Hoja de Trabajo s2 (1)

7/25/2019 Hoja de Trabajo s2 (1)

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(

Solucin

%*

( ( ( (

*( ( ( ( (

*

(

* *

) ( ) (

) + ) ( ( ) (

+ ) (+ ) (

+ (

+ =

+ + + +=

+ + + +

=

+ = = +

=

x

x

x

x x

f ( x x, y ) f ( x , y )D f ( x , y ) lim

x

( x x ) ( x x )y y ( x xy y )lim

xx x x ( x ) xy y x y x xy y

limx

x x ( x ) y xlim lim x x y

x

x y

(*

( ( ( (

*

( ( ( ( (

*

(

*

*

) ( ) (

) ( ( ( ) (

( (

( ( ( (

y

y

y

y

y

f ( x, y y ) f ( x, y )D f ( x , y ) lim

y

x x( y y ) ( y y ) ( x xy y )limy

x xy x y y y y ( y ) x xy ylim

y

x y y y ( y )lim

y

lim ( x y y ) x y

+ =

+ + + +=

+ + + + =

+ =

= + + = +

Ejemplo 2*-Calcular %D f ( x, y ) # (D f ( x, y ) si( (

( f ( x , y ) x y xy x y= + +

Solucin

%*

( ( ( (

*

( ((

* *

(

( (

- (- ( %

- %

+ =

+ + + + + + + =

+ + + = = + + +

= + +

x

x

x x

f ( x x, y ) f ( x , y )D f ( x , y ) lim

x

( ( x x ) y ( x x )y ( x x ) y ) ( x y xy x y )lim

x

xy x ( x ) y x xlim lim xy x y

x

xy y

En forma similar !ue(

( ( ( D f ( x , y ) x xy= + .

Nota Para calcular las derivadas parciales, todo lo !ue debe acer es recordar !ue seg/n laecuacin $%& la derivada parcial con respecto a xes justamente la derivada ordinaria de f con

respecto ax manteniendo fija la variabley. Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.

REGLA ARA DE!ER"#NAR LAS DER#$ADAS AR%#ALES DE + , -z f x y

%. Para determinar xf

, conservar a y constante # derivar $ , &f x y con respecto a x .

0epartamento de Ciencias


3/10

)

(. Para determinar yf

, conservar a xconstante # derivar $ , &f x y con respecto a y .

Ejemplo 10ada la funcin zdefinida por $ & x y

z x y e

=

2 2

. 1allar

z

y

#

z

x

.

Solucin

+ -+ - + -x y 2 2 x y 2 3 x yz

2 xe x y ye 2 x x y y ex

= =

+ -+ - + -x y 2 2 x y 3 2 x yz

2 ye x y xe 2 y x xy ey

= =

Ejemplo 2 1allar # evaluar las derivadas parciales de $ , &

2

=

x y

f x y xe . 1allar ,x yf f # evaluar

a cada en el punto $%,ln (& .

Solucin

Co%o $ , & $ &2 2

2

x y x y

xf x y xe xy e

. 2a derivada parcial de f con respecto a x en $%,ln (& es

ln ( ln ($%,ln (& $(ln (& -ln ( ( =

xf e e

.

Co%o$ , & $ &

2 22 3

= =

x y x y

yf x y xe x x e

. 2a derivada parcial de f con respecto a y en $%,ln (& es

ln ($%,ln (& (=

yf e

.

#N!ERRE!A%#&N GE'"(!R#%A DE LAS DER#$ADAS AR%#ALES

Para dar una interpretacin geom3trica de las derivadas parciales, recuerde !ue la ecuacin$ , &z f x y representa una superficie S$!ue es la gr4fica de f &. Si $ , &f a b c , entonces el

punto $ , , &P a b c est4 definido sobre S. Si ace y b entonces $ , &z f x b representa la curva

interseccinC

1 $en otras palabras la curvaC

1 es la traza de Sen el plano y b &. Por

consiguiente

*

$ , & $ , &$ , & lim

x x

f a x b f a bf a b

x

=

representa la pendiente de esta curva en el punto $ , , $ , &&a b f a b . 5tese !ue tanto la curva

como la recta est4n en el plano y b . "n4logamente



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-

*

$ , & $ , &$ , & lim

y y

f a y b f a bf a b

y

=

representa la pendiente de la curva interseccinC

2 $en otras palabras la curvaC

2 es la

traza de Sen el plano x a &. 6er figura %

Ejemplo 1 Si( (

$ , & - (f x y x y , determine$%,%& # $%,%&

x yf f

, e interprete estos valores.

