno de los números previos 1, 2, 3, . . . ν − 1.” Demostración de D. Supongamos que existe un conjunto (M, e), uno de cuyos subconjuntos, llamémosle N, tiene la misma cardinalidad que él, entonces se distinguen dos casos, y ambos conducen a una contra-dicción: 1) El conjunto N contiene e como elemento; sea N = (M1, e); enton-ces M1 es un subconjunto de M, porque N es un subconjunto de (M, e). Como vimos en §1, la correspondencia supuesta entre los conjuntos (M, e) y (M1, e) se puede modificar de tal forma que el elemento e de uno corresponde al mismo elemento e del otro; en consecuencia, M y M1 se pueden hacer corresponder en forma unívoca. Pero esto contradice la hipótesis de que M y su subconjunto M1 no pueden tener la misma car-dinalidad. 2) El subconjunto N de (M, e) no contiene a e como elemento, en-tonces N es M o un subconjunto de M. Respecto a la correspondencia entre (M, e) y N, supongamos que el elemento e del primero correspon-de al elemento f del último. Sea N = (M1, f ); entonces M estará en mu-tua correspondencia unívoca con M1; pero M1 es, como subconjunto de N, un subconjunto de M. Tendríamos entonces también aquí un subcon-junto equivalente con M, contrario a la hipótesis. Demostración de E. Se supone la validez del teorema hasta un cierto ν y se deducirá, como a continuación, la validez para el sucesor ν + 1. Como conjunto con número cardinal ν + 1 se coloca el conjunto Eν = (e0, e1, . . . eν); si el teorema es correcto para éste, entonces sin más de (§1) se deduce su validez para cualquier otro conjunto con el mismo número cardinal ν + 1. Sea E′ un subconjunto de Eν: distinguimos los siguientes casos: [491] 1) E′ no contiene a eν como elemento, entonces E′ es Eν−1 o una parte de Eν−1, por lo que tiene como número cardinal ν o alguno de los números 1, 2, 3, . . . ν − 1, porque hemos supuesto correcto nuestro teorema para el conjunto Eν−1 con número cardinal ν. 2) E′ consiste en únicamente el elemento eν, entonces 'E = 1. 3) E′ consiste en eν y un conjunto E′′, de tal forma que E′ = (E′′, eν). E′′ es una parte de Eν−1, por lo que tiene, según hipótesis, como número cardinal alguno de los números 1, 2, 3, . . . ν − 1. Ahora, se cumple 'E = ''E + 1, por lo que E′ tiene como número cardinal alguno de los números 2, 3, . . . ν.

398 Georg Cantor

Mathesis

Demostración de A. Cada uno de los conjuntos que denotamos Eν tiene la propiedad de que no es equivalente a ninguno de sus subcon-juntos. Pues si se supone que que esto se cumple para un cierto ν, se deduce del Teorema D que también se cumple para el sucesor ν + 1. Para ν = 1 se reconoce de inmediato que el conjunto E1 = (e0, e1) no es equivalente a ninguno de sus subconjuntos que en este caso son (e0) y (e1). Consideremos ahora dos números µ y ν arbitrarios de la sucesión 1, 2, 3, . . . donde µ aparece primero, ν es posterior, entonces Eµ−1 es un sub-conjunto de Eν−1; por lo tanto Eµ−1 y Eν−1 no son equivalentes; los núme-ros cardinales asociados µ = 1Eµ − y ν = 1vE − no son entonces iguales. Demostración de B. Si de los números cardinales finitos µ y ν el primero antecede al último, entonces µ < ν. Pues si consideramos los conjuntos M = Eµ−1 y N = Eν−1, entonces se satisfacen para ellos las dos condiciones en §2 para que se satisfaga M < N . La condición 1) se cumple porque, según el Teorema E, un subconjunto de M = Eµ−1 tiene como número cardinal uno sólo de los números 1, 2, 3, . . . µ − 1, por lo que no puede ser equivalente al conjunto N = Eν−1, según el Teorema A. La condición 2) se satisface pues aquí M mismo es un subconjunto de de N. Demostración de C. Sea a un número cardinal menor que ν + 1. Por la condición 2) de §2 existe un subconjunto de Eν con número cardinal a. Según el Teorema E, para un subconjunto de Eν aparece sólo uno de los números 1, 2, 3, . . . ν como número cardinal. Así que a es igual a uno de los números 1, 2, 3, . . . ν. De acuerdo con el Teorema B ninguno de estos es mayor que ν. Por consiguiente, no existe número cardinal a que sea menor que ν + 1 y mayor que ν. Posteriormente será importante el siguiente Teorema: F. “Si K es un conjunto de distintos números cardinales finitos, entonces entre ellos existe uno κ1 que es menor que el resto, es decir, es el menor de todos ellos”. [492] Demostración. El conjunto K contiene al número 1, entonces este es el menor, κ1 = 1; o no lo contiene. En el último caso sea J el conjunto de todos aquellos números cardinales de la sucesión 1, 2, 3, . . . que son menores a los que aparecen en K. Si un número ν pertenece a J, enton-ces también pertenece a J todos los números < ν. Entonces J debe tener un elemento ν1 tal que ν1 + 1 y, por consiguiente todos los mayores que él, no pertenecen a J, pues en caso contrario J contendría la totalidad de todos los números finitos, mientras que los


III 22 (2007)

pertenecientes a K no están en J. El conjunto J no es otra cosa que el segmento (1, 2, 3, . . . ν1). El número ν1 + 1 = κ1 es necesariamente un elemento de K menor que el resto. De F se deduce que: G. “Cada conjunto K = κ de números cardinales finitos distintos se puede representar en forma de sucesión:

K = (κ1, κ2, κ3, . . . ) con

κ1 < κ2 < κ3 < · · · ”

§6. El menor número cardinal transfinito Álef cero

Los conjuntos con número cardinal finito se llaman ‘conjuntos finitos’, todos los demás los llamaremos ‘conjuntos transfinitos’ y los números cardinales asociados a ellos ‘números cardinales transfinitos’. La totalidad de los números cardinales finitos ν nos proporciona el ejemplo más cercano de un conjunto transfinito; al número cardinal asocia-do a él lo llamamos (§1) ‘Álef cero’, en símbolos ℵ0, así que establecemos (1) ℵ0 = v .

Que ℵ0 es un número transfinito, es decir, que no es igual a ningún número finito µ, se sigue del hecho simple, de que si se añade un nuevo elemento e0 al conjunto ν, el conjunto unión (ν, e0) es equivalente al que lo originó ν. Porque se puede pensar una relación recíproca unívoca entre ambos, donde el elemento e0 se asocia al elemento 1 del segundo y el elemento ν del primero al elemento ν + 1 del segundo. Según §3 tenemos entonces

(2) ℵ0 + 1 = ℵ0.

En §5 se demostró que (para µ finito) µ + 1 siempre es distinto de µ, por lo que ℵ0 no es igual a ningún número finito µ. El número ℵ0 es mayor que cualquier número finito µ:

(3) ℵ0 > µ.

[493] Esto se sigue, considerando §3, de que µ = (1, 2, 3, . . ., µ) , nin-gún subconjunto de (1, 2, 3, . . . µ) es equivalente al conjunto ν y (1, 2, 3, . . ., µ) es él mismo un subconjunto de ν. Por otro lado ℵ0 es el menor número cardinal transfinito. Si a es un número cardinal transfinito distinto de ℵ0, entonces se cumple

400 Georg Cantor

Mathesis

(4) ℵ0 < a.

Esto se basa en el siguiente teorema: A. ‘Todo conjunto transfinito T tiene un subconjunto con número car-dinal ℵ0’. Demostración. Si se ha eliminado, mediante algúna regla, una canti-dad finita de elementos t1, t2, . . . tν−1 de T, siempre queda la posibilidad de eliminar otro elemento tν. El conjunto tν, donde ν representa un número cardinal finito arbitrario, es un subconjunto de T con número cardinal ℵ0, pues tν ∼ ν (§1). B. ‘Si S es un conjunto transfinito con número cardinal ℵ0, S1 es un subconjunto transfinito de S, entonces también se cumple 1S = ℵ0’. Demostración. Supongamos que S ∼ ν; denotemos con sν al ele-mento de S que corresponde al elemento ν del conjunto ν respecto a la correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos, así que

S = sν.

El subconjunto S1 de S consiste en ciertos elementos sℵ de S, y la totalidad de los números ℵ conforma un subconjunto transfinito K del conjunto ν. Según el Teorema G, §5 el conjunto K se puede represen-tar como la sucesión

K = κ v, donde

κ v < κ v + 1, por lo que también tenemos

S1 = V

sκ .

De lo anterior se deduce que S1 ∼ S, por lo que 1S = ℵ0. De A y B se obtiene la fórmula (4) en vista de §2. De (2) concluimos, mediante la adición de 1 en ambos lados, que

ℵ0 + 2 = ℵ0 + 1 = ℵ0,

y si repetimos esta observación, (5) ℵ0 + ν = ℵ0. Pero también tenemos

(6) ℵ0 + ℵ0 = ℵ0. [494] Pues según (1) de §3, ℵ0 + ℵ0 es el número cardinal de ( , )v va b , porque


III 22 (2007)

va = vb = ℵ0.

Ahora, es evidente que se cumple

ν = (2ν − 1, 2ν),

(2ν − 1, 2ν) ∼ (aν, bν), por lo que

( , )v va b = v = ℵ0.

La Ecuación (6) se puede escribir también como:

ℵ0 · 2 = ℵ0,

y si añadimos repetidamente ℵ0 de ambos lados se encuentra que

(7) ℵ0 · ν = ν · ℵ0 = ℵ0. Pero también tenemos

(8) ℵ0 · ℵ0 = ℵ0.

Demostración. Según (6) de §3, ℵ0 · ℵ0 es el número cardinal del conjunto enlace

(µ, ν)

donde µ y ν son números cardinales finitos independientes entre sí. Si también λ representa un número cardinal finito arbitrario (de tal forma que λ, µ y ν son representaciones distintas de la misma totalidad de los números cardinales finitos), entonces debemos mostrar que

(µ, ν) ∼ λ.

Denotemos µ + ν con ρ, entonces ρ toma la totalidad de valores numé-ricos 2, 3, 4, . . . , y existen en total ρ −1 elementos (µ, ν), para los cua-les µ + ν = ρ, a saber,

(1, ρ − 1), (2, ρ − 2), . . ., (ρ − 1, 1). En esta sucesión se piensa primero que se pone un elemento (1, 1) para el cual ρ = 2, entonces ambos elementos para los cuales ρ = 3, después los tres elementos para los que ρ = 4, etcétera, así se obtiene la totalidad de elementos (µ, ν) en forma de una sucesión simple:

(1, 1); (1, 2), (2, 1); (1, 3), (2, 2), (3, 1); (1, 4), (2, 3), . . . ,

y de hecho, aparece en la posición λ, como se verifica fácilmente, el elemento (µ, ν), donde

402 Georg Cantor

Mathesis

(9) ( 1)( 2)2

v vµ µλ µ + − + −= +

λ toma cada valor numérico 1, 2, 3, . . . una vez; según (9) se origina una relación unívoca recíproca entre los conjuntos λ y (µ, ν). Si se multiplica ambos lados de la ecuación (8) por ℵ0, se obtiene [495]

3 20 0 0ℵ = ℵ = ℵ

y mediante multiplicación repetida por ℵ0 logramos la ecuación, válida para cada número cardinal finito ν:

(10) 0 0vℵ = ℵ

Los Teoremas E y A de §5 conducen a los teoremas sobre conjuntos finitos: C. “Todo conjunto finito E tiene la propiedad de que no es equiva-lente a ninguno de sus subconjuntos”. Este teorema se contrapone fuertemente al siguiente para conjuntos transfinitos: D. “Todo conjunto transfinito T tiene la propiedad de que contiene un subconjunto T1 equivalente a él.” Demostración. Según el Teorema A de este parágrafo existe un subconjunto S = tν de T con número cardinal ℵ0. Sea T = (S, U), de tal suerte que U consiste en los elementos de T distintos de los tν. Hace-mos S1 = tν+1, T1 = (S1, U), entonces T1 es un subconjunto de T, de hecho se obtiene eliminando el elemento t1 de T. Puesto que S ∼ S1 (teorema B de este parágrafo) y U ∼ U, entonces también (§1) T ∼ T1. En estos Teoremas C y D aparece la diferencia esencial entre conjuntos finitos e infinitos en la forma más nítida, que ya fue mencionada en el año 1877 en el Volumen 84 del Crelle’s Journal pág. 242. Una vez que hemos introducido el menor de los números cardinales transfinitos ℵ0 y que hemos deducido sus propiedades más inmediatas, surge la pregunta sobre los números cardinales mayores y su generación a partir de ℵ0. Se debe mostrar que los números cardinales transfinitos se pueden ordenar de acuerdo a su magnitud y que con este orden, como en el caso de los finitos, conforman un “conjunto bien ordenado” en sentido amplio. Después de ℵ0 aparece, de acuerdo a una regla determinada, el siguiente número cardinal ℵ1, después de éste aparece, según la misma regla, el siguiente más grande ℵ2, y así sucesivamente. Pero incluso la sucesión no acotada de números cardinales


III 22 (2007)

ℵ0, ℵ1, ℵ2, . . . , ℵv, . . .

no abarca a todos los números cardinales transfinitos. Se demostrará la existencia de un número cardinal, que denotaremos con ℵω, que se identifica como el más inmediato mayor a todos los ℵν; de él conti-nuamos, como en el paso de ℵ0 a ℵ1, a uno mayor inmediato ℵω+1, y así se continúa sin fin. [496] Para cada número cardinal transfinito a existe un inmediato mayor, de acuerdo a una única regla; pero también para cada conjunto creciente no acotado y bien ordenado a de números cardinales trans-finitos a existe un número cardinal inmediato mayor determinado en forma uniforme. Para formalizar este resultado encontrado en el año 1882 y publica-do en el escrito “Fundamentos de una teoría general de variedades”, así como en el Volumen 21 de Math. Annalen nos serviremos de los así llamados “tipos ordinales” cuya teoría debemos desarrollar en los si-guientes parágrafos.

§7. El tipo ordinal de los conjuntos simplemente ordenados

Llamamos a un conjunto M ‘simplemente ordenado’, si se establece entre sus elementos m una cierta ‘jerarquía’, respecto a la cual, para cualesquiera dos elementos m1 y m2, uno tiene ‘menor’ y el otro tiene ‘mayor’ jerarquía y de tal forma que para cualesquiera tres elementos m1, m2 y m3, si digamos m1 tiene menor jerarquía que m2 y éste menor que m3, entonces siempre se cumple que m1 tiene menor jerarquía que m3. La relación entre dos elementos m1 y m2, respecto a la cual m1 tiene la menor, m2 la mayor jerarquía, se expresa mediante la fórmula

(1) m1 ≺ m2, m2 m1.

Así por ejemplo, en una recta infinita cada conjunto definido de puntos P es un conjunto simplemente ordenado, si a cada dos puntos arbitra-rios p1 y p2 se le otorga menor jerarquía a aquel, cuya coordenada (fijando un origen y una dirección positiva) sea la menor.

Es evidente que un conjunto se puede ‘ordenar simplemente’ en muy distintas maneras. Consideremos como ejemplo el conjunto R de todos los números racionales positivos p

q (donde p y q son primos relativos), mayores que cero pero menores que 1, entonces se tiene una jerarquía ‘natural’ de acuerdo a su magnitud. Pero también se pueden ordenar (y con este nuevo orden denotaremos al conjunto con R0) de tal forma que dos números

404 Georg Cantor

Mathesis

1 2

1 2

p py

q q

para los cuales las sumas p1 + q1 y p2 + q2 toman valores diferentes, el número que obtiene el menor rango jerárquico es aquel para el cual la suma respectiva es la menor, y que cuando p1 + q1 = p2 + q2, entonces el menor es, el menor de ambos racionales. [497] Puesto que un valor de p + q corresponde a solamente una canti-dad finita de números racionales distintos p

q , en esta jerarquía nuestro conjunto tiene claramente la forma: donde

rν < rν+1.

Siempre que hablemos de un conjunto M ordenado simplemente, pensa-remos que subsiste una jerarquía bien determinada en el sentido recién definido entre sus elementos. Existen conjuntos 2-, 3-, ν, a-ordenados, pero de éstos prescindire-mos por el momento en nuestra investigación. Por ello utilizamos la abreviación ‘conjunto ordenado’, pensando en realidad en un ‘conjunto simplemente ordenado’. A cada conjunto ordenado M se le asocia un ‘tipo ordinal’ determi-nado o, en forma abreviada, un determinado ‘tipo’, que denotamos como (2) M ;

ésta es la noción general, que se obtiene de M, prescindiendo de la naturaleza de los elementos m, pero considerando la jerarquía entre ellos. Mas aún, el tipo ordinal M es él mismo un conjunto ordenado, cuyos elementos son unidades, que adquieren la misma jerarquía que sus correspondientes elementos en M, de los cuales se obtuvieron me-diante abstracción. Llamamos a dos conjuntos ordenados M y N ‘similares’, cuando se pueden poner en correspondencia recíproca unívoca y dados dos ele-mentos m1, m2 de M y sus correspondientes elementos n1, n2 en N, la relación jerárquica entre m1 y m2 en M es la misma que entre n1 y n2 en N. A tal correspondencia entre conjuntos similares la llamamos un ‘aplicación’ entre ellos. Así corresponde cada subconjunto M1 de M (que es claramente también un conjunto ordenado) a un subconjunto similar N1 de N.

0 1 21 1 1 2 1 1 2 3( , ,..., ,...) , , , , , , , ,... ,2 3 4 3 5 6 5 4vR r r r ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠


III 22 (2007)

La similitud de dos conjuntos ordenados M y N la expresamos mediante la fórmula:

(3) M N .

Cada conjunto ordenado es similar a sí mismo. Si dos conjuntos ordenados son similares a un tercero, son simila-res entre sí. [498] Mediante una sencilla reflexión concluimos que dos conjuntos ordenados tienen el mismo tipo ordinal cuando y sólo cuando son simi-lares, de tal forma que las fórmulas

(4) ,M N M N=

son consecuencia una de la otra. Si se abstrae en un tipo ordinal M también de la jerarquía entre sus elementos, entonces se concluye que (§1) el número cardinal M del conjunto ordenado M es igual al número cardinal del tipo ordinal M . De M = N siempre se deduce que M = N , es decir, los conjun-tos ordenados del mismo tipo siempre tienen la misma cardinalidad; la similitud entre conjuntos ordenados siempre da lugar a su equivalencia. Por el contrario, dos conjuntos ordenados pueden ser equivalentes, sin ser similares. Para denotar los tipos ordinales recurrimos a las letras minúsculas del alfabeto griego. Si α es un tipo ordinal, entonces entenderemos por (5) α el número cardinal asociado. Los tipos ordinales de conjuntos finitos simplemente ordenados no ofrecen ningún interés especial. Pues es fácil comprobar, que para un número cardinal finito ν todos los conjuntos simplemente ordenados de esa cardinalidad son similares entre sí, así que tienen el mismo tipo. Los tipos ordinales finitos simples se generan por las mismas reglas que los números cardinales finitos, y se permite usar los mismos símbolos 1, 2, 3, . . . , ν, . . . , aunque la noción sea distinta a la de número cardinal. Muy distinto es el comportamiento de los tipos ordinales transfinitos; pues para un mismo número cardinal transfinito existe una cantidad inu-merable de tipos distintos de conjuntos simplemente ordenados de esa cardinalidad, que al reunirlos constituyen una ‘clase de tipos’ particular. Cada una de estas clases de tipos está determinada entonces por un número cardinal transfinito a, que es común a cada uno de los tipos per-tenecientes a la clase; por ello abreviamos y le llamamos clase tipo [a].

406 Georg Cantor

Mathesis

La primera de ellas, que se nos presenta en forma natural y cuyo análisis completo será la siguiente meta de la teoría de conjuntos trans-finitos, es la clase tipo [ℵ0], que comprende todos los tipos con el me-nor número cardinal transfinito ℵ0. [499] Debemos distinguir entre el número cardinal a, que determina a la clases tipo [a] y el número cardinal a′, que está determinado a su vez por la clase tipo [a]; él es el número cardinal que (§1) surge de la clase tipo [a], en tanto que ésta represente un conjunto bien definido, cuyos elementos son los tipos α con número cardinal a. Después veremos que a′ es distinta de a y de hecho, siempre es mayor que a. Si invertimos la jerarquía entre los elementos de un conjunto orde-nado M, de tal forma que en todas partes remplazamos un ‘menor’ por un ‘mayor’ y cada ‘mayor’ por un ‘menor’, obtenemos otra vez un conjunto ordenado que denotamos con: (6) *M y lo llamamos el ‘inverso’ de M. El tipo ordinal de *M lo denotamos, cuando α = M , como (7) *α Puede ocurrir que *α = α, como por ejemplo en los tipos ordinales fini-tos o con el tipo del conjunto R de todos los números racionales, que son mayores que 0 y menores que 1, con su jerarquía natural, que con la notación η investigaremos. Notamos además que dos conjuntos ordenados similares se pueden aplicar entre sí ya sea en una sola forma o en varias formas; en el pri-mer caso el tipo asociado es similar a sí mismo en una sola forma, en el otro caso en varias formas. Entonces no sólo los tipos finitos, sino también los tipos de ‘conjun-tos bien ordenados’ transfinitos, que nos ocuparán después y que llama-remos “números ordinales transfinitos”, son del tipo que permiten una sola aplicación sobre sí mismos. Por el contrario, el tipo η es similar a sí mismo en una cantidad inumerable de formas. Queremos aclarar esta diferencia con dos ejemplos sencillos. Por ω entendemos el tipo de un conjunto bien ordenado

(e1, e2, . . . , eν, . . . ), en el que

eν ≺ eν+1

y donde ν recorre todos los números cardinales finitos. Otro conjunto bien ordenado

( f1, f2, . . . , fν, . . . )


III 22 (2007)

con la condición fν ≺ fν+1

con tipo ω puede ser ‘aplicado’ con el primero sólo cuando eν y fν se corresponden. Pues para respetar jerarquías el primer elemento e1 debe corresponder a f1 respecto a la aplicación, el segundo e2 que jerárqui-camente sigue a e1 debe corresponder a f2 que es el sucesor de f1, etcé-tera. [500] Cualquier otra correspondencia unívoca recíproca entre ambos conjuntos equivalentes eν y fν no es una ‘aplicación’, en el sentido que hemos definido antes para la teoría de tipos. Tomemos, por otro lado, un conjunto ordenado de la forma

eν′,

donde ν′ recorre todos los números enteros positivos y negativos con excepción del cero y donde se cumple

eν′ ≺ eν′+1

Este conjunto no tiene, jerárquicamente, menor ni mayor elemento. Su tipo es, según la definición de suma dada en §8,

*ω + ω.

Él es similar a sí mismo en una cantidad inumerable de formas. Pues consideremos un conjunto del mismo tipo

fν′, donde

fν′ ≺ fν′+1,

entonces se pueden corresponder ambos conjuntos de tal forma que, si ,0v es uno de los números ν′, al elemento eν′ del primer conjunto le corres-

ponde el elemento , ,0v v

f+

del segundo. De la arbitrariedad de 0

,v se sigue que existen una cantidad infinita de tales aplicaciones. La noción recién desarrollada de ‘tipo ordinal’ comprende, cuando se traslada en forma similar a conjuntos ordenados de orden superior, junto con la noción introducida en §1 de número ‘cardinal o cardinali-dad’, todo lo ‘enumerable’ que sea imaginable y, en este sentido, no permite mayores generalizaciones. No contiene nada arbitrario, sino que es la generalización natural de la noción de contar. Es importante resaltar que el criterio de igualdad (4) se sigue necesariamente de la noción de tipo ordinal, por lo que no permite ninguna enmienda. El menosprecio de esta situación es la causa principal de graves errores,

408 Georg Cantor

Mathesis

que se encuentran en la obra del Sr. Veronese Grundzüge der Geome-trie (traducida al alemán por A. Schepp, Leipzig 1894). [501] En la pág. 30 se define la “cantidad o número de un grupo orde-nado” totalmente en coincidencia con lo que nosotros hemos llamado el “tipo ordinal de un conjunto simplemente ordenado”. (Zur Lehre von Transfiniten, Halle 1890, págs. 68-75, Reproducción del Zeitschrifft f. Philos. u. philos. Kritik, del año 1887). Al criterio de igualdad el Sr. V. considera que debe añadirle un suplemento. El dice en la pág. 31: “Números, cuyas unidades se corres-ponden unívocamente y en el mismo orden y ninguno de los cuales es igual a una parte del otro, son iguales”.1 Esta definición de igualdad da lugar a un círculo vicioso, por lo que conduce a un absurdo. ¿Qué quiere decir en el suplemento “no ser igual a una parte del otro”? Para responder a esta pregunta, se debe saber de antemano cuándo dos números son o no iguales. Así que su definición de igualdad (sin tener en cuenta su arbitrariedad) presupone una definición de igualdad que a su vez presupone una definición de igualdad, para la cual se debe saber de antemano que es igual y distinto, etcétera, hasta el infini-to. Una vez que el Sr. V. ha dado libremente en tal forma el nada su-perfluo fundamento para la comparación de números, no debe sorpren-der la falta de formalidad en la que él a continuación opera con sus números pseudotransfinitos y les atribuye a estos últimos propiedades que por razones simples no pueden poseer, porque ellos, no pueden existir (exceptuando en el papel), en la forma que él pretende. También con esto se explica la similitud que tiene su construcción de los núme-ros con el trabajo realmente absurdo “unendendliche Zahlen” de Fonte-nelle que se presenta en su Géometrie de L’Infini, Paris, 1727. Hace poco el Sr. W. Killing ha expresado, por suerte, sus objeciones contra los fundamentos del Libro de Veronese en el Index lectionum de la Academia en Münster, (1895-1896).2

1. La edición original en italiano (pág. 27) dice literalmente: “Numeri le unità dei quali si

corrispondono univocamente e nel medesimo ordine, e di cui l’uno non è parte o uguale ad una parte dell’ altro, sono uguali.”

