Hidrograma Unitario

UNIVERSIDAD DE CARTAGENAFACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERASDISEO INTEGRAL DE OBRAS DE DRENAJES PARA CARRETERAS

Hidrograma UnitarioEs el hidrograma producido por una cuenca por unidad de precipitacin. Es un mecanismo que relaciona la lluvia con la escorrenta superficial de una cuenca. Se puede describir como la respuesta de la cuenca a una precipitacin unitaria. Para el desarrollo del hidrograma unitario se utiliza el concepto de linealidad de un sistema, el cual se aplica a un sistema hidrolgico. Para que un sistema sea lineal se deben cumplir las siguientes hiptesis: 1. Principio de proporcionalidad. Si una solucin f(Q) de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, se multiplica por una constante C, la funcin resultante Cf(Q) es tambin una solucin. 2. Principio de aditividad o superposicin. S dos soluciones f1(Q) y f2(Q), de una ecuacin diferencial lineal se suman, la funcin resultante f1(Q) + f2(Q), es tambin una solucin de la ecuacin. Funcin Impulso respuesta. La respuesta de un sistema lineal se caracteriza nicamente por su funcin impulso respuesta. Si un sistema recibe una entrada unitaria aplicada instantneamente en el tiempo , la respuesta del sistema en un tiempo posterior t, est descrita por la funcin de respuesta de impulso unitario u(t- ), donde t- , es el tiempo de retardo desde que se aplic el impulso. Si aplicamos el principio de proporcionalidad y aditividad aplicando dos impulsos uno de magnitud a, en el tiempo 1, y otro de magnitud b, en el tiempo 2, la respuesta del sistema ser: au(t- 1)+bu(t- 2). De igual forma una entrada continua puede tratarse como la suma de impulsos infinitesimales. Si se aplica este concepto a las relaciones precipitacin caudal, y consideramos que I( ), es la intensidad de la precipitacin, entonces I( )d , es la profundidad de la precipitacin cada en un intervalo de tiempo d , entonces la escorrenta directa que ocurre en un tiempo t- es I( )u(t- )d , y el caudal estara dado por la siguiente expresin:Q (t ) = I ( )u (t ) d0 t

(Vent Te Chow, pag 210)

llamada integral de convolucin, y es la ecuacin fundamental en la solucin de sistemas lineales en una escala continua de tiempo.

ALFONSO ARRIETA PASTRANA Ing.Civil Msc. Hidrulica. Doctor Ciencias del Mar

tel. 6754782-6563620 1 email: [email protected]


(Tomada: Figura 7.2.1. De Vent. Te Chow , pag 211). Funcin Respuesta de Paso. Es la respuesta a una entrada que pasa de la tasa cero (0) a uno(1), en el tiempo cero y contina indefinidamente a esa tasa. Por lo cual:I () =1 para 0t

Q(t ) = g (t ) = u (t ) d0

De lo anterior se aprecia que la funcin respuesta de paso es igual a la integral de la funcin impulso respuesta. Funcin Respuesta de Pulso Es una entrada unitaria que ocurre con una duracin t, donde la tasa de entrada est dada por I ( ) = La funcin respuesta de pulso unitario se puede obtener utilizando los principios de proporcionalidad y aditividad aplicados a la funcin respuesta de paso, de tal manera que la funcin respuesta de pulso unitario est dada por la siguiente funcin:ALFONSO ARRIETA PASTRANA Ing.Civil Msc. Hidrulica. Doctor Ciencias del Mar tel. 6754782-6563620 2 email: [email protected]

1 , para 0 , y cero en cualquier otro lugar. t


h(t ) =

1 [ g (t ) g (t t )] t




Sistema Lineal en Tiempo Discreto. Las funciones respuesta de impulso, paso y pulso se han definido en el dominio de tiempo continuo, a continuacin se hace el anlisis cuando el tiempo se divide en intervalos de tiempo discretos t. Un sistema discreto se puede representar de dos formas; como informacin por pulsos o como informacin por muestras. El caso de la informacin por pulsos es aplicado a la toma de datos de precipitacin y se puede expresar de la siguiente manera:Pm = m t (m ) 1 t

