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Instituto Tecnolgico de Massachusetts Departamento de Ingeniera
Elctrica e Informtica
6.002 - Circuitos electrnicosOtoo 2000
Tarea para casa 9Boletn F00-045
Fecha de distribucin: 2/11/2000 - Fecha de entrega:
15/11/2000
Leer el captulo 15.
Ejercicio 9-1: utilizando un condensador de 3-nF y dos
resistencias, construya una red que tenga la siguiente respuesta de
etapa cero a una entrada de escaln de 1-V. Proporcione un diagrama
de la red y especifique los valores de las dos resistencias.
Ejercicio 9-2: ejercicio 4, captulo 15.
Ejercicio 9-3: considere un sistema lineal invariable en el
tiempo. Suponga que su respuesta de estado cero a un escaln
unitario enes . Cul sera su respuesta de estado cero a la entrada ,
aplicada en , donde S y M son constantes?
Problema 9.1: problema 6, captulo 15.
Problema 9.2: en la red que se muestra ms adelante, la bobina de
inductancia y el condensador tienen estados cero previos a t = 0.En
se aplica un escaln en la tensin desde 0 a mediante la fuente de
tensin, tal y como se indica.
a) Halle , , y en
b) Argumente que en , de forma que no tiene un componente
constante.
c) Halle una ecuacin diferencial de segundo orden que describa
el comportamiento de para .
1V
t
1V
t
23---V
Red1V 13---V e
t 20s
v2(t)
+
-
v2(t)v1(t)
v1(t) +-
t 0= A 1 e t ( ) S Mt+ t 0=
t 0= V 0
vC vL ididt-----
t 0=
i 0= t = i t( )
i t( ) t 0
-
d) Siguiendo el apartado b, la corriente toma la forma . Halle ,
, , y . Sugerencia:halle primero y a partir de la ecuacin
diferencial y, a continuacin, halle y a partir de las
condicionesiniciales. Puede elegir tambin cualquier otro mtodo para
resolver este problema.
e) Suponga que la entrada es un impulso de tensin con un rea (en
voltios-segundos), donde , es laamplitud del escaln de tensin que
se muestra ms adelante y es una constante de tiempo dada. Halle la
respuestade la red (a continuacin) al impulso. Sugerencia: antes de
resolver directamente este problema, considere larelacin entre las
respuestas a escaln y a impulso.
Guarde una copia las respuestas de este problema, ya que le sern
de utilidad en los ejercicios de pre-prctica para la prctica 3.
Problema 9.3: James est construyendo un sistema estreo y
necesita ayuda. Tiene que tomar la salida de su casette de 8 pistas
y,de algn modo, dividirlo en frecuencias altas y bajas antes de
enviar las seales a los amplificadores MOSFET que construy el
mespasado y, a continuacin, a sus altavoces. Por lo tanto, les pide
ayuda a Bo y Amanda. Una rpida bsqueda en la red les conduce al
sitiohttp://www.eatel.net/~amptech/elecdisc, donde aprenden ms de
lo queran acerca del audio para coches y los cruces electrnicos.
Amanda le dice, Todo lo que necesitas es una resistencia y una
bobina en serie. Elimina las frecuencias altas de una y las bajas
de laotra". Despus se marcha para trabajar en su boletn de
problemas del curso 6.002 . Por desgracia, a James se le olvid
preguntarlequ elemento deba conectar a su wofer de baja frecuencia
y cual a su tweeter de frecuencias altas.
Ms adelante a la izquierda se muestra la red que sugiri Amanda.
Para nuestros fines, se acciona la red en estado
estacionariomediante la tensin de entrada sinusoidal , donde es
real. Las salida de la red son las tensiones a travs de lala
resistencia y la bobina, y , donde y indican la amplitud
y y indican la fase de nmeros complejos y . Halle la amplitud y
fase en funcin de , para y
como se indica a continuacin:
i t( ) i t( ) Ie t t +( )sin= I I
0 0 V 0= V 0
vR+
-
i(t) vL
C
+-
L
R
+ -
V0
t
v(t)
v(t)
vC +-
Cruce
Amp
Amp
tweeter (frecuencias altas)
wofer (frecuencias bajas)
vi t( ) V i t( )cos= V ivar t( ) V ar t V ar+( )cos= val t( ) V
al t V al+( )cos= V ar V ar
V ar V al V ar V al V ar V al
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a) Utilizando las expansiones de las series de Taylor para , y ,
muestre que .Siguiento esto, reconozca que .
b) Halle la magnitud y fase de . Exprese y en la forma
polar.
c) Halle las ecuaciones diferenciales que pueden resolverse para
y .
d) Siguiendo el apartado a, sea . Adems, sea y ,donde y son
funciones complejas de . Con estas sustituciones, utilice la
ecuacin diferencial
correspondiente para hallar y . Sugerencia: recuerde que en las
ecuaciones diferenciales podemos suprimir
la notacin hasta el final.
e) Siguiendo los apartados a y b, halle la magnitud y fase para
y , en funcin de y .
f) Dibuje y marque claramente la dependencia de y , y y respecto
a .
Identifique las asntotas de baja y alta frecuencia en cada
dibujo.
g) La frecuencia del punto de ruptura para un diagrama es una
frecuencia en la que se cruzan sus asntotas de frecuenciasaltas y
bajas. Halle la frecuencia del punto de ruptura para los diagramas
del apartado f). (Para un filtro paso bajo, su salida es casi
constante por debajo de esta frecuencia, mientras que por encima de
sta, su salida disminuye alaumentar la frecuencia. La situacin se
invierte en el caso del filtro paso alto).
h) Qu terminales deberan conectarse al tweeter de alta
frecuencia y cules al wofer de baja frecuencia?Analice
cualitativamente, pero fsicamente, como actan las salidas como
filtros paso alto y paso bajo.
i) Entretanto, Bo sugiere la red de la derecha que se indica a
continuacin. Despus de una fuerte disputa, James obtiene las
siguientes ecuaciones que gobiernan el comportamiento de y :
, y .
Comparando estas ecuaciones con las halladas en el apartado d),
determine cmo utilizara James dicho circuitocomo su cruce. Nota: no
haga nada complicado con estas ecuaciones, simplemente saque
conclusiones a partirde las similitudes con su respuesta anterior.
Le invitamos a que comente la ubicacin del punto de ruptura parael
circuito de Bo.
ejx
x( )cos x( )sin e jx x( )cos j x( )sin+=x( )cos Re e jx{ }=
A Bj+ A Bj+ 1A Bj+----------------
var t( ) val t( )
vi t( ) Re V iejt{ }= var t( ) Re V are
jt{ }= val t( ) Re V alejt{ }=
V ar V al
V ar V alRe{ }
V ar V al V i
V arV i
-------- logV arV i
-------- V alV i-------- log
V alV i-------- L
R------- log
vbr t( ) vbc t( )V brV i
--------
jRC1 jRC+------------------------=
V bcV i
---------
11 jRC+------------------------=
R
L
R
C
var(t)
val(t)
vbr(t)
vbc(t)vi(t) vi(t)
hw9