2. Veronese contestó a esto en el Math Ann, vol XLVII, 1897, pp. 423-432. Cf. Killing, ibid, vol. XLVIII, 1897, pp. 425-432.


III 22 (2007)

§8. Suma y multiplicación de tipos ordinales

El conjunto unión (M, N) de dos conjuntos M y N se puede ver como un conjunto ordenado cuando ambos son ordenados, dejando la jerarquía entre elementos de M igual, lo mismo que la jerarquía entre los elemen-tos de N, y estableciendo que los elementos de M tienen menor jerarquía que los de N. Si M′ y N′ son otros dos conjuntos ordenados, M M′, [502] N N′, entonces también se cumple (M, N) (M′, N′); el tipo ordinal de (M, N) depende entonces tan sólo de los tipos ordinales M = α, N = β; así, definimos (1) α + β = ( , ).M N

En la suma α + β, α se llama el ‘Augendus’, mientras que β el ‘Ad-dendus’. Para tres tipos de ordinales arbitrarios se demuestra fácilmente la ley asociativa (2) α + (β + γ) = (α + β) + γ.

Por el contrario, la ley conmutativa no se cumple en general respec-to a la adición de tipos. Esto se observa en el siguiente ejemplo senci-llo: Si ω es el tipo, ya mencionado en §7, del conjunto bien ordenado

E = (e1, e2, . . . , eν, . . . ), eν ≺ eν+1,

entonces 1 + ω no es igual a ω + 1. Pues si f es un elemento nuevo, se tiene según (1)

1 + ω = ( ), ,f E

ω + 1 = ( ), E f . El conjunto

(f , E) = (f, e1, e2, . . . , eν, . . . )

es similar al conjunto E, por consiguiente

1 + ω = ω.

Por el contrario, los conjuntos E y (E, f ) no son similares, pues el primero no tiene mayor elemento, respecto a su jerarquía, mientras que el último conjunto tiene al elemento f como el mayor. Por lo tanto, ω + 1 es distinto de ω = 1 + ω. A partir de dos conjuntos ordenados M y N con tipos α y β se puede formar un conjunto ordenado S de haciendo que en N cada elemento n

410 Georg Cantor

Mathesis

sea sustituido por un conjunto ordenado Mn con el mismo tipo α que M, por lo que (3) nM = α,

y la jerarquía en (4) S = Mn se determina de acuerdo a:

1) dos elementos de S, que pertenezcan al mismo conjunto Mn, con-servan en S la jerarquía que tenian en Mn,

2) dos elementos de S que pertenezcan a dos conjuntos 1nM y 2nM distintos, obtienen en S la jerarquía que tenian n1 y n2 en N. El tipo ordinal de S depende, como se verifica fácilmente, sólo de los tipos α y β; definimos: (5) α · β = S .

[503] En este producto, α se llama el ‘multiplicandus’ y β el ‘multipli-cator’ Después de fijar alguna aplicación de M sobre Mn sea mn el elemen-to de Mn correspondiente al elemento m de M. Podemos entonces escribir también

(6) S = mn.

Consideremos un tercer conjunto ordenado P = p con tipo ordinal P = γ, entonces según (5)

α · β = nm , β · γ = pn , (α · β) · γ = ( ) n pm ,

α · (β · γ) = ( ) pnm .

Ambos conjuntos ordenados ( ) n pm y ( ) pnm son similares y se aplican uno en el otro, si asociamos sus elementos ( ) n pm y ( )pnm . Se cumple entonces la ley asociativa para tres tipos α, β, γ

(7) (α · β) · γ = α · (β · γ). De (1) y (5) se sigue también fácilmente la ley distributiva

(8) α · (β + γ) = α · β + α · γ,

pero sólo en esta forma, donde el factor con dos elementos desempeña el papel del multiplicador. Por el contrario, entre tipos la ley conmutativa tiene tan poca vali-dez en la multiplicación como en la adición. Por ejemplo, 2 ω y ω . 2 son tipos distintos; pues por (5)

2 . ω = 1 1 2 2( , ; , ;... , ;...)v ve f e f e f = ω;


III 22 (2007)

mientras que

ω . 2 = 1 1 1 2( , ,..., ...; , ,..., ,...)v ve e e f f f

es claramente distinto de ω. Si se comparan las definiciones dadas en §3 para las operaciones elementales entre números cardinales con las aquí presentadas para tipos ordinales, se reconoce fácilmente, que el número cardinal de la suma de dos tipos ordinales es igual a la suma de los números cardina-les de cada tipo y que el número cardinal del producto de dos tipos es igual al producto de los números cardinales de cada tipo. Cada ecuación entre tipos ordinales que involucre operaciones ele-mentales sigue siendo válida, si se sustituyen todos los tipos por sus números cardinales. [504]

§9. El tipo ordinal η del conjunto R de los números racionales mayores que cero y menores que 1 con su orden natural.

Por R entendemos, como en §7, el sistema de los números racionales (su-poniendo p y q sin factores en común), > 0 y < 1, con su orden natural, donde la magnitud del número determina su jerarquía. El tipo ordinal de R lo denotamos con η:

(1) η = R .

Allí consideramos el mismo conjunto con otro orden, el que llama-mos R0 y en primer lugar se toma en cuenta la magnitud de p + q, en segundo lugar, para números racionales, para los cuales p + q tiene el mismo valor, la jerarquía la determina la magnitud de . R0 tiene la forma de un conjunto bien ordenado de tipo ω:

(2) R0 = (r1, r2, . . . , rν, . . . ), donde rν ≺ rν+1,

(3) R 0 = ω.

R y R0 tienen el mismo número cardinal, pues sólo se distinguen por la jerarquía entre sus elementos, y como es evidente que 0R = ℵ0, enton-ces también se cumple (4) R = η = ℵ0.

Por lo tanto, el tipo η pertenece a la clase de tipos [ℵ0]. Seguidamente hacemos notar que en R no existen, relativos a su orden, un mayor o un menor elemento.

pq

pq

412 Georg Cantor

Mathesis

En tercer lugar, R tiene la propiedad de que entre cualesquiera dos de sus elementos según su orden, se encuentra otro; esta característica la expresamos con las siguientes palabras: R es ‘denso en todas partes’. Ahora se debe mostrar que estas tres propiedades caracterizan al tipo η de R, por lo que se cumple el siguiente teorema: “Si se tiene un conjunto simplemente ordenado M que satisface las tres condiciones: 1) M = ℵ0, 2) M no tiene, de acuerdo a su orden, un menor o un mayor elemento, 3) M es denso en todas partes, entonces el tipo ordinal de M es igual a η:

M = η.”

Demostración. Por la condición 1) se puede hacer de M un conjunto bien ordenado con tipo ω; una vez que se ha hecho esto, denotemos M con M0 y hacemos

(5) M0 = (m1, m2, . . . ,mν, . . . )

Ahora debemos mostrar que

(6) M R.

Es decir, se debe demostrar que se puede aplicar M sobre R de tal for-ma que la jerarquía entre dos elementos en M es la misma que entre los correspondientes elementos en R. Supongamos que el elemento r1 en R corresponde al elemento m1 en M. r2 guarda una determinada jerarquía respecto a r1 en R; por la condi-ción 2) existen una cantidad infinita de elementos mν de M, que guardan la misma jerarquía respecto a m1 en M que r2 respecto a r1 en R; de entre ellos escogemos aquel que en en M0 tenga el índice menor, diga-mos 2lm , y asociémoslo con r2. r3 tiene en R una determinada relación de orden con r1 y r2; según las condiciones 2) y 3) existe una cantidad infinita de elementos mν en M que guardan la misma relación de orden con m1 y 2lm que la que guardan r3 con r1 y r2 en R; escogemos aquel que tenga el menor índice en M0, digamos

3lm , y lo asociamos con r3. Continuamos este proceso según estas prescripciones; si a los ν elementos de R

r1, r 2, r 3, . . . , rν

se les ha asociado los elementos

2 31, , ,...,l l l vm m m m


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de M, que en M guardan la misma relación de orden entre sí que sus correspondientes en R, entonces el elemento rν+1 de R se asocia con el elemento con el menor índice mν+1 de M, que tenga la misma relación jerárquica respecto a

2 31, , ,...,l l l vm m m m

en M que la que tiene rν+1 con r1, r 2, . . . , rν en R. En esta forma hemos asociado todos los elementos rν de R con ele-mentos lvm de M, y los elementos lvm tienen en M la misma relación de orden que sus correspondientes elementos rν en R. Aún se debe mostrar que los elementos lvm comprenden a todos los elementos mν de M o, lo que es lo mismo, que la sucesión

1, ι2, ι3, . . . , ιν, . . .

[506] es simplemente una permutación de la sucesión

1, 2, 3, . . . , ν, . . .

La demostración se efectua mediante inducción completa, mostran-do que si los elementos m1, m 2, . . . , mν aparecen en la permutación, también aparece el elemento siguiente mν+1. Sea λ suficientemente grande para que entre los elementos

2 31, , ,...,l l lm m m m λ

aparezcan los elementos m1, m2, . . . , mν.

(que por hipótesis aparecen en la permutación). Puede ocurrir que entre ellos se encuentre mν+1; entonces aparece mν+1 en la aplicación. Si en cambio, no aparece mν+1 entre los elementos

2 31, , ,...,l l lm m m m λ ,

entonces mν+1 guarda una determinada relación jerárquica en M respec-to estos elementos; la misma relación se presenta entre una cantidad infinita de elementos en R con r1, r2, . . . , rλ, y entre ellos sea rλ+σ el que tiene el menor índice en R0. Entonces, como se verifica fácilmente, mν+1 tiene la misma jerarquía respecto a

12 31, , ,...,l l lm m m m λ σ+ − en M que rλ+σ respecto a

r1, r 2, . . . , rλ+σ−1

en R. Puesto que los m1, m2, . . . ,mν ya pertenecen a la transformación, mν+1 es el elemento con el menor índice en M0 que tiene

414 Georg Cantor

Mathesis

esa relación de jerárquica respecto a

12 31, , ,...,l l lm m m m λ σ+ − .

Por consiguiente, según la forma en que establecimos la correspondencia

1l vm mλ σ+ += .

También en este caso aparece el elemento mν+1 en la aplicación, y de hecho es rλ+σ el elemento que se le asocia en R. Así hemos visto que nuestra aplicación transforma todo el conjunto M en todo el conjunto R; M y R son conjuntos similares, l.q.q.d.

—————— Del Teorema recién demostrado se obtiene, por ejemplo, lo siguiente: [507] “η es el tipo ordinal del conjunto de los números racionales posi-tivos y negativos excluyendo al cero en su orden natural”. “η es el tipo ordinal del conjunto de los números racionales mayores que a y menores que b con su orden natural, donde a y b son cuales-quiera números reales con a < b”. “η es el tipo ordinal del conjunto de los números reales algebraicos con su orden natural.” “η es el tipo ordinal del conjunto de los números reales algebraicos mayores que a y menores que b con su orden natural, donde a y b son cualesquiera números reales con a < b”. Ya que todos estos conjuntos ordenados satisfacen las tres condi-ciones para M de nuestro teorema (compárese con pág. 258, Crelle’s Journal Vol. 77). Si consideremos además las definiciones dadas en §8 de los conjun-tos con tipos η + η, ηη, (1 + η)η, (η + 1)η, (1 + η + 1)η, encontramos que ellos satisfacen las tres condiciones. Con ello tenemos los teore-mas: (7) η + η = η,

(8) ηη = η,

(9) (1 + η)η = η,

(10) (η + 1)η = η,

(11) (1 + η + 1)η = η. Repetidas aplicaciones de (7) y (8) propician para cada número finito ν (12) η · ν = η,


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y (13) ην = η.

Por el contrario, como se verifica sin dificultad, para ν > 1, los tipos 1 + η, η + 1, ν · η, 1 + η + 1 son distintos entre sí y distintos de η. Por otro lado, (14) η + 1 + η = η,

mientras que η + ν + η es distinto de η, para ν > 1. Finalmente, vale la pena mencionar que (15) *η = η. [508]

§10. Las sucesiones fundamentales contenidas en un conjunto

transfinito ordenado. Fijemos un conjunto simplemente ordenado M arbitrario. Cada subcon-junto de M es en sí mismo un conjunto ordenado. Para el estudio del tipo M resultan ser muy importantes los subconjuntos de M que tienen tipo ω o *ω; los llamamos “sucesiones fundamentales de primer orden contenidas en M”, mas aún, a los primeras (las de tipo ω) las llamamos “crecientes”, y a los otros (las de tipo *ω), “decrecientes”. Puesto que nos restringiremos a las sucesiones fundamentales de primer orden (en trabajos futuros consideraremos también sucesiones de orden superior), las llamaremos simplemente “sucesiones funda-mentales”. Una “sucesión fundamental creciente” tiene la forma

(1) aν, donde, aν ≺ aν+1,

una “sucesión fundamental decreciente” tiene la forma

(2) bν, donde, bν bν+1.

ν tiene siempre el significado, en nuestras consideraciones (lo mismo que κ, λ, µ), de un número cardinal finito arbitrario o también de un tipo finito, respectivamente un número ordinal finito. Dos sucesiones fundamentales crecientes aν y , va contenidas en M se dicen “correspondientes”, en símbolos

(3) aν , va , cuando para cada elemento aν existe un elemento ,aλ tal que

aν ≺ ,aλ ,

y para cada elemento ,va existe un elemento aµ tal que

416 Georg Cantor

Mathesis

,va ≺ aµ.

Dos sucesiones fundamentales decrecientes bν y , vb en M se dicen “correspondientes”, en símbolos

(4) bν , vb ,

cuando para cada elemento bν existe un elemento ,bλ tal que

bν ,bλ ,

y para cada elemento 'vb existe un elemento bµ tal que

,vb bµ.

Una sucesión fundamental creciente aν y una decreciente bν se llaman “correspondientes”, en símbolos [509] (5) aν bν,

si 1) para cualesquiera ν y µ aν ≺ bµ

y 2) existe en M a lo sumo un elemento m0 (es decir, solamente uno o ninguno) tal que para toda ν

aν ≺ m0 ≺ bν.

Se cumplen entonces los tres teoremas: A. “Si dos sucesiones fundamentales son correspondientes a una tercera, entonces ellas son correspondientes entre sí”. B. “Dos sucesiones fundamentales ambas crecientes o ambas de-crecientes, una de las cuales es un subconjunto de la otra, son corres-pondientes”. Si existe en M un elemento m0 que tiene una posición, respecto a la sucesión fundamental creciente, tal que 1) para cada ν

aν ≺ m0,

2) para cada elemento m de M que sea ≺ m0, existe un cierto núme-ro ν0 tal que

aν m, para ν > ν0,

llamaremos a m0 “un elemento límite de aν en M” o también un “ele-mento principal de M”.


III 22 (2007)

Igualmente, llamaremos a un elemento m0 un “elemento principal de M” o también “un elemento límite de bν en M” si se satisfacen las condiciones: 1) para cada ν

bν m0,

2) para cada elemento m m0 de M existe un cierto número ν0 tal que

bν ≺ m, para ν > ν0.

Una sucesión fundamental nunca puede tener más de un elemento límite en M; M tiene en general muchos elementos principales. Se verifica la validez de los siguientes Teoremas: C. “Si una sucesión fundamental tiene un elemento límite en M, entonces todas las sucesiones correspondientes con ella tienen el mis-mo elemento límite en M”. D. “Si dos sucesiones fundamentales (ambas crecientes o decrecien-tes o ninguna) tienen el mismo elemento límite en M, entonces son correspondientes”. Si M y M′ son dos conjuntos ordenados similares, es decir,

(6) 'M M=

y se fija algúna aplicación entre ellos, entonces se cumplen, como se ve con facilidad, los siguientes teoremas: [510] E. “A cada sucesión fundamental en M le corresponde como imagen una sucesión fundamental en M′ y viceversa; cada sucesión creciente, cada decreciente y sucesiones fundamentales correspondien-tes, tienen como imagen una sucesión creciente, decreciente o sucesiones fundamentales correspondientes en M′, respectivamente, y viceversa”. F. “Si un elemento límite en M pertenece a una sucesión fundamen-tal, entonces pertenece a la sucesión fundamental imagen en M′ un elemento límite y viceversa; y estos elementos límite son imagen uno del otro respecto de la aplicación”. G. “A los elementos principales de M corresponden como imágenes elementos principales en M′ y viceversa”. Si un conjunto M consiste en elementos principales, es decir, cada uno de sus elementos es un elemento principal, lo llamamos un ‘con-junto denso en sí mismo’. Si para cada sucesión fundamental en M existe un elemento límite en M, entonces a M lo llamamos un ‘conjunto cerrado’. Un conjunto que es ‘denso en sí mismo’ y ‘cerrado’ se conoce como ‘conjunto perfecto’.

418 Georg Cantor

Mathesis

Si un conjunto posee alguna de estas tres propiedades, también la tiene cada conjunto similar a él; por lo cual se puede transferir estas propiedades a tipos ordinales, por lo que existen ‘tipos densos en sí mismos’, ‘tipos cerrados’, ‘tipos perfectos’ y ‘tipos densos en todas partes’ (§9). Por ejemplo, η es un tipo ‘denso en sí mismo’; como en §9 se mos-tró, es ‘denso en todas partes’, pero no ‘cerrado’. ω y *ω no tienen elementos principales (unidades principales); por el contrario, ω + ν y ν + *ω tienen un elemento principal y son tipos ‘cerrados’. El tipo ω·3 tiene dos elementos principales, pero no es ‘cerrado’; el tipo ω· 3 + ν tiene tres elementos principales y es ‘cerrado’.

§11. El tipo ordinal θ del continuo lineal X.

Tornamos a investigar el tipo ordinal del conjunto X = x de los núme-ros reales x, ≥ 0 y ≤ 1, con su orden natural, tal que para cualesquiera dos elementos arbitrarios x y x′ ocurre

(1) x ≺ x′, cuando x < x′.

La notación para este tipo es

(1) X = θ.

[511] De la teoría de los números racionales e irracionales se sabe que cada sucesión fundamental xν en X tiene un elemento límite x0 en X y recíprocamente, cada elemento x de X es un elemento límite de sucesio-nes fundamentales correspondientes en X. Por ello X es un ‘conjunto perfecto’, y θ un ‘tipo perfecto’. Con lo anterior θ no queda totalmente caracterizado, debemos con-siderar también la siguiente propiedad de X: X contiene al conjunto R estudiado en §9 de tipo ordinal η como subconjunto, y de hecho, de tal forma que entre cualesquiera dos ele-mentos arbitrarios x0 y x1 de X, de acuerdo al orden, está un elemento de R. Ahora se debe mostrar que en conjunto estas características deter-minan por completo al tipo ordinal θ del continuo lineal X, de tal forma que se cumple el teorema: “Si un conjunto ordenado M cumple con 1) es ‘perfecto’, 2) contie-ne un conjunto S de cardinalidad S = ℵ0 que guarda una relación con M de tal suerte que entre cualesquiera dos elementos arbitrarios m0 y


III 22 (2007)

m1 de M existe un elemento de S entre ellos, según su orden, entonces M = θ. Demostración. Si S tiene un menor o un mayor elemento, entonces por 2) éste debe comportarse igual en M; por lo tanto, podemos elimi-nar este elemento de S sin que este conjunto pierda su relación con M expresada por 2). Suponemos en consecuencia que S no tiene menor o mayor elemen-to; por consiguiente, según §9, S tiene tipo ordinal η. Pues si S es un subconjunto de M, entonces por 2) entre cualesquie-ra dos elementos s0 y s1 de S debe estar otro elemento de S respecto a su orden. Además, por 2) tenemos que S = ℵ0. Ambos conjuntos son por consiguiente ‘similares’ entre sí,

(2) S R.

Fijemos una ‘aplicación’ entre R y S y afirmamos que este genera una cierta ‘aplicación’ entre X y M, y de hecho de la siguiente forma: Todos los elementos de X, que simultáneamente pertenecen a R, son imágenes de elementos correspondientes en M, que son simultáneamen-te elementos de S y corresponden a esos elementos de R respecto a la aplicación de R sobre S. Si x0 es un elemento de X que no pertenece a R, se puede ver como el límite de una sucesión fundamental xν contenida en X que se puede reemplazar por una sucesión fundamental correspondiente

vrκ conte

[512] nida en R. A esta última corresponde como imagen una sucesión fun-damental

vsλ en S y M, que por 1) está acotada por un elemento m0

en M que no pertenece a S (F, §10). Este elemento m0 en M (que sigue siendo el mismo, si en lugar de las sucesiones fundamentales xν y

vrκ se utilizan otras que tengan como elemento límite al mismo ele-

mento x0 (E, C, D, en §10) funge como la imagen de x0 en X. Recípro-camente, a cada elemento m0 de M, que no aparece en S, le corresponde un elemento determinado x0 de X que no pertenece a R y que es la ima-gen de m0. De esta forma se establece una correspondencia recíproca unívoca entre X y M, para la que se debe mostrar, que da origen a una ‘aplica-ción’ entre estos conjuntos. Esto se cumple desde el principio para aquellos elementos de X y M que simultáneamente pertenecen a R respectivamente S. Comparemos un elemento r de R con un x0 de X que no pertenezca a R; sean s y m0 los elementos correspondientes de M.

420 Georg Cantor

Mathesis

Si r < x0, existe una sucesión fundamental creciente v

rκ acotada por x0, y a partir de un cierto ν0 se cumple que

r < v

rκ para ν > ν0.

La imagen de v

rκ en M es una sucesión fundamental creciente v

sλ aco-

tada por m0 en M, y se tiene (§10), primero, que v

sλ ≺ m0 para toda ν y por

otro lado, que s ≺ v

sλ para ν ≥ ν0, por lo que (§7) s ≺ m0.

Si r > x0, se deduce en forma similar que s m0. Consideremos finalmente dos elementos x0 y ,

0x que no pertenezcan a R y sus correspondientes elementos m0 y ,

0m en M, entonces se de-muestra en forma análoga que de x0 < ,

0x , se sigue m0 ≺ ,0m .

Con ello se ha demostrado la similitud de X y M, por lo que se cumple M = θ.

§12.

Los conjuntos bien ordenados. Entre los conjuntos simplemente ordenados los conjuntos bien ordena-dos merecen una posición destacada; sus tipos ordinales, que llamamos “números ordinales”, constituyen la materia natural para una definición de los números cardinales transfinitos o cardinalidades transfinitas superiores, una definición de conformidad con la que dimos para el menor número cardinal transfinito álef cero mediante el sistema de todos los números finitos ν (§6). “Bien ordenado” llamamos a un conjunto simplemente ordenado F (§7), cuando sus elementos f crecen en una sucesión determinada a partir de un menor elemento f1, de tal forma que se satisfacen las dos condiciones siguientes: I. “Existe en F un elemento jerárquicamente menor f1.” II. “Si F′ es un subconjunto de F y F tiene uno o más elementos de mayor jerarquía que todos los elementos de F′, entonces existe un ele-mento f ′ en F, que es el menor que sucede a todos los elementos de F′, de tal suerte que no existe un elemento en F tal que, según el orden, esté entre3 F′ y f ′.” En particular, a cada elemento f de F le sucede, cuando no es el mayor elemento, un elemento distinto determinado f ′, según el orden, como el sucesor más inmediato; esto se deduce de la condición II, si

3. Esta definición de “conjunto bien ordenado” coincide, no textualmente, con la introdu-

cida en Math. Annalen 21, 548 (Grundlagen e. allg. Mannigfaltigkeitslehre, pág. 4).


