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UNIDAD DIDÁCTICA 10. GEOMETRÁ PLANA (PARTE VI). MATEMÁTICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA 1
¡¡Hola chic@s!! Otra semana más seguimos trabajando desde casa. Pero
cada vez estamos más cerca de las vacaciones, así que mucho ánimo.
Recordad lo que os expliqué la semana pasada:
1. No será obligatoria la entrega de ninguna tarea. Aquellos alumnos
con la 1ª y 2ª evaluación aprobadas y que continúen entregando las
tareas hasta el 12 de junio, verán reconocido el esfuerzo y aumentarán
su nota media. Evidentemente para que esto suceda, las tareas tienen
que ser presentadas en plazo y con la calidad adecuada al nivel
educativo que se está cursando.
2. Aquellos alumnos que tengan alguna evaluación suspensa y que no
trabajen las tareas de repaso correspondientes o bien que no cumplan
los plazos o calidad adecuada, se presentarán directamente al examen
de la evaluación correspondiente en junio, presencial si es posible o vía
online, en caso contrario.
Supongo que aquellas personas que no han enviado material y no han
trabajado las tareas de repaso durante estas últimas semanas, ya han
decidido presentarse al examen correspondiente de recuperación de la
1ª evaluación.
Resolvemos primero de forma detallada los ejercicios que os propuse
de la quinta parte de la unidad 10. Tenéis que comparar los resultados
que os explico a continuación con los desarrollos que realizasteis
vosotros. Ojo: hay que dedicar algún tiempo a esa tarea:
2. Circunferencia y Círculo
Ejercicio resuelto 10.50: Paula está decorando una tarta para el
cumpleaños de su primo Víctor. Le quiere poner gominolas en todo el
borde de la tarta, que tiene un diámetro de 30 cm. Sabiendo que cada
gominola tiene un radio de 1,25 cm. ¿Cuántas gominolas va a necesitar
Paula?
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Solución: Tenemos que hallar la longitud de la circunferencia que define el borde de la
tarta de 30 cm de diámetro, es decir de 15 cm de radio:
Longitud = L = 2π.r = 2π.15 = 30π cm= 94,24 cm
Como cada gominola tiene un radio de 1,25 cm, es decir tienen un diámetro de 2,5 cm.
Entonces, vamos a dividir la longitud que queremos cubrir por lo que mide de diámetro
cada una de las gominolas:
94,24/2,5=37,69 gominolas
Por tanto, necesita 37 gominolas (las 38 no le caben en la tarta)
Ejercicio resuelto 10.51: Una mesa de comedor tiene la forma de la figura. Si
sabemos que el precio del m2 de madera es de 180 €. Determinar los costes de la
mesa.
Solución: Vamos a descomponer la figura en tres distintas, un rectángulo y dos
semicircunferencias, que juntas definen un círculo:
a) El rectángulo tiene por medidas:
Área del rectángulo = base. altura =1,8 . 1,2 = 2,16 m2
b) Tenemos dos semicírculos de diámetro 1,20 m, es decir, de radio 0,6 m:
Área del círculo = π.r2 =π.0,62 = 0,36π m2= 1,13 m2
Por tanto:
Área total = Área del rectángulo + Área del círculo = 2,16 + 1,13 = 3,29 m2
Por ello, el coste de la mesa es: 3,29 m2. 180 €/m2 = 592,2 €
Ejercicio resuelto 10.52: ¿Cuántas vueltas da la rueda de una bicicleta de 56 cm de
radio al recorrer un kilómetro?
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Solución: Observe que cada vez que una rueda completa un giro, la bicicleta recorre una
distancia igual a la medida del contorno de la llanta. Vamos a calcular dicha longitud, que
serán los centímetros que recorre la bicicleta en cada vuelta de la rueda:
Longitud = L = 2π.r = 2π.56 = 112π cm= 351,85 cm
Como tenemos que recorrer 1 km=100000 cm, entonces, dividimos por los centímetros de
cada vuelta, para obtener el número de vueltas:
100000 / 351,85= 284,2 vueltas
Entonces, tendrá que dar aproximadamente 284 vueltas.