I () d t

para m= 1,2,3....

y el sistema de informacin por muestra se aplica para los caudales, donde el caudal se define en el tiempo t=n t, y su expresin es:Qn = Q ( nt )




Donde Qn, es el caudal instantneo en el n-simo intervalo. Por lo anterior las variables de entrada y salida de una cuenca se registran con dimensiones diferentes y usan representaciones discretas de informacin diferentes. En un dominio discreto el caudal se puede expresar de la siguiente manera:Qn = I ( ) =nt 0

I ( )u ( nt )d

Pm t

Qn = PM t

P 1 tMt

t

0

u ( nt )d +

P2 t

2 t

t

u ( nt )d + .......... ....

Pm t

mt

( m 1) t

u (nt ) d +...

( M 1) t

u ( nt ) d

Funcin Respuesta de Pulso Discreto. La funcin respuesta de pulso continuo h(t), puede representarse en un dominio de tiempo discreto, como una funcin de informacin por muestra U. Donde:U ( n m +1) = h[( n m +1)t ]

La funcin en tiempo discreto para la integral de convolucin para el caudal est dada por:Qn = P U n + P2U n 1 +.......... PmU n m +1 +.......... .. PM U n M +1 1 Qn = PmU n m +1m= 1 M

La ecuacin anterior es vlida si n mayor igual que M; Si n es menor que M, slo tendra que tenerse en cuenta los n primeros pulsos de entrada. Teniendo en cuenta la anterior restriccin la ecuacin de convolucin en su forma discreta para el caudal toma la forma siguiente: Qn =n M

P Um= 1 m

n m +1

Donde: M= # de pulsos de entrada n= Intervalo de tiempo para el caudal




Cuando el valor de n es menor que M, el contador m, varia de 1,2,.....n, pero si n es mayor que M, el contador tomas los valores m= 1,2,3.....M. Para el caso que se ilustra en la figura siguiente se tiene: Hay tres valores de precipitacin que corresponden a tres pulsos de entrada; P1,P2,P3, por lo cual M=3. Para el primer intervalo de tiempo n=1, por lo tanto:Q1 = P U 11+1 = P U 1 1 1

Para n=2, m toma los valores de 1, y 2.Q2 = P U 2 1+1 + P2U 2 2 +1 = P U 2 + P2U 1 1 1

Para n=3, m tomas los valores 1,2,3.Q3 = P U 31+1 + P2U 32+1 + P3U 33+1 = P U 3 + P2U 2 + P3U 1 1 1

Para n=4 , m toma los valores de 1,2,3. De aqu en adelante los valores de m siguen siendo 1,2,3.Q4 = P U 4 1+1 + P2U 4 2 +1 + P3U 4 3+1 = P U 4 + P2U 3 + P3U 2 1 1

Finalmente:Q5 = P U 5 + P2U 4 + P3U 3 1 Q6 = P U 6 + P2U 5 + P3U 4 1 Q7 = P2U 6 + P3U 5 Q7 = P3U 6