III 22 (2007)

para F′ se ocupa el elemento f. Si además, por ejemplo, en F está conte-nida una sucesión de elementos consecutivos

e′ ≺ e′′ ≺ e′′′ ≺ · · · ≺ e(ν) ≺ e(ν+1) · · · [208] tal que en F existe un elemento que tiene mayor jerarquía que cada elemento e(ν), por la condición II, si se sustituye en ella F′ por la totali-dad e(ν), debe existir un elemento f ′ tal que no sólo ocurre

f ′ e(ν) para todo valor de ν, sino no que para ningún elemento g en F se satis-facen las condiciones:

g ≺ f ′,

g e(ν) para todo valor de ν. Por ejemplo, los tres conjuntos

(a1, a2, . . . aν, . . . ),

(a1, a2, . . . aν, . . . b1, b2, . . . bµ, . . . ),

(a1, a2, . . . aν, . . . b 1, b2, . . . bµ, . . . c1, c 2, c 3) donde

aν ≺ aν+1 ≺ bµ ≺ bµ+1 ≺ c1 ≺ c2 ≺ c 3

están bien ordenados. Los dos primeros no tienen mayor elemento, el tercero tiene como mayor elemento a c3; en el segundo y tercero suce-den a los aν primero b1, en el tercero a todos los aν y bµ los sucede in-mediatamente c1. En lo sucesivo queremos extender el uso de los símbolos ≺ y , definidos en §7, para la relación jerárquica entre dos elementos, a gru-pos de elementos, de tal suerte que las fórmulas

M ≺ N,

M N

expresen, que en el orden dado todos los elementos del conjunto M son menores, o mayores, respectivamente que los elementos del conjunto N.

—————- A. “Todo subconjunto F1 de un conjunto bien ordenado F tiene un menor elemento”. Demostración. Si el menor elemento f1 de F pertenece a F1, éste es el menor elemento de F1.

422 Georg Cantor

Mathesis

En caso contrario sea F′ la totalidad de elementos de F menores que todos los elementos de F1, por lo que no hay un elemento de F entre F′ y F1. Si f ′ sucede a F′ (según II), entonces pertenece necesariamente a F1 y tiene en él la misma jerarquía. B. “Si un conjunto simplemente ordenado F se construye de tal forma que tanto F como cada uno de sus subconjuntos tengan un me-nor elemento, entonces F es un conjunto bien ordenado”. [209] Demostración. Puesto que F tiene un menor elemento, se satisfa-ce la condición I. Sea F′ un subconjunto de F tal que en F hay uno o más elementos F′; sea F1 la totalidad de esos elementos y f ′ el menor elemento de F1, entonces es claro que f ′ es el sucesor inmediato en F′ de F. Con ello se satisface también la condición II, por lo que F es un conjunto bien ordenado. C. “Cada subconjunto F′ de un conjunto bien ordenado F es tam-bién un conjunto bien ordenado”. Demostración. Según el Teorema A tanto F′ como cada subconjunto F′′ de F′ (pues son a su vez subconjuntos de F) tienen un menor elemento; por lo que de acuerdo al Teorema B, F′ es un conjunto bien ordenado. D. “Cada conjunto G similar a un conjunto bien ordenado F es un conjunto bien ordenado”. Demostración. Si M es un conjunto que posee un menor elemento, entonces cada conjunto similar a él tiene, como se sigue directamente de la noción de similitud (§7), un menor elemento. Puesto que G F se cumple y F tiene un menor elemento, lo mis-mo ocurre con G. Igualmente cada subconjunto G′ de G tiene un menor elemento; pues por la aplicación de G a F, el conjunto G′ corresponde como ima-gen a un subconjunto F′ de F, de tal forma que

G′ F′.

Pero por el Teorema A, F′ tiene un menor elemento, por lo que también lo tiene G′. Por lo tanto, tanto G como cada subconjunto G′ de G tienen un menor elemento; por el Teorema B se deduce que G es un conjunto bien ordenado. E. “Si en un conjunto bien ordenado G se sustituyen sus elementos g por conjuntos bien ordenados en el sentido de que si los conjuntos bien ordenados Fg y Fg′ se sustituyen en lugar de los elementos g y g′ y g < g′, entonces también Fg < Fg′ , entonces el conjunto H, que se genera en esta forma, por la sustitución de elementos por conjuntos bien orde-nados Fg, es un conjunto bien ordenado”.


III 22 (2007)

Demostración. Tanto H como cada subconjunto H1 de H tienen un menor elemento, lo que caracteriza a H, según el Teorema B, como un conjunto bien ordenado. En efecto, si g1 es el menor elemento de G, entonces el menor elemento de

1gF es también el menor elemento de H. Si ahora se considera un subconjunto H1 de H, sus elemento pertenecen a ciertos conjuntos Fg, al formar un conjunto con estos conjuntos Fg, se conforma un subconjunto del conjunto formado por los Fg, el conjunto bien ordenado Fg similar G; si, digamos,

0gF es el menor elemento de este subconjunto, entonces el menor elemento del subconjunto de H1 contenido en

0gF es a la vez el menor elemento de H1.

[210] §13.

Las secciones de los conjuntos bien ordenados. Si f es un elemento distinto del primer elemento f1 del conjunto bien ordenado F, llamamos al conjunto A de todos los elementos de F, que son ≺ f , una “sección de F”, a saber, la sección determinada por el elemento f . En cambio, el conjunto R de todos los elementos restantes de F exceptuando f se llama “el resto de F”, a saber, el resto de F de-terminado por el elemento f . Los conjuntos A y R están, según el Teo-rema C, §12, bien ordenados y por §8 y §12 podemos escribir:

(1) F = (A, R),

(2) R = (f , R′),

(3) A ≺ R.

R′ es la parte siguiente, en R, al elemento inicial f y se reduce a 0, cuan-do R no tiene otros elementos aparte de f . Tomemos como ejemplo el conjunto bien ordenado

F = (a1, a2, . . . ,av, . . . b1, b2, . . . bµ, . . . c1, c2, c3),

en éste el elemento a3 determina la sección

(a1, a2) y el correspondiente resto

(a3, a4, . . . ,av+2 , . . . b1, b2, . . . bµ, . . . c1, c2, c3);

el elemento b1 determina la sección

(a1, a2, . . . ,av, . . . ) y el correspondiente resto

(b1, b2, . . . bµ, . . . c1, c2, c3),

424 Georg Cantor

Mathesis

mediante el elemento c2 se determina la sección

(a1, a2, . . . ,av, . . . b1, b2, . . . bµ, . . . c1) y el resto

(c2, c3).

Si A y A′ son dos secciones de F, f y f ′ los elementos que las deter-minan y se cumple (4) f ′ ≺ f ,

entonces A′ es a su vez una sección de A. Llamamos a A′ la sección menor, A la mayor de F: (5) A′ < A. En forma correspondiente podemos decir de cada sección A de F que es menor a F mismo: (6) A < F.

[211] A. “Si dos conjuntos bien ordenados F y G se aplican uno en el otro, entonces a cada sección A de F corresponde una sección B de G similar y a cada sección B de G corresponde una sección similar A de F, y los elementos f y g de F y G, que determinan las secciones corres-pondientes A y B, se asocian uno al otro mediante la aplicación.”. Demostración. Si se tienen dos conjuntos similares simplemente ordenados M y N que se aplican uno sobre el otro, si m y n son dos elementos asociados, si M′ es el conjunto de elementos de M que son ≺ m, N′ el conjunto de elementos de N que son ≺ n, entonces la aplica-ción hace corresponder M′ y N′. Pues a cada elemento m′ ≺ m de M, debe corresponder (§7) un elemento n′ ≺ n de N, y viceversa. Si aplicamos este teorema a los conjuntos bien ordenados M y G, obtenemos lo que se que se debía demostrar. B. “Un conjunto bien ordenado F no es similar a ninguna de sus secciones A”. Demostración. Supongamos que F A, por lo que tenemos una aplicación de F sobre A. Por el Teorema A corresponde a la sección A de F una sección A′ de de A como imagen, de tal forma que A′ A. Se tendría entonces también A′

F y se cumple A′ < A. De A′ se obtendría en la misma forma una sección menor A′′ de F, tal que A′′ F y A′′ < A′, etcétera. Con este proceder obtendríamos una sucesión necesariamente infi-nita

A > A′ > A′′ . . .A(ν) > A(ν+1), . . .

de secciones de F cada vez menores, similares al conjunto F. Denotemos con f , f ′, f ′′, . . . f (ν), . . . los elementos que determinan en F estas secciones; entonces tendríamos


III 22 (2007)

f f ′ f ′′ · · · f (ν) f (ν+1), · · ·

tendríamos entonces un subconjunto de F infinito

(f , f ′, f ′′, . . . f (ν), . . . )

en el que ningún elemento tiene la menor jerarquía. Pero por el Teorema A, §12 no es posible la existencia de tales subconjuntos. La suposición de una aplicación de F sobre una de sus secciones conduce a una contradicción, por lo que el conjunto no es similar a ninguna de sus secciones. Si bien, según el Teorema B, un conjunto bien ordenado F no es similar a ninguna de sus secciones, siempre existen, cuando F es infini-to, otros subconjuntos de F similares a F. Por ejemplo, el conjunto [212]

F = (a1, a2, . . . av, . . . )

es similar a cada uno de sus restos

(aκ +1, aκ+2, . . . aκ+v, . . . ).

Es por ello importante que añadamos el siguiente resultado al Teorema B. C. “Un subconjunto F no es similar a ningún subconjunto de alguna de sus secciones”. Demostración. Supongamos que F′ es un subconjunto de una sección A de F y que F′ F. Fijemos una aplicación de F sobre F′; por el Teore-ma A a la sección A de F le corresponde como imagen una sección F′′ del conjunto bien ordenado F′; digamos que esta sección está determi-nada por el elemento f ′ de F′. Como f ′ también es un elemento de A, determina una sección A′ de A, de la cual F′′ es un subconjunto. Por hipótesis F′ es un subconjunto de la sección A de F con F′ F, lo que nos conduce a un subconjunto F′′ de una sección A ′ de A con F′′

A. El mismo razonamiento propicia un subconjunto F′′′ de una sección A′′ de A ′ tal que F′′′ A ′. Si continuamos así, obtenemos, como en la demostración del Teorema B, una sucesión necesariamente infinita de secciones de F cada vez menores

A > A ′ > A ′′ . . . A (ν) > A (ν+1) . . .

y con ello, una sucesión infinita de los elementos que determinan esas secciones

f f ′ f ′′ . . . f (ν) f (ν+1) . . . ,

426 Georg Cantor

Mathesis

en la que no aparecería un menor elemento, lo que es imposible según el teorema A, §12. Por lo tanto, no existe un subconjunto F′ de una sección A de F tal que F′ F. D. “Dos secciones distintas A y A ′ de un conjunto bien ordenado F no son similares entre sí.” Demostración. Si A ′ < A, entonces A ′ es una sección del conjunto bien ordenado A, por lo que no puede ser similar a A, según el Teorema B. E. Dos conjuntos bien ordenados similares F y G se pueden aplicar uno sobre el otro en forma única.” Demostración. Fijemos dos aplicaciones distintas de F sobre G y sea f un elemento de F, para el cual correspondieran dos imágenes dis-tintas g, g ′ en G de acuerdo a las dos aplicaciones distintas. Sea A la sección de F determinada por f , B y B ′ las secciones de G determinadas [213] por g y g ′. Por el Teorema A se cumple tanto A B, como A B ′, de donde se deduciría B B ′, lo que contradice el Teorema D. F. “Si F y G son dos conjuntos bien ordenados, entonces una sec-ción A de F puede ser similar a lo sumo a una sección B de G.” Demostración. Si la sección A de F fuese similar a dos secciones B y B ′ de G, sería también similares entre sí las secciones B y B ′, lo que es imposible de acuerdo al Teorema D. G. “Si A y B son secciones similares de dos conjuntos bien ordena-dos F y G, entonces para cada sección menor A′ < A de F existe una sección similar B′ < B de G y para cada sección menor B′ < B de G existe una sección similar A′ < A de F.” Demostración. Se sigue del Teorema A, cuando se aplica éste a los conjuntos similares A y B. H. “Si A y A′ son dos secciones de un conjunto bien ordenado F, B y B′ son secciones similares a ellas en un conjunto bien ordenado G, y si A′ < A, entonces B ′ < B.” Demostración. Se sigue de los Teoremas F y G. J. “Si una sección B de un conjunto bien ordenado G no es similar a ninguna sección de un conjunto bien ordenado F, entonces tampoco las secciones B′ > B de G ni G mismo son similares a secciones de F o a F mismo”. Demostración. Se sigue del Teorema G. K. “Si para cada sección A de un conjunto bien ordenado F existe una sección similar a ella B de otro conjunto bien ordenado G, y recí-procamente, para cada sección B de G existe una sección A de F simi-lar a ella, entonces F G”.


III 22 (2007)

Demostración. Podemos aplicar F sobre G de acuerdo a la siguiente prescripción: El menor elemento f1 de F corresponde al menor elemento g1 de G. Si f f1 es algún otro elemento de F, él determina una sección A de F; a ella es similar, según la hipótesis, una sección B de G; el elemento g que determina esta sección lo hacemos la imagen de f . Si g es algún elemento de G, g1, entonces determina una sección B de G y por hipótesis existe una sección A de F similar a ella; sea f el elemento que determina A en F y lo hacemos la imagen de g. El que esta correspondencia biunívoca entre F y G es una aplica-ción en el sentido de §7 se verifica fácilmente. [214] A saber, sean f y f ′ dos elementos arbitrarios de F, g y g ′ los elementos correspondientes de G, A y A ′ las secciones determinadas por f y f ′, B y B′ las determinadas por g y g ′ y si, digamos,

f ′ ≺ f , entonces

A ′ < A; por lo que del Teorema H se sigue que

B′ < B por consiguiente,

g ′ ≺ g.

L. “Si para cada sección A de un conjunto bien ordenado F existe una sección B similar a ella de otro conjunto bien ordenado G, y si por el contrario, existe al menos una sección de G que no sea similar a nin-guna sección de F, entonces existe una sección B1 de G tal que B1 F.” Demostración. Consideramos todas las secciones de G, para las que no hay ninguna sección similar en F; entre ellas debe existir la más pe-queña, que llamamos B1. Esto se sigue de que, por el Teorema A, §12, el conjunto de todos los elementos que determinan esas secciones tiene un menor elemento; la sección B1 de G determinada por éste es la menor de aquella colección. Según el Teorema J, cada sección de G, que sea > B1 no es similar a ninguna sección de F; por lo que todas las secciones de G que sean similares a alguna de F deben ser < B1, y de hecho a cada sec-ción B < B1 corresponde una sección similar A de F, pues B1 es la menor sección de G para la cual no existe una sección en F similar a ella. Por lo anterior existe para cada sección A de F una sección similar B de B1 y para cada sección B de B1 una sección similar A de F; por el Teorema K se cumple entonces que

F B1.

428 Georg Cantor

Mathesis

M. “Si el conjunto bien ordenado G tiene al menos una sección para la que no existe una sección similar a ella en el conjunto bien ordenado F, entonces cada sección A de F debe ser similar a alguna sección B de G.” Demostración. Sea B1 la menor sección de G para la que no existe una sección en F similar a ella. (Compárese con la demostración de L.) Si hubiese secciones en F para las que no existieran secciones de G similares a ellas, habría también entre ellas una menor, digamos A1. Cada sección de A1 sería entonces similar a alguna sección de B1 y cada sección de B1 sería similar a alguna sección de A1. Se seguiría que, por el Teorema K,

B1 A1.

[215] Pero esto contradice el que B1 no es similar a ninguna sección de F. Por lo tanto, no puede haber una sección en F que no sea similar a alguna sección en G. N. “Si F y G son dos conjuntos bien ordenados, entonces ya sea que 1) F y G son similares, o 2) existe una sección B1 de G a la cual F es similar, o 3) existe una sección A1 de F a la cual G es similar; y cada uno de estos casos excluye la posibilidad de los otros dos”. Demostración. El comportamiento de F con G tiene tres posibilida-des: 1) Cada sección A de F es similar a alguna sección B de G y recí-procamente, cada sección B de G es similar a alguna sección A de F. 2) Cada sección A de F es similar a alguna sección B de G, pero existe al menos una sección B de G que no es similar a ninguna sección de F. 3) Cada sección B de G es similar a alguna sección A de F, pero existe al menos una sección A de F que no es similar a ninguna sección de G. El caso en el que exista una sección de F que no es similar a ningu-na de G y que existe una sección de G que no es similar a ninguna sec-ción de F no es posible; se excluye por el Teorema M. Por el Teorema K en el primer caso se cumple que

F G.

Por el Teorema L en el segundo caso existe una sección B1 de B tal que

B1 F, y en el tercer caso existe una sección A1 de F tal que

A1 G.


III 22 (2007)

Pero no puede ocurrir simultáneamente F G y F B1, pues en tal caso tendríamos también G B1, en oposición al Teorema B, y por la misma razón no pueden ocurrir simultáneamente F G y G A1. Pero también es imposible la validez simultánea de F B1 y G A1; porque por el Teorema A de F B1 se deduciría la existencia de una sección '

1B de B1 tal que A1 B1. Pero se tendría entonces G '1B

en oposición al Teorema B. O. “Si un subconjunto F′ de un conjunto bien ordenado F no es similar a ninguna sección de F, entonces es similar a F mismo”. Demostración. Por el Teorema C, §12 F′ es un conjunto bien orde-nado. Si F′ no fuera similar a ninguna sección de F ni a F mismo, exis-tiría por el Teorema N una sección '

1F de F′, que sería similar a F. Pero [216]

'1F es un subconjunto de la sección A de F, que está determinada por el

mismo elemento que el que determina la sección '1F de F′. Por lo tanto,

el conjunto F sería similar a un subconjunto de una de sus secciones, lo que contradice el Teorema C.

§14. Los números ordinales de conjuntos bien ordenados.

Según el §7 cada conjunto simplemente ordenado M tiene asociado un determinado tipo ordinal M ; ésta es la noción general que se obtiene de M a partir de la jerarquía entre sus elementos sin considerar la natu-raleza de estos, de tal suerte que de ellos se obtienen unidades que están sujetas a una determinada jerarquía. Para todos los conjuntos similares entre sí y sólo para ellos está asociado un mismo tipo ordinal. El tipo ordinal de un conjunto bien ordenado F lo llamamos “núme-ro ordinal” Si α y β son dos números ordinales arbitrarios, entonces tienen tres posibles relaciones entre sí. A saber, si F y G son dos conjuntos bien ordenados tales que

F = α, G = β,

entonces por el Teorema N, §13 existen tres casos posibles mutuamente excluyentes: 1)

F G.

2) Existe una sección B1 de G, tal que

F B1.

3) Existe una sección A1 de F tal que

430 Georg Cantor

Mathesis

G A1.

Como se observa fácilmente, cualquiera de estos casos sigue cum-pliéndose, si F y G se sustituyen por conjuntos similares a ellos F′ y G′; según eso, tenemos que tratar con tres posibles relaciones mutuamente excluyentes entre los tipos α y β. En el primer caso se tiene α = β; en el segundo decimos que α < β, en el tercero que α > β. Tenemos entonces el teorema: A. “Si α y β son dos números ordinales arbitrarios, entonces se cumple α = β o α < β o α > β”. De la definición de mayor y menor se sigue fácilmente: B. “Si se tienen tres números ordinales α, β, γ y se cumple α < β, β < γ, entonces se cumple también α < γ. Así que los números ordinales conforman según su orden un con-junto simplemente ordenado; después se mostrará que de hecho forman un conjunto bien ordenado. [217] Las operaciones definidas en §8 de adición y multiplicación de tipos ordinales de conjuntos simplemente ordenados arbitrarios se utili-zan, naturalmente, también en los números ordinales. Si α = F, β = G, donde F y G son dos conjuntos bien ordenados, entonces (1) α + β = ( , )F G .

El conjunto unión (F, G) es claramente un conjunto bien ordenado; tenemos entonces el teorema: C. “La suma de dos números ordinales es también un número ordi-nal”. En la suma α + β, α se llama el “augendus”, β el “adendus”. Puesto que F es una sección de (F, G), siempre se cumple que:

(2) α < α + β.

Por el contrario, G no es una sección, sino el resto de (F, G), por lo que puede ser similar, como vimos en §13, al conjunto (F, G); si esto no se cumple, entonces G es, por el Teorema O, §13, similar a una sección de (F, G). Por lo que (3) β ≤ α + β. Así que tenemos: D. “La suma de dos números ordinales siempre es mayor que el augendus, en cambio es mayor o igual que el addendus. Si se tiene α + β = α + γ, siempre se deduce que β = γ.”


III 22 (2007)

En general α + β y β + α no son iguales. En cambio se tiene, cuando γ es un tercer número ordinal, que

(4) (α + β) + γ = α + (β + γ). Así que: E. “La ley asociativa se cumple en la adición de números ordina-les.” Si se substituye en el conjunto G con tipo β cada elemento g por un conjunto Fg de tipo α, entonces se obtiene del Teorema E, §12, un conjunto bien ordenado H, cuyo tipo está totalmente determinado por los tipos α y β y se llama el producto α · β:

(5) gF α= ,

(6) α · β = H .

F. “El producto de dos números ordinales es también un número ordinal. En el producto α·β, α se conoce como el “multiplicandus”, y β como el multiplicator”. En general, los números α · β y β · α no son iguales. Pero se tiene (§8) (7) (α · β) · γ = α · (β · γ). Es decir, [218] G. “La ley asociativa se cumple en la multiplicación de números ordinales”. La ley distributiva se cumple en general (§8) sólo en la siguiente forma: (8) α · (β + γ) = α · β + α · γ.

En relación a la magnitud del producto se cumple el siguiente teo-rema, que se verifica fácilmente: H. “Si el multiplicator es mayor que 1, el producto de dos números ordinales siempre es mayor que el multiplicandus, y es mayor o igual que el multiplicator. Si se tiene αβ = αγ, siempre se deduce que β = γ.” Por otro lado, es claro que

(9) α · 1 = 1 · α = α.

También tenemos la operación de substracción. Si α y β son dos números ordinales y α < β, entonces siempre existe un determinado número ordinal, que llamaremos β − α, que satisface la ecuación

(10) α + (β − α) = β.

432 Georg Cantor

Mathesis

Pues si G = β, entonces G tiene una sección B, tal que B = α; el resto correspondiente lo llamamos S y tenemos

G = (B, S) y

β = α + S, así que (11) β − α = S .

La determinación de β − α se obtiene de que la sección B de G está totalmente determinada, por lo que S también está dado en forma única. Resaltamos las siguiente fórmulas, producto de (4), (8) y (10):

(12) (γ + β) − (γ + α) = β − α,

(13) γ(β − α) = γ β − γ α.

De gran significado es que siempre se pueden sumar una cantidad infinita de números ordinales, y su suma es un número ordinal bien determinado sólo dependiente de la sucesión de sus sumandos. Si, digamos,

β1, β2, . . . βv, . . .

es una sucesión arbitraria, simple e infinita de números ordinales y se tiene (14) βv = vG , [219] entonces también (15) G = (G1, G2, . . .Gv, . . . )

es un conjunto bien ordenado, cuyo número ordinal β representa la suma de los βν. Así que

(16) β1 + β2 + · · · + βv + · · · = G = β,

y se tiene, como se desprende fácilmente de la definición de producto, que (17) γ · (β1 + β 2 + · · · + β v + · · · ) =

γ · β 1 + γ · β 2 + · · · + γ · β v + · · · Si hacemos (18) α v = β1 + β 2 + · · · + β v, entonces (19) αν = 1 2( , ,..., )vG G G . Se cumple (20) αν+1 > αν,


III 22 (2007)

y según (10) podemos expresar los números βν mediante los números αν como sigue: (21) β1 = α1; βν+1 = α ν+1 − αν. La sucesión

α1, α2, . . . αv, . . .

representa entonces una sucesión infinita arbitraria de números ordina-les que satisfacen la condición (20); la llamamos una “sucesión funda-mental” de números ordinales (§10); entre ellos y β se origina una rela-ción que podemos expresar del siguiente modo: 1) β es > αν para cada ν, pues el conjunto (G1, G2, . . .Gv), cuyo nú-mero ordinal es αν, es una sección del conjunto G que tiene número ordinal β. 2) Si β′ es algún número ordinal < β, entonces a partir de un cierto ν se cumple siempre

αν > β′. Porque, dado que β′ < β, existe una sección B′ del conjunto G de tipo β′. El elemento de G que determina esta sección debe pertenecer a alguno de los subconjuntos Gν, que llamamos

0vG .

Pero entonces B′ es también una sección de (G1, G2, . . . 0vG ) y por

consiguiente β′ <0vα , por lo que

αν > β′ para ν ≥ ν0. Por lo anterior resulta β el ordinal más pequeño sucesor de todos-los αν; por ello lo llamaremos “el límite” de los αν para ν creciente y lo denotamos con Límν αν, de tal suerte que por (16) y (21) (22) Lim vv

α = α1 + (α 2 − α 1) + · · · + (α v+1 − α v) + · · ·

[220] Podemos expresar lo anterior en el siguiente Teorema: I. “A cada sucesión fundamental αν de números ordinales perte-nece un número ordinal Límν αν,, que sucede inmediatamente, según su magnitud, a todos los αν; se representa mediante la Fórmula (22).” Si γ es un número ordinal fijo, se demuestra con facilidad con ayuda de las fórmulas (12), (13), (17) los teoremas contenidos en las siguien-tes fórmulas: (23) Lim

v(γ + αν) = γ + Lim vv

α ,

(24) Lim vvγ α+ = γ · Lim vv

α .