Ejercicio resuelto 10.53: Calcula el área y perímetro de las figuras coloreadas:
a)
Solución: Tenemos que trabajar con dos figuras distintas:
1. El cuadrado de lado 7 mm:
Área del cuadrado = L. L= 7 .7 = 49 mm2
Perímetro del cuadrado = 4 .L = 4 .7 = 28 mm
2. El círculo de diámetro 7 mm, es decir, de radio 3,5 mm:
Área del círculo = π.r2 =π.3,52 = 12,25π = 38,48 mm2
Longitud = L = 2π.r = 2π.3,5 = 7π = 21,99 mm
Por tanto:
Si restamos las áreas de ambas figuras tenemos el área de la región rosa:
Área del cuadrado - Área del círculo = 49 - 12,25π = 10,51 mm2
Si sumamos los perímetros de ambas figuras tenemos el perímetro total de la región rosa:
Perímetro del cuadrado + Longitud del círculo = 28 + 7π = 49,99 mm
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b)
Solución: Calculemos las áreas y los perímetros de los dos círculos concéntricos:
1. El pequeño de radio 8 m, tiene:
Área del círculo pequeño = π.r2 = π.82 = 64π m2
Longitud de la circunferencia pequeña = L = 2π.r = 2π.8 = 16π m
2. El grande es de radio 15 m, tiene:
Área del círculo grande = π.r2 = π.152 = 225π m2
Longitud de la circunferencia grande = L = 2π.r = 2π.15 = 30π m
Si restamos las áreas de ambos círculos tenemos el área de la figura de color amarillo:
Área del círculo grande - Área del círculo pequeño = 225π - 64π = 161π = 505,79 m2
Si sumamos los perímetros de ambos círculos tenemos el de la figura de color amarillo:
Longitud de la circunferencia grande + Longitud de la circunferencia pequeña =
= 30π +16π = 46π = 144,51 m perímetro de la figura amarilla
Ejercicio resuelto 10.54: Halla el área y perímetro de:
Solución: Vamos a trabajar con dos figuras distintas:
a) El triángulo equilátero del que sabemos las medidas de sus lados, pero desconocemos su
altura que podemos calcular por Pitágoras:
82=42+h2 ⇒ h= √82-42=√48 = 6,92 cm de altura
Área del triángulo = base. altura
2 =
8 . 6,92
2 = 27,68 cm2
b) El semicírculo de diámetro 8 cm, es decir, de radio 4 cm:
Área del círculo = π.r2 =π.42 = 16π cm2
entonces: Área del semicírculo = 16π
2 = 8π cm2
Por tanto:
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Área total = Área del triángulo + Área de la semicircunferencia = 27,68 + 8π = 52,81 cm2
Perímetro total =longitud de la circunferencia
2 + lado del triángulo + lado del triángulo =
=2.π.4
2+ 8+8 =4π + 16 = 28,56 cm2
Ejercicio resuelto 10.55: Un aro da 40 vueltas para recorrer 31,40 m. Calcula el
diámetro del aro.
Solución: En cada vuelta va a recorrer: 31,40/40= 0,785 m= 785 cm. Sabemos entonces que
una vuelta completa de aro, es decir, la longitud de la circunferencia que define al aro es
de 785 cm. Así, podemos obtener el radio de dicho aro:
785 cm =Longitud = 2π.r ⇒ 2π.r = 78,5 cm ⇒ r = 78,5
2π= 12,49 cm
Por tanto: Diámetro = 2r = 2. 12,49 = 24,98 cm
Ejercicio resuelto 10.56: Un cuadrado de 100 m2 de superficie está inscrito en una
circunferencia. Calcula el área del círculo asociados a dicha circunferencia.
Solución: 50π m2
Solución: Como: 100 m2= Área del cuadrado = L. L= L2 ⇒ L= 10 m, entonces usando el
teorema de Pitágoras, tenemos que:
r2=52+52 ⇒ r2=52+52 ⇒ r= √50= 7,07 m
Entonces: Área del círculo = π.r2 = π.50 = 50π m2
Ejercicio resuelto 10.57: Calcula el área de un octógono regular de
4 m de lado inscrito en una circunferencia cuyo círculo asociado
tiene 20π m2 de área.