Hidrograma unitarioDe acuerdo con el planteamiento anterior, el hidrograma unitario es la funcin respuesta de pulso unitario para un sistema hidrolgico lineal y fue propuesto por Sherman en 1932, y se define como el hidrograma de escorrenta directa resultante de una unidad de exceso de lluvia producido sobre un rea de drenaje a una tasa constante durante un perodo de duracin. El concepto de hidrograma unitario se utiliza para escorrenta superficial. Para la deduccin del hidrograma unitario se requiere el registro de datos de precipitacin y caudal en una cuenca. El modelo de hidrograma unitario parte de las siguientes hiptesis:(Vent Te Chow, pag 220-221) 1. El exceso de precipitacin tiene una intensidad constante dentro de la duracin efectiva. 2. El exceso de precipitacin est uniformemente distribuido a travs de toda el rea de drenaje. 3. El tiempo base del hidrograma unitario resultante de un exceso de lluvia es constante. 4. Las ordenadas de todos los hidrogramas unitarios de una base de tiempo comn son directamente proporcionales a la cantidad total de escorrenta directa representada por cada hidrograma. 5. Para una cuenca dada, el hidrograma resultante de un exceso de lluvia dado refleja las caractersticas no cambiantes de la cuenca. Este modelo fue desarrollado para cuencas grandes pero se recomienda su aplicacin para cuencas de 0.5 hectreas hasta 25 km2. Se considera que el modelo no es aplicable a la escorrenta producida por la nieve y el hielo. En trminos generales para la aplicacin del mtodo se hacen las siguientes recomendaciones: 1. Las tormentas seleccionadas para el anlisis deben ser de corta duracin, ya que producirn exceso de lluvia intenso y aproximadamente constante, con pico nico y tiempo base corto. 2. Cuando el rea es demasiado grande, se recomienda dividirla en varias subreas, de tal forma que la lluvia se pueda considerar uniforme. 3. Los hidrogramas unitarios son aplicables cuando las condiciones del canal no cambian y las cuencas no tienen almacenamientos considerables, lo cual implica que el rea de drenaje no tenga muchos embalses, y que el flujo no transite por la llanuras de inundacin.




Clculo del hidrograma unitario. Para el clculo del hidrograma unitario se requiere tener disponible datos de precipitacin y escorrenta superficial. A los datos de precipitacin se le extrae todas las abstracciones principalmente la infiltracin y la evapotranspiracin y nos queda la lluvia efectiva o exceso de lluvia. A los datos de caudales se les extraen los caudales base y nos queda la escorrenta superficial. Los datos que se utilizan para el anlisis son los de lluvia efectiva y los de escorrenta superficial. Utilizando la ecuacin de convolucin en forma discreta dada por: Qn =n M

P Um= 1 m

n m +1

Se obtiene un sistema de ecuaciones, las cuales pueden resolverse por el mtodo de eliminacin Gausiana: Se parte de la siguiente informacin: M= Nmero de pulsos de exceso de precipitacin, Pm. N= Nmero de pulsos de escorrenta directa. N-M+1= Nmero de intervalos definidos de ordenadas del hidrograma unitario. Los valores de Qn y Pm son conocidos y se requiere conocer los valores del hidrograma unitario Un-m+1. El sistema de ecuaciones que se obtiene es el siguiente:Q1 = P U 1 1 Q2 = P2U 1 + P U 2 1 Q3 = P3U 1 + P2U 2 + P U 3 1 ...... QM = PM U 1 + PM U 2 +....... P U M 1 1 QM + = 0... + PM U 2 +.......... .. P2U M + P U M + 1 1 1 ...... Q N = 0 +0 +0 +0 +0.......... .... +.......... .......... ... PM U N M + PM U N M + 1 1 1 Q N = 0 +0 +0 +.......... .......... .......... ..... +0 +.......... .......... ... + PM U N M + 1

En la mayora de los casos el sistema de ecuaciones est sobredimensionado debido a que existen mas ecuaciones N que incgnitas N-M+1.




Como la solucin del hidrograma unitario no es nica se han propuestos varios mtodos de solucin, como por ejemplo el mtodo de Collins 1939, de aproximaciones sucesivas quien parte de un hidrograma supuesto y por clculos sucesivos corrige los errores hasta un valor permitido. Otro mtodo es el de regresin lineal el cual consiste en minimizar el error de mnimos cuadrados y se tiene tambin el mtodo de programacin lineal quien optimiza la funcin objetivo. Hidrograma Unitario Sinttico El hidrograma unitario descrito anteriormente es aplicable solamente para la cuenca y para el punto de la corriente donde se midieron los caudales y las precipitaciones, mientras que el hidrograma unitario sinttico se propone para que se utilice en otros puntos de la corriente dentro de la misma cuenca o para cuencas vecinas con caractersticas similares. Se han propuesto tres tipos de hidrogramas unitarios sintticos: 1. Los que relacionan las caractersticas del hidrograma con las caractersticas de la cuenca. 2. Hidrogramas unitarios adimensionales 3. Basados en modelos de almacenamiento de la cuenca. A continuacin se describen los dos primeros que son los de mayor aplicacin. Hidrograma Unitario Sinttico de Snyder. Fue desarrollado por Snyder en 1938, para cuencas localizadas en los montes apalaches de los estados unidos con tamaos que variaban entre 30 a 30.000km2. Entre las relaciones propuestas se tienen las siguientes(ver figura anexa):



