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I. Fundamentos I. Fundamentos matemáticosmatemáticos
1 C d d ilí1 C d d ilí1. Coordenadas curvilíneas1. Coordenadas curvilíneas
Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación
I. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticosI. FundamentosI. Fundamentos matemáticosmatemáticos
1.1. Coordenadas Coordenadas curvilíneascurvilíneas Introducción.Descripción del espacio físicoCoordenadas curvilíneas: propiedadesLíneas y superficies coordenadas
El d í dif i lElementos de geometría diferencial2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales33 C lC l3.3. Campos escalaresCampos escalares4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
2
IntroducciónIntroducciónMagnitudes físicasMagnitudes físicas
descripción cuantitativa de las propiedades de
IntroducciónIntroducciónTemperatura (T) y
velocidad (v) en un fluido descripción cuantitativa de las propiedades de los fenómenos (electromagnéticos)susceptibles de medida
velocidad (v) en un fluido en movimiento
correspondencia con entes matemáticos necesidad de un álgebra
tipos de magnitudes: tipos de magnitudes:escalarvectorial
T T v 33
tensorial Campos escalares y vectorialesCampos escalares y vectoriales
d ib i d l di i
W 3333 P
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 describen magnitudes con valores distintos en
cada punto del espacio (P3)se pueden expresar como funciones de la
TT((PP;;tt)) vv((PP;;tt))Z
vv((PP))
r
vvTT((PP))TT
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
p pposición:
T=T(r); v=v(r) (estacionarios) y también del tiempo: T=T(r;t); v=v(r;t) OX Y
r
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
3
…y también del tiempo: T=T(r;t); v=v(r;t) OX Y
Descripción del espacio (I)Descripción del espacio (I)
{x,y,z}: Coordenadas cartesianas
Descripción del espacio (I)Descripción del espacio (I)
33 Z
P r , tal que r = OP3
1
Z
zP(x,y,z)2 P q1q2=y
=x
3
q2
q3rP
3r(x,y,z)
y
=z
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
O 21O
2q3 z
xP1
P2 Yy
x
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
1
y1
X
3
r =x+y+z=x 1+y 2 +z 3
x
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
4
1 X r x+y+z x 1+y 2 +z 3
Descripción del espacio (II)Descripción del espacio (II)
{,,z}: Coordenadas cilíndricas
Descripción del espacio (II)Descripción del espacio (II)
3P r , tal que r = OP
Z
33
1=
Z
zq2 P
= P(,,z)
q1
=z r z3q3 r(,,z)
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
O 2z
x Y21
O
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
31
= Xr =x+y+z= cos 1
yq2
+sen 2+z 3Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
5
1 r x+y+z cos 1+sen 2+z 3
Descripción del espacio (III)Descripción del espacio (III)
{r,,}: Coordenadas esféricas
Descripción del espacio (III)Descripción del espacio (III)
33P r , tal que r = OPZ3
1
Z
2 P=q2 r
P(r,)=
=r z3q1
q2(r,,)r
r
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
O 2r
Oz
x21 Y
q1
r sen
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
31
=yX
q3
r =x+y+z
=rsen cos 1+rsen sen 2+r cos 3Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
6
1 r x+y+z rsen cos 1+rsen sen 2+r cos 3
Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)¿Qué son?¿Qué son?{q q q }: terna de números reales (q )
Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)Coordenadas curvilíneas. Propiedades (I)
Z{q1, q2, q3}: terna de números reales (qi )valores de parámetros geométricos:
( ) + ( ) +r=r (qq qq qq )r
Z
r(q q q )
P
P'
{1 ; 2 ;3}, vectores ortogonales unitarios fijos
= x(qq1, q, q22, q, q33) 1 + y(qq1, q, q22, q, q33) 2++z(qq1, q, q22, q, q33) 3
r=r (qq1, q, q22, q, q33)
3
r(q1,q2,q3) Pr(q'1,q'2,q'3 )
z{1 ; 2 ;3}, vectores ortogonales unitarios fijosRequisitosRequisitosdescripción continua del espacio:
O2
1
XY
z
xdescripción continua del espacio:
sólo si x (q1,q2,q3), y (q1,q2,q3), z (q1,q2,q3) P OP=r 3
X y( 1, 2, 3)0i iq 0 r
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 1 2 3 1 2 3 1 2 3
son funciones continuas y derivablesdescripción de todo entorno de P: ( ) li l i d di
P 3 OP=r
r q q q r r r
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G ei(P)=[r/qi]P linealmente independientes
