I - XTECiesicaria.xtec.cat/dma/Documents/programacio_09_10.doc · Web viewCompetència en el coneixement i la interacció amb el món físic Reconèixer i calcular el resultat de

I.E.S. IcàriaBarcelonaDepartament de Matemàtiques

Programació didàctica. Curs 2009-10

ÍNDEX

Distribució de matèries del curs 2009-10....................................................4

Taula de distribució de continguts a l’ESO.................................................5

Taula de distribució de continguts adaptats................................................11

Avaluació per competències a l’ESO...........................................................16

Matemàtiques 1r d’ESO

Continguts........................................................................................................25

Programació d’aula...........................................................................................28

Distribució temporal dels continguts...............................................................55

Criteris d’avaluació..........................................................................................56

Matemàtiques 2n d’ESO

Continguts........................................................................................................59

Programació d’aula..........................................................................................60

Distribució temporal dels continguts...............................................................88

Criteris d’avaluació .........................................................................................90

Matemàtiques 3er d’ESO

Continguts.........................................................................................................93

Programació d’aula............................................................................................96

Distribució temporal dels continguts.................................................................123

Criteris d’avaluació ..........................................................................................125

Matemàtiques 4t d’ESO

Continguts...........................................................................................................128

Programació d’aula.............................................................................................130

Distribució temporal dels continguts..................................................................155

Criteris d’avaluació ...........................................................................................157

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. 1er de Batxillerat

Continguts..........................................................................................................162


Distribució temporal dels continguts................................................................178

Criteris d’avaluació .........................................................................................179

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. 2n de Batxillerat

Continguts..........................................................................................................182

Programació d’aula............................................................................................187

Distribució temporal dels continguts.................................................................207

Criteris d’avaluació ...........................................................................................208

2

Matemàtiques. 1er de Batxillerat Científic i Tecnològic

Continguts ..........................................................................................................213

Programació d’aula............................................................................................ 220


Criteris d’avaluació.............................................................................................236

Matemàtiques. 2n de Batxillerat Científic i Tecnològic

Continguts..........................................................................................................238



Criteris d’avaluació.............................................................................................270

Avaluació d’alumnes pendents de l’ESO.........................................................271

3

CURS 2009-10Xavier Civit

Esperanza Gonzàlez

Daniel Martínez

Teresa Pau Teresa Ticó César Vàzquez

1ESO 2CC 3h

1Op 2h 2CC 3h

2ESO

1CC 4h 1CC 4h1Op 3h 1CC 4h 1CCA 3h 1CC 4h

3ESO

2CC 3h 2CC 3h 1CC 3h

4ESO

2CC 3h 2CC 3h P. recerca1h 1CC 3h P. recerca

1h

1 BatxMatI

1Mod 4h 1Mod 4h

1 BatxMat Apli

1Mod 4h

2 BatxMatI

1Mod 4h

2 BatxMat Apli

1Mod 4h

4

TAULA DE DISTRIBUCIÓ DELS CONTINGUTS A L’ESO

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs- 1. NATURALS- Utilització de les relacions inverses entre

l’addició i la subtracció, la multiplicació i la divisió, elevar al quadrat i extraure l’arrel quadrada per a simplificar càlculs i resoldre problemes.

- Operacions combinades

- 0.REPÀS - -

- 2. DIVISIBILITAT - Múltiples i divisors.Nombres primers.

Factorització.- Algoritme del minim comú múltiple i

màxim comú divisor- Utilització de factoritzacions, múltiples i

divisors en la resolució de problemes.

- 1. NOMBRES ENTERS- Repàs de divisibilitat

- -

- 3. FRACCIONS - Nombres fraccionaris. Fraccions pròpies i

impròpies .- Comparació i ordenació de fraccions.- Fraccions equivalents.- Suma, resta, multiplicació i divisió de

fraccions.- Resolució de problemes amb fraccions.-

- 2.FRACCIONS - Repàs de primer curs .- Operacions combinades de fraccions.- Potències i arrels quadrades de fraccions.-

1.NOMBRES RACIONALS- Repàs de segon curs .- Relació entre nombres decimals i

racionals. Fracció generatriu.- Concepte de nombre racional

- 4.NOMBRES DECIMALS- Tipus de nombres decimals.- Relació entre fraccions i decimals.- Operacions amb nombres decimals.

- 3.NOMBRES DECIMALS- Repàs de primer.- Arrel quadrada. Aproximació decimal.- Aproximació i estimació.

-

5

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs- - 2.NOMBRES REALS

- Potències d’exponent negatiu.- Propietats de les potències .- Notació científica. Operacions- Aproximació de nombres reals.

Representació.- Intervals..

1.NOMBRES REALS- Nombres racionals.- Nombres irracionals .- Recta real- Intervals- Aproximació de nombres reals

- 2.POTÈNCIES I RADICALS- Potència d’exponent enter. Notació

científica.- Radicals- Potències d’exponent fraccionari.- Operacions amb radicals- Racionalització

. - 5.ENTERS- Utilització de nombres enters per a

expressar canvis o valors (quantitats, temps, temperatures,...) per a resoldre problemes en diferents contextos .

- Representació de nombres enters sobre la recta.

- Suma, resta, multiplicació i divisió de nombres enters.

- Operacions combinades i utilització dels parèntesis.

- 1.NOMBRES ENTERS- Repàs primer curs.- Potències i propietats.- Arrels quadrades.- Divisibilitat (repàs primer).

6

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs6. INICIACIÓ A L’ALGEBRA Pas del llenguatge habitual al

llenguatge algebraic. Monomis Equacions de primer grau senzilles. Resolució d’equacions de primer grau

amb parèntesis i denominadors. Problemes senzills de plantejament.

- 5.EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES- Repàs de primer:llenguatge algebraic,

monomis, operacions amb monomis.- Polinomis.- Suma,resta i multiplicació de polinomis.- Factor comú.- Igualtats notables.

- 3.POLINOMIS

- Repàs de Segon Curs.

- Divisió de polinomis.

- Igualtats notables.

- Fraccions algebraiques.

- 3.POLINOMIS I FRACCIONS ALGEBRAIQUES

- Regla de Ruffini

- Arrels d’un polinomi

- Potències d’un polinomi

- Factorització

- Fraccions polinòmiques

- 6. EQUACIONS I SISTEMES

- Repàs de primer: Resolució d’equacions lineals amb una incògnita.

- Resolució de sitemes lineals amb dues incògnites.

- Resolució de problemes amb equacions i sistemes.

- 4.EQUACIONS DE PRIMER I DE SEGON GRAU

- Repàs de primer i de segon.

- Equacions de segon grau.

- Resolució de problemes amb equacions

- 4. EQUACIONS I INEQUACIONS

- Repàs d’equacions de primer i de segon grau

- Altres tipus: biquadrades, racionals, irracionals..

- Inequacions.

- 5.SISTEMES D’EQUACIONS

- Repàs de Segon

- Resolució de problemes.

- 5 SISTEMES D’EQUACIONS

- Repàs de Tercer

- Interpretació gràfica

- Sistemes no lineals

- Sistemes d’inequacions

7

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs7.SISTEMA MÈTRIC DECIMAL

- Unitats de longitud, capacitat i massa.- Unitats de superficie.- Unitats de volum.- Relació entre unitats de volum, capacitat i

massa.

- -

8.PROPORCIONALITAT NUMÈRICA - Raó i proporció.- Relació de proporcionalitat entre dues

magnituds.- Magnituds directament proporcionalsi

inversament proporcionals.- Percentatges

7.PROPORCIONALITAT NUMÈRICA - Repàs de primer amb més aprofundit.- Aprofundir amb la proporcionalitat

inversa.

- 6. PROPORCIONALITAT NUMÈRICA

- Repàs.- Problemes amb percentatges: índes de

variació i percentatges encadenats.- Interès simple

-

- 7.PROGRESSIONS- Successions- Progressions aritmètiques.- Progressions geomètriques- Interès compost

-

8

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs9.ANGLES I RECTES

- Angles.Tipus d’angles.- Operacions amb angles- Sistema sexagesimal.- Operacions amb el sistema sexagesimal.

- 8.PROPORCIONALITAT GEOMÈTRICA

- Segments proporcionals. Teorema de Tales.

- Semblança de triangles. Criteris de semblança.

- Polígons semblants.- Escales.

- 10. MOVIMENTS I SEMBLANCES- Teorema de Tales

Repàs de Segon

6.SEMBLANÇARepàs Teorema de Tales

7.TRIGONOMETRIA Raons trigonomètriques d’un angle

agut Resolució de triangles rectangles. Aplicacions de la trigonometria

11.PERÍMETRES I ÀREES - Perímetre.- Àrea dels paral·lelograms,

triangles,trapezis i dels polígons regulars.- Àrea del cercle.

- 9.FIGURES PLANES. ÀREES- Teorema de Pitàgores.- Arees de polígons.- Àrea de figures circulars.- Àngles en els polígons.

- 8.LLOCS GEOMÈTRICS.FIGURES PLANES.

- Aprofundir en els continguts de Segon

-

- 12.POLIEDRES I COSSOS DE REVOLUCIÓ

- 10.COSSOS GEOMÈTRICS. AREES- Poliedres.- Prismes.- Piràmides.- Cossos de revolució.

- 9.COSSOS GEOMÈTRICS- Aprofundir en els continguts de Segon.- Aplicar Pitàgores a l’espai.

-

- 11.VOLUM DE COSSOS GEOMÈTRICS

- Volum d’un cos.- Volum d’un ortoedre.- Volum de prismes i cilindres.- Volum de piràmides i cons- Volum de l’esfera.

-

- - 10.MOVIMENTS I SEMBLANCES- Moviments en el pla- Translacions- Girs- Simetries

- 8.GEOMETRIA ANALÍTICA- Vectors- Operacions amb vectors- Equacions de la recta- Propietats analítiques i mètriques- Incidència i paral·lelisme.

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs- 13.FUNCIONS I GRÀFIQUES - 12.FUNCIONS

- Coordenades cartesianes.- 11.FUNCIONS- Concepte de funció.

- 9.FUNCIONS- Concepte de funció

9

- Concepte de funció.- Representació gràfica d’una funció.- Estudi d’una funció.- Funció de proporcionalitat directa.- Funció de proporcionalitat inversa.

- Formes d’expressar una funció.- Característiques d’una funció

- Taules i gràfiques- Domini i recorregut- Funcions definides a trossos- Propietats de les funcions

- 12.FUNCIONS DE PROPORCIONALITAT

- Funció lineal- Funció afí.- Equacions i gràfiques- Equació de la recta que passa per dos

punts.- Rectes secants i paral·leles.- Funció de proporcionalitat inversa - Aplicacions

- 10FUNCIONS POLINÒMIQUES, RACIONALS I EXPONENCIALS

- Funcions polinòmiques: la paràbola- Funcions racionals: la hipèrbola- Funcions exponencials. Aplicacions.

- 14.ESTADÍSTICA I PROBABILITAT - 13.ESTADÍSTICA - 13ESTADÍSTICA - 11ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

- 12 DISTRIBUCIONS BIDIMENSIONALS

- 14.PROBABILITAT - 14 PROBABILITAT - 13 COMBINATÒRIA

- 14 PROBABILITAT

10

CURRICULUM ADAPTATCONJUNTS NUMÈRICS. CÀLCUL

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs- 1. NATURALS- Suma, resta i problemes- Taules de multiplicar: multiplicació i

divisió fins a dues xifres.- Problemes senzills amb les quatre

operacions fonamentals.- Càlcul de potències d’exponent natural :

quadrat, cub, etc.

- 0.REPÀS Repassar les quatre operacions elementals amb nombres naturals

- -

- 2. DIVISIBILITAT - Múltiples i divisors.- Criteris de divisibilitat per 2, 3 i 5.- Nombres primers. - Factorització.- Algoritme del minim comú múltiple i

màxim comú divisor

- 1.NOMBRES ENTERS i DIVISIBILITAT

- Múltiples i divisors.- Criteris de divisibilitat per 2, 3 i 5.- Nombres primers. - Factorització.- Algoritme del minim comú múltiple i

màxim comú divisor.- Utilització de nombres enters per a



- Sumes i restes senzilles de nombres enters.- Multiplicació i divisió: regla dels signes.-

- -

11

- 3. FRACCIONS - Fracció com a part de la unitat: fracció

pròpia.- Càlcul de la fracció d’un nombre.- Comparació i ordenació de fraccions

senzilles.- Fraccions equivalents.- Suma i resta de fraccions amb

denominadors petits.- Multiplicació i divisió de fraccions.

- 2.FRACCIONS - Repàs del concepte de fracció.- Càlcul de la fracció d’un nombre.- Comparació i ordenació de fraccions

senzilles.- Fraccions equivalents.- Suma i resta de fraccions amb tot tipus de

denominadors.- Multiplicació i divisió de fraccions

1.NOMBRES RACIONALS- Repàs de segon curs .- Relació entre nombres decimals i

racionals. Fracció generatriu.- Concepte de nombre racional

- Fracció generatriu

- Decimals: aproximació i error .

- 4.NOMBRES DECIMALS- Posicions de les xifres.- Operacions amb nombres decimals: suma,

resta, multiplicació i divisió.- Multiplicació i divisió per 10, 100, 1000,

etc.- Repàs de la divisió: passar de la fracció al

nombre decimal.

- 3.NOMBRES DECIMALS- Posicions de les xifres.- Operacions amb nombres decimals: suma,

resta, multiplicació i divisió.- Multiplicació i divisió per 10, 100, 1000,

etc.- Repàs de la divisió: passar de la fracció al

nombre decimal- Arrel quadrada. Aproximació decimal.- Aproximació i estimació.

2.NOMBRES REALS- Repas de les potències amb exponent

positiu.- Propietats de les potències amb exponent

natural .- Notació científica. Operacions..

1.NOMBRES REALS- Nombres racionals.- Nombres irracionals .- Recta real- Intervals- Aproximació de nombres reals

- 5.ENTERS- Utilització de nombres enters per a



- Sumes i restes senzilles de nombres enters.- Multiplicació i divisió: regla dels signes.

- - 2.POTÈNCIES I RADICALS- Potència d’exponent enter. Notació

científica.- Radicals: nomésarrels quadrades

- Operacions senzilles amb arrels quadrades.

- Aplicacions del teorema de Pitàgores

.

12

CURRICULUM ADAPTATÀLGEBRA

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs- 5.EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

- 6. EQUACIONS

Pas del llenguatge habitual al llenguatge algebraic.

Monomis Equacions de primer grau senzilles.

Problemes senzills de plantejament.

- 3.POLINOMIS- Llenguatge algebraic, monomis,

operacions amb monomis.- Polinomis.- Suma,resta i multiplicació de polinomis.- Factor comú.- Igualtats notables.

- 3.POLINOMIS

- Repas d’operacions amb polinomis

- Divisió de polinomis

- Regla de Ruffini.

- 4.EQUACIONS DE PRIMER I DE SEGON GRAU

- Repàs de segon. Resolució d’equacions de primer grau

amb parèntesis i denominadors.

- Equacions de segon grau.

- Resolució de problemes amb equacions

- 4. EQUACIONS

- Repàs d’equacions de primer i de segon grau

- Problemes de plantejament senzills..

- 5.SISTEMES D’EQUACIONS

- Introducció als sistemes d’equacions.

- Mètodes de resolució

- Resolució de problemes senzills.

- 5 SISTEMES D’EQUACIONS

- Repàs de Tercer

- Interpretació gràfica de la resolució de sistemes.

13

CURRICULUM ADAPTATMESURA

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs7.SISTEMA MÈTRIC DECIMAL

- Unitats de longitud, capacitat i massa.- Unitats de superficie.- Unitats de volum.- Conversió d’unitats.

7.PROPORCIONALITAT NUMÈRICA - Repàs del sistema mètric decimal.- Relació de proporcionalitat entre dues

magnituds.- Magnituds directament proporcionals.- Percentatges senzills.

- -

GEOMETRIA

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs

11.PERÍMETRES I ÀREES - Perímetre d’un polígon.- Àrea dels paral·lelograms.- Àrea d’un triangle.- Àrea del cercle.

- 9.FIGURES PLANES. ÀREES- Teorema de Pitàgores.- Arees de polígons.- Àrea de figures circulars.- Àngles en els polígons.- Angles de la circumferència

- 8.LLOCS GEOMÈTRICS.FIGURES PLANES.

- Teorema de Pitàgores- Aplicacions del teorema de Pitàgores.- Àrees de les figures planes.

7.TRIGONOMETRIA Raons trigonomètriques d’un angle

agut Resolució de triangles rectangles. Aplicacions de la trigonometria.

- - 9.COSSOS GEOMÈTRICS- Poliedres.Classificació.- Cossos de revolució.- Àrees i volums dels prismes i dels cossos

de revolució.

14

CURRICULUM ADAPTATFUNCIONS

Primer curs Segon curs Tercer curs Quart curs- 11.FUNCIONS- Concepte de funció.- Formes d’expressar una funció.- Característiques d’una funció

- 9.FUNCI´0 AFÍ- Concepte de funció- Taules i gràfiques- Interpretació del pendent

- 12.FUNCIONS DE PROPORCIONALITAT

- Introducció als eixos de coordenades.- Funció lineal- Funció afí.- Equacions i gràfiques- Equació de la recta que passa per dos

punts.- Rectes secants i paral·leles.

10 FUNCIONS POLINÒMIQUES, RACIONALS I EXPONENCIALS

- Funcions polinòmiques: la paràbola- Funcions racionals: la hipèrbola.- Funcions exponencials. Aplicacions.

15

I.E.S. Icària.Departament de Matemàtiques.

Avaluació per competències. Educació Secundària Obligatòria.BLOC 1 Numeració i càlcul

Con

tingu

ts

Competències Primer curs Segon cursComprendre els nombres i les diferents formes de representació

- Utilitzar nombres enters per a expressar canvis o valors (quantitats, temps, temperatures,...) per a resoldre problemes en diferents contextos.

- Utilitzar fraccions, decimals i percentatges per a resoldre problemes en diferents contextos.

- Comparar i ordenar fraccions, decimals i percentatges.- Utilitzar factoritzacions, múltiples i divisors de nombres

naturals en la resolució de problemes.- Utilitzar les diferents maneres d’expressar els nombres:

llenguatge verbal, representació gràfica i notació numèrica.

- Utilitzar raons i proporcions per a representar relacions entre quantitats.

- Identificar situacions de proporcionalitat directa i inversa a través d’un enunciat, d’una taula, d’una gràfica, d’una fórmula o una relació de magnituds expressades numèricament

- Relacionar fracció, decimal i percentatge. Utilitzar-ho en la resolució de problemes.

Comprendre el significat de les operacions

- Reconeixer el significat i efecte de les operacions amb fraccions, decimals, percentatges i nombres enters.

- Utilitzar les relacions inverses entre l’addició i la subtracció, la multiplicació i la divisió, elevar al quadrat i extraure l’arrel quadrada per a simplificar càlculs i resoldre problemes.

- Reconeixer el significat i efecte de les operacions amb fraccions: la fracció com a divisió, la fracció com a operador i la fracció com a raó de proporcionalitat. Aplicació a la resolució de problemes.

- Reconeixer el significat i efecte del càlcul amb percentatges: augments i disminucions percentuals. Aplicar-ho a la resolució de problemes.

Calcular amb fluïdesa i fer estimacions raonables

- Úsar algoritmes per calcular amb fraccions, decimals, percentatges i nombres enters.

- Seleccionar i usar l’eina més adequada per a calcular amb fraccions, decimals i percentatges (càlcul mental, estimació, paper i llapis). Argumentar la selecció.

- Desenvolupar estratègies de càlcul mental i d’estimació de càlculs, i comparar amb els resultats obtinguts a través dels càlculs exactes.

- Utilitzar les proporcions per a resoldre problemes d’escales, figures semblants i raons equivalents.

- Seleccionar el tipus de nombre més adequat per a cada situació: fracció, decimal i percentatge. Argumentar la selecció.

- Seleccionar i usar l’eina més adequada per a calcular (càlcul mental, estimació, calculadora, paper i llapis).Argumentar la selecció.

- Desenvolupar estratègies de càlcul mental i d’estimació de càlculs, i comparació amb els resultats obtinguts a través dels càlculs exactes.

16

BLOC 1 Numeració i càlcul C

ontin

guts

Competències Tercer curs Quart cursComprendre els nombres i les diferents formes de representació

- Relacinar i transformar fraccions i decimals, aproximar-los per excés i per defecte.

- Representar sobre la recta els nombres racionals. - Utilitzar grans nombres i nombres molt petits en la resolució

de problemes en diferents contextos.- Expressar grans nombres i nombres molt petits, amb diferents

representacions: expressió verbal, representació gràfica i notació científica.

- Utilitzar els nombres racionals i els nombres irracionals com ampliació dels conjunts numèrics en la resolució d’equacions i en la resolució de problemes . Aproximacions per excés i per defecte.

- Representar gràficamentls nombres racionals i irracionals damunt la recta.

- Relacionar els nombres irracionals i les potències d’exponent fraccionari.


- Efecte de la multiplicació, la divisió i el càlcul amb potències d’exponent enters en l’ordre de magnitud de les quantitats.

- Propietats de les operacions amb potències d’exponent enter i relació amb el càlcul en la resolució d’equacions i en la resolució de problemes.

- Relacionar el càlcul amb potències d’exponent fraccionari i el càlcul amb radicals en la resolució d’equacions i en la resolució de problemes .


- Usar la notació científica i de la calculadora amb nombres racionals (decimals i fraccions) grans nombres i nombres molt petits.

- Selecció i ús de l’eina més adequada per a calcular amb nombres racionals (decimals i fraccions), grans nombres i nombres molt petits (càlcul mental, estimació, calculadora, paper i llapis).

- Desenvolupament d’estratègies de càlcul mental i d’estimació de càlculs amb nombres racionals (decimals i fraccions), grans nombres i nombres molt petits i comparació amb els resultats obtinguts a través de càlculs exactes.

- Usar la calculadora en el càlcul amb nombres racionals i irracionals.

- Seleccionar i usar l’eina més adequada per a calcular amb nombres racionals i irracionals (càlcul mental, estimació, calculadora, paper i llapis).

- Desenvolupament d’estratègies de càlcul mental i d’estimació de càlculs amb nombres racionals i irracionals i comparació amb els resultats obtinguts a través de càlculs exactes

17

I.E.S. Icària.Departament de Matemàtiques.

Avaluació per competències. Educació Secundària Obligatòria.BLOC 2 Canvi i relacions

Con

tingu

ts

Competències Primer curs Segon cursComprendre patrons, relacions i funcions

- Representar, analitzar i generalitzar patrons de proporcionalitat directa.

- Representar, analitzar i generalitzar patrons de proporcionalitat directa i de proporcionalitat inversa.

Representar i analitzar situacions i estructures matemàtiques utilitzant símbols algebraics

- Comprendre els diferents usos de les variables.

- Utilitzar formes equivalents d’expressions algebraiques senzilles.

- Resoldre equacions lineals amb una incògnita.

- Relacionar expressions verbals, taules i gràfiques, en situacions de proporcionalitat directa i inversa

- Utilitzar l’àlgebra simbòlica per a representar situacions i resoldre problemes particularment els que presenten relacions de proporcionalitat directa i inversa.

- Utilitzar formes equivalents d’expressions algebraiques - Resoldre equacions lineals amb una o dues incògnites.

Utilitzar models matemàtics per a representar i comprendre relacions quantitatives

- Resoldre problemes utilitzant representacions diverses com taules i equacions de primer grau.

- Resoldre problemes utilitzant representacions diverses, com gràfiques, taules, equacions amb una o dues incògnites i expressions verbals.

Analitzar el canvi en contextos diversos

- Utilitzar diferents expressions per l’anàlisi del canvi de proporcionalitat directa: verbal, i tabular.

- Identificar i descriure situacions amb taxes de canvi constant o variables, i comparació entre elles.

18

Avaluació per competències. Educació Secundària Obligatòria.BLOC 2 Canvi i relacions

Con

tingu

ts

Competències Tercer curs Quart cursComprendre patrons, relacions i funcions

- Analitzar funcions d’una variable: domini de definició, creixement/decreixement i punts de tall amb els eixos, incloent-hi la funció de proporcionalitat directa, inversa i lineal.

- Analitzar funcions d’una variable: funció quadràtica i exponencial.

- Compredre les relacions funcionals.- Seleccionar i utilitzar diverses formes de

representació i passar de les unes a les altres.Representar i analitzar situacions i estructures matemàtiques utilitzant símbols algebraics

- Relacionar les expressions simbòliques i gràfiques lineals, posant especial atenció en el significat de l’ordenada a l’origen i del pendent.

- Resoldre equacions de 1r i 2n grau i sistemes d’equacions lineals amb fluïdesa. Interpretar-les gràficament.

- Utilitzar l’àlgebra simbòlica per a representar situacions i resoldre problemes particularment els que presenten relacions lineals.

- Manipular formes equivalents d’inequacions i relacions.

- Resoldre inequacions amb fluïdesa. - Interpretar-les gràficament.- Usar l’àlgebra simbòlica per representar i

explicitar relacions matemàtiques.


- Identificar relacions quantitatives fonamentals en una situació, i determinar el tipus de funció lineal que la modelitza.

- Usar expressions simbòliques, particularment lineals, per a representar relacions que provenen de diferents contextos.

- Elaborar conclusions raonables d’una situació, un cop modelitzada, particularment en situacions lineals

- Identificar relacions quantitatives fonamentals en una situació, i determinar el tipus de funció que la modelitza.

- Usar expressions simbòliques per a representar relacions que provenen de diferents contextos.

- Elaborar conclusions raonables d’una situació, un cop modelitzada.


- Utilitzar gràfiques o taules de valors per analitzar la naturalesa dels canvis quantitatius en relacions lineals.

- Utilitzar models lineals per estudiar situacions provinents de contextos diversos.

- Aproximar i interpretar les taxes de canvi a partir de dades gràfiques, numèriques o enunciats verbals.

19

Avaluació per competències. Educació Secundària Obligatòria.BLOC 3 Espai i forma

Con

tingu

ts

Competències Primer curs Segon cursAnalitzar les característiques i propietats de figures geomètriques de dues i tres dimensions i desenvolupar raonaments geomètrics sobre relacions geomètriques

- Descriure figures geomètriques de dues dimensions a partir de l’observació d’objectes de la realitat

- Relacionar els angles, longituds i àrees de figures semblants de dues dimensions

- Descriure figures geomètriques de tres dimensions a partir de l’observació d’objectes de la realitat

- Classificar objectes de dues i tres dimensions utilitzant les propietats que els defineixen.

- Relacionar perímetres, àrees i volums de figures semblants de tres dimensions.

- Usar arguments inductius i deductius respecte la congruència, la semblança i la relació pitagòrica en diferents contextos.

Aplicar transformacions i utilitzar la simetria per analitzar situacions matemàtiques

- Descriure la grandària, posició i orientació de figures.

- Aplicar els teoremes de Tales i Pitàgores en la resolució de problemes relatius a obtenir mesures.

Utilitzar la visualització, el raonament matemàtic i la modelització geomètrica per a resoldre problemes

- Representar en el plànol objectes en la resolució de problemes d’àrees.

- Reconeixer objectes geomètrics en contextos no matemàtics com l’art, les ciències i la vida quotidiana.

- Representar en el plànol objectes tridimensionals en la resolució de problemes d’àrees i volums.

- Construcir, composar i descomposar objectes complexos de dues i tres dimensions. Ús de croquis amb paper i llapis, models geomètrics.

20

Avaluació per competències. Educació Secundària Obligatòria.BLOC 3 Espai i forma

Con

tingu

ts

Competències Tercer curs Quart cursAnalitzar les característiques i propietats de figures geomètriques de dues i tres dimensions i desenvolupar raonaments geomètrics sobre relacions geomètriques

- Usar la proporcionalitat geomètrica i la semblança.

- Usar les relacions trigonomètriques per determinar longituds i mesures d’angles.

- Resoldre problemes utilitzant la trigonometria del triangle rectangle.

- Usar el raonament geomètric deductiu per establir o refutar conjectures en la resolució de problemes.

Localitzar i descriure relacions espacials mitjançant coordenades geomètriques i altres sistemes de representació

- Usar les coordenades cartesianes per analitzar situacions geomètriques.

- Usar les coordenades cartesianes per analitzar situacions on apareguin relacions trigonomètriques.


- Relacionar la semblança matemàtica en situacions d’ampliacions i reduccions.

- Calcular amb el factor d’escala.


- Utilitzar idees geomètriques per resoldre problemes d’altres disciplines, com per exemple el dibuix i les ciències de la naturalesa.

- Usar models geomètrics per facilitar la comprensió d’altres àrees de la matemàtica.

- Utilitzar idees geomètriques per resoldre problemes en contextos d’altres disciplines com l’art, l’arquitectura i la navegació.

21

Avaluació per competències. Educació Secundària Obligatòria.BLOC 4 Mesura

Con

tingu

ts

Competències Primer curs Segon cursComprendre els atributs mesurables dels objectes, i les unitats, sistemes i processos de mesura.

- Utilitzar les diferents unitats de mesura en la resolució de problemes.

- Aplicar les equivalències entre diferents unitats.- Usar mesures directes per aprofundir en els conceptes

de perímetre, àrea i volum.

- Relacionar longituds i àrees, i entre àrees i volums de figures.

- Seleccionar i usar un tipus d’unitat per a cada situació de mesura.

- Relacionar les unitats i usar la conversió entre unitats d’un mateix sistema en la resolució de problemes.

- Utilitzar la proporcionalitat geomètrica, la semblança i el Teorema de Pitàgores per obtenir mesures indirectes.

Aplicar tècniques, instruments i fórmules apropiats per a obtenir mesures i fer estimacions raonables

- Aplicar instruments adequats en les mesures d’objectes.- Estimar a simple vista les mesures d’objectes que ens

envolten amb les unitats de mesura adequades.- Aproximacions del nombre .- Desenvolupar estratègies per determinar perímetres i

àrees de figures planes.

- Desenvolupar estratègies per determinar perímetres i àrees de figures planes a partir del perímetre i l’àrea del cercle i del rectangle.

- Desenvolupar estratègies per determinar superfícies i volums de prismes, cilindres, piràmides, cons i esferes.

Tercer curs Quart cursComprendre els atributs mesurables dels objectes, i les unitats, sistemes i processos de mesura.

- Utilitzar la proporcionalitat geomètrica, la semblança i el Teorema de Pitàgores per obtenir mesures indirectes.

- Utilitzar la trigonometria i la semblança per obtenir mesures indirectes.


- Desenvolupar estratègies per determinar superfícies i volums de prismes, cilindres, piràmides, cons i esferes, de troncs de piràmides i de cons.

- Anàlitzar la precisió, l’exactitud i l’error aproximat en situacions de mesura en la resolució de

problemes de trigonometria.

22

Avaluació per competències. Educació Secundària Obligatòria.Bloc 5 Estadística i atzar

Con

tingu

ts

Competències Segon curs Tercer curs Quart cursFormular preguntes abordables amb dades i recollir, organitzar i presentar dades rellevants per respondre-les

- Formular preguntes, dissenyar estudis i recollir dades sobre una característica compartida per dues poblacions, o sobre diferents característiques d’una mateixa població.

- Representar les dades utilitzant taules i gràfics com diagrames de punts, de barres o de sectors.

- Diferenciar entre dades qualitatives i quantitatives

- Organitzar les dades en taules. - Presentar taules de freqüències absolutes

i relatives, ordinàries i acumulades.

- Utilitzar mostres en els estudis estadístics, necessitat, conveniència i representativitat.

- Diferenciar entre variables discretes i contínues.

- Agrupar en classes o intervals: histogrames i polígons de freqüències.

- Identificar de la gràfica més adequada per les dades que cal presentar.

- Caracteritzar els estudis estadístics ben dissenyats, tria de mostres i aleatorietat a les respostes i als experiments.

- Diferenciar entre dades quantitatives i qualitatives, dades unidimensionals i bidimensionals.

- Utilitzar histogrames, diagrames de caixa i núvols de punts.

Seleccionar i utilitzar mètodes estadístics apropiats per analitzar dades

- Utilitzar les mesures de centralització: mitjana, mediana i moda.

- Anàlitzar la dispersió: valor màxim, mínim i rang.

- Utilitzar conjuntament la mitjana, mediana, moda i rang per a realitzar comparacions i valoracions.

- Calcular i interpretar la mitjana, moda, quartils i mediana.

- Anàlitzar la dispersió: rang i desviació típica.

- Interpretar conjuntament la mitjana i la desviació típica per a realitzar comparacions i valoracions.

- Anàlitzar críticament les taules i gràfiques estadístiques en els mitjans de comunicació; detecció de fal·làcies.

- Utilitzar les mesures de centralització i dispersió per a realitzar comparacions entre diferents poblacions i característiques.

- Representar el núvol de punts, descriure la seva forma.

- Càlcular i interpretar el coeficient de correlació amb mitjans tècnics.

Desenvolupar i avaluar inferències i prediccions basades en dades

- Elaborar conclusions i prediccions basades en dades, i disseny d’estudis per investigar-les més a fons.

- Utilitzar observacions relatives a les diferències entre dues mostres per a la formulació de conjectures sobre les poblacions d’on han estat extretes.

- Formular conjectures sobre possibles relacions entre dues característiques d’una mostra.

- Comparar entre diversos tipus d’estudis estadístics, i determinació del tipus d’inferències que se’n poden derivar de cadascun.

- Formular conjectures sobre les possibles relacions entre dues característiques, a partir de rectes de regressió aproximades.

23


MATEMÀTIQUES Primer de l’E.S.O.


Processos que es desenvolupen durant el curs a través dels diferents continguts

Resolució de problemes (recollida de dades, disseny, identificació, distinció, predicció, simulació, estimació, desenvolupament d'estratègies, comprovació)

Raonament i prova (ús/utilització, interpretació, anàlisi, distinció, comparació, comprensió, selecció, significat, efecte)

Comunicació i representació (descripció, argumentació, expressió, representació, dibuix, elaboració, generació)

Connexions (aplicació, contextualització, relació, generalització, investigació, exploració, detecció, reconeixement)

Numeració i càlcul

Comprendre els nombres i les diferents formes de representació

Reconeixement del significat de diferents tipus de nombres en contextos diversos.

Utilització de nombres enters per a expressar valors o variacions (quantitats, valor monetari, temps, temperatures, etc.) per resoldre problemes en diferents contextos.

Utilització de fraccions, decimals i percentatges per a resoldre problemes en diferents contextos .

Comparació i ordenació de fraccions, decimals i percentatges.

Utilització de factoritzacions, múltiples i divisors en la resolució de problemes.

Expressió dels nombres: llenguatge verbal, representació gràfica i notació numèrica.

Utilització de models matemàtics per a la resolució de problemes recreatius i per a la determinació d'estratègies de resolució de jocs d'estratègia de tipus numèric.


Significat i efecte produït per les operacions amb fraccions, decimals, percentatges i nombres enters.

Utilització de les relacions inverses entre l'addició i la subtracció, la multiplicació i la divisió per a simplificar càlculs i resoldre problemes.


Ús d'algorismes per calcular amb fraccions, decimals, percentatges i nombres enters. Ús de la jerarquia i propietats de les operacions.

Selecció i ús de l'eina més adequada per a calcular amb fraccions, decimals i percentatges (càlcul mental, estimació, calculadora i ordinador, paper i llapis). Argumentació de la selecció.

Desenvolupament d'estratègies de càlcul mental i d'estimació de càlculs, i comparació amb els resultats obtinguts a través dels càlculs exactes.

Canvi i relacions

Comprendre patrons, relacions i funcions

Representació, anàlisi i generalització de patrons diversos a partir de taules, gràfiques, paraules i, quan sigui possible, regles simbòliques.

Utilització de les TIC com a eina de suport, en la generació de taules i gràfiques i en l'anàlisi de les seves relacions.


Introducció a la comprensió dels diferents significats de les variables.


1 CONTINGUTS

25

Modelització i resolució de problemes utilitzant expressions verbals, taules i gràfiques.


Investigació del canvi que experimenta una variable en relació al temps en situacions concretes (per exemple, el creixement d'una planta).

Utilització de diferents expressions per l'anàlisi del canvi: verbal, tabular i gràfica.

Interpretació i construcció qualitativa de gràfics que expressen relacions de canvi.

Interpretació quantitativa de taules i gràfics que expressen relacions de canvi.

Espai i forma

Analitzar les característiques i propietats de figures geomètriques de dues i tres dimensions i desenvolupar raonaments sobre relacions geomètriques

Descripció de figures geomètriques de dues i tres dimensions a partir de l'observació d'objectes de la realitat.

Exploració de figures geomètriques i anàlisi de les seves característiques mitjançant geoplans, papers pautats (punts, línies), programes informàtics dinàmics.


Descripció de la grandària, la posició i l'orientació de figures.

Detecció de simetries en l'entorn proper (natura, construccions, etc.) i fer-ne la representació .


Dibuix d'objectes geomètrics a partir de dades (longituds i angles), mitjançant instruments de dibuix (regle, escaire, compàs i transportador).

Representació plana d'objectes en la resolució de problemes d'àrees.

Reconeixement de la forma dels objectes en contextos diversos (l'arquitectura, l'art, la naturalesa, el disseny i la vida quotidiana).

Utilització de models geomètrics per a la resolució de problemes recreatius i per a la determinació d'estratègies de resolució de jocs d'estratègia de tipus geomètric.

Mesura

Comprendre els atributs mesurables dels objectes, i les unitats, sistemes i processos de mesura

Utilització de les diferents unitats de mesura en la resolució de problemes.

Aplicació de les equivalències entre diferents unitats en situacions on tinguin sentit.

Ús de mesures directes per aprofundir en els conceptes de perímetre, àrea i volum.


Aplicació d'instruments adequats en les mesures d'objectes.

Estimació a vista de mesures d'objectes que ens envolten utilitzant unitats de mesura adequades.

Desenvolupament d'estratègies per determinar perímetres i àrees de figures planes a partir del perímetre i l'àrea de figures elementals (rectangle, cercle).

Utilització de la mesura del temps i de les seves unitats en la resolució de problemes.

Estadística i atzar

Formular preguntes abordables amb dades i recollir, organitzar i presentar dades rellevants per respondre-les

Disseny d'investigacions per abordar preguntes.

Recollida o identificació de dades a través d'observacions, enquestes i experiments.

Representació de dades utilitzant taules i gràfics adequats (diagrames de punts, de barres i de sectors).

Distinció entre dades qualitatives i quantitatives.

26

Ús del full de càlcul, i de les TIC en general, per a l'organització de dades, realització de càlculs i generació de gràfics adequats.


Descripció de la forma i de les característiques d'un conjunt de dades, i comparació de diferents distribucions de dades entre conjunts relacionats.

Utilització de les mesures de centralització (mitjana i mediana) i anàlisi del seu significat.

Comparació de representacions diferents d'un mateix conjunt de dades.


Elaboració de conclusions i prediccions basades en dades i disseny de nous estudis.

Interpretació de gràfics i taules que representen dades estadístiques.

Comprendre i aplicar conceptes bàsics de probabilitat

Identificació de successos probables o no probables, i discussió del grau de probabilitat (qualitatiu) utilitzant expressions com segur, igualment probable i improbable.