Solucin

2as derivadas parciales de f con respecto a ex y son

$ , & ( $ , & -

$%,%& ( $%,%& -

x y

x y

f x y x f x y y

f f

= =

= =

2a gr4fica de f es el paraboloide( (

$ , & - (f x y x y # el plano vertical %y= lo corta en

la par4bola(

( , %z x y = .$"l igual !ue en el an4lisis anterior, es %C

en la figura ( &. 2a

pendiente de la tangente de esta par4bola en el punto $%,%,%& es$%,%& (

xf

= . 0e la misma



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manera, la curva (C

!ue se forma cuando el plano %x= corta al paraboloide es la par4bola(

) ( , %z y x = # la pendiente de la tangente de esta par4bola en el punto $%,%,%& es

$%,%& -y

f =$ver figura )&.

Derivadas parciales de una uncin de tres o m)svariables

7ambi3n se puede definir las derivadas parciales mediante funciones de tres o m4s

variables. Por ejemplo, si f es una funcin de tres variables #x y z, , entonces su derivada

parcial con respecto a x se define como

*

$ , , & $ , , &$ , , & lim

xh

f x h y z f x y zf x y z

h

=

# se determina considerando a # ay zcomo constantes # derivando $ , , &f x y z con respecto

a x . Si $ , , &w f x y z , entonces$ , , &

xf x y z w x

se puede interpretar como la razn de

cambio de w con respecto a x cuando #y zse mantiene constantes.

En general, si u es una funcin de n variables, % ($ , , , &

nu f x x xL

, su derivada parcial con

respecto a lai83sima variable

ix

es

% ( % % %

*

$ , , , , , , , & $ , , , , &lim i i i n i nh

i

f x x x x h x x f x x xu

x h

=

L L L L

# tambi3n

ix i

i i

u ff f

x x

= = =


F#.u!a / F#.u!a 3


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+

Ejemplo 2 0ada la funcin f definida por $ , , & x y z

f x y z e3 4 5

. 1allar sus derivadas

parciales en el punto( )%,%,% .P

Solucin3 4 5

x y z 2 4 5

( 1,1,1) ( 1,1,1 )

f e ( 3x y z ) 3ex = =

= =

3 4 5x y z 3 3 5

( 1,1,1 )( 1, 1, 1)

f e ( 4 x y z ) 4ey

$ , , &$ , , &

$ &x y zf

e x y z ez

= =

3 4 53 4 4

1 1 11 1 1

5 5

LAN' !ANGEN!E A *NA S*ER+#%#E

Se llamaplano tangentea una superficie en un punto$ , , &

0 0 0P x y z

de la misma, al plano

!ue contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto

$ , , &0 0 0

P x y z.

Si la superficie est4 definida de manera implcita por la ecuacinz f x , y ,

entonces la

ecuacin del &lano tan.nten un punto $ , , &0 0 0P x y z de la superficie viene definido por laecuacin'

* * * * * * *$ , &$ & $ , &$ & $ & *

f fx y x x x y y y z z

x y

=

Ejemplo 1 1allar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin2 2

z 5 2 x y

en el punto% % (P , , .

Solucin

1allamos las derivadas parciales'$%,%,(& $%,%,(&

$%,%,(& $%,%,(&

- -9 ( (z z

x yx y

= = = =

2uego la ecuacin del plano tangente en el puntoP(1,1,2)es' z 8 4 x 2 y

.



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:

Ejemplo 21allar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin2 2

z 3x y 2

en el punto% ( ;P , , .

Soluc#(n

1allamos las derivadas parciales'$ %,(,;& $ %,(,;&

$ %,(,;& $ %,(,;&

+ +9 ( -z z

x yx y

= = = =

2uego la ecuacin del plano tangente en el puntoP(-1,2,)es' z 4 y 6 x 5

.

Nota 1astaaora las superficies en el espacio se an representado principalmente por medio de

ecuaciones de la forma( )z f x, y=

. Sin embargo, en el desarrollo !ue sigue, es conveniente

utilizar la representacin m4s general $ , , & *! x y z = .