(no coplanarios):
r 1 2 31 2 3P P P
q q qq q q
0q q q
r r r i i iq q q
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
7
1 2 3q q q
Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)Base natural. Sistema de referencia localBase natural. Sistema de referencia local
t t li l t i d di t ( ev
Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)Coordenadas curvilíneas. Propiedades (II)
tres vectores linealmente independientes (no coplanarios) son basebase de 3
Z r r r
e2e1e'3
e'2Pl
r(q1 q2 q3)
1 2 3
1 2 3; ; ; ; PPq q q
r r r e e e e3e'1P'P
31 1 2 2 3 3
tal que ;v v v v e e e v
en particular, dr=dq1e1+dq2e2+dq3e3 base natural y punto P forman sistema localsistema local O
3
21 Y
r(q1,q2,q3)r(q'1,q'2,q'3)3 3
2X
1 2 3( , , )ii P
q q qq
r e 1 2 3( , , )ii P
q q qq
re
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
Base físicaBase física:Coordenadas ortogonalesCoordenadas ortogonales su base natural es ortogonal en todo P
2 0h( , , ) ( , , )i i iq q q q q q hu e
1 2 3 tal que; ; Pu u u
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
vectores ortogonales unitarios
f t d l
1 2 3 1 e e e e
( ) 1h
2 00;
i i i
i j
hi j
e ee e
1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) i i iq q q q q q hu e
1; 0i i i i j u u u u u
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
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factor de escala: 1 2 3( , , ) 1i ih q q q e;i i i i j
Líneas y superficies coordenadas (I)Líneas y superficies coordenadas (I)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)03 P(q1,q2,q3)03
Líneas y superficies coordenadas (I)Líneas y superficies coordenadas (I)
LíneaLíneacoordenadacoordenada
RectaRectatangentetangente
1
reC d d C d d
1
1Pq
eCoordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales P(a,b,c) PlanoPlanotangentetangente
e 3e
Z
2e 3e
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
r(q1=a;q2=b;q3=c)3
Z
[ ] [ ]i iP P SuperficieSuperficie
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
O
321
XY
[ ] [ ]i iP P SuperficieSuperficiecoordenadacoordenada
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
9
X
Líneas y superficies coordenadas (II)Líneas y superficies coordenadas (II)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)03 P(q1,q2,q3)03
Líneas y superficies coordenadas (II)Líneas y superficies coordenadas (II)
Coordenadas Coordenadas ortogonalesortogonaleso togo aleso togo ales
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
10
Elementos de geometría diferencial (I)Elementos de geometría diferencial (I)Elementos geométricosElementos geométricos estudio local de magnitudes
Elementos de geometría diferencial (I)Elementos de geometría diferencial (I)
estudio local de magnitudes en torno a P3
1 2 3i i i iq q dq elementos geométricos de
dicho entorno
1,2,3i i i iq q q
Diferencial de caminoDiferencial de camino variación infinitesimal de
vector posición, “dr”ddrr
1 1 2 2 3 3d dq dq dq r e e e ddrrdsds
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
elemento de arco ds:longitud de dr
ddrr22ddrr11
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G o g ud de d
ddrr33ds d d d r r r
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
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Elementos de geometría diferencial (II)Elementos de geometría diferencial (II)Diferencial de superficieDiferencial de superficieparalelogramo con lados “dri”
Elementos de geometría diferencial (II)Elementos de geometría diferencial (II)
paralelogramo con lados dri y “drj”; descrito por:
1 2 3d d d S r r1 2 32 3 1d d d S r r3 1 2d d d S r r
área y orientación: ddrr11dd3 1 2
ddSSsini j k id d d S r r
ddrr33ddrr
ddSS11sin
,i j k i
i j k
i j kd d d
d
S r r
S e e
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
Diferencial de volumenDiferencial de volumenparalelepípedo con aristas “d ” “d ” “d ”
ddrr2211
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G “dr1”, “dr2” y “dr3”:
i id d d r S d d d d
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos mateCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) I. Fundamentos matemátmáticosicos
® G
a®
Ga
12
1 2 3d d d d r r r