Predicció de la probabilitat de resultats d'experiments senzills i comprovació de les prediccions a través de la prova experimental reiterada.

Identificació de la probabilitat d'un succés amb un nombre comprès entre 0 i 1.

Utilització de les TIC com a suport per a la realització de càlculs i simulacions.

27

UNITAT 1. Nombres naturals

OBJECTIUS

Realitzar les operacions amb nombres naturals (suma, resta, multiplicació i divisió) i operacions combinades de les anteriors.

Diferenciar entre divisió exacta i sencera, i establir-ne la relació entre els termes. Expressar les potències de base i exponent naturals. Efectuar el producte i el quocient de potències de la mateixa base i la potència d'una potència. Calcular arrels quadrades exactes i senceres, així com els seus residus. Aplicar adequadament la jerarquia de les operacions i els parèntesi en les operacions combinades. Aproximar nombres naturals per arrodoniment i per truncament, i calcular l'error comès en

efectuar una aproximació. Resoldre situacions i problemes de la vida quotidiana que requereixin l'ús d'operacions amb

nombres naturals.

CONTINGUTS

Conceptes Ordenació dels nombres naturals. Operacions bàsiques amb els nombres naturals. Potències d’exponent natural. Operacions amb potències: producte i quocient de potències de la mateixa base

i potència d’una potència. Arrel quadrada exacta i sencera d’un nombre natural. Aproximacions i error.

Procediments, destreses i habilitats

Aplicació de les propietats de les operacions amb nombres naturals en la resolució de problemes.

Càlcul del producte i el quocient de potències de la mateixa base i la potència d’una potència.

Determinació de l’arrel quadrada exacta o sencera i el residu d’un nombre natural.

Càlcul d’operacions combinades amb i sense calculadora. Aproximacions de nombres naturals per arrodoniment o truncament, i calcular-

ne l’error comès. Resolució de problemes reals que impliquen el càlcul amb nombres naturals.

Actituds Valoració de la precisió i utilitat del llenguatge numèric per representar, comunicar i resoldre situacions de la vida quotidiana.

Confiança en les pròpies capacitats per afrontar problemes i realitzar càlculs i estimacions numèriques.

Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes numèrics.

COMPETÈNCIES QUE ES TREBALLEN EN LA UNITAT

Interpretar críticament informació recollida de diversos contextos que conté nombres naturals, relacionar-los i utilitzar-los.

2 Programació d’aula

28

Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres naturals, i decidir si és necessària una resposta exacta o aproximada i aplicar amb seguretat el mode de càlcul més adequat (mental, algoritmes de llapis i paper, calculadora).

Utilitzar, de manera autònoma i raonada, estratègies per abordar situacions problema i problemes-tipus, planificant adequadament el procés de resolució, desenvolupant-lo de manera clara i ordenada i mostrant seguretat i confiança en les pròpies capacitats.

CRITERIS D’AVALUACIÓ

Aplicar les propietats fonamentals de la multiplicació. Diferenciar entre divisió exacta i sencera i realitzar-ne ambdues de forma correcta. Utilitzar la propietat fonamental de la divisió exacta i sencera. Realitzar operacions amb potències de base i exponent natural. Calcular el producte i el quocient de potències de la mateixa base i la potència d’una potència. Trobar l’arrel quadrada exacta d’un nombre quadrat perfecte. Calcular l’arrel quadrada sencera i el residu d’un nombre. Realitzar operacions combinades de nombres naturals, respectant la jerarquia de les operacions i

els parèntesi.

29

UNITAT 2. Divisibilitat

OBJECTIUS

Reconèixer si un nombre és múltiple o divisor d'un altre nombre donat. Aplicar les propietats dels múltiples i divisors per resoldre problemes. Utilitzar els criteris de divisibilitat per 2, 3, 5, 10 i 11 en la resolució de problemes. Distingir si un nombre és primer o compost. Calcular tots els divisors d'un nombre. Factoritzar un nombre. Trobar el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos nombres, descomponent-los en

factors primers. Resoldre problemes de la vida real on apareguin conceptes de divisibilitat.

CONTINGUTS

Conceptes Reconèixer si un nombre és múltiple o divisor d'un altre nombre donat. Aplicar les propietats dels múltiples i divisors per resoldre problemes. Utilitzar els criteris de divisibilitat per 2, 3, 5, 10 i 11 en la resolució de

problemes. Distingir si un nombre és primer o compost. Calcular tots els divisors d'un nombre. Factoritzar un nombre. Trobar el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos nombres,

descomponent-los en factors primers. Resoldre problemes de la vida real on apareguin conceptes de divisibilitat.


Determinació de si un nombre és múltiple o divisor d’un altre nombre donat. Obtenció de tots els divisors d’un nombre. Determinació de si un nombre és primer o compost. Descomposició d’un nombre en producte de factors primers. Obtenció del màxim comú divisor i del mínim comú múltiple d’un conjunt de

nombres, a partir de la descomposició en producte de factors primers.Actituds Valoració de la utilitat de la divisibilitat en distints contextos.

Sensibilitat i interès davant les informacions de tipus numèric que apareixen en la vida quotidiana.

Confiança en les pròpies capacitats per resoldre problemes.

30


Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contexts numèrics. Utilitzar, de manera autònoma i raonada, estratègies per abordar situacions-problema i problemes-

tipus, planificant adequadament el procés de resolució, desenvolupant-lo de manera clara i ordenada, i mostrant seguretat i confiança en les pròpies capacitats.

Conèixer, valorar i utilitzar sistemàticament conductes associades a l'activitat matemàtica, com ara ordre, contrast, precisió i revisió sistemàtica, i crítica dels resultats.


Reconèixer si un nombre és múltiple o divisor d’un altre nombre donat. Obtenir múltiples d’un nombre. Formular i aplicar els criteris de divisibilitat. Determinar si un nombre és primer o compost. Trobar tots els divisors d’un nombre. Calcular la descomposició en factors primers d’un nombre. Obtenir el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos nombres a partir de la

descomposició en factors primers. Resoldre problemes de divisibilitat en contexts reals, utilitzant el màxim comú divisor i el mínim

comú múltiple.

31

UNITAT 3. Fraccions

OBJECTIUS

Conèixer i utilitzar adequadament les diverses interpretacions d’una fracció. Distingir si dues fraccions són equivalents i calcular fraccions equivalents a una fracció donada. Amplificar i simplificar fraccions. Calcular la fracció irreductible d’una fracció. Reduir fraccions a comú denominador. Comparar i ordenar fraccions. Sumar i restar fraccions amb el mateix i amb distint denominador. Multiplicar i dividir fraccions. Resoldre problemes quotidians on hi hagi fraccions.

CONTINGUTS

Conceptes Interpretacions d’una fracció. Fraccions pròpies i impròpies. Fraccions equivalents. Amplificació i simplificació. Fracció irreductible. Comparació de fraccions. Reducció de fraccions a comú denominador. Suma i resta de fraccions. Multiplicació de fraccions. Fracció inversa. Divisió de fraccions.


Utilització de les distintes interpretacions d’una fracció. Obtenció de fraccions equivalents a una fracció donada. Determinació de la fracció irreductible. Obtenció del comú denominador de diverses fraccions. Comparació de fraccions. Operacions amb fraccions. Resolució de problemes reals que impliquen la realització de càlculs amb

fraccions.Actituds Valoració de la precisió, simplicitat i utilitat del llenguatge numèric per

representar, comunicar o resoldre problemes de la vida diària.

32


Interpretar críticament informació recollida de diversos contexts i que conté distints tipus de nombres (naturals i fraccionaris), relacionar-los i utilitzar-los, seleccionant-ne la representació més adequada en cada cas.

Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres naturals i fraccions aplicant amb seguretat el mètode de càlcul més adequat (mental, algoritmes de llapis i paper o calculadora).

Utilitzar, de manera autònoma i raonada, estratègies per abordar situacions-problema i problemes-tipus, planificant adequadament el procés de resolució, desenvolupant-lo de manera clara i ordenada, i mostrant seguretat i confiança en les pròpies capacitats.


Utilitzar de manera adequada les distintes interpretacions d’una fracció. Determinar si dues fraccions són equivalents. Amplificar i simplificar fraccions. Obtenir la fracció irreductible d’una fracció donada. Ordenar un conjunt de fraccions. Reduir un conjunt de fraccions a comú denominador. Sumar, restar, multiplicar i dividir fraccions, tant si tenen igual denominador com distint. Realitzar operacions combinades amb fraccions, respectant-ne la jerarquia de les operacions. Resoldre problemes reals on hi hagi fraccions.

33

UNITAT 4. Nombres decimals

OBJECTIUS

Escriure l’expressió polinòmica d’un nombre decimal exacte i calcular-ne la fracció decimal. Comparar i ordenar nombres decimals. Obtenir l’expressió decimal exacta o periòdica d’una fracció qualsevol. Fer sumes i restes de decimals escrits en forma ordinària o en forma de fracció decimal. Fer multiplicacions i divisions de nombres decimals. Estimar el resultat d’operacions amb nombres decimals per mitjà del càlcul mental i

l’arrodoniment amb diversos nivells d’aproximació. Comprovar amb una estimació si el resultat d’una operació amb decimals és correcte o no.

CONTINGUTS

Conceptes Part entera i decimal d’un nombre decimal. Comparació de nombres decimals. Nombres decimals exactes i periòdics. Sumes i restes de nombres decimals. Arrodoniment i truncament. Multiplicació i divisió de nombres decimals.


Expressió d’un nombre decimal com a fracció decimal. Càlcul de l’expressió decimal d’una fracció qualsevol. Comparació de dos nombres decimals. Resolució de sumes i restes de nombres decimals per mitjà de fraccions

decimals o pel mètode habitual. Multiplicació i divisió de nombres decimals. Arrodoniment i estimació del resultat d’operacions amb nombres decimals.

Actituds Confiança en les capacitats pròpies per afrontar problemes i fer càlculs i estimacions numèriques.

COMPETÈNCIES QUE S’HI TREBALLEN

Interpretar críticament informació que prové de diversos contexts, que conté diferents classes de nombres (naturals, fraccionaris i decimals), relacionar-los i utilitzar-los, i triar la representació més adient en cada cas.

Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres naturals, fraccions i decimals, i aplicar amb seguretat la forma de càlcul més pertinent (mental, llapis i paper o calculadora).

Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contexts numèrics.


Escriure l’expressió polinòmica d’un nombre decimal exacte. Comparar i ordenar nombres decimals. Calcular la fracció decimal associada a un nombre decimal.

34

Obtenir l’expressió decimal exacta o periòdica d’una fracció qualsevol. Calcular sumes, restes, multiplicacions i divisions de nombres decimals. Estimar el resultat d’operacions amb nombres decimals mitjançant el càlcul mental i

l’arrodoniment. Comprovar mitjançant una estimació el resultat d’una operació.

35

UNITAT 5. Nombres enters

OBJECTIUS

Reconèixer la presència dels nombres enters en diferents contexts reals. Representar nombres enters en la recta real. Comparar nombres enters. Obtenir el valor absolut d’un nombre enter. Trobar l’oposat d’un nombre enter. Emprar el valor absolut per sumar nombres enters. Restar nombres enters sumant al primer l’oposat del segon. Fer multiplicacions de nombres enters emprant la regla dels signes. Dividir nombres enters aplicant la regla dels signes.

CONTINGUTS

Conceptes Nombres enters positius i negatius. Valor absolut d’un nombre enter. Oposat d’un nombre enter. Representació i comparació d’enters. Suma i resta de nombres enters. Multiplicació i divisió de nombres enters. Regla dels signes.


Càlcul del valor absolut d’un nombre enter. Comparació i representació d’un conjunt de nombres enters. Càlcul de l’oposat d’un nombre enter. Resolució de sumes i restes de nombres enters. Resolució d’operacions combinades amb nombres enters. Multiplicació de nombres enters. Resolució de la divisió de dos nombres enters quan sigui possible.

Actituds Perseverança i flexibilitat a l’hora de cercar solucions als problemes numèrics. Respecte i valoració de les solucions aportades pels altres.


Interpretar críticament informació que prové de diversos contexts, que conté diferents tipus de nombres (naturals, enters, fraccionaris i decimals), relacionar-los i utilitzar-los, i triar la representació més adient en cada cas.

Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres (naturals, enters, fraccions i decimals), decidint si cal una resposta exacta o aproximada i aplicant amb seguretat la forma de càlcul més pertinent (mental, algoritmes de llapis i paper o calculadora).

Conèixer, valorar i usar sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com ara l’ordre, el contrast, la precisió i la revisió sistemàtica, i la crítica dels resultats.


Interpretar i utilitzar els nombres enters en diferents contexts reals. Representar els nombres enters en la recta real.

36

Comparar nombres enters. Obtenir el valor absolut d’un nombre enter. Calcular l’oposat d’un nombre enter. Sumar, restar i multiplicar nombres enters. Dividir dos nombres enters (i determinar primer si és possible fer aquesta divisió), dividint-ne els

valors absoluts i emprant la regla dels signes. Utilitzar la jerarquia i les propietats de les operacions, i les regles d’ús de parèntesis i signes, en

càlculs d’operacions combinades amb parèntesis i sense parèntesis.

37

UNITAT 6. Iniciació a l’àlgebra

OBJECTIUS

Distingir entre llenguatge numèric i algebraic. Obtenir el valor numèric d’una expressió algebraica. Sumar i restar monomis semblants. Diferenciar entre igualtat numèrica i igualtat algebraica. Reconèixer la diferència entre identitats i equacions. Distingir els membres i termes d’una equació. Obtenir la solució d’una equació de primer grau amb una incògnita. Resoldre problemes reals mitjançant la resolució d’equacions de primer grau.

CONTINGUTS

Conceptes Llenguatge numèric i algebraic. Expressió algebraica. Valor numèric. Monomis. Coeficient i part literal. Monomis semblants. Suma i resta. Igualtats algebraiques: identitat i equació. Resolució d’una equació. Equacions equivalents. Mètode general de resolució d’equacions. Resolució de problemes mitjançant equacions.


Expressió d’enunciats, donats en llenguatge usual, en llenguatge algebraic, i viceversa.

Càlcul del valor numèric d’una expressió algebraica. Suma i resta de monomis semblants. Distinció entre equacions i identitats algebraiques. Comprovació de la solució d’una equació. Aplicació del mètode general de resolució d’equacions de primer grau amb

una incògnita. Plantejament i resolució d’equacions per trobar la solució de problemes

senzills en la vida real.Actituds Valoració del llenguatge algebraic com un llenguatge clar, concís i útil per

resoldre situacions problemàtiques de la vida quotidiana.


Representar relacions i patrons numèrics, proposant, utilitzant i manipulant expressions algebraiques senzilles.

Emprar, de manera raonada, el mètode analític de resolució de problemes mitjançant equacions i aplicar amb destresa els algoritmes de resolució d’equacions de primer grau.


38


Distingir entre llenguatge numèric i algebraic, i passar de l’un a l’altre. Obtenir el valor numèric d’una expressió algebraica. Sumar i restar monomis semblants. Diferenciar entre identitats i equacions. Distingir els membres i els termes d’una equació. Aplicar el mètode general de resolució d’una equació de primer grau amb una incògnita. Resoldre problemes reals mitjançant equacions de primer grau.

39

UNITAT 7. Sistema mètric decimal

OBJECTIUS

Reconèixer la necessitat de mesurar, valorar la utilitat dels instruments de mesura i conèixer-ne els més importants.

Definir el metre com a la unitat de longitud principal, el quilogram de massa, el litre de capacitat, el metre quadrat de superfície i el metre cúbic de volum.

Fer canvis d’unitats en mesures de longitud, massa, capacitat, superfície i volum. Passar diferents mesures de forma complexa a incomplexa, i viceversa. Obtenir el volum d’un cub com a extensió de les unitats de volum. Reconèixer la relació entre les mesures de volum i de capacitat. Utilitzar les relacions entre les unitats de volum i massa per a l’aigua destil·lada. Resoldre problemes quotidians en els quals cal fer servir o convertir diferents unitats.

CONTINGUTS

Conceptes Magnituds. Unitats de mesura. Unitats de longitud, capacitat, massa, superfície i volum. Formes complexes i incomplexes.


Utilització de diferents unitats de mesura per mesurar una quantitat de certa magnitud.

Transformació d’unes unitats de mesura en unes altres. Traducció de mesures en forma complexa a forma incomplexa, i viceversa. Expressió d’una mesura en la unitat adient al context.

Actituds Hàbit d’expressar els resultats numèrics de les mesures amb les unitats de mesura emprades.

Reconeixement i valoració de les mesures per transmetre informacions relatives a l’entorn.


Resoldre situacions-problema, tant individualment com en grup, que requereixen l’ús de magnituds, utilitzant les unitats en l’ordre de magnitud adequat.

Emprar, individualment i en grup, instruments, tècniques i fórmules per mesurar longituds, pesos, capacitats, etc.

Valorar i integrar-se en el treball en grup per a la realització d’activitats de diversa mena, com a base de l’aprenentatge matemàtic, de la formació de l’autoestima i de valors socials assumits per la societat.


40

Reconèixer la necessitat de mesurar i emprar unitats de mesura adients. Utilitzar les unitats de longitud, massa, capacitat, superfície i volum. Fer canvis d’unitats en mesures de longitud, massa, capacitat, superfície i volum. Reconèixer la relació entre les mesures de volum i de capacitat. Fer servir les relacions entre les unitats de volum i massa per a l’aigua destil·lada.

41

UNITAT 8. Proporcionalitat numèrica

OBJECTIUS

Esbrinar si dues raons formen proporció o no. Completar taules de proporcionalitat i sèries de raons iguals. Emprar les raons entre quantitats per tal de resoldre problemes en contexts reals. Distingir si dues magnituds són proporcionals o no. Identificar magnituds directament proporcionals. Identificar magnituds inversament proporcionals. Calcular percentatges i resoldre problemes reals en què n’apareguin.

CONTINGUTS

Conceptes Raó entre dos nombres. Proporcions. Magnituds directament proporcionals. Magnituds inversament proporcionals. Percentatges.


Càlcul del terme desconegut en una proporció. Distinció de la relació de proporcionalitat entre dues magnituds. Elaboració de taules de proporcionalitat. Càlcul de percentatges. Resolució de problemes amb percentatges.

Actituds Incorporació al llenguatge quotidià de termes relacionats amb la mesura de magnituds per descriure situacions.

Gust per la resolució ordenada de problemes de proporcionalitat.


Identificar relacions de proporcionalitat numèrica (directa i inversa) i resoldre problemes en els quals s’usen aquestes relacions, amb un èmfasi especial en els problemes-tipus que s’hi associen.

Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contexts numèrics i alfanumèrics. Valorar i integrar-se en el treball en grup per a la realització d’activitats de diversa mena, com a

base de l’aprenentatge matemàtic, de la formació de l’autoestima i de valors socials assumits pel nostre entorn.


Distingir si dues raons formen proporció o no, i calcular el quart i el mitjà proporcionals. Distingir si dues magnituds són directament proporcionals o no. Distingir si dues magnituds són inversament proporcionals o no. Completar taules de proporcionalitat i sèries de raons iguals. Calcular tants per cent.

42

Resoldre problemes reals amb tants per cent.

43

UNITAT 9. Angles i rectes

OBJECTIUS

Distingir entre recta, semirecta i segment. Reconèixer les diferents posicions que poden tenir dues rectes en el pla. Distingir les classes d’angles i establir diferents relacions entre aquests. Sumar i restar angles, multiplicar un angle per un nombre i dividir un angle en dos angles iguals. Sumar i restar amplituds d’angles i temps en el sistema sexagesimal. Resoldre problemes de la vida real que impliquen operacions amb angles i temps.

CONTINGUTS

Conceptes Recta, semirecta i segment. Posicions de dues rectes en el pla. Classes d’angles i relacions entre ells. Unitats de mesura d’angles i temps. Operacions amb angles. Angles complementaris, suplementaris, consecutius, adjacents i oposats pel

vèrtex. Suma i resta en el sistema sexagesimal.


Sumes i restes de dos o més angles donats. Multiplicació per un nombre i càlcul de la bisectriu d’un angle qualsevol. Expressió de la mesura d’un angle en el sistema sexagesimal. Pas d’unes unitats de mesura d’angles i temps a unes altres. Suma i resta de mesures d’angles i temps en el sistema sexagesimal. Càlcul del valor de diferents angles en contexts geomètrics, coneguts els valors

d’uns altres angles.Actituds Incorporació al llenguatge quotidià dels termes de mesura per descriure

amplituds d’angles i temps. Cura i precisió en l’ús d’instruments de mesura i en la realització de

mesuraments.


Identificar relacions de proporcionalitat numèrica (directa i inversa) i resoldre problemes en els quals s’usen aquestes relacions, amb un èmfasi especial en els problemes-tipus que s’hi associen.

Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contexts numèrics i alfanumèrics. Conèixer, valorar i usar sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com ara

l’ordre, el contrast, la precisió i la revisió sistemàtica, i la crítica dels resultats.


Utilitzar la terminologia i notació adients per descriure angles, posicions de rectes i situacions geomètriques.

Emprar el transportador en la mesura i construcció d’angles.

44

Comparar angles per superposició i per mitjà del transportador. Fer operacions senzilles amb angles gràficament. Utilitzar les operacions amb mesures d’angles i temps en la resolució de problemes. Reconèixer i cercar relacions de paral·lelisme i perpendicularitat d’angles.

45

UNITAT 10. Polígons i circumferència

OBJECTIUS

Classificar els polígons segons els costats i segons els angles. Reconèixer les rectes i els punts notables d’un triangle. Construir triangles, donats alguns dels seus elements. Aplicar el teorema de Pitàgores en la resolució de problemes geomètrics i de la vida real. Classificar un quadrilàter. Aplicar les propietats dels paral·lelograms en la resolució de problemes. Distingir entre circumferència i cercle. Reconèixer les posicions diferents que poden tenir una recta i una circumferència, i dues

circumferències. Descriure els elements dels polígons regulars: centre, radi i apotema.

CONTINGUTS

Conceptes Polígon. Classes de polígons. Triangles: classificació. Elements d’un triangle. Teorema de Pitàgores. Quadrilàters: classificació. Paral·lelograms: propietats. Rectes i circumferències. Posicions relatives. Posicions relatives de dues circumferències. Càlcul de l’angle central d’un polígon regular. Obtenció de l’angle interior d’un polígon regular.


Classificació d’un triangle qualsevol. Càlcul d’un dels costats d’un triangle rectangle, donats els altres dos. Construcció d’un triangle, coneguts alguns dels seus elements. Aplicació de les propietats dels paral·lelograms en la resolució de problemes. Construcció de paral·lelograms, donades unes dades. Reconeixement de la posició relativa d’un punt i una circumferència. Determinació de la posició relativa d’una recta i una circumferència. Distinció de la posició relativa de dues circumferències.

Actituds Curiositat i interès per investigar formes i característiques geomètriques. Valoració de les mesures per transmetre informacions relatives a l’entorn. Gust per la representació clara i ordenada de figures geomètriques.


Identificar, analitzar, descriure i construir figures planes presents tant en el medi social com en el medi natural, i utilitzar les propietats geomètriques que s’hi associen en les situacions requerides.

46

Visualitzar objectes geomètrics tridimensionals senzills i obtenir-ne diferents representacions planes, actuant amb habilitat i creativitat.

Emprar instruments, tècniques i fórmules, individualment i en grup, per mesurar longituds, angles, àrees i volums de figures i cossos geomètrics.


Reconèixer i classificar els tipus de polígons. Classificar els triangles segons els costats i segons els angles. Obtenir les rectes i els punts notables d’un triangle. Utilitzar el teorema de Pitàgores en el càlcul del costat d’un triangle rectangle, coneguts els altres

costats, i en la resolució de problemes reals. Classificar un quadrilàter. Resoldre problemes aplicant les propietats dels polígons. Reconèixer els elements de la circumferència. Distingir les posicions d’una recta i una circumferència, i de dues circumferències. Descriure els elements dels polígons regulars.

47

UNITAT 11. Perímetres i àrees

OBJECTIUS

Determinar el perímetre d’un polígon. Calcular la longitud d’una circumferència. Trobar la longitud d’un arc de circumferència l’amplitud del qual s’expressa en graus. Obtenir l’àrea d’un quadrat, rectangle, rombe, trapezi i de qualsevol polígon regular. Calcular l’àrea de qualsevol triangle. Trobar l’àrea d’un cercle. Obtenir l’àrea d’un sector circular expressat en graus.

CONTINGUTS

Conceptes Perímetre d’un polígon. Longitud de la circumferència. Longitud d’un arc en graus. Àrees de paral·lelograms:

– Quadrat.– Rectangle.– Rombe.– Romboide.

Àrea d’un triangle. Àrees de no paral·lelograms: trapezis. Àrea d’un polígon regular. Àrea del cercle i del sector circular.


Ús de les fórmules de l’àrea de paral·lelograms, trapezi i polígon regular. Càlcul de l’àrea de qualsevol triangle. Obtenció de la longitud d’una circumferència i l’àrea del seu cercle. Determinació de l’àrea d’una figura plana qualsevol per descomposició en unes

altres figures d’àrea coneguda.Actituds Confiança en les possibilitats pròpies per percebre figures planes i resoldre

problemes geomètrics. Reconeixement i valoració de les relacions entre el llenguatge gràfic, algebraic

i numèric. Gust per la representació clara i ordenada de figures geomètriques. Reconeixement i valoració dels mètodes i termes matemàtics que apareixen en

l’estudi de la geometria. Interès i gust per la descripció verbal precisa de formes geomètriques.


Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, figures planes presents tant en el medi social com en el natural i utilitzar les propietats geomètriques que s’hi associen en les situacions requerides.

48

Utilitzar instruments, tècniques i fórmules, individualment i en grup, per mesurar longituds, angles i àrees de figures planes.

Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contexts geomètrics.


Calcular el perímetre d’una figura plana. Trobar l’àrea de qualsevol paral·lelogram coneixent-ne algunes de les dades. Determinar l’àrea d’un triangle. Calcular l’apotema d’un polígon regular. Trobar l’àrea d’un polígon regular. Obtenir l’àrea d’un cercle i d’un sector circular.

49

UNITAT 12. Poliedres i cossos de revolució

OBJECTIUS

Distingir els elements principals de poliedres regulars, prismes i piràmides. Conèixer i utilitzar la fórmula d’Euler. Reconèixer els tipus de cossos rodons més senzills. Distingir els elements principals dels cossos rodons.

CONTINGUTS

Conceptes Elements dels poliedres. Poliedres regulars. Prismes i piràmides. Fórmula d’Euler. Cossos rodons o de revolució.


Ús de la terminologia adient per descriure cossos geomètrics, els seus elements i les seves propietats.

Determinació de les condicions perquè un poliedre sigui regular. Obtenció del cos de revolució que determina una figura plana quan gira sobre

un eix.Actituds Confiança en les capacitats pròpies per percebre l’espai i afrontar i resoldre

problemes geomètrics. Curiositat i interès per investigar formes, configuracions i relacions

geomètriques. Gust per la presentació acurada del treballs geomètrics.


Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i habilitat, figures planes i cossos geomètrics presents tant en el medi social com en el natural i usar les propietats geomètriques que s’hi associen en les situacions requerides.

Visualitzar i representar objectes geomètrics tridimensionals senzills, actuant amb destresa i creativitat.

Valorar el treball en grup per a la realització d’activitats de diversa mena, com a base de l’aprenentatge matemàtic, de la formació de l’autoestima i de valors socials assumits pel nostre entorn.


Distingir les classes de poliedres i els seus elements. Reconèixer els poliedres regulars. Identificar prismes i piràmides, com també els seus elements característics. Obtenir el desenvolupament de prismes i piràmides. Reconèixer cossos rodons i els seus elements. Obtenir el desenvolupament de cossos rodons.

50

UNITAT 13. Funcions i gràfiques

OBJECTIUS

Representar i localitzar punts en un sistema de coordenades cartesianes, emprant el vocabulari i les tècniques adequades.

Interpretar gràfiques de punts i línies en un sistema de coordenades, i analitzar la informació que contenen.

Treballar amb l’expressió algebraica d’una funció, amb una taula o amb un enunciat, i passar d’unes a altres en casos senzills.

Realitzar activitats en què es descriguin i s’interpretin relacions entre dues magnituds, emprant, quan sigui possible, valors organitzats en taules.

Conèixer si dues variables estan relacionades, i distingir entre variable dependent i independent. Investigar i interpretar relacions funcionals senzilles, en les quals s’identifiquin les variables que

hi apareixin i que corresponguin a fenòmens de la vida quotidiana.

CONTINGUTS

Conceptes Coordenades cartesianes. Interpretació de gràfiques. Taules i expressió algebraica d’una funció. Representació gràfica de funcions. Comparació de gràfiques.


Determinació d’un punt en un eix de coordenades a partir de les seves coordenades cartesianes.

Localització de les coordenades cartesianes d’un punt en el pla. Construcció de taules de parells de valors ordenats. Construcció i interpretació de gràfiques a partir de taules, fórmules i

descripcions verbals d’un problema. Interpretació i utilització de gràfiques per resoldre problemes.

Actituds Reconeixement i valoració de les relacions entre llenguatge gràfic, algebraic i numèric.

Confiança en les possibilitats pròpies per afrontar problemes i fer càlculs.


Identificar i interpretar relacions funcionals expressades de maneres diferents (verbal, tabular, gràfica i algebraica), fent les transferències que calguin entre les diverses formes de representació.

Usar de manera comprensiva el llenguatge algebraic per tal d’expressar situacions problemàtiques i relacionar aquesta forma expressiva amb unes altres: tabular, gràfica, descriptiva, etc.



Representar i localitzar punts en un sistema de coordenades cartesianes. Interpretar gràfiques de punts i línies. Analitzar la informació d’una gràfica.

51

Treballar amb l’expressió algebraica d’una funció, una taula o un enunciat, i passar d’unes a altres en casos senzills.

Resoldre activitats en què es descriguin i s’interpretin relacions entre dues magnituds. Distingir si dues variables estan o no relacionades. Reconèixer les variables dependent i independent. Investigar i interpretar amb fluïdesa relacions funcionals senzilles entre dues variables que

reflecteixin fenòmens de la vida quotidiana.

52

UNITAT 14. Probabilitat

OBJECTIUS

Distingir entre experiment aleatori i determinista. Obtenir l’espai mostral d’un experiment aleatori. Reconèixer els esdeveniments elementals, l’esdeveniment segur i l’esdeveniment impossible d’un

experiment aleatori. Aplicar les propietats de les freqüències relatives en experiments aleatoris. Definir el concepte de probabilitat a partir de les freqüències relatives. Calcular la probabilitat de diversos esdeveniments aplicant la regla de Laplace.

CONTINGUTS

Conceptes Espai mostral. Esdeveniment elemental i esdeveniment compost. Freqüències absolutes i relatives. Llei dels grans nombres. Probabilitat d’un esdeveniment. Regla de Laplace.


Obtenció de l’espai mostral, els esdeveniments elementals, l’esdeveniment segur i l’esdeveniment impossible d’un experiment aleatori.

Determinació de les freqüències absolutes i relatives de diversos esdeveniments.

Ús de la regla de Laplace per al càlcul de probabilitats de diversos esdeveniments en contexts d’equiprobabilitat.

Actituds Anàlisi crítica de les informacions sobre fenòmens aleatoris. Valoració de la importància del càlcul de probabilitats en diferents contexts de

la vida diària.


Reconèixer situacions i fenòmens associats a la probabilitat i l’atzar, i resoldre problemes que s’hi associen.

Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres, decidint si cal una resposta exacta o aproximada, i aplicar amb seguretat la forma de càlcul més adient (mental, algoritmes de llapis i paper o calculadora).

Valorar el treball en grup per a la realització d’activitats de diversa mena, com a base de l’aprenentatge matemàtic, de la formació de l’autoestima i de valors socials assumits pel nostre entorn.

53


Reconèixer si un experiment és aleatori o determinista. Trobar l’espai mostral d’un experiment aleatori. Obtenir els esdeveniments elementals, segur i impossible d’un experiment aleatori . Obtenir la freqüència absoluta i la freqüència relativa d’un esdeveniment aleatori. Utilitzar les propietats de les freqüències relatives per resoldre diferents problemes. Aplicar la llei de Laplace per trobar la propietat de diversos esdeveniments. Calcular la probabilitat de la unió de dos esdeveniments compatibles o incompatibles.

54

Degut a la impossibilitat d’impartir la totalitat dels continguts d’aquesta matèria el Departament de Matemàtiques temporitza els continguts en base una programació real on les unitats que fan referència a Funcions i Gràfiques i Estadística i probabilitat s’imparteix en una optativa que cursa només una part de l’alumnat de Primer d’ESO. En general es preveu impartir:

Primer trimestre 1. Nombres naturals.

Potències, arrels quadrades, operacions combinades.

2. Divisibilitat.Criteris de divisibilitat, nombres primers, factorització, m.c.m.,m.c.d. Problemes de divisibilitat

3. Fraccions.Operacions Resolució de problemes

4. Nombres decimals. Breu repàs d’operacionsMultiplicació i divisió per potències de 10

5. Nombres enters.Introducció. Representació sobre la recta

Deures de vacances: Sistema Mètric Decimal.

Segon trimestre

5. Nombres enters.Regles de signes i operacions.

6. Iniciació a l’àlgebra.Expressions algebraiques,monomis, operacions amb monomis.

Equacions de primer grau amb una incògnita.

7. Repàs de sistema mètric decimal.

Tercer trimestre8. Proporcionalitat numèrica.

Proporcionalitat directa.Percentatges

9. Angles i rectes.

10. Polígons i circumferències.

11. Perímetres i àrees de polígons i circumferències.

3 DISTRIBUCIÓ TEMPORAL DELS CONTINGUTS DE PRIMER d’ESO

55

Primer i Segon de l’ESO

La nota corresponent a cada una de les tres avaluacions s’obtindrà a partir d’unes mitjanes ponderades. El 70% de la nota es el resultant de les proves diverses sobre el continguts que l’alumne o l’alumna realitzi durant el trimestre. El 20% de la nota correspondrà a la valoració del treball a classe, del treball a casa (deures) i de la correcta presentació de la llibreta. El 10% restant correspon a la valoració del comportament i l’actitud a classe.

Avaluació extraordinària a l’ESO

L’alumnat que arriba a final de curs amb un mínim de dues avaluacions aprovades i la seva mitjana sigui més gran o igual que 5 aprova el curs. En el cas que el resultat sigui insuficient es pot presentar a una prova extraordinària on s’examina de tot el curs i que li dóna l’oportunitat d’aprovar la matèria en el cas que la nota d’aquest examen sigui més gran o igual que 5.

La prova extraordinària serà la mateixa per a tots els alumnes suspesos d’un mateix nivell de l’ESO, exceptuant els alumnes que tinguin un curriculum adaptat, i serà el professorat de cada nivell l’encarregat de preparar de manera coordinada aquesta prova que es realitza a finals del mes de juny.

4 Criteris d’avaluació

56


MATEMÀTIQUES Segon de l’E.S.O.


57

1.Nombres enters Múltiples i divisors. Nombres primers. Descomposició en factors primers. Determinació de tots els divisors d’un nombre. Divisors comuns. Màxim comú divisor. Múltiples comuns. Mínim comú múltiple.

2.Fraccions Fraccions equivalents. Simplificació. Comparació de fraccions. Operacions amb fraccions Els nombres decimals i les fraccions. Càlcul amb fraccions en forma decimal. Aproximacions i arrodoniments.

3.Nombres decimals

4.Sistema sexagesimal. Sistema sexagesimal. Forma complexa i incomplexa Operacions en el sistema sexagesimal

5.Expressions algebraiques. Expressions algebraiques. Monomis i polinomis Operacions amb monomis i polinomis Factor comú Identitats notables.

6.Equacions i sistemes Identitat i equació Elements d’una equació. Transposició de termes. Resolució d’equacions de primer grau. Equacions lineals.

7. Proporcionalitat numèrica Raons i proporcions Terme desconegut d’uuna proporció La proporcionalitat directa Magnituds inversament proporcionals. Percentatges.

8. Proporcionalitat geomètrica

1 Continguts

58

Segments en el pla. Segments proporcionals. Teorema de Tales Aplicacions del Teorema de Tales Criteris de semblança de triangles. Polígons semblants Escales

9. Figures planes. Àrees El teorema de Pitàgores Àrea de polígons. Longitud de la circumferència Àrees de figures circulars. Angles en els polígons. Àngles en la circumferència.

10. Cossos en l’espai. Poliedres. Poliedres regulars. Prismes Piràmides. Cossos de revolució

11. Volum de cossos geomètrics. Volum d’un cos Volum, capacitat i massa. Densitat. Volum d’un ortoedre Volum de prismes i cilindres. Volum de la piràmide i el con. Volum de l’esfera.

12. Funcions. Eixos de coordenades. Concepte de funcio. Representació gràfica Estudi d’una funció. La funció de proporcionalitat directa. La funció de proporcionalitat inversa.

13. Estadística Estadística Tipus de variables Freqüències. Taules de freqüències. Gràfics estadístics Mesures de centralització Mesures de dispersió.

59

1. Nombres entersObjectius

• Reconèixer la presència dels nombres enters en diferents contextos.

• Calcular el valor absolut d’un nombre enter.

• Ordenar un conjunt de nombres enters.

• Fer sumes, restes, multiplicacions i divisions de nombres enters.

• Calcular i fer operacions amb potències amb base entera.

• Calcular l’arrel quadrada d’un nombre natural.

• Fer operacions combinades de nombres enters amb i sense parèntesis, respectant la jerarquia de les operacions.

• Trobar tots els divisors d’un nombre enter.

• Calcular el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple d’un conjunt de nombres enters.

Continguts

• Nombres enters. Representació i ordenació.

• Valor absolut d’un nombre enter. Oposat d’un nombre enter.

• Sumes i restes de nombres enters. Operacions combinades.

• Multiplicació de nombres enters. Divisió exacta de nombres enters.

• Potències d’exponent natural. Operacions amb potències.

• Arrel quadrada exacta d’un nombre enter. Arrel quadrada entera per defecte i per excés d’un nombre enter. Residus.

• Divisors d’un nombre enter.

• Divisibilitat en els nombres enters.

• Càlcul del m.c.d. i del m.c.m. de dos nombres enters descomponent-lo en factors primers.

• Jerarquia de les operacions, parèntesis i signes en el càlcul d’operacions combinades amb nombres enters.

• Precisió i utilitat del llenguatge numèric per representar, comunicar i resoldre situacions quotidianes.

• Respecte i valoració de les solucions aportades per altres companys.

• Utilització crítica i curosa de la calculadora.

Treball amb competències

Competència comunicativa lingüística i audiovisual• Interpretar de manera crítica informació provinent dels diversos contextos que contenen diferents

tipus de nombres; relacionar-los i fer-los servir triant-ne la representació adequada en cada cas.


60

Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic• Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres, decidir si és necessària una

resposta exacta o aproximada, i aplicar el mètode de càlcul més pertinent (mental, algoritmes de llapis i paper o calculadora).

