HISTORIA DEL TEOREMA DE BERNOULLI

7/21/2019 HISTORIA DEL TEOREMA DE BERNOULLI

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Acta Universitaria

ISSN: 0188-6266

[email protected]

Universidad de Guanajuato

Mxico

Pedroza Gonzlez, Edmundo; Ortiz Medel, Josefina; Martnez Gonzlez, Francisco

Historia del Teorema de Bernoulli

Acta Universitaria, vol. 17, nm. 1, enero-abril, 2007, pp. 39-45

Universidad de Guanajuato

Guanajuato, Mxico

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=41617103

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Vol. 17 no. 1 Enero-Abril 2007

U n i v e r s i d a d d e G u a n a j u a t o

Historia del Teorema de Bernoulli

Edmundo Pedroza Gonzlez*, Josefina Ortiz Medel** y Francisco Martnez Gonzlez**

INTRODUCCIN

En el escurrimiento de agua en un tubo, la carga de altura Z, puede transformarse en carga de presin Ptambin una carga de velocidad V 2/ 2g , puede transformarse en una carga de presin. De hecho, en uncon variacin de niveles, presiones y velocidades, sus cargas respectivas pueden intercambiarse. Esto eque afirma el teorema de Bernoulli (Levi, 1990). Dicho teorema se puede interpretar con la ecuacin (1):

El teorema es atribuido a Daniel Bernoulli, pero la presentacin actual es la propuesta por Johann

noulli, padre de Daniel. A continuacin se presentan las etapas ms sobresalientes de la historia de esterema y su ecuacin.

FONTANA Y CASTELLI: COMIENZA LA HISTORIA

En el ao de 1598, Roma sufri una grave inundacin provocada por elbordamiento del ro Tber. Giovanni Fontana (1546-1614) intent medescurrimiento real, pero no poda hacerlo en el mismo cause porque haba sido insuficiente. Decidi entonces calcular el gasto sumando los a

Palabras clave:Bernoulli; Flujo en tuberas.

Keywords: Bernoulli; Pipeflow.

RESU

La historia comienza en 1598 cuando Benedetto Castelli refut la forma de medir e

en los ros por parte de Giovanni Fontana, afirmando tomar en cuenta la seccin y

locidad. Tambin aclar que en la medicin en orificios, deba considerarse la carg

tamao del orificio. En 1625, Castelli estableci la ecuacin que lleva su nombre (Q

Galileo Galilei (1638), propuso que los cuerpos experimentan una aceleracin unifor

caer en el vaco. En 1641, Evangelista Torricelli demostr que la forma de un chorro a

de un orificio es una hiprbola de 4 orden. Isaac Newton (1686), argument que el

tiene una cada efectiva en el interior de un tanque y que el orifi

cio tiene encima unareal del doble de la altura del tanque. Daniel Bernoulli (1738), aclar el enigma de la

columna y finalmente Johann Bernoulli, basado en los trabajos de su hijo Daniel, pre

una mejor explicacin del escurrimiento en un orificio y logr una clara deduccin

ecuacin de una lnea de corriente.

ABSTR

History starts in 1598 when Benedetto Castelli refuted the way of measuring the fl

water in rivers done by Giovanni Fontana, saying that the section and the flow rate s

be taken into account. He also stated that for measurement in orifices, the head an

size of the orifice should be consider. In 1625, Castelli introduced the equation th

rries his name (Q = AV). Galileo Galilei (1638) proposed that objects under free fall m

descend at the same rate. In 1641, Evangelista Torricelli demonstrated that the form

stream flowing through an orifice is a fourth-order hyperbola. Isaac Newton (1686

that water has an effective fall inside a tank and that the orifice has a real head of twi

tanks height. Daniel Bernoulli (1738) explained the puzzle of the double column. FJohann Bernoulli, based on the works of his son Daniel, presented a better explan

of the water flow through an orifice and he achieved a clear deduction of the equatio

stream line.

* Instituto Mexicano de Tecnologa del Agua. Correo electrnico: [email protected].

** Universidad de Guanajuato. Correos electrnicos: [email protected] y [email protected].

Recibido: 23 de Octubre de 2006

Aceptado: 26 de Marzo de 2007


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tes en el tramo superior y en todos los afluentes. Elresultado fue 500 caas, medida de un poco ms de2 metros, o ms apropiadamente, 500 caascuadra-das. El ro tena una capacidad de aproximadamenteun tercio de esas 500 caas por lo que Fontana infi-ri que deban construirse dos cauces ms de similartamao. Sin embargo, toda el agua cupo en un puentede 150 caas. Fontana concluy que el agua se habacomprimido.