Solución: Tenemos una circunferencia con radio desconocido r, pero
sabemos que su área de 20π m2, entonces:
20π = Área del circulo = π.r2 ⇒ π.r2= 20π ⇒ r2 = 20 ⇒ r= 4,47 m
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Entonces tenemos un octógono regular de 4 m de lado y radio 4,47 m, por tanto:
Área octógono = perímetro . apotema
2=
32. apotema
2
Vamos a hallar la apotema del octógono usando el teorema de Pitágoras:
4,472=22+ap2 ⇒ ap2=4,472-22 = 15,98⇒ ap = 3,99 m ≈ 4 m
Así: Área octógono = perímetro . apotema
2=
32. 4
2≈ 64 m2
Ejercicio resuelto 10.58: Calcular el área de la región de color
negro del siguiente taijitu (símbolo del yin y del yang) inscrito en
un cuadrado de lado 2m
Solución: Si pensamos en algunos cambios en la imagen, nos resultará menos laborioso el
cálculo de su área:
1. Colocamos el círculo pequeño de color negro sobre el de color blanco.
2. En la parte izquierda inferior, tenemos ahora un semicírculo negro. Este semicírculo lo
colocamos en la parte superior derecha.
La región de color negro forma un semicírculo cuyo radio es la mitad del lado del cuadrado.
Como el radio es r=1 m, el área del círculo es:
Área del círculo = π.r2 =π.12 = π m2
Por tanto, el área de la región de color negro es la mitad, es decir, π/2 m2
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Terminamos esta semana con la geometría plana:
Sector circular:
Elementos: Área del círculo = 𝛑. 𝐫 𝟐 .𝛂
𝟑𝟔𝟎°
r → Radio Longitud del sector = L= 𝛑. 𝐫.𝛂
𝟏𝟖𝟎°
α → Ángulo del sector Perímetro del sector= 2r+L
Ejemplos: Halla el perímetro y el área de las figuras coloreadas:
a)
El sector circular tiene radio 8 mm, y ángulo 120º:
Área del sector circular = π.r2.𝛼
360°= π.82.
120º
360°= 67,02 mm2
Longitud del sector circular= L= π.r.𝛼
180°=π.8.
120º
180°= 4 π mm=16,75 mm
Perímetro del sector= 2r+L= 2. 8+ 16,75 = 32,75 cm
b)
Calculemos las áreas y los perímetros de la corona circular, definida por dos sectores
circulares:
1. El sector circular blanco es definido por el círculo pequeño de radio 1 m, y ángulo 90 º:
Área del sector blanco = π.r2.𝛼
360°= 𝜋. 12.
90º
360°= 0,25 π m2 = 0,78 m2
Longitud del sector blanco= L= π. r.α
180°= π. 1.
90º
180°= 0,5 π = 1,57 m
2. El sector circular grande suma del blanco y rosa es definido por el círculo grande de
radio 1,5 m, y ángulo 90º:
Área del sector grande = π.r2.𝛼
360°= 𝜋. 1,52.
90º
360°= 0,56 π m2 = 1,76 m2
Longitud del sector grande = L= π. r.α
180°= π.1,5.
90º
180°= 0,75 π = 2,35 m
Si restamos las áreas de ambos sectores circulares tenemos el área de la figura de color
rosa:
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Área del sector grande - Área del sector pequeño = 1,76 - 0,78 = 0,98 m2
Si sumamos las longitudes de ambos sectores más las longitudes de los segmentos que los
separan, tenemos el perímetro de la figura de color rosa:
Longitud del sector grande + Longitud del sector pequeño + 0,5 +0,5 =
= 0,75 π +0,5π +1 = 4,92 m perímetro de la figura rosa
Ejemplos: Determine el porcentaje del área de la superficie sombreada respecto del
área total del círculo.
Tenemos una circunferencia de radio desconocido r y un sector en verde del mismo radio y
ángulo 360o-45o= 315o
Área del sector verde = π.r2.𝛼
360°= 𝜋. r2.
315º
360°= 0,875.r2π
Área del círculo = π.r2
Si hacemos una regla de tres, obtenemos el porcentaje pedido: 0,875.r2.π → x
r2.π → 100%
entonces: x= 0,875 .r2 .π. 100
r2 .π = 87,5 %
Ejercicio propuesto 10.59: Halla el perímetro y el área de las figuras coloreadas:
a) b)
Ejercicio propuesto 10.60: En verano chicos, cuando podamos ir con nuestros amigos
a tomar una pizza (que eso momento llegará, seguro), espero que recordéis este
ejercicio:
12 amigos van a comer una pizza al paseo marítimo y
deciden comprar una para llevar que cabe justo en una caja
cuadrada de 45 cm de lado. Calcula la cantidad de pizza y la
medida del borde que le se comerá cada uno de los 12
amigos.
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Ejercicio propuesto 10.61: Determina el ángulo de un sector circular de radio 3 cm con
3π cm2 de área.