Competència d’autonomia i iniciativa personal• Conèixer, valorar i fer servir sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com

l’ordre, el contrast, la precisió i la revisió sistemàtica i crítica dels resultats.

Criteris d’avaluació

• Comparar nombres enters i representar-los en la recta numèrica.

• Obtenir el valor absolut i l’oposat d’un nombre enter.

• Sumar i restar correctament nombres enters.

• Aplicar la regla dels signes en les multiplicacions i divisions de nombres enters.

• Fer operacions combinades, respectant la jerarquia de les operacions i els parèntesis.

• Fer divisions exactes de nombres enters.

• Calcular potències de base i exponent naturals.

• Fer servir, de manera adequada, les regles de les operacions amb potències, respectant la jerarquia de les operacions.

• Calcular l’arrel quadrada exacta i entera d’un nombre enter.

• Trobar el m.c.m. i m.c.d. d’un conjunt de nombres enters, per mitjà de la descomposició en producte de factors primers.

.

61

2. FraccionsObjectius

• Reconèixer i utilitzar les diferents interpretacions d’una fracció.

• Trobar la fracció d’un nombre.

• Distingir si dues fraccions són equivalents i calcular fraccions equivalents a una de donada.

• Amplificar fraccions.

• Simplificar fraccions fins a obtenir-ne la fracció irreductible.

• Reduir fraccions a comú denominador.

• Comparar fraccions.

• Sumar i restar fraccions.

• Multiplicar fraccions, aplicar la propietat distributiva i extreure’n el factor comú.

• Comprovar si dues fraccions són inverses i obtenir la fracció inversa d’una de donada.

• Dividir dues fraccions.

• Calcular la potència i l’arrel quadrada d’una fracció.

• Resoldre problemes de la vida real en què apareguin fraccions.

Continguts

• Fracció com a part de la unitat, com a quocient i com a operador.

• Interpretació i utilització de les fraccions en diferents contextos.

• Fraccions equivalents. Amplificació i simplificació.

• Fracció irreductible.

• Reducció de fraccions a comú denominador.

• Ordenació d’un conjunt de fraccions.

• Suma i resta de fraccions.

• Multiplicació i divisió de fraccions.

• Potències i arrels quadrades exactes de fraccions.

• Ús dels algoritmes de la suma, la resta, la multiplicació i la divisió de fraccions en la resolució de problemes de la vida quotidiana.

• Valoració de la precisió i la utilitat del llenguatge numèric per representar, comunicar i resoldre situacions quotidianes.


Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic• Interpretar d’una manera crítica la informació provinent dels diversos contextos que contenen

diferents tipus de nombres, relacionar-los i fer-los servir triant-ne la representació adequada en cada cas.

• Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres naturals, enters i fraccions, aplicant el mètode de càlcul més pertinent (mental, algoritmes de llapis i paper o calculadora).

Competència d’autonomia i iniciativa personal

62

• Fer servir, de manera autònoma i raonada, estratègies per abordar situacions problema i problemes tipus, planificant el procés de resolució, desenvolupant-lo de manera clara i ordenada i mostrant confiança en les capacitats pròpies.


• Fracció com a part de la unitat, com a quocient i com a operador.

• Interpretació i utilització de les fraccions en diferents contextos.

• Fraccions equivalents. Amplificació i simplificació.

• Fracció irreductible.

• Reducció de fraccions a denominador comú.

• Ordenació d’un conjunt de fraccions.

• Suma i resta de fraccions.

• Multiplicació i divisió de fraccions.

• Potències i arrels quadrades exactes de fraccions.

• Ús dels algoritmes de la suma, la resta, la multiplicació i la divisió de fraccions en la resolució de problemes de la vida quotidiana.

• Valoració de la precisió i la utilitat del llenguatge numèric per representar, comunicar i resoldre situacions quotidianes.

63

3. Nombre decimalsObjectius

• Classificar nombres decimals.

• Obtenir l’expressió decimal d’una fracció.

• Reconèixer el tipus de decimal que correspon a una fracció en funció del seu denominador.

• Comparar nombres decimals.

• Sumar, restar, multiplicar i dividir nombres decimals.

• Fer servir l’algoritme de l’arrel quadrada per calcular l’arrel d’un nombre.

• Arrodonir i truncar nombres decimals fins a un grau d’aproximació determinat.

Continguts

• Part entera i part decimal d’un nombre decimal.

• Càlcul de l’expressió decimal d’una fracció qualsevol.

• Comparació de nombres decimals.

• Nombres decimals exactes i periòdics.

• Operacions amb nombres decimals.

• Càlcul de l’arrel quadrada d’un nombre.

• Aproximació d’un nombre decimal per arrodoniment i/o truncament.

• Precisió, simplicitat i utilitat del llenguatge numèric per representar, comunicar o resoldre diferents situacions de la vida quotidiana.

• Resolució de problemes numèrics fent càlculs i estimacions de manera raonada.

• Ús crític de la calculadora per trobar el resultat d’operacions amb nombres decimals.


Competència comunicativa lingüística i audiovisual• Interpretar de manera crítica informació provinent dels diversos contextos que contenen diferents

tipus de nombres; relacionar-los i fer-los servir triant-ne la representació adequada en cada cas.

Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic• Calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres (naturals, enters, fraccionaris i

decimals), aplicant el mètode de càlcul pertinent (mental, algoritmes de llapis i paper o calculadora).

Competència d’autonomia i iniciativa personal• Aplicar el coneixement deductiu i inductiu en contextos numèrics.

64


• Obtenir l’expressió decimal exacta o periòdica d’una fracció.

• Reconèixer el tipus de decimal que correspon a una fracció, en funció del denominador.

• Comparar i ordenar un conjunt de nombres decimals.

• Operar correctament amb nombres decimals.

• Calcular l’arrel quadrada d’un nombre.

• Arrodonir i truncar nombres decimals fins a un grau d’aproximació determinat.

• Decidir les operacions adequades en la resolució de problemes amb nombres decimals.

65

4. Sistema sexagesimalObjectius

• Fer servir el sistema sexagesimal per mesurar temps i angles.

• Distingir entre expressions complexes i incomplexes per mesurar temps i angles, i passar d’unes a altres.

• Fer sumes i restes de mesures d’angles i de temps.

• Multiplicar una mesura de temps o d’un angle per un nombre enter.

• Dividir una mesura de temps o d’un angle entre un nombre enter.

• Aplicar el sistema sexagesimal a qüestions relacionades amb la vida quotidiana.

Continguts

• Mesures de temps i angles. Sistema sexagesimal.

• Expressió d’un angle en graus, minuts i segons.

• Expressió de temps en hores, minuts i segons.

• Formes complexes i incomplexes per mesurar temps i angles.

• Transformació d’una mesura de temps o angular de forma complexa a incomplexa, i viceversa.

• Suma i resta en el sistema sexagesimal.

• Multiplicació i divisió en el sistema sexagesimal.

• Operacions combinades de mesures d’angles.

• Hàbit d’expressar els resultats numèrics de les mesures expressant les unitats de mesura utilitzades.

• Ús crític de la calculadora científica per resoldre problemes.


Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic• Resoldre situacions problema, individualment i en grup, que requereixin l’ús de magnituds de mesura

de temps o angles, i fer servir les unitats adequades.

• Fer servir instruments, tècniques i fórmules, de manera individual i en grup, per mesurar temps i angles.

Competència social i ciutadana• Valorar la feina en grup i integrar-s’hi per fer activitats de diversos tipus, com a base de

l’aprenentatge matemàtic, de la formació de l’autoestima i de valors socials.•

66


• Treballar amb les diferents unitats de mesura d’angles i temps.

• Expressar mesures d’angles en graus, minuts i segons.

• Expressar mesures de temps en hores, minuts i segons.

• Convertir la mesura d’un angle expressada en forma complexa a forma incomplexa, i viceversa.

• Determinar la forma complexa d’una mesura de temps donada en forma incomplexa, i viceversa.

• Sumar i restar dues mesures de temps o d’angles en el sistema sexagesimal.

• Multiplicar i dividir una mesura de temps o d’angles per un nombre.

• Resoldre problemes reals en què apareguin mesures de temps o angulars.

67

5. Expressions algebraiques

Objectius

• Operar amb monomis.• Reconèixer els polinomis com la suma de monomis.• Determinar el grau d’un polinomi.• Obtenir el valor numèric d’un polinomi.• Sumar, restar i multiplicar polinomis.• Dividir un polinomi entre un monomi.• Desenvolupar les igualtats notables: quadrat d’una suma, quadrat d’una diferència i suma per

diferència.• Utilitzar models geomètrics per explicar relacions algebraiques.

Continguts

• Polinomis: grau i valor numèric.• Operacions amb polinomis.• Divisió d’un polinomi entre un monomi.• Igualtats notables.• Utilització de les igualtats notables per simplificar expressions.• Utilització de models geomètrics per desenvolupar les igualtats notables.• Valoració del llenguatge algebraic com un llenguatge concís i útil per expressar situacions

quotidianes.• Respecte per les solucions i els plantejaments d’altres companys.


Competència comunicativa lingüística i audiovisual.• Representar relacions i patrons numèrics proposant, utilitzant i manipulant amb destresa expressions

algebraiques senzilles.

Tractament de la informació i competència digital.• Fer servir, de manera comprensiva, el llenguatge algebraic per expressar situacions i relacionar

aquesta forma d’expressió amb d’altres: tabular, gràfica, descriptiva.

Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic.• Conèixer, valorar i fer servir sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com


68


• Identificar el grau, el terme independent i els coeficients d’un polinomi.• Sumar i restar polinomis correctament.• Multiplicar polinomis.• Calcular el grau del polinomi producte de dos polinomis sense necessitat de fer operacions.• Dividir polinomis entre monomis.• Identificar i desenvolupar les igualtats notables.• Simplificar expressions fent servir igualtats notables.

69

6. Equacions i sistemesObjectius

• Distingir entre unitats i equacions.• Comprovar si un nombre és o no solució d’una equació.• Obtenir equacions equivalents a una de donada.• Resoldre equacions de primer grau.• Reconèixer sistemes d’equacions lineals amb dues equacions i dues incògnites.• Resoldre sistemes d’equacions lineals fent servir mètodes diferents.• Utilitzar les equacions i els sistemes per resoldre problemes.

Continguts

• Igualtat, identitat i equació.• Equacions de primer grau amb una incògnita.• Resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita.• Equacions equivalents.• Mètodes de resolució d’equacions de primer grau.• Equacions de primer grau amb dues incògnites.• Sistemes d’equacions.• Reconeixement de sistemes d’equacions lineals.• Plantejament i resolució de problemes mitjançant l’aplicació d’expressions algebraiques i de

sistemes, i comprovar-ne la solució.• Gust per la presentació ordenada de les solucions d’equacions i sistemes.• Valoració de la precisió, la simplicitat i la utilitat dels sistemes d’equacions per resoldre situacions de

la vida quotidiana.


Competència comunicativa lingüística i audiovisual.• Representar relacions i patrons numèrics proposant i fent servir expressions algebraiques.

Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic.• Utilitzar de manera raonada el mètode analític de resolució de problemes per mitjà d’equacions i

aplicar algoritmes de resolució d’equacions de primer grau i sistemes d’equacions lineals.

Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Conèixer, valorar i fer servir sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com


70


• Diferenciar entre identitats i equacions.• Obtenir la solució d’una equació de primer grau amb una incògnita.• Resoldre equacions de primer grau amb parèntesis i denominadors.• Determinar si una parella de nombres és o no solució d’un sistema d’equacions.• Obtenir sistemes d’equacions equivalents a un de donat mitjançant procediments diferents.• Resoldre un sistema d’equacions utilitzant diversos mètodes.• Trobar la solució de problemes reals per mitjà d’equacions de primer grau i sistemes d’equacions.• Veure les pàgines de la 460 a la 462 de la guia.

71

7. Proporcionalitat numèricaObjectius

• Determinar si dues raons formen proporció.• Distingir si dues magnituds són directament proporcionals.• Resoldre problemes reals que impliquin l’ús d’una regla de tres simple directa o de la reducció a la

unitat.• Determinar si dues magnituds són inversament proporcionals.• Resoldre problemes reals que impliquin l’ús d’una regla de tres simple inversa o de la reducció a la

unitat.• Trobar el tant per cent d’una quantitat.• Calcular augments i disminucions percentuals.

Continguts

• Raó i proporcionalitat.• Magnituds directament proporcionals.• Regla de tres simple directa i mètode de reducció a la unitat.• Magnituds inversament proporcionals.• Taules de proporcionalitat directa i inversa.• Regla de tres simple inversa i mètode de reducció a la unitat.• Resolució de problemes mitjançant regles de tres (directes i inverses) i per reducció a la unitat.• Tant per cent d’una quantitat.• Augments i disminucions percentuals.• Resolució de problemes de càlculs de percentatges.• Incorporació al llenguatge quotidià de termes relacionats amb la proporcionalitat numèrica, directa i

inversa.• Ordre en la resolució i la presentació dels càlculs i les solucions en els problemes de proporcionalitat.


Competència d’aprendre a aprendre.• Identificar relacions de proporcionalitat numèrica (directa i inversa), i resoldre problemes en què es

fan servir aquestes relacions, parant especial atenció als problemes tipus associats a aquestes relacions.

Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic.• Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contextos numèrics i alfanumèrics.

Competència social i ciutadana.Valorar i integrar-se en la feina en grup per fer activitats de diversos tipus, com a base de l’aprenentatge matemàtic, de la formació de l’autoestima i de valors socials.

72


• Distingir si dues raons formen proporció.• Aplicar la propietat fonamental de les proporcions en la resolució de diferents problemes.• Completar taules de proporcionalitat i sèries de raons iguals.• Distingir si dues magnituds són directament o inversament proporcionals.• Aplicar la regla de tres simple, tant directa com inversa, en la resolució de problemes, establint quina

s’ha d’aplicar en cada cas.• Fer servir els percentatges per resoldre diversos problemes.

73

8. Proporcionalitat geomètricaObjectius

• Calcular la raó de dos segments i distingir si són proporcionals o no ho són.• Reconèixer segments iguals compresos entre línies paral·leles, i aplicar el teorema de Tales en

contextos diferents.• Dividir un segment en parts iguals, obtenir el segment quart proporcional i dividir un segment en

parts proporcionals a altres segments donats.• Reconèixer triangles en posició de Tales, com a pas previ a la semblança de triangles.• Distingir i aplicar els criteris de semblança de triangles.• Construir polígons semblants.• Aplicar les semblances en mapes i plànols, i treballar amb escales.

Continguts

• Raó de dos segments.• Segments proporcionals. Relació de proporcionalitat entre segments.• Teorema de Tales. Aplicacions.• Segment quart proporcional a altres segments donats.• Divisió d’un segment en parts iguals i en parts proporcionals a un de donat.• Triangles en posició de Tales.• Criteris de semblança de triangles.• Ús dels criteris de semblança de triangles per resoldre problemes.• Polígons semblants.• Raó de semblança de dos polígons.• Construcció d’una figura semblant a una figura donada.• Escales.• Interpretació de mapes fets a escala, càlcul de longituds reals a partir de longituds en el pla, i

viceversa.• Obtenció de l’escala gràfica corresponent a una escala numèrica donada, i viceversa.• Cura i precisió en l’ús d’eines de dibuix.• Sentit crític davant de les representacions a escala per transmetre missatges diversos.


Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic.• Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, la semblança de figures planes

presents tant en el medi social com natural, i fer servir les propietats geomètriques que hi estan associades.

Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Distingir relacions de proporcionalitat geomètrica, i resoldre problemes en què es facin servir

aquestes relacions, insistint en els problemes tipus associats a aquestes relacions.• Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contextos geomètrics.

74


• Calcular la raó de semblança entre dos segments donats.• Aplicar el teorema de Tales en la resolució de diferents problemes geomètrics i de la vida real.• Dividir un segment en parts proporcionals a altres de donats.• Distingir si dos triangles estan en posició de Tales o no.• Fer servir criteris de semblança de triangles en diferents contextos per resoldre problemes.• Determinar si dos polígons són semblants o no, i obtenir-ne la raó de semblança.• Construir una figura semblant a una altra de donada.• Utilitzar escales de manera adequada en el càlcul de longituds sobre plànols o mapes a partir de

longituds reals, i viceversa.

75

9. Figures planes. ÀreesObjectius

• Aplicar el teorema de Pitàgores en la resolució de problemes geomètrics i de la vida real.• Calcular l’àrea de qualsevol polígon.• Obtenir l’àrea de figures circulars.• Trobar la suma dels angles interiors d’un polígon, i si el polígon és regular, la mesura de cada angle i

la de l’angle central.• Definir les classes d’angles en la circumferència.

Continguts

• Teorema de Pitàgores. Aplicacions.• Àrea d’un polígon.• Fórmules per calcular la suma dels angles interiors d’un polígon i, en el cas de polígons regulars, la

mesura d’un angle interior i de l’angle central.• Àrea de figures circulars.• Angles en les figures planes.• Angles en la circumferència.• Raonament deductiu en les demostracions geomètriques.• Càlcul de perímetres i àrees per resoldre problemes de la vida quotidiana.


Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic.• Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, figures planes presents tant en el

medi social com natural, i fer servir les propietats geomètriques que hi estan associades.

Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Fer servir tècniques i fórmules, de manera individual i en grup, per mesurar longituds, angles i àrees

de figures planes.

• Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contextos geomètrics.

76


• Aplicar el teorema de Pitàgores per calcular longituds desconegudes en diferents contextos.• Trobar l’àrea d’un polígon qualsevol.• Obtenir l’àrea de figures circulars.• Calcular la suma dels angles interiors d’un polígon.• Determinar la mida d’un angle interior i de l’angle central d’un polígon regular.• Identificar els diferents tipus d’angles d’una circumferència.

77

10. Cossos geomètrics

Objectius

• Distingir els poliedres regulars, els prismes i les piràmides i els seus elements.• Calcular l’àrea de prismes i piràmides, i aplicar les fórmules en la resolució de problemes geomètrics

i de la vida quotidiana.• Reconèixer els tipus de cossos de revolució més senzills.• Distingir els elements dels cossos de revolució.• Calcular l’àrea de cilindres i cons, i aplicar les fórmules en la resolució de problemes geomètrics i de

la vida quotidiana.

Continguts

• Elements dels poliedres.• Terminologia per descriure cossos geomètrics, els seus elements i les seves propietats.• Poliedres regulars.• Simetries.• Prismes i piràmides. Àrees.• Cossos rodons o de revolució. Àrees.• Càlcul d’àrees de prismes i piràmides per resoldre problemes geomètrics de la vida real.• Resolució de problemes de càlcul d’àrees de cossos geomètrics formats per cossos més senzills.• Càlcul d’àrees de cilindres i cons per resoldre problemes geomètrics de la vida real.


Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic.• Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, figures planes i cossos geomètrics

presents tant en el medi social com natural.

Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Visualitzar i representar objectes geomètrics tridimensionals senzills, actuant amb destresa i

creativitat.

Competència social i ciutadana.• Valorar la feina en grup i integrar-s’hi per a la realització d’activitats de diversos tipus, com a base de

l’aprenentatge matemàtic, de la formació de l’autoestima i de valors socials.

78


• Distingir els tipus de poliedres i els seus elements.• Identificar prismes i piràmides, així com els seus elements característics.• Obtenir el desenvolupament de prismes i piràmides.• Reconèixer els cossos de revolució i els seus elements.• Dibuixar el desenvolupament i els plans, eixos i centre de simetria d’un cos de revolució.• Resoldre problemes que impliquin el càlcul d’àrees de prismes, piràmides i cossos de revolució.

79

11. Volum de cossos geomètrics

Objectius

• Mesurar el volum d’un cos fent servir diverses unitats de mesura.• Passar d’unes unitats de volum a unes altres.• Expressar el volum en la unitat adequada al context en què es treballa.• Relacionar les unitats de volum, capacitat i massa de l’aigua destil·lada.• Definir el concepte de densitat.• Resoldre problemes en què apareguin unitats de volum i de massa de substàncies amb densitats

diferents.• Calcular el volum dels poliedres.• Trobar el volum dels cossos de revolució.• Plantejar i resoldre problemes reals per mitjà del càlcul de volums.

Continguts

• Volum d’un cos. Unitats de volum.• Relació entre les unitats de volum, capacitat i massa.• Relació entre volum i densitat.• Relació de les unitats de volum, massa i capacitat de l’aigua destil·lada.• Densitat d’una substància.• Volums de l’ortoedre, el cub, el prisma, la piràmide, el cilindre, el con i l’esfera.• Càlcul del volum de cossos complexos mitjançant la suma o la diferència dels volums de cossos

geomètrics més senzills.• Aplicació del càlcul del volum de prismes, piràmides, cilindres, cons i esferes per a la resolució de

problemes reals.


Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic.• Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, figures planes i cossos geomètrics

presents tant en el medi social com natural.

Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Visualitzar i representar objectes geomètrics tridimensionals per obtenir-ne diferents representacions

planes.

Competència social i ciutadana.• Utilitzar instruments, tècniques i fórmules, de manera individual i en grup, per mesurar longituds,

angles, àrees i volums de figures i cossos geomètrics.

80


• Fer servir diferents unitats de mesura per calcular el volum d’un cos.• Reconèixer la relació entre les mesures de volum i capacitat, i les de volum i massa de l’aigua

destil·lada.• Expressar el volum en la unitat adequada al context en què es treballa.• Resoldre correctament problemes en què apareguin unitats de volum i de massa de substàncies amb

diferents densitats.• Calcular el volum de l’ortoedre, el cub, el prisma, la piràmide, el cilindre, el con i l’esfera.• Resoldre problemes que impliquin el càlcul de volums de cossos geomètrics.

81

12. FuncionsObjectius

• Localitzar punts en el pla i representar-los fent servir coordenades cartesianes.• Treballar amb l’expressió algebraica, la taula i la gràfica d’una funció, i passar d’unes a altres.• Interpretar relacions funcionals senzilles, i distingir les variables que hi intervenen.• Determinar les característiques de les gràfiques: domini, punts de tall amb els eixos, continuïtat,

creixement i decreixement, màxims i mínims...• Representar i reconèixer funcions de proporcionalitat directa i inversa.• Reconèixer i valorar la utilitat dels llenguatges gràfics per representar i resoldre problemes de la vida

quotidiana i de l’àmbit científic.

Continguts

• Coordenades cartesianes.• Construcció i interpretació de gràfiques a partir de taules, fórmules i descripcions verbals del

problema.• Concepte de funció.• Representació algebraica d’una funció per mitjà d’una taula de valors i per mitjà de la seva expressió

algebraica.• Estudi de funcions.• Domini, punts de tall amb els eixos, creixement i decreixement i punts màxims i mínims.• Funcions de proporcionalitat directa i inversa.• Representació, reconeixement i ús de funcions de proporcionalitat directa i inversa.• Reconeixement i valoració de les valoracions entre el llenguatge gràfic, algebraic i numèric.• Confiança en les capacitats pròpies per resoldre problemes i fer càlculs.• Incorporació al llenguatge quotidià de termes relacionats amb les gràfiques.


Competència comunicativa lingüística i audiovisual.• Identificar i interpretar relacions funcionals expressades verbalment, tabularment, gràficament i

algebraicament.

Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic.• Fer servir, de manera comprensiva, el llenguatge algebraic per expressar situacions problemàtiques, i

relacionar aquesta forma d’expressió amb altres: tabular, gràfica, descriptiva...

Competència d’aprendre a aprendre.Conèixer, valorar i fer servir sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com l’ordre, el contrast, la precisió i la revisió sistemàtica i crítica dels resultats.


• Utilitzar les coordenades cartesianes.• Expressar una funció mitjançant textos, taules, fórmules i gràfiques.• Analitzar la informació d’una gràfica i interpretar relacions entre magnituds.• Reconèixer les variables dependents i independents en una relació funcional.• Distingir en una gràfica els punts de tall amb els eixos, els intervals de creixement i decreixement, i

els màxims i mínims.

82

• Representar i reconèixer funcions de proporcionalitat directa i inversa.• Resoldre problemes reals que impliquin l’ús i la representació de funcions.

83

13. EstadísticaObjectius

• Obtenir el recompte d’una sèrie de dades per formar una taula i estudiar-ne les propietats.• Distingir entre freqüència absoluta i relativa d’una dada, i calcular totes dues freqüències.• Representar gràficament un conjunt de dades.• Interpretar gràfics d’estadístiques.• Determinar la mitjana aritmètica d’un conjunt de dades.• Calcular la mediana i la moda d’un conjunt de dades.• Calcular el rang i la desviació mitjana.

Continguts

• Recompte de dades i construcció de taules.• Freqüència absoluta i freqüència relativa.• Representacions gràfiques.• Mitjana, mediana i moda.• Càlcul de la mitjana, la mediana i la moda.• Mesures de dispersió: rang i desviació mitjana.• Ús dels llenguatges gràfics i estadístics per representar i resoldre problemes de la vida quotidiana.


Competència comunicativa lingüística i audiovisual.• Interpretar i presentar la informació estadística a partir de taules, gràfics i paràmetres estadístics, i

calcular les mesures estadístiques bàsiques, fent servir els mitjans més adequats en cada cas.

Competència d’aprendre a aprendre.• Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres, decidint si és necessari

donar-hi una resposta exacta o aproximada, i aplicant el mètode de càlcul més pertinent.

84


• Obtenir el recompte d’una sèrie de dades.• Elaborar taules per resumir la informació sobre les dades obtingudes.• Distingir entre freqüència absoluta i freqüència relativa, i calcular-les totes dues.• Representar gràficament un conjunt de dades.• Comparar els diferents gràfics, passar d’un a un altre i observar en quin apareix més clara la

informació.• Determinar la mitjana aritmètica d’un conjunt de dades.• Calcular la mediana i la moda d’un conjunt de dades.• Calcular el rang i la desviació mitjana d’un conjunt de dades.

85

14. ProbabilitatObjectius

• Reconèixer situacions d’incertesa en la vida quotidiana.• Distingir alguns termes del llenguatge de l’atzar.• Calcular la probabilitat d’esdeveniments fent servir la regla de Laplace.• Reconèixer la utilitat del diagrama d’arbre en contextos de probabilitat.

Continguts

• Experiments aleatoris i deterministes.• Idea de probabilitat• Esdeveniments equiprobables. Assignació de probabilitat.• Regla de Laplace.• Propietats de la probabilitat.• Càlcul de la probabilitat d’esdeveniments senzills aplicant la regla de Laplace.• Experiments i esdeveniments compostos.• Diagrama d’arbre.• Càlcul de probabilitats d’esdeveniments compostos fent servir la tècnica del diagrama d’arbre.• Elecció i utilització del vocabulari adequat per descriure i quantificar situacions relacionades amb

l’atzar.• Anàlisi crítica de les opinions i les informacions que es reben sobre fenòmens aleatoris.• Importància del càlcul de probabilitats en la vida diària.


Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Reconèixer fenòmens aleatoris associats a la probabilitat i l’atzar, i resoldre problemes que hi estiguin

relacionats.

• Reconèixer i calcular el resultat d’operacions bàsiques amb el nombres, i decidir quan és necessària una resposta exacta o aproximada.

Competència d’aprendre a aprendre.• Conèixer, valorar i utilitzar sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica com


86


• Reconèixer situacions d’incertesa en la vida quotidiana.• Distingir alguns termes del llenguatge de l’atzar.• Calcular la probabilitat d’esdeveniments fent servir la regla de Laplace.• Reconèixer la utilitat del diagrama d’arbre en contextos de probabilitat.

87

Es preveu impartir:

Primer trimestre

1. Tema 9 Aplicar el teorema de Pitàgores en la resolució de problemes geomètrics

Calcular l’àrea de qualsevol polígon.Obtenir l’àrea de figures circulars.Trobar la suma dels angles interiors d’un polígon, i si el polígon és regular, la mesura de cada angle i la de l’angle central.

1. Tema 1.Repàs d’operacions amb nombres enters. Prioritat de les operacions i ús de parèntesis en les operacions combinades: Repàs de divisibilitat:

2. Tema 2. Repàs d’operacions amb fraccions.Resolució de problemes.

3. Tema 5. Algebra: Repàs d’expressions algebraiques.Operacions amb monomis i polinomis.Factor comú.Identitats notables

Segon trimestre

4. Tema 6Repàs d’equacions de primer grau.Resolució de sistemes.Problemes de plantejament.

5. . Tema 7Proporcionalitat numèricaLa proporcionalitat directa Magnituds inversament proporcionals.Percentatges

Distribució temporal dels continguts3

88

6. Tema 8.. Teorema de Tales Aplicacions del Teorema de Tales

Criteris de semblança de triangles.Polígons semblantsEscales

Es preveu que les setmanes que van des del final del segon trimestre fins a les vacances de Setmana Santa treballar el tema 13 d’Estadística que s’avaluarà mitjançant un treball en grup que comptarà com una nota del tercer trimestre.

Tercer trimestre

7. Tema 10 i Tema 11Cossos geomètrics.Volum dels cossos geomètrics.

8. Tema 12FuncionsIntroducció a les coordenades cartesianes.

89

Primer i Segon de l’ESO

La nota corresponent a cada una de les tres avaluacions s’obtindrà a partir d’unes mitjanes ponderades. El 70% de la nota es el resultant de les proves diverses sobre el continguts que l’alumne o l’alumna realitzi durant el trimestre. El 20% de la nota correspondrà a la valoració del treball a classe, del treball a casa (deures) i de la correcta presentació de la llibreta. El 10% restant correspon a la valoració del comportament i l’actitud a classe.



La prova extraordinària serà la mateixa per a tots els alumnes suspesos d’un mateix nivell de l’ESO, exceptuant els que hagin cursat un curriculum adaptat, i serà el professorat de cada nivell l’encarregat de preparar de manera coordinada aquesta prova que es realitza a finals del mes de juny.


90


MATEMÀTIQUES Tercer de l’E.S.O.


91

Tercer curs

Processos que es desenvolupen durant el curs a través dels diferents continguts

Resolució de problemes (identificació, distinció, simulació, desenvolupament d'estratègies, elaboració de conclusions)

Raonament i prova (ús/utilització, anàlisi, comparació, selecció, efecte, decisió, formulació de conjectures, resolució, càlcul, aproximació històrica)

Comunicació i representació (argumentació, expressió, construcció, representació, generació, utilització del vocabulari)

Connexions (relació, transformació, interpretació, determinació, exploració)

Numeració i càlcul

Comprendre els nombres i les diferents formes de representació

Nombres racionals. Relació i transformació entre fracció i decimal, aproximació per excés i per defecte, representació sobre la recta.

Utilització de nombres grans i nombres molt petits en la resolució de problemes en diferents contextos.

Expressió de nombres grans i nombres molt petits: llenguatge verbal, representació gràfica i notació científica.


Efecte produït per la multiplicació, la divisió i el càlcul amb potències d'exponent enters en l'ordre de magnitud de les quantitats.

Propietats de les operacions amb potències d'exponent enter i relació amb el càlcul en la resolució d'equacions i en la resolució de problemes.


Ús de la notació científica per a grans nombres i nombres molt petits.

Ús de les TIC per a calcular amb nombres racionals (decimals i fraccions) grans nombres i nombres molt petits.

Selecció i ús de l'eina més adequada per a calcular amb nombres racionals (decimals i fraccions), grans nombres i nombres molt petits (càlcul mental, estimació, recursos TIC, paper i llapis). Argumentació de la selecció.

Desenvolupament d'estratègies de càlcul mental i d'estimació de càlculs amb nombres racionals (decimals i fraccions), grans nombres i nombres molt petits i comparació amb els resultats obtinguts a través de càlculs exactes.

Canvi i relacions

Comprendre patrons, relacions i funcions

Anàlisi de funcions d'una variable: domini de definició, creixement/decreixement i punts de tall amb els eixos, incloent-hi les funcions lineals i de proporcionalitat inversa.

Utilització de les TIC en la generació de gràfics i en l'expressió simbòlica de les funcions.

Construcció d'una gràfica d'una expressió simbòlica, a partir d'una gràfica més simple.


Relació entre expressions simbòliques i gràfiques lineals, posant especial atenció en el significat de l'ordenada a l'origen i del pendent.

Resolució d'equacions de 1r i 2n grau i sistemes d'equacions lineals amb fluïdesa. Interpretació gràfica.

Utilització de les TIC com a suport en la resolució d'equacions i sistemes d'equacions i anàlisi del significat i la raonabilitat dels resultats.

1 Continguts

92

Pràctica del càlcul mental en la resolució d'equacions, en la manipulació d'expressions algebraiques i en l'acceptació dels resultats obtinguts amb mitjans tecnològics.

Utilització de l'àlgebra simbòlica en la representació de situacions i en la resolució de problemes, particularment els que presenten relacions lineals.


Identificació de relacions quantitatives en una situació i determinació del tipus de funció que la modelitza, amb especial referència a les funcions lineals.

Ús d'expressions simbòliques, particularment lineals, per a representar relacions que provenen de diferents contextos.

Elaboració de conclusions raonables d'una situació, un cop modelitzada, particularment en situacions lineals.


Utilització de gràfiques o taules de valors per analitzar la naturalesa dels canvis quantitatius en relacions lineals.

Utilització de models lineals per estudiar situacions que provenen de contextos diversos.

Espai i forma

Analitzar les característiques i propietats de figures geomètriques de dues i tres dimensions i desenvolupar raonaments sobre relacions geomètriques

Relació entre perímetres, àrees i volums de figures semblants de tres dimensions.

Ús de la proporcionalitat geomètrica i de la semblança.

Localitzar i descriure relacions espacials mitjançant coordenades geomètriques i altres sistemes de representació

Ús de coordenades cartesianes per analitzar situacions geomètriques.


Relació entre semblança, ampliacions i reduccions. Factor d'escala.

Exploració de les característiques de reflexions, girs i translacions mitjançant objectes físics, dibuixos, miralls, programes de geometria dinàmica.

Ús de les transformacions geomètriques per establir propietats de figures geomètriques.


Utilització de conceptes i propietats geomètrics per a resoldre problemes d'altres disciplines, com per exemple el dibuix i les ciències de la naturalesa.

Mesura

Comprendre els atributs mesurables dels objectes, i les unitats, sistemes i processos de mesura

Presa de decisió sobre unitats i escales apropiats en la resolució de problemes que impliquin mesures.

Utilització del nombres decimals per expressar una mesura i relació entre el nombre de decimals i el grau de precisió de la mesura.

Utilització de la proporcionalitat geomètrica i la semblança per obtenir mesures indirectes.


Utilització d'instruments per a mesurar angles i longituds a la realitat i aplicació a la resolució de problemes per obtenir mesures indirectes, fent estimacions prèvies de les mateixes.

Estadística i atzar

Formular preguntes abordables amb dades i recollir, organitzar i presentar dades rellevants per respondre-les

Utilització de mostres en els estudis estadístics: necessitat, conveniència i representativitat.

93

Distinció entre variables discretes i contínues.

Agrupació en classes o intervals. Histogrames i polígons de freqüències.

Identificació del gràfic més adequat d'acord amb les dades que cal presentar.

Ús del full de càlcul i de les TIC en general per a la organització de dades, realització de càlculs i generació dels gràfics més adequats.


Càlcul i interpretació de la mitjana, moda, quartils i mediana.

Anàlisi de la dispersió: rang i desviació típica.

Interpretació conjunta de la mitjana i la desviació típica per a realitzar comparacions i valoracions.

Anàlisi crítica de taules i gràfiques estadístiques en els mitjans de comunicació; interpretació de la informació i detecció d'errors i fal·làcies.


Utilització d'observacions relatives a les diferències entre dues mostres per a la formulació de conjectures sobre les poblacions d'on han estat extretes.

Formulació de conjectures sobre possibles relacions entre dues característiques d'una mostra.

Comprendre i aplicar conceptes bàsics de probabilitat

Interpretació d'experiments aleatoris. Successos i espai mostral.

Utilització del vocabulari adequat per a descriure i quantificar situacions relacionades amb l'atzar.

Càlcul de probabilitats de successos compostos, en casos senzills, utilitzant taules de contingència i diagrames d'arbre.

Utilització de les TIC com a suport dels càlculs i simulacions.

94

UNITAT 1. Nombres racionals

OBJECTIUS

Distingir les distintes interpretacions d’una fracció. Reconèixer fraccions equivalents. Amplificar fraccions. Simplificar fraccions fins a obtenir la fracció irreductible. Reduir fraccions a comú denominador. Comparar fraccions. Sumar, restar, multiplicar i dividir fraccions. Expressar una fracció en forma decimal i obtenir la fracció generatriu d’un nombre decimal

exacte o periòdic. Resoldre problemes mitjançant fraccions. Reconèixer i utilitzar el concepte de nombre racional.

CONTINGUTS

Conceptes Interpretacions d’una fracció. Fraccions equivalents. Fracció irreductible. Suma, resta, multiplicació i divisió de fraccions. Nombre decimal exacte, periòdic pur i periòdic mixt. Nombre racional.


Utilització de les distintes interpretacions d’una fracció. Càlcul de la fracció d’un nombre. Obtenció de fraccions equivalents a una de donada. Determinació de la fracció irreductible. Reducció de fraccions a comú denominador. Comparació de fraccions. Realització d’operacions amb fraccions, respectant la jerarquia de les

operacions. Obtenció de l’expressió decimal d’una fracció. Càlcul de la fracció generatriu d’un nombre decimal exacte o periòdic. Resolució de problemes reals que impliquen la realització de càlculs amb

fraccions.Actituds Apreciació de la utilitat de les fraccions per resoldre problemes de la vida

diària. Gust per la presentació ordenada, neta i clara dels càlculs.


95

COMPETÈNCIES QUE S’HAN D’ADQUIRIR

Interpretar críticament informació que prové de diversos contexts que contengui distints tipus de nombres (naturals, enters, fraccionaris, decimals, etc.), i relacionar-los elegint la representació més adequada en cada cas.

Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres (naturals, enters i racionals), i decidir si és necessària una resposta exacta o aproximada i aplicar un mode de càlcul adequat (mental, algorismes de llapis i paper, calculadora).

Utilitzar, de manera autònoma i raonada, estratègies per a abordar situacions-problema i problemes-tipus; planificar el procés de resolució, desenvolupar-lo ordenadament i mostrar confiança en les capacitats pròpies.


Determinar si dues fraccions són o no equivalents. Amplificar i simplificar fraccions. Obtenir la fracció irreductible d’una de donada. Ordenar un conjunt de fraccions. Realitzar operacions combinades amb fraccions, i respectar la jerarquia de les operacions. Obtenir l’expressió decimal d’una fracció i la fracció generatriu d’un nombre decimal exacte o

periòdic. Resoldre problemes reals en què apareguin fraccions. Representar els nombres racionals en la recta numèrica.

96

UNITAT 2. Nombres reals

OBJECTIUS

Calcular potències de nombres racionals amb exponent enter. Resoldre operacions amb potències aplicant-ne les propietats. Expressar nombres molt grans i molt petits en notació científica. Realitzar operacions amb nombres en notació científica. Reconèixer els nombres irracionals com a nombres decimals no periòdics amb infinites xifres. Escriure nombres irracionals donant compte de la seva regla de formació. Classificar els nombres decimals en racionals i irracionals. Obtenir aproximacions decimals de nombres racionals i irracionals mitjançant arrodoniment i

truncament, i calcular l’error absolut i relatiu comès. Representar nombres racionals i irracionals en la recta real. Utilitzar els intervals per expressar conjunts de nombres reals.