Esta conclusin no convenci al padre Benedetto Cas-telli (1578-1643) No entiendo que el agua sea como elalgodn o la lana, materiales que puedan comprimirse yapretarse, como tambin ocurre con el aire. Entre otras

consideraciones dice: Habiendo cabido toda la avenidadebajo del puente sera suficiente un solo cauce con lamisma capacidad de dicho puente, siempre que el aguaescurriera con la misma velocidad que alcanz debajode l en ocasin de la inundacin. El gasto de un ro nopuede depender del rea hidrulica solamente se debetambin considerar la velocidad. Este fue un asunto queintrig a Castelli durante un tiempo. La solucin surgide un fenmeno sin relacin aparente con la hidruli-ca. Castelli observ el trabajo de los joyeros, quienes conasombroso ingenio, adelgazaban el hilo de oro y plata.El proceso era el siguiente: Primeramente colocaban hilogrueso en un carrete, despus lo hacan pasar por unorificio de menor dimetro en una placa metlica y final-

mente, lo enrollaban en un segundo carrete, que al jalarel hilo lo adelgazaba al forzarlo a pasar por el orificio.Naturalmente el segundo carrete deba girar ms rpidoque el primero. Castelli comprob con mediciones que lavelocidad del hilo despus de pasar el orificio en la pla-ca, era mayor que antes de pasar dicho orificio, en unaproporcin inversa de los grosores respectivos. Lo quehay que considerar atentamente dijo- es que las partesdel hilo antes del agujero tienen cierto grosor y las quesalen del agujero son ms finas, pero de todos modos elvolumen y el peso del hilo que se desenrolla siempre soniguales al volumen y al peso del hilo que se enrolla.

Las observaciones acerca de los ros y del trabajode los joyeros dieron su fruto: El 12 de noviembre de

1625, Castelli escrib a Galileo para informarle quehaba demostrado geomtricamente que la propor-cin entre la cantidad de agua que escurre por un rocuando ste tiene cierta altura de agua y la que es-curre en el mismo ro cuando tiene otra altura, esten razn compuesta de la velocidad con la velocidady de la altura con la altura. Galileo contest que laproposicin le pareca muy clara. Este resultado, quese refiere evidentemente a ros de seccin rectangular,aparece en el libro de Castelli de 1628, llamado De lamedicin de las aguas corrientes; expresado en forma

ms general en la proposicin II, al reemplazarse lpalabra altura, o sea tirante de agua, por la palabrseccin. Si se indica el gasto con Q, con Ael rea de lseccin, con Vla velocidad y con subndices 1 y 2 lados secciones, lo enunciado puede escribirse comoQ

1/Q

2= (V

1/V

2)(A

1/A

2). Si como se hace actualmente

se uniforman las unidades de medida, expresando poejemplo las reas en m2, las velocidades en m/s y logastos en m3/s, se llega a la famosa Ecuacin de Castelli (Ecuacin 2):

Q = AV (2)

En la ecuacin se establece que el gasto Q, en cua

quier seccin, es igual al producto de la velocidadpor el rea de la seccin misma A. La referida proposcin II se deduce de la proposicin I, la cual dice: Lasecciones de un mismo ro descargan en tiempos iguales, iguales cantidades del agua, aunque las seccionesean desiguales Esto ya haba sido mencionado claramente por Leonardo Da Vinci, aunque con justicse le sigue llamando ecuacin de Castelli.

Otro aspecto interesante mencionado en el libroest relacionado con los orificios. Todava en el siglXVIII, los fontaneros usaban como unidad de medidla onza de agua. La onza es un doceavo de pie y erla cantidad de agua que sale de un orificio circulade una onza de dimetro. Castelli afirmaba que al n

considerar la carga, la medida no es nica, y ademque otro error, ms encubierto, era el de no considerala friccin en los bordes.

