FACULTAD DE CIENCIAS (Sección Matemáticas) 2º Curso – Grado en Matemáticas

Asignatura: HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA MATEMÁTICAS – Código: 61022056 Prueba Presencial. Segunda Semana. Febrero 2012. Duración: 2 horas

1) Se desea evaluar el error cometido al realizar la integral definida de la función 2

1( )

1f x

x

mediante integración numérica en el rango [-2,2] con un intervalo de integración h=0.01. En la integración numérica se van a emplear dos métodos distintos: la regla de los rectángulos y la regla de Simpson compuesta. Proponga el código en Scilab necesario para calcular el error cometido en ambos casos respecto al valor exacto de la integral, sabiendo que:

La integral primitiva de f(x) es 2

1atan( )

1g x dx x

x

La regla de los rectángulos hace uso de la función ( )r x h f x en cada intervalo de

integración. La regla de Simpson compuesta hace uso de la función

2( ) 4 ( )

6 2

h x hs x f x f f x h

en cada intervalo de integración.

2) Proponga un código tanto en Scilab como en Maxima capaz de acceder a los datos de un archivo, dispuestos en forma matricial, y contabilizar cuántos elementos cumplen una determinada condición, por ejemplo ser inferior a 5. Indique también cómo modificaría el código si se desea buscar un valor concreto y se sabe con seguridad que los datos no se repiten, por tanto de existir ese valor concreto sólo puede estar en una posición de la estructura de datos. 3) Basándonos en el principio de Arquímedes se puede afirmar que una pelota maciza totalmente regular de radio r y densidad p se mantendrá flotando en un líquido de densidad l siempre y cuando p<l. En esas condiciones la pelota estará sumergida una altura h tal que:

3 2 33 4 0p

l

h r h r

a) Justifique cuál de las dos instrucciones, debidamente cumplimentada en Maxima, serviría para determinar la relación entre la altura de pelota sumergida y su radio cuando el líquido tiene el doble de densidad que la pelota.

solve(……..,…….); allroots(……..);

b) Proponga de forma justificada una función en Scilab capaz de determinar la altura de flotación de la pelota a partir de su radio, su densidad y la densidad del líquido. Tenga en cuenta que la altura de flotación tiene que ser un valor positivo menor que el diámetro de la pelota.

OBSERVACIONES: Esta prueba consta de cuatro problemas de igual puntuación. No olvide poner sus datos personales en todas las hojas que entregue. No se permite el uso de ningún tipo de material, pero recuerde que junto con los enunciados de los problemas encontrará una tabla resumen con funciones de Scilab y de Maxima.

h r

4) Suponga un depósito de sección regular como el de la figura, destinado a contener líquido, que dispone de un orificio (inicialmente tapado) en la parte inferior. Se sabe que la siguiente ecuación diferencial puede servir para describir el vaciado del depósito, tras quitar el tapón en t=0. Donde k es un parámetro dependiente del tamaño del orificio y A es el área de la sección del depósito.

- d

A h k hdt

Proponga de forma justificada un código en Maxima con tal de comprobar que la resolución de la ecuación diferencial da lugar a la siguiente expresión analítica para h(t).

22

2( ) - (0) + (0)

4

k kh t t t h h

A A

Esta tabla contiene una selección de funciones de Scilab y de Maxima para facilitarle la resolución de los problemas. Puede utilizar todas las que necesite y también cualquier otra que usted recuerde, justificando su uso.

Scilab Maxima file('close',identificador) addcol(matriz,lista) file('open','archivo','old') allroots(ecuacion) interpln(matriz,vector) cspline(matriz) inv(matriz) diff(funcion,variable) max(matriz) find_root(funcion,variable,inicio,final) rank(matriz) ic1(sol_ec_dif,cond_ini_var_dep,cond_ini_var_ind) read(identificador,filas,columnas) integrate(funcion,variable) roots(coeficientes) invert(matriz) size(matriz) limit(funcion,variable,valor) sum(matriz) linearinterpol(matriz) linsolve(sistema_ecuaciones,var_independientes) matrix_size(matriz) ode2(ec_diferencial,var_dep,var_ind) rank(matriz) read_matrix (file_search("archivo")) solve(ecuaciones,incognita) sum(funcion,variable,inicio,final)

h

tapón