CONTINGUTS

Conceptes Potències de nombres racionals. Propietats de les potències de nombres racionals. Notació científica. Operacions. Nombres irracionals. Nombres reals. Aproximacions decimals. Error absolut i relatiu. Intervals.


Càlcul de potències de nombres racionals. Escriptura de nombres molt grans o molt petits en notació científica. Expressió de nombres irracionals donant compte de la seva regla de formació. Determinació dels conjunts numèrics a què pertany un nombre real. Obtenció d’aproximacions decimals de nombres racionals i irracionals

mitjançant arrodoniment i truncament, i calcular l’error absolut i relatiu comès. Representació de nombres racionals i irracionals en la recta real. Expressió de conjunts de nombres reals mitjançant intervals. Resolució de problemes que impliquen la utilització de nombres decimals,

percentatges, nombres reals i aproximacions.Actituds Valoració de la presència i utilitat dels nombres reals en distints contexts.

Confiança en la pròpia capacitat per resoldre problemes numèrics amb calculadora i sense.

Anàlisi crítica de percentatges en diferents contexts.

97


Interpretar críticament informació que prové de diversos contexts que contengui distints tipus de nombres (naturals, enters, fraccionaris, decimals, etc.), i relacionar-los elegint la representació més adequada en cada cas.

Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques amb nombres (naturals, enters, racionals i reals), decidir si és necessària una resposta exacta o aproximada i aplicar un mode de càlcul adequat (mental, algorismes de llapis i paper o calculadora).

Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contexts numèrics.


Calcular i operar amb potències de nombres racionals i exponent enter. Escriure i operar amb nombres escrits en notació científica. Diferenciar els nombres racionals dels irracionals. Construir nombres irracionals, i donar-ne compte de la regla de formació. Determinar els conjunts numèrics a què pertany un nombre real. Calcular aproximacions decimals de nombres racionals i irracionals mitjançant arrodoniment i

truncament. Representar nombres racionals i irracionals en la recta real. Expressar conjunts de nombres reals mitjançant intervals. Resoldre problemes reals que impliquen la utilització de nombres decimals, irracionals i reals,

així com de les seves aproximacions.

98

UNITAT 3. Polinomis

OBJECTIUS

Operar amb monomis. Reconèixer els polinomis com una suma algebraica de monomis. Determinar el grau d’un polinomi. Reconèixer el terme independent i els coeficients d’un polinomi. Reduir i ordenar polinomis. Calcular el polinomi oposat d’un de donat. Obtenir el valor numèric d’un polinomi. Sumar, restar i multiplicar polinomis. Dividir polinomis amb l’algorisme usual. Desenvolupar les igualtats notables: quadrat d’una suma, quadrat d’una diferència i producte de

suma per diferència. Simplificar fraccions algebraiques senzilles.

CONTINGUTS

Conceptes Monomis. Operacions. Polinomis: grau, terme independent i coeficients. Valor numèric d’un polinomi. Operacions amb polinomis. Igualtats notables. Fraccions algebraiques.


Suma i resta de monomis semblants. Multiplicació i divisió de monomis. Determinació del polinomi oposat d’un de donat. Obtenció del valor numèric d’un polinomi. Suma i resta de polinomis. Multiplicació i divisió de polinomis. Desenvolupament de les igualtats notables. Utilització de les igualtats notables per simplificar distintes expressions. Simplificació de fraccions algebraiques.

Actituds Valoració del llenguatge algebraic com un llenguatge concís i útil per expressar resultats.

Respecte per les solucions i plantejaments de la resta. Realització de les operacions amb polinomis de manera precisa i curosa.

99


Representar relacions i patrons numèrics mitjançant expressions algebraiques senzilles. Utilitzar de manera comprensiva el llenguatge algebraic per expressar situacions, i relacionar

aquest llenguatge amb uns altres: tabular, gràfic, descriptiu... Conèixer, valorar i utilitzar sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com

ara l’ordre, contrast, precisió i revisió sistemàtica i crítica dels resultats.


Operar correctament amb monomis. Identificar el grau, el terme independent i els coeficients d’un polinomi. Calcular el valor numèric d’un polinomi. Calcular el polinomi oposat d’un costat. Sumar i restar polinomis. Multiplicar polinomis i calcular el grau del producte de dos polinomis sense necessitat d’operar. Dividir polinomis. Identificar i desenvolupar les igualtats notables. Simplificar expressions utilitzant les igualtats notables. Simplificar fraccions algebraiques senzilles.

100

UNITAT 4. Equacions de primer i segon grau

OBJECTIUS

Distingir si una igualtat algebraica és una identitat o una equació. Reconèixer els elements i el grau d’una equació. Determinar si un nombre és solució o no d’una equació. Reconèixer si dues equacions són equivalents o no. Calcular equacions equivalents a una de donada aplicant la regla de la suma i el producte. Resoldre equacions de primer grau. Reconèixer les equacions de segon grau. Resoldre equacions de segon grau completes utilitzant la fórmula general. Determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau analitzant el valor del

discriminant. Resoldre equacions de segon grau incompletes utilitzant el mètode més adequat. Plantejar i resoldre problemes mitjançant equacions de primer i segon grau.

CONTINGUTS

Conceptes Identitat i equació. Incògnites, coeficients, membres, termes i grau. Equacions de primer grau. Equacions de segon grau completes i incompletes. Discriminant d’una equació de segon grau.


Obtenció d’equacions equivalents a una de donada per les regles de la suma i el producte.

Resolució d’equacions de primer grau. Resolució d’equacions de segon grau completes mitjançant la fórmula general. Resolució d’equacions de segon grau incompletes aplicant el mètode més

adequat. Utilització de les equacions de primer i segon grau en el plantejament i

resolució de problemes de la vida real.Actituds Valoració del llenguatge algebraic com un llenguatge clar, concís i útil per

resoldre situacions problemàtiques de la vida quotidiana. Apreciació de la necessitat de seguir les fases del mètode de resolució de

problemes.

101


Usar el mètode de resolució de problemes mitjançant equacions, i aplicar els algorismes de resolució d’equacions de primer i segon grau i de sistemes d’equacions.

Utilitzar, de manera autònoma i raonada, estratègies per abordar situacions-problema i problemes-tipus, i planificar el procés de resolució, i desenvolupar-lo ordenadament i mostrar seguretat i confiança en les capacitats pròpies.

Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contexts numèrics i alfanumèrics.


Determinar si una igualtat algebraica és una identitat o una equació. Reconèixer i calcular equacions equivalents. Resoldre equacions de primer grau amb parèntesis i denominadors. Aplicar la fórmula general per resoldre equacions de segon grau. Determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau a partir del seu discriminant. Distingir i resoldre equacions de segon grau incompletes aplicant el mètode més adequat. Plantejar i resoldre problemes mitjançant equacions de primer i segon grau.

102

UNITAT 5. Sistemes d’equacions

OBJECTIUS

Reconèixer una equació lineal de dues incògnites i obtenir algunes solucions. Obtenir solucions de sistemes de dues equacions amb dues incògnites i expressar-les mitjançant

taules. Determinar si un parell de nombres és solució o no d’un sistema d’equacions. Classificar els sistemes de dues equacions amb dues incògnites segons el nombre de solucions. Representar gràficament un sistema d’equacions i obtenir-ne la solució. Resoldre sistemes de dues equacions amb dues incògnites mitjançant els mètodes de substitució,

igualació i reducció. Plantejar i resoldre problemes reals mitjançant sistemes de dues equacions amb dues incògnites.

CONTINGUTS

Conceptes Equació lineal amb dues incògnites. Sistemes de dues equacions amb dues incògnites. Resolució d’un sistema d’equacions. Sistemes d’equacions compatibles determinats i indeterminats, i incompatibles. Mètode de substitució. Mètode d’igualació. Mètode de reducció.


Determinació de les solucions d’una equació lineal amb dues incògnites. Obtenció de les solucions de sistemes de dues equacions amb dues incògnites i

expressió mitjançant taules. Classificació dels sistemes de dues equacions amb dues incògnites en funció

del nombre de solucions. Obtenció de la representació gràfica d’un sistema, anàlisi del tipus a què

pertany i determinació de les solucions. Resolució de sistemes d’equacions aplicant els mètodes de substitució,

igualació i reducció. Aplicació dels sistemes de dues equacions amb dues incògnites al plantejament

i resolució de problemes reals.Actituds Valoració dels sistemes d’equacions com un mecanisme senzill i útil per

resoldre situacions problemàtiques de la vida quotidiana. Gust per la presentació clara i sistemàtica dels càlculs realitzats.

103


Usar el mètode analític de resolució de problemes mitjançant sistemes d’equacions, i aplicar amb destresa els algorismes de resolució.

Utilitzar, de manera autònoma i raonada, estratègies per abordar situacions-problema i problemes-tipus; planificar el procés de resolució, desenvolupar-lo ordenadament i mostrar seguretat i confiança en les capacitats pròpies.

Conèixer, valorar i utilitzar sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com ara l’ordre, contrast, precisió i revisió sistemàtica i crítica dels resultats.


Obtenir solucions d’equacions lineals amb dues incògnites. Trobar la solució d’un sistema de dues equacions amb dues incògnites utilitzant taules de valors. Determinar si un nombre donat és solució d’un sistema d’equacions. Distingir si un sistema d’equacions és compatible o incompatible. Resoldre un sistema utilitzant els mètodes de substitució, igualació i reducció. Determinar el mètode més adequat per resoldre un sistema d’equacions. Resoldre problemes reals i determinar-ne les dades i les incògnites, i plantejar un sistema

d’equacions, resoldre’l i comprovar que la solució compleix les condicions de l’enunciat.

104

UNITAT 6. Proporcionalitat numèrica

OBJECTIUS

Reconèixer si dues magnituds són directament proporcionals. Distingir si dues magnituds són inversament proporcionals. Construir taules de proporcionalitat directa i inversa. Resoldre problemes mitjançant la regla de tres simple directa. Utilitzar la regla de tres simple inversa per resoldre problemes. Resoldre problemes de repartiments directament i inversament proporcionals. Resoldre problemes de proporcionalitat composta. Utilitzar els percentatges per resoldre distints problemes. Resoldre problemes de la vida real en què aparegui l’interès simple.

CONTINGUTS

Conceptes Magnituds directament proporcionals. Magnituds inversament proporcionals. Regla de tres simple: directa i inversa. Repartiments proporcionals. Proporcionalitat composta. Percentatges. Interès simple.


Determinació de la relació de proporcionalitat, directa o inversa, existent entre dues magnituds.

Realització de taules de proporcionalitat directa i inversa, i reconèixer la relació que hi ha entre les dues magnituds.

Utilització de la regla de tres simple, directa i inversa, en la resolució de problemes.

Realització de repartiments proporcionals, directes i inversos. Aplicació de la proporcionalitat composta en la resolució de problemes, i

reconèixer la relació entre les magnituds i reduint a la unitat. Utilització dels percentatges en la resolució de problemes. Resolució de problemes d’interès simple.

Actituds Sensibilitat per la presència de la proporcionalitat en la vida quotidiana. Gust per la resolució raonada, ordenada i curosa de problemes de

proporcionalitat.

105


Identificar relacions de proporcionalitat numèrica (directa, inversa o composta); resoldre problemes en què s’usin aquestes relacions, i recalcar els problemes-tipus associats a les relacions de proporcionalitat.

Utilitzar, de manera autònoma i raonada, estratègies per abordar situacions-problema i problemes-tipus; planificar el procés de resolució, desenvolupar-lo ordenadament i mostrar seguretat i confiança en les capacitats pròpies.

Valorar i integrar-se en el treball en grup per realitzar activitats de diversos tipus, com a base de l’aprenentatge matemàtic, de la formació de l’autoestima i de valors socials assumits per la nostra societat.


Determinar la relació de proporcionalitat existent entre dues magnituds. Completar taules de proporcionalitat, i determinar quin tipus de relació hi ha entre les dues

magnituds. Aplicar la regla de tres simple, directa i inversa, en la resolució de problemes, i establir quina ha

d’utilitzar-se en cada cas. Realitzar repartiments directament i inversament proporcionals. Utilitzar la proporcionalitat composta per resoldre distints problemes, i determinar la relació entre

la magnitud de la incògnita i la resta de magnituds. Usar els percentatges (augments i disminucions percentuals, i percentatges encadenats) per

resoldre distints problemes. Resoldre problemes en què aparegui l’interès simple.

106

UNITAT 7. Progressions

OBJECTIUS

Reconèixer successions i deduir-ne la regla de formació en els casos que sigui possible. Obtenir distints termes en successions recurrents. Distingir si una successió és una progressió aritmètica. Calcular el terme general d’una progressió aritmètica. Calcular la suma de n termes d’una progressió aritmètica. Distingir si una successió és una progressió geomètrica. Calcular el terme general d’una progressió geomètrica. Calcular la suma de n termes d’una progressió geomètrica. Obtenir el producte de n termes d’una progressió geomètrica. Calcular la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica de raó menor que la unitat. Resoldre problemes en què apareguin progressions que impliquen l’ús del concepte d’interès

compost.

CONTINGUTS

Conceptes Successió. Successions recurrents. Progressió aritmètica. Terme general d’una progressió aritmètica. Suma de n termes d’una progressió aritmètica. Progressió geomètrica. Terme general d’una progressió geomètrica. Suma i producte de n termes d’una progressió geomètrica. Suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica. Interès compost.


Identificació d’una successió i determinació, si és possible, del terme general. Reconeixement de les progressions aritmètiques i geomètriques. Càlcul del terme general i de la suma de n termes d’una progressió aritmètica o

geomètrica. Obtenció del producte de n termes d’una progressió geomètrica. Càlcul de la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica de raó

menor que la unitat. Resolució de problemes que impliquen el càlcul de capitals, rèdits i temps en

contexts d’interès compost.Actituds Confiança en les capacitats pròpies per resoldre problemes.

Gust per la presentació clara i sistemàtica dels càlculs realitzats.

107


Representar relacions i patrons numèrics mitjançant expressions algebraiques senzilles. Utilitzar, de manera autònoma i raonada, estratègies per abordar situacions-problema i problemes-

tipus; planificar el procés de resolució, desenvolupar-lo ordenadament i mostrar seguretat i confiança en les capacitats pròpies.



Calcular la regla de formació d’una successió. Determinar diversos termes en successions recurrents. Diferenciar les progressions aritmètiques i obtenir-ne la diferència. Calcular el terme general d’una progressió aritmètica. Calcular la suma de n termes d’una progressió aritmètica. Distingir les progressions geomètriques i obtenir-ne la raó. Calcular el terme general d’una progressió geomètrica. Calcular la suma i el producte de n termes d’una progressió geomètrica. Obtenir-ne la suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica de raó menor que la unitat. Aplicar correctament la fórmula de l’interès compost per resoldre problemes.

108

UNITAT 8. Llocs geomètrics. Figures planes

OBJECTIUS

Determinar distints llocs geomètrics. Identificar els punts i rectes notables d’un triangle. Aplicar el teorema de Pitàgores en distints contexts. Calcular l’àrea de paral·lelograms i triangles. Calcular l’àrea de polígons regulars. Calcular l’àrea de polígons qualsevol, i descompondre’ls en figures d’àrees conegudes. Calcular l’àrea del cercle i de les figures circulars. Resoldre problemes reals que impliquen el càlcul d’àrees de figures planes.

CONTINGUTS

Conceptes Llocs geomètrics. Punts i rectes notables d’un triangle. Teorema de Pitàgores. Aplicacions. Àrea de polígons i figures circulars.


Identificació dels punts i rectes notables d’un triangle. Utilització del teorema de Pitàgores en la resolució de problemes geomètrics i

de la vida quotidiana. Obtenció de l’àrea de paral·lelograms, triangles i polígons regulars. Determinació de l’àrea d’una forma poligonal qualsevol, i descompondre-la en

unes altres figures més simples. Càlcul de l’àrea de figures circulars. Resolució de problemes que impliquen el càlcul de l’àrea de figures planes, i

descompondre-les en figures d’àrees conegudes.Actituds Valoració del raonament deductiu en geometria.

Interès i gust per la descripció verbal precisa de formes i característiques geomètriques.

Hàbit d’expressar els resultats numèrics dels problemes i indicar les unitats de mesura utilitzades.

109


Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, figures planes presents tant en el medi social com natural, i utilitzar les propietats geomètriques associades a aquestes en les situacions requerides.

Usar instruments, tècniques i fórmules, individualment i grupalment, per mesurar longituds, angles i àrees de figures planes.



Identificar llocs geomètrics que compleixin determinades propietats. Reconèixer els punts i les rectes notables de qualsevol triangle. Resoldre problemes aplicant el teorema de Pitàgores en distints contexts. Calcular l’àrea de paral·lelogram, triangles i polígons regulars. Obtenir l’àrea de polígons qualsevol, i descompondre’ls en uns altres de més senzills. Calcular l’àrea del cercle i de les figures circulars. Resoldre problemes reals que impliquen el càlcul d’àrees de figures planes.

110

UNITAT 9. Cossos geomètrics

OBJECTIUS

Distingir poliedres i comprovar si compleixen o no la fórmula d’Euler. Diferenciar els prismes i piràmides, els seus elements i tipus. Calcular l’àrea de prismes i piràmides. Identificar els poliedres regulars. Distingir els cossos rodons i figures esfèriques. Calcular l’àrea de cossos rodons i figures esfèriques. Aplicar el principi de Cavalieri al càlcul de volums. Calcular el volum de prismes, piràmides, cilindres, cons i esferes. Resoldre problemes reals que impliquen el càlcul d’àrees i volums de cossos geomètrics. Localitzar un punt en l’esfera terrestre a partir de les seves coordenades geogràfiques.

CONTINGUTS

Conceptes Poliedres. Poliedres regulars. Prismes i piràmides. Cossos rodons. Figures esfèriques. Principi de Cavalieri. Àrees i volums de cossos geomètrics.


Comprovació de la fórmula d’Euler en distints poliedres. Reconeixement dels distints tipus de prismes i piràmides, així com dels seus

elements principals. Identificació del cilindre, el con i l’esfera com a cossos de revolució. Utilització de les fórmules de l’àrea de prismes, piràmides, cilindres, cons,

esferes i figures esfèriques per resoldre problemes geomètrics i reals. Resolució de problemes que impliquen el càlcul de volums de prismes,

piràmides, cilindres, cons i esferes.Actituds Confiança en les capacitats pròpies per percebre l’espai i resoldre problemes

geomètrics. Gust per la presentació curosa dels treballs geomètrics.

111


Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, figures planes i cossos geomètrics presents tant en el medi social com natural, i utilitzar les propietats geomètriques associades a aquests en les situacions requerides.

Visualitzar i representar objectes geomètrics tridimensionals, i obtenir les distintes representacions planes.

Utilitzar instruments, tècniques i fórmules, de manera individual i grupal, per mesurar longituds, angles, àrees i volums de figures i cossos geomètrics.


Distingir els poliedres i els seus tipus. Comprovar si un poliedre compleix o no la fórmula d’Euler. Reconèixer els poliedres regulars. Diferenciar els elements i tipus de prismes i piràmides. Reconèixer els cossos rodons i les figures esfèriques, els seus elements i el seu procés de

formació. Calcular l’àrea de prismes, piràmides, cossos rodons i figures esfèriques. Aplicar el principi de Cavalieri al càlcul de volums. Calcular el volum de prismes, piràmides i cossos rodons. Resoldre problemes que impliquen el càlcul d’àrees i volums de cossos geomètrics.

112

UNITAT 10. Moviments i semblances

OBJECTIUS

Calcular les coordenades i el mòdul d’un vector determinat per dos punts. Calcular la figura transformada d’una de donada mitjançant una translació de vector v. Determinar la figura transformada d’una figura qualsevol per un gir de centre O i angle a. Obtenir la figura transformada d’una de donada per una simetria central de centre O (centre de

simetria). Calcular la figura transformada d’una figura qualsevol mitjançant una simetria axial d’eix e. Calcular la figura transformada d’una figura qualsevol mitjançant una homotècia de raó k. Determinar si dues figures són semblants. Dividir un segment en parts iguals o proporcionals aplicant el teorema de Tales. Determinar una longitud representada en un mapa o pla mitjançant una escala.

CONTINGUTS

Conceptes Vector. Coordenades i mòdul d’un vector. Translacions. Girs. Simetria central i respecte d’un eix. Homotècies. Figures semblants. Teorema de Tales. Aplicacions. Escales.


Determinació del vector definit per dos punts. Obtenció de les coordenades i el mòdul d’un vector. Aplicació de les regles que permeten calcular la figura transformada d’una

altra mitjançant una translació, un gir, una simetria o una homotècia. Obtenció de les coordenades de la figura transformada en casos senzills. Identificació de figures semblants. Divisió d’un segment en parts iguals o proporcionals. Càlcul de distàncies entre punts representats en un mapa.

Actituds Interès per descobrir translacions, girs, simetries o homotècies en el nostre entorn.

Gust per la construcció de figures obtengudes d’unes altres mitjançant un moviment.

113


Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, transformacions geomètriques de figures planes presents tant en el medi social com natural, i utilitzar les propietats geomètriques associades a aquestes en les situacions requerides.

Identificar relacions de proporcionalitat geomètrica, resoldre problemes en què s’usen aquestes relacions, i recalcar en els problemes-tipus associats a aquestes relacions.



Calcular les coordenades i el mòdul d’un vector, donades les coordenades dels seus extrems. Determinar el moviment que transforma una figura en una altra i obtenir-ne els elements

característics. Calcular la figura transformada d’una altra mitjançant una translació de vector v. Obtenir la figura transformada d’una de donada mitjançant un gir de centre O i angle a. Determinar la figura transformada d’una de donada per una simetria central de centre O. Obtenir la figura transformada d’una de donada mitjançant una simetria d’eix e. Obtenir la figura transformada d’una de donada mitjançant una homotècia de raó k. Determinar si dues figures són semblants. Calcular longituds representades en mapes i plans mitjançant una escala.

114

UNITAT 11. Funcions

OBJECTIUS

Distingir una relació funcional d’una altra que no ho sigui. Reconèixer les variables independent i dependent en una funció. Expressar una funció mitjançant taules, gràfiques i fórmules, passant d’unes a unes altres. Representar gràficament relacions funcionals extretes de situacions de la vida quotidiana. Estudiar la continuïtat o discontinuïtat d’una funció, i assenyalar-ne els punts de discontinuïtat. Determinar el domini i recorregut d’una funció en casos senzills. Obtenir els punts de tall amb els eixos d’una funció. Reconèixer els màxims i mínims d’una funció a partir de la seva gràfica. Estudiar el creixement i decreixement d’una funció, i analitzar-ne la gràfica. Reconèixer les simetries i la periodicitat d’una funció, si en té.

CONTINGUTS

Conceptes Relació funcional. Variable independent i variable dependent. Funció contínua i funció discontínua. Domini i recorregut d’una funció. Funció creixent i funció decreixent. Màxims i mínims. Simetries i periodicitat.


Determinació de la relació entre dues variables, i assenyalar si és funcional o no.

Expressió d’una funció mitjançant llenguatge habitual, algebraic, numèric i gràfic, i obtenció d’unes expressions a partir de les altres.

Determinació de si una gràfica donada representa una funció o no. Anàlisi completa i representació gràfica d’una funció. Reconeixement de les funcions simètriques i periòdiques. Resolució de problemes reals, i determinar l’equació de la funció corresponent,

i realitzar-ne un estudi i representar-la. Interpretació de gràfiques representades sobre els mateixos eixos.

Actituds Interès i cura a l’hora de representar gràfiques. Valoració de la importància de les funcions per estudiar situacions de la vida

quotidiana.

115


Identificar i interpretar relacions funcionals expressades en distintes maneres (verbal, tabular, gràfica i algebraica), i realitzar transformacions entre les diverses maneres de representació.

Utilitzar el llenguatge algebraic per expressar situacions problemàtiques i relacionar aquesta forma expressiva amb unes altres: tabular, gràfica, descriptiva...



Determinar si la relació entre dues magnituds és una relació funcional o no. Expressar una funció de distintes formes: mitjançant texts, taules, fórmules i gràfiques, i obtenir

unes a partir d’unes altres. Analitzar la continuïtat d’una funció i determinar els seus màxims i mínims, si els té. Obtenir el domini, recorregut i punts de tall amb els eixos d’una funció. Calcular els intervals de creixement i decreixement d’una funció. Representar gràficament una funció. Determinar si una funció és periòdica o simètrica. Resoldre problemes reals que impliquen la utilització i representació de funcions. Analitzar gràfiques de diverses funcions representades en els mateixos eixos.

116

UNITAT 12. Funcions lineals i afins

OBJECTIUS

Reconèixer les situacions en què apareixen funcions lineals. Representar gràficament funcions lineals. Reconèixer el pendent d’una funció lineal i associar-lo amb el creixement i decreixement

d’aquest. Diferenciar les situacions en què apareixen funcions afins. Distingir el pendent i l’ordenada en l’origen d’una funció afí, i representar les funcions afins. Obtenir l’equació de la recta que passa per dos punts. Calcular el punt de tall de dues rectes secants de manera gràfica i analítica. Reconèixer i representar gràficament funcions constants. Estudiar funcions lineals i afins extretes de contexts reals, i representar-les gràficament.

CONTINGUTS

Conceptes Funció lineal, y = mx. Pendent d’una recta. Funció afí, y = mx + n. Ordenada en l’origen. Equació de la recta. Funcions constants.


Reconeixement i representació de funcions de la forma y = mx. Utilització de la relació entre el pendent d’una funció i el seu creixement. Obtenció del pendent i ordenada de funcions de la forma y = mx + n, i

representació gràfica d’aquestes. Càlcul de l’equació d’una recta coneguts dos punts, el seu pendent i l’ordenada

en l’origen, o el seu pendent i un punt pel qual passa. Representació de rectes paral·leles a l’eix X i a l’eix Y. Obtenció del punt de tall de dues rectes secants.

Actituds Gust per la representació neta i curosa de funcions. Valoració de la importància de les funcions en l’estudi de fenòmens. Reconeixement de la presència de les funcions lineals i afins en distintes

situacions de la vida quotidiana.

117


Representar i analitzar relacions funcionals senzilles (funció lineal), i utilitzar tant les tècniques de llapis i paper com la calculadora o ordinador.

Utilitzar el llenguatge algebraic per expressar situacions problemàtiques i relacionar aquesta forma expressiva amb altres: tabular, gràfica, descriptiva...

Conèixer, valorar i utilitzar sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com ara l’ordre, el contrast, la precisió i la revisió sistemàtica i crítica dels resultats.


Reconèixer i representar funcions lineals. Estudiar si una funció lineal és creixent o decreixent, i calcular-ne el pendent. Resoldre problemes reals on apareguin funcions lineals. Reconèixer funcions afins i representar-les, donats el seu pendent i la seva ordenada en l’origen. Obtenir l’equació d’una recta a partir de dos punts pels quals passa, del seu pendent i l’ordenada

en l’origen, o del seu pendent i un punt pel qual passa. Trobar el punt de tall de dues rectes secants. Representar rectes paral·leles als eixos. Resoldre problemes reals on apareguin funcions afins.

118

UNITAT 13. Estadística

OBJECTIUS

Distingir els conceptes de població i mostra. Classificar les variables estadístiques. Calcular la taula estadística associada a un conjunt de dades. Calcular les freqüències absolutes i relatives i les freqüències acumulades d’un conjunt de dades. Representar gràficament un conjunt de dades estadístiques de la manera més adequada. Distingir entre mesures de centralització i de dispersió. Calcular la mitjana, mediana i moda d’un conjunt de dades. Obtenir el primer, segon i tercer quartil d’un conjunt de dades. Calcular el recorregut i la desviació mitjana d’un conjunt de dades. Calcular la variància, desviació típica i coeficient de variació de distints conjunts de dades. Interpretar les mesures de centralització, posició i dispersió.

CONTINGUTS

Conceptes Població i mostra. Variables estadístiques. Tipus. Marca de classe. Freqüències absolutes, relatives i acumulades. Mitjana, mediana i moda. Quartils. Recorregut, desviació mitjana, variància, desviació típica i coeficient de

variació.Procediments, destreses i habilitats

Comprensió i distinció del concepte de població i mostra. Diferenciació de les variables en qualitatives o quantitatives i, dins d’aquestes,

en variables discretes i contínues. Construcció d’una taula estadística adequada al conjunt de dades, i calcular

freqüències absolutes, relatives i acumulades. Interpretació i representació de gràfics estadístics, i analitzar-ne de manera

crítica l’adequació a les dades i al context. Obtenció i interpretació de la mitjana, mediana i moda d’un conjunt de dades. Càlcul i interpretació del primer, segon i tercer quartil. Càlcul del recorregut i la desviació mitjana d’un conjunt de dades. Determinació i interpretació de la variància, desviació típica i coeficient de

variació d’un conjunt de dades.Actituds Anàlisi crítica dels gràfics estadístics.

Valoració de la importància d’un ús correcte de l’estadística a la societat per a l’estudi de variables.

119


Interpretar i presentar la informació estadística mitjançant taules, gràfiques i paràmetres estadístics, així com calcular els paràmetres estadístics bàsics, i utilitzar els mitjans més adequats (llapis i paper, calculadora o ordinador).

Reconèixer i calcular el resultat de les operacions numèriques bàsiques, decidir si és necessari donar una resposta exacta o aproximada i aplicar el mètode de càlcul pertinent (mental, algorismes de llapis i paper o calculadora).

Conèixer, valorar i utilitzar sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com ara l’ordre, el contrast, la precisió i la revisió sistemàtica i crítica dels resultats.


Distingir els conceptes de població i mostra. Reconèixer de quin tipus és una variable estadística. Elaborar taules estadístiques. Calcular les freqüències absolutes, relatives i acumulades. Determinar i dibuixar la representació gràfica més adequada per a un conjunt de dades. Calcular la mitjana, mediana i moda d’un conjunt de dades. Calcular el recorregut i la desviació mitjana d’un conjunt de dades. Determinar el primer, segon i tercer quartil d’un conjunt de dades. Calcular la variància, la desviació típica i el coeficient de variació de distints conjunts de dades. Comparar les mesures de centralització, posició i dispersió de dos conjunts de dades.

120

UNITAT 14. Probabilitat

OBJECTIUS

Distingir entre experiment aleatori i determinista. Obtenir l’espai mostral d’un experiment aleatori. Reconèixer els successos elementals, el succés segur i el succés impossible d’un experiment

aleatori. Realitzar unions i interseccions de successos. Distingir entre successos compatibles i incompatibles. Aplicar les propietats de les freqüències relatives en experiments aleatoris. Definir el concepte de probabilitat a partir de les freqüències relatives. Calcular la probabilitat de distints successos aplicant la regla de Laplace. Determinar la probabilitat de la unió de dos successos compatibles o incompatibles. Obtenir la probabilitat del succés contrari a un de donat.

CONTINGUTS

Conceptes Espai mostral. Succés elemental i succés compost. Succés segur i succés impossible. Unió i intersecció de successos. Succés contrari. Successos compatibles i successos incompatibles. Freqüències absolutes i relatives. Probabilitat d’un succés. Regla de Laplace.


Obtenció de l’espai mostral, els successos elementals, el succés segur i el succés impossible d’un experiment aleatori.

Càlcul de la unió i intersecció de dos successos donats. Distinció de successos compatibles, incompatibles i contraris. Obtenció de les freqüències absolutes i relatives de distints successos. Utilització de la regla de Laplace per al càlcul de probabilitats de distints

successos en contexts d’equiprobabilitat. Obtenció de la probabilitat de la unió de dos successos compatibles o

incompatibles, i del succés contrari a un de donat.Actituds Anàlisi crítica de les informacions sobre fenòmens aleatoris.

Valoració de la importància del càlcul de probabilitats en distints contexts de la vida diària.

121


Reconèixer situacions i fenòmens associats a la probabilitat i l’atzar, i resoldre problemes associats a aquests conceptes.

Reconèixer i calcular el resultat de les operacions bàsiques, decidir si és necessària una resposta exacta o aproximada i aplicar el mètode de càlcul més adequat (mental, algorismes de llapis i paper o calculadora).



Reconèixer si un experiment és aleatori o determinista. Calcular l’espai mostral d’un experiment aleatori. Obtenir els successos elementals, el succés segur i el succés impossible d’un experiment aleatori. Determinar el succés unió i el succés intersecció de dos successos aleatoris. Determinar si dos successos són compatibles o incompatibles. Obtenir la freqüència absoluta i la freqüència relativa d’un succés aleatori. Utilitzar les propietats de les freqüències relatives per resoldre distints problemes. Aplicar la llei de Laplace per calcular la propietat de distints successos. Calcular la probabilitat de la unió de dos successos compatibles o incompatibles. Obtenir la probabilitat del succés contrari a un succés donat.

122

Degut a la impossibilitat d’impartir la totalitat dels continguts d’aquesta matèria el Departament de Matemàtiques temporitza els continguts en base una programació real on les unitats que fan referència a Progressions i Isometries en el pla no s’imparteixen.

En general es preveu impartir:

Primer trimestre

1. Tema 1

Breu repàs d’operacions amb fraccions.Fraccions generatriusRepresentació sobre la recta numèrica dels nombres racionals.Intervals

2. Tema 2Nombres reals. Potències d’exponent negatiu.Notacióotació científica. ProblemesNombres irracionals.

3. Tema 3 Introducció al llenguatge algebraic.Repas d’operacions amb polinomis.Divisió de polinomisSimplificació de fraccions algebraiques: productes notables i factor comú.

4. Tema 4Breu repàs d’equacions de primer grau.Equació de segon grau. Problemes de plantejament, especialment de segon grau.

Segon trimestre

5. Tema 5Repas de resolució de sistemes d’equacions. Introducció del sistema de coordenades en la resolució gràfica dels sistemes Problemes de plantejament.

6. Tema 8Repàs del Teorema de Pitàgores.Breu repàs de les àrees de figures planes.Aplicacions de l’equació de segon grau a la resolució de problemes geomètrics.

3 Distribució temporal dels continguts de Tercer de l’ESO

123

7. Tema 9Poliedres: classificació, àrees i volums.Cossos de revolució: àrees i volums.Pitàgores i Tales a l’espai.

Es preveu que les setmanes que van des del final del segon trimestre fins a les vacances de Setmana Santa treballar el tema 13 d’Estadística que s’avaluarà mitjançant un treball en grup que comptarà com una nota del tercer trimestre.

Tercer trimestre

8. Tema 11.Concepte de funció.Taules de valors, gràfics i expressions algebraiques.Característiques d’una funció: domini, recorreguts, monotonia, continuïtat, periodicitat....

9. Tema 12Funcions lineal i afí: pendent i ordenada a l’origenEquació de la recta que passa per dos puntsFunció de proporcionalitat inversa

124

Tercer de l’ESO

La nota corresponent a cada una de les tres avaluacions s’obtindrà a partir d’unes mitjanes ponderades. El 80% de la nota es el resultant de les proves diverses sobre el continguts que l’alumne o l’alumna realitzi durant el trimestre. El 20% de la nota correspondrà a la valoració del treball a classe, del treball a casa (deures) i de la correcta presentació de la llibreta.

En aquest curs es realitzaran proves de recuperació de la primera i la segona avaluació després de les vacances de Nadal i de Setmana Santa respectivament. La nota en que es recupera una avaluació és un 5.



La prova extraordinària serà la mateixa per a tots els alumnes suspesos d’un mateix nivell de l’ESO, exceptuant els que hagin cursat un curriculum adaptat, i serà el professorat de cada nivell l’encarregat de preparar de manera coordinada aquesta prova que es realitza a finals del mes de juny.


125


MATEMÀTIQUES Quart de l’E.S.O.


126

1.Nombres reals Nombres racionals. Ordenació Nombres irracionals. Nombres reals. Representació en la recta real. Aproximacions i errors. Intervals.

2.Potències i arrels Notació científica. Arrel enèsima d’un nombre Potències amb exponent fraccionari Operacions amb arrels.

3.Polinomis Operacions. Regla de Ruffini. Arrels d’un polinomi. Teorema del residu. Factorització.

4.Equacions i inequacions. Equacions i sistemes. Desigualtats. Inequacions amb una incògnita. Problemes de plantejament

5.Semblança. Triangles semblants. Teorema de Tales Mesures indirectes. Polígons semblants. Escales.

6.Trigonometria Raons trigonomètriques. Relació entre les raons trigonomètriques Raons trigonomètriques dels angles de 30, 45 i 60 graus. Resolució de triangles.

7.Introducció a la geometria anlítica Vectors. Mòdul i argument Operacions amb vectors. Punt mig d’un segment.

8.Rectes i circumferències Equació d’una corba.

1 Continguts

127

Equacions de la recta Traçat de rectes. Posició relativa Circumferència.

9.Estudi gràfic d’una funció Concepte de funció. Domini i recorregut Creixement i decreixement Màxims i mínims Continuïtat Punts de tall amb els eixos Periodicitat i simetria Operacions amb funcions.

10. Funcions polinòmiques de primer i de segon grau. Funcions polinòmiques de primer grau. Funcions polinòmiques de segon grau. Funcions radicals

11. Funció de proporcionalitat inversa. Funció exponencial Funció de proporcionalitat inversa Representació gràfica d’hipèrboles. Funció exponencial Transformacions geomètriques de la funció exponencial.

128

1. Nombres reals

Objectius

• Expressar una fracció en forma decimal.• Obtenir la fracció generatriu d’un nombre decimal.• Utilitzar la relació entre els nombres racionals i els nombres decimals periòdics.• Representar nombres racionals a la recta numèrica.• Reconèixer els nombres irracionals com a nombres decimals il·limitats no periòdics.• Representar, a la recta real, nombres reals i intervals.• Expressar intervals de nombres reals.• Obtenir una seqüència d’aproximacions decimals per defecte i per excés d’un

nombre irracional.• Aproximar nombres decimals mitjançant arrodoniment i truncament fins a un ordre

donat.• Trobar l’error absolut i l’error relatiu d’una aproximació.• Calcular la cota d’error d’una aproximació.• Obtenir aproximacions fent servir la calculadora.• Expressar nombres en notació científica i operar-hi.

Continguts

• Nombres racionals. Nombres irracionals.• Nombres reals. Ordre a R.• Ordenació i representació de nombres reals en la recta real.• Arrodoniment i truncament. Error absolut i relatiu.• Determinació dels conjunts numèrics als quals pertany un nombre.• Càlcul de l’expressió decimal d’una fracció.• Obtenció de la fracció generatriu d’un nombre decimal.• Reconeixement i construcció de nombres irracionals.• Representació i expressió d’intervals de nombres reals.• Expressió d’un nombre irracional mitjançant una successió d’intervals encaixats.• Arrodoniment i truncament de nombres reals, determinant-ne l’error absolut i relatiu

comès i la cota d’error.• Obtenció d’aproximacions d’un nombre irracional.• Ús de la calculadora per obtenir aproximacions.• Expressió de nombres en notació científica.• Valoració de la utilitat dels nombres reals en diversos contextos.• Confiança en la pròpia capacitat de resolució de problemes numèrics.