GALILEO GALILEI: LA CADA DE LOS GRAVES

La teora de la cada de los graves de Galileo Gallei (1564-1642) se basa en la genial hiptesis de quUn cuerpo grave posee por naturaleza la propiedaintrnseca de dirigirse hacia el centro comn de gravedad o sea, hacia el centro del globo terrestre, coun movimiento constante y uniformemente acelerades decir, que en tiempos iguales se hacen adicioneiguales de nuevos incrementos de velocidad. Tambin consider que en la ausencia de aire, la velocida

de cada de un globo y un cuerpo de plomo llegan igualarse. Con base en lo anterior Galileo empez estudiar el movimiento naturalmente acelerado comocurrira en el vaco, estableciendo una serie de teoremas, que Descartes, en una carta de 1638, no aprobpor considerar que Galileo no defina conceptos anteriores y bsicos como el depesadez. En este caso nointeresa el teorema 1, el cual dice: El tiempo en quun mvil partiendo del reposo, recorre cierto espacicon movimiento uniformemente acelerado, es igual tiempo que requerira para recorrer el mismo espaci


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con movimiento uniforme, pero con la mitad de la velocidad que adquiereal final de dicho movimiento acelerado. Este teorema, posteriormenteservira para confundir a Isaac Newton, como se ver ms adelante.

APARECE TORRICELLI

Evangelista Torricelli (1608-1647) fue alumno de Castelli y cuid de Ga-lileo despus de su condena y hasta su muerte. En 1641, Torricelli ter-min de escribir un libro que le fue entregado a Galileo para su revisin,titulado: Del movimiento de los graves en cada natural y de los proyecti-les, al cual agreg una parte de carcter hidrulico: Del movimiento delagua. En ste plantea lo que ahora se conoce como el Principio de Torri-celli: Las velocidades del agua que salen de un tanque perforado son

proporcionales a la raz cuadrada de las profundidades por debajo dela superficie libre de los orificios. Torricelli dedujo este resultado de lateora de la cada de los graves de Galileo, inspirado, al parecer, por lostrabajos sobre los orificios de su maestro Castelli. Una vez abandonadoel orificio, el chorro sigue acelerndose; por tanto ste deber irse angos-tando a medida que baja (de acuerdo a la ecuacin de Castelli). Torricellise plante una pregunta interesante: Qu forma adquirir el contornodel chorro? La superficie CDPO (Figura 1a) result ser una superficie derevolucin, cuya generatriz es una curva de abscisas proporcionales a lasraces cuartas de las ordenadas, es decir, hiprbolas de 4 orden.

Por otro lado, Torricelli propus una hiptesis bsica: Las aguas quedesembocan violentamente de un pequeo orificio (punto B, figura 1b)poseen el mismo mpetu que tendra un cuerpo pesado al caer natural-mente desde el nivel de la superficie libre del agua (punto A, figura 1b)

hasta el del orificio. Es decir, si se tuviera un tanque con un orificio enel fondo, el chorro saldra del orificio con una velocidad igual a aqullaque adquirira un cuerpo al caer libremente desde el nivel de la superfi-cie libre en el tanque. Luego, Castelli hizo el siguiente experimento parademostrar su hiptesis: coloca el tanque AB y hace que el orificio B lanceel agua hacia arriba (Figura 1b). Si el tanque est lleno hasta A, el chorroalcanza casi el mismo nivel que D, resultando una pequea diferencia

CD que Torricelli atribuy Ente al impedimento del aire quopone a cualquier cuerpo men parte tambin a la misma que, cuando desde la cumbemprende el camino de regresobstaculiza y retarda a su partcendente, no permitiendo qugotas que suben puedan elevhasta ese nivel que alcanzaronsu propiompetu.

LA CATARATA DE NEWTON

En el segundo libro de sus clePrincipia, editado en Londre1686, Isaac Newton (1643-1anot: Est comprobado qucantidad de agua que sale entiempo determinado por unficio practicado en el fondo dtanque es igual a la cantidadescurriendo libremente con la ma velocidad, pasara en el mtiempo a travs de un orificio clar cuyo dimetro est en raz21 a 25 con el dimetro antePor tanto, el agua corriente, al

zar el primer orificio, tiene unlocidad poco ms o menos igula que adquirira un cuerpo peal caer de una altura equivalenla mitad de la del agua estanen el tanque. Al parecer Newhaba medido el gasto por un cio circular practicado en el fde un tanque bajo cierto tiranagua, y luego haba medido elmetro de otro orificio por el cuasaba el mismo gasto de agua, cayendo libremente desde la ma altura; esto evidentementeel objeto de comprobar la hipde Torricelli de que la velocidadquirida en las dos condicionela misma. La hiptesis no rescierta, si as lo fuera, los dosmetros tendran que ser igu(de acuerdo con la ley de Castpero por el contrario resultaroproporcin de 25 a 21. Ahorlos dimetros estn en raz25:21, las secciones estn eFigura 1.Forma del chorro al salir del orificio (a) y experimento de Torricelli (b).