Ejercicio propuesto 10.62: Calcular el ángulo del sector circular con área igual a 6π
cm2 de un círculo con perímetro de 4π√2 cm.
Ejercicio propuesto 10.63: Un disco tiene seis sectores iguales, 3 rojos y tres
negros. Si el radio del círculo es 3 cm, calcula el área de cada sector.
Ejercicio propuesto 10.64: Un sector circular está limitado por una longitud de arco
de 5 π cm y pertenece a un círculo que tiene el diámetro de 40 cm de largo. Calcular
el área del sector y el ángulo correspondiente.
Ejercicio propuesto 10.65: Un sector circular tiene área de 120 π cm² y un ángulo
central es de 108°. Calcular el radio del círculo.
Segmento circular:
Elementos:
r → Radio
α → Ángulo del segmento
C → Cuerda del segmento= longitud AB
L → Longitud del sector circular
Área del segmento circular = Área del sector circular- Área del triángulo
Perímetro del sector= Longitud del sector circular L + Longitud de la cuerda AB
Ojo: Observa que el área del segmento circular está dada por la diferencia entre el
área del sector circular y el área del triángulo OAB:
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Ejemplo: Halla el perímetro y el área de la figura:
Calculemos el área y el perímetro de la figura rosa, definida por un sector circular y un
triángulo:
a) El sector circular está definido por el círculo de radio 5 cm, y ángulo 90º:
Área del sector circular = π.r2.𝛼
360°= 𝜋. 52.
90º
360°= 19,63 cm2
Longitud del sector circular= L= π. r.α
180°= π. 5.
90º
180° = 7,85 cm
b) El triángulo rectángulo de base y altura 5 cm:
Área del triángulo = base. altura
2=
5. 5
2= 12,5 cm2
Si restamos las áreas de ambas figuras tenemos el área del segmento circular:
Área del segmento = Área del sector - Área del triángulo = 19,6 - 12,5 = 7,13 cm2
Si sumamos las longitudes del sector más la cuerda del segmento, tenemos el perímetro
del segmento circular. Pero necesitamos la hipotenusa del triángulo, que podemos hallar
usando Pitágoras:
C2=52+52 ⇒ C= √50 = 7,07 cm de cuerda
Entonces:
Longitud del sector + Longitud de cuerda =
= 7,85 + 7,07 = 14,92 cm perímetro del segmento circular
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Vamos a trabajar ahora a modo de repaso, la unidad didáctica 5. Para que
todos los alumnos puedan alcanzar los contenidos mínimos de las matemáticas
académicas de 3º de la ESO. Por tanto, será de especial interés para aquellos
alumnos que no aprobaron la 1ª evaluación.
Tenéis que repasar nuestro boletín teórico y de ejercicios relativos a esta
unidad 5: “Lenguaje algebraico”, mostrando especial atención a ejercicios del
tipo:
Lenguaje algebraico
Solución:
Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras (parte literal), números y
signos de operaciones.
• Un número → x
• Su siguiente → x+1
• El doble de su siguiente → 2(x+1)
• El triple de un número → 3x
• El doble de un número menos su mitad → 2x-(x/2)
• La mitad de un número menos cinco → (x/2)-5
• El cuadrado de un número mas su triple → x2 +3x
• Un número mas su anterior → x + (x-1)
• La mitad de un número mas seis unidades →(x/2) + 6
• Un número tres unidades menor que otro → x-3
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Monomios
Solución:
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Suma y resta de monomios semejantes
Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Para sumar o restar
monomios deben ser semejantes. Se suman o restan los coeficientes y se deja la misma
parte literal.
Solución:
Reducir monomios semejantes
Solución:
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Polinomios
Suma de polinomios
Para sumar polinomios agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen la
misma parte literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.
Solución:
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Resta de polinomios
Para restar polinomios, escribimos entre paréntesis el polinomio que vaya restando, con un
signo menos delante del paréntesis. Quitamos este paréntesis aplicando la regla de los
signos. Agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen la misma parte
literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.
Solución:
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Producto de un polinomio por un monomio
Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos cada término del polinomio
por el monomio. Multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las x (producto de
potencias de la misma base).