129

• Tractament de la informació i competència digital.• Competència d’aprendre a aprendre.• Competència d’autonomia i iniciativa personal.


• Distingir els conjunts numèrics, i determinar els conjunts als quals pertany un nombre.

• Calcular l’expressió decimal d’un nombre racional, i assenyalar de quin tipus és.• Obtenir la fracció generatriu d’un nombre decimal.• Reconèixer i construir nombres irracionals.• Ordenar i representar en la recta qualsevol conjunt de nombres reals.• Representar i expressar intervals de nombres reals.• Expressar un nombre irracional mitjançant una successió de nombres decimals per

defecte, per excés i per una successió d’intervals encaixats.• Arrodonir i truncar qualsevol nombre real, i determinar l’error absolut i relatiu

comès i la cota d’error.• Obtenir aproximacions d’un nombre irracional.• Fer servir la calculadora per obtenir aproximacions.• Escriure nombres en notació científica i operar-hi.

130

2. Potències i radicals

Objectius

• Operar amb potències de base real i exponent natural.• Determinar el signe d’una potència a partir de la seva base i el seu exponent.• Calcular potències d’exponent enter.• Operar amb potències de base real i exponent enter.• Reconèixer les parts d’un radical i el seu significat.• Obtenir radicals equivalents a un de donat.• Expressar un radical com a potència d’exponent fraccionari, i a la inversa.• Operar amb radicals.• Racionalitzar expressions amb arrels al denominador.• Calcular i interpretar el valor numèric d’un radical.

Continguts

• Potències de base real i exponent enter.• Radicals. Radicals equivalents.• Racionalització.• Càlculs amb potències de base real i exponent natural.• Determinació del signe d’una potència a partir de la seva base i el seu exponent.• Obtenció del valor d’una potència d’exponent enter.• Càlculs amb potències de base real i exponent enter.• Reconeixement de les parts d’un radical, i obtenció de radicals equivalents a un de

donat.• Expressió d’un radical com a potència d’exponent fraccionari, i a la inversa.• Operacions amb radicals.• Racionalització d’expressions amb arrels al denominador.• Càlcul i interpretació del valor numèric d’un radical.• Valoració de la utilitat de les potències i els radicals.• Valoració de la importància dels nombres racionals en les operacions amb radicals.



131


• Operar amb potències de base real i exponent natural.• Determinar el signe d’una potència a partir de la seva base i el seu exponent.• Desenvolupar les igualtats notables.• Calcular potències d’exponent enter.• Operar amb potències de base real i exponent enter.• Reconèixer les parts d’un radical i obtenir radicals equivalents a un de donat.• Expressar un radical com a potència d’exponent fraccionari, i a la inversa.• Operar amb radicals.• Racionalitzar expressions amb arrels al denominador.• Calcular el valor numèric d’un radical.

132

3. Polinomis i fraccions algebraiquesObjectius

• Sumar i restar polinomis.• Multiplicar i dividir polinomis.• Aplicar la regla de Ruffini per dividir un polinomi entre el binomi (x - a).• Comprendre el concepte d’arrel d’un polinomi.• Calcular el valor numèric d’un polinomi i trobar-ne les arrels enteres.• Obtenir les arrels enteres d’un polinomi a partir dels divisors del terme independent.• Calcular potències de polinomis.• Trobar la potència d’un binomi, utilitzant el triangle de Tartaglia.• Factoritzar un polinomi.• Identificar i simplificar fraccions algebraiques.• Fer operacions amb fraccions algebraiques.

Continguts

• Operacions amb polinomis.• Regla de Ruffini.• Arrel d’un polinomi.• Factorització de polinomis.• Fracció algebraica.• Realització de sumes, restes, multiplicacions i divisions de polinomis.• Aplicació de la regla de Ruffini per dividir un polinomi entre el binomi (x - a).• Obtenció de les arrels enteres d’un polinomi a partir dels divisors del terme

independent.• Interpretació del concepte d’arrel d’un polinomi.• Càlcul de les arrels enteres d’un polinomi.• Factorització d’un polinomi.• Simplificació de fraccions algebraiques.• Valoració del llenguatge algebraic com un mètode eficaç per resoldre problemes de

la vida quotidiana.• Perseverança i flexibilitat a l’hora de resoldre problemes, valorant les opinions

aportades pels altres.



133


• Fer sumes, restes, multiplicacions i divisions de polinomis.• Aplicar la regla de Ruffini per dividir un polinomi entre el binomi (x - a).• Trobar el valor numèric i les arrels d’un polinomi.• Obtenir les arrels enteres d’un polinomi a partir dels divisors del terme independent.• Factoritzar un polinomi.• Fer operacions amb fraccions algebraiques.

134

4. Equacions i inequacions

Objectius

• Reconèixer les equacions de segon grau i classificar-les.• Resoldre equacions de segon grau completant quadrats i aplicant la fórmula general.• Resoldre problemes mitjançant equacions de segon grau.• Reconèixer les inequacions de primer grau amb una incògnita, i els seus elements,

resoldre-les i representar-ne el conjunt solució.• Identificar les inequacions de primer grau amb dues incògnites, i obtenir-ne el

conjunt solució.• Aplicar les equacions i inequacions en la resolució de problemes.

Continguts

• Equacions de segon grau i biquadrades.• Equacions amb radicals, factoritzades i amb fraccions algebraiques.• Inequacions de primer grau amb una incògnita i amb dues.• Reconeixement i classificació de les equacions de segon grau.• Resolució d’equacions biquadrades, amb radicals, factoritzades i amb fraccions

algebraiques.• Resolució d’inequacions de primer grau, i representació del conjunt solució.• Identificació de les inequacions de primer grau amb dues incògnites, i obtenció de la

seva solució.• Resolució de problemes reals amb equacions i inequacions.• Valoració dels sistemes d’equacions com un instrument útil per representar,

comunicar i resoldre problemes.• Interès i cura a l’hora de fer càlculs per resoldre les equacions de segon grau i les

inequacions.


• Competència d’aprendre a aprendre.• Competència d’autonomia i iniciativa personal.

135


• Reconèixer les equacions de primer i segon grau i classificar-les.• Determinar el nombre de solucions de les equacions de segon grau pel seu

discriminant.• Resoldre equacions biquadrades.• Resoldre equacions amb radicals, factoritzades i amb fraccions algebraiques.• Resoldre inequacions de primer grau i representar el conjunt solució.• Resoldre problemes mitjançant equacions de segon grau i inequacions de primer

grau.• Reconèixer inequacions de primer grau amb dues incògnites, i obtenir-ne solucions

particulars i el conjunt solució.• Plantejar i resoldre problemes reals amb equacions i inequacions.

136

5. Sistemes d’equacions Objectius

• Determinar les solucions d’un sistema de dues equacions amb dues incògnites gràficament i mitjançant els mètodes de substitució, igualació i reducció.

• Classificar un sistema d’equacions lineals segons el seu nombre de solucions.• Resoldre sistemes d’equacions no lineals.• Resoldre sistemes d’inequacions de primer grau amb una incògnita i representar el

conjunt solució.• Aplicar els sistemes d’equacions i inequacions en la resolució de problemes.

Continguts

• Sistemes d’equacions. Classificació. Mètodes de resolució.• Sistemes d’equacions no lineals.• Sistemes d’inequacions lineals amb una incògnita.• Resolució de sistemes de dues equacions amb dues incògnites mitjançant els

mètodes de substitució, igualació i reducció.• Determinació gràfica de les solucions d’un sistema.• Resolució de sistemes d’equacions no lineals.• Resolució de sistemes d’inequacions de primer grau amb una incògnita, i

representació del conjunt solució.• Resolució de problemes reals amb sistemes d’equacions i inequacions.• Valoració de la importància dels sistemes d’equacions per representar, comunicar i

resoldre problemes.• Interès i cura a l’hora de fer els càlculs per resoldre les equacions de segon grau i les

inequacions.


• Competència d’aprendre a aprendre.• Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Competència matemàtica.


• Resoldre sistemes d’equacions lineals.• Classificar, segons el nombre de solucions, sistemes d’equacions lineals.• Resoldre sistemes d’equacions no lineals.• Resoldre sistemes d’inequacions de primer grau amb una incògnita, i representar el

conjunt solució.• Plantejar i resoldre problemes reals amb sistemes d’equacions i inequacions.

137

6. Semblança

Objectius

• Reconèixer quan dues figures són semblants.• Trobar la figura transformada d’una figura donada mitjançant una semblança.• Construir figures semblants.• Formular i aplicar el teorema de Tales.• Reconèixer i dibuixar triangles semblants.• Conèixer els criteris de semblança de triangles.• Aplicar criteris per determinar la semblança en triangles rectangles.• Resoldre problemes de semblança de figures planes.• Aplicar les tècniques de semblança als problemes de càlcul de distàncies entre punts

inaccessibles.• Estudiar el comportament de la raó de semblança entre les superfícies o els volums

de figures semblants.

Continguts

• Semblança i raó de semblança.• Teorema de Tales.• Criteris de semblança de triangles.• Escales.• Càlcul de la raó de semblança de dues figures i obtenció de figures semblants a una

figura donada.• Aplicació del teorema de Tales en contextos diferents.• Resolució de problemes de semblança de triangles aplicant-hi els criteris de

semblança.• Aplicació de la raó dels perímetres i les àrees de dues figures semblants en la

resolució de problemes.• Utilització d’escales.• Càlcul d’àrees i volums de figures semblants mitjançant la raó de semblança.• Valoració de les eines que proporciona l’estudi de figures semblants per a la

resolució de nombrosos problemes de la vida real.• Reconeixement de la utilitat de les relacions mètriques i les qualitats estètiques dels

moviments a la realitat.


• Competència en coneixement i la interacció amb el món físic.• Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Competència matemàtica.

138


• Reconèixer figures semblants i calcular-ne la raó de semblança.• Obtenir figures semblants a una figura donada.• Aplicar el teorema de Tales en contextos diferents.• Resoldre problemes de semblança de triangles aplicant-hi els criteris de semblança.• Conèixer les relacions que s’obtenen dels criteris de semblança en triangles

rectangles.• Utilitzar els coneixements de semblança en el càlcul de distàncies entre punts

inaccessibles.• Fer servir el concepte d’escala entre figures semblants.• Calcular la raó de semblança de dues figures.• Relacionar la raó de semblança de figures semblants amb la raó dels seus perímetres,

àrees o volums.

139

7. Trigonometria

Objectius

• Reconèixer i determinar les raons trigonomètriques d’un angle agut.• Calcular les raons dels angles de 30º, 45º i 60º.• Fer servir la relació fonamental de la trigonometria.• Trobar les raons trigonomètriques d’un angle donat a partir d’una d’aquestes raons.• Resoldre un triangle rectangle coneixent-ne dos costats o un costat i un angle agut.• Utilitzar la calculadora per resoldre problemes trigonomètrics.• Aplicar la trigonometria en la resolució de problemes reals.

Continguts

• Raons trigonomètriques d’un angle.• Relació fonamental de la trigonometria.• Resolució de triangles rectangles.• Distinció de les raons trigonomètriques d’un angle agut: sinus, cosinus i tangent, i

càlcul de les raons a partir de les dades en contextos diferents.• Utilització de la calculadora per trobar el sinus, el cosinus o la tangent d’un angle.• Resolució de triangles rectangles, coneguts dos dels costats, o un costat i un angle

agut.• Càlcul de l’àrea d’un triangle, coneguts dos dels costats i l’amplitud de l’angle

comprès entre aquests costats.• Utilització de la trigonometria per resoldre problemes geomètrics reals.• Reconeixement de la utilitat de la trigonometria per resoldre problemes reals.• Gust per la resolució raonada, ordenada i acurada de problemes de trigonometria.


• Competència matemàtica.• Competència d’autonomia i iniciativa personal.


• Reconèixer i determinar les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol.• Obtenir raons trigonomètriques amb calculadora.• Fer servir la relació fonamental de la trigonometria.• Trobar totes les raons trigonomètriques d’un angle a partir d’una d’aquestes raons.• Resoldre un triangle rectangle, coneixent-ne dos costats o un costat i un angle agut.• Aplicar la trigonometria en la resolució de problemes geomètrics a la vida

quotidiana.

140

8. Geometria analítica

Objectius

• Obtenir les coordenades d’un vector a partir de les coordenades dels punts origen i extrem.

• Trobar el mòdul d’un vector, donades les seves coordenades.• Calcular, gràficament i analíticament, sumes i restes de vectors i el producte d’un

vector per un nombre.• Obtenir la distància entre dos punts del pla i calcular el punt mitjà d’un segment.• Reconèixer i calcular l’equació vectorial d’una recta.• Conèixer i determinar les equacions paramètriques d’una recta.• Identificar i calcular l’equació contínua d’una recta.• Distingir i calcular l’equació general d’una recta.• Determinar la posició de dues rectes en el pla.• Obtenir analíticament distàncies entre dos punts i punts mitjans de segments en el

pla.• Obtenir analíticament rectes que compleixen determinades condicions en el pla.

Continguts

• Vector: direcció, mòdul, sentit i coordenades.• Vectors equivalents.• Operacions amb vectors.• Equació vectorial d’una recta.• Equacions paramètriques d’una recta.• Equació contínua. Rectes paral·leles als eixos de coordenades.• Equació explícita. Equació punt-pendent.• Equació general.• Posicions de dues rectes en el pla.• Propietats analítiques i mètriques.• Determinació de les característiques d’un vector en el pla: mòdul, direcció i sentit,

com també dels seus components, i representació gràfica d’aquest.• Càlcul, de manera gràfica i analítica, de sumes i restes de vectors, del producte d’un

vector per un nombre i de la translació d’un punt per un vector.• Obtenció de l’equació vectorial d’una recta, donats dos punts.• Càlcul de les equacions paramètriques d’una recta, donats dos punts.• Determinació de l’equació contínua d’una recta.• Càlcul de l’equació explícita i de l’equació punt-pendent d’una recta.• Determinació de les posicions de dues rectes en el pla.• Reconeixement de la utilitat de la geometria analítica per resoldre problemes reals.• Gust per la resolució raonada, ordenada i acurada de problemes de geometria

analítica.

141




• Obtenir les coordenades d’un vector a partir de les coordenades dels punts origen i extrem.

• Calcular el mòdul d’un vector, donades les seves coordenades.• Trobar, gràficament i analíticament, sumes i restes de vectors, i el producte del

vector per un nombre.• Reconèixer i calcular l’equació vectorial d’una recta.• Obtenir les equacions paramètriques d’una recta a partir de l’equació vectorial.• Calcular les equacions paramètriques d’una recta que passa per dos punts.• Determinar l’equació contínua d’una recta, a partir de l’equació vectorial.• Calcular l’equació explícita d’una recta, a partir de l’equació contínua.• Obtenir l’equació punt-pendent d’una recta, a partir de l’equació explícita.• Calcular l’equació general d’una recta.• Distingir si un punt pertany a una recta o no.• Determinar la posició de dues rectes en el pla.

142

9. Funcions

Objectius

• Comprendre el concepte de funció.• Expressar una funció de maneres diferents: taules, gràfics...• Obtenir una taula a partir de la gràfica d’una funció, i a l’inrevés.• Trobar el domini i el recorregut d’una funció, donada la seva gràfica o expressió

algebraica.• Representar i treballar amb funcions definides a trossos.• Identificar si una funció és contínua o no, i reconèixer-ne els punts de discontinuïtat.• Determinar el creixement o el decreixement d’una funció.• Obtenir els màxims i els mínims d’una funció.• Distingir les simetries d’una funció.• Reconèixer si una funció és periòdica, i identificar-ne el període.

Continguts

• Funció: variable dependent i independent, domini i recorregut.• Continuïtat d’una funció.• Creixement i decreixement. Màxims i mínims.• Punts de tall amb els eixos. Simetries. Periodicitat.• Funcions definides a trossos.• Obtenció del domini i el recorregut d’una funció.• Càlcul d’imatges en una funció.• Determinació dels punts de tall d’una funció amb els eixos.• Estudi de la continuïtat d’una funció en un punt.• Anàlisi del creixement d’una funció, i obtenció dels seus màxims i mínims.• Determinació de les simetries d’una funció respecte de l’eix Y i respecte de l’origen,

i reconeixement de si una funció és parella o imparella.• Anàlisi de la periodicitat d’una funció.• Representació i anàlisi de funcions definides a trossos.• Interès i cura a l’hora de representar funcions.• Reconeixement de la utilitat de les funcions per representar i expressar situacions de

la vida quotidiana.


• Competència matemàtica.• Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Competència social i ciutadana.

143


• Trobar el domini i el recorregut d’una funció, donada la seva gràfica i expressió algebraica.

• Obtenir imatges d’una funció.• Calcular els punts de tall d’una funció amb els eixos de coordenades.• Determinar si una funció és contínua o discontínua en un punt.• Determinar el creixement i el decreixement d’una funció, i obtenir-ne els màxims i

els mínims.• Distingir les simetries d’una funció respecte de l’eix Y i de l’origen, i identificar si

una funció és parella o imparella.• Reconèixer si una funció és periòdica.• Representar funcions definides a trossos.

144

10. Funcions polinòmiques, racionals i exponencials

Objectius

• Distingir les funcions polinòmiques pel grau: de primer grau, les gràfiques de les quals són rectes, i de segon grau, les gràfiques de les quals són paràboles.

• Identificar els elements principals d’una paràbola: vèrtex i eix de simetria.• Calcular els punts de tall d’una funció de segon grau amb els eixos de coordenades.• Determinar el creixement i el decreixement d’una funció de segon grau.• Obtenir gràfiques de funcions de segon grau mitjançant translacions de la gràfica de

la funció y = ax2.• Representar gràficament i analitzar qualsevol tipus de paràbola a partir de l’estudi de

les seves característiques.• Obtenir la gràfica d’una funció de proporcionalitat inversa a partir d’una taula o de

la seva expressió algebraica.• Reconèixer funcions de proporcionalitat inversa i traçar-ne les gràfiques, que són

hipèrboles.• Interpretar i representar una funció exponencial del tipus y = ax amb a > 0 i a ≠ 1.• Interpretar i representar una funció exponencial del tipus y = ak·x amb k ≠ 0 • Aplicar les propietats de les funcions exponencials en la resolució de problemes. • Aplicar la fórmula de l’interès compost en la resolució de problemes.

Continguts

• Funcions polinòmiques de primer i segon grau: rectes i paràboles.• Funcions de proporcionalitat inversa: hipèrboles i funcions racionals.• Funcions exponencials del tipus y = ax, y = ak·x i y = ax+b.• Obtenció del domini i el recorregut d’una funció de segon grau. Anàlisi del seu

creixement.• Representació gràfica d’una funció polinòmica de segon grau, y = ax2 + bc + c, a

partir de l’estudi de les seves característiques.• Reconeixement de les funcions de proporcionalitat inversa, com també de les seves

propietats.• Representació gràfica d’una funció racional y=k/x-a i y=(k/x-a)+b a partir de

transformacions de la funció y=k/x.• Interpretació i representació d’una funció exponencial.• Aplicació de la fórmula de l’interès compost en la resolució de problemes de la vida

quotidiana.• Gust per la presentació acurada a l’hora de representar funcions.• Valoració de la utilitat dels diferents tipus de funcions per representar i expressar

situacions de la realitat.

145


• Competència matemàtica.

• Competència d’autonomia i iniciativa personal.

• Competència d’aprendre a aprendre.


• Obtenir el domini i el recorregut d’una funció de segon grau i analitzar-ne el creixement.

• Calcular els punts de tall d’una funció quadràtica amb els eixos.• Representar gràficament una funció de segon grau a partir de l’estudi de les seves

característiques, o bé mitjançant translacions.• Estudiar i representar gràficament funcions de proporcionalitat inversa.• Resoldre problemes en què apareguin funcions de proporcionalitat inversa.• Reconèixer les funcions racionals i determinar-ne el domini.• Representar una funció racional a partir de les translacions i les dilatacions de la

gràfica de la funció y=k/x.• Determinar analíticament i gràficament la funció exponencial.• Identificar i interpretar les gràfiques de les funcions exponencials.• Aplicar les propietats de les funcions exponencials en la resolució de problemes.• Utilitzar la fórmula de l’interès compost.

146

11. Estadística unidimensional

Objectius

• Interpretar i representar una funció exponencial del tipus y = ax, amb a > 0 i a ≠ 1.• Interpretar i representar una funció exponencial del tipus f(x) = ak·x, amb k ≠ 0.• Interpretar i representar una funció exponencial y = ax + b com una translació

vertical de y = ax.• Interpretar i representar una funció exponencial y = ax + b com una translació

horitzontal de y = ax.• Interpretar i representar una funció logarítmica.• Aplicar les propietats de les funcions exponencials i logarítmiques en la resolució de

problemes.• Aplicar la fórmula de l’interès compost en la resolució de problemes.

Continguts

• Funcions exponencials del tipus y = ax, y = ax + b i y = ax+b.• Interès compost.• Logaritmes: propietats.• Funció logarítmica.• Interpretació i representació d’una funció exponencial.• Aplicació de la fórmula de l’interès compost en la resolució de problemes de la vida

quotidiana.• Càlcul del logaritme d’un nombre i realització d’operacions amb logaritmes en

diferents bases.• Interpretació i representació d’una funció logarítmica.• Utilització de les propietats dels logaritmes per resoldre problemes.• Realització d’operacions amb funcions exponencials i amb logaritmes.• Identificació de la funció logarítmica com a funció inversa de la funció exponencial.• Gust per la presentació acurada a l’hora de representar funcions.• Valoració de la utilitat dels diferents tipus de funcions per representar i expressar

situacions de la realitat.


• Competència matemàtica.• Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Competència d’aprendre a aprendre.

147


• Determinar, analíticament i gràficament, la funció exponencial.• Identificar i interpretar les gràfiques de les funcions exponencials.• Aplicar les propietats de les funcions exponencials en la resolució de problemes.• Utilitzar la fórmula de l’interès compost.• Calcular el logaritme d’un nombre i operar amb logaritmes.• Interpretar i representar les gràfiques de les funcions logarítmiques.• Aplicar les propietats de les funcions exponencials i logarítmiques en la resolució de

problemes.

148

12. Distribucions bidimensionals

Objectius

• Representar i interpretar una distribució bidimensional.• Distingir si les variables tenen una relació funcional o estadística.• Fer una valoració aproximada del grau de correlació segons el núvol de punts.• Calcular el coeficient de correlació de Pearson. • Determinar la recta que millor s’ajusta a un núvol de punts mitjançant el mètode dels

mínims quadrats.• Predir o estimar el valor d’una variable coneixent el valor de l’altra en una

distribució amb correlació forta.

Continguts

• Dependència estadística i dependència funcional.• Distribucions bidimensionals. • Taules simples i de doble entrada.• Núvol de punts.• Idea de correlació.• Coeficient de correlació lineal.• Recta de regressió. • Estimació.• Reconeixement de situacions de dependència funcional o estadística en situacions

diverses. • Construcció de taules que representin distribucions bidimensionals.• Representació gràfica de variables estadístiques bidimensionals.• Reconeixement del tipus de correlació que hi ha entre dues variables. • Càlcul de la covariança. • Càlcul i interpretació del coeficient de correlació. • Obtenció de la recta de regressió d’una distribució bidimensional.• Utilització de les distribucions bidimensionals per a l’estudi i la interpretació de

problemes sociològics, científics o de la vida quotidiana. • Utilització de la calculadora, en manera LR, per al tractament de distribucions

bidimensionals.• Valoració de la utilitat de la regressió per fer estimacions i prediccions.• Anàlisi crítica dels resultats.



149


• Distingir una relació funcional d’una estadística.• Expressar en forma de taula les freqüències de dues variables.• Representar una distribució bidimensional mitjançant un núvol de punts.• Calcular el valor de la covariança d’una distribució bidimensional. • Calcular el valor del coeficient de correlació lineal entre dues variables. • Obtenir la recta de regressió d’una variable bidimensional.• Fer estimacions i predicció a partir de la recta de regressió així com interpretar

aquesta estimació.

150

13. Distribucions bidimensionals

Objectius

• Fer servir el mètode del producte i el diagrama d’arbre com a mètodes de comptatge.• Conèixer i aplicar les propietats dels nombres combinatoris.• Distingir entre variacions sense repetició i amb repetició.• Reconèixer les permutacions com a cas particular de les variacions, i calcular-ne el

valor.• Comprendre el concepte de combinacions i distingir-les de les variacions i les

permutacions.• Calcular el nombre de grups que es formen mitjançant variacions, permutacions i

combinacions.• Utilitzar les propietats dels nombres combinatoris per obtenir la potència d’un

binomi (binomi de Newton).• Aplicar la combinatòria en la resolució de problemes de la vida diària.

Continguts

• Mètodes de comptatge: mètode del producte i diagrames d’arbre.• Nombres combinatoris. Propietats.• Variacions sense repetició i amb repetició.• Permutacions.• Combinacions.• Binomi de Newton.• Utilització del mètode del producte i del diagrama d’arbre en la resolució de

problemes de la vida real.• Distinció entre variació amb repetició i sense.• Obtenció del nombre de grups que es formen en el cas de variacions amb repetició i

sense.• Reconeixement de les permutacions com un cas particular de les variacions, i càlcul

del seu valor.• Utilització de les combinacions en diferents contextos, i determinació dels diferents

grups que es formen.• Ús dels nombres combinatoris per obtenir la potència d’un binomi.• Aplicació de la combinatòria en la resolució de problemes de la vida quotidiana.• Valoració de la utilitat de la combinatòria per resoldre problemes reals.• Atenció i cura a l’hora de calcular els diferents grups que es formen mitjançant

combinatòria.


• Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Competència matemàtica.

151


• Fer servir el mètode del producte i el diagrama d’arbre en situacions de la vida quotidiana.

• Distingir entre variacions sense repetició i variacions amb repetició.• Calcular el nombre de grups que es formen en el cas de variacions amb repetició i

sense.• Reconèixer les permutacions com a cas particular de les variacions, i calcular-ne el

valor.• Comprendre el concepte de combinacions i distingir-les de les variacions i les

permutacions.• Aplicar les propietats dels nombres combinatoris per obtenir la potència d’un

binomi.• Fer servir la combinatòria en la resolució de problemes de la vida quotidiana.• Veure la pàgina 396 de la guia.

152

14. Probabilitat

Objectius

• Distingir entre experiments aleatoris i deterministes.• Reconèixer els esdeveniments d’un experiment aleatori, i fer-hi operacions.• Distingir quan dos esdeveniments són compatibles o incompatibles.• Fer servir la relació entre freqüència relativa i probabilitat.• Calcular la probabilitat d’esdeveniments equiprobables mitjançant la regla de

Laplace.• Trobar probabilitats d’esdeveniments compatibles i incompatibles.• Obtenir probabilitats en contextos de no equiprobabilitat.• Distingir entre experiment aleatori simple i compost.• Resoldre problemes de probabilitat condicionada.• Aplicar la regla del producte.• Utilitzar la probabilitat en situacions de la vida quotidiana.

Continguts

• Experiments aleatoris. Esdeveniments. Operacions amb esdeveniments.• Freqüència i probabilitat. Regla de Laplace.• Probabilitat d’esdeveniments compatibles i incompatibles.• Experiments compostos.• Probabilitat condicionada.• Regla del producte.• Probabilitat d’esdeveniments dependents i independents.• Anàlisi de l’aleatorietat o el determinisme d’un experiment.• Realització d’operacions amb els esdeveniments d’un experiment aleatori.• Diferenciació entre esdeveniments compatibles i incompatibles.• Utilització de la relació entre freqüència relativa i probabilitat.• Càlcul de la probabilitat d’esdeveniments equiprobables mitjançant la regla de

Laplace.• Obtenció de probabilitats d’esdeveniments compatibles i incompatibles.• Càlcul de probabilitats en contextos de no equiprobabilitat.• Distinció entre experiments aleatoris simples i compostos.• Resolució de problemes de probabilitat condicionada.• Càlcul de probabilitats d’esdeveniments independents i dependents.• Aplicació de la regla del producte en problemes de probabilitat.• Anàlisi crítica de les informacions referides a contextos d’atzar.• Interès i cura a l’hora de calcular probabilitats.


• Competència matemàtica.• Competència d’autonomia i iniciativa personal.• Competència social i ciutadana.

153


• Distingir entre experiments aleatoris i experiments deterministes.• Reconèixer els esdeveniments d’un experiment aleatori, i fer-hi operacions.• Utilitzar la relació entre freqüència relativa i probabilitat.• Calcular la probabilitat d’esdeveniments equiprobables mitjançant la regla de

Laplace.• Distingir quan dos esdeveniments són compatibles o incompatibles, i trobar-ne les

probabilitats.• Obtenir probabilitats en contextos de no equiprobabilitat.• Distingir entre experiments aleatoris simples i compostos.• Resoldre problemes en contextos de probabilitat condicionada.• Calcular probabilitats d’esdeveniments independents i dependents.• Aplicar la regla del producte en problemes de probabilitat.

154

Degut a la impossibilitat d’impartir la totalitat dels continguts d’aquesta matèria el Departament de Matemàtiques temporitza els continguts en base una programació real.


Primer trimestre

1. Tema 1. Nombres reals: racionals i irracionals.Recta real i intervals

2. Tema 2.Propietats de les potències.Operacions amb radicals.

3. Tema 3 Repàs de polinomis.Regla de Ruffini.Arrels d’un polinomi.Factorització.Fraccions algebraiques

4. Tema 4

Equacions de primer i segon grau.

Equacions biquadrades i irracionals.

Inequacions.

Segon trimestre

1. Tema 5

Sistemes d’equacions no lineals.

Sistemes d’ inequacions.

2. Tema 6

Semblança.

Semblança en triangles rectangles com introducció a la trigonometria.

3. Tema 7 Raons trigonomètriques d’un angle agut.Relació entre les raons trigonomètriques.Resolució de triangles rectangles.Concepte de radian.

3 Distribució temporal dels continguts

155

Tercer trimestre

4. Tema 9Concepte de funció.Taules de valors, gràfics i expressions algebraiques.

Característiques d’una funció: domini, recorreguts, monotonia, continuïtat, periodicitat....

5. Tema 10

Funcions polinòmiques.

Funcions racionals

Funcions exponencials.

156

Quart de l’ESO

La nota corresponent a cada una de les tres avaluacions s’obtindrà a partir de les proves diverses que l’alumnat hagi realitzat al llarg del trimestre. En aquest curs es realitzaran proves de recuperació de la primera i la segona avaluació després de les vacances de Nadal i de Setmana Santa respectivament. La nota en que es recupera una avaluació és un 5.



La prova extraordinària serà la mateixa per a tots els alumnes suspesos d’un mateix nivell de l’ESO, exceptuant per aquells alumnes que hagin cursat un curriculum adaptat, i serà el professorat de cada nivell l’encarregat de preparar de manera coordinada aquesta prova que es realitza a finals del mes de juny.


157

S. IcàriaBarcelonaDepartament de Matemàtiques

MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIENCIES SOCIALS


158

INTRODUCCIÓ

Les matemàtiques, a mesura que ha anat avançant la història, s’han col·locat en una posició de privilegi per afrontar la realitat que ens envolta. Qui hauria dit als nostres avantpassats de fa milers d’anys, quan començaren a comptar, que amb aquest simple gest començaria la modelització del nostre entorn?Actualment, qualsevol intent de descriure científicament un fet passa per la construcció del seu model matemàtic o, per a les disciplines d’humanitats, pel desenvolupament d’una línia logicodeductiva de raonament.No és concebible, avui en dia, una disciplina humana en la qual les matemàtiques, tant en la seva aplicació pràctica com en la seva “forma de fer”, no siguin considerades necessàries. No debades, el currículum oficial estableix estudis matemàtics en cada una de les quatre modalitats en què es divideix el Batxillerat.Per tot això, els continguts conceptuals, procedimentals i actitudinals del currículum que desenvolupem en aquest projecte, no es queden en una mera presentació matemàtica, sinó que es relacionen amb totes les àrees del coneixement del Batxillerat.En l’etapa obligatòria de l’ensenyament secundari s’ha fet un estudi de les matemàtiques que podríem anomenar “poc formal”. És ara quan s’acosta la fi de l’ensenyament secundari, i en aquest moment convé formalitzar i desenvolupar totes aquestes intuïcions que els alumnes i les alumnes adquiriren en etapes precedents de la seva educació. En primer terme, aquesta formalització ha de crear en l’estudiant habilitats per oferir explicacions clares i raonades dels seus propis arguments; ha de fer que relacioni tots els continguts matemàtics apresos fins ara; l’ha de dotar d’un llenguatge universalment acceptat, etc. I, en segon lloc, ha de preparar aquells alumnes que desitgen seguir estudis tècnics i científics superiors, perquè portin a bon terme els seus projectes futurs.El desenvolupament d’aquesta matèria contribuirà al fet que les alumnes i els alumnes adquireixin les capacitats següents:

— Comprendre els conceptes, procediments i estratègies matemàtiques que permeten a l’alumnat avançar en la pròpia matemàtica, en les seves connexions i aplicacions amb altres matèries, per poder accedir a estudis posteriors relacionats amb les humanitats i les ciències socials.

— Aplicar els coneixements matemàtics a situacions diverses, utilitzant-los, en particular, en la interpretació de fenòmens i processos de les ciències socials i humanes i en les activitats quotidianes.

— Utilitzar i contrastar estratègies diverses per a la resolució de problemes, de forma que els permeti enfrontar-se a situacions noves amb autonomia, perseverança, eficàcia i creativitat.

— Elaborar judicis i formar criteris propis sobre fenòmens socials i econòmics, utilitzant-hi tractaments matemàtics, i expressar críticament opinions, argumentant amb precisió i rigor, acceptant la discrepància i els punts de vista diferents.

— Utilitzar els coneixements matemàtics adquirits per interpretar críticament els missatges, les dades i les informacions que apareixen en els mitjans de comunicació i altres àmbits sobre qüestions econòmiques i socials d’actualitat.

— Mostrar hàbits i actituds pròpies de l’activitat matemàtica, tals com l’explicació d’hipòtesis, la formulació de conjectures, la construcció d’exemples i contraexemples, la justificació de les afirmacions que es formulen, la necessitat de verificació, la valoració de la precisió, la discussió de les apreciacions intuïtives, la visió crítica i l’obertura a idees noves.

— Utilitzar el discurs racional per plantejar encertadament els problemes, justificar procediments, adquirir cert rigor en el pensament científic, encadenar coherentment els arguments i detectar-hi incorreccions lògiques.

— Expressar-se oralment, per escrit i gràficament en situacions que hagin de ser tractades matemàticament, mitjançant l’adquisició i el maneig d’un vocabulari específic de termes i notacions matemàtics.

— Establir relacions entre les matemàtiques i l’entorn social, cultural i econòmic, apreciant-ne el lloc com a part de la nostra cultura.

— Valorar el treball en grup com a element base d’interacció personal en el procés d’ensenyament de les matemàtiques, comprenent la importància de les idees i opinions diverses, de les estratègies i mètodes personals de plantejament i resolució aliena com a font de millora i enriquiment del pensament propi.

159



Primer de Batxillerat


160

La matemàtica és una disciplina que requereix per al seu desenvolupament una gran lògica interna. Aquesta mateixa lògica és aplicable a la seqüenciació de continguts per al seu aprenentatge. No és per casualitat que el primer dels blocs en què dividim la matèria sigui el corresponent a l’aritmètica i a l’àlgebra: hi posem les bases al llenguatge matemàtic i a allò que podem fer, o no, amb els nombres.Cal destacar el gran protagonisme que es dóna en aquest llibre a l’estadística (bloc III), ja que aquesta és la part de les matemàtiques que més freqüentment s’utilitza en les ciències socials. A més a més, es dota l’alumnat d’eines bàsiques per a l’estudi de les funcions.Com a complement a l’estudi dels continguts que permeten a l’estudiant aconseguir les capacitats proposades com a objectius, hem desenvolupat un tema final dedicat a la resolució de problemes. No hi ha millor forma de cloure un llibre de matemàtiques que fent matemàtiques: consells útils, estratègies que s’han de seguir (o que es poden seguir), línies de raonament, crítica davant de les solucions..., són elements que els alumnes i les alumnes aprendran i utilitzaran al llarg de tot el curs.Els conceptes que es proposen per a les Matemàtiques aplicades a l’àrea de Ciències Socials a primer curs de Batxillerat són els que s’indiquen a continuació:

Fets, conceptes i sistemes conceptuals

Bloc I. Aritmètica i àlgebra

1. Nombres reals— Nombres racionals.— Nombres irracionals.— Els nombres reals. La recta real.— Intervals i semirectes.— Valor absolut d’un nombre real.— Radicals. Propietats.— Expressió decimal aproximada. Errors.— Notació científica.— Logaritmes.

2. Aritmètica mercantil— Augments i disminucions percentuals.— Càlcul de la quantitat inicial coneixent la variació percentual i la quantitat final.— Interessos bancaris.— Què és la “taxa anual equivalent” (TAE)?— Amortització de préstecs.— Progressions geomètriques.— Càlcul d’anualitats o mensualitats per amortitzar deutes.— Càlcul d’anualitats o mensualitats de capitalització.

3. Polinomis i fraccions algebraiques— Suma, subtracció i producte de polinomis.— Divisió de polinomis.— Dividir un polinomi per x – a. Regla de Ruffini.— Aplicació de la regla de Ruffini amb calculadora.— Factorització de polinomis.— Divisibilitat de polinomis.— Fraccions algebraiques.

4. Equacions i sistemes— Equacions de segon grau. Interpretació gràfica.— Equacions de segon grau incompletes.— Equacions que es relacionen amb les de segon grau.— Sistemes d’equacions. Interpretació gràfica.— Resolució de sistemes d’equacions.— Inequacions amb una incògnita.— Inequacions lineals amb dues incògnites.

1 Continguts

161

— Sistemes d’inequacions lineals amb dues incògnites.

Bloc II. Funcions

5. Funcions elementals— Concepte de funció.— Domini de definició d’una funció.— Funcions lineals.— Interpolació lineal.— Funcions quadràtiques.— Algunes transformacions de funcions.— Funcions de proporcionalitat inversa.— Funcions radicals.— Funcions definides “a trossos”.

6. Funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques— Funcions trigonomètriques.— Composició de funcions.— Funció inversa o recíproca d’una altra.— Les funcions exponencials.— Les funcions logarítmiques.

7. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites— Discontinuïtats. Continuïtat.— Límit d’una funció en un punt.— Càlcul del límit d’una funció en un punt.— Comportament d’una funció quan x+∞— Càlcul de límits quan x +∞.— Branques infinites. Asímptotes.— Comportament d’una funció quan x –∞.— Branques infinites en les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques.

8. Taxa mitjana de variació. Iniciació al càlcul de derivades— Mesura del creixement d’una funció.— Creixement d’una funció en un punt. Derivada.— Funció derivada d’una altra.— Regles per obtenir les derivades d’algunes funcions.— Utilitat de la funció derivada.— Representació de funcions polinòmiques.— Representació de funcions racionals.