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razn 252:212= 2 1,41. Siendo los gastos iguales,las velocidades al cruzar los orificios estaran luegoen la razn 1: 2 ; por tanto, para obtener la segun-da velocidad en el orificio del tanque simplemente su-biendo el nivel del agua en ste, se hubiera necesitadoduplicar el tirante; que es exactamente lo que Newtonafirm al decir que la misma velocidad que resulta en eldesage del tanque, se obtendra con una cada libre dealtura equivalente a la mitad de la carga en el tanquemismo. Posteriormente, Newton trat de comprobar elresultado comparando las cantidades de movimiento alsalir del tanque y al caer en el vaco, pero al parecerse equivoc: mientras la velocidad acelerada de salida

del primer chorro del desage la transform en unifor-me asocindola, por el primer teorema de Galileo, conun recorrido doble del tirante, no hizo lo mismo para lavelocidad, igualmente acelerada, del chorro en cada li-bre, y as obtuvo la razn ya conocida de 1: 2 . Galileotermin validando la hiptesis de Castelli materializn-dola con la introduccin de lo que llam catarata, queen una columna de agua en cada libre, cuya forma elmismo Torricelli haba determinado al considerar lavariacin de los dimetros de las secciones horizonta-les con la profundidad, en el chorro del desage CDPO(Figura 1a).

A Newton se le ocurri imaginara la catarata prolongada por arriba

del orifi

cio, dentro del agua conte-nida en el tanque. Siendo hipr-bolas de 4 orden, como lo habademostrado Torricelli, los dime-tros de sus secciones horizontalesvaran en razn inversa de la razcuarta de sus profundidades conrespecto de la superficie libre, encorrespondencia esta superficie,siendo la profundidad cero, el di-metro resultara infinito. Esto ori-gina una dificultad que Newton in-tent salvar con el orificio del hielo.Supngase dijo que encima deltanque de la Figura 2, hay un ci-

lindro de hielo APQB y que estehielo empuja el agua hacia aba-jo, y que adems el agua escurrirde acuerdo a la misma forma quetoma al salir del tanque, es decir,la misma hiprbola de 4 orden.

Newton no saba que la velo-cidad de bajada, en realidad, eraextremadamente lenta y nadacomparable con la velocidad de

un chorro afuera del tanque. Torricelli haba evitadesta consideracin con un planteamiento energticde gran porvenir: El chorro posee al salir, el mismmpetu(o sea la misma energa) que tendra un cuerppesado al caer de una altura igual al tirante de aguen el tanque. Pero Newton no aprovech la idea y prefiri interpretar el movimiento del chorro como contnuacin de uno existente dentro del tanque y tratandde utilizar la cantidad de movimiento.

Newton no fue el nico en suponer una cada efectiva del agua desde la superficie hasta el orificio. Siembargo, era tanta la autoridad de Newton, que muchos siguieron creyendo en la existencia real de es

catarata, mientras para l sta era slo una hiptesde trabajo. La objecin ms demoledora en contra dla catarata la propuso en 1716, la mente aguda deprincipal matemtico del momento: Johann Bernoullquien argumentaba que era imposible la formacin dla catarata porque no debera existir presin dentro della, mientras en las zonas estancadas s; por tanto, agua de las orillas tendera a introducirse en la mencionada catarata.

http://en.wikipedia.org/wiki/philosophiae_Naturalis_Principia_Mathematica


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LA DOBLE COLUMNA

La proposicin 36 del segundo libro de los PrincipiaNewtonianos, plantea el siguiente problema: Hallar elmovimiento del agua que sale de un tanque cilndricopor un orificio practicado en el fondo. Es justamenteel anlisis de esta cuestin, lo que llev a Newton aintroducir la hiptesis de la catarata. A la proposicin36 le sigue una serie de diez corolarios, el segundode los cuales se cita a continuacin: La fuerza conla cual puede producirse todo el movimiento del aguasaliente es igual al peso de una columna cilndrica deagua cuya base sea el orificio EF y cuya altura sea2GI (Figura 2).