Solución:
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Solución:
Solución:
Solución:
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Solución: Multiplicación de polinomios en forma vertical. Escribimos el polinomio P(x)
ordenado. Si falta algún término escribimos 0. Añadimos debajo el polinomio Q(x)
ordenado. Multiplicamos el (-2) por todos los términos de P(x). A continuación, hacemos lo
mismo con 2x colocando los resultados debajo de su grado correspondiente. Hacemos lo
mismo con (-x2). Al final sumamos las columnas que nos han quedado con los términos
semejantes.
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División de polinomios
Solución: El dividendo y el divisor deben estar ordenados. En este caso ya nos los dan
ordenados.
Se divide el monomio 3x2 entre el monomio x.
El resultado 3x se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de signo
se suma al dividendo.
Se divide -4x entre x.
El resultado -4 se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de signo
se suma al nuevo dividendo (-4x-8). El cociente es 3x-4 y el resto 0. Es una división
exacta.
Comprobar: Dividendo = divisor · cociente + resto
3x2 + 2x -8 = (x+2)· (3x-4) + 0
Solución:
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Comentarios:
Solución:
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Solución:
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Cuando al hacer la división nos da de resto cero podemos factorizar el dividendo.
Dividendo = divisor · cociente → (x3-x) = (x2-1)x
Identidades notables
Cuadrado de una suma
El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero más el doble del
producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Solución:
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Cuadrado de una diferencia
El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primero menos el
doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Solución:
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Suma por diferencia
La suma de dos números multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus
cuadrados.
Solución:
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Factorizar para obtener la identidad notable
Las igualdades notables las aplicamos para factorizar polinomios y para simplificar
fracciones algebraicas.
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Simplificar fracciones algebraicas
Cuando tengamos productos notables los factorizamos. Los factores obtenidos quedan
multiplicando en el numerador y en el denominador, si son iguales los podemos simplificar.
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División de polinomios: regla de Ruffini
Aplicamos la regla de Ruffini para dividir polinomios por binomios del tipo x±a. Obtenemos
los coeficientes del cociente y el valor del resto.
Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y
si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.
Ejemplo:
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Ejercicios
Solución: El divisor de Ruffini debe ser tipo: x±a, a es un número. En este ejemplo a=-2.
- Multiplicamos 2 por 1, el resultado 2 lo colocamos debajo del 0 y
sumamos.
- Multiplicamos 2 por 2, el resultado 4 lo colocamos debajo del 1 y
sumamos. El 5 es el resto.
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Solución:
-Multiplicamos -1 (valor que anula el divisor) por el primer coeficiente
del dividendo 1. El resultado -1 se suma al segundo coeficiente del
dividendo.
- Con el valor obtenido -1 se repite el proceso hasta llegar al final. El
último número obtenido 0 es el resto de la división; los otros números
son los coeficientes del polinomio cociente.
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3. Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de estas divisiones.
Para que el polinomio P(x) sea divisible por x-2 el resto de la división debe ser cero.
Hacemos la división, igualamos el valor del resto a cero y calculamos el valor de k.
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Formas de factorizar un polinomio
Para descomponer en factores un polinomio seguimos estos pasos:
1. Sacamos factor común si se puede.
2. Si no, comprobamos si es una ecuación de 2º grado
3. Y si no es ecuación de segundo grado, hacemos Ruffini.
Ejemplo:
UNIDAD DIDÁCTICA 10. GEOMETRÁ PLANA (PARTE VI). MATEMÁTICAS 3º ESO
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6. Saca factor común e identifica expresiones notables en cada caso:
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7. Descompón en factores:
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Para simplificar fracciones, se extrae el factor común del numerador y del denominador
por separado. Luego se simplifican los factores iguales en el numerador y en el
denominador.
UNIDAD DIDÁCTICA 10. GEOMETRÁ PLANA (PARTE VI). MATEMÁTICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA 38
Instrucciones de trabajo para esta semana:
1. Los alumnos de 3º podéis enviarme, antes del domingo 24 de mayo, los “ejercicios
propuestos” en este boletín correspondientes a la última parte de la unidad 10:
“Geometría plana” al correo:
2. Esta semana, realizaremos un examen online de toda la geometría plana el jueves
21 de mayo de 17:00h a 17:30h.
ESTAS DOS TAREAS SON VOLUNTARIAS PARA TODOS LOS
ALUMNOS.
El examen estará disponible en la plataforma “thatquiz.org”, con el enlace:
3º A: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a5678cdef125a
3º B: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a03567abf125c
Usáis la misma contraseña personal que os envié.
¡¡Ánimo chicos!!