434 Georg Cantor

Mathesis

Ya hemos mencionado en §7 que todos los conjuntos simplemente ordenados con número cardinal finito dado ν tienen el mismo tipo ordi-nal. Esto se puede demostrar como a continuación. Cada conjunto sim-plemente ordenado con número cardinal finito es un conjunto bien ordenado; porque tanto él como cada uno de sus subconjuntos deben tener un menor elemento, lo que lo caracteriza según el Teorema B, §12 como un conjunto bien ordenado. Los tipos de los conjuntos simplemente ordenados finitos no son, por tanto, otra cosa que números ordinales finitos. Dos números ordina-les distintos α y β no pueden asociarse al mismo número cardinal finito ν. En efecto, si α < β y G = β, existe, como ya sabemos, una sección B de G con B = α. Entonces el conjunto G y su subconjunto B se servirían del mismo número cardinal ν. Pero esto es imposible según el Teorema C, §6. Los números ordinales finitos coinciden en sus propiedades con los números cardinales finitos. Muy distinto se comportan los números ordinales transfinitos; para un número cardinal transfinito a existe una cantidad infinita de números ordinales, que conforman un sistema intrinsecamente relacionado, que llamaremos la “clase de números Z(a)”. Ella es una subclase de la clase tipo [a] (§7). El siguiente asunto a considerar lo conforma la clase de números Z(ℵ0), que llamaremos la segunda clase de números. En este contexto entendemos por primera clase de números la tota-lidad ν de los números ordinales finitos. [221]

§15. Los números de la segunda clase de números Z(ℵ0).

La segunda clase de números Z(ℵ0) es la totalidad α de los tipos ordinales α de conjuntos bien ordenados con número cardinal ℵ0 (§6). A. “La segunda clase de números tiene un menor número ω = vLim v .” Demostración. Por ω entendemos el tipo del conjunto bien ordenado

(1) F0 = (f1, f2, . . . fv, . . . ),

donde ν recorre los números ordinales finitos y

(2) fv ≺ fv+1 . Así que (§7) (3) ω = 0F y (§6) (4) ω = ℵ0.


III 22 (2007)

Por lo tanto, ω es un número de la segunda clase, y de hecho, el menor. Pues si γ es un número ordinal < ω, debe ser el tipo (§14) de una sec-ción de F0. Pero F0 sólo tiene secciones de la forma

A = (f1, f2, . . . fv)

con ν un número ordinal finito. Por consiguiente γ = ν. Así que no existen números ordinales transfinitos menores que ω, que por ello es el menor de todos. Por la definición de v vLim α dada en §14 se cumple claramente que ω = vLim v . B. “Si α es un número de la segunda clase, su sucesor inmediato en la misma clase de números es el número α + 1”. Demostración. Sea F un conjunto bien ordenado de tipo α y con número cardinal ℵ0, es decir (5) F = α,

(6) α = ℵ0.

Si g es un nuevo elemento, tenemos que

(7) α + 1 = ( , )F g .

Puesto que F es una sección de (F,g), tenemos (8) α + 1 > α. Se cumple que

1α + = α + 1 = ℵ0 + 1 = ℵ0 (§6).

El número α +1 pertenece entonces a la segunda clase de números. [222] Entre α y α + 1 no hay números ordinales; pues cada número γ que sea < α +1 corresponde al tipo de una sección de (F, g); tal sección sólo puede ser F0 una sección de F. Así que γ es = ó < α. C. “Si α1, α2, . . α v, . . . es una sucesión fundamental de números de la primera o segunda clase de números, entonces el número Límv αν (§14) sucesor inmediato de todos los αν pertenece a la segunda clase de números.” Demostración. Por §14 se obtiene de la sucesión fundamental αν el número Lim

vvα , si producimos otra sucesión β1, β2, . . . βv, . . . tal

que β1 = α1, β2 = α2 − α1, . . . βv+1 = αv+1 − αv, . . .

Si G1, G2, . . . Gv, . . . son conjuntos bien ordenados tales que

vG = βν, entonces también

G = (G1, G2, . . . Gv, . . . )

436 Georg Cantor

Mathesis

es un conjunto bien ordenado y

Lim vvα = G .

Se trata ahora sólo de probar que

G = ℵ0.

Pero puesto que los números β1, β2, . . . βv, . . . pertenecen a la primera o segunda clase, entonces

vG ≤ ℵ0 y por ello

G ≤ ℵ0 · ℵ0 = ℵ0.

Pero como G es un conjunto transfinito, se excluye el caso G < ℵ0. Dos sucesiones fundamentales αν y ,

vα de números de la pri-mera o segunda clase de números las llamamos “correspondientes”, en símbolos (9) αν || ,

vα ,

si para cada ν existen números finitos λ0, µ0 tales que (10) ,

λα > αν, λ ≥ λ0, y (11) αµ > ,

vα , µ ≥ µ0. ——————

[223] D. “Los números límite Límν αν y Límν,vα correspondientes a lassuce-

siones fundamentales αν, ,vα son iguales si y sólo si αν || ,

vα .” Demostración. Por simplicidad hacemos Límν αν = β, Límν

,vα = γ.

Primero supongamos que αν || ,vα , y afirmamos que β = γ. En

efecto, si β no fuera igual a γ, alguno de estos dos números debería ser el menor, digamos β < γ. A partir de un cierto ν tendríamos ,

vα > β, por lo que según (11) a partir de un cierto µ αµ > β. Pero esto es imposible, porque β = Límv αν así que para toda µ αµ < β. Si recíprocamente, se supone que β = γ, puesto que αν < γ, se debe cumplir que ,

vα > αν a partir de un cierto λ y dado que ,vα < β a partir

de un cierto µ, debemos tener αµ > ,vα ; es decir, αν || ,

vα . E. “Si α es un número de la segunda clase de números, ν0 un núme-ro ordinal finito arbitrario, entonces ν0 + α = α, por lo que también α − ν0 = α”. Demostración. Primero nos convencemos de la validez del teorema cuando α = ω. Se tiene

ω = 1 2( , ,... ,...),vf f f


III 22 (2007)

ν0 = 01 2( , ,... ,...),vg g g

así que ν0 + ω =

01 2 1 2( , ,... , , ,... ...),v vg g g f f f = ω.

Pero si α > ω, tenemos que α = ω + (α − ω),

ν0 + α = (ν0 + ω) + (α − ω) = ω + (α − ω) = α.

F. “Si ν0 es un número ordinal finito, entonces ν0 · ω = ω.” Demostración. Para obtener un conjunto de tipo ν0 · ω, se deben susti-tuir los elementos fv del conjunto (f1, f2, . . . fv, . . . ) por conjuntos (gν,1,g

ν,2, . . . 0,v vg ) de tipo ν0. Se obtiene el conjunto

(g1,1, g1,2, . . . 01,vg , g2,1, . . . 02,vg , . . .gν,1, gν,2, . . . 0,v vg , . . . ),

que es claramente similar al conjunto fν; en consecuencia

ν0ω = ω.

En forma más breve se obtiene lo mismo como sigue: según (24) §14 y puesto que ω = Lim

vv , se tiene

ν0ω = Lim .ovv v

Por otro lado, ν0ν || ν,

por lo que lim .ov

v v = lim .v

v ω=

así que ν0ω = ω.

[224] G. “Siempre se cumple

(α + ν0)ω = αω, para un número α de la segunda clase y ν0 un número de la primera clase.” Demostración. Tenemos

lim .v

v ω=

Según (24) §14 se deduce que

(α + ν0)ω = 0lim( ) .v

v vα +

Pero entonces

(α + ν0)ν = 0

1

( )vα + + 0

2

( )vα + + … + 0( )v

vα +

438 Georg Cantor

Mathesis

= α + 0

1

( )v α+ + 0

2

( )v α+ + … + 0

( 1)

( )v

v α−

+ + v0

= 1

α + 2

α + … + v

α + v0 = αν + v0.

Ahora se tiene, como se verifica fácilmente

αν + v0 || αν y por consiguiente

0 0Lim( ) Lim( ) Lim .v v v

v v v v vα α α αω+ = + = =

H. “Si α es un número de la segunda clase de números, entonces la totalidad α′ de los números α′ de la primera y segunda clase de nú-meros menores que α conforman un conjunto bien ordenado, de acuer-do a su magnitud, con tipo α”. Demostración. Sea F un conjunto bien ordenado tal que F = α; sea f1 el menor elemento de F. Si α′ es un número ordinal arbitrario < α, entonces existe (§14) una sección A′ de F tal que

'A = α′,

y recíprocamente, cada sección A′ determina por su tipo 'A = α′ un número α ′ < α de la primera o segunda clase de números, porque, en vista de que F = ℵ0, 'A sólo puede ser un número cardinal finito o ℵ0. La sección A′ está determinada por un elemento f ′ f1 de F, y recíprocamente, cada elemento f ′ f1 de F determina una sección A′ de F. Si f ′ y f ′′ son dos elementos f1 de F, A ′ y A ′′ son las secciones que determinan en F, α′ y α′′ sus tipos ordinales, y si, digamos, f ′ ≺ f ′′, entonces (§13) A′ < A′′, por lo que α′ < α′′. [225] Por ello hagamos F = (f1, F ′), y logramos una aplicación entre estos conjuntos, si asociamos al elemento α′ de α′ el elemento f′ de F ′. Con ello se tiene

' 'Fα = .

Pero se cumple 'F = α − 1 y (según el Teorema E) α − 1 = α, por lo que

'α = α.

Ya que α = ℵ0, entonces también 'α = ℵ0; en consecuencia, se cumple:


III 22 (2007)

J. “El conjunto α′ de los números α′ de la primera y segunda clase menores que un número α de la segunda clase de números, tiene cardinalidad ℵ0.” K. “Cada número α de la segunda clase de números se obtiene de un predecesor inmediato α1 mediante la adición de 1:

α = α1 + 1,

o se puede dar una sucesión fundamental αν de números de la prime-ra o segunda clase de números tal que

α = lim .vvα ”

Demostración. Sea α = F . Si F tiene un mayor elemento g, enton-ces F = (A, g), donde A es la sección determinada por g en F. Entonces tenemos el primer caso, a saber,

α = A + 1 = α1 + 1.

En consecuencia, existe un predecesor inmediato que también se llama α1. Si F no posee un mayor elemento, entonces consideramos el con-junto α′ de los números de la primera y segunda clase de números que sean menores que α. Por el Teorema H el conjunto α′ es similar en su orden al conjunto F; por ello entre los números α′ no hay ninguno que sea el mayor. Según el Teorema J, el conjunto α′ se puede poner en la forma de una sucesión simple , vα infinita. Si empezamos con

,1α , entonces los sucesores según este orden, que difiere del orden se-

gún la magnitud, , ,2 3, ...α α serán menores que ,

1α ; en cualquier caso en lo sucesivo aparecen miembros > ,

1α ; porque ,1α no puede ser mayor

que el resto de los miembros, ya que entre los números , vα no hay uno mayor. Entre los ,

vα mayores que ,1α sea

2

,ρα el de menor índice. De

igual manera, sea 3

,ρα el número de la sucesión , vα mayor que

2

,ρα

con el menor índice. Si continuamos así, obtenemos una sucesión infi-nita creciente de números, una sucesión fundamental

2 3

, , , ,1 ρ ρ ρ, , ,... ,...

vα α α α

[226] Se cumple que

1 < ρ2 < ρ 3 < · · · < ρ v < ρ v+1, . . .

2 3 1

, , , , ,1 ρ ρ ρ ρ... ...,

v vα α α α α

+< < < < <

440 Georg Cantor

Mathesis

, ,ρ ρ ,

vα α< cuando µ < ρν,

y ya que claramente ν ≤ ρν, siempre tenemos

, ,ρ .

vvα α≤

Se deduce que cada número ,vα , y por ello también cada número α′ < α

será superado por un número ,ρv

α para un valor de ν suficientemente grande. Pero α es el sucesor inmediato de todos los números α′, por ello es también el sucesor inmediato de los ,

ρvα . Por lo anterior, hacemos ,

1α =

α1, 1

,ρv

α+

= αν+1, así que

α = Lim .vvα

De los Teoremas B, C, . . . , K se desprende que los números de la segunda clase de números se obtienen en dos formas a partir de núme-ros menores. A los de la primera, los llamamos números del primer tipo, se obtienen de un predecesor inmediato α1 mediante la adicción de 1, según la fórmula

α = α1 + 1;

los otros, los llamamos números del segundo tipo, son aquellos para los cuales no existe un predecesor inmediato α1; estos aparecen como nú-meros límite de sucesiones fundamentales αν según la fórmula:

α = lim .vvα

Aquí α es el sucesor inmediato, según el orden, de todos los núme-ros αν. Estas dos formas de reducir números mayores a menores la llama-mos el primero y segundo principio de construcción de los números de la segunda clase de números.

§16. La cardinalidad de la segunda clase de números es igual al

segundo menor número cardinal transfinito álef uno. Antes de que nos dediquemos en los siguientes párrafos a los números de la segunda clase de números y su cardinalidad dominante, queremos responder la pregunta sobre el número cardinal asociado al conjunto de todos estos números, Z(ℵ0) = α. [227] A. “La totalidad α de los números α de la segunda clase de números conforma un conjunto bien ordenado según la magnitud”.


III 22 (2007)

Demostración. Por Aα entendemos la totalidad de los números de la segunda clase de números, menores que el número dado α, en su orden de acuerdo a la magnitud, así que Aα es un conjunto bien ordenado de tipo α −ω. Esto se deduce del Teorema H, §15. El conjunto, que allí se denotó con α′, de todos los números α′ de la primera y segunda clase de números se obtiene de la unión de ν y Aα, de tal suerte que

α′ = (ν, Aα). Por ello

' v Aαα = + y puesto que

' , vα α ω= = , se cumple que

Aα = α − ω.

Sea J un subconjunto de α tal que existen números en α mayo-res que todos los números en J. Sea α0 uno de esos números. Entonces J también es un subconjunto de

0 1Aα + , y de hecho, tal que al menos el

número α0 de 0 1Aα + es mayor que todos los números en J. Puesto que

0 1Aα + es un conjunto bien ordenado, debe existir (§12) un número α′ de

0 1Aα + , y que por ello pertenece a α, que sea el sucesor inmediato de todos los números en J. Con ello se satisfacen las condiciones II, §12 respecto a α; la condición I, §12 también se satisface, pues α con-tiene al menor número ω. Si aplicamos los teoremas A y C al conjunto α, se obtienen los siguientes teoremas: B. “Cada conjunto de números distintos de la primera y segunda clase de números tiene un menor elemento, un mínimo”. C. “Cada conjunto de números distintos de la primera y segunda clase de números considerados con el orden respecto a la magnitud es un conjunto bien ordenado”. Primero se muestra que la cardinalidad de la segunda clase de nú-meros es distinta de la de los de la primera clase, que es ℵ0. D. “La cardinalidad de la totalidad α de los números α de la segunda clase de números no es igual a ℵ0.” Demostración. Si tuviesemos α = ℵ0, podríamos representar a la totalidad de α en la forma de una sucesión simple e infinita

γ1, γ2, . . .γv, . . . [228]

442 Georg Cantor

Mathesis

de tal forma que γv, la totalidad de los números de la segunda clase de números, se podría representar en un orden distinto al dado por la mag-nitud y γv no contendría un mayor elemento, mucho menos α. Partiendo de γ1, sea

2ργ el miembro con menor índice de esa suce-

sión > γ1, 3ργ el miembro con menor índice >

2ργ , etcétera.

Obtenemos una sucesión infinita creciente de números

2 v1 ρ ργ , γ ,...γ ,...,

tal que 1 < ρ2 < ρ2 · · · ρ2 < ρv+1, . . . ,

2 3 v v+11 ρ ρ ρ ργ γ γ ...γ γ ,< < <

vργ γv ≤ .

Según el Teorema C, §15 existiría un determinado número δ de la se-gunda clase de números, a saber,

δ = vρ

Lim γ .v

que sería mayor que todos los γρν ; por consiguiente se tendría

δ > γν para cada ν. Si γν contiene a todos los números de la segunda clase de núme-ros, tiene también al número δ; así que para un cierto ν0 se cumpliría

δ = 0

γv ,

ecuación que es incompatible con la relación δ > 0

γv . La suposición

α = ℵ0 conduce entonces a una contradicción. E. “Un conjunto arbitrario β de números β de la segunda clase de números tiene, cuando es infinito, el número cardinal ℵ0 o el número cardinal β de la segunda clase de números”. Demostración. El conjunto β en el orden de magnitud es, como subconjunto del conjunto bien ordenado α según el Teorema O, §13, similar a una sección

0Aα del último (es decir, al conjunto de todos los

números de la segunda clase de números < α0, en el orden dado por su magnitud) o es similar a α. Como se probó en la demostración del Teorema A, se tiene

0Aα = α0 − ω.

Tenemos entonces β = α0 − ω o β = α , por lo que también β

es = 0α ω− o = α . Pero 0α ω− es un número cardinal finito o = ℵ0


III 22 (2007)

(teorema J, §15). El primer caso se excluye aquí pues β se supuso un conjunto infinito. Por lo tanto, el número cardinal β es = ℵ0 o = α . F. “La cardinalidad de la segunda clase de números α es el se-gundo menor cardinal transfinito álef uno”. [229] Demostración. No existe ningún número cardinal a que sea > ℵ0

y < α . En caso contrario, por §2 existiría un subconjunto infinito β

de α tal que β = a. Como consecuencia del Teorema E recién demostrado el conjunto β tiene el número cardinal ℵ0 o el número cardinal α . En conse-

cuencia, el número cardinal α es necesariamente el sucesor inmedia-to, según magnitud, de ℵ0 que llamamos ℵ1. Por consiguiente, en la segunda clase de números Z(ℵ0) tenemos el representante natural para el segundo menor número cardinal álef uno.

§17. Los números de la forma ωµν0 + ωµ-1ν1 + · · · + νµ.

Es conveniente acostumbrarnos a trabajar con aquellos números de Z(ℵ0) que son funciones enteras (racionales) de grado finito en ω. Cada uno de tales números se puede escribir en forma única como

(1) ϕ = ωµν0 + ωµ-1ν1 + · · · + νµ,

donde µ, ν0 son finitos y distintos de cero, ν1, ν2, . . . νµ pueden ser cero. Esto se debe a que (2)

,

' ,v v vµ µ µω ω ω+ = cuando µ′ < µ y ν > 0. Porque según (8), §14 se cumple

, , ,

' ( ' ),v v v vµ µ µ µ µω ω ω ω −+ = +

y por el Teorema E, §15 ' '' .vv v vµ µ µω ω− −+ =

En consecuencia, en algunas expresiones de la forma ,

...+ ' ...v vµ µω ω+ +

se puede prescindir de los miembros que, moviéndose hacia la derecha, suceden a miembros de grado en ω superior. Este procedimiento se puede continuar hasta que se obtiene la fórmula en

444 Georg Cantor

Mathesis

(1). Debemos remarcar que

(3) ' ( ').v v vµ µ µω ω ω+ = +

Comparemos ahora el número ϕ con un número ψ del mismos tipo

(4) Ψ = ωλρ0 + ωλ−1ρ1 + · · · + ρλ.

Si µ y λ son distintos, digamos µ < λ, entonces por (2)

ϕ + ψ = ψ, por lo que

ϕ < ψ.

[230] Si µ = λ, ν0 y ρ0 son distintos y, digamos ν0 < ρ0, entonces por (2)

ϕ + (ωλ(ρ0 − ν0) +ωλ−1ρ1 + · · · + ρµ) = ψ,

por lo que también ϕ < ψ.

Finalmente, si

µ = λ, ν0 = ρ0, ν1 = ρ1, . . . νσ−1 = ρ σ−1, σ ≤ µ,

mientras que ν σ y ρ σ son distintos, digamos ν σ < ρ σ, entonces por (2)

ϕ + (ωλ−σ(ρσ − νσ ) + ωλ−σ−1ρσ+1 + · · · + ρµ) = ψ,

y otra vez ϕ < ψ.

Así, hemos visto que sólo para identidad completa de las expresio-nes ϕ y ψ pueden ser iguales los números por ellas representados. La adición de ϕ y ψ conduce al siguiente resultado: 1) si µ < λ, entonces, como se observó antes,

ϕ + ψ = ψ. 2) Si µ = λ, se tiene

ϕ + ψ = ωλ(ν0 + ρ0) + ωλ−1ρ1 + · · · + ρλ.

3) Si µ > λ, se tiene

ϕ + ψ = ωµν0 + ωµ−1ν1 + · · · +ωλ+1νµ−λ−1 + ωλ(νµ−λ + ρ0) ωλ−1ρ1 + · · · + ρλ.

Para efectuar la multiplicación de ϕ y ψ, observemos que, si ρ es un número finito distinto de cero, la fórmula es

(5) ϕρ = ωµν0ρ + ωµ−1ν1 + · · · + νµ.


III 22 (2007)

Ella se obtiene fácilmente mediante la realización de la suma ϕ + ϕ + · · · + ϕ que consiste en ρ sumandos. Mediante repetidas aplicaciones del teorema G, §15, se obtiene además, tomado en cuenta F, §15

(6) ϕω = ωµ+1, por lo que también (7) ϕωλ = ωµ+λ.

Por la ley distributiva, se tiene

ϕψ = ϕωλρ0 + ϕωλ−1ρ1 + · · · + ϕωλ−1 + ϕρλ.

Las fórmulas (4), (5) y (7) propician entonces el siguiente resultado: 1) Si ρλ = 0, se cumple

ϕψ = ωµ+λρ0 + ωµ+λ−1ρ1 + · · · + ωµ+1ρλ−1 = ωµψ.

2) Si ρλ es distinto de cero, entonces

ϕψ = ωµ+λρ0 + ωµ+λ−1ρ1 + · · · + ωµ+1ρλ−1 + +ωµν0ρλ +ωµ−1ν1 + · · · + νµ.

[231] De la siguiente forma logramos una notable descomposición de los números ϕ: sea (8) ϕ = 1 1µ µµ

0 1 ... ,τω κ ω κ ω κ+ + + donde

µ > µ1 > µ2 > · · · > µτ ≥ 0

y los números ℵ1, ℵ2, . . . , ℵτ son distintos de cero y finitos. Entonces tenemos

ϕ = 1 2 µµ µ1 2( ... )τ

τω κ ω κ ω κ+ + + 1µ-µ0( 1)ω κ + .

Mediante repetidas aplicaciones de esta fórmula obtenemos

ϕ = τ-1 τ-2 1 1µ µ µ µ µ µ µ1 2 0( 1) ( 1) ...( 1)τ τ τ

τ τ τω κ ω κ ω κ ω κ−− − −− −+ + +

Pero tenemos ωλκ + 1 = (ωλ + 1)κ ,

cuando ℵ es un número finito distinto de cero, por lo que

ϕ = τ-1 τ-2 1 1µ µ µ µ µ µ µ1 2 0( 1) ( 1) ...( 1)τ τ τ

τ τ τω κ ω κ ω κ ω κ−− − −− −+ + +

Los factores ωλ + 1 que aparecen aquí son todos indivisibles, y se puede representar un número ϕ como este producto en forma única. Si µτ = 0, ϕ es del primer tipo, en cualquier otro caso, del segundo tipo. La aparente desviación de las fórmulas en este parágrafo de aquellas dadas en (III 4, Nr. 5, §14, págs. 203 y siguientes), resulta sólo de la

446 Georg Cantor

Mathesis

forma de escribir el producto de dos números, pues en esta ocasión pusimos el multiplikandus a la izquierda, el multiplicador a la derecha, mientras que antes seguimos la regla contraria.

§18. La potencia γα en el dominio de la segunda clase de números.

Sea ξ una variable, cuyo dominio consiste en los números de la primera y segunda clase con excepción de 0. Sean γ y δ dos constantes pertene-cientes al mismo dominio, a saber,

δ > 0, γ > 1.

Podemos sustentar el siguiente teorema: A. “Existe una única función totalmente determinada f(ξ) de la variable ξ que satisface las siguientes condiciones: 1) f (0) = δ. 2) Si ξ′ y ξ′′ son dos valores arbitrarios de ξ, y

ξ′ < ξ′′, entonces

f (ξ′) < f (ξ′′).

[232] 3) Para cada valor de ξ se cumple

f (ξ + 1) = f (ξ)γ.

4) Si ξν es una sucesión fundamental arbitraria, también lo es f (ξν), y se cumple

Lim ,vvξ ξ=

entonces f (ξ) = Lim ( ).vv

f ξ ”

Demostración. De 1) y 3) tenemos

f (1) = δγ, f (2) = δγγ, f (3) = δγγγ, . . .

y puesto que δ > 0, γ > 1, se cumple

f (1) < f (2) < f (3) < · · · < f (ν) < f (ν + 1), . . .