Bloc III. Estadística i probabilitat

9. Estadística— Estadística. Nocions generals.— Gràfiques estadístiques. Barres i histogrames.— Taules de freqüències.— Paràmetres estadístics, mitjana i desviació típica.— Interpretació dels paràmetres estadístics x i .— Coeficient de variació.— Mesures de posició per a dades aïllades.— Mesures de posició en distribucions amb dades agrupades en intervals.— Diagrames de caixa.

10. Distribucions bidimensionals— Núvols de punts. Correlació.— Mesura de la correlació.

162

— Recta de regressió.— Hi ha dues rectes de regressió.— Taules de doble entrada.

11. Distribucions de probabilitat. Corba normal— Càlcul de probabilitats.— Distribucions de probabilitat de variable discreta.— Paràmetres en una distribució de probabilitat de variable discreta.— Distribucions de probabilitat de variable contínua.— La campana de Gauss: corba normal.— Càlcul de probabilitats en distribucions normals.— Ajust d’un conjunt de dades en una distribució normal.

Resolució de problemes— Alguns consells per resoldre problemes (actituds).— Anàlisi d’algunes estratègies.— Fer un esquema, dibuix o diagrama.— Estudiar tots els casos possibles.— Triar una bona notació.— Considerar casos particulars. Experimentar.— Aprofitar la regularitat del problema.— Tempteig (prova i error).— Alguns consells que t’ajudaran a pensar millor.

No hem d’oblidar que l’últim fi és que els alumnes i les alumnes aconsegueixin els objectius establerts en el currículum. Per això, qualsevol llista de procediments resultarà inútil si no s’adapta a les capacitats reals dels estudiants a qui va dirigida.D’aquesta forma, la següent llista de procediments no oblida els objectius aconseguits pels estudiants en la seva etapa d’ensenyament obligatori, i els prepara per continuar, en el curs següent, amb l’estudi de les matemàtiques.

Procediments

I. Aritmètica i àlgebra

— Utilització dels nombres en l’elaboració de missatges.— Identificació i representació de diferents tipus de nombres.— Identificació i representació d’intervals.— Maneig destre de les operacions amb nombres reals.— Resolució de problemes en què intervinguin percentatges: interessos bancaris, anualitats, mensualitats...— Utilització de la calculadora per a tasques aritmètiques.— Utilització d’expressions algebraiques com a recurs del llenguatge matemàtic.— Maneig destre de les tècniques algebraiques.— Resolució d’equacions de tot tipus, de sistemes d’equacions, d’inequacions i de sistemes d’inequacions.— Traducció al llenguatge algebraic de problemes donats mitjançant enunciat.

II. Funcions

— Obtenció del domini de definició d’una funció.— Representació gràfica de funcions elementals.— Obtenció de la funció composta d’altres dues.— Obtenció de l’expressió analítica de la funció inversa o recíproca d’una altra.— Reconeixement de la continuïtat o discontinuïtat d’una funció.— Càlcul de límits d’una funció.— Càlcul de la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.— Aplicació de les regles de derivació per trobar la derivada d’una funció.— Obtenció de la recta tangent a una corba en un punt.— Representació de funcions.

163

— Càlcul de primitives de funcions elementals i compostes.— Obtenció de l’àrea sota una corba o entre dues corbes.

III. Estadística i probabilitat

— Interpretació de taules i gràfics estadístics.— Càlcul i interpretació de la mitjana, de la desviació típica i del coeficient de variació d’una distribució

estadística.— Interpretació i càlcul de mesures de posició.— Representació d’una distribució bidimensional.— Càlcul del coeficient de correlació i de la recta de regressió d’una distribució bidimensional.— Utilització de les distribucions bidimensionals per a l’estudi i la interpretació de problemes sociològics,

científics o de la vida quotidiana.— Càlcul de probabilitats en experiències compostes.— Obtenció de nombres combinatoris.— Reconeixement de les distribucions binomials, càlcul de probabilitats i obtenció dels seus paràmetres.— Ajust d’un conjunt de dades a una distribució binomial.— Reconeixement de distribucions normals.— Càlcul de probabilitats utilitzant-hi les taules de la normal N(0,1).— Identificació de distribucions binomials que es poden considerar pròximes a distribucions normals.— Ajust d’un conjunt de dades a una distribució normal.

Les actituds que hem d’intentar que l’alumne o l’alumna assumeixi com a pròpies no es restringeixen a l’àmbit matemàtic: confiança en un mateix, utilització correcta de totes les eines al seu abast, curiositat per conèixer, claredat i senzillesa en la descripció de fets i processos...Per descomptat que tots els continguts actitudinals de la llista següent estan sotmesos al necessari “maquillatge” matemàtic, però la consecució de gran part d’aquests farà que els estudiants puguin, amb l’ajuda del seu professor o professora, créixer com a persones.

Actituds, valors i normes

— Valoració positiva de l’ús d’estratègies personals de càlcul.— Gust per la precisió en els càlculs.— Reconeixement i valoració crítica de la utilitat de la calculadora com a eina didàctica per a la realització de

càlculs i investigacions numèriques, així com també per plantejar i resoldre problemes.— Curiositat i interès per les investigacions numèriques i per la resolució de problemes numèrics i algebraics.— Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes numèrics i algebraics.— Interès i respecte per les estratègies, les maneres de fer i les solucions als problemes numèrics i algebraics

diferents als propis.— Estimació de la potència i l’abstracció del simbolisme que suposa l’àlgebra.— Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions, com també per la seva facilitat per representar i

resoldre problemes.— Adquisició de confiança en la resolució d’equacions.— Valoració de la capacitat dels mètodes algebraics per representar situacions complexes i resoldre problemes.— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit, expressant el que es fa i per què es fa, i

dels resultats en càlculs de problemes numèrics i algebraics.— Reconeixement de la utilitat de la representació gràfica com a mitjà d’interpretació ràpida i precisa de fenòmens

econòmics, socials, científics...— Sensibilitat, interès i valoració crítica de l’ús del llenguatge gràfic.— Claredat i senzillesa en la representació de funcions.— Disposició favorable a la revisió i la millora de qualsevol representació gràfica i de qualsevol càlcul necessari

per a l’estudi de les funcions.— Confiança en les pròpies capacitats per realitzar els càlculs necessaris que portin a la representació d’una funció.— Confiança en les pròpies capacitats per trobar àrees sota corbes.— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit, expressant el que es fa i per què es fa.— Curiositat i interès pels estudis estadístics.— Reconeixement de la utilitat del càlcul de probabilitats per analitzar distribucions de probabilitat.

164

— Confiança en les pròpies capacitats per realitzar els càlculs necessaris que portin a la interpretació d’una distribució estadística.

— Gust i interès en la interpretació d’una distribució estadística mitjançant els paràmetres corresponents.— Confiança en les pròpies capacitats per interpretar i expressar informació estadística.— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit, expressant el que es fa i per què es fa.— Disposició favorable a la revisió i millora de qualsevol mètode emprat per a l’estudi d’una distribució

estadística.— Interès i respecte pels mètodes aplicats i per les solucions a problemes de tipus estadístic diferents als propis.

165

Matemàtiques 1

Unitat 1 Continguts

Procediments Fets, conceptes

i sistemes conceptuals


— Identificació de diversos tipus de nombres (enters, racionals, irracionals).

— Representació sobre la recta de nombres racionals, d’alguns radicals i, aproximadament, de qualsevol nombre donat per la seva expressió decimal.

— Representació d’intervals. Utilització dels valors absoluts per descriure intervals.

— Relació entre la quota de l’error comès, tant absolut com relatiu, amb la quantitat de xifres significatives utilitzades.

— Maneig destre de la notació científica.— Maneig destre dels radicals.— Utilització de les propietats dels

logaritmes per realitzar càlculs i per simplificar expressions.

— Utilització de la calculadora per a diversos tipus de tasques aritmètiques, ajuntant la destresa del seu maneig amb la comprensió de les propietats que s’hi utilitzen.

— El paper dels nombres irracionals en el procés d’ampliació de la recta numèrica.

— La recta real. Correspondència d’un nombre real amb un punt i viceversa.

— Els intervals com a conjunts de nombres que compleixen una desigualtat.

— Diferència entre l’error absolut i el relatiu. Quota d’error d’un i altre tipus.

— Logaritmes. Definició i propietats.

— Valoració positiva de l’ús d’estratègies personals per resoldre problemes numèrics.

— Hàbit d’analitzar críticament la solució de cada problema que es resol.

— Reconeixement i valoració crítica de la utilitat de la calculadora com a eina didàctica.

— Curiositat i interès per la resolució de problemes numèrics.

— Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes numèrics.

— Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes diferents als propis.

Objectius didàctics Pautes d’avaluació

— Conèixer els conceptes bàsics del camp numèric (recta real, potències, arrels, logaritmes, etc.).

– Dominar les tècniques bàsiques del càlcul en el camp dels nombres reals.

— Donats diversos nombres, els classifica en els diferents camps numèrics.

— Interpreta arrels i les relaciona amb la seva notació exponencial.

— Coneix la definició de logaritme i la interpreta en casos concrets.

— Expressa amb un interval un conjunt numèric en el qual intervé una desigualtat amb valor absolut.

— Opera correctament amb radicals.— Opera amb nombres “molt grans” o “molt petits” valent-se de

la notació científica.— Utilitza la calculadora per obtenir potències, arrels, resultats

d’operacions amb nombres en notació científica i logaritmes.— Resol problemes aritmètics.


166

Matemàtiques 1

Unitat 2 Continguts




— Càlcul d’augments i disminucions percentuals.

— Càlcul de la quantitat inicial coneixent la quantitat final i la variació percentual.

— Comprovació de la validesa d’una anualitat (o mensualitat) per amortitzar un cert deute.

— Aplicació de les progressions geomètriques per al càlcul d’anualitats.

— Índex de variació.— Interessos bancaris. Períodes de

capitalització.— Taxa anual equivalent (TAE).— Progressió geomètrica i expressió de la

suma dels n primers termes.

— Hàbit de contrastar el resultat final d’un problema amb allò que s’hi ha proposat, per determinar si el resultat obtingut és raonable o no.

— Tendència a entendre el significat dels resultats obtinguts i els processos seguits en els exercicis resolts automàticament.

— Valoració crítica de l’aritmètica mercantil per escriure i resoldre situacions quotidianes.

— Reconeixement i valoració del treball en equip per a la realització de determinades activitats relacionades amb l’aritmètica mercantil.


— Dominar el càlcul amb percentatges.— Resoldre problemes d’aritmètica mercantil.

— Relaciona la quantitat inicial, el percentatge aplicat (augment o disminució) i la quantitat final en la resolució de problemes.

— Resol problemes en els quals calgui encadenar variacions percentuals successives.

— En problemes sobre la variació d’un capital al llarg del temps, relaciona el capital inicial, el rèdit, el temps i el capital final.

— Esbrina el capital acumulat mitjançant pagaments periòdics (iguals o no) sotmesos a un cert interès.

— Calcula l’anualitat (o mensualitat) corresponent a l’amortització d’un préstec.

167

Matemàtiques 1

Unitat 3 Continguts




— Maneig àgil de les tècniques d’operacions entre polinomis.

— Interpretació i expressió correcta dels resultats.

— Utilització de la regla de Ruffini per dividir un polinomi per x – a i per obtenir el valor numèric d’un polinomi per a x = a. Maneig àgil de la calculadora amb aquest objectiu.

— Descomposició d’un polinomi en factors.

— Obtenció del màxim comú divisor i del mínim comú múltiple de dos o més polinomis.

— Obtenció d’un polinomi que tingui certes arrels.

— Maneig de les operacions amb fraccions algebraiques.

— Operacions amb monomis i polinomis:— Suma i resta.— Multiplicació.— Divisió.

— Divisió d’un polinomi per x – a.— Regla de Ruffini.— Teorema del residu.— Factorització de polinomis.— Similitud entre els conceptes relatius a

la divisibilitat de polinomis i nombres enters: múltiples i divisors, polinomis irreductibles (nombres primers), descomposició factorial, màxim comú divisor i mínim comú múltiple.

— Fraccions algebraiques.— Similitud entre les operacions amb

fraccions algebraiques i amb fraccions numèriques: simplificació, equivalència, reducció a comú denominador, suma, resta, multiplicació i divisió.

— Ús del llenguatge algebraic per expressar relacions de tot tipus, així com per la seva facilitat per representar i resoldre problemes.

— Valoració de la potència i abstracció del simbolisme matemàtic que suposa l’àlgebra.

— Valoració de la capacitat dels mètodes algebraics per representar situacions complexes i resoldre problemes.

— Valoració de la importància dels polinomis en situacions problemàtiques de la vida quotidiana.

— Disposició favorable a la revisió i la millora del resultat de qualsevol problema algebraic.

— Interès i respecte per les estratègies, formes de fer i solucions als problemes algebraics diferents de les pròpies.

— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit (expressant el que es fa i per què es fa) i dels resultats en càlculs i problemes algebraics.


— Dominar el maneig de polinomis i les seves operacions.— Dominar el maneig de les fraccions algebraiques i les seves

operacions.

— Comprèn la mecànica de les operacions amb polinomis i les aplica amb agilitat.

— Resol problemes utilitzant el teorema del residu.— Factoritza un polinomi amb diverses arrels enteres.— Simplifica fraccions algebraiques.— Opera amb fraccions algebraiques.

168

Matemàtiques 1

Unitat 4 Continguts




— Maneig destre de les tècniques algebraiques bàsiques (factorització de polinomis, regla de Ruffini, arrels d’un polinomi, fraccions algebraiques i operacions amb aquestes, etc.).

— Resolució destra d’equacions de segon grau (completes i incompletes) i d’equacions biquadrades.

— Resolució destra d’equacions amb radicals.— Resolució destra d’equacions dels tipus

següents:— Amb denominadors literals.— Polinòmiques de grau n amb n – 2 arrels

enteres.— De qualsevol tipus, de forma aproximada.

— Resolució de sistemes d’equacions (dues o tres com a màxim) de qualsevol tipus que puguin desembocar en equacions de les anomenades en els punts anteriors.

— Resolució d’inequacions i de sistemes d’inequacions amb una o dues incògnites, senzills.

— Traducció al llenguatge algebraic de problemes donats mitjançant enunciat, i la seva resolució.

— Hàbit de contrastar el resultat final d’un problema amb l’enunciat per determinar si el resultat obtingut és raonable o no.

— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats en problemes algebraics.

— Apreciació de la utilitat que representa el simbolisme matemàtic.

— Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions de tot tipus, així com també de la seva facilitat per representar i resoldre situacions.


— Resoldre amb destresa equacions de diversos tipus i aplicar-les a la resolució de problemes.

— Resoldre amb destresa sistemes d’equacions.— Interpretar i resoldre inequacions i sistemes d’inequacions.

— Resol equacions de segon grau i biquadrades.— Resol equacions amb radicals i amb la incògnita en el

denominador.— Es val de la factorització com a recurs per resoldre equacions.— Planteja i resol problemes mitjançant equacions.— Resol sistemes d’equacions de primer i segon grau i els

interpreta gràficament.— Resol sistemes d’equacions amb radicals i fraccions

algebraiques (senzills).— Planteja i resol problemes mitjançant sistemes d’equacions.— Resol i interpreta gràficament inequacions i sistemes

d’inequacions amb una incògnita (senzills).— Resol gràficament inequacions lineals i sistemes d’inequacions

lineals amb dues incògnites.

169

Matemàtiques 1

Unitat 5 Continguts




— Obtenció del domini de definició d’una funció donada per la seva expressió analítica.

— Representació gràfica de f(x) + k, –f(x), f(x + a), f(–x) i |f(x)| a partir de la de y = f(x).

— Representació de les funcions lineals.— Representació de les funcions quadràtiques.— Interpolació lineal i interpolació quadràtica.— Representació de les funcions de

proporcionalitat inversa.— Representació de les funcions radicals.— Representació de funcions definides “a

trossos”.

— Funció. Conceptes associats: variable real, domini, recorregut...

— Les funcions lineals. Característiques.— Les funcions quadràtiques.

Característiques.— Interpolació lineal i interpolació

quadràtica.— Les funcions de proporcionalitat

inversa. Característiques.— Les funcions radicals.

Característiques.

— Comparació crítica de la informació que aporta l’expressió analítica d’una funció enfront de la seva representació gràfica.

— Capacitat crítica davant d’errors matemàtics en representacions de funcions elementals.

— Valoració de l’ordre i de la claredat en el procés de representació gràfica de funcions elementals.

— Reconeixement i apreciació de la representació gràfica de funcions elementals per descriure i resoldre situacions quotidianes.


— Conèixer el concepte de definició d’una funció i obtenir-lo a partir de la seva expressió analítica.

— Conèixer les famílies de funcions elementals i associar-ne les expressions analítiques amb les formes de les gràfiques.

— Dominar el maneig de funcions lineals i quadràtiques, així com també de les funcions definides “a trossos”.

— Reconèixer les transformacions que es produeixen en les gràfiques com a conseqüència d’algunes modificacions en les seves expressions analítiques.

— Obté el domini de definició d’una funció donada per la seva expressió analítica.

— Reconeix i expressa amb correcció el domini de definició d’una funció donada gràficament.

— Determina el domini de definició d’una funció tenint en compte el context real de l’enunciat de què procedeix.

— Associa la gràfica d’una funció a la seva expressió analítica en les funcions lineals i quadràtiques.

— Associa la gràfica d’una funció i la seva expressió analítica en les funcions radicals i de proporcionalitat inversa.

— Representa una funció lineal a partir de la seva expressió analítica.— Obté l’expressió analítica d’una funció lineal a partir de la seva

gràfica o d’alguns dels seus elements.— Realitza amb soltesa interpolacions lineals i les aplica a la resolució

de problemes.— A partir d’una funció quadràtica donada, reconeix la forma i la

posició de la paràbola corresponent i la representa.— Coneix la interpolació quadràtica i l’aplica en casos senzills.— Representa funcions definides “a trossos” (només lineals i

quadràtiques).— Obté l’expressió analítica d’una funció donada per un enunciat

(lineals i quadràtiques).— Representa la gràfica de la funció y = f(x) ± k o y = f(x ± a) o y = –

f(x) a partir de la gràfica de y = f(x).— Representa y = |f(x)| a partir de la gràfica de y = f(x).— Obté l’expressió analítica de la funció y = |ax + b| identificant les

equacions de les dues rectes que la formen.

170

Matemàtiques 1

Unitat 6 Continguts




— Obtenció de la funció composta d’unes altres dues de donades per les seves expressions analítiques.

— Traçat de la gràfica d’una funció, coneguda la de la seva inversa.

— Obtenció de l’expressió analítica de f –1(x), coneguda f(x).

— Representació de les funcions trigonomètriques.

— Representació de les funcions exponencials.

— Representació de les funcions logarítmiques.

— Composició de funcions.— Funció inversa o recíproca d’una altra.— Les funcions trigonomètriques.

Característiques.— Les funcions exponencials.

Característiques.— Les funcions logarítmiques.

Característiques.

— Reconeixement i valoració del treball en equip per a la realització de determinades activitats relacionades amb la representació gràfica.

— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit per a la representació gràfica de funcions.

— Reconeixement i valoració crítica de l’ús de la representació gràfica de funcions com a eina didàctica.

— Consideració dels avantatges i dels inconvenients que presenta l’expressió analítica d’una funció enfront de la seva representació gràfica.


— Conèixer les funcions trigonomètriques i associar-ne les expressions analítiques amb les formes de les seves gràfiques.

— Conèixer les funcions exponencials i logarítmiques i associar-ne les expressions analítiques amb les formes de les seves gràfiques.

— Conèixer la composició de funcions i les relacions analítiques i gràfiques que hi ha entre una funció i la seva inversa.

— Donada la gràfica d’una funció trigonomètrica, hi assigna l’expressió analítica i en descriu alguna de les característiques.

— Donada l’expressió analítica d’una funció trigonomètrica, la representa.

— Donada la gràfica d’una funció exponencial o logarítmica, hi assigna l’expressió analítica i en descriu algunes de les característiques.

— Donada l’expressió analítica d’una funció exponencial o logarítmica, la representa.

— Obté l’expressió analítica d’una funció exponencial, donada per un enunciat.

— Compon dues o més funcions.— Reconeix una funció com a composta d’altres dues, en casos

senzills.— Donada la gràfica d’una funció, representa el de la seva inversa

i obté valors d’una a partir dels de l’altra.— Obté l’expressió analítica de la inversa d’una funció en casos

senzills.

171

Matemàtiques 1

Unitat 7 Continguts




— Reconeixement sobre el gràfic de la causa de la discontinuïtat d’una funció en un punt.

— Càlcul de límits en un punt.— Càlcul de límits quan x +∞ o quan x

–∞.— Obtenció de les branques infinites d’una

funció polinòmica o racional.

— Discontinuïtats. Continuïtat.— Límit d’una funció en un punt.— Límit d’una funció en +∞ o en –∞.— Branques infinites. Asímptotes.

— Tendència a entendre el significat dels resultats obtinguts i dels processos seguits en els exercicis resolts automàticament.

— Hàbit per obtenir mentalment resultats d’alguns límits senzills.

— Valoració de les propietats dels límits per simplificar càlculs.

— Apreciació de la utilitat que representa el simbolisme matemàtic.

— Reconeixement de la utilitat de la representació com a mitjà d’interpretació ràpid i precís dels fenòmens en què intervenen límits.


— Conèixer el significat analític i gràfic dels diferents tipus de límits i identificar-los sobre una gràfica.

— Adquirir un cert domini del càlcul de límits, sabent interpretar el significat gràfic dels resultats obtinguts.

— Conèixer el concepte de funció contínua i identificar la continuïtat o discontinuïtat d’una funció en un punt.

— Conèixer els diferents tipus de branques infinites (branques parabòliques i branques que se cenyeixen a asímptotes verticals, horitzontals i obliqües) i dominar-ne l’obtenció en funcions polinòmiques i racionals.

— Donada la gràfica de la funció, reconeix el valor dels límits quan x +∞, x –∞, x a–, x a+, x a.

— Interpreta gràficament expressions del tipus lím/? ? = , on i són +∞, –∞ o un nombre, com també els límits laterals en un punt.

— Calcula el límit en un punt d’una funció contínua.— Calcula el límit en un punt d’una funció racional en la qual s’anul·la el

denominador i no el numerador, i distingeix el comportament per l’esquerra i per la dreta.

— Calcula el límit en un punt d’una funció racional en la qual s’anul·len numerador i denominador.

— Calcula els límits quan x +∞ o x –∞, de funcions polinòmiques.— Calcula els límits quan x +∞ o x –∞, de funcions racionals.— Donada la gràfica d’una funció, reconeix si en un cert punt és contínua o

discontínua i, en aquest últim cas, identifica la causa de la discontinuïtat.— Estudia la continuïtat d’una funció donada “a trossos”.— Troba les asímptotes verticals d’una funció racional i representa la

posició de la corba respecte a aquestes.— Estudia i representa les branques infinites d’una funció polinòmica.— Estudia i representa el comportament d’una funció racional quan x +∞

i x –∞. (Resultat: branques parabòliques.)— Estudia i representa el comportament d’una funció racional quan x +∞

i x –∞. (Resultat: asímptota horitzontal.)— Estudia i representa el comportament d’una funció racional quan x +∞

i x –∞. (Resultat: asímptota obliqua.)

172

Matemàtiques 1

Unitat 8 Continguts




— Càlcul de la TVM d’una funció per a diferents intervals.

— Càlcul de la TVM d’una funció per a intervals molt petits i assimilació del resultat a la variació en aquest punt.

— Obtenció de la variació en un punt mitjançant el càlcul de la TVM de la funció per a un interval variable h i obtenció del límit de l’expressió corresponent quan h 0.

— Aplicació de les regles de derivació per trobar la derivada de funcions i el seu valor en punts concrets.

— Càlcul dels punts de tangent horitzontal d’una funció.

— Obtenció de la recta tangent a una corba en un punt.

— Representació de funcions polinòmiques de grau superior a dos.

— Representació de funcions racionals.

— Taxa de variació mitjana (TVM).— Derivada d’una funció en un punt.

— Gust i interès per enfrontar-se a problemes on aparegui la derivada d’una funció.

— Hàbit per contrastar el resultat final d’un problema amb allò proposat en aquest per determinar si el valor final obtingut és raonable o no.

— Disposició favorable a la revisió i la millora de qualsevol càlcul.

— Perseverança i flexibilitat en la recerca de recursos per a la representació gràfica de funcions no elementals.


— Conèixer la definició de derivada d’una funció en un punt, — Troba la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval i la interpreta.

173

interpretar-la gràficament i aplicar-la per al càlcul de casos concrets.

— Conèixer les regles de derivació i utilitzar-les per trobar la funció derivada d’una altra.

— Utilitzar la derivació per trobar la recta tangent a una corba en un punt, els màxims i mínims d’una funció, els intervals de creixement, etc.

— Conèixer el paper que exerceixen les eines bàsiques de l’anàlisi (límits, derivada) en la representació de funcions i dominar la representació sistemàtica de funcions polinòmiques i racionals.

— Calcula la derivada d’una funció en un punt a partir de la definició.

— Aplicant-hi la definició de derivada, troba la funció derivada d’una altra.

— Troba la derivada d’una funció senzilla.— Troba la derivada d’una funció en què intervenen potències no

enteres, productes i quocients.— Troba la derivada d’una funció composta.— Troba l’equació de la recta tangent a una corba.— Localitza els punts singulars d’una funció polinòmica o

racional i els representa.— Determina els trams on una funció creix o decreix.— Representa una funció de la qual se li donen totes les dades més

rellevants (branques infinites i punts singulars).— Descriu amb correcció totes les dades rellevants d’una funció

donada gràficament.— Representa una funció polinòmica de grau superior a dos.— Representa una funció racional amb denominador de primer

grau i una branca asimptòtica.— Representa una funció racional amb denominador de primer

grau i una branca parabòlica.— Representa una funció racional amb denominador de segon

grau i una asímptota horitzontal.— Representa una funció racional amb denominador de segon

grau i una asímptota obliqua.— Representa una funció racional amb denominador de segon

grau i una branca parabòlica.

174

Matemàtiques 1

Unitat 9 Continguts




— Interpretació de taules i gràfics estadístics.

— Formació i utilització de taules de freqüències.

— Càlcul i interpretació de la mitjana i la desviació típica d’una distribució estadística.

— Interpretació conjunta dels paràmetres x i .

— Càlcul i interpretació del coeficient de variació.

— Interpretació i càlcul de les mesures de posició: mediana, quartils i centils.

— Conceptes, nomenclatura i finalitats de l’estadística descriptiva.

— El coeficient de variació.— Mesures de posició: mediana, quartils i

centils.

— Hàbit per contrastar el resultat final d’un problema amb el seu enunciat per determinar si el valor obtingut és raonable o no.

— Valoració crítica de les informacions estadístiques que apareixen en els mitjans de comunicació, i saber detectar-hi, si n’hi ha, abusos i usos incorrectes.

— Reconeixement i valoració crítica de l’ús de la calculadora com a eina didàctica.

— Confiança en les capacitats pròpies per efectuar estimacions i càlculs estadístics.


— Resumir en una taula de freqüències una sèrie de dades estadístiques i fer-ne el gràfic adequat per a la seva visualització.

— Conèixer els paràmetres estadístics x i , calcular-los a partir d’una taula de freqüències i interpretar-ne el significat.

— Conèixer i utilitzar les mesures de posició.

— Construeix una taula de freqüències de dades aïllades i les representa mitjançant un histograma.

— Construeix una taula de freqüències de dades agrupades i les representa mitjançant un histograma.

— Obté el valor de x i a partir d’una taula de freqüències (de dades aïllades i agrupades) i les utilitza per analitzar característiques de la distribució.

— Coneix el coeficient de variació i el fa servir per comparar les dispersions de dues distribucions.

— A partir d’una taula de freqüències de dades aïllades, construeix la taula de freqüències acumulades i, amb aquestes, obté mesures de posició (mediana, quartils, centils).

— A partir d’una taula de freqüències de dades agrupades, construeix el polígon de freqüències acumulades i, raonant-hi, obté mesures de posició (mediana, quartils, centils).

175

Matemàtiques 1

Unitat 10 Continguts




— Representació d’una distribució bidimensional mitjançant un núvol de punts.

— Visualització del grau de relació que hi ha entre les dues variables.

— Càlcul del coeficient de correlació i obtenció de la recta de regressió d’una distribució bidimensional.

— Utilització de la calculadora, en el mode LR, per al tractament de distribucions bidimensionals.

— Utilització de les distribucions bidimensionals per a l’estudi i la interpretació de problemes sociològics, científics o de la vida quotidiana.

— Dependència estadística i dependència funcional.

— Distribucions bidimensionals. Núvol de punts.

— Correlació. Recta de regressió.— Significat de les dues rectes de

regressió.

— Tendència a entendre el significat dels resultats obtinguts i dels processos seguits en els exercicis resolts automàticament.

— Curiositat i interès per la investigació i resolució de problemes amb protagonisme de distribucions bidimensionals.

— Valoració de la posició, l’ordre, la claredat i la selecció de gràfics i taules per tal de presentar els resultats a experiències i investigacions diverses.

— Reconeixement i valoració crítica de l’ús de la calculadora com a eina.


— Conèixer les distribucions bidimensionals, representar-les i analitzar-les mitjançant el seu coeficient de correlació i les seves rectes de regressió.

— Representa mitjançant un núvol de punts una distribució bidimensional i valora el grau de correlació que hi ha entre les variables.

— Coneix, calcula i interpreta la covariància i el coeficient de correlació d’una distribució bidimensional.

— Obté la recta de regressió de Y sobre X i se’n serveix per fer estimacions si procedeix.

— Coneix l’existència de dues rectes de regressió, les obté i representa i relaciona el grau de proximitat d’ambdues amb la correlació.

176

Matemàtiques 1





— Càlcul de probabilitats en experiències compostes.

— Càlcul dels paràmetres µ i d’una distribució de probabilitat de variable discreta, donada mitjançant una taula o per un enunciat.

— Obtenció de nombres combinatoris a partir del triangle de Tartaglia o mitjançant una fórmula.

— Reconeixement de distribucions binomials, càlcul de probabilitats i obtenció dels seus paràmetres.

— Ajust d’un conjunt de dades a una distribució binomial.

— Successos aleatoris i lleis de la probabilitat.

— Distribució de probabilitat de variable discreta. Paràmetres.

— Concepte de nombre combinatori. Algunes propietats.

— Distribució binomial.

— Disposició favorable a la revisió i la millora de qualsevol càlcul.

— Apreciació de la utilitat que representa el simbolisme matemàtic per a la resolució de problemes de probabilitat.

— Curiositat i interès per la investigació i resolució de problemes probabilístics.

— Reconeixement de la utilitat de la probabilitat com a mitjà d’interpretació ràpid i precís dels fenòmens quotidians i científics.


— Conèixer les distribucions de probabilitat de variable discreta i obtenir-ne els paràmetres.

— Conèixer la distribució binomial, utilitzar-la per calcular probabilitats i obtenir-ne els paràmetres.

— Construeix la taula d’una distribució de probabilitat de variable discreta i en calcula els paràmetres.

— Reconeix si una certa experiència aleatòria pot ser descrita, o no, mitjançant una distribució binomial, identificant-hi n i p.

— Calcula probabilitats en una distribució binomial i en calcula els paràmetres.

— Aplica el procediment per decidir si els resultats d’una certa experiència s’ajusten, o no, a una distribució binomial.

177

La manca de temps i l’adecuació de la programació a les proves d’accés a la Universitat motiven que el bloc temàtic de l’Estadística i la Probabilitat s’imparteixi en una optativa que no cursen tots els alumnes.


Primer trimestre 1. Nombres reals. Operacions.2. Polinomis.3. Equacions i inequacions.

Segon trimestre

4. Matemàtica comercial.5. Funcions. Interpolació lineal i quadràtica.6. Funcions exponencials, logarítmiques.

Tercer trimestre

7. Limits de funcions. Continuïtat i branques infinites.8. Taxa mitjana de variació.Iniciació al càlcul de derivades.9. Aplicacions de la funció derivada. Representació de funcions polinòmiques i

racionals.

3 Distribució temporal dels continguts de Prmer de Batxillerat. MAPS

178

Primer i Segon de Batxillerat

La nota corresponent a cada una de les tres avaluacions s’obtindrà a partir de les proves diverses que l’alumnat hagi realitzat al llarg del trimestre. En aquests cursos es realitzaran proves de recuperació de la primera i la segona avaluació després de les vacances de Nadal i de Setmana Santa respectivament. La recuperació de la tercera avaluació es realitzarà abans del dia de la prova extraordinària. La nota de l’avaluació que s’aprova després de l’examen de recuperació és un 5.

L’alumnat que arriba a final de curs amb les tres avaluacions aprovades aprova el curs. La nota final en aquest cas s’obté fent la mitjana de les notes obtingudes en les tres avaluacions.

L’alumnat que arriba a final de curs amb dues o més avaluacions suspeses s’ha de presentar a una prova extraordinària on s’examina dels continguts de tot el curs. Això li dóna l’oportunitat d’aprovar la matèria sempre i quan la nota d’aquest examen sigui més gran o igual que 5. La nota final en aquest cas és un 5.

L’alumnat que arriba a final de curs amb una avaluació suspesa i la mitjana suspesa ha d’examinar-se de la part suspesa i haurà d’aprovar aquest examen per poder aprovar l’assignatura. La nota final en aquest cas serà la mitjana de les tres avaluacions, tenint en compte que la nota de l’avaluació que s’aprova després de l’examen de recuperació és un 5.

L’alumnat que arriba a final de curs amb una avaluació suspesa i la mitjana aprovada ha d’examinar-se de la part suspesa , en el cas de suspendre aquest examen la nota final seria un 5. En el cas d’aprovar-lo la nota final serà la mitjana de les tres avaluacions, tenint en compte que la nota de l’avaluació que s’aprova després de l’examen de recuperació és un 5.

En cap cas per calcular la nota final es farà la mitjana amb una avaluació suspesa amb una nota inferior a 3. En aquesta situació l’alumne està obligat a recuperar aquesta avaluació com a requisit indispensable per aprovar l’assignatura.


179



Segon de Batxillerat


180

I. ÀLGEBRA

1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss— Sistemes d’equacions lineals.— Sistemes d’equacions amb solució i sense solució.— Sistemes escalonats.— Mètode de Gauss.— Discussió de sistemes d’equacions.

2. Matrius— Nomenclatura. Definicions.— Operacions amb matrius.— Propietats de les operacions amb matrius.— Matrius quadrades.— n-uples de nombres reals.— Rang d’una matriu.— Forma matricial d’un sistema d’equacions.

3. Resolució de sistemes mitjançant determinants— Determinants d’ordre dos— Determinants d’ordre tres.— Menor complementari i adjunt.— Desenvolupament d’un determinant pels elements d’una línia.— El rang d’una matriu a partir dels seus menors.— Criteri per saber si un sistema és compatible.— Regla de Cramer.— Sistemes homogenis.— Discussió de sistemes mitjançant determinants.— Càlcul de la inversa d’una matriu.

II. LA PROGRAMACIÓ LINEAL

4. Inequacions amb dues incògnites— Inequacions amb dues incògnites.— Inequacions lineals amb dues incògnites.— Sistemes d’inequacions amb dues incògnites.— Sistemes d’inequacions lineals amb dues incògnites.

5. Programació lineal— En què consisteix la programació lineal. Estudi d’alguns exemples.— Programació lineal per a dues variables. Enunciat general.

III. FUNCIÓ

6. Límits i continuïtat— Límit d’una funció quan x +º∞.— Càlcul de límits quan x +∞.— Límit d’una funció quan x –∞.— Límit d’una funció en un punt.— Càlcul de límits quan x c.— Continuïtat.

7. Derivades. Tècniques de derivació— Derivada d’una funció en un punt.— Funció derivada.

1 Continguts

181

— Regles de derivació.— Estudi de la derivabilitat utilitzant les regles de derivació.

8. Aplicacions de les derivades— Recta tangent a una corba en un dels seus punts.— Informació extreta de la primera derivada.— Informació extreta de la segona derivada.— Optimació de funcions.

9. Representació de funcions— Elements fonamentals per a la construcció de corbes.— Representació de funcions polinòmiques.— Representació de funcions racionals.— Representació d’un altre tipus de funcions.

Fets, conceptes i sistemes conceptuals

— Què és un autèntic problema?— Etapes en la resolució d’un problema.— Alguns consells per a la resolució de problemes.— Algunes estratègies per resoldre problemes.— Estudiar tots els casos possibles.— Fer un esquema, dibuix o diagrama.— Tempteig (assaig-error).— Elegir una bona notació.— Considerar casos particulars.

Experimentar.— El principi del colomer o principi de Dirichlet.— Utilitza un diagrama d’arbre.— El procés deductiu.— Alguns problemes resolts.

— No hem d’oblidar que el fi últim és que els alumnes i les alumnes aconsegueixin els objectius establerts en el currículum. Per això, qualsevol llista de procediments resultarà inútil si no s’adapta a les capacitats reals dels estudiants a qui va dirigida.

— D’aquesta forma, la següent llista de procediments per a Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II no oblida els objectius aconseguits pels estudiants en el primer curs de Batxillerat, i els prepara per continuar, en altres cursos, amb els estudis que decideixin seguir.

Procediments

I. ÀLGEBRA

— Utilització d’expressions algebraiques com a recurs del llenguatge matemàtic.— Maneig destre de les tècniques algebraiques.— Discussió i resolució de sistemes d’equacions pel mètode de Gauss.— Maneig de les operacions amb matrius.— Resolució d’equacions matricials.— Maneig dels determinants i les seves operacions.— Discussió i resolució de sistemes dependents, o no, d’un paràmetre, aplicant-hi el teorema de Rouché i la regla

de Cramer.— Traducció al llenguatge algebraic de problemes donats mitjançant enunciat.— Traducció al llenguatge algebraic d’enunciats susceptibles de ser interpretats com a problemes de programació

lineal.

182


— Representació gràfica de les restriccions mitjançant semiplans.— Representació gràfica del recinte de validesa mitjançant intersecció de semiplans.— Situació de la funció objectiu sobre el recinte de validesa per trobar la solució òptima.— Representació gràfica de límits.— Càlcul de límits immediats.— Reconeixement de la continuïtat o la discontinuïtat en un punt o en un interval, assenyalant-ne la causa.

III. FUNCIONS

— Reconeixement de la continuïtat o la discontinuïtat d’una funció.— Càlcul de límits d’una funció.— Estudi de la derivabilitat d’una funció en un punt.— Càlcul de la derivada d’una funció.— Càlcul de la tangent a una corba en un dels seus punts.— Identificació de punts o intervals en què una funció és creixent o decreixent, còncava o convexa.— Obtenció de màxims i mínims relatius i de punts d’inflexió.— Resolució de problemes d’optimació.— Representació de funcions de diversos tipus.— Càlcul de primitives.— Obtenció de l’àrea sota una corba o entre dues corbes.

— Les actituds que hem d’intentar que l’alumne o l’alumna assumeixi com a pròpies, no es restringeixen a l’àmbit matemàtic: confiança en un mateix, utilització correcta de totes les eines al seu abast, curiositat per conèixer, claredat i senzillesa en la descripció de fets i processos...