UNIVERSIDAD DE CARTAGENAFACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERASDISEO INTEGRAL DE OBRAS DE DRENAJES PARA CARRETERAS t p = 5.5t r

tp= Tiempo de retardo al pico tr= Duracin de la lluvia. El retardo de la cuenca est dado por la siguiente expresin:t p = C1C t ( LL C ) 0.3

Donde : tp est dado en horas, L es la longitud de la cuenca en kilmetros, desde la divisoria de aguas hasta la salida, Lc es la distancia en kilmetros desde la salida de la cuenca hasta el punto de la corriente mas cercano al centroide del rea de la cuenca. C1=0.75 Ct= Es un coeficiente basado en cuencas instrumentadas en la misma regin. El caudal por unidad de rea de drenaje en m3/s.km2 est dado por:qp = C 2C P tp

Donde : C2=0.75, y Cp es un coeficiente basado en cuencas instrumentadas en la misma regin. Los valores de Ct y Cp, para calcularlos de una cuenca instrumentada, se miden los valores de L y Lc, utilizando un mapa de la cuenca, y se utiliza un hidrograma unitario deducido para esa cuenca. La duracin efectiva de la lluvia para la cuenca instrumentada se denomina tR en hora, el tiempo de retardo tpR, y el caudal pico por unidad de qpR. Si se encuentra en la cuenca instrumentada que tpR es muy diferente que 5.5tR el retardo de la cuenca estndar se calcula como:t p = t pR + tr tR 4

Y se proponen las siguientes relaciones:q pR = q pt p t pR

El tiempo base puede estimarse como:tb = 5.56 q pR

El ancho en horas de un hidrograma unitario a un caudal igual a un cierto porcentaje del caudal pico esta dado por:W = CW q 1.08 pRALFONSO ARRIETA PASTRANA Ing.Civil Msc. Hidrulica. Doctor Ciencias del Mar tel. 6754782-6563620 11 email: [email protected]


Donde Cw es igual a 1.22 para el 75% del caudal pico, y de 2.14 para un porcentaje del 50% del caudal. Hidrograma Adimensional del SCS. El hidrograma unitario del SCS, es un hidrograma unitario sinttico en el cual el caudal se expresa en funcin del caudal pico y el tiempo se expresa en funcin del tiempo al pico. (ver figua anexa) Los valores del caudal pico qp y del tiempo al pico Tp, se estiman utilizando un modelo simplificado de hidrograma unitario triangular. Para el clculo se proponen las siguientes expresiones:tb = 2.67 TP TP = tr +t p 2 t p = 0.6t c qp = 2.08 A TP

tb= Tiempo base del hidrograma unitario triangular. Tp= Tiempo al pico en horas tr= Duracin de la lluvia de exceso. A=rea de la cuenca en km2 tc=Tiempo de concentracin de la cuenca. tp=Tiempo de retardo de la cuenca




Hidrogramas Unitarios para Diferente Duracin Si se dispone de un hidrograma unitario para una cuenca dada, para una duracin de lluvia de exceso determinado, se puede construir el hidrograma unitario para una duracin diferente siempre y cuado la duracin sea mltiplo entero de la duracin con la cual se dedujo el hidrogranma unitario, aplicando los principios de superposicin y proporcionalidad. Para el caso de una lluvia de exceso de duracin infinita, e intensidad unitaria, est se puede considerar como la suma de varias lluvias continuas de duracin t, lo cual da como resultado la curva S. (Ver figura anexa). Para obtener el hidrograma unitario para una duracin diferente t, se resta el valor de la curva S en el tiempo t menos el valor de la curva S en el tiempo t- t.



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