Evidentemente, Sir Isaac, apoyndose en el primerteorema de Galileo, acept que, en el tiempo requeri-do por un grave que cae libremente, para recorrer laaltura del agua en el tanque, el chorro que sale del

orificio sin acelerarse, adquiere una longitud que esdos veces esa altura, formando as la doble columnamencionada.

Quienes lean el segundo corolario quedaban per-plejos De dnde provena tanta fuerza, si sobre elorificio solamente gravita una columna de altura GI?Adems, las mediciones producan resultados diferen-tes. An as, hubo quien defenda a Newton.

DANIEL Y JOHANN BERNOULLI: FIN DE LA

HISTORIA

Daniel Bernoulli (1700-1782) que se encontrabVenecia. No era de esos que esperan a que les cten las cosas; construy un tanque, lo llen de ale agreg colorante y destap un orificio perforadel fondo. Al parecer no encontr nada que parecuna catarata. Me parece escribi ms tarde el movimiento interno del agua debe considerarscomo sera ella si fuese arrastrada por tubos infimente pequeos colocados uno cerca del otro, dcuales, los centrales bajan casi directamente dessuperficie hasta el orificio, mientras que los dem

encontraban gradualmente cerca del orificio mde donde parece que las partculas individuales bcon movimiento muy aproximadamente vertical hacercarse mucho a la base, para luego dirigir gradmente su trayectoria hacia el orificio; de tal modopartculas prximas a la base escurren con movimto casi horizontal (Figura 3).

Figura 2.Artificio de la catarata de Newton.

Figura 3.Movimiento del agua, observaciones de Daniel Bernoulli.


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Todo esto se puede leer en un libro de Daniel titu-lado Hidrodinmica, comentarios acerca de las fuer-zas y de los movimientos de los fluidos, publicado enEstrasburgo en 1738. Con esta obra, la mecnica defluidos naci como ciencia y de paso se estableci porprimera vez, la palabra Hidrodinmica. En el captulo13 del libro, Daniel atac tericamente el problemadel orificio. Sus clculos no son fciles de seguir porla nomenclatura utilizada y porque us un conceptocomn en ese tiempo y que cay despus en el des-uso, se trata de las fuerzas vivasque bien pudieranser otro antecedente del concepto de energa cinti-ca, pero dicho concepto ahora se considera difcil deentender (Vischer, 1985), mediante stas reflexionesDaniel lleg a la Ecuacin (3).

Donde V, es la velocidad del agua en el tubo; esla aceleracin de la gravedad y H, es altura desde lasuperficie del agua hasta el chorro de salida. Actual-mente la ecuacin (3), se presenta como sigue:

(3)

(4)

Daniel no fue capaz de presentar la forma de la

ecuacin (4) porque no manejaba el concepto de pre-sin (fuerza sobre rea); fue su padre Johann y Euler,quienes posteriormente desarrollaron el concepto. Desu ecuacin, Daniel sac varias conclusiones, entreellas, indica que su frmula permite explicar el famosocorolario 2 de la proposicin 36 de Newton. Me pareceindica que la disputa debe conciliarse como sigue;cuando el agua ha alcanzado un movimiento unifor-me, lo que seguramente, es la suposicin de Newton,entonces esa fuerza se define correctamente por la al-tura 2GI(Figura 2); pero al principio del escurrimien-to, cuando la velocidad crece, la fuerza que induce alagua a salir crece simultneamente, para alcanzar fi-nalmente la magnitud asignada por Newton.

La presentacin actual de la ecuacin de Bernoulli,se deduce de la versin propuesta por el padre de Da-niel, Johann Bernoulli (1667-1748). l tambin seinteres en la cuestin del orificio, en ese entonces,el problema nmero uno de la hidrodinmica. En ellibro Hidrodinmicade Daniel se encuentra una enor-me cantidad de material, cuya presentacin es pocometdica, especialmente en lo que se refiere al trata-miento terico, lo que debi desagradar a la mentali-dad matemtica del padre, quien con razn se habra

sentido impulsado a proponer otra, ms sinttica y rgurosa. Y lo logr, Johann no llega a explicar la dobcolumna, pero por primera vez introduce conceptoimportantes: Los de transicin, separacin del flujen cambios de seccin y el muy importante conceptde presin. Utiliza, adems, un sistema coordenado

Su propuesta final es lo que ahora se llama ecuacide una lnea de corriente, tanto para rgimen permanente como para rgimen variado. La ecuacin parrgimen permanente es la Ecuacin 1, ya presentaden el inicio de este artculo. Para su deduccin utilizel diagrama de flujo de la figura 4b, ntese la diferencia con el diagrama utilizado por Daniel (Figura 4a).