Con ello queda totalmente determinada la función f (ξ) para el dominio ξ < ω. Ahora supongamos que el teorema se cumple para todos los valores de ξ < α, donde α es un número de la segunda clase, entonces también se cumple para ξ ≤ α. Porque si α es del primer tipo, se sigue de 3) que

f (α) = f (α1)γ > f (α1);


III 22 (2007)

así que se satisfacen también las condiciones 2), 3), 4) para ξ ≤ α. Pero si α es de la segunda clase y αν es una sucesión fundamental tal que Límν αν = α, se sigue de 2) que también f(αν) es una sucesión funda-mental y de 4) que f(α) = Lím ν f(αν). Si tomamos otra sucesión funda-mental , vα tal que Límν

,vα = α, entonces por 2) ambas sucesiones

fundamentales f (αν) y ,( )vf α son correspondientes; así que f (α) = Lím ν f (αν). El valor f(α) está también en este caso unívocamente de-terminado. Si α′ es un número < α, se verifica fácilmente que f (α′) < f (α). Así que las condiciones 2), 3), 4) se satisfacen también para ξ < α. De lo anterior se sigue la validez del teorema para todos los valores de ξ. Pues si hubiese una excepción ξ, para la cual no se satisficiera el teore-ma, por el Teorema B, §16 habría un menor de tales números, que llama-mos α. Entonces el Teorema sería cierto para ξ < α, pero no para ξ ≤ α, lo que estaría en contradicción con lo recién demostrado. Por lo tanto, existe una función y sólo una en todo el dominio de ξ que satisface las condiciones 1) a 4). [233] Si otorgamos a la constante δ el valor 1, y se denota la función f (ξ) como

γξ,

podemos formular el siguiente teorema: B. “Si γ es una constante > 1 arbitraria de la primera o segunda clase de números, entonces existe una función totalmente determinada γξ de ξ, tal que 1) γ0 = 1. 2) Si ξ < ξ′′, entonces γξ′ < γξ′′ . 3) Para cada valor de ξ se cumple γξ+1 = γξγ. 4) Si ξν una sucesión fundamental, también lo es vξγ y se tiene, cuando ξ = Límν ξν, también

γξ = ξlím γ v

v.”

Podemos reformular el teorema: C. “Si f (ξ) es la función de ξ caracterizada en el Teorema A, entonces

f (ξ) = δγξ.”

Demostración. Teniendo en cuenta (24), §14 es fácil cerciorarse de que la función δγξ no sólo satisface las condiciones 1), 2), 3) del Teo-rema A, sino también la condición 4) del mismo. Por la unicidad de la función f (ξ) debe ser idéntica con δγξ. D. “Si α y β son dos números arbitrarios de la primera o segunda clase de números con excepción del 0, entonces

448 Georg Cantor

Mathesis

γα+β = γαγβ.”

Demostración. Considere la función ϕ(ξ) = γα+ξ. Tomando en cuenta que según la fórmula (23), §14

Lim( ) Lim ,v vv vα ξ α ξ+ = +

reconocemos que ϕ(ξ) satisface las siguientes cuatro condiciones: 1) ϕ(0) = γα. 2) Si ξ′ < ξ′′, entonces ϕ(ξ′) < ϕ(ξ′′). 3) Para cada valor de ξ se cumple ϕ(ξ + 1) = ϕ(ξ)γ. 4) Si ξν es una sucesión fundamental tal que Límν ξν = ξ, entonces

ϕ(ξ) = Lim ( ).vvϕ ξ

Según el Teorema C se sigue, si ponemos δ = γα, que

ϕ(ξ) = γαγξ.

Si sustituimos aquí ξ = β, se deduce que

γα+β = γαγβ.

E. “Si α y β son dos números arbitrarios de la primera o segunda clase de números exceptuando al 0, entonces

γαβ = (γα)β.” [234] Demostración. Consideremos la función ψ(ξ) = γαξ y observemos que, según (24), §14, siempre ocurre que Límν αξν = αLímν ξν, así que basán-donos en el Teorema D podemos afirmar que: 1) ψ(0) = 1. 2) Si ξ′ < ξ′′, entonces ψ(ξ′) < ψ(ξ′′). 3) Para cada valor de ξ, ψ(ξ + 1) = ψ(ξ)γα. 4) Si ξν es una sucesión fundamental, también lo es ψ(ξν) y se cumple, cuando ξ = Límν ξν, también ψ(ξ) = Límν ψ(ξν). Del Teorema C se deduce, si se sustituye en él δ = 1 y γα por γ, que

ψ(ξ) = (γα)ξ. Sobre la magnitud de γξ respecto a ξ podemos establecer el siguiente teorema: F. “Si γ > 1, para cada valor de ξ se cumple

γξ ≥ ξ.” Demostración. En los casos ξ = 0 y ξ = 1 el teorema es inmediato. Ahora mostramos que, cuando se cumple para todos los valores de ξ menores que un número dado α > 1, también se cumple para ξ = α.


III 22 (2007)

Si α es del primer tipo, entonces por hipótesis

α1 ≤ 1γα , también

α1γ ≤ 1γ γα = γα, por ello

γα ≥ α1 + α1 (γ − 1) = α1γ.

Puesto que tanto α1 como γ − 1 son al menos = 1 y α1 + 1 = α, se deduce

γα ≥ α.

Si por el contrario α es del segundo tipo, a saber,

Lim vvα α=

entonces, ya que αν < α, de la hipótesis

αν ≤ γ vα , por lo que también se cumple

Lim Lim γ vvv v

αα ≤

es decir, α ≤ γα.

Si hubiesen valores de ξ para los cuales

ξ > γξ,

entre ellos existiría uno menor (según el teorema B, §16); si denotamos ese con α, tendríamos para ξ < α

[235] ξ ≤ γξ, mientras que

α > γα,

lo que contradice lo recién demostrado. Con ello hemos mostrado que para todo valor de ξ

γξ ≥ ξ.

§19. La forma normal de los números de la segunda clase.

Sea α algún número de la segunda clase. La potencia ωξ será mayor que α para valores suficientemente grandes de ξ. Este siempre es el caso, de

450 Georg Cantor

Mathesis

acuerdo con el Teorema F, §18, para ξ > α, pero en general también se considerarán valores menores de ξ. Por el Teorema B, §16 entre los valores de ξ para los cuales

ωξ > α,

debe existir uno menor; lo llamamos β y nos convencemos fácilmente que él no puede ser un número de la segunda clase. En efecto, si lo fuera

Lim ,vvβ β=

tendríamos, puesto que βν < β,

ω vβ α< , por lo que también

Lím v

v

βω α<

Así que ωβ < α,

mientras que se debe cumplir ωβ > α.

En consecuencia, β es del primer tipo. Denotamos β1 con α0, de tal suerte que β = α0 + 1 y podemos afirmar que existe un número total-mente determinado α0 de la primera o segunda clase que satisface las condiciones: (1) 0 0, .α αω α ω ω α≤ >

De la segunda condición deducimos que no para todo valor finito de ν se cumple

0 ,vαω α≤

pues en caso contrario se cumpliría también 0 0Límv vα αω ω ω α= ≤ El menor número finito ν para el cual

0 ,vαω α>

lo denotamos con κ0 + 1. De (1) se sigue que κ0 > 0. [236] Por consiguiente, existe también un número totalmente determi-nado κ0 de la primera clase de números, tal que

(2) 00 ,αω κ α≤ 0

0( 1) ,α κω α+ > .

Si hacemos α − 00ω ',α κ α= entonces

(3) α = 00 'α κω α+

y


III 22 (2007)

(4) 0 ≤ α′ < 00, 0 .α κω ω< <

Además, α se puede representar como en (3) en forma única con la condición (4). Porque de (3) y (4) se deducen, inversamente las condi-ciones (2), y de ellas las condiciones (1). Las condiciones (1) se satisfacen sólo por el número α0 = β−1, y mediante las condiciones (2) queda completamente determinado el número finito κ0. De (1) y (4) se sigue, considerando el teorema F, §18, que

α′ < α, α0 ≤ α.

Por lo que podemos afirmar la validez del siguiente teorema: A. “Cada número α de la segunda clase se puede representar en forma única como

00 'αα ω κ α= +

con 0 ≤ α′ < 0αω , 0 < κ0 < ω;

α′ siempre es menor que α, mientras que α0 es menor o igual que α.” Si α′ es un número de la segunda clase, podemos utilizar el Teorema A y obtener (5) α′ = 1α

1κω + α′′,

0 ≤ α′′ < 1α ,ω 0 < κ1 < ω, por lo que

α1 < α0, α′′ < α′.

En general, obtenemos la siguiente sucesión de ecuaciones

(6) α′′ = 2α2κω + α′′′,

(7) α′′′ = 3α3κω + αIV .

· · · · · · · · · · · · Esta sucesión no puede ser infinita, debe interrumpirse. Porque los números α, α′, α′′, . . . son decrecientes según su magnitud, es decir,

α > α′ > α′′ > α′′′ > · · ·

Si una sucesión decreciente de números transfinitos fuese infinita, entonces ninguno de ellos sería el menor; esto es imposible según el teorema B, §16. Por lo tanto, se debe cumplir

α(τ+1) = 0

para un cierto valor finito de τ. Si relacionamos las ecuaciones (3), (5), (6), (7), obtenemos el teorema:

452 Georg Cantor

Mathesis

[237] B. “Cada número α de la segunda clase se puede representar en forma única como

α = 0 1α αα0 1 ... ,τ

τκ κ κω ω ω+ + +

donde α0, α1, . . . ατ son números de la primera o segunda clase que satisfacen las condiciones

α0 > α1 > α2 > · · · > ατ ≥ 0,

mientras que κ0, κ1, κτ, τ + 1 son números, distintos de cero, de la pri-mera clase”. La forma que hemos presentado para los números de la segunda clase la llamamos forma normal; α0 es el “grado”, ατ el “exponente” de α; para τ = 0 el grado y el exponente son iguales entre sí. Dependiendo de si el exponente ατ es igual o mayor que 0, α es un número del primer o segundo tipo. Consideremos otro número β en forma normal

(8) 0 10 1 ... σβ ββ

σβ ω λ ω λ ω λ= + + + .

Tanto para comparar α con β como para sumarlos o restarlos sirven la fórmulas (9) ωα’κ ’ + ωα’κ = ωα’(κ ’ + κ),

(10) ωα’ κ ’ + ωα’’ κ ’’ = ωα’’ κ ’’ para α′ < α′′.

aquí κ, κ ’, κ ’’ son números finitos. Estas son generalizaciones de las fórmulas (3) y (2), §17. Para la formación del producto αβ son importantes las siguientes fórmulas: (11) αλ = 0 1α αα

0 1λ ... ττκ κ κω ω ω+ + + , 0 < λ < ω,

(12) αω = 0α +1ω ,

(13) αωβ′ = 0α +β'ω , β′ > 0.

La exponenciación αβ se efectua con facilidad mediante la siguiente fórmula: (14) αλ = 0α λ

0 ...,κω + 0 < λ < ω.

Los miembros a la derecha tiene grado menor que el primero. De esto se sigue fácilmente que las sucesiones fundamentales αλ y 0α λ ω son correspondientes, de tal forma que

(15) αω = 0α ωω , α0 > 0.

Por lo que, como consecuencia del teorema E, §18:


III 22 (2007)

(16) β'β'

0α ωω = ,α ω α0 > 0, β′ > 0.

Con ayuda de estas fórmulas se pueden demostrar los siguientes teoremas: [238] C. “Si los primeros miembros 0

0

α κω , 0α0λω de las formas normales de

los números α y β no son iguales, entonces α es mayor o menor que β, dependiendo de si 0

0

α κω es menor o mayor que 0β0λω . Pero si se tiene

0

0

α κω = 0β0λω , 1α

1κω = 1β1λω , … ρα

ρκω = ρβρλω

y si ρ+1αρ+1κω es menor o mayor que ρ+1β

ρ+1λω , entonces también es α

menor o mayor que β, respectivamente.” D. Si el grado α0 de α es menor que el grado β0 de β, entonces

α + β = β. Si α0 = β0, entonces

α + β = 0βω ( κ0 + λ0) + 1βω λ1 + · · · + σβω λσ . Pero si

α0 > β0, α1 > β0, . . .αρ ≥ β0, αρ+1 < β0, entonces

α + β = 0

0

α κω + · · · +ρ

ρακω + 0

0βω λ + 1

1βω λ + · · · + σβ

σω λ .”

E. “Si β es del segundo tipo (βσ > 0), entonces

αβ = 0 0 0 1 0 00 1 ... σα β α β α β α

σω λ ω λ ω λ ω β+ + ++ + + = ,

pero si β es del primer tipo (βσ = 0), entonces

αβ = 0 0 0 1 0 1 00 1 1 0... σα β α β α β α

σ σω λ ω λ ω λ ω κ λ−+ + +−+ + + +

11 ... ταα

τω κ ω κ+ + + .”

F. “Si β es del segundo tipo (βσ > 0), entonces

αβ = 0α βω ;

pero si β es del primer tipo (βσ = 0), a saber, β = β′ +λσ , donde β′ es del segundo tipo, entonces se cumple

αβ = 0 ' σα β λω α .”

G. Cada número α de la segunda clase se puede representar en forma única como el producto:

α = 0γω κ τ( 1γω + 1) κτ-1 2γ(ω + 1)κ τ-2 · · · γ( τω + 1)κ 0,

y se cumple

454 Georg Cantor

Mathesis

γ0 = ατ, γ1 = ατ−1 − ατ, γ2 = ατ−2 − ατ−1, . . . γτ = α0 − α1,

mientras que κ 0, κ 1, . . . κ τ tienen el mismo significado que en la forma normal. Los factores ωγ + 1 son irreducibles.” H. “Cada número α del segundo tipo perteneciente a la segunda clase de números se puede representar en forma única en la forma:

α = 0γ 'ω α ,

donde γ0 > 0 y α′ es un número del primer tipo perteneciente a la pri-mera o segunda clase.” [239] J. “Para que dos números α y β de la segunda clase satisfagan la rela-ción

α + β = β + α

es necesario y suficiente que tengan la forma

α = γµ, β = γν,

donde µ y ν son números de la primera clase de números”. K. “Para que dos números α y β de la segunda clase, ambos del primer tipo, satisfagan la relación

αβ = βα

es necesario y suficiente que sean de la forma

α = γµ, β = γν,

donde µ y ν son números de la primera clase.” Para ejemplificar la trascendencia de la forma normal y de la direc-tamente relacionada forma producto de los números de la segunda clase de números, se derivarán las demostraciones de los Teoremas J y K. De la suposición

α + β = β + α

deducimos primero que el grado α0 de α debe ser igual al grado β0 de β. Si tuviesemos α0 < β0, se cumpliría (según el Teorema D) que

α + β = β, de donde se sigue que

β + α = β,

lo que no es posible, pues por (2) §14

β + α > β. Por ello podemos hacer


III 22 (2007)

α = 0αω µ + α′, β = 0αω ν + β′,

donde los grados de los números α′ y β′ son menores que α0, µ y ν son números finitos distintos de 0. Por el Teorema D se cumple

α + β = 0αω (µ + ν) + β′, β + α = 0αω (µ + ν) + α′,

así que 0αω (µ + ν) + β′ = 0αω (µ + ν) + α′.

Según el Teorema D, §14 se tiene

β′ = α′. Con ello logramos

α = 0αω µ + α′, β = 0αω ν + α′, [240] y si se hace

0αω + α′ = γ, por (11)

α = γµ, β = γν. Por otro lado supongamos que dos números de la segunda clase de números del primer tipo α y β satisfacen la condición

αβ = βα y que

α > β.

Representamos ambos números, según el Teorema G, en su forma producto y sean

α = δα′, β = δβ′,

donde α′ y β′ no tienen factores izquierdos extremos en común (excepto 1). Entonces se cumple

α′ > β′ y

α′δβ′ = β′δα′.

Todos los números involucrados y los que aparezcan en lo sucesivo son del primer tipo, pues esto se supuso de α y β. La última ecuación (teniendo en cuenta el teorema G) permite reco-nocer que α′ y β′ no pueden ser ambos transfinitos, pues en tal caso tendrían un factor izquierdo extremo común. Pero tampoco pueden ser ambos finitos; porque en tal caso, δ sería transfinito y si κ es el factor izquierdo finito extremos de δ, entonces

α′κ = β′κ,

456 Georg Cantor

Mathesis

y también α′ = β′.

La única posibilidad que queda es que

α′ > ω, β′ < ω.

Pero el número finto β′ debe ser 1:

β′ = 1,

pues de lo contrario estaría contenido como factor en el factor extremo izquierdo finito de α′. Llegamos al resultado β = δ, por consiguiente

α = βα′,

donde α′ es un número del primer tipo perteneciente a la segunda clase de números que debe ser menor que α:

α′ < α.

Entre α′ y β se cumple la relación

α′β = βα′.

[241] Por lo tanto, si α′ > β, se deducen la misma forma la existencia de un número transfinito del primer tipo α′′ < α′, tal que

α′ = βα′′, α′′β = βα′′.

Si también ocurre α′′ > β, existe uno de tales números α′′′ < α′′, tal que

α′′ = βα′′′, α′′′β = βα′′′, y así sucesivamente. La sucesión decreciente de números α, α′, α′′, α′′′, . . . debe inte-rrumpirse, según el teorema B, §16. En consecuencia, se debe cumplir, para un cierto índice finito ρ0,

0(ρ )α ≤ β. Si

0(ρ )α = β, entonces

α = 0ρ 1β + , β = β;

quedaría demostrado el teorema K y se cumpliría

γ = β, µ = ρ0 + 1, ν = 1. Pero si

0(ρ )α < β,


III 22 (2007)

hacemos 0(ρ )α = β1

y tenemos α = 0ρβ β1, ββ1 = β1β, β1 < β.

Por lo tanto existe un número finito ρ1 tal que

β = 1ρ1β β2, β1β2 = β2β1, β2 < β1.

En general, se obtiene en forma análoga

β1 = 2ρ2β β3, β2β3 = β3β2, β3 < β2

y así sucesivamente. También la sucesión decreciente de números β1, β2, β3, . . . debe interrumpirse, según el teorema B, §16. En consecuencia, existe un número finito κ tal que

βκ −1 = ρκκβ .

Si hacemos βκ = γ,

entonces α = γµ, β = γν,

donde µ y ν son el numerador y denominador de la cadena fraccionaria

0

1

1ρ1ρ ...ρ

vκ

µ= +

+ +

[242] §20.

Los ε-números de la segunda clase. El grado α0 de un número α nunca es, como se desprende de la forma normal

(1) α = 0αω κ 0 + 1αω κ 1 + · · · , α0 > α1 > · · · , ó < κ ν < ω

teniendo en cuenta el Teorema F, §18, mayor que α; la pregunta es si existen números α para los cuales α0 = α. En tal caso se debe reducir la forma normal de α al primer miembro y éste debe ser = ωα, es decir, α debe ser raíz de la ecuación

(2) ωξ = ξ

Por otro lado cada raíz de esta ecuación debe tener forma normal ωα; su grado sería igual a él mismo.

458 Georg Cantor

Mathesis

Los números de la segunda clase que son iguales a su grado coinci-den con las raíces de la ecuación (2). Nuestra tarea es determinar todas esas raíces. Para distinguirlas de los números restantes, las llamamos “ε-números de la segunda clase de números”. Que realmente existen tales números, se deduce del siguiente Teorema: A. “Si γ es un número de la primera o segunda clase que no satisfa-ce la ecuación (2), entonces él determina una sucesión fundamental γν mediante las ecuaciones

γ1 = ωγ, γ2 = 1γ ,ω . . . γν = v-1γ ,ω . . .

El límite Límν γν = E(γ) de esta sucesión fundamental siempre es un ε-número.” Demostración. Puesto que γ no es un ε-número, entonces ωγ > γ, es decir, γ1 > γ. De acuerdo con el teorema B, §18 se cumple también 1γω > ωγ, es decir, γ2 > γ1 y en la misma forma se deduce que γ3 > γ2, etcétera. La sucesión γν es por consiguiente una sucesión fundamental. Su límite, que es una función de γ, lo llamamos E(γ) y se cumple

ωE(γ) = γ+1Lím = Lím γv

vv vω = E(γ).

Por ello E(γ) es un ε-número. B. “El número ε0 = E(1) = Límν ων, donde

ω1 = ω, ω2 = 1ω ,ω ω3 = 2ω ,ω . . . ων = -1ω ,vω . . .

es el menor de todos los ε-números.” [243] Demostración. Sea ε′ un ε-número, tal que

ωε′ = ε′.

Ya que ε′ > ω, entonces ωε′ > ωω, es decir, ε′ > ω2. De aquí se sigue igualmente que ωε′ > 2ωω , es decir, ε′ > ω3, etcétera. En general tenemos

ε′ > ων por lo que

ε′ ≥ Lím vvω ,

es decir, ε′ ≥ ε0.

Así que ε0 = E(1) es el menor de todos los ε-números. C. “Si ε′ es un ε-número, ε′′ el siguiente ε-número y γ cualquier número entre ellos

ε′ < γ < ε′′,


III 22 (2007)

entonces E(γ) = ε′′.” Demostración. De

ε′ < γ < ε′′ se sigue que

ωε′ < ωγ < ωε′′, es decir,

ε′ < γ1 < ε′′

y así sucesivamente. De esto se deduce igualmente

ε′ < γ2 < ε′,

etcétera. En general tenemos

ε′ < γν < ε′′, por lo que

ε′ < E(γ) ≤ ε′′.

Según el Teorema A, E(γ) es un ε-número. Ya que ε′′ es el sucesor de ε′ entre los ε-números, no puede ocurrir que E(γ) < ε′′, por lo que se debe cumplir

E(γ) = ε′′.

Dado que ε′ + 1 por definición no puede ser un ε-número, pues todos los ε-números, como se sigue de la ecuación que los define ξ = ωξ, son del segundo tipo, ε′ + 1 es con seguridad menor que ε′′, con lo que tenemos el teorema: D. “Si ε′ es un ε-número, entonces E(ε′ + 1) es el siguiente ε-número.” Al menor ε-número ε0 le sigue el que llamaremos ε1,

ε1 = E(ε0 + 1), [244] y a éste el siguiente

ε2 = E(ε1 + 1) etcétera. En general, tenemos la fórmula recursiva para el (ν + 1)-ésimo ε-número respecto a la magnitud:

(3) εν = E(εν−1 + 1).

Pero ya que claramente la sucesión infinita

ε0, ε1, . . . εν, . . .

de ninguna manera abarca a todos los ε-números, se desprende el si-guiente teorema:

460 Georg Cantor

Mathesis

E. “Si ε, ε′, ε′′, . . . es una sucesión infinita de ε-números tal que

ε < ε′ < ε′′ · · · ε(ν) < ε(ν+1) · · · ,

entonces también Límν ε(ν) es un ε-número, a saber, el ε-número sucesor inmediato a todos los ε(ν).” Demostración.

( )( )Lim ε ε ( )Lím Lím .

vv

v v

v vω ω ε= =

Que ( )Lím v

vε es el ε-número sucesor inmediato de todos los ε(ν) se de-

duce de que Límν ε(ν) es el número sucesor inmediato de la segunda clase de todos los ε(ν). F. “La totalidad de los ε-números de la segunda clase ordenados según su magnitud conforman un conjunto bien ordenado de tipo Ω de la segunda clase de números ordenados según la magnitud por lo que tiene la cardinalidad álef uno.” Demostración. La totalidad de los ε-números de la segunda clase de números conforma, según el Teorema C, §16 ordenados según su mag-nitud, un conjunto bien ordenado

(4) ε0, ε1, . . . εv, . . . εω, εω+1, . . . εα′ , . . .

cuya forma de construirse se expresa en los Teorema D y E. Si el índice α′ no recorriese todos los números de la segunda clase de números, debería existir un menor número α que no alcanzará. Esto se opondría al teorema D, cuando α fuera del primer tipo, y al teorema E, cuando α fuera del segundo tipo. Por lo tanto, α′ toma como valores todos los números de la segunda clase de números. Si denotamos con Ω el tipo de la segunda clase de números, enton-ces el tipo de (4) es

ω + Ω = ω + ω2 + (Ω − ω2);

[245] pero como ω + ω2 = ω2, se sigue que

ω + Ω = Ω.

Por consiguiente, también

ω + Ω = Ω = ℵ1.

G. “Si ε es un ε-número y α un número arbitrario de la primera o segunda clase de números menor que ε:

α < ε,

entonces ε satisface las tres ecuaciones


III 22 (2007)

α + ε = ε, αε = ε, αε = ε.”

Demostración. Si α0 es el grado de α, entonces α0 ≤ α, y como α < ε también se cumple α0 < ε. El grado de ε = ωε es ε; así que α tiene un grado menor que ε, por lo que según el Teorema D, §19

α + ε = ε, de donde se sigue también

α0 + ε = ε,

Por otro lado, por las fórmulas (13), §19 tenemos

αε = αωε = 0α +εω = ωε = ε,

de donde se sigue también α0ε = ε.

Finalmente, de la fórmula (16), §19 tenemos

αε = 0 0= εε α ω α εωα ω ω= = ωε = ε.

H. “Si α es un número de la segunda clase de números, la ecuación

αξ = ξ,

no tienen más raíces que los ε-números mayores que α.” Demostración. Sea β una raíz de la ecuación

αξ = ξ, así

αβ = β,

por lo que se sigue de esta fórmula que

β > α.

Por otro lado, β debe ser del segundo tipo, de lo contrario tendría-mos

αβ > β.

En consecuencia, tenemos, por el teorema F, §19

αβ = 0α β ,ω por ello

0α βω = β.

