Capıtulo 3

PROBABILIDAD Y

DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD

3.1. Introduccion

Algunos aspectos estadısticos manejados en la informacion obtenida de laradio, la television u otro medio, influencian fuertemente a una gran canti-dad de personas, pero muchas veces no proporcionan una descripcion cabalde lo que pretenden mostrar.

La estadıstica se ocupa entre otras cosas, del manejo de informacion que pue-da ser cuantificada. Implica entonces la descripcion de conjuntos de datos yla inferencia a partir de la informacion recolectada de un fenomeno de interes.

La mejor manera de recopilar la informacion es a traves de la realizacion deun experimento. Un experimento se entiende como cualquier procedimientoque genera datos o informacion.

Es muy comun que al realizar un experimento bajo las mismas condiciones,se obtengan diferentes resultados. Por ejemplo, al medir el tiempo que sedebe esperar el autobus en cierta parada, dicho tiempo puede cambiar dedia a dia. La presion arterial de un individuo varıa en el transcurso de undıa o diariamente. El tiempo entre llamadas cambia de llamada en llamada.

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CAPITULO 3. PROBABILIDAD 40

Este tipo de experimentos son llamados ALEATORIOS debido precisamentea la variabilidad inherente, al repetir dicho experimento, en los resultados.

Uno de los objetivos de la estadıstica es el estudio de la variabilidad. De-bido a este aspecto, se necesita de una medida o escala que nos permitacuantificar el grado de seguridad o de incertidumbre respecto a un resultadoo conjunto de resultados en la realizacion de un experimento aleatorio. Dichode otra forma, una medida de la posibilidad de ocurrencia de un resultado.

El termino PROBABILIDAD esta asociado con el estudio de la aleatoriedady la incertidumbre.

Definicion 3.1.1. Experimento aleatorioEs aquel que proporciona diferentes resultados, aun cuando este se repitabajo las mismas condiciones.

Definicion 3.1.2. Espacio muestralEs el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Definicion 3.1.3. EventoEs cualquier subconjunto de resultados de un espacio Muestral (simples ycompuestos). Los eventos compuestos estan conformados por mas de un re-sultado.

Definicion 3.1.4. Complemento de un Evento E

Sea S un espacio muestral asociado con un experimento aleatorio. Se defineel complemento de un evento E con respecto al espacio muestral S como elconjunto conformado por todos aquellos elementos de S que no estan en E.Se denota por E

′

.

Definicion 3.1.5. Union de dos eventos E1 y E2

Sea S un espacio muestral asociado con un experimento aleatorio. Se definela Union de dos eventos E1 y E2 como el conjunto conformado por todosaquellos elementos que pertenecen a E1 o a E2 o a ambos. Se denota porE1 ∪ E2

Definicion 3.1.6. Interseccion de dos eventos E1 y E2

Sea S un espacio muestral asociado con un experimento aleatorio. Se definela Interseccion de dos eventos E1 y E2 como el conjunto conformado portodos aquellos elementos comunes a E1 y a E2. Se denota por E1 ∩ E2.

CAPITULO 3. PROBABILIDAD 41

Nota: En particular el evento representado por el conjunto vacio φ se conocecon el nombre de Evento Imposible y el evento representado por el todo elespacio muestral S se conoce con el nombre de Evento Seguro.

Ejemplo 3.1.1. Considere el experimento aleatorio de lanzar una moneda.Hallar el espacio muestral S.Solucion

S puede ser descrito como S = {cara , sello} o S = {c , s}.

Ejemplo 3.1.2. Considere el experimento aleatorio de lanzar un dado. Hal-lar el espacio muestral S.Solucion

S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}.

Ejemplo 3.1.3. Se seleccionan al azar tres artıculos de la produccion diariade una empresa. Cada artıculo se clasifica como defectuoso (D) o No –defectuoso (N), hallar el espacio muestral S.Solucion

S = {NNN , NND , NDN , DNN , NDD , DND , DDN , DDD}

Ejemplo 3.1.4. De una gran poblacion se encuestan aleatoriamente a sushabitantes hasta encontrar el primero con cierto tipo de nacionalidad (Ex-tranjero). Hallar el espacio muestral S.Solucion

S = {E , NE , NNE , NNNE, . . .}E representa extranjero N representa no estranjero

Ejemplo 3.1.5. Considere el experimento aleatorio de lanzar de tres mon-edas no cargadas. Hallar el espacio muestral S.Solucion

S = {CCC , CCS , CSC , SCC , CSS , SCS , SSC , SSS}

Ejemplo 3.1.6. Considere el experimento aleatorio de lanzar dos dadoscubicos no cargados. Hallar el espacio muestral S.Solucion

S = {(1 , 1) (1 , 2) , . . . , (6 , 5) (6 , 6)}.

