HERRAMIENTAS MATEMTICAS DE LA MECNICA CUNTICA

Espacio de funciones de onda para 1 partcula

Estructura del espacio de funciones de onda F

La probabilidad de encontrar a una partcula en todo el espacio viene dada por:

Las funciones apropiadas para trabajar en el espacio de funciones de onda son cuadrado integrables (L2) y tienen la estructura de un espacio de Hilbert

Producto escalar (producto punto)

A cada par de elementos de F , (r) y (r) se le puede asociar un numero complejo denotado por (,) el cual es definido por:

De manera discreta: (,) =(xx+yy+zz)

Propiedades

*

* * El producto escalar es lineal con respecto a la segunda funcion del par y antilineal con respecto a la primera

Ortogonalidad

En el caso en que

Se dice que (r) y (r) son ortogonales. * Es un numero real positivo, el cual es cero si y solo si (r)=0

Desigualdad de Schwarz

Es llamada la norma de (r). La desigualdad de Schwarz se convierte en igualdad si y solo si 1(r) y 2(r) son proporcionales.

Operadores lineales

Un operador lineal A es por definicin una entidad matemtica que le asocia a una funcin (r) otra funcion (r). Su linealidad implica lo siguiente:

Algunos ejemplos de operadores lineales

El operador paridad

El operador X

El operador derivada

Producto de operadores

Sean A y B dos operadores diferentes. Definimos su producto

En general por lo que podemos definir el operador conmutador como:

Bases discretas ortonormales en F:

Consideremos un conjunto contable de funciones con indices discretos i=1,2,3,.,n

El conjunto es ortonormal siDonde es la funcion Delta de Kronecker la cual para i=j es igual a 1 y es igual a 0 para i diferente de j

Componentes de una funcion de onda en la base

Una base se constituye si cada funcion (r) puede ser expandida en solo una forma en terminos de

Si multiplicamos esta ecuacion por ambos lados por Uj*(r) e integramos en todo el espacio llegamos a:

Esto es

El conjuntos de numeros Ci se dice que representa a (r) en la base {Ui(r)}