[246] Según el Teorema F, §18 0α βω ≥ α0β,

así que

462 Georg Cantor

Mathesis

β ≥ α0β.

Pero no puede ocurrir que β > α0β; en consecuencia

α0β = β, y por ello

ωβ = β.

Por lo tanto, β es aun ε-número mayor que α.


Del mercado a la teoría del inconsciente: El sujeto de la

filosofía y de la ciencia

Walter Beller

Jaime Labastida. 2007. El Edificio de la Razón. El sujeto científico. México: UNAM y Siglo XXI. 264 págs.

No hay manera de calcular el enorme daño que ha desencadenado la extendida versión de la (supuesta) ‘neutralidad’ de la ciencia, según la cual sólo deben tomarse en cuenta los ‘hechos’ constatables y por ello eliminar ‘interpretaciones’ y ‘valores’, que sería lo propio de la subjeti-vidad. Su supuesto básico es que cualquier intervención de la subjetivi-dad resulta inadecuada para el quehacer científico regular, eficiente y comprobable. Sólo habría que hablar de las teorías, de manera total-mente anónima. Así, la ciencia sería “un conocimiento sin conocedor; un conocimiento sin sujeto cognoscente” Popper [1979, 109]. Dado el predominio del neutralismo, cualquier elucidación alterna-tiva debe enfrentar y resolver varios espinosos problemas conceptuales —¿qué se entiende por sujeto?, ¿cómo interviene en la práctica científi-ca?, ¿hay una o varias teorías del sujeto?—. En primer término, deberá distinguir el ‘sujeto individual’ o egocéntrico —centrado en los órganos de los sentidos, en su propia acción o en sus íntimas convicciones y creencias, por lo cual es fuente de deformaciones o ilusiones— del ‘sujeto epistémico’, descentrado, cuyas actividades epistémicas son comunes a todos los sujetos racionales posibles —i.e., aquel que coor-dina sus acciones entre sí y con las de otro, que mide, calcula, deduce e interpreta de manera verificable por cualquiera—. Desde luego, un análisis no-objetivista de la ciencia dejará fuera al sujeto individual para

464 Walter Beller

Mathesis

concentrarse exclusivamente en el sujeto epistémico.1 El problema radica en que para ciertas escalas de fenómenos (e.g., los de física clá-sica) la intervención del sujeto es mínima, en el sentido que las ecua-ciones y deducciones de la teoría reemplazan su acción, de modo que el objeto se ha hecho ‘relativamente’ independiente del sujeto; mientras que en otras escalas —e.g., microscópicas— la acción del experimenta-dor modifica el fenómeno observado. Además de los diversos grados de intervención de la subjetividad, el caso extremo lo representan las ciencias sociales, donde la estructura de la palabra y los simbolismos hacen más difícil la descentración respecto del sujeto individual. Por consiguiente, buscar una explicación exhaustiva del sujeto epistémico no deja de presentar difíciles escollos. El filósofo mexicano Jaime Labastida ha asumido esos riesgos en el libro El edificio de la razón. El sujeto científico. Se trata de una especie de pequeña enciclopedia sobre un repertorio de nociones sobre el suje-to, vistas en una doble perspectiva, la filosófica y la científica. El libro está dividido en las dos partes correspondientes, aunque el tema es trabajado en una suerte de ontología de la subjetividad. La estructura del lenguaje: Estructura del sujeto En la primera parte, Labastida examina cuidadosamente el tema del sujeto desde la perspectiva de la filosofía antigua y moderna. Expone y discute las coincidencias, divergencias y los límites del concepto de sujeto epistémico en la historia de la filosofía. Propone, como momento fundante del sujeto epistémico, la formulación de Heráclito cuando asegura: “lo que oyen no es mío, sino de la razón”. Labastida interpre-ta: “¿Qué oyen los hombres? Oyen la voz de Heráclito; pero su voz no es suya (según él afirma), sino que es de (o le pertenece a) λόγος, a la palabra, a la razón”. Según Labastida, el lenguaje es una estructura racional y como tal representa al Otro, “al Gran Otro, al sujeto univer-sal, al sujeto de la Razón” [p. 204]. O sea, no hay racionalidad fuera del lenguaje. Desde luego, el lenguaje no puede ser pensado como instru-mento o herramienta del sujeto psicológico —no obstante la ilusión de ser ‘dueño’ del lenguaje— sino característica definitoria del sujeto epistémico. La estructura del lenguaje corresponde a las estructuras de la racio-nalidad y, por ende, es coincidente con la naturaleza del sujeto episté-mico. O, al menos, son estructuralmente análogas. “La estructura del lenguaje es una estructura semejante a la del sujeto que habla y que

1. La distinción la tomamos de Piaget 2004, capítulo VIII.

Matemáticas y racionalidad 465

III 22 (2007)

razona” [p. 30]. Con esta premisa de partida, Labastida explicará cómo la analogía estructural entre la palabra y la razón fue escrupulosamente desmenuzada por los filósofos griegos, así como por los pensadores del Renacimiento y, sin duda, por los filósofos de la modernidad: Spinoza, Descartes, Hume y Kant. Es este último el que ha elaborado —puntualiza Labastida— “una teoría del sujeto trascendental que supera todas las teorías anteriores”, cuyo modelo es el de “todo sujeto racional posible” [p. 115]. Aquí ya no hay sino una razón absolutamente autó-noma, plenamente soberana; pero sin diálogo posible con otro (sujeto), ni con lo otro (la realidad). La razón se volverá razón abstracta y tras-cendental; el a priori puro. “Si el sujeto kantiano en algún momento pudiera dialogar —escribe—, lo haría ante el espejo que le devolvería intacta su propia imagen, su palabra propia.” [p. 115]. (Esta explicación recuerda ‘la fase del espejo’ y la fórmula: El receptor recibe su propio mensaje en forma invertida; es decir, espejo y fórmula de comunica-ción, revelan algunos ecos de Lacan, como veremos más adelante). La primera parte del libro El edificio de la razón, consagrada a la filosofía del sujeto epistémico, concluye con Hegel quien, al abrir el campo del conocimiento a la contradicción, ha abierto el campo del diálogo (con el Otro), a la par que descubre el terreno de (la categoría) la posibilidad ilimitada, mostrando que en el sistema sólo hay interrela-ciones, dando por supuesta la inevitable relatividad en nuestras nocio-nes. Subraya Labastida: “Hegel, el filósofo de lo Absoluto, es el más humilde de todos los filósofos: sabe que todo es relativo” [p. 120]. ¿El ocaso de la subjetividad? La segunda parte de El edificio de la razón está dedicada a exponer la progresiva construcción del sujeto epistémico, pero ahora desde el ángulo de las ciencias. La vereda trazada va desde el renacimiento hasta la filosofía contemporánea de la ciencia. Labastida revisa, en primer término, algunas teorías de la naturaleza: La obra de Buffon, con sus avances y retrocesos; los estudios de Alexander von Humboldt (una obra que Labastida conoce a profundidad), y culmina con Darwin (quien ‘ha movido el edificio entero de la Naturaleza, incluido el hom-bre’). Luego de este recorrido, la consecuencia que extrae es que la ciencia natural moderna reclama a otro tipo de sujeto, ya muy alejado del pensamiento mítico arcaico, del sujeto centrado en sus propias ac-ciones, para encontrarse con un nuevo tipo de sujeto que interroga a la naturaleza y establece —con la matemática y la lógica de por medio— las leyes de la naturaleza como leyes objetivas. Ahora el proceso es descentrado y objetivo. “El universo –escribe Labastida— está obligado

466 Walter Beller

Mathesis

a seguir leyes que nada ni nadie es capaz de alterar. El hombre de ciencia se limita a hacer el registro de esas leyes, que enuncia con toda frialdad. El sujeto que enuncia esa objetividad ¿ha muerto?” [p. 167] —se pregunta al final de su revisión sobre las ciencias de la naturaleza. La otra faceta de la acrisolada construcción del sujeto epistémico la muestran las ciencias humanas o sociales. Surgieron éstas en tres vertientes: La economía política, en Inglaterra; la sociología, en Francia; y la lingüísti-ca comparada, en Alemania.2 El sujeto aparece, entonces, como el sujeto de la producción y el comercio, sometido a la nueva racionalidad económica capitalista. Igualmente, el sujeto aflora como un ser eminentemente social, subordinado a las determinaciones del espacio institucional. Asimismo, el sujeto emerge como sujeto de la lengua (y es que dada la capacidad ‘recur-siva’ del lenguaje humano, podemos hacer girar el lenguaje sobre sí mismo, con lo cual se establece la base de la ‘reflexión’ y, concomitantemente, de la razón). En cada caso hay consideraciones contrapuestas, porque en estas ciencias el concepto de sujeto oscilará entre el sujeto individual o egocén-trico y los procesos de descentración, aunque el sujeto epistémico se mues-tre siempre inevitablemente atado —sujetado— al lenguaje.

El sujeto de la ciencia, el sujeto del que [Adam] Smith arranca es el sujeto económico, que es en todo caso asumido como sujeto indivi-dual que intercambia sus productos con otro sujeto individual. Todo ocurre entre individuos. Hay —señala Labastida— un evidente contra-sentido, pues en tanto que la economía política es una ciencia de la so-ciedad, se considera que la sociedad misma la forman sólo individuos, los individuos aislados de la sociedad burguesa [p. 172].

Esta contradicción será superada en parte por Ricardo. Más tarde, con Marx —según nuestro autor—, la economía política encontrará las leyes contradictorias que gobiernan la producción en la formación so-cial capitalista. Defiende Labastida frente a Lakatos y Popper las aportaciones de Marx como un programa serio de investigación, aunque advierte que llevar las leyes de la economía a la proyección del futuro es del todo incorrecto. ¿Por qué la ciencia marxista incurre en el error de la utopía? Porque no considera el azar, la incertidumbre ni la pluralidad de varia-bles que intervienen en el proceso social. O sea, las leyes sociales son una conjunción compleja del azar y la necesidad, mucho más acentuada que en la biología [Cfr. p. 184].

2. Labastida no hace una presentación de las ciencias sociales con el criterio de la nacio-

nalidad, pero creo que es importante hacerlo así dados los diferentes presupuestos epis-temológicos que se articulan sobre la concepción del mundo existente en cada región [véase: García 2000, capítulo 6].


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En cuanto a la sociología, Labastida elogia las aportaciones de Comte. “El sujeto de la ciencia que propone Comte posee rasgos nítidos: es el amo y señor de la naturaleza. Las ciencias han despejado el camino para obtener un gobierno científico de la sociedad”; y concluye con una aseveración un tanto cuanto insólita: “Pese a sus excesos y simplificaciones, Comte sigue vivo” [p. 191]. Es así dado que representa la aspiración y tendencia más perseverante que defiende la unidad de las ciencias y preconiza sus aplica-ciones tecnológicas, según asegura Labastida. La estructura de la falta Respecto de la lingüística, su reconstrucción en El edificio de la razón tiene dos alcances diferentes. Una ligada al estructuralismo (Saussure y Lévi-Strauss) y otra al psicoanálisis (Freud, Lacan), así como a los problemas fundamentales de la física contemporánea. En esta segunda, el concepto de sujeto se ha vuelto mucho más complejo. Si como ha sostenido Labastida, a lo largo de las dos terceras partes del libro, el lenguaje es racionalidad y por ende el fundamento más sólido del sujeto epistémico, con la teoría del inconsciente “surgen grietas en aquel edificio que parecía perfecto” [p. 201]. Ya no sólo es una indagación sobre la palabra, sino también sobre la no-palabra, es decir, sobre el ‘silencio’. Pero también un espacio donde el silencio habla: El silencio de las pulsiones.3 “El psicoanálisis muestra ante el sujeto un espejo opaco –señala Labas-tida en un tono denso—, acaso la relación extraña, esta relación oscura que atraviesa el carácter turbio del lenguaje, tal vez el vínculo débil que hay entre palabra y silencio, de Heidegger a Wittgenstein.” [p. 201]. He aquí el quiebre: El sujeto epistémico tiene, como lo ha puesto de manifiesto la teoría del inconsciente, límites insalvables, pues las palabras dejan de tener referentes fijos y únicos. La univocidad cede ante el lapsus y el equívoco. Frente a la claridad y distinción de las ideas cartesianas, la opacidad se convierte en un borde infranqueable. El inconsciente se estructura como un lenguaje, ha sido la fórmula emblemática de Lacan, una alteridad tan radi-cal respecto del sujeto como “la de los jeroglíficos todavía indescifrables en la soledad del desierto”, leemos en los célebres Escritos. 4

3. Sin duda, la referencia a este tema está principalmente desarrollado por Freud [1915].

Entre las múltiples exposiciones y explicaciones sobre este punto, puede consultarse Scarfone [2005].

4. Uno de los lugares donde Lacan [1985] menciona esta fórmula es cuando afirma: “si nos ha enseñado a seguir en el texto de las asociaciones libres la ramificación ascen-dente de esa estirpe simbólica, para situar por ella en los puntos en que las formas ver-bales se entrecruzan con ella los nudos de su estructura queda ya del todo claro que el síntoma se resuelve por entero en un análisis del lenguaje, porque él mismo está estruc-turado como un lenguaje, porque es lenguaje cuya palabra debe ser liberada”.

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Es en esta última parte cuando vemos que las indagaciones de Jaime Labastida han girado de manera radical. Una superestructura más compleja El primer trabajo filosófico amplio que publicó Labastida se tituló Pro-ducción, ciencia y sociedad: de Descartes a Marx. En ese estudio pre-tendía mostrar los vínculos entre la producción manufacturera y las ideas filosóficas cartesianas (basado en la tesis ontológica de Marx: “el ser [económico] determina la conciencia, y no al revés”). Empleando esa metodología Labastida publicó otros estudios, sobre Humboldt, así como sobre la filosofía francesa del siglo XVII. En todo ello supo com-binar la dialéctica hegeliana y marxista con los estudios de la historia de la ciencia de Koyré. Sorprende que ahora juzgue sus trabajos primarios como “una sociología de la filosofía” [p. xi] (según su propia confesión en la nota inicial del libro que comentamos). Caracterizarlos como sociología no es suficiente, ya que dichos trabajos más bien tratan —en mi opinión— de ontología, de una teoría sobre la realidad social y la naturaleza de los fenómenos (científicos). Esa manera de abordar los temas así como varias conclusiones alcanza-das en aquellas obras, permanece en El edificio de la razón. Sin embar-go, la aportación más importante de este libro es el giro hacia el lengua-je, pero no visto desde la mera perspectiva filosófica sino de un diálogo —que me parece fructífero— con el psicoanálisis. Decía Unamuno que filosofía es filología. Aunque no es del todo correcta esta equiparación, es cierto que la filosofía recurre al análisis de las palabras e, incluso, a la innovación de términos del lenguaje. No sólo la filosofía analítica, sino la filosofía toda hace análisis del lengua-je. Tal es parte del método de indagación que sigue Labastida, muy particularmente en este libro que comentamos cuando establece, por ejemplo, las diferencias semánticas entre el ‘cogito’ y el ‘yo pienso’. Hay ‘matices’ en las palabras según cada lengua: No tienen el mismo sentido en griego antiguo que en francés o español. Labastida, como poeta que es, lo sabe y lo aplica [Cfr. Labastida 2006]. De ahí que se refiera a las palabras como ‘significantes’, al distinguir sus significados. No hay univocidad en los términos, si se los examina en el proceso histórico. De ahí que debemos estar atentos a las palabras en su contex-to particular. Pero hay algo más interesante. Labastida recurre a conceptos de la lingüística contemporánea, en particular a aquellos que emplea Lacan desde Función y campo de la palabra. Pues tenemos que admitir que ha sido Lacan quien ha reintroducido la problemática del sujeto en el psi-


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coanálisis y, con ello, en todo un conjunto de consideraciones de la lingüística estructuralista, alimentando eso que se ha denominado enfo-que posmoderno en las ciencias sociales. Labastida ha incorporado a sus reflexiones muchos conceptos y términos de esa perspectiva, quizá porque le sirve mucho para examinar la ‘otra’ faceta de la racionalidad. Enunciación y subjetividad Puesto que El edificio de la razón trata acerca del sujeto, es comprensi-ble que su autor use, con frecuencia, la distinción entre sujeto del enun-ciado/sujeto de la enunciación. Estos conceptos fueron originalmente formulados en la lingüística por Benveniste, pero para el psicoanálisis la ‘enunciación’ —opuesta al ‘enunciado’—, se vincula a los procesos de producción del sentido a partir de una ‘discontinuidad estructural’ entre el sujeto de la enunciación y el sujeto del enunciado. La enuncia-ción sería aquello por lo cual el sujeto ‘es hablado’, y el enunciado es lo que el sujeto ‘habla’. Así, la enunciación constituye de algún modo la sede de ‘lo inconsciente’, mientras que el enunciado sería el lugar de su manifestación. Freud descubrió que hay representaciones no ligadas a las palabras, manifestaciones que no corresponden a las intensiones del sujeto cuando usa las palabras. Tal ocurre cuando prevalece la enuncia-ción —lo inconsciente— sobre el enunciado. En la frase “No vaya usted a creer que es mi madre”, hay discrepancia entre enunciación y enunciado.5 En Labastida encontramos ejemplos como éste de indagación sobre la enunciación: “Según lo que dice Parménides, el sujeto de la enuncia-ción es un sujeto de carácter universal y nunca un sujeto individual” [p. 34]. O sea, el sujeto del enunciado en realidad ‘es hablando’ por la Razón universal. Otro caso: Al analizar la Relation historique de Hum-boldt, dice que en el sujeto del discurso científico (Humboldt, el hom-bre de ciencia y el narrador que escribe) deben coincidir sujeto del enunciado y sujeto de la enunciación, puesto ‘el sujeto racional que se autopropone en calidad de modelo o de paradigma de todo sujeto racio-nal posible’ [p. 157]. Un ejemplo más [p. 208]:

5. En La negación, Freud [1979 XIX, 254] puntualiza: “El modo en que nuestros pacien-

tes producen sus ocurrencias durante el trabajo analítico nos da ocasión de hacer algu-nas interesantes observaciones. […]. «Usted pregunta quién puede ser la persona del sueño. Mi madre no es». Nosotros rectificamos: Entonces es su madre. Nos tomamos la libertad, para interpretar, de prescindir de la negación y extraer el contenido puro de la ocurrencia. Es como si el paciente hubiera dicho en realidad: «Con respecto a esa persona se me ocurrió, es cierto, que era mi madre; pero no tengo ninguna gana de considerar esa ocurrencia».

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En Einstein, el sujeto del enunciado se vuelve relativo: no hay ni espacio ni tiempo absolutos; el sujeto de la enunciación también se vuelve relativo: la velocidad de un cuerpo depende del sitio donde esté el observador. A su vez, en Heisenberg, nuestra imagen de la naturaleza de-pende del avance tecnológico: esto implica tanto al sujeto de la enunciación cuanto al sujeto del enunciado. Estamos un punto distinto al de la ciencia clásica, la ciencia de Newton y de Humboldt, de Darwin y de Marx. Por otra parte, Labastida ha escrito que la razón —invocada por Heráclito— es el gran Otro, de modo que el sujeto epistémico obedece a los dictados de las normas y principios de la Razón. Ahora bien, obe-decer órdenes puede resultar algo incómodo, incluso cuando estamos de acuerdo con ellas. El asunto se vuelve siniestro cuando se tiene la certi-dumbre de estar obedeciendo órdenes que desconocemos; equivale a sentirse poseído por una voluntad oscura de la que somos un objeto ciego, opaco como escribe Labastida. Lo expresa Freud con la frase “El hombre no es el amo de su casa”.6 De modo que el psicoanálisis instau-ra una versión del sujeto sometido a un Otro —con mayúscula— que no es el otro, el compañero imaginario, sino el Otro en el orden de lo sim-bólico. Si como afirma el psicoanálisis, el sujeto no subordina —no lo domina— al lenguaje sino que está subordinado a él, el sujeto epistémico deja de pisar el piso sólido de la Razón. Así pues, tenemos dos versiones de la relación del sujeto con el lenguaje: La versión imaginaria que habla del lenguaje como un instrumento o una herramienta al servicio del sujeto; y la versión simbólica que asevera la subordinación del sujeto al lenguaje. El predominio de lo simbólico es un concepto difícil de captar, sobre todo cuando se está preso de las ilusiones o fantasías del registro imaginario. Quizá por eso la concepción del sujeto epistémico —coherente, único y sin fracturas— resulte perfectamente incompatible con el sujeto de lo in-consciente, y viceversa. Sin embargo, no hay uno sin el otro. En La ciencia y la verdad, Lacan [1985, 141-142] escribe: Decir que el sujeto sobre el que operamos en psicoanálisis no puede ser sino el sujeto de la ciencia puede parecer paradoja. Es allí sin embargo donde debe tomarse un deslinde a falta del cual todo se mezcla y em-pieza una deshonestidad que en otros sitios llaman objetiva: pero es falta de audacia y a falta de haber detectado el objeto que se raja. De nuestra posición de sujeto somos siempre responsables.

6. En Una dificultad del psicoanálisis, Freud escribe [59]: “sus dos tesis [del psicoanáli-

sis], la de que la vida instintiva de la sexualidad no puede ser totalmente domada en nosotros y la de que los procesos anímicos son en sí inconscientes, y sólo mediante una percepción incompleta y poco fidedigna llegan a ser accesibles al yo y sometidos por él, equivalen a la afirmación de que el yo no es dueño y señor en su propia casa”.


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El sujeto epistémico es ficción Ahora bien, todo lo anterior sirve para comprender mejor la aseveración de Labastida cuando afirma que el sintagma ‘construcción del sujeto científico’ es una ‘figura ficticia’, “el fantasma del sujeto científico, ajeno y aun opuesto al sujeto individual o psicológico”. Es una ficción “pero —aclara— eso no significa de ningún modo que falsa (tampoco significa que sea por sí sola verdadera)” [p. 1)]. En otras palabras, el sujeto epistémico es una ficción que ni es verdadera ni falsa. Para la lógica clásica sería un contrasentido, pero no lo sería para el psicoanáli-sis ni para la lógica paraconsistente. En la Carta 69 a Fliess, Freud ex-presa: “la intelección cierta de que en lo inconsciente no existe un signo de realidad, de suerte que no puede distinguir la verdad de la ficción investida con afecto”. Según Freud, en el inconsciente no hay marca de la verdad, lo que equivale a decir que será tan verdadero como falso. O quizá más claramente: ‘No hay verdad de la verdad’. Por eso es ficción, literatura. No hay Otro que garantice la verdad. Hay palabras pero tam-bién silencio. (Decía Lacan [1985, 82]: “No hay palabra sin respuesta, incluso si no encuentra más que el silencio, con tal de que tenga un oyente, y que éste es el meollo de su función en el análisis”). En el psicoanálisis lacaniano, el Otro constituye el orden simbólico y, al mismo tiempo, responde con una carencia, carencia que se presen-ta como una pregunta para el sujeto. Lacan le da nombre a esa falta: ‘el significante de una falta en el Otro’. Con ello indica que en el Otro, lugar significante, falta un significante [véase: Lacan 19..]. El sistema no es completo ni puede probar su propia consistencia (no hay verdad de la verdad), o como dice Labastida, hay relatividad e incertidumbre. Asimismo, la verdad como un todo completo y como algo comple-tamente opuesto a la falsedad no es sostenible salvo por quienes man-tienen el principio de identidad, A es A, que es —visto desde el ángulo de las formaciones inconscientes— una forma de la compulsión a la repetición. La lógica paraconsistente muestra otros derroteros para la razón y la ontología [Cfr. Peña 1991]. Las contradicciones y las parado-jas dejan de ser excepciones para convertirse en regla. Estos plantea-mientos no aparecen en el libro de Labastida, pero creo que no son incompatibles con lo que ahí se expone en los dos últimos capítulos. El edificio de la razón es un libro para la reflexión sobre los dos momentos de esa figura de la cultura que llamamos ‘sujeto en la cien-cia’: Primero, el logocentrismo que acompaña a la cultura Occidental y, después, el momento que avanza paulatinamente y en medio de las tres heridas narcisistas al ser humano: El heliocentrismo, la teoría de la evolución y el psicoanálisis. Es también una síntesis de ese esfuerzo

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denodado por construir la ‘ficción’ del sujeto epistémico y que tal alien-to sea sustentable con argumentos. Los límites del discurso, de la pala-bra, enfrentan inevitablemente al silencio, como lo anotó Wittgenstein. Y el silencio es intraspasable. El edificio de la racionalidad tiene fractu-ras estructurales. Referencias FREUD, Sigmund. 1915. “Pulsiones y destinos de pulsión”, contenido

en: Obras Completas. Buenos Aires: Amorrortu. 1989. Págs. 113-201

GARCÍA, Rolando. 2000. El conocimiento en construcción. Barcelona: Gedisa.

LABASTIDA, Jaime. 1969. Producción, ciencia y sociedad: de Des-cartes a Marx. México: Siglo XXI.