Ejemplo 3.1.7. Una empresa tiene 100 empleados, 37 de ellos fuman, 40practıcan algun deporte y 40 tienen tarjeta de credito. 7 fuman y practıcanalgun deporte, 20 practican algun deporte y tienen tarjeta de credito. 10fuman y tienen tarjeta de credito, pero no practıcan deportes. 2 fuman y

CAPITULO 3. PROBABILIDAD 42

practıcan algun deporte pero no tienen tarjeta de credito. Defina los eventos

A El empleado fumaB El empleado practıca algun deporteC El empleado tiene tarjeta de credito

Grafique estos eventos en un diagrama de Venn. Determine el numero deempleados en cada uno de los siguientes eventos:A ∩ B ∩ C, A ∪ B ∪ C, A ∩ C, A ∩ B

′

, A ∩ C′

, B ∩ C′

,B ∩ C ∩ A

′

, (A ∩ B ∩ C)′

, (A ∪ B ∪ C)′

Solucion

A′

representa el complemento de A

n (A ∩ B ∩ C) = 5n (A ∪ B ∪ C) = 80

n (A ∩ C) = 15, n(

A ∩ B′

)

= 30

n(

A ∩ C′

)

= 22, n(

B ∩ C′

)

= 20

n(

B ∩ C ∩ A′

)

= 15, n (A ∩ B ∩ C)′

= 95,

n (A ∪ B ∪ C)′

= 20

Ejemplo 3.1.8. Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y seclasifican de acuerdo con el acabado de la superficie (en micro pulgadas) ycon las mediciones de longitud. Se presenta un resumen de los resultadosobtenidos con 100 muestras.

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LongitudExcelente Bueno

AcabadoExcelente 75 7Bueno 10 8

Total 85 15

Considere los siguientes eventos:A :La muestra tiene acabado excelente.B :La muestra tiene longitud excelente.

Determine el numero de muestras en: A, B, A′, B′, A ∩ B, A ∪ B,A′ ∩ B, A′ ∪ B′. Realice un diagrama de Venn.Solucion

A = 85 B = 72A ∪ B = 92 A ∩ B = 75A′ = 18 B′ = 15A′ ∩ B = 10 A′ ∪ B′ = 25

Ejemplo 3.1.9. Se lanzan dos dados tetraedricos no cargados. Halle el es-pacio muestral S y por extension los siguientes eventos:A La suma de los resultados es 3.B La suma de los resultados es par.C La suma de los resultados es multiplo de 5.

Solucion

S = {(1 , 1) , (1 , 2) , . . . (1 , 4) , (2 , 1) , . . . , (2 , 4) , . . . , (4 , 1) , . . . , (4 , 4)}A = {(1 , 2) , (2 , 1)}B = {(1 , 1) , (1 , 3) , (2 , 2) , (2 , 4) , (3 , 1) , (3 , 3) , (4 , 2) , (4 , 4)}C = {(1 , 4) , (2 , 3) , (3 , 2) , (4 , 1)}Como A ∩ B = Φ, A ∩ C = Φ, B ∩ C = Φ entonces A, B y C sonmutuamente excluyentes.

CAPITULO 3. PROBABILIDAD 44

Definicion 3.1.7. : Sean A y B eventos de un espacio Muestral S. Diremosque A y B son excluyentes o disjuntos si A ∩ B = φ (φ es un evento deS).En general, si E 1 , E 2 , . . . , E n son eventos de un espacio muestral S,diremos que son mutuamente excluyentes si E i ∩ E j = φ , ∀ i 6= j.

Ejemplo 3.1.10. Se lanza un dado no cargado. El espacio Muestral paraeste experimento es S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}.Defina por extension los siguientes eventos:E 1 :El resultado es un numero par.E 2 :El resultado es un numero primo.E 3 :El resultado es un numero impar.Identifique cual par de ellos son excluyentes ¿Son los tres eventos mutua-mente excluyentes?

Solucion

E 1 = {2 , 4 , 6} , E 2 = {2 , 3 , 5} , E 3 = {1 , 3 , 5}

E 1 ∩ E 2 = {2} , E 1 ∩ E 3 = {φ} , E 2 ∩ E 3 = {3 , 5}

E 1 y E 3 son excluyentes, pero . E 1 , E 2 y E 3 no son mutuamente ex-cluyentes, aunque E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 = φ

Ejemplo 3.1.11. Un ingeniero divide una carretera en tramos de 5 millas.Le interesa contar cuantos tramos debe recorrer hasta encontrar el primertramo con al menos tres baches. Hallar el espacio muestral.