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=

Puesto !ue $ , & *f x y z = , se puede considerarScomo la superficie de nivel de !dada por

$ , , & *! x y z = $Ecuacin alternativa de la superficie S&

Es as, !ue enunciamos el siguiente teorema

!E'RE"A Ecuacin del plano tan,ente

Si !es diferenciable en * * *$ , , &x y z

, entonces una ecuacin del plano tangente a la

superficie dada por $ , , & *! x y z = en * * *$ , , &x y z

es

* * * * * * * * * * * *$ , , &$ & $ , , &$ & $ , , &$ & *

x y z! x y z x x ! x y z y y ! x y z z z + + =

Ejemplo - 1allar una ecuacin del plano tangente al iperboloide

( ( (( ( %(z x y = en el punto $%, %,-&

Solucin

Empezamos epresando la ecuacin de la superficie como( ( (

( ( %( *z x y = . 0espu3s,

considerando

( ( ($ , , & ( ( %(! x y z z x y=

Se tiene

$ , , & - , $ , , & - , $ , , & (x y z

! x y z x ! x y z y ! x y z z= = =.

En el punto $%, %,-& las derivadas parciales son

$%, %, -& - , $%, %, -& - , $%, %, -& =.x y z

! ! ! = = =

Por tanto, la ecuacin del plano tangente en$%, %,-& es

-$ %& -$ %& =$ -& * ( + *x y z x y z + + + = + =



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;

Defnicin .Recta Normal/2a recta normal a la superficie ' $ , , & "S F x y z = en el punto

* * * *$ , , &p x y z Ses la recta !ue pasa a trav3s del punto *

p# sigue la direccin del vector

normal

* * * * * * * * ** * *

$ , , & $ , , & $ , , &$ , , & $ , , &

= =

uur F x y z F x y z F x y z F x y z

x y z al plano tangente a

la superficie S en el punto *p

# su ecuacin sim3trica de la recta normal a Sen

* * * *$ , , &p x y z es

* * *

* * * * * * * * *

$ & $ & $ &'

$ , , & $ , , & $ , , &n

x y z

x x y y z z!

F x y z F x y z F x y z

= =

.

Si recordamos de nuestro cuso de >eometra analtica, otra versin para la ecuacin de la

recta es

*' ,#$ P P % # %= +

Ejemplo 01allar la ecuacin del plano tangente # de la normal a la superficie)?( )?( )?(

%:x y z = en el punto $-,-,%& .

Solucin

Sea)?( )?( )?(

$ , , & %:F x y z x y z donde la normal del plano tangente a la superficie es

)) )$ , , & $ , , &

( ( (

yF F F x z

x y z

= =

uur

en el punto $-,-,%& se tiene

)$(,(,%&

(=uur

. 2uego la

ecuacin del plano tangente es ' ( ( %:P x y z = # la recta normal es

' $-,-,%& $(,(,%& ?

P t t .

Ejemplo 1allar una ecuacin del plano tangente # la recta en el punto dado

) ) )+x y z xyz+ + + = en el punto $%,(, %&

Solucin

Sea

) ) )$ , , & +! x y z x y z xyz . Entonces la normal del plano tangente a la superficie

es

( ( ($ , , & $) ,) ,) &! ! !# x yz y xz z xyx y z

uur

= =

la cual evaluado en el punto $%,(, %& es$%,%%,& . 2uego, la ecuacin del plano es %$ %& %%$ (& $ %& *x x z + + + = # la recta normal

' $%,(, %& $%,%%,& ?

P t t.

Derivadas parciales de rdenes superiores*

Se llaman derivada& parciale& de &e'undo ordende la funcinz f(x,y)a las derivadas parciales

de las derivadas parciales de primer orden.

Se usan las siguientes notaciones'



10/10

%*

2

2

z z

x x x

;

2z z

y x y x

=

;

2z z

x y x y

;

2

2

z z

y y y

=

" continuacin se presenta un resultado mu# importante sobre las derivadas parciales mitas.

!E'RE"A DE %LA#R*! Suponga !ue f se define en un discoD!ue contiene el

punto $ , &a b . Si tanto la funcin#

xy yxf f

son continuas enDentonces

$ , & $ , &xy yx

f a b f a b

@gual se definen las derivadas parciales de tercer orden # de rdenes superiores.

Ejemplo3 Calcular las derivadas parciales de segundo orden de la funcin'2

f ( x, y ) "en( x y ) Solucin

1allamos las derivadas parciales de primer orden'

( ( (( cos$ & 9 cos$ &

f fxy x y x x y

x y

= =

"s las segundas derivadas son'(

( ( ( ((

( cos$ & - sin$ &f y x y x y x yx

= 9

(

- (( sin$ &f x x y

y

=

(( ) (( cos$ & ( sin$ &

fx x y x y x y

x y

=

;

(( ) (( cos$ & ( sin$ &

fx x y x y x y

y x

=

.


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