Cónica: Hipérbola

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Hipérbolas

El tercer tipo de cónica se denomina hipérbola. La definición de una

hipérbola es similar a la de una elipse. La diferencia es que para una

elipse la suma de las distancias de un punto de la elipse a cada uno

de los focos es una constante, en tanto que para una hipérbola la

diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a cada uno de

los focos es una constante.

Definición de una hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de puntos ( , )x y del plano tales que la

diferencia de las distancias de cada uno de estos puntos fijos distintos

(focos), es una constante positiva de acuerdo a la siguiente figura:

es una constante positiva

Cónica: Hipérbola

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La grafica de una hipérbola tiene dos ramas ajenas. La recta que pasa

por los focos interseca la hipérbola en sus vértices. El segmento de

recta que conecta los vértices es el eje transverso y el punto medio del

eje transverso es el centro de la hipérbola de acuerdo a la figura

anterior, el desarrollo de la forma estándar de la ecuación de una

hipérbola es similar a la de una elipse.

Forma estándar de una hipérbola

La forma estándar de una ecuación de una hipérbola con centro ( , )h k

es:

2 2

2 2

2 2

2 2

1 El eje transverso es horizontal

1 El eje transverso es vertical

x h y k

a b

y k x h

a b

Cónica: Hipérbola

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De los vértices al centro hay a unidades y los focos están a c

unidades desde el centro, además, 2 2 2c a b . Si el centro de la

hipérbola esta en el origen, la ecuación adopta una de las formas

siguientes.

2 2

2 2

2 2

2 2

1 El eje transverso es horizontal

1 El eje transverso es vertical

x y

a b

y x

a b

Se muestran las orientaciones horizontal y vertical para una hipérbola

2 2

2 21

x h y k

a b

Cónica: Hipérbola

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El eje Transverso es Horizontal

Cónica: Hipérbola

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2 2

2 21

y k x h

a b

,h k

El eje Transverso es Vertical

,h k a

,h k c

Cónica: Hipérbola

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Problemas Propuestos

Problema 1

Hallar la ecuación estándar de una Hipérbola

Determine la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con focos

1,2 y 5,2 y vértices 0,2 y (4,2)

Solución

De acuerdo con la formula del punto medio el centro de la hipérbola es

el punto 2,2

Además 5 2 3 y 4 2 2c a y se deduce que:

2 2 2 23 2 9 4 5b c a

Por lo tanto la hipérbola tiene un eje transversal horizontal y la forma

estándar de la ecuación es:

2 2

22

2 21

2 5

x y

Formas alternativas

Cónica: Hipérbola

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Forma Expandida

Soluciones para la variable y

Cónica: Hipérbola

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Asíntotas de una hipérbola

Cada hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en el centro de

la hipérbola como se muestra en la siguiente figura:

Las asíntotas que pasa por los vértices de un rectángulo con

dimensiones 2a y 2b y con su centro en ,h k . El segmento de recta

con longitud 2b que une ,h k b y ,h k b ó bien ,h b k y

,h b k es el eje conjugado de la hipérbola.

Asíntotas de una hipérbola

Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola son:

Eje Conjugado

Asíntota Asíntota

Cónica: Hipérbola

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El eje transverso es horizontal

El eje transverso es vertical

by k x h

a

bx k y h

a

Problema 2

Uso de las asíntotas para trazar la hipérbola

Trace la hipérbola de ecuación 2 24 16x y

Solución

Planteamiento del Problema

Se divide cada lado de la ecuación original entre 16 y se escribe la

ecuación en forma estándar

2 2

2 21 Forma estándar

2 4

x y

Se concluye que 2, 4a b y que el eje transversal es horizontal. Los

vértices son 2,0 y 2,0 y los puntos extremos del eje conjugado

son los puntos 0, 4 y 0,4 .

Cónica: Hipérbola

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Empleando estos cuatro puntos se puede trazar el rectángulo que se

muestra en la sig. fig. :

Ahora de 2 2 2c a b se tiene que 2 22 4 20 2 5c por lo tanto

los focos de la hipérbola son 2 5,0 y 2 5,0 . Finalmente

dibujando las asíntotas que pasan por los vértices de este rectángulo

se puede completar el trazo que se muestra en la siguiente figura.

Observe que las asíntotas son 2y x y 2y x

Cónica: Hipérbola

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Como para la elipse, la excentricidad e de una hipérbola esta definida

por la razón c

a. Por tanto, de tenemos:

2 2c a be

a a

Como c a , la excentricidad de una hipérbola es mayor que la unidad.