La ecuacin, en su versin actual, para condiciones de rgimen permanente propuesta por Johann ela siguiente (Ecuacin 5):

(5)

CONCLUSIN

As termina la historia iniciada por Benedetto Castely su refutacin de la forma de medir, hasta DaniBernoulli, con la aclaracin del enigma de la doble columna, y su padre Johann, con el planteamiento finde la Ecuacin de Bernoulli. Al respecto, debe indicase que el libro de Johann donde aparece la deduccide la ecuacin, se llam Hidrulica, ahora descubie

Figura 4.Diagramas deflujo utilizados por Daniel (a) y Johann Bernoulli (b).


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Se presenta, a manera de resumen, la siguiente resea de 145 aos de historia.

Ao Event o

1598

Benedetto Castelli refuta la forma de medir en ros por parte de Gio-vanni Fontana; afirma que debe tomarse en cuenta tanto la seccincomo la velocidad. En la medicin en orificios considera importantela carga y no nicamente el tamao del orificio.

1625Benedetto Castelli establece que el gasto en cualquier seccin esigual al producto de la velocidad por el rea de la seccin misma,es decir Q=AV(Ecuacin de Castelli).

1638

Galileo Galilei plantea la hiptesis de que los cuerpos experimen-tan una aceleracin uniforme al caer en el vaco. De acuerdo contal hiptesis, propone un teorema (Teorema 1), entre otros, donderelaciona la velocidad uniforme de un cuerpo al caer en el vaco,

con la velocidad uniformemente acelerada del mismo.

1641

Evangelista Torricelli, en funcin de la hiptesis de Galileo sobrela aceleracin, y de acuerdo con la Ecuacin de Castelli(Q=VA)demostr que la forma de un chorro al salir de un orificio es unahiprbola de 4 orden. Plantea la hiptesis de que un chorro al salirde un tanque tiene el mismo mpetu que un cuerpo al caer desde lamisma altura del tanque.

ta por primera vez y demostrada directamente a par-

tir de fundamentos puramente mecnicos, fechada en1732, sin embargo fue realmente impresa en 1743.Este libro caus tremenda contrariedad a Daniel, yaque su padre no hace mencin alguna de sus traba-jos. Recurdese que el libro Hidrodinmicade Danielapareci en 1738 y por supuesto, que su padre loconoca. Otro punto de reflexin interesante es quela presentacin actual de la ecuacin de Bernoulli ysu teorema, se ha atribuido a Daniel; sin embargo,parece ms apropiado acreditarlos a Johann ms quea Daniel, ya que ste interpret ms convenientemen-te el fenmeno y dedujo la presentacin actual de laecuacin (Vischer, 1985).

1686

Isaac Newton trata de comprobar la hiptesis, de que un csaliendo de un tanque lleno de agua, tiene el mismo mpetu qcuerpo al caer desde la misma altura del tanque. No lo lograacepta la hiptesis argumentando que el agua tiene un cadativa en el interior del tanque y que el orificio tiene encima una real del doble de la altura del tanque. Justifica esta afirmaciel artificio de la catarata, que tiene la forma de una hiprbola orden y con la argucia del hielo encima que empuja al agua el orificio.

1738

Daniel Bernoulli aclara el enigma observando cmo escurremente el agua en un tanque y establece que un chorro, al satanque, no tiene la velocidad de un cuerpo que cae libremenla misma altura del nivel del agua en el tanque, pero la adqrpidamente.

1743

Johann Bernoulli presenta una mejor explicacin del escurrim

en un orificio y logra una ms clara deduccin de la ecuaciuna lnea de corriente. Esto es la presentacin que hoy se us

REFERENCIAS

Levi Enzo (1985), El Agua segn la Ciencia, Evolucin de la Hidrulica, V

I, Series del Instituto de Ingeniera D-24, UNAM, Mxico.

Levi Enzo (1990), Tratado Elemental de Hidrulica, Serie Divulgacin 18

sin Nacional del Agua, Instituto Mexicano de Tecnologa del Agua, nacin de Investigacin, Mxico.

Vischer Daniel (1985), Daniel Bernoulli and Leonhard Euler. The advenhydromechanics, Eidgenssische Technische Hochshule Zrich, V

santstalt fr Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie, Zrich, Zwitzerl

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