Solucion En este caso el espacio muestral puede ser:

S = {e, fe, ffe, fffe, ...}

Donde f representa un tramo que no cumple las especificaciones buscadas ye el tramo que tiene al menos tres baches.

Ejemplo 3.1.12. Suponga que una persona esta realizando pruebas de fre-nado para determinar el agarre de unas llantas para automovil. Hallar elespacio muestral S.Solucion

En este caso el espacio muestral se puede representar por medio del siguienteconjunto:

S = {d ∈ ℜ | d ≥ 0}

donde d representa la distancia recorrida desde el momento en que se aplicanlos frenos hasta que el auto se detiene completamente.

CAPITULO 3. PROBABILIDAD 45

Ejemplo 3.1.13. Suponga que una persona esta registrando las temperat-uras en una cierta region a cierta hora del dıa. Hallar el espacio muestralS.Solucion

En este caso el espacio muestral se puede representar por medio del siguienteconjunto:

S = {t ∈ ℜ | −∞ < t < +∞}

donde t representa la temperatura.

Ejemplo 3.1.14. Un ingeniero de control selecciona al azar dos artıculos deun gran lote de produccion y los clasifica como defectuosos y no defectuosos,hallar el espacio muestral S.Solucion

El espacio muestral asociado con ese experimento aleatorio puede ser:

S = {D1D2, D1N2, N1D2, N1N2}

Un evento de interes para el ingeniero puede ser

E1 = {D1D2}

O sea el evento de seleccionar ambos artıculos defectuosos. Otro evento deinteres puede ser

E2 = {D1D2, D1N2, N1D2}

O sea el evento de seleccionar al menos uno defectuoso.

Ejercicios Propuestos

Ejercicio 3.1.1. En un torneo de baloncesto vacacional participan cuatrouniversidades: 1, 2, 3, 4. En la primera ronda, 1 jugara contra 2 y 3 contra 4.Los dos ganadores jugaran por el campeonato, y los dos perdedores tambienjugaran. Un posible resultado se puede representar por 1324 (1 le gana a 2y 3 le gana a 4 en la primera ronda, y despues 1 derrota a 3 y 2 le gana a4).

a. Haga una lista de todos los resultados en S.

b. Sea A el evento en que 1 gana el torneo. Haga una lista de los resul-tados en A.

c. Sea B el evento en que 2 llega a la final. Haga una lista de los eventosen B.

CAPITULO 3. PROBABILIDAD 46

d. ¿Cuales son los resultados en A ∪ B y en A ∩ B? ¿Cuales son losresultados en A

′

?

Ejercicio 3.1.2. Utilice un Diagrama de Venn para verificarlas siguientesdos relaciones para cualquiera de los eventos A y B (estas se llaman leyesde De Morgan):

a. (A ∪ B)′

= A′

∩ B′

b. (A ∩ B)′

= A′

∪ B′

Ejercicio 3.1.3. Una ciudad pequena tiene tres distribuidores de automoviles:el de GM vende Chevrolet, Pontiac y Buick; el de Ford, Mercury y Ford; y el de Chrysler, Plymouth y Chrysler. Si un experimento consiste enobservar la marca del siguiente automovil vendido, entonces los eventosA = {Chevrolet , Pontiac , Buick} y B = {Ford , Mercury} son mutu-amente excluyentes porque el siguiente automovil vendido no puede ser unproducto de GM o de Ford.

a. Identifique tres eventos que sean mutuamente excluyentes.

b. Suponga que no hay un resultado comun para los tres eventos A, B yC. ¿Hay tres eventos que, por necesidad, son mutuamente excluyentes?Si la respuesta es afirmativa, explique por que; si es negativa de unejemplo en contra.

Ejercicio 3.1.4. Una companıa electrica ofrece una tasa subsidiada a cualquierfamilia cuyo consumo de electricidad sea menor de 240kWh durante un mes,en particular. Senalemos como A el evento en que una familia selecciona-da al azar, en cierta comunidad, no rebasa el consumo subsidiado duranteenero, y como B el evento analogo para el mes de julio ( A y B se re-fieren a la misma familia). Supongamos que P (A) = 0.8, P (B) = 0.7 yP (A ∪ B) = 0.9. Calcule lo siguiente:

a. P (A ∩ B)

b. La probabilidad de que el consumo subsidiado sea rebasado en exacta-mente uno de los dos meses. Describa este evento en terminos de A yB.