— Per descomptat que tots els continguts actitudinals de la llista següent estan sotmesos al necessari maquillatge matemàtic, però la consecució de gran part d’aquests farà que els estudiants puguin, amb l’ajuda del seu professor o la seva professora, créixer com a persones.


I. ÀLGEBRA

— Valoració positiva de l’ús d’estratègies personals de càlcul.— Gust per la precisió en els càlculs.— Curiositat i interès per la resolució de problemes algebraics.— Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes algebraics.— Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes algebraics diferents de les pròpies.— Estimació de la potència i abstracció del simbolisme que suposa l’àlgebra.— Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions, com també per la seva facilitat per representar i

resoldre problemes.— Adquisició de confiança en la resolució de sistemes d’equacions.— Valoració de la capacitat dels mètodes algebraics per representar situacions complexes i resoldre problemes.— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit, expressant el que es fa i per què es fa, i

dels resultats en càlculs de problemes algebraics.


— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats obtinguts.— Apreciació de la utilitat que representa el simbolisme matemàtic.— Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes diferents de les pròpies.

III. FUNCIÓ

183

— Reconeixement de la utilitat de la representació gràfica com a mitjà d’interpretació ràpida i precisa de fenòmens econòmics, socials, científics...

— Sensibilitat, interès i valoració crítica de l’ús del llenguatge gràfic.— Claredat i senzillesa en la representació de funcions.Fets, conceptes i sistemes conceptuals

— Què és un autèntic problema?— Etapes en la resolució d’un problema.— Alguns consells per a la resolució de problemes.— Algunes estratègies per resoldre problemes.— Estudiar tots els casos possibles.— Fer un esquema, dibuix o diagrama.— Tempteig (assaig-error).— Elegir una bona notació.— Considerar casos particulars.

Experimentar.— El principi del colomer o principi de Dirichlet.— Utilitza un diagrama d’arbre.— El procés deductiu.— Alguns problemes resolts.

— No hem d’oblidar que el fi últim és que els alumnes i les alumnes aconsegueixin els objectius establerts en el currículum. Per això, qualsevol llista de procediments resultarà inútil si no s’adapta a les capacitats reals dels estudiants a qui va dirigida.

— D’aquesta forma, la següent llista de procediments per a Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II no oblida els objectius aconseguits pels estudiants en el primer curs de Batxillerat, i els prepara per continuar, en altres cursos, amb els estudis que decideixin seguir.

Procediments

I. ÀLGEBRA

— Utilització d’expressions algebraiques com a recurs del llenguatge matemàtic.— Maneig destre de les tècniques algebraiques.— Discussió i resolució de sistemes d’equacions pel mètode de Gauss.— Maneig de les operacions amb matrius.— Resolució d’equacions matricials.— Maneig dels determinants i les seves operacions.— Discussió i resolució de sistemes dependents, o no, d’un paràmetre, aplicant-hi el teorema de Rouché i la regla

de Cramer.— Traducció al llenguatge algebraic de problemes donats mitjançant enunciat.— Traducció al llenguatge algebraic d’enunciats susceptibles de ser interpretats com a problemes de programació

lineal.


— Representació gràfica de les restriccions mitjançant semiplans.— Representació gràfica del recinte de validesa mitjançant intersecció de semiplans.— Situació de la funció objectiu sobre el recinte de validesa per trobar la solució òptima.— Representació gràfica de límits.— Càlcul de límits immediats.— Reconeixement de la continuïtat o la discontinuïtat en un punt o en un interval, assenyalant-ne la causa.

184

III. FUNCIONS

— Reconeixement de la continuïtat o la discontinuïtat d’una funció.— Càlcul de límits d’una funció.— Estudi de la derivabilitat d’una funció en un punt.— Càlcul de la derivada d’una funció.— Càlcul de la tangent a una corba en un dels seus punts.— Identificació de punts o intervals en què una funció és creixent o decreixent, còncava o convexa.— Obtenció de màxims i mínims relatius i de punts d’inflexió.— Resolució de problemes d’optimació.— Representació de funcions de diversos tipus.— Càlcul de primitives.— Obtenció de l’àrea sota una corba o entre dues corbes.

— Les actituds que hem d’intentar que l’alumne o l’alumna assumeixi com a pròpies, no es restringeixen a l’àmbit matemàtic: confiança en un mateix, utilització correcta de totes les eines al seu abast, curiositat per conèixer, claredat i senzillesa en la descripció de fets i processos...

— Per descomptat que tots els continguts actitudinals de la llista següent estan sotmesos al necessari maquillatge matemàtic, però la consecució de gran part d’aquests farà que els estudiants puguin, amb l’ajuda del seu professor o la seva professora, créixer com a persones.


I. ÀLGEBRA

— Valoració positiva de l’ús d’estratègies personals de càlcul.— Gust per la precisió en els càlculs.— Curiositat i interès per la resolució de problemes algebraics.— Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes algebraics.— Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes algebraics diferents de les pròpies.— Estimació de la potència i abstracció del simbolisme que suposa l’àlgebra.— Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions, com també per la seva facilitat per representar i




— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats obtinguts.— Apreciació de la utilitat que representa el simbolisme matemàtic.— Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes diferents de les pròpies.

III. FUNCIÓ

— Reconeixement de la utilitat de la representació gràfica com a mitjà d’interpretació ràpida i precisa de fenòmens econòmics, socials, científics...

— Sensibilitat, interès i valoració crítica de l’ús del llenguatge gràfic.— Claredat i senzillesa en la representació de funcions.

185

UNITAT 1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

CONTINGUTSBlocs Processos

Sistemes d’equacions Sistema d’equacions

lineals. Solució. Sistemes equivalents.

Transformacions que mantenen l’equivalència.

Sistema compatible, incompatible, determinat, indeterminat.

Interpretació gràfica d’una equació lineal de dues o tres incògnites com a rectes o com a pla. Posicions relatives de les rectes o dels plans segons el tipus de sistema (compatibles, incompatibles...).

Sistemes escalonats.

Hàbit d’analitzar les solucions dels sistemes d’equacions.

Interpretar el significat dels resultats obtinguts i els processos seguits en els exercicis resolts.

Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes diferents de les pròpies.

Resolució pel mètode de Gauss

Mètode de Gauss. Sistema d’equacions

dependent d’un paràmetre.


186

ACTIVITATS D’APRENENTATGE OBJECTIUS Resoldre sistemes d’equacions per

mètodes prèviament adquirits (substitució, reducció...).

Reconèixer el tipus de sistema que es tracta (compatible, incompatible...) per consideracions sobre les relacions entre les equacions que el formen.

Interpretar geomètricament un sistema d’equacions amb dues o tres incògnites segons que sigui compatible o incompatible, determinat o indeterminat.

Transformar un sistema en un altre equivalent escalonat.

Discutir i resoldre sistemes pel mètode de Gauss.

Aplicar el mètode de Gauss a la discussió de sistemes dependents d’un paràmetre.

Traduir a sistema d’equacions un problema, resoldre’l i interpretar-ne de la solució.

Les activitats d’aquesta unitat de programació han de contribuir a:

1) Desenvolupar les competències següents:Competències matemàtiques:

Utilitzar el llenguatge algebraic per descriure i solucionar situacions i fenòmens naturals i de les ciències socials, donant una interpretació a les solucions.

Competències transversals i específiques:

• Competències en Economia.

2) Assolir els aprenentatges següents:

Dominar els conceptes i la nomenclatura associats als sistemes d’equacions i les seves solucions (compatible, incompatible, determinats, indeterminats...), i interpretar geomètricament per a 2 i 3 incògnites.

Conèixer i aplicar el mètode de Gauss per estudiar i resoldre sistemes d’equacions lineals.

Resoldre problemes algebraics mitjançant sistemes d’equacions.

ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Conèixer el que significa que un sistema sigui incompatible o compatible,

determinat o indeterminat, i aplicar aquest coneixement per formar un sistema d’un cert tipus o per reconèixer-lo.

Interpretar geomètricament sistemes lineals de 2, 3 o 4 equacions amb 2 o 3 incògnites.

Resoldre sistemes d’equacions lineals pel mètode de Gauss. Discutir sistemes d’equacions lineals dependents d’un paràmetre pel mètode de

Gauss. Expressar algebraicament un enunciat mitjançant un sistema d’equacions,

resoldre’l i interpretar-ne la solució dins del context de l’enunciat.

187

UNITAT 2. Àlgebra de matrius


Matrius. Definició i nomenclatura

Conceptes bàsics:

vector fila, vector columna, dimensió, matriu quadrada, transposada, simètrica, triangular...

Hàbit de contrastar

el resultat final d’un problema amb el que s’ha proposat, per determinar si el resultat obtingut és raonable o no

Entendre el significat dels resultats obtinguts i els processos seguits en els exercicis resolts

Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes diferents de les pròpies

Reconeixement i valoració del treball en equip per a la realització de determinades activitats relacionades amb les matrius

Apreciació de la utilitat que representa el simbolisme matemàtic

Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions de tota classe, com també de la seva facilitat per representar i resoldre situacions

Operacions amb matrius Operacions amb

matrius: suma, producte per un nombre, producte. Propietats

Matrius quadrades Matrius quadrades,

matriu unitat, matriu inversa d’una altra

Rang d’una matriu n-uples de nombres

reals. Dependència i independència lineal.

Rang d’una matriu

Sistemes en forma matricial Escriptura matricial

d’un sistema d’equacions.

Resolució d’equació matricial

188

ACTIVITATS D’APRENENTATGE OBJECTIUS Destresa en el maneig de la

nomenclatura bàsica. Maneig de les operacions amb

matrius. Obtenció d’una matriu que

compleixi certes condicions. Obtenció de la inversa d’una

matriu, en casos senzills, a partir de la definició.

Resolució d’equacions matricials. Obtenció i reconeixement d’una n-

uple combinació lineal d’altres. Constatació de si un conjunt de n-

uples són L.D. o L.I. (es pot fer a simple vista o amb argumentacions teòriques).

Obtenció del rang d’una matriu per observació dels seus elements (en casos evidents).

Càlcul del rang d’una matriu pel mètode de Gauss.

Discussió del rang d’una matriu dependent d’un paràmetre.

Escriptura matricial d’un sistema d’equacions.

Resolució d’equacions matricials senzilles utlitzant la inversa.

Les activitats d’aquesta unitat de programació han de contribuir a:1) Desenvolupar les competències següents:Competències matemàtiques:


Valorar les diverses opcions que ens ofereixen les eines matemàtiques que tenim al nostre abast i fer la tria de la més adequada.


• Competències en Física i Química.• Competències en Tecnologia.• Competències en Economia

2) Assolir els aprenentatges següents: Conèixer i utilitzar eficaçment les

matrius, les seves operacions i les seves propietats.

Conèixer el significat de rang d’una matriu i calcular-lo mitjançant el mètode de Gauss.

Resoldre problemes algebraics mitjançant matrius i les seves operacions.

ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Realitzar operacions combinades amb matrius (elementals). Realitzar operacions combinades amb matrius (complexes). Calcular la matriu inversa d’una matriu numèrica. Calcular el rang d’una matriu numèrica. Relacionar el rang d’una matriu amb la dependència lineal de les seves files o les

seves columnes. Expressar un enunciat mitjançant una relació matricial i, en aquest cas, resoldre’l i

interpretar-ne la solució dins del context de l’enunciat. Expressar matricialment un sistema d’equacions i resoldre’l.

189

UNITAT 3. Resolució de problemes mitjançant determinants


Càlcul de determinants de matrius

Determinants d’ordre

dos. Propietats. Determinants d’ordre

tres. Propietats. Menor d’una matriu.

Menor complementari i adjunt d’un element d’una matriu quadrada. Propietats.

Sensibilitat i gust per la

presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats obtinguts.

Apreciació de la utilitat que representa el simbolisme matemàtic.

Entendre el significat dels resultats obtinguts i els processos seguits en els exercicis resolts.

Hàbit de contrastar el resultat final d’un problema amb el que s’ha proposat, per determinar si el resultat obtingut és raonable o no.


Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions de tota classe, com també de la seva facilitat per representar i resoldre situacions.

Càlcul del rang d’una matriu

El rang d’una matriu

com el màxim ordre dels seus menors no nuls.

Aspectes teòrics Teorema de Rouché. Regla de Cramer.

Resolució de sistemes Sistema homogeni. Discussió de sistemes Expressió de la inversa

d’una matriu a partir dels adjunts dels seus elements.

Expressió matricial d’un sistema d’equacions.

190

ACTIVITATS D’APRENENTATGE OBJECTIUS

Calcular determinants d’ordre dos i aplicar-ne les seves propietats.

Calcular determinants d’ordre tres per la regla de Sarrus.

Desenvolupar determinants pels elements d’una línia.

Calcular determinants «fent zeros» una de les seves línies.

Aplicar les propietats dels determinants en el càlcul d’aquests i en la comprovació d’identitats.

Determinar el rang d’una matriu a partir dels seus menors.

Aplicar el teorema de Rouché a la discussió de sistemes d’equació.

Aplicar la regla de Cramer a la resolució de sistemes determinats.

Aplicar la regla de Cramer a la resolució de sistemes indeterminats.

Resoldre sistemes homogenis. Aplicar el teorema de Rouché i la

regla de Cramer a la discussió i resolució de sistemes dependents d’un paràmetre.

Calcular la inversa d’una matriu mitjançant determinants.

Resoldre sistemes d’equacions mitjançant la forma matricial.


1) Desenvolupar les competències següents:

Competències matemàtiques: Valorar les diverses opcions que

ens ofereixen les eines matemàtiques que tenim al nostre abast i fer la tria de la més adequada.

Utilitzar el llenguatge algebraic per descriure i solucionar situacions i fenòmens naturals i tecnològics, donant una interpretació a les solucions.


• Competències en Economia.

2) Assolir els aprenentatges següents: Interpretar geomètricament

sistemes lineals de 2, 3 o 4 equacions amb 2 o 3 incògnites.

Obtenir el desenvolupament (o el valor) d’un determinant en què intervenen paràmetres, fent un ús raonat de les propietats dels determinants.

Reconèixer les propietats que s’utilitzen en les igualtats entre determinants.

Trobar el rang d’una matriu numèrica mitjançant determinants.

Discutir el valor del rang d’una matriu en què intervé un paràmetre.

Calcular la inversa d’una matriu mitjançant determinants. Aplicar-ho a la resolució matricial de sistemes.

Conèixer el teorema de Rouché i la regla de Cramer i utilitzar-los per a la discussió i resolució de sistemes d’equacions.

ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Calcular determinants d’ordre dos i aplicació de les seves propietats. Calcular determinants d’ordre tres per la regla de Sarrus. Desenvolupar determinants pels elements d’una línia. Calcular determinants «fent zeros» una de les seves línies. Aplicar les propietats dels determinants en el càlcul d’aquests i en la

comprovació d’identitats. Determinar el rang d’una matriu a partir dels seus menors.

191

Calcular el valor d’un determinant numèric o obtenir l’expressió d’un determinant 3 x 3 amb algun paràmetre.

Reconèixer l’existència o no de la inversa d’una matriu i calcular-la si és procedent. Expressar matricialment un sistema d’equacions i, si és possible, resoldre’l

trobant la inversa d’una matriu dels coeficients. Aplicar el teorema de Rouché per dilucidar com és un sistema d’equacions

lineals amb coeficients numèrics. Aplicar la regla de Cramer per resoldre un sistema d’equacions lineals, 2 x 2 o

3 x 3, amb solució única. Catalogar com és (teorema de Rouché) i resoldre, si és procedent, un sistema

d’equacions lineals amb coeficients numèrics. Discutir i resoldre un sistema d’equacions dependent d’un paràmetre.

192

UNITAT 4. Inequacions amb dues incògnites


Inequacions— Inequacions Inequacions lineals

amb dues incògnites.

Inequacions (parabòl·liques, exponencials) amb dues incògnites.

—

— Apreciació

de la utilitat dels sistemes d’inequacions per a la resolució de problemes de caràcter financer.

Reconeixement de la utilitat de l’expressió gràfica d’una solució.

Interpretació d’enunciats i escriptura d’aquests utilitzant el llenguatge matemàtic.

Sistemes d’inequacions— Sistemes

d’inequacions Sistemes

d’inequacions lineals amb dues incògnites.

Sistemes d’inequacions (lineals, exponencials, parabòl·liques).

—

Resolució de problemes amb inequacions

— Mètode de resolució

de problemes simples de programació lineal.

193

ACTIVITATS D’APRENENTATGE OBJECTIUS— Representació gràfica de les

solucions de les inequacions (lineals, exponencials i parabòliques) amb dues incògnites.

Representació gràfica de les solucions de sistemes d’inequacions (lineals, exponencials i parabòliques) amb dues incògnites.

Obtenció de l’expressió analítica d’una inequació o d’un sistema d’inequacions a partir de la seva gràfica.

Plantejament de sistemes d’inequacions a partir d’enunciats més o menys complexos.

Resolució d’aquests problemes i anàlisis crítica dels resultats.

Les activitats d’aquesta unitat de programació han de contribuir a :1)Desenvolupar les competències següents:

Competències matemàtiques: Transferir una situació real a una

esquematització geomètrica. Utilitzar el llenguatge algebraic per

descriure i solucionar situacions i fenòmens naturals i de les ciències socials, donant una interpretació a les solucions.

Competències transversals i específiques:• Competències en Economia.

2) Assolir els aprenentatges següents: Resoldre gràficament inequacions

lineals amb dues incògnites. Resoldre gràficament inequacions

parabòl·liques i exponencials amb dues incògnites.

Resoldre i interpretar gràficament sistemes d’inequacions lineals i no lineals.

Obtenir sistemes d’inequacions a partir d’enunciats de problemes simples de programació lineal.

Plantejar i resoldre problemes mitjançant sistemes d’inequacions lineals.

Obtenir l’expressió analítica d’una inequació o d’un sistema d’inequacions a partir de la seva gràfica.

ACTIVITATS D’AVALUACIÓ

Interpretar i resoldre sistemes d’inequacions amb dues incògnites. Plantejar i resoldre problemes senzills utilitzant sistemes d’inequacions lineals.

194

UNITAT 5. Programació lineal


Programació lineal Funció objectiu. Restriccions. Regió de validesa. Mètode de resolució

Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats obtinguts.


Valoració del llenguatge matemàtic per expressar relacions de tota mena, com també de la seva facilitat per representar i resoldre situacions.

Hàbit de contrastar el resultat final d’un problema de programació lineal amb el que s’hi ha proposat, per determinar si el resultat obtingut és raonable o no.


195


Representació gràfica de les restriccions mitjançant semiplans.

Representació gràfica del recinte de validesa mitjançant intersecció de semiplans.

Situació de la funció objectiu sobre el recinte de validesa per trobar la solució òptima.

Traducció al llenguatge algebraic d’enunciats susceptibles de ser interpretats com a problemes de programació lineal.

Les activitats d’aquesta unitat de programació han de contribuir a :1) Desenvolupar les competències següents :Competències matemàtiques:

Transferir una situació real a una esquematització geomètrica.


Competències transversals i específiques: Competències en Economia.

2) Assolir els aprenentatges següents: Representar el semiplà de

solucions d’una inequació lineal o identificar la inequació que correspon a un semiplà.

A partir d’un sistema d’inequacions, construir el recinte de solució i interpretar-les com a tals.

Resoldre un problema de programació lineal amb dues incògnites descrit de forma merament algebraica.

Resoldre problemes de programació lineal donats mitjançant un enunciat senzill.

Resoldre problemes de programació lineal donats mitjançant enunciats més complexos.

ACTIVITATS D’AVALUACIÓ

Donats un sistema d’inequacions lineals i una funció objectiu, representar el recinte de solucions factibles i optimar la funció objectiu.

Resoldre problemes de programació lineal donats mitjançant un enunciat, emmarcant la solució dins d’aquest.

196

UNITAT 6. Límits de funcions. Continuïtat


Límit. Definició i càlcul Límit d’una funció quan

x +∞, x –∞ o x c. Límits laterals.

Operacions amb límits finits.

Infinits del mateix ordre. Infinit d’ordre superior a

un altre. Operacions amb

expressions infinites.

Entendre el significat

dels resultats obtinguts i dels processos seguits en els exercicis resolts automàticament.

Hàbit d’obtenir mentalment resultats d’alguns límits senzills.

Valoració de les propietats dels límits per simplificar càlculs.

Indeterminacions. Resolució

Indeterminació.

Expressions indeterminades.

Continuïtat Continuïtat en un punt.

Tipus de discontinuïtat. Continuïtat en funció a

trossos i amb valor absolut.

Continuïtat en un interval.

197

ACTIVITATS D’APRENENTATGE OBJECTIUS Calcular límits immediats que només

requereixin conèixer els resultats operatius i comparar infinits.

Calcular límits (x +∞ o x –∞) de quocients o de diferències.

Calcular límits (x +∞ o x –∞) de potències.

Calcular límits (x c) de quocients, distingint, si el cas ho exigeix, quan x c+ i quan x c–.

Calcular límits (x c) de potències. Representar gràficament la informació

obtinguda a partir del càlcul d’un límit. Reconèixer si una funció és contínua

en un punt o el tipus de discontinuïtat que hi presenta.

Determinar el valor d’un paràmetre o dos paràmetres perquè una funció definida «a trossos» sigui contínua en el «punt (o punts) d’entroncament».

Les activitats d’aquesta unitat de programació han de contribuir a :1) Desenvolupar les competències següents:

Competències matemàtiques: Aplicar les característiques de les

funcions a l’estudi de fenòmens tecnològics i naturals.

Traduir resultats de l’anàlisi de límits de funcions al context del seu fenomen, traient conclusions locals o globals.

Interpretar informacions i elaborar informes sobre situacions reals susceptibles de ser presentades en forma de gràfiques, que exigeixin tenir en compte tendències d’evolució i continuïtat.


• Competències en Física i Química.• Competències en Tecnologia.• Competències en Ciències Socials.

2) Assolir els aprenentatges següents: Dominar el concepte de límit en les

seves diferents versions, coneixent-ne la interpretació gràfica i l’enunciat precís.

Calcular límits de tota classe. Conèixer el concepte de continuïtat en

un punt i els diferents tipus de discontinuïtats.

ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Representar gràficament de límits quan x +∞, x –∞, x a–, x a+, x a. Calcular límits immediats (operacions amb límits finits evidents o comparació

d’infinits de diferent ordre). Calcular límits x +∞ o x –∞ amb : quocients de polinomis o d’altres

expressions infinites, diferència d’expressions infinites, potències i nombre e. Càlcul de límits quan x a–, x a+, x a amb quocients, diferències i potències. Identificar tipus de discontinuïtats. Avaluar la continuïtat d’una funció a trossos.

198

UNITAT 7. Derivades. Tècniques de derivació


Derivada i funció derivada. Definició

Taxa de variació

mitjana. Derivada d’una funció

en un punt. Interpretació. Derivades laterals.

Funció derivada. Derivades successives.

Regles de derivació de les funcions elementals i dels resultats operatius. Demostracions.

Gust i interès per

enfrontar-se a problemes on aparegui la derivada d’una funció.

Disposició favorable a la revisió i millora de qualsevol càlcul.

Tendència a entendre el significat dels resultats obtinguts i dels processos seguits en els exercicis resolts automàticament.

Derivabilitat

Derivada d’una funció a

trossos.

ACTIVITATS D’APRENENTATGE OBJECTIUS Obtenir la derivada d’una funció en un

punt a partir de la definició. Representar gràficament de manera

aproximada la funció derivada d’una altra donada pel seu gràfic.

Estudiar la derivabilitat d’una funció en un punt estudiant les derivades laterals.

Calcular la derivada d’una funció.


Reconèixer la relació entre funció, variació i derivada a l’estudi de fenòmens tecnològics i naturals.

Traduir resultats de l’anàlisi de funcions al context del seu fenomen, traient conclusions locals o globals.

Identificar situacions concretes en les quals sigui necessari usar el concepte de derivada justificant-ne la utilització.

Establir relacions entre els continguts matemàtics i entre aquests i altres matèries, reconeixent representacions equivalents del mateix concepte, fent ús dels diferents continguts matemàtics en funció de la seva conveniència i adquirint una idea global de les Matemàtiques.

199


• Competències en Física i Química.• Competències en Tecnologia.• Competències en Economia.

2) Assolir els aprenentatges següents: Dominar els conceptes associats a la

derivada d’una funció: derivada en un punt, derivades laterals, funció derivada...

Conèixer les regles de derivació i utilitzar-les per trobar la funció derivada d’una altra.

ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Associar el gràfic d’una funció al de la seva funció derivada. Trobar la derivada d’una funció en un punt per pas al límit o mitjançant el valor de

la taxa de variació mitjana (per a un valor molt petit de b, amb ajuda de la calculadora).

Estudiar la derivabilitat d’una funció definida «a trossos», recorrent a les derivades laterals en el «punt d’entroncament».

Trobar les derivades de funcions no trivials.

200

UNITAT 8. Aplicacions de les derivades


Informació de la primera derivada

Recta tangent a una

corba en un punt. Relacions de la

derivada d’una funció amb la forma de la corba corresponent.

Sensibilitat i gust

per la presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats obtinguts.

Entendre el significat dels resultats obtinguts i els processos seguits en els exercicis resolts.Informació de la segona

derivada Relacions de la

segona derivada d’una funció amb la forma de la corba corresponent.

Optimació Optimació d’una funció

201

ACTIVITATS D’APRENENTATGE OBJECTIUS Obtenir la tangent a una corba en

un dels seus punts. Identificar punts o intervals en què

la funció és creixent (decreixent). Obtenir màxims i mínims relatius. Resoldre problemes d’optimació. Identificar punts o intervals en què

la funció és còncava o convexa. Obtenir punts d’inflexió.

Les activitats d’aquesta unitat de programació han de contribuir a :1) Desenvolupar les competències següents:Competències matemàtiques:

Interpretar informacions i elaborar informes sobre situacions reals susceptibles de ser presentades en forma de gràfiques, que exigeixin tenir en compte intervals de creixement, màxims i mínims, tendències d’evolució i continuïtat.

Aplicar les característiques de les funcions a l’estudi de fenòmens tecnològics i naturals.




• Competències en Física i Química.• Competències en Tecnologia.• Competències en Electrotècnia.• Competències en Economia.


Trobar l’equació de la recta tangent a una corba en un dels seus punts.

Conèixer les propietats que permeten estudiar creixements, decreixements, màxims i mínims relatius, tipus de curvatura, etc., i saber-les aplicar en casos concrets.

Dominar les estratègies necessàries per optimitzar una funció.

202

ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Donada una funció explícita o implícita, trobar l’equació de la recta tangent en un

dels seus punts. Donada una funció, decidir si és creixent o decreixent, còncava o convexa, en un

punt o en un interval, obtenir-ne els màxims i mínims relatius i els punts d’inflexió. Donada una funció mitjançant la seva expressió analítica o mitjançant un enunciat,

trobar en quin cas presenta un màxim o un mínim.

203

UNITAT 9. Representació de les funcions


Eines bàsiques per representar corbes

Domini de definició, simetries, periodicitat.

Branques infinites: asímptotes i branques parabòliques.

Punts singulars, punts d’inflexió, talls amb els eixos...

Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats obtinguts.

Perseverança i flexibilitat en la recerca de recursos per a la representació gràfica de funcions no elementals.

Tipus de funcions Polinòmiques. Racionals. Radicals. Exponencials. Trigonomètriques.

Funcions amb valor absolut Valor absolut en part o la totalitat d’una funció.

204


Obtenir el domini de definició i constatació de si hi és contínua i derivable.

Identificar possibles simetries i periodicitats.

Obtenir branques infinites. Obtenir punts singulars, punts

d’inflexió, punts de tall amb els eixos...

Representar funcions de diversos tipus fent ús, quan es pugui, de les peculiaritats de les corbes d’aquesta família.

Representar funcions amb valors absoluts.

Les activitats d’aquesta unitat de programació han de contribuir a :1) Desenvolupar les competències següents:

Competències matemàtiques: Interpretar informacions i elaborar

informes sobre situacions reals susceptibles de ser presentades en forma de gràfiques, que exigeixin tenir en compte intervals de creixement, màxims i mínims, tendències d’evolució i continuïtat.

Aplicar les característiques de les funcions a l’estudi de fenòmens tecnològics i naturals.




• Competències en Física i Química.• Competències en Tecnologia.• Competències en Electrotècnia.• Competències en Economia.• Competències en Biologia.• Competències en Ciències de la Terra.


Conèixer el paper que exerceixen les eines bàsiques de l’anàlisi (límits, derivades...) en la representació de funcions i dominar la representació sistemàtica de funcions polinòmiques, racionals, trigonomètriques, amb radicals, exponencials, logarítmiques...

205

ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Representar funcions polinòmiques. Representar funcions racionals. Representar funcions radicals. Representar funcions trigonomètriques. Representar funcions exponencials. Representar funcions amb valors absoluts.

206


Primer trimestre

1. Límits de funcions. Continuïtat.2. Derivades. Tècniques de derivació.3. Aplicacions de les derivades.Problemes d’optimització

Segon trimestre

4. Representació de funcions.5. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss.6. Àlgebra de matrius.7. Determinants.Resolució de sistemes mitjançant determinants.

Tercer trimestre

8. Inequacions.9. Programació lineal.

3 Distribució temporal dels continguts DE Segon de Batxillerat. MAPS

207









208


MATEMÀTIQUES IBatxillerat de ciències de la naturalesa i de la salut


209


MATEMÀTIQUES IBatxillerat de ciències de la naturalesa i de la salut


210

INTRODUCCIÓ

Les matemàtiques, a mesura que ha anat avançant la història, s’han col·locat en una posició de privilegi per afrontar la realitat que ens envolta. Qui hauria dit als nostres avantpassats de fa milers d’anys, quan començaren a comptar, que aquest simple gest seria el començament de la modelització del nostre entorn!Actualment, qualsevol intent de descriure científicament un fet passa per la construcció del seu model matemàtic o, per a les disciplines d’humanitats, pel desenvolupament d’una línia logicodeductiva de raonament.No és concebible, avui en dia, una disciplina humana en la qual les matemàtiques, tant en la seva aplicació pràctica com en la seva «forma de fer», no siguin considerades necessàries. No en va el currículum oficial estableix estudis matemàtics en cada una de les quatre modalitats en què es divideix el Batxillerat.Per tot això, els continguts conceptuals, procedimentals i actitudinals del currículum que desenvolupem en aquest projecte, no es queden en una mera presentació matemàtica, sinó que es relacionen amb totes les àrees del coneixement del Batxillerat.En l’etapa obligatòria de l’ensenyament secundari s’ha fet un estudi de les matemàtiques que podríem anomenar «poc formal». És ara quan s’acosta la fi de l’ensenyament secundari, i en aquest moment convé formalitzar i desenvolupar totes aquestes intuïcions que els alumnes i les alumnes adquiriren en etapes precedents de la seva educació. En primer lloc, aquesta formalització ha de crear en l’estudiant habilitats per oferir explicacions clares i raonades dels seus propis arguments; ha de fer que relacioni tots els continguts matemàtics apresos fins ara; l’ha de dotar d’un llenguatge universalment acceptat, etc. I, en segon lloc, ha de preparar aquells alumnes que desitgen seguir estudis tècnics i científics superiors, perquè portin a bon terme els seus projectes futurs.El desenvolupament d’aquesta matèria contribuirà al fet que les alumnes i els alumnes adquireixin les capacitats següents:

— Comprendre els conceptes, procediments i estratègies que permeten a l’alumnat avançar en la matemàtica, en les seves connexions amb aplicacions a altres matèries, per poder accedir a estudis posteriors relacionats amb les humanitats i les ciències socials.

— Aplicar els coneixements matemàtics a situacions diverses, utilitzant-los, en particular, en la interpretació de fenòmens i processos de les ciències socials i humanes i en les activitats quotidianes.

— Utilitzar i contrastar estratègies diverses per a la resolució de problemes, de forma que els permeti enfrontar-se a situacions noves amb autonomia, perseverança, eficàcia i creativitat.

— Elaborar judicis i formar criteris propis sobre fenòmens socials i econòmics, utilitzant-hi tractaments matemàtics, i expressar críticament opinions, argumentant amb precisió i rigor, acceptant la discrepància i els punts de vista diferents.

— Utilitzar els coneixements matemàtics adquirits per interpretar críticament els missatges, dades i informacions que apareixen en els mitjans de comunicació i altres àmbits sobre qüestions econòmiques i socials d’actualitat.

— Mostrar hàbits i actituds propis de l’activitat matemàtica, tals com l’explicació d’hipòtesis, la formulació de conjectures, la construcció d’exemples i contraexemples, la justificació de les afirmacions que es formulen, la necessitat de verificació, la valoració de la precisió, la discussió de les apreciacions intuïtives, la visió crítica i l’obertura a idees noves.

— Utilitzar el discurs racional per plantejar encertadament els problemes, justificar procediments, adquirir rigor en el pensament científic, encadenar coherentment els arguments i detectar-hi incorreccions lògiques.

— Expressar-se oralment, per escrit i gràficament en situacions de ser tractades matemàticament, mitjançant l’adquisició i el maneig d’un vocabulari específic de termes i notacions matemàtics.

— Establir relacions entre les matemàtiques i l’entorn social, cultural i econòmic, apreciant el lloc que ocupen com a part de la nostra cultura.

— Valorar el treball en grup com a element base d’interacció personal en el procés d’ensenyament-aprenentatge de les matemàtiques, comprenent la importància de les idees i opinions diverses, de les estratègies i els mètodes personals de plantejament i resolució aliens, com a font de millora i enriquiment del pensament propi.

211


MATEMÀTIQUES ICiències de la naturalesa i de la salut

Primer de Batxillerat


212

CONTINGUTS

Fets, conceptes i sistemes conceptuals a primer de batxillerat

I. BLOC I. ARITMÈTICA I ÀLGEBRA

1. Nombres reals– Nombres racionals.– Nombres irracionals.– Els nombres reals. La recta real.– Intervals i semirectes.– Valor absolut d’un nombre real.– Radicals. Propietats.– Expressió decimal aproximada. Errors.– Notació científica.– Logaritmes.

2. Polinomis i fraccions algebraiques– Suma, subtracció i producte de polinomis.– Divisió de polinomis.– Dividir un polinomi per x – a. Regla de Ruffini.– Aplicació de la regla de Ruffini amb calculadora.– Factorització de polinomis.– Divisibilitat de polinomis.– Fraccions algebraiques.

3. Equacions, inequacions i sistemes– Equacions de segon grau. Interpretació gràfica.– Equacions de segon grau incompletes.– Equacions biquadrades.– Equacions amb radicals.– La factorització com a recurs per resoldre equacions.– Resolució d’equacions amb la x en el denominador.– Equacions exponencials i logarítmiques.– Sistemes d’equacions. Interpretació gràfica.– Resolució de sistemes d’equacions.– Inequacions amb la incògnita.– Inequacions lineals amb dues incògnites.– Sistemes d’inequacions lineals amb dues incògnites.

BLOC II.TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS

4. Resolució de triangles– Raons trigonomètriques d’un angle agut.– Raons trigonomètriques amb calculadora.– Resolució de triangles rectangles.– Raons trigonomètriques d’angles qualssevol.– Relacions entre les raons trigonomètriques d’alguns angles.– Resolució de triangles qualssevol.

5. Funcions i fórmules trigonomètriques– Una nova unitat per mesurar angles: el radiant– Funcions trigonomètriques o circulars.– Angles de mesures qualssevol.– Funcions circulars definides en tot Á.

1

213

– Fórmules trigonomètriques.– Equacions trigonomètriques.

6. Nombres complexos– En què consisteixen els nombres complexos?– Operacions amb nombres complexos.– Nombres complexos de forma polar.– Operacions amb nombres complexos en forma polar.– Radicació de nombres complexos.

BLOC III. GEOMETRIA ANALÍTICA

7. Vectors– Els vectors i les seves operacions.– Coordenades d’un vector.– Operacions amb coordenades.– Dependència i independència lineal de vectors.– Mòdul i argument d’un vector.– Producte escalar de vectors.

8. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics– Sistemes de referència en el pla.– Algunes aplicacions dels vectors.– Equacions paramètriques d’una recta.– Angle de dues rectes.– Posicions relatives de dues rectes donades en paramètriques.– Equació implícita d’una recta.– Equació explícita d’una recta. Pendent.– Angle de dues rectes a partir dels seus pendents.– Posició relativa de rectes donades en implícites.– Càlcul de distàncies.

9. Llocs geomètrics. Còniques– Llocs geomètrics.– Estudi de la circumferència.– Les còniques com a llocs geomètrics.– Estudi de l’el·lipse.– Estudi de la hipèrbola.– Estudi de la paràbola.

BLOC IV. FUNCIONS

10. Funcions elementals– Concepte de funció.– Domini de definició d’una funció.– Funcions lineals.– Funcions quadràtiques.– Algunes transformacions de funcions.– Funcions de proporcionalitat inversa.– Funcions radicals.– Funcions definides «a trossos».– Valor absolut d’una funció.– Composició de funcions.– Funció inversa o recíproca d’una altra.– Les funcions exponencials.– Les funcions logarítmiques.– Les funcions d’arc.

214

11. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites– Discontinuïtats. Continuïtat.– Límit d’una funció en un punt. – Càlcul del límit d’una funció en un punt.– Comportament d’una funció quan x + ∞.– Càlcul de límits quan x + ∞.– Branques infinites. Asímptotes.– Comportament d’una funció quan x –∞.– Branques infinites en les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques.

12. Taxa mitjana de variació. Iniciació al càlcul de derivades– Mesura del creixement d’una funció.– Creixement d’una funció en un punt. Derivada.– Funció derivada d’una altra.– Regles per obtenir les derivades d’algunes funcions.– Utilitat de la funció derivada.– Representació de funcions polinòmiques.– Representació de funcions racionals.

BLOC V. ESTADÍSTICA I PROBABILITAT

Unitat 13. Distribucions de probabilitat– Distribucions estadístiques.– Distribucions de probabilitat de variable discreta.– La distribució binomial.– Distribucions de probabilitat de variable contínua.– La distribució normal.– La distribució binomial s’aproxima a la normal.– Ajust d’un conjunt de dades a una binomial.– Ajust d’un conjunt de dades a una distribució normal.– Càlcul de probabilitats.– Nombres combinatoris.– Estadística. Nocions generals.

14. Distribucions bidimensionals– Núvols de punts. Correlació.– Mesura de la correlació.– Recta de regressió.– Hi ha dues rectes de repressió.– Taules de doble entrada.

Resolució de problemes– Què és un problema?– Alguns consells per resoldre problemes.– Fer un esquema, dibuix o diagrama.– Estudiar tots els casos possibles.– Triar una bona notació.– Considerar casos particulars. Experimentar.– Aprofitar la regularitat del problema.– Tempteig (prova i error).

215

Procediments

I. ARITMÈTICA I ÀLGEBRA

– Utilització dels nombres en l’elaboració de missatges.– Identificació i representació de diversos tipus de nombres.– Identificació i representació d’intervals.– Maneig destre de les operacions amb nombres reals.– Utilització de la calculadora per a tasques aritmètiques.– Utilització d’expressions algebraiques com a recurs del llenguatge matemàtic.– Maneig destre de les tècniques algebraiques.– Resolució d’equacions de tot tipus, de sistemes d’equacions, d’inequacions i de sistemes d’inequacions.– Traducció al llenguatge algebraic de problemes donats mitjançant enunciat.– Maneig dels factorials i dels nombres combinatoris.

II. TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS

– Obtenció de les raons trigonomètriques d’un angle.– Resolució de triangles.– Identificació de les raons trigonomètriques.– Resolució d’equacions trigonomètriques.– Representació gràfica de nombres complexos i algunes de les seves operacions.– Maneig de nombres complexos en les formes binòmica i polar, i en les operacions.– Resolució d’equacions en el camp dels nombres complexos.

III. GEOMETRIA ANALÍTICA

– Representació de vectors.– Operacions amb vectors.– Càlcul del mòdul d’un vector i de la projecció d’un vector sobre un altre.– Resolució de problemes geomètrics aplicant-hi els coneixements sobre vectors.– Obtenció de l’equació d’una recta.– Obtenció de rectes paral·leles o perpendiculars a altres de donades.– Càlcul de distàncies.– Obtenció de l’equació d’alguns llocs geomètrics.

IV. FUNCIONS

– Obtenció del domini de definició d’una funció.– Representació gràfica de funcions elementals.– Obtenció de la funció composta d’altres dues.– Obtenció de l’expressió analítica de la funció inversa o recíproca d’una altra.– Reconeixement de la continuïtat o discontinuïtat d’una funció.– Càlcul de límits d’una funció.– Càlcul de la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.– Aplicació de les regles de derivació per trobar la derivada d’una funció.– Obtenció de la recta tangent a una corba en un punt.– Representació de funcions.– Càlcul de primitives de funcions elementals i compostes.– Obtenció de l’àrea sota una corba o entre dues corbes.

V. ESTADÍSTICA I PROBABILITAT

– Representació d’una distribució bidimensional.– Càlcul del coeficient de correlació i de la recta de regressió d’una distribució bidimensional.

216

– Utilització de les distribucions bidimensionals per a l’estudi i la interpretació de problemes sociològics, científics o de la vida quotidiana.

– Càlcul de probabilitats.– Càlcul de probabilitats condicionades.– Càlcul de la mediana i la desviació típica en una distribució estadística.– Reconeixement de les distribucions binomials, càlcul de probabilitats i obtenció dels seus paràmetres.– Reconeixement de distribucions normals.– Càlcul de probabilitats utilitzant les taules de la normal N(0,1).– Identificació de distribucions binomials que es poden concedir pròximes a distribucions normals.– Ajust d’un conjunt de dades a una distribució binomial o a una distribució normal.

Les actituds que hem d’intentar que els alumnes assumeixin com a pròpies no es restringeixen a l’àmbit matemàtic: confiança en si mateix, utilització correcta de totes les eines al seu abast, curiositat per conèixer, claredat i senzillesa en la descripció de fets i processos...És clar que tots els continguts actitudinals de la llista següent estan sotmesos al necessari «maquillatge» matemàtic, però la consecució de gran part d’aquests farà que els estudiants puguin, amb l’ajuda del professor, créixer com a persones.

217


I. NOMBRES I ÀLGEBRA

– Valoració de la utilització d’estratègies personals de càlcul.– Gust per la precisió en els càlculs.– Reconeixement i valoració crítica de la utilitat de la calculadora com a eina didàctica per a la realització de

càlculs, investigacions numèriques, com també per plantejar i resoldre problemes.– Curiositat i interès per les investigacions numèriques i per la resolució de problemes numèrics i algebraics.– Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes numèrics i algebraics.– Interès i respecte per les estratègies, les maneres de fer i les solucions als problemes numèrics i algebraics

diferents dels propis.– Valoració de la potència i l’abstracció del simbolisme que suposa l’àlgebra.– Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions, com també per la seva facilitat per representar i

resoldre problemes.– Adquisició de confiança en la resolució d’equacions.– Valoració de la capacitat dels mètodes algebraics per representar situacions complexes i resoldre problemes.– Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit, expressant allò que es fa i per què es fa, i

dels resultats en càlculs de problemes numèrics i algebraics.

II. TRIGONOMETRIA I NOMBRES COMPLEXOS

– Curiositat per conèixer les relacions existents entre les raons trigonomètriques d’un angle.– Curiositat per conèixer les funcions trigonomètriques.– Valoració dels mètodes per a la investigació i la descoberta en trigonometria i en nombres complexos.– Tenacitat i constància en la recerca de solucions als problemes trigonomètrics.– Claredat i senzillesa en la descripció de processos i en l’expressió de resultats.– Interès i respecte per les solucions a problemes diferents a les pròpies.– Confiança i interès de trobar procediments i estratègies diferents. Interès de cercar-ne.

III. GEOMETRIA ANALÍTICA

– Valoració dels mètodes gràfics per a la investigació i la descoberta en geometria analítica.– Tenacitat i constància en la recerca de solucions als problemes geomètrics.– Claredat i senzillesa en la descripció de processos i en l’expressió de resultats.– Gust i interès per enfrontar-se amb situacions geomètriques.– Interès i respecte per les solucions a problemes diferents de les pròpies.– Confiança i interès de trobar procediments i estratègies diferents. Interès de cercar-ne.

IV. FUNCIONS

– Reconèixer la utilitat de la representació gràfica com a mitjà d’interpretació ràpida i precisa de fenòmens econòmics, socials i científics.

– Sensibilitat, interès i valoració crítica de l’ús del llenguatge gràfic.– Claredat i senzillesa en la representació de funcions.– Disposició favorable a la revisió i millora de qualsevol representació gràfica i de qualsevol càlcul necessari per a

l’estudi de les funcions.– Confiança en les pròpies capacitats per realitzar els càlculs necessaris que duguin a la representació d’una

funció.– Confiança en les pròpies capacitats per trobar àrees sota corbes.– Sensibilitat i gust per la representació ordenada i clara del procés seguit, expressant què es fa i per què es fa.

218

V. ESTADÍSTICA I PROBABILITAT

– Valoració de l’experimentació i la simulació de situacions com a mitjà d’aproximació als problemes de probabilitat.

– Curiositat i interès pels fenòmens aleatoris i les lleis que els regeixen.– Reconeixement de la utilitat del càlcul de probabilitats per analitzar fenòmens i fets de la vida quotidiana.– Confiança en les pròpies capacitats per realitzar els càlculs necessaris que duguin a la interpretació d’una

distribució estadística.– Gust i interès per la interpretació d’una distribució estadística mitjançant els paràmetres corresponents.– Confiança en les pròpies capacitats per interpretar i expressar informació estadística.– Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit, expressant què es fa i per què es fa.– Disposició favorable a la revisió i millora de qualsevol mètode emprat per a l’estudi d’una distribució

estadística.– Interès i respecte pels mètodes aplicats i per les solucions a problemes de tipus estadístic diferents dels propis.

219

PROGRAMACIÓ D’AULA

Matemàtiques 1

Unitat 1 Continguts




Identificació de diversos tipus de nombres (enters, racionals, irracionals).

Representació sobre la recta de nombres racionals, d’alguns radicals i, aproximadament, de qualsevol nombre donat per la seva expressió decimal.

Representació d’intervals. Utilització dels valors absoluts per descriure intervals.

Relació entre la quota de l’error comès, tant absolut com relatiu, amb la quantitat de xifres significatives utilitzades.

Maneig destre de la notació científica.

Maneig destre dels radicals. Utilització de les propietats dels

logaritmes per realitzar càlculs i per simplificar expressions.

Utilització de la calculadora per a diversos tipus de tasques aritmètiques, ajuntant la destresa del seu maneig amb la comprensió de les propietats que s’hi utilitzen.

El paper dels nombres irracionals en el procés d’ampliació de la recta numèrica.

La recta real. Correspondència d’un nombre real amb un punt i viceversa.

Els intervals com a conjunts de nombres que compleixen una desigualtat.

Diferència entre l’error absolut i el relatiu. Quota d’error d’un i altre tipus.

Logaritmes. Definició i propietats.

Valoració positiva de l’ús d’estratègies personals per resoldre problemes numèrics.

Hàbit d’analitzar críticament la solució de cada problema que es resol.

Reconeixement i valoració crítica de la utilitat de la calculadora com a eina didàctica.

Curiositat i interès per la resolució de problemes numèrics.

Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes numèrics.

Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes diferents als propis.


Conèixer els conceptes bàsics del camp numèric (recta real, potències, arrels, logaritmes, etc.).

Dominar les tècniques bàsiques del càlcul en el camp dels nombres reals.

Donats diversos nombres, els classifica en els diferents camps numèrics.

Interpreta arrels i les relaciona amb la seva notació exponencial.

Coneix la definició de logaritme i la interpreta en casos concrets.

Expressa amb un interval un conjunt numèric en el qual intervé una desigualtat amb valor absolut.

Opera correctament amb radicals. Opera amb nombres «molt grans» o «molt petits» valent-

se de la notació científica. Utilitza la calculadora per obtenir potències, arrels,

resultats d’operacions amb nombres en notació científica i logaritmes.

Resol problemes aritmètics.

220

Matemàtiques 1

Unitat 2 Continguts




Maneig àgil de les tècniques d’operacions entre polinomis.

Interpretació i expressió correcta dels resultats.

Utilització de la regla de Ruffini per dividir un polinomi per x – a i per obtenir el valor numèric d’un polinomi per a x = a. Maneig àgil de la calculadora amb aquest objectiu.

Descomposició d’un polinomi en factors.

Obtenció del màxim comú divisor i del mínim comú múltiple de dos o més polinomis.

Obtenció d’un polinomi que tingui certes arrels.

Maneig de les operacions amb fraccions algebraiques.

Operacions amb monomis i polinomis:

Suma i resta. Multiplicació. Divisió.

Divisió d’un polinomi per x – a. Regla de Ruffini. Teorema del residu. Factorització de polinomis. Similitud entre els conceptes

relatius a la divisibilitat de polinomis i nombres enters: múltiples i divisors, polinomis irreductibles (nombres primers), descomposició factorial, màxim comú divisor i mínim comú múltiple.

Fraccions algebraiques. Similitud entre les operacions amb

fraccions algebraiques i amb fraccions numèriques: simplificació, equivalència, reducció a comú denominador, suma, resta, multiplicació i divisió.

Ús del llenguatge algebraic per expressar relacions de tot tipus, així com per la seva facilitat per representar i resoldre problemes.

Valoració de la potència i abstracció del simbolisme matemàtic que suposa l’àlgebra.

Valoració de la capacitat dels mètodes algebraics per representar situacions complexes i resoldre problemes.

Valoració de la importància dels polinomis en situacions problemàtiques de la vida quotidiana.

Disposició favorable a la revisió i la millora del resultat de qualsevol problema algebraic.

Interès i respecte per les estratègies, formes de fer i solucions als problemes algebraics diferents de les pròpies.

Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit (expressant el que es fa i per què es fa) i dels resultats en càlculs i problemes algebraics.


Dominar el maneig de polinomis i les seves operacions. Dominar el maneig de les fraccions algebraiques i les seves

operacions.

Comprèn la mecànica de les operacions amb polinomis i les aplica amb agilitat.

Resol problemes utilitzant el teorema del residu. Factoritza un polinomi amb diverses arrels enteres. Simplifica fraccions algebraiques. Opera amb fraccions algebraiques.

221

Matemàtiques 1

Unitat 3 Continguts




Factorització d’un polinomi a partir de la identificació de les seves arrels enteres.

Operacions amb fracció algebraica. Simplificació. Maneig destre de les tècniques algebraiques

bàsiques. Resolució destra d’equacions de segon grau

(completes i incompletes) i biquadrades. Resolució d’equacions amb radicals. Resolució d’equacions d’aquests tipus: Amb denominadors literals. Polinòmiques de grau n amb n –2 arrels enteres. De qualsevol tipus, de forma aproximada. Discussió del rang d’una matriu dependent d’un

paràmetre. Resolució d’equacions exponencials. Resolució destra d’equacions logarítmiques.

Discussió del rang d’una matriu dependent d’un paràmetre.

Resolució de sistemes d’equacions de qualsevol tipus que puguin desembocar en equacions de les anomenades.

Mètode de Gauss per resoldre sistemes lineals 3 x 3 amb solució única.

Resolució d’inequacions i de sistemes d’inequacions.

Traducció al llenguatge algebraic de problemes donats mitjançant enunciat.

Polinomis. Factorització. Fraccions algebraiques. Equacions de segon grau. Equacions amb radicals. Altres tipus d’equacions. Equacions exponencials. Equacions logarítmiques. Sistemes d’equacions. Inequacions.

Hàbit de contrastar el resultat final d’un problema amb l’enunciat per determinar si és raonable o no el resultat obtingut.

Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats en problemes algebraics.

Valoració de la utilitat i la potència que té el simbolisme matemàtic.

Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions de tot tipus.


Dominar el maneig de les fraccions algebraiques i les seves operacions.

Resoldre amb destresa equacions de diferents tipus i aplicar-les a la resolució de problemes.

Resoldre amb destresa sistemes d’equacions. Interpretar i resoldre inequacions i sistemes

d’inequacions.

Simplifica fraccions algebraiques. Opera amb fraccions algebraiques. Resol equacions de segon grau i biquadrades. Resol equacions amb radicals i amb la incògnita en el denominador. Es val de la factorització com a recurs per resoldre equacions. Resol equacions exponencials i logarítmiques. Planteja i resol problemes mitjançant equacions. Resol sistemes d’equacions de primer i segon grau i els interpreta

gràficament. Resol sistemes d’equacions amb radicals i fraccions algebraiques

(senzills). Resol sistemes d’equacions amb expressions exponencials i

logarítmiques. Resol sistemes de tres equacions amb tres incògnites (de solució

única) mitjançant el mètode de Gauss. Planteja i resol problemes mitjançant sistemes d’equacions. Resol i interpreta gràficament inequacions i sistemes d’inequacions

amb una incògnita (senzills).

Matemàtiques 1

222

Unitat 4 Continguts




Donada una raó trigonomètrica, calcular-ne les altres.

Obtenció, amb la calculadora, de les raons trigonomètriques d’un angle.

Obtenció, amb la calculadora, d’un angle coneixent una de les seves raons trigonomètriques.

Càlcul gràfic de les raons trigonomètriques d’angles qualssevol.

Representació d’angles coneixent-ne una raó trigonomètrica.

Càlcul de raons trigonomètriques d’un angle coneixent-ne les d’un altre relacionat amb aquest.

Resolució de triangles rectangles. Aplicació de l’estratègia de l’altura

per resoldre triangles no rectangles. Resolució de triangles qualssevol.

Raons trigonomètriques d’un angle agut.

Relacions entre les raons trigonomètriques.

Raons trigonomètriques d’angles qualssevol.

Circumferència goniomètrica: representació d’angles.

Relacions entre les raons trigonomètriques de diferents angles.

Teorema del sinus. Teorema del cosinus.

Confiança en les pròpies capacitats per resoldre tot tipus de problemes on intervinguin angles.

Reconeixement i apreciació de les raons trigonomètriques per descriure i resoldre situacions reals.

Reconeixement i valoració del treball en equip per a la realització de determinades activitats amb la resolució de triangles.



Conèixer el significat de les raons trigonomètriques d’angles aguts, aplicar-les a la resolució de triangles rectangles i relacionar-les amb les raons trigonomètriques d’angles qualssevol.

Conèixer el teorema del sinus i del cosinus i aplicar-los a la resolució de triangles qualssevol.

Resol triangles rectangles. Es val de dos triangles rectangles per resoldre un triangle

obliquangle (estratègia de l’altura). Obté les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol i el

relaciona amb un del primer quadrant. Resol un triangle obliquangle definit mitjançant un dibuix. A partir d’un enunciat, dibuixa el triangle que descriu la

situació i el resol.

223

Matemàtiques 1

Unitat 5 Continguts




Utilització de la calculadora de mode RAD.

Identificació de les funcions trigonomètriques.

Aplicació de les raons trigonomètriques de l’angle suma, de la diferència de dos angles, de l’angle doble i de l’angle meitat a la demostració d’altres fórmules trigonomètriques.

Simplificació d’expressions trigonomètriques mitjançant transformacions en producte.

Resolució d’equacions trigonomètriques.

El radian: relació entre graus i radians.

Les funcions trigonomètriques sinus, cosinus i tangent.

Raons trigonomètriques de l’angle suma, de la diferència de dos angles, de l’angle doble i de l’angle meitat.

Sumes i diferències de sinus i cosinus.

Equacions trigonomètriques.

Valoració de la posició, l’ordre i la claredat en la resolució de problemes on intervinguin fórmules trigonomètriques.

Reconeixement de la utilitat de les funcions trigonomètriques com a mitjà d’interpretació ràpid i precís dels fenòmens quotidians i científics.

Valoració de la notació trigonomètrica per expressar relacions de tot tipus, com també de la facilitat que ofereix per representar i resoldre situacions problemàtiques.

Disposició favorable a la revisió i millora de qualsevol càlcul.


Conèixer la definició de radian i utilitzar-lo per descriure les raons trigonomètriques en forma de funcions.

Conèixer les fórmules trigonomètriques fonamentals (suma i resta d’angles, angle doble, angle meitat, i suma i diferència de sinus i cosinus) i aplicar-les a càlculs diversos.

Transforma en radians un angle donat en graus, i viceversa.

Reconeix les funcions trigonomètriques donades mitjançant les seves gràfiques i representa qualsevol d’aquestes sobre uns eixos coordenats, en l’eix d’abscisses dels quals s’han assenyalat les mesures, en radians, dels angles més rellevants.

Simplifica expressions amb fórmules trigonomètriques o demostra identitats.

Resol equacions trigonomètriques.

224

Matemàtiques 1

Unitat 6 Continguts




Representació gràfica de nombres complexos.

Operacions amb nombres complexos en forma binòmica.

Pas de forma binòmica a forma polar i de forma polar a forma binòmica.

Aplicació de la fórmula de Moivre en trigonometria.

Operacions amb nombres complexos en forma polar.

Resolució d’equacions en Ç. Aplicació dels nombres complexos

a la resolució de problemes geomètrics.

Unitat imaginària. Nombres complexos en forma binòmica.

Propietats de les operacions amb nombres complexos.

Nombres complexos en forma polar: mòdul i argument.

Producte i quocient de complexos en forma polar.

Potència d’un complex. Fórmula de Moivre.

Radicació de nombres complexos.

Confiança en les pròpies capacitats per realitzar càlculs amb els nombres complexos en qualsevol de les seves formes de representació.

Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions a problemes on es fa necessària la utilització de nombres complexos.

Valoració de les propietats dels nombres complexos per simplificar els càlculs en diversos problemes.

Gust i interès per afrontar problemes on intervenen nombres complexos.


Conèixer els nombres complexos, les seves representacions gràfiques, els seus elements i les seves operacions.

Realitza operacions combinades de nombres complexos posats en forma binòmica i representa gràficament la solució.

Passa un nombre complex de forma binòmica a polar, o viceversa, el representa i obté el seu oposat i el seu conjugat.

Resol problemes on hagi de realitzar operacions aritmètiques amb complexos i per als quals hagi de dilucidar si s’expressen en forma binòmica o polar. Es val de la representació gràfica en algun dels passos.

Calcula arrels de nombres complexos i les interpreta gràficament.

Resol equacions o sistemes d’equacions en el camp dels nombres complexos.

225

Matemàtiques 1

Unitat 7 Continguts




Representació de vectors. Obtenció gràfica del producte d’un

nombre per un vector, del vector suma i del vector diferència.

Expressió d’un vector com a combinació lineal d’altres.

Representació d’un vector donat per les seves coordenades en una certa base.

Reconeixement de les coordenades d’un vector representat en una certa base.

Operacions amb vectors donats gràficament o per les seves coordenades.

Càlcul de la projecció d’un vector sobre un altre.

Càlcul del mòdul d’un vector: obtenció de vectors unitaris amb la direcció d’un vector donat.

Càlcul de l’angle que formen dos vectors. Obtenció de vectors ortogonals a un vector donat.

Obtenció d’un vector coneixent el seu mòdul i l’angle que forma amb un altre.

Definició de vector: mòdul, direcció i sentit.

Producte d’un vector per un nombre.

Suma i resta de vectors. Combinació lineal de vectors. Concepte de base. Coordenades

d’un vector respecte d’una base. Producte escalar de dos vectors.

Propietats: mòdul d’un vector, angle de dos vectors. Ortogonalitat.

Expressió analítica del producte escalar en una base ortonormal.

Sensibilitat i interès crític davant les informacions de naturalesa vectorial.

Curiositat i interès pel càlcul i la resolució de problemes en els qual intervinguin vectors.

Valoració de la utilització d’estratègies personals per resoldre problemes vectorials.


Conèixer els vectors i les seves operacions, i utilitzar-los per a la resolució de problemes geomètrics.

Efectua combinacions lineals de vectors gràficament i mitjançant les seves coordenades.

Expressa un vector com a combinació lineal d’altres dos, gràficament i mitjançant les seves coordenades.

Coneix el significat del producte escalar de dos vectors, les seves propietats i la seva expressió analítica, i l’aplica a l’estudi de la perpendicularitat i al càlcul de mòduls i angles.

226

Matemàtiques 1

Unitat 8 Continguts




Aplicació dels vectors a problemes geomètrics: coordenades d’un vector que uneix dos punts, punt mitjà d’un segment...

Obtenció del pendent d’una recta. Recta que passa per dos punts.

Obtenció de l’angle de dues rectes a partir dels pendents.

Obtenció de la distància entre dos punts o entre un punt i una recta.

Obtenció d’una recta paral·lela, o d’una perpendicular, a una altra que passa per un punt.

Obtenció de l’equació d’alguns llocs geomètrics: mediatriu d’un segment, bisectriu d’un angle, circumferència.

Sistemes de referència en el pla: coordenades d’un punt.

Equacions de la recta: vectorial, paramètriques i general.

Aplicacions dels vectors a problemes mètrics: vector normal, angle entre rectes, distància entre punts i distància entre punt i recta.

Posicions relatives de rectes donades en paramètriques i en forma general.

Equació explícita de la recta. Pendent.

Forma punt-pendent d’una recta. Relació entre els pendents de

rectes paral·leles o perpendiculars. Lloc geomètric.

Interès i respecte per les estratègies, els modes de fer i les solucions als problemes, diferents dels propis.

Tenacitat i constància en la recerca de solucions a problemes de geometria analítica.

Interès per la presentació ordenada, neta i clara dels treballs geomètrics, reconeixent el valor pràctic que tenen.

Flexibilitat per afrontar a situacions geomètriques des de diferents punts de vista.


Conèixer i dominar les tècniques de la geometria analítica plana.

Troba el punt mitjà d’un segment i el simètric d’un punt respecte d’un altre.

Utilitza els vectors i les seves relacions per obtenir un punt a partir d’altres (baricentre d’un triangle, quart vèrtex d’un paral·lelogram, punt que divideix un segment en una proporció donada...).

Obté les equacions paramètriques d’una recta donant les dades necessàries.

Estudia la posició relativa de dues rectes donades en paramètriques i, en el seu cas, troba el punt de tall.

Donades dues rectes en paramètriques, reconeix si són perpendiculars o calcula l’angle que formen.

Troba l’equació implícita d’una recta a partir de les seves equacions paramètriques o d’alguns dels seus elements (dos punts, punt i pendent...).

Estableix relacions de paral·lelisme o de perpendicularitat entre rectes donades mitjançant la seva equació implícita, mitjançant l’obtenció dels pendents.

Calcula la distància entre punts o d’un punt a una recta. Resol problemes geomètrics utilitzant eines analítiques.

227

Matemàtiques 1

Unitat 9 Continguts




Identificació del tipus de cònica que s’obté segons l’angle ( de la superfície cònica i l’angle ( que el pla forma amb el seu eix.

Obtenció de l’equació d’una circumferència a partir del seu centre i del seu radi.

Obtenció del centre i el radi d’una circumferència a partir de la seva equació.

Estudi de la posició relativa d’una recta i una circumferència.

Obtenció de l’equació reduïda d’una cònica a partir d’alguns dels seus elements.

Identificació del tipus de cònica i dels seus elements a partir de la seva equació reduïda.

Resolució de problemes de llocs geomètrics, identificant la figura resultant.

Les còniques com a seccions d’una superfície cònica.

Equació de la circumferència. Característiques d’una equació en

x i y per tal que sigui d’una circumferència. Obtenció del centre i del radi.

Estudi analític de les còniques (el·lipse, hipèrbola, paràbola) com a llocs geomètrics.

Elements característics (eixos, focus, excentricitat).

Equacions reduïdes.

Tenacitat i constància en la recerca de solucions a problemes de geometria plana.

Valoració de l’ús d’estratègies personals per resoldre problemes geomètrics en el pla.

Confiança en les pròpies capacitats per fer càlculs.

Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions a problemes diferents als propis.

Interès per la presentació ordenada, neta i clara dels treballs geomètrics, reconeixent el valor pràctic que tenen.


Resoldre problemes per als quals calgui dominar (a fons) l’equació de la circumferència.

Conèixer els elements característics de cadascuna de les tres còniques (el·lipse, hipèrbola, paràbola): eixos, focus, excentricitat..., i relacionar-los amb l’equació reduïda corresponent.

Obtenir analíticament llocs geomètrics.

Escriu l’equació d’una circumferència determinada per alguns dels seus elements o obté els elements (centre i radi) d’una circumferència donada per la seva equació.

Troba la posició relativa d’una recta i una circumferència. Representa una cònica a partir de la seva equació reduïda

(eixos paral·lels als eixos coordinats) i obté nous elements d’ella.

Troba l’equació d’una cònica donada mitjançant la seva representació gràfica i obté alguns dels seus elements característics.

Obté l’expressió analítica d’un lloc geomètric pla definit per alguna propietat, i identifica la figura de què es tracta (reconeixent abans d’operar la figura que s’obtindrà).

Obté l’expressió analítica d’un lloc geomètric pla definit per alguna propietat i identifica la figura de què es tracta (sense saber prèviament la figura que s’obtindrà).

228

Matemàtiques 1





Obtenció del domini de definició d’una funció donada per la seva expressió analítica.

Coneixent la representació gràfica de y = f (x), obtenció de les de:y = f (x) + k, y = k f (x), y = f (x + a), y = f (– x), y = |f (x)|.

Representació de funcions definides «a trossos».

Representació de funcions lineals i quadràtiques.

Representació de funcions de proporcionalitat inversa.

Representació de funcions radicals. Representació de funcions

exponencials. Representació de funcions

logarítmiques. Obtenció de la funció composta

d’altres dues de donades per les seves expressions analítiques.

Traçat de la gràfica d’una funció, coneguda la de la seva inversa.

Obtenció de l’expressió analítica de f –1(x), coneguda f (x).

Funció. Domini de definició d’una funció. Funcions lineals i quadràtiques.

Característiques. Funcions de proporcionalitat

inversa. Característiques. Funcions radicals.

Característiques. Funcions exponencials.

Característiques. Funcions logarítmiques.

Característiques. Funcions d’arc. Característiques. Composició de funcions. Funció inversa o recíproca d’una

altra.

Comparació crítica de la informació que aporta l’expressió analítica d’una funció enfront a la seva representació gràfica.

Capacitat crítica davant errors matemàtics en representacions de funcions elementals.

Reconeixement i valoració del treball en equip per a la realització de determinades activitats relacionades amb la representació gràfica.

Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit per a la representació gràfica de funcions.

229


Conèixer el concepte de domini de definició d’una funció i obtenir-lo a partir de la seva expressió analítica.

Conèixer les famílies de funcions elementals i associar les seves expressions analítiques amb les formes de les seves gràfiques.

Dominar el maneig de funcions lineals, quadràtiques i exponencials, com també de les funcions definides «a trossos».

Reconèixer les transformacions que es produeixen en les gràfiques com a conseqüència d’algunes modificacions en les seves expressions analítiques.

Conèixer la composició de funcions i les relacions analítiques i gràfiques que existeixen entre una funció i la seva inversa o recíproca.

Obté el domini de definició d’una funció donada per la seva expressió analítica.

Reconeix i expressa amb correcció el domini d’una funció donada gràficament.

Determina el domini d’una funció tenint en compte el context real de l’enunciat.

Associa la gràfica d’una funció lineal o quadràtica a la seva expressió analítica.

Associa la gràfica d’una funció radical o de proporcionalitat inversa a la seva expressió analítica.

Associa la gràfica d’una funció exponencial o logarítmica a la seva expressió analítica.

Troba valors d’una funció d’arc relacionant-la amb la funció trigonomètrica corresponent.

Representa una funció lineal a partir de la seva expressió analítica.

Obté l’expressió d’una funció lineal a partir de la seva gràfica o d’alguns elements.

A partir d’una funció quadràtica donada, reconeix la seva forma i posició, i la representa.

Representa una funció exponencial donada per la seva expressió analítica.

Representa funcions definides «a trossos» (solament lineals i quadràtiques).

Obté l’expressió analítica d’una funció donada per un enunciat (lineals, quadràtiques i exponencials).

Representa y = f (x) ± k o y = f (x ± a) o y = – f (x) a partir de la gràfica de y = f (x).

Representa y = |f (x)| a partir de la gràfica de y = f (x). Obté l’expressió de y = |ax + b| identificant les equacions de

les rectes que la formen. Compon dues o més funcions. Reconeix una funció com a composta d’unes altres dues, en

casos senzills. Donada la gràfica d’una funció, representa la de la seva

inversa i obté valors d’una a partir dels de l’altra. Obté l’expressió analítica de la inversa d’una funció en

casos senzills.

230

Matemàtiques 1





Reconeixement sobre el gràfic de la causa de la discontinuïtat d’una funció en un punt.

Càlcul de límits en un punt. Càlcul de límits quan x +∞ o

quan x –∞. Obtenció de les branques

infinites d’una funció polinòmica o racional.

Discontinuïtats. Continuïtat. Límit d’una funció en un

punt. Límit d’una funció en +∞ o

en –∞. Branques infinites.

Asímptotes.


Hàbit per obtenir mentalment resultats d’alguns límits senzills.

Valoració de les propietats dels límits per simplificar càlculs.


Reconeixement de la utilitat de la representació com a mitjà d’interpretació ràpid i precís dels fenòmens en què intervenen límits.


Conèixer el significat analític i gràfic dels diferents tipus de límits i identificar-los sobre una gràfica.

Adquirir un cert domini del càlcul de límits, sabent interpretar el significat gràfic dels resultats obtinguts.

Conèixer el concepte de funció contínua i identificar la continuïtat o discontinuïtat d’una funció en un punt.

Conèixer els diferents tipus de branques infinites (branques parabòliques i branques que se cenyeixen a asímptotes verticals, horitzontals i obliqües) i dominar-ne l’obtenció en funcions polinòmiques i racionals.

Donada la gràfica de la funció, reconeix el valor dels límits quan x +∞, x –∞, x a–, x a+, x a.

Interpreta gràficament expressions del tipus lím/? ? = , on i són +∞, –∞ o un nombre, com també els lí-mits laterals en un punt.

Calcula el límit en un punt d’una funció contínua. Calcula el límit en un punt d’una funció racional en la qual

s’anul·la el denominador i no el numerador, i distingeix el comportament per l’esquerra i per la dreta.

Calcula el límit en un punt d’una funció racional en la qual s’anul·len numerador i denominador.

Calcula els límits quan x +∞ o x –∞, de funcions polinòmiques.

Calcula els límits quan x +∞ o x –∞, de funcions racionals.

Donada la gràfica d’una funció, reconeix si en un cert punt és contínua o discontínua i, en aquest últim cas, identifica la causa de la discontinuïtat.

Estudia la continuïtat d’una funció donada «a trossos». Troba les asímptotes verticals d’una funció racional i

representa la posició de la corba respecte a aquestes. Estudia i representa les branques infinites d’una funció

polinòmica. Estudia i representa el comportament d’una funció

racional quan x +∞ i x –∞. (Resultat: branques parabòliques.)

Estudia i representa el comportament d’una funció racional quan x +∞ i x –∞. (Resultat: asímptota horitzontal.)

Estudia i representa el comportament d’una funció racional quan x +∞ i x –∞. (Resultat: asímptota obliqua.)

Matemàtiques 1

231





Càlcul de la TVM d’una funció per a diferents intervals.

Càlcul de la TVM d’una funció per a intervals molt petits i assimilació del resultat a la variació en aquest punt.

Obtenció de la variació en un punt mitjançant el càlcul de la TVM de la funció per a un interval variable h i obtenció del límit de l’expressió corresponent quan h 0.

Aplicació de les regles de derivació per trobar la derivada de funcions i el seu valor en punts concrets.

Càlcul dels punts de tangent horitzontal d’una funció. Obtenció de la recta tangent a una corba en un punt. Representació de funcions polinòmiques de grau

superior a dos. Representació de funcions racionals.

Taxa de variació mitjana (TVM).

Derivada d’una funció en un punt.

Gust i interès per enfrontar-se a problemes on aparegui la derivada d’una funció.

Hàbit per contrastar el resultat final d’un problema amb allò proposat en aquest per determinar si el valor final obtingut és raonable o no.

Disposició favorable a la revisió i la millora de qualsevol càlcul.

Perseverança i flexibilitat en la recerca de recursos per a la representació gràfica de funcions no elementals.


Conèixer la definició de derivada d’una funció en un punt, interpretar-la gràficament i aplicar-la per al càlcul de casos concrets.

Conèixer les regles de derivació i utilitzar-les per trobar la funció derivada d’una altra.

Utilitzar la derivació per trobar la recta tangent a una corba en un punt, els màxims i mínims d’una funció, els intervals de creixement, etc.

Conèixer el paper que exerceixen les eines bàsiques de l’anàlisi (límits, derivada) en la representació de funcions i dominar la representació sistemàtica de funcions polinòmiques i racionals.

Troba la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval i la interpreta.

Calcula la derivada d’una funció en un punt a partir de la definició.

Aplicant-hi la definició de derivada, troba la funció derivada d’una altra.

Troba la derivada d’una funció senzilla. Troba la derivada d’una funció en què intervenen potències no

enteres, productes i quocients. Troba la derivada d’una funció composta. Troba l’equació de la recta tangent a una corba. Localitza els punts singulars d’una funció polinòmica o racional i

els representa. Determina els trams on una funció creix o decreix. Representa una funció de la qual se li donen totes les dades més

rellevants (branques infinites i punts singulars). Descriu amb correcció totes les dades rellevants d’una funció

donada gràficament. Representa una funció polinòmica de grau superior a dos. Representa una funció racional amb denominador de primer grau i

una branca asimptòtica. Representa una funció racional amb denominador de primer grau i

una branca parabòlica. Representa una funció racional amb denominador de segon grau i

una asímptota horitzontal. Representa una funció racional amb denominador de segon grau i

una asímptota obliqua. Representa una funció racional amb denominador de segon grau i

una branca parabòlica.

232

Matemàtiques 1





Possibilitat de visualitzar gràficament processos i relacions probabilístics: taules de contingència.

Possibilitat de visualitzar gràficament processos i relacions probabilístics: diagrama en arbre.

Reconeixement o obtenció d’esdeveniments complementaris, incompatibles, unió d’esdeveniments, intersecció d’esdeveniments...

Aplicació de la llei de Laplace per al càlcul de probabilitats senzilles.

Esdeveniments i les seves operacions. Propietats.

Freqüència i probabilitat. Freqüència absoluta i freqüència

relativa d’un esdeveniment. Llei de Laplace. Propietats de la probabilitat. Probabilitat condicionada i

independència d’esdeveniments. Fórmula de la probabilitat total. Fórmula de Bayes. Reconeixement de la dependència

o la independència de dos esdeveniments.

Càlcul de probabilitats condicionades.

Càlcul de probabilitats totals. Càlcul de probabilitats «a

posteriori». Maneig i interpretació de les taules

de contingència per plantejar i resoldre alguns tipus de problemes de probabilitat.

Utilització del diagrama en arbre per descriure el procés de resolució de problemes amb experiències compostes. Càlcul de probabilitats totals i probabilitats «a posteriori».

Valoració de la utilització d’estratègies personals per resoldre problemes probabilístics.

Sensibilitat i interès crític davant les informacions de naturalesa probabilística.

Hàbit per obtenir mentalment resultats que, per la seva simplicitat, no requereixin l’ús d’algoritmes.

Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats obtinguts en problemes de probabilitat.


Conèixer i aplicar el llenguatge dels esdeveniments i la probabilitat associada a aquests, com també les seves operacions i propietats.

Conèixer els conceptes de probabilitat condicionada, dependència i independència d’esdeveniments, probabilitat total i probabilitat «a posteriori» i utilitzar-los per calcular probabilitats.

Expressa, mitjançant operacions amb esdeveniments, un enunciat.

Aplica les lleis de la probabilitat per obtenir la probabilitat d’un esdeveniment a partir de les probabilitats d’altres.

Aplica els conceptes de probabilitat condicionada i independència d’esdeveniments per trobar relacions teòriques entre aquests.

Calcula probabilitats plantejades mitjançant enunciats que poden donar lloc a una taula de contingència.

Calcula probabilitats totals o «a posteriori» utilitzant un diagrama en arbre o les fórmules corresponents.

Matemàtiques 1

233





Representació d’una distribució bidimensional mitjançant un núvol de punts.

Visualització del grau de relació que hi ha entre les dues variables.

Càlcul del coeficient de correlació i obtenció de la recta de regressió d’una distribució bidimensional.

Utilització de la calculadora, en el mode LR, per al tractament de distribucions bidimensionals.

Utilització de les distribucions bidimensionals per a l’estudi i la interpretació de problemes sociològics, científics o de la vida quotidiana.

Dependència estadística i dependència funcional.

Distribucions bidimensionals. Núvol de punts.

Correlació. Recta de regressió. Significat de les dues rectes de

regressió.


Curiositat i interès per la investigació i resolució de problemes amb protagonisme de distribucions bidimensionals.

Valoració de la posició, l’ordre, la claredat i la selecció de gràfics i taules per tal de presentar els resultats a experiències i investigacions diverses.

Reconeixement i valoració crítica de l’ús de la calculadora com a eina.


Conèixer les distribucions bidimensionals, representar-les i analitzar-les mitjançant el seu coeficient de correlació i les seves rectes de regressió.

Representa mitjançant un núvol de punts una distribució bidimensional i valora el grau de correlació que hi ha entre les variables.

Coneix, calcula i interpreta la covariància i el coeficient de correlació d’una distribució bidimensional.

Obté la recta de regressió de Y sobre X i se’n serveix per fer estimacions si procedeix.

Coneix l’existència de dues rectes de regressió, les obté i representa i relaciona el grau de proximitat d’ambdues amb la correlació.

234

Tenint en compte els coneixements previs de quart curs de l’ESO de l’alumnat les tres primeres unitats del llibre: nombres reals, polinomis i fraccions algebraiques, equacions i inequacions i sistemes no tindran una assignació temporal específica sinó que considerem que es farà un recordatori d’aquests continguts en la mesura en què s’utilitzin en el desenvolupament del temari.La manca de temps i l’adecuació de la programació a les proves d’accés a la Universitat motiven que el bloc temàtic de l’Estadística i la Probabilitat no