————. 1996. La palabra enemiga, México: Aldus. LACAN, Jacques. 1985. Escritos. México: Siglo XXI. ————. 1985b. “Función y campo de la palabra y del lenguaje en

psicoanálisis”, contenido en: [1985, 74-139]. ————. 1985c. “La ciencia y la verdad”, contenido en: [1985, 272-

307]. ————. 1985d. “Variantes de la cura tipo. Lo que el psicoanalista

debe saber: ignorar lo que sabe”, contenido en: [1985, 391-416]. ————. 1985e. “Subversión del sujeto y dialéctica del deseo en el

inconsciente”, contenido en: [1985, 751-789]. LORENZO, Peña Lorenzo. 1991. Rudimentos de lógica matemática.

Madrid: Consejo Superior de Investigaciones Científicas. PIAGET, Jean. 2004. Le Structuralisme, Paris: Presses Universitaries

de France. (12ª. Edición). POPPER, Karl. 1979. Objective knowledge. Oxford: Oxford University

Press. SCARFONE, Dominique. 2005. Las Pulsiones. Buenos Aires: Nueva

Visión.


De lo imaginario a lo complejo

César Guevara Bravo

Paul J. Nahin. 2007. An Imaginary Tale. The Story of 1− . Princeton University Press. 288 p.

En la historia de las matemáticas siempre han existido los imprevistos que llegan a dar lugar a la aparición de sombras de duda y hasta de desconcier-to, pero esto mismo ha incentivado que el interés por estos temas se incre-mente con el paso del tiempo. Desde los inicios de la matemática axiomática la seducción de lo imaginario e intangible ha estado presente, un caso son los griegos que tuvieron la presencia de situaciones atípicas a su marco conceptual, por ejemplo los números primos, los perfectos, los figurados, y así toda una serie de tópicos que llegan hasta la actualidad. Otro tema siempre vigente desde los griegos, que transitó por los árabes y llegó a los renacentistas, fue el manejo de las cifras negativas. Los números negativos e incluso el cero generaban confusión ya que el uso de los números siempre estaba concebido en los positivos y en su relación directa con el espacio físico, por ello, el uso de los negativos no articulaba adecuadamente para asociarlos con la dimensión geomé-trica de los objetos en la naturaleza o los de la matemática misma. Así, sobre este argumento enfrentaron la dificultad para dar representación numérica a ciertos segmentos, los inconmensurables. Por otro lado, la solución (es decir, la raíz) de ciertas ecuaciones daba lugar a la aparición de raíces de números negativos y, a pesar de que las enfrentaron los matemáticos árabes en la edad media, fue hasta el siglo XVI cuando se consideró su viabilidad como posibles solucio-nes. Entonces, desde los griegos se conoce la aparición de un tipo de números que se les puede llamar ‘imposibles’. En este contexto de las raíces de números negativos Paul J. Nahin publicó An Imaginary Tale. The Story of 1− .

474 César Guevara Bravo

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La manera de abordar el tema puede ser diversa, por ejemplo, se puede hacer desde la perspectiva del desarrollo de pares ordenados, o con una visión geométrica de los complejos como operadores sobre los vectores en el plano. La forma en que el tema es tratado en este libro es atendiendo a los pasajes y personajes tradicionales en la historia de las matemáticas. Nahin publicó en 1999 la primera edición de su libro y como todos aquellos que alguna vez han publicado un artículo o un libro saben que las diferentes opiniones aparecen poco tiempo después. Por ello, en la reimpresión de 2007 el autor agrega un prefacio en el que reconoce una serie de errores, pero también manifiesta su enojo a todos aquellos que considera que fueron duros con las opiniones de su libro, incluso, su molestia llega al uso de adjetivos —hacia sus críticos— poco usuales en un libro de este tipo. Pero el prefacio es interesante porque deja ver a los lectores —principalmente a los que inician en estos rubros— como se gesta un libro y, principalmente, que entiendan que todo aquél que publica un trabajo quedará bajo el atisbo de los lectores. Desde este punto de vista el prefacio es atrayente porque nos permite conocer de las contrariedades que producen en un autor las críticas de sus lectores, aunque cabe señalar que posiblemente el prefacio no es el mejor lugar para liberarse del enfado que generan las opiniones. Es importante que los lectores que inician su vida académica estén en antecedentes de lo que puede suceder cuando publiquen un trabajo, y que cualquier opi-nión siempre se tome con la madurez y la serenidad pertinente. La introducción no tiene la característica de bosquejar el contenido del libro para tener una visión panorámica de lo que se encontrará en la obra. Aquí se presenta una introducción que tiene la finalidad de llevar al lector hacia algunos pasajes previos al siglo XVI —que es de donde parte el capítulo uno—, y para ello menciona el papiro de Moscú y la posibilidad de que aquí surgiera la necesidad de tener que afrontar raí-ces de negativos. Posteriormente, con este derrotero de los pasajes históricos toma el problema veintidós del libro seis de la Arithmetica de Diophanto [1959], y se sirve de el para ejemplificar que sólo se usan algunas de las soluciones que se generan al resolver ciertos problemas. Pero en su proceso para obtener las soluciones no se apega a lo que Diophanto realmente empleó, que es la construcción geométrica de la solución, esto es, aunque Diophanto expone de manera retórica los pasos para llegar a la solución no implica que no estuviera empleando la visión geométrica que predominó desde la época de Euclides. La manera en que Nahin expone el problema da lugar a creer que Diophan-to manejaba tanto el lenguaje como las operaciones algebraicas que actualmente usamos para encontrar raíces de ecuaciones. Además, el

De lo imaginario a lo complejo 475

III 22 (2007)

problema veintidós de la Arithmetica se enuncia en un contexto dife-rente a como se presenta en An Imaginary Tale. Nahin presenta un trabajo matemático con diferentes perfiles, entre lo histórico, novelado y teórico, y pretende que el libro sea accesible para estudiantes entre los preuniversitarios a los graduados, por ello hace acopio de pasajes históricos y hasta anecdóticos, y todo ello se justifica plenamente con la finalidad de que el tema sea lo más ameno para el lector. Aunque a lo largo del libro queda manifiesto este perfil, sin embargo, el capítulo uno está descontextualizado respecto a lo que ha sido 1− antes del siglo XVI. El libro inicia comentando la negativa de Pacioli —en la Summa Arithmetica— de que las ecuaciones cúbicas no tienen solución, y así aborda directamente la controversia entre del Ferro, del Fiore, Tartaglia, Cardano y Ferrari. Entonces, la forma de empezar el capítulo uno no es compatible con el perfil que pretende promover el autor, esto es, la manera en la que introduce el número imaginario es sin antecedentes, lo hace llanamente junto con la problemática algebraica de los italianos de mediados del siglo XVI. La restricción que tenían los italianos de esta época para aceptar sólo determinadas soluciones se circunscribe en la problemática de lo ‘imposible’ que se manifiesta plenamente desde los griegos. Los números imaginarios se enmarcan en el conjunto de las cantidades imposibles —como fue el caso de los negativos o el cero—, y todo se debe al concepto de número que aún dominaba el siglo XVI, que era el de la vinculación con la geometría de las magnitudes, o la geometría de los números figurados, donde incluso el uno —bajo cier-tos conceptos— no podía ser un número.1 El contextualizar la aparición de los imaginarios dentro de las can-tidades imposibles, daría al lector los elementos adecuados para que no sienta que ellos son sólo un obstáculo que tuvieron que enfrentar los matemáticos del siglo XVI. Se tiene que ir más allá y presentarlos des-de una perspectiva de los orígenes de la misma concepción geométrica y filosófica que se tenía del número en la antigüedad y edad media. Así, la solución de la cúbica es con lo que inicia el libro, y para este tema las fuentes de donde se pueden tomar datos son numerosas, se pueden consultar tanto fuentes primarias como secundarias para docu-mentar el trabajo matemático de los protagonistas, así como la contro-versia entre ellos.2 Empero, aunque no era necesario que Nahin propor- 1. Para tener una idea del concepto de número y magnitud que dominaba en esta época,

véase el libro siete de los Elementos de Euclides [1994]. 2. Para documentar el debate de la autoría de las ecuaciones, véase [Ferrari y Tartaglia

1974], [Tartaglia 1554, libro 9] y [Martín 2000].


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cionara un estudio inédito —ya que el libro es presentado como un trabajo de divulgación—, quiso hacerlo diferente y presenta el tema desde una perspectiva que da lugar a las imprecisiones. Desde el principio de su exposición usa la ecuación x3 + px = q —a la que llama reducida—, como si fuera un caso especial de la general ax3 + bx2 + cx = d, pero es sabido que Cardano con un cambio de variable

3bx ya

= −

en la ecuación general llega a la reducida, y ambas tienen la cualidad de que sus soluciones son las mismas, con la ventaja de que resolver la reducida estaba más al alcance de los algebristas italianos. Es importan-te mencionar —porque no se hace en el libro— que el cambio de va-riable se fundamenta —en términos geométricos— al extender un cubo de lado x a otro mayor de lado

3bxa

+ ,

y no mediante un álgebra simbólica como se hace actualmente. La manera en que Nahin expone la solución de la cúbica, que es a través de los valores de u + v, no es la más afortunada. Para resolver la cúbica —el procedimiento que usa se lo adjudica a del Ferro— Nahin considera la solución x de la forma x = u + v, posteriormente sustituye en la cúbica para obtener la igualdad u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) = q, de aquí plantea un sistema de dos ecuaciones, que al resolverlo por susti-tución de la primera en la segunda llega a una ecuación de sexto grado, que se resuelve como una cuadrática y, finalmente, toma la solución positiva que da lugar a obtener x. La contrariedad que aquí se presenta es que ésta no fue la solución de del Ferro, ni de Cardano y tampoco de Tartaglia. Como se sabe, la historia de la solución de la ecuación cúbica transita por la que tenía del Fiore, que se la heredó del Ferro, después la solución que descubrió Tartaglia, y que a su vez se la dio a Cardano y, por último, se tiene la que presenta este último es el Ars Magna, donde conjunta las de todos y la de él mismo.3 Como ya se mencionó, recurrir a las fuentes para encontrar las demostraciones y los pasajes históricos de la controversia algebraica no era difícil, sin embargo Nahin optó por otra vía que no era la de hacer uso de las fuentes históricas. Y lo más importante es que al lector no se le da la oportunidad de disfrutar las importantes demostraciones geomé-

3. Para información sobre el desarrollo de las ecuaciones cúbicas, véase [Freguglia 1994]

y [Rivolo 1998].


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tricas, típicas de la matemática árabe, aún vigentes en la Italia del siglo XVI.4 Lo que se podría considerar como la parte más importe en este ámbito de las raíces negativas y la solución de las cúbicas, son los casos llamados irreducible, esto es, cuando se tienen las ecuaciones del caso x3 = px + q. Por ejemplo, para x3 = 15x + 4, donde la solución de Tarta-glia es

3 32 121 2 121x = + − + − − ,

Y la presencia de la raíz negativa es evidente. Como se ve en el capítulo XXXVII del Ars Magna, Cardano ya no aborda el problema, conside-rando que está más allá del ámbito del entorno de su época, aquí se puede ver un acto de honestidad por parte de él, pero como se sabía que existían ecuaciones llamadas irreducibles que sí tenían una solución real, entonces el conflicto interno cobraba más relevancia. Y el que viene a dar una respuesta a esta problemática es Bombelli, él deduce que la raíz cúbica de

2 121+ − es igual a 2 1+ − ,

y con ello puede calcular que

3 32 121 2 121x = + − + − − = 2 1+ − + 2 1− − = 4,

así, se obtiene que 4 es una solución x3 = 15x + 4. Lo más sobresaliente de esta parte de las ecuaciones de Cardano y Bombelli —a la que Nahin no le da la relevancia adecuada—, es que ambos dan uno de los primeros pasos para fracturar la infranqueable barrera que relacionaba la interpretación geométrica de las ecuaciones y la restricción de las soluciones que podían ser admitidas. Recordemos que una de las razones por las que Cardano no aborda el tema de las ecuaciones de cuarto grado, ni los coeficientes negativos, fue porque ellos no estaban vinculados a las dimensiones y magnitudes de la natu-raleza, esto es, las ecuaciones sólo tenían sentido para grado no mayor que tres, que eran la tres dimensiones del mundo físico. Pero es cuando Bombelli da uno de los primeros pasos para derrumbar esta limitante entre dimensión física y grado de la ecuación. En el capítulo dos Nahin muestra algunos aspectos geométricos de

1− , y para ello toma algunos problemas del libro primero de la Geo-

4. Para la metodología que seguían los árabes en la construcción geométrica de las ecua-

ciones, véase [Rashed 1997] y [Joseph 1996].


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metría de Descartes [1987], con los que tratará de mostrar la aparición de las soluciones imaginarias en la construcción de las ecuaciones cuadráticas. Descartes [1987, 279-282] aborda la solución de lo que llama pro-blemas planos a través de las ecuaciones z2 = az + b2. Para tal fin cons-truye las soluciones mediante cuerdas y tangentes a círculos que él propone. Pero siguiendo las interpretaciones de los siglos anteriores, las longitudes negativas no se usarán, y en los casos donde se pudiera dar una raíz negativa él comenta la imposibilidad del caso, porque ello implica una contradicción con los mismos trazos de la construcción geométrica de la demostración. Por esto es que —en el libro uno— ni siquiera menciona la posibilidad de que se diera una solución imagina-ria (o como él las llama ‘improcedentes’). Pero si se trata de adecuar la posibilidad de que las raíces improce-dentes aparezcan en un lugar donde no están —es lo que hace Nahin—, que es el libro primero de la Geometría, entonces se puede hacer, y así se puede agregar un análisis de la posible presencia de raíces imagina-rias donde el mismo Descartes no lo mencionó. El libro tercero de la Geometría contiene el estudio de los proble-mas sólidos, es decir, los problemas que se relacionan con polinomios de grado mayor o igual a tres. Descartes [1987, 338-349] usa (como en la parte anterior correspondiente al libro uno) nuevamente la construc-ción de la solución, y para el caso del polinomio de grado tres la solu-ción se apoyará en la intersección de un círculo y una parábola. La diferencia con los problemas de las cuadráticas, es que Descartes ahora sí contempla la posibilidad de que se pueda dar la existencia de una solución con raíz de un negativo, a partir del impedimento de construir la solución. Es importante señalar que la aparición de raíces negativas no implica que ya se contabilicen como una solución (aunque dice que las soluciones de un polinomio dependen del grado mayor que éste contenga). Pero lo que sí es cierto es que Descartes ya menciona su existencia terminológica, cosa que en el caso del libro primero ni si-quiera se contemplaba. Así, es hasta el libro tercero cuando Descartes menciona la cantidad de raíces de un polinomio, y en el libro primero no se hace mención de raíces imaginarias, por ello era más apropiado que Nahin usara los problemas del libro tercero de la Geometría y no los del primero. Haber abordado a Descartes a través de una sección que no corres-pondía no fue la mejor decisión, se tiene que considerar que si lo hacía a través de esta obra, el capítulo de los problemas sólidos era el más adecuado para ver como se introducía la terminología de los imagina-


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rios, y su aceptación como posible solución basado en la existencia de n soluciones para la ecuación de grado n. El capítulo seis de An Imaginary Tale lo dedica principalmente al trabajo de Leonhard Euler y sus aportaciones a los números de la for-ma 1− . Aquí sería injusto hacer una crítica a lo escrito por Nahin por-que sabemos que la obra de Euler es tan extensa, que tratándose de números complejos y funciones de variable compleja se necesitaría por lo menos un par de libros dedicados a las ideas que desarrolló y cómo fueron retomadas por sus sucesores. La exposición de Nahin se apega a los problemas más conocidos de Euler, como son la representación exponencial de los complejos, la función zeta, los productos infinitos, la función gamma, entre otros. Pero independientemente del enfoque que cada quien le quiera dar, existen referencias que podrían ser comunes a cualquiera de ellos, y es el caso de la descripción que hace de 1− en sus Elementos de Algebra; los artículos de 1749 y 1751, donde aborda lo que hoy conocemos como raíces de la unidad, o el análisis de su demostración para el caso n = 3 del último teorema de Fermat, donde es importante observar la forma en que introduce la factorización de reales con complejos (véase [Edwards 1977, 39-57]). Así, en An Imaginary Tale tenemos la visión personal de Nahin de los números imaginarios, que parte de la idea de un encuentro casi accidental de los algebristas italianos del siglo XVI y termina con los inicios del análisis complejo de Cauchy en el siglo XIX. Los ejemplos de las aplicaciones están presentes en el libro, principalmente los que corresponden a electrónica —no es extraño ya que la formación del autor es de ingeniero en electrónica. Entonces, como ya se mencionó al inicio de esta reseña, se sabe que el capítulo uno adolece de un contexto lo cual da lugar a pensar que la idea de los números ‘imposibles’ surge en el siglo XVI. También es importante que el lector sepa que falta información acerca del desarro-llo de los fundamentos axiomáticos que consolidaron la teoría de los imaginarios, y para ello se tiene que abordar el trabajo de Gauss y Abel, y así entender a los imaginarios no sólo como una extensión de los reales, sino concebirlos como un cuerpo algebraico con vida propia. No cabe duda que este libro se recomienda como una lectura com-plementaria a los interesados en la historia, el álgebra y la física. El trabajo no pretende ser un libro de texto —el autor ya lo dijo en los preliminares—, así que no se le puede pedir a Nahin que el contenido cubra un programa determinado. El lector interesado en los números imaginarios debe de tener presente que en An Imaginary Tale no encon-trará la historia de tales números, lo que encontrará es una recopilación,


Mathesis

a juicio del autor, de algunas técnicas matemáticas de cómo abordar ciertos problemas a partir del siglo XVI, así como aplicaciones que aún son vigentes. Las partes donde recurre a la historia se deben de tomar como un complemento, sin considerar que esto es lo principal en la obra. Para que el lector se adentre en la historia de los imaginarios tendrá que consultar otras fuentes especializadas. Referencias DESCARTES, René. 1987. La Geometría. Madrid: Ediciones Alfaguara. DIOFANTO. 1959. Les six Livres Arithmétiques et le Livres des Nom-

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JOSEPH, Gheverghese George. 1996. La cresta del pavo real. Las matemáticas y sus raíces no europeas. Madrid: Ediciones Pirámide

MARTÍN, Casalderrey F. 2000. Cardano y Tartaglia. Las matemáticas del renacimiento Italiano. Madrid: Nivola libros y ediciones.

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TARTAGLIA Nicolo. 1554. Quesiti et Inventione diverse de Nicolò Tartalea, Brisciano. Libro nono. Venezia.


The Legacy of Mario Pieri

Jeremy Gray

Elena Anne Marchisotto, James T. Smith, The Legacy of Mario Pieri in Geometry and Arithmetic. Birkhäuser Boston, Basel, Berlin, ISBN 13: 978-0-8176-3210-6

Mario Pieri (1860-1913) has until recently been a neglected figure in the history of geometry in Italy. Various papers by Elena Marchisotto have kept his name alive, as also have the paper by Avellone, Brigaglia, and Zappulla and papers by Bottazzini. Now we have this book, the first fruit of a collaboration between Marchisotto and James Smith. The result is the best chance the mathematical community has had to appreciate the contributions of this interesting figure since his death. Pieri was geometer, drawn to the group around Peano that shared his aim of writing mathematics to a very high standard of formal rigour. To this end, Pieri even published papers in the highly symbolic formalism Peano had invented, but more importantly he worked with great energy and imagination to produce a truly rigorous system of axioms and deduc-tions for elementary geometry. His presentation of mathematics as a hypothetico-deductive system was appreciated outside of the geometrical setting in which it was devised, and the axiomatic work of the Italians and Pieri particularly preceded Hilbert, so a further question for historians becomes to assess the impact of Pieri’s work, which was well received in its day but shortly became eclipsed. As the authors discuss, there is, how-ever, an interesting connection to the work of Tarski. Pieri axiomatised real and complex projective geometry, inversive geometry, neutral geometry, Euclidean geometry, and arithmetic. This book looks at what Pieri did and its subsequent reception, and gives one long and one much shorter memoir of Pieri’s in an English translation, but it also casts its net widely. We get short biographies of many differ-ent people, an equally careful account of places in Italy, and an explora-tion of the rise and fall of Pieri as well as that of Peano.

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The memoirs presented here in translation are ‘Point and Sphere’, a lengthy work that dates from 1908 and presents an axiom system for elementary Euclidean geometry, and the much shorter ‘On the axioms of arithmetic’ from 1907. These show the thoroughness of Pieri’s work, and also some of its range because most scholarship on Pieri has discussed the work he did before Hilbert on projective geometry. We must wait for these to appear in English in later volumes, which will also involve other authors. The authors compare each work with what else was going on, so in the case of ‘Point and Sphere’ they provide a comparison with the work of Hilbert and Veblen, which axiomatised versions of Euclidean geometry and projective geometry respectively. The comparisons are short and helpful. Most noteworthy in this book is the careful logical analysis of Pieri’s work that is provided, which makes it very clear the price in logical complexity that Pieri paid to obtain rigour; some state-ments in his systems are much more complicated than in the alternative axiomatisations. To quote (p. 283) ‘Pieri achieved economy of primitive concepts, but at the cost of extreme complexity of postulates’. The book is welcome in other ways: it is very well illustrated, it has a very thorough bibliography, and of course it carries a richly informative biography of Pieri himself. The completed series will surely restore not only Pieri but the milieu around him and Peano to a central place in the history of modern geometry. Bibliography AVELLONE, M., A. BRIGAGLIA, ZAPPULLA, C. 2002. “The

Foundations of Projective Geometry in Italy from De Paolis to Pieri”. Archive for history of exact sciences. 56.5: 363-425.

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BOTTAZZINI, Umberto. 2001. “I geometri italiani e il problema dei fondamenti (1889-1899)”. Bol. Unione mat Ital 4.2: 281-329.

MARCHISOTTO, Elena A. 1989. “Mario Pieri: His contributions to the foundations and teaching of geometry”. Historia Mathematica 16: 287-288.

__________. 1993. “Mario Pieri and his contributions to geometry and foundations of mathematics”. Historia Mathematica 20: 285-303.

__________. 1995. “In the shadow of giants: the work of Mario Pieri in the foundations of mathematics”. History and Philosophy of Logic. 16:107-119.

The Legacy of Mario Pieri... 483

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__________. 2006. “The projective geometry of Mario Pieri: A legacy of Georg Karl Christian von Staudt”. Historia Mathematica, 33.3: 277-314.


Italian Mathematics between the Two World Wars

James T. Smith

Angelo Guerraggio y Pietro Nastasi. 2005. Italian Mathematics be-tween the Two World Wars. Birkhäuser Basel.

An important and effective book, Guerraggio and Nastasi 2005 de-scribes the social and institutional aspects of a limited segment in the history of mathematics. It is important because momentous events oc-curred in Italy between the World Wars. It is effective because its scope is limited enough that the authors could portray these events in minute and bold detail. Seeing what conditions led to them and how they played out is important to us today and in the future, because the cir-cumstances were not particular to that time and place. The authors, both originally trained in applied mathematical analy-sis, have pursued the history of modern Italian mathematics deeply for decades. This book is closely related to their many earlier historical works in Italian—for example, the collections Di Sieno et al. 1998 and Guerrag-gio 1987. The authors support their conclusions with extensive quotations from primary sources: research papers, government documents, and per-sonal correspondence. These are usually presented in the original French or Italian, with English translations of the latter. For reasons discussed later, readers should read first the preface and the final chapter 9. There are found the authors’ statements of philosophy and purpose. First, “mathematics affects society” [page 284]: “We are convinced that mathematical thought is an important force in generating and expediting social and cultural changes”. That is a familiar and ac-cepted idea, from the Newtonian synthesis, through the vast develop-ments of the 1800s, to today’s deluge of publicity about mathematics and technology. Second, “society affects mathematics” [pages 288–289]:

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Mathematics is [sometimes] thought [...] to be able to go its way, barely annoyed by the trivial changes that the political context imposes on it [...]. [A] previous quotation is clear: mathematics is a real culture and real culture is so strong that it cannot even be grazed by temporary breezes [...]. We consider this conclusion to be rash and aprioristic. [Italics by the reviewer].

That is controversial, even within the mathematical research commu-nity, where those breezes may be felt as a hurricane. How different the authors’ idea is from what the reviewer and many contemporaries absorbed during university studies decades ago, and many younger colleagues since! Even the authors accept the opposite sometimes. They quote favorably [p. 250] an address by Luther P. Eisenhart at the 1936 International Congress of Mathematicians: “[...] mathematics is international. As such it does not recognize national boundaries; these have to do with political and economic considerations”. They failed to note that mathematics requires discourse, and really close international discourse inevitably involves those con-siderations. A major goal of the book is to investigate why Italian mathematics declined between the wars, and particularly to study the role of Fascism in that decline. The reviewer suggests that readers use the book to re-search a broader question, what happened to mathematics in Italy dur-ing that period; then, with the authors, judge how Fascism and other social influences brought about some of those effects. That requires no prior decisions about what constitutes a decline and what Fascism was. Before leading a tour through the main part of this fascinating study, the reviewer must warn readers that its weakest aspect is the editing. Virtually all of the text seems to have been translated from Italian, without the benefit of copyediting by someone really proficient in Eng-lish usage. Errors are so dense, particularly in the early chapters, that an alert reader begins to question the book’s overall accuracy. When the reviewer pursued questionable passages, he usually found that his con-cerns stemmed only from mistranslation or incorrect usage. But many —perhaps most— readers will not have English as their first language and may be misled by some errors that are revealed only by English that ‘doesn’t sound right’. Those may particularly affect readers who merely dip into the book here and there to gain particular information: they will have no chance to become familiar with patterns of error. Chapter 1, Prologue, sets the scene in which by the onset of World War I Italy had become the country ranking third in mathematics, be-hind only France and Germany. The authors successfully follow an explicit strategy [p. 284]: “We do not believe in a neat division between history written only for specialists and history devoid of those contents

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that absorbed its protagonists”. The authors briefly outline the Italian social and political framework and the institutional structure of Italian mathematics, and provide some detail about the Italians’ mathematical achievements. They stress the breadth of the mathematicians’ interest and involvement [p. 25–27]: “These mathematicians associated their research with their public lives”. That research frequently spilled over into related sciences.

