Hoja de ejercicios nº 3. Sobre las ecuaciones de Maxwell

1.- Determine la relación entre la densidad de corriente de conducción y la densidad de corriente de desplazamiento j/jD si el campo eléctrico oscila a la frecuencia de 1 GHz para los siguientes medios caracterizados por los parámetros adjuntos

a) Agua destilada 30 0( , 81 , 2 10 S/m)μ μ ε ε σ −= = = ⋅

b) Agua de mar 0 0( , 81 , 25 S/m)μ μ ε ε σ= = = c) Piedra caliza 4

0 0( , 5 , 2 10 S/m)μ μ ε ε σ −= = = ⋅ 2.- Un dieléctrico con pérdidas es un material que presenta una conductividad no nula. En la figura se muestra un condensador de placas paralelas cuyo espacio entre ellas está relleno de un dieléctrico con pérdidas de permitividad ε y conductividad σ. La distancia entre placas es d y el área de cada placa es A. El condensador está conectado a una fuente de voltaje variable con el tiempo ( )V t

a) Halle una expresión para la corriente de conducción Ic que fluye a través de las placas en función de las cantidades indicadas.

b) Obtenga una expresión para la corriente de desplazamientos ID que fluye en el interior del condensador.

c) Teniendo en cuenta a) y b) realice una representación del circuito equivalente del condensador.

d) Calcule los valores de las magnitudes de los apartados a), b) y c) para los datos A = 4 cm2, d = 0,5 cm, εr = 4, σ = 2,5 S/m y ( ) ( )310cos 3 10 (V)V t tπ= ⋅

3.- Un conductor cilíndrico de sección transversal circular de radio a, y situado de forma que su eje coincide con la dirección del eje z, tiene una resistividad ρ, y transporta una corriente constante I en la dirección positiva del eje z.

a) Determine la dirección y el valor del campo eléctrico en un punto del conductor tan próximo a su superficie como queramos.

b) Determine la dirección y el valor del campo magnético en el mismo punto. c) Determine la dirección y el valor del vector de Poynting en el mismo punto. d) Halle la rapidez del flujo de energía hacia el volumen que ocupa un tramo de

longitud l del conductor (flujo del vector de Poynting sobre la superficie del conductor que encierra el volumen especificado)

e) Compare el resultado anterior con la rapidez de generación de energía térmica en el mismo volumen.

Hoja de ejercicios nº 3. Sobre las ecuaciones de Maxwell

4.- Un condensador de placas plano-paralelas circulares, de radio a y separadas una distancia d (siendo d << a), está inicialmente cargado con una carga Q0. Tras conectar las placas mediante un hilo de resistencia R, el condensador comienza a descargarse:

a) Determine la corriente de desplazamiento en el espacio vacío entre las placas del condensador.

b) Halle el campo magnético entre las placas del condensador debido a la corriente de desplazamiento.

c) Determine, despreciando efectos de borde, el flujo del vector de Poynting a través de la superficie lateral del volumen encerrado entre las placas, en un instante cualquiera del proceso de descarga. Compare el resultado con la potencia disipada en la resistencia.

d) Una vez descargado, el condensador vuelve a cargarse conectando en serie con él y con la resistencia R una batería que suministra una tensión constante V0. Determine el flujo del vector de Poynting a través de la superficie lateral del condensador en cualquier instante del proceso de carga.

e) Integre el flujo obtenido en el apartado anterior desde el inicio a la conclusión del proceso de carga y compruebe que el resultado coincide con la energía almacenada en el condensador en la situación final.

5.- Un solenoide muy largo con n espiras por unidad de longitud y radio a se orienta de modo que su eje coincide con el eje z; por sus espiras circula una corriente i la cual aumenta con rapidez constante /d i d t .

a) Calcule el campo magnético y el campo eléctrico inducido en un punto del interior del solenoide a una distancia r del eje del solenoide.

b) Calcule el módulo y la dirección y el sentido del vector de Poynting en ese punto.

c) Determine la energía magnética almacenada en un tramo de longitud l del solenoide y la rapidez con la que aumenta debido al incremento de la corriente.

6.- Dos placas plano-paralelas rectangulares, de longitud l y anchura a, se hallan separadas una distancia d, mucho menor que las dimensiones anteriores. Dos de los lados de anchura a de las placas se encuentran conectados por una batería que mantiene entre ellas una diferencia de potencial V0 constante. En el otro extremo, los lados de las placas se unen mediante un hilo de resistencia R. Despreciando efectos de borde, determine:

a) Los campos eléctrico y magnético entre las placas. b) El vector de Poynting y su flujo a través de la sección transversal del espacio

entre las placas. 7.- El plano z = 0 separa dos medios magnéticos lineales de permeabilidades magnéticas

1 0 2 0 y 4μ μ μ μ= = . El medio 1 ocupa la región z > 0 y el medio 2 la región z < 0. Si en la superficie de contacto no existe corriente libre y la intensidad del campo magnético en el medio 1 es 1 2 4 (A/m)H i k= + calcule:

a) la intensidad del campo magnético en el medio 2. b) los ángulos que forman con la normal, dirigida del medio 2 al medio 1, los

campos 1 2y H H

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8.- Dos dieléctricos isótropos y homogéneos extensos tienen una frontera común localizada en el plano z = 0; el medio 1, localizado en la región z > 0, tiene permitividad relativa 1 4rε = y el medio 2, localizado en la región z < 0, tiene permitividad relativa

2 3rε = . En la región ocupada por el medio 1 existe un campo eléctrico uniforme dado

por 1 5 2 3 (kV/m)E i j k= − + . Determine: a) El campo eléctrico en la región 2. b) Los ángulos que los vectores campo 1 2y E E forman con la superficie de

separación de los medios. c) Las densidades de energía en J/m3 en ambos dieléctricos. d) La energía dentro de un cubo de 2 m de lado centrado en (3, 4, -5)

9.- La región 1, descrita por 3x + 4y ≥ 10, es el vacío, mientras que la región 2, descrita por 3x + 4y ≤ 10, es un medio para el cual μr ≅ 10 μ0. Suponiendo que la frontera entre los medios está libre de corriente, determine 2B , si 1 0,1 0, 4 0, 2 (mT)B i j k= + + . 10.- El plano z = 0 separa el vacío (z > 0) de un medio de permeabilidad relativa muy elevada μr. Examine la relación entre los ángulos que el campo magnético forma con el eje Z a cada lado de la frontera en el límite μr → ∞. Repita el ejercicio considerando el campo eléctrico para el caso en que el plano z = 0 constituyese la frontera entre el vacío y un medio dieléctrico de alta permitividad relativa εr.