“Even more surprising were [their] ‘incursions’ into fields traditionally occu-pied by the ‘other’ culture. [...]. [They] developed a strong historical con-sciousness and also expressed their opinions on philosophical issues. This happened thanks to the presence of a strongly interconnected general culture”.

A major component of that culture was the Liberal establishment that had guided Italy’s government since Unification in 1861. The next chapter describes the enormous effect of World War I on Italian society in general, and Italian mathematics in particular. Its eloquent title, Nothing Is As It Was Before, raises the question Why? Most of the book’s readers are probably not familiar enough with It-aly’s role in the war to answer that question themselves, and the au-thors, unfortunately, give no references to background information. The reviewer will use Bosworth’s 2005 history, Mussolini’s Italy, to provide a more detailed setting. Guerraggio and Nastasi hint at the country’s fervent debate after August 1914 about going to war, and demonstrate that most Italian ‘mathematicians’ favored intervention on the Allied side. Bosworth notes, however, that most Italians favored neutrality. Although conservative elements in the establishment brought Italy, terribly underprepared both militarily and economically, into the war against Austria in 1915 and against Germany in 1916, it was not pre-sented “as a popular and involving event, a crisis in which the whole nation must fuse to defeat the enemy,” until 1917 [Bosworth 2005, 58–59, 61, 81]. Guerraggio and Nastasi illustrate how some individual mathematicians participated, but note that military-operations research, which would become a major preoccupation during World War II, was only in its infancy. What happened in 1917? No longer engaged against Russia, Austria dealt Italy a crushing defeat at Caporetto, near its cur-rent border with Slovenia. Military disaster and the growing economic crisis brought the Liberal establishment widespread discredit. Accord-ing to Bosworth, “At that moment, Italy seemed very likely to follow Russia out of the war and into domestic revolution”. That did not oc-cur, but economic ruin persisted, and [Bosworth 2005, 64, 92]

The post-war period was soon to see the rise of a medley of bourgeois, intellectuals, and returned soldiers, who were ready to gamble the lives and well-being of their fellow citizens to convert [...] a ‘maimed vic-

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tory’ [...] into a real (and Fascist) one [...]. Men who had once auto-matically viewed themselves as liberals now took to infringing the rule of law [...] and to seeing the armed society of the totalized First World War as the ideal political and economic model for peacetime, too [...]. [The] first casualty would be the gentler, kinder, more studied and re-strained world of the Liberal belle epoque.

The Fascist party and Benito Mussolini took over the Italian govern-ment in 1922. Guerraggio and Nastasi note [p. 57, 94], “The end of the war made the resumption of normal life possible, but in a disenchanted atmosphere [...]. Fascism got off with very quick steps to claim the primacy of politics over any other aspect of individual and collective life”. Guerraggio and Nastasi chronicle in exquisite and sometimes painful detail how Italian mathematicians participated in this transfor-mation or were eventually excluded from Italian mathematics. Chapters 3–6 are devoted to the 1920s. Guerraggio and Nastasi present a fascinating survey of Italian research in pure and applied analysis, probability theory, and mathematical economics. Their discus-sion of algebraic geometry —which they term the queen of Italian mathematics— and of its king and crown prince, Federigo Enriques and Francesco Severi, is interesting and informative, but parts are unintelli-gible to readers who are not specialists in that area. The authors also trace the relations between Italian and German mathematicians, once very close, but severely strained since 1914. Throughout these chapters, the authors stress the leadership of Guido Castelnuovo, Enriques, Tullio Levi-Cività, Mauro Picone, Salvatore Pincherle, Severi, Leonida Tonelli, and Vito Volterra, and the contributions of a few of their fol-lowers. The nationally and internationally acknowledged leader of Italian mathematics at the beginning of that decade was Volterra, vice president then president of the National Academy (Accademia dei Lincei), and chairman of the National Research Council. Chapter 4 describes the direct influence of Fascism on Italian mathematics, particularly through the far-reaching structural reforms of the school and university systems devised by the Minister of Education, Giovanni Gentile. The authors reveal intimate details of the personal interactions involved. The stories are extremely interesting and trou-bling. Before the war, Gentile and another philosopher/journalist, Benedetto Croce, had severely attacked Enriques’s expositions of the modern abstract approach in mathematics. In 1925 Gentile garnered the support of a number of intellectuals for a manifesto supporting the totality of the fascist reforms, but attracted only one leading mathemati-cian, Pincherle. By that time Croce had split with the regime, and se-cured backing by Volterra and most other mathematicians for a counter-


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manifesto supporting traditional scientific detachment. The Fascist regime was then evolving a new policy toward the cultural world [p. 289]: “great sensitivity and [...] attention towards the role that intellec-tuals can play. Their approval can be won [...] with the ‘stick’ or the ‘carrot’”. Gentile prevailed in this war of manifestos and Volterra was forced out of his official leadership roles by 1926. The carrot attracted Severi, his successor as leader. Enriques’s protégé in algebraic geome-try in the early 1900s, Severi had been Enriques’s fierce challenger since at least 1921. Severi enthusiastically espoused Fascism, and Gen-tile installed him as the only mathematician in the Academy of Italy, a new organization intended to supplant the National Academy. The authors quote detailed and fascinating correspondence and government documents about Severi’s ascendency. The story of the 1920s culmi-nates in section 6.5, on the notorious loyalty oath that the regime re-quired all professors to sign in 1931. The authors detail the genesis of the oath and its exact wording. Volterra was one of only twelve to re-fuse—the only mathematician. He was immediately dismissed from his university position and all Italian scientific societies. Chapters 6–8 continue this story through the 1930s. Algebraic ge-ometry remains an inscrutable queen, but the account of developments in analysis is intriguing and enlightening, particularly that of applied work spurred by the Fascist regime’s insistence on social relevance. These chapters chronicle the gradual deterioration of Italy’s interna-tional presence in mathematics. The crash comes in section 8.3 with the terrible 1938 racial laws, by which Italian Jews lost virtually all means of livelihood. In particular, the renowned leaders Castelnuovo, Enri-ques, and Levi-Cività were fired. (Pincherle had died in 1936). The authors describe not only these direct effects, but how the mathematics faculties explicitly rationalized imposition of the laws, and attempted to rewrite history to expunge the records of the Jews’ research and leader-ship. Thus Guerraggio and Nastasi have traced Italian mathematicians’ progress from disillusion in 1918, through Fascist transformation, to disaster in 1938 [p. 288]:

From this group of researchers and professors —Fascist or [uncommit-ted], always and above all mathematicians— come folkloristic tributes to [Mussolini, the Leader], to his innumerable and irresistible talents and to the achievements of Fascism, trumpeted in the prologues to books and speeches. Mathematicians soon conform to the repetitive rhetoric of the Fascist style, adjusting to the rhetorical code exhibited in the public-ceremonial sphere. What can be inferred if not a loss of rea-son, ridiculous and actually unaccountable?

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Fascism deprived Italian mathematics of the work of some of its major contributors. It sidetracked much of the effort of mathematicians into fruitless political posturing and thrashing. Those responses in turn brought about a major loss in credibility. After the Fascist period, much effort was required to reestablish Italy’s position in mathematical research. Major determinants of a book’s value include whether it imparts new and vital information and whether it should excite readers to fur-ther study. Guerraggio and Nastasi 2005 succeeds both ways. The re-viewer was rapt by its detailed accounts of events about which he’d read only rumors, and mathematics he knew by name only. He was immediately stimulated to acquire more historical background. The book implicitly suggests inquiries that could become engaging projects. For example, deeper studies of the Italian mathematicians’ work in neighboring disciplines and in public dissemination of mathematical ideas would be fascinating. For some of these mathematicians very interesting biographies are available; for the others, biographies are clearly needed. This review closes with some comments about production matters, addressed to editors and publishers as well as readers. In short, Guer-raggio and Nastasi 2005 received insufficient and careless editorial attention. As an initial example, on the copyright page the description of the cover is wrong. There is a good name index, but no subject in-dex. Also making the reader’s job harder is the lack of a bibliography. Most primary sources are adequately cited in footnotes, but readers must find them by re-reading in order to follow them. Almost no sec-ondary sources are cited to lead the reader to background information. On the other hand, the book’s inclusion of original Italian texts of trans-lated quotations is laudable —even essential, since many of the transla-tions are inadequate and possibly misleading. Since the body text was probably translated from Italian, the following comments about lan-guage errors apply to virtually the entire book. English possessives are often used inappropriately. For example, Caporetto’s retreat [p. 57] suggests an action by an officer named Caporetto, not a catastrophe at a place called Caporetto. Present tense is often used where past is appropriate: that makes it difficult to distin-guish the authors’ descriptions of past events from their expressions of opinion. For example, taken out of context the quoted paragraph in the third paragraph before this can be interpreted either way. There are many spelling errors that software should have identified. Here are some typical diction and translation faults that could seriously affect readers’ understanding.


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• Lipsia, Monaco, Sorbona, Zurigo = Leipzig, München, Sorbonne, Zürich.

• Frequently, ‘conference’ should be ‘lecture’, and physician should be ‘physicist’.

• ‘Coherence’ of non-Euclidean geometry should probably be consis-tency [p. 8].

• ‘Genial’ intuitions should probably be ‘ingenious’ [p. 13]. • Compressed gas ‘recipients’ should probably be ‘receptacles’ [p. 45]. • Students killed or blessed were probably killed or wounded [p. 57]. • A minority of ‘factoids’ is probably one of ‘factious people’ [p. 59]. • Instead of the admiring tone of ‘Crafty people who enrich [...] them-

selves’, the more negative Cunning ‘people’ was probably intended [p. 59].

• ‘Intransigent’ must be misused: the first paragraph on page 72 is unin-telligible.

• The ‘eventually infinite’ combination should probably be ‘perhaps infinite’ [p. 77].

• ‘Ophelimity’ and ‘deicidic’ are not in most dictionaries [pages 121, 259].

• Innermost ‘bounds’ should be innermost ‘connections’ [p. 121]. • Most readers think a ‘tern’ is a type of bird, not a lottery [p. 195]. • Italians ‘ennobled’ for the Oslo congress probably ‘embarked’ for it

[p. 248]. • ‘Compagna di Gesù’ = Jesuits [p. 260]. • ‘Journal’ of Italian mathematical production should be ‘review’ [p. 267]. • Extraordinary mathematical ‘liking’ should be ‘taste’ [p. 280]. Chapter 3 is particularly ridden with such errors. For instance, on page 76 in the bottom paragraph the second sentence about Giuseppe Vitali and Henri Lebesgue is unintelligible. Moreover, that chapter lacks many citations of sources: for example, none is given to enable readers to determine what Lebesgue actually wrote or said. References BOSWORTH, Richard James Boon. 2005. Mussolini’s Italy: Life under

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492 James T. Smith

Mathesis

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MATHESIS filosofía e historia de las ideas matemáticas Serie III. Vol. II. No. 2. Jul - Dic 2007

ISSN 0185-6200

MATHESIS

Enseñanza, pero no sólo aquella que se da, sino también aquella que se busca.

Acto de introducir las cosas en nuestro conocimiento. Mathesis es enseñar y aprender.

MATHESIS filosofía e historia de las ideas matemáticas

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edebé

ARTÍCULOS Miguel Ariza. Hacia una interpretación semiótica de los símbolos matemáticos. . . . 227-251 Alberto Cardona Suárez. El Cenáculo de Leonardo da Vinci. Una discusión geomé- trica. (Disertaciones artísticas. Parte I). . . . 253-278 NOTAS EDUCATIVAS Jacobo G. Núñez Urías. El teorema del valor medio del cálculo diferencias. . . . . . . .279-299 FUENTES Euclides. La Especularia. . . . . . . . . . 301-344 Clara H. Sánchez. Contribuciones a la fundamentación de la teoría de los números transfinitos. Una introducción. . . . 345-385 Georg Cantor. Una introducción a la funda- mentación de la teoría de los números cardinales y ordinales transfinitos (1895-1897) Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. . . . . . . . . . . . . . 387-462

RESEÑAS Jaime Labastida. El edificio de la razón. El

sujeto científico. por Walter Beller. . . . . . . . . . . 463-472

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por J. César Guevara Bravo . . . . . . 473-480 Elena Anne Marchisotto y James T. Smith. The Legacy of Mario Pieri in Geometry and Arithmetic.

por Jeremy Gray. . . . . . . . . . . 481-483 Angelo Guerraggio y Pietro Nastasi. Italian Mathematics Between the Two World Wars.

por James T. Smith. . . . . . . . . . 485-492 INFORMACIÓN PARA AUTORES

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México Se sugiere a los autores conservar una copia para su propia referencia. Todo ensayo inédito se recibe bajo la condición de que éste ha sido sometido a publi-cación únicamente a Mathesis. El autor deberá indicar específicamente la sección de la revista (e.g. ‘artículos’, ‘notas educativas’, ‘proyectos de trabajo’, ‘noticias y avisos’, etc.) que considere más apropiada para su ensayo, con la única excepción de las secciones ‘ensayo-reseña’ y ‘reseñas’, cuyos trabajos son requeridos directamente por los directores.

Los originales deben presentarse con letra grande y clara, y escritos a doble espacio. Los márgenes han de ser más anchos que lo normal a fin de permitir espacio suficiente (una norma aproximada sería: sesenta y cinco golpes por línea y venticinco líneas por cuartilla) para anotar instrucciones que los directo-res indican a los impresores.

Mathesis recurre a la asesoría de árbitros, quienes indican la pertinencia de publicar o no dicho ensayo; por esta razón el nombre, afiliación y dirección del autor deben aparecer únicamente en la cubierta o carátula del ensayo para que su identidad se mantenga confidencial. Una vez dictaminado el ensayo, los editores sugerirán el mínimo de cambios (generalmente relacionados con el formato y estilo de la propia revista) para acelerar la impresión de éste.

El idioma oficial único de Mathesis es el español, aunque algunas reseñas (en número limitado) pueden ser presentadas a los editores en otras lenguas. Sin embargo, todos los autores deberán incluir, junto con su ensayo, un breve resu-men del objetivo de su artículo, en los idiomas español e inglés de una extensión máxima de doscientas palabras cada uno de ellos. Los autores también deberán anexar una ficha curricular (máximo de cincuenta palabras) donde anotarán su afiliación, formación académica, área de trabajo, títulos de algunas de sus publi-caciones más recientes y el tema de su proyecto actual de investigación.

Los autores tienen completa libertad en cuanto a la posible extensión del ensayo —en algunos casos, tal vez, sea necesario dividir el ensayo original en dos o tres partes debido a una longitud poco usual—. Las notas a pie de página deben estar numeradas en orden consecutivo y deberá reiniciar en cada página. La numeración de las notas dentro del texto central deberá aparecer con super-índices, por fuera de la puntuación.

Dentro de lo posible, en el caso de aquellas obras que ya hayan sido tradu-cidas de otras lenguas al español, el autor deberá citar la obra en español, la que quizá se encuentra más fácilmente a disposición de la mayoría de los lectores. La información bibliográfica relacionada con citas textuales ha de incluirse a través del texto entre corchetes de la siguiente manera: [Galileo 1975c II, 119], para indicar la cita tomada de la página 119 del segundo tomo de la obra de Galileo publicada en 1975. Añadimos siempre a la fecha de la publicación un caracter alfabético minúsculo para distinguir entre aquellas obras publicadas por un mismo autor en un mismo año.

Información para autores

La lista completa de referencias bibliográficas aparecerá al final del artículo en una única relación alfabética ordenada por autores y, dentro de este orden, observará un suborden cronológico. En el caso de libros, la referencia bibliográ-fica deberá contener los siguientes datos: Nombre completo del autor, primero su apellido paterno en mayúsculas, enseguida su nombre de pila; año de publi-cación con su propio caracter alfabético; título completo del libro subrayado (itálicas); lugar de edición (seguido por dos puntos) y nombre del editor (o casa impresora); a continuación, entre paréntesis, se puede incluir información adi-cional (e.g., el nombre de la colección a la que pertenece el texto, número de edición —en caso de no ser la primera— y año de publicación de ésta, entre otros). Todos y cada uno de estos datos deberán estar seguidos por un punto y seguido, con excepción del lugar de la edición.

En caso de ser una traducción deberá tratarse, dentro de lo posible, de indi-car inmediatamente la fuente original (entre corchetes y conteniendo los mis-mos datos, pero cambiando y normalizando el orden de los nombres del autor y trasladando el año de publicación a la posición final). Por ejemplo:

POINCARÉ, Henri. 1944a. Ciencia y Método. Madrid: Espasa Calpe. (Col. Austral # 409. Tercera edición, 1963). [Henri Poincaré. Science et Méthode. Paris: Flammarion. 1908].

En el caso de un artículo contenido en una revista, la referencia debe contener los siguientes datos: Nombre del autor; fecha de publicación; título del artículo, entre comillas; título de la revista subrayado (itálicas); número del volumen, (en negritas), seguido por dos puntos; y, finalmente, el número de las páginas entre las que está comprendida la mencionada referencia. Por ejemplo:

PALTER, Robert. 1987a. ‘‘Saving Newton's text: Documents, Readers, and Ways of the World’’. Studies in History and Philosophy of Science 18: 385-439.

Para el caso de un ensayo contenido en un libro o colección de ensayos deberá seguirse el modelo indicado por el siguiente ejemplo:

DAUBEN, Joseph. 1984a. ‘‘El desarrollo de la teoría de conjuntos cantoriana’’, contenido en: Ivor Grattan-Guinness (editor). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introduc-ción histórica. Madrid: Alianza Editorial. (Col. Alianza Universidad # 387. Traducción de Ma-riano Martínez Pérez). Pp. 235-282. [Ivor Grattan-Guinness (editor). From Calculus to Set The-ory, 1630-1910. An Introductory History. London: Duckworth. 1980].

Es también importante marcar con claridad —a fin de evitar al impresor cualquier tipo de confusión— todos aquellos símbolos, ecuaciones y fórmulas matemáticas; alfabetos poco usuales; fórmulas químicas y físicas, caracteres especiales y acentos diacríticos. También es publicable un reducido número de dibujos o esquemas, los cuales deben ser reproducibles directamente de la copia enviada por el autor; en este caso sólo es posible imprimir motivos a línea en blanco y negro y no en medio tono. El material gráfico deber estar separado del texto con la respectiva indica-ción, señalando dónde ha de ser incluido cada uno de los diagramas.

Una vez aprobada, revisada y corregida, el autor debe enviar la versión fi-nal de su ensayo impresa, y capturada en disco o CD, utilizando alguno de los siguientes procesadores de palabras para IBM-PC: Microsoft Word, Word Perfect; o enviar un archivo ‘adjunto’ dentro de un mensaje electrónico a la dirección: [email protected]

Finalmente, ya publicada la revista, el autor recibirá veinticinco sobretiros de su trabajo, sin cargo alguno, para su uso personal.

MATHESIS filosofía e historia de las ideas matemáticas

FINALIDAD Y NATURALEZA: Mathesis busca promover la creación de nuevo conocimiento que sea relevante —a través de la publicación de ensayos de investigación original y de proveer un foro de discusión abierta— en historia y filosofía de las ideas matemáticas. El enfoque multidisciplinario, internacional y multiétnico propone estrechar las relaciones académicas de un espectro muy amplio de colegas provenientes de una gran variedad de formaciones sociales. Mathesis no está comprometida con escuela o método alguno. No define una perspectiva, sino una disciplina. Mathesis está abierta a todos los puntos de vista, a todos los enfoques, a todos los métodos y a todos los aspectos de la historia y filosofía de las ideas matemáticas. Mathesis subyace dentro de un marco conceptual lo más amplio posible que contempla el estudio de la historia de las ideas matemáticas en todos los países del mundo (tanto las matemáticas occidentales tradicionales como las no tradicionales) y en todas las épocas (desde el origen del hombre hasta nuestros días), incluyendo etnomatemáticas, arqueoastronomía, matemáticas puras y aplicadas (y el desarrollo de los usos de ambas), escuelas de pensamiento, estilos matemáticos, estadística, probabilidad, enseñanza, ciencias actuariales, investigación de operaciones, ciencias de la computación (incluyendo política administrativa, ‘hardware’ —desde el ábaco hasta la computadora— y ‘software’ —e.g., algoritmos, lenguaje, notación y tablas—), cibernética, comunicación de las matemáticas (sistemas de información y bibliografías, entre otras), biografías de matemáticos, historiadores y filósofos, organizaciones e instituciones, historiografía, y cualquier aspecto que ilumine el desarrollo de las ideas matemáticas dentro de un contexto intelectual, cultural, político, económico y social. Desde el punto de vista filosófico, Mathesis comprende el estudio de la lógica, del método y el análisis de los conceptos matemáticos. Por su carácter multidisciplinario, Mathesis contempla el estudio de la historia y la filosofía de otras disciplinas —e.g., ciencias del hombre (antropología, psicología, pedagogía, entre otras), ciencias exactas (física, astronomía, química, y demás), ciencias naturales (biología, medicina, etc.), ciencias sociales (sociología, teoría política, relaciones internacionales, entre otras), humanidades (filosofía, leyes, etc.) y artes (literatura, pintura y escultura, y demás)— cuando su análisis, ya sea histórico o filosófico, arroje nueva luz sobre el entendimiento de los conceptos que conforman el ámbito matemático. En breve, a través de Mathesis se intenta estrechar más el apoyo mutuo entre los aspectos humanísticos de las ideas matemáticas y toda disciplina académica en la búsqueda común por una mejor comprensión del mundo que nos rodea. La revista se publica, primordialmente, en lengua vernácula, como se acostumbra en la disciplina, en un intento por profesionalizar estos estudios en los países de habla española. PERIODICIDAD: la revista se publica dos veces al año, en los meses de junio y diciembre. Cada volumen anual contiene un número aproximado de quinientas páginas.

ESTRUCTURA: la revista está integrada por las siguientes secciones, que no necesariamente aparecen en todos los fascículos:

Artículos. Incluye ensayos originales y panorámicos, tanto en historia como en filosofía. Los artículos históricos y filosóficos deben incluir nuevos datos provenientes de fuentes primarias, análisis inéditos de datos ya conocidos, reseñas de trabajos históricos y filosóficos previos, evaluaciones de trabajos recientes de investigación histórica y filosófica, manuscritos originales inéditos, traducciones o reimpresiones de materiales inaccesibles al común de los lectores y bibliografías anotadas y comentadas.

Clásicos matemáticos. Presenta traducciones al español de trabajos pasados que se consideran paradigmáticos en la disciplina. Estas traducciones (e.g. Descartes y Cantor, entre otros) se realizan directamente del lenguaje original y están precedidas por textos introductorios que explican la naturaleza y relevancia de su contenido.

Nuestros fundamentales. Presenta traducciones al español de trabajos históricos y/o filosóficos ‘recientes’ que se consideran primordiales —ya sea por su originalidad, trascendencia y/o relevancia— en la formación de nuestra comunidad.

Notas educativas. Comprende la publicación de breves artículos, notas y noticias sobre diversos programas y cursos en las dos áreas mencionadas. En esta sección se incluyen ensayos que discuten los usos de la historia y la filosofía en educación matemática.

Proyectos de trabajo. Contiene información de proyectos académicos en preparación o en pleno desarrollo, incluyendo temas de tesis, retos, preguntas y respuestas.

Noticias y avisos. Informa a los lectores de congresos, reuniones, conferencias, invitaciones, notas necrológicas y otros eventos de interés que realice la comunidad de filósofos e historiadores.

Ensayo-reseña. Presenta reseñas extensas que intentan, en detalle, inspeccionar trabajos contemporáneos y pasados. Los ensayos están dedicados a algunas obras que se consideran clásicas en estas disciplinas.

Reseñas. Presenta revisiones críticas de obras, tanto pasadas como actuales, que conforman estas materias.

Fuentes. Informa a los lectores de los acervos de bibliotecas y archivos de instituciones de países hispanohablantes para facilitar la localización de libros y revistas. También propone describir el contenido de las distintas revistas que se publican o se han publicado en lengua española (e.g., Matemáticas y Enseñanza, Ciencia y Desarrollo, Investigación Científica, Historia Mexicana, Naturaleza, Revista de Occidente, etc.).

Información bibliográfica. Ofrece a los lectores la información bibliográfica que les permita mantenerse al día en el conocimiento de las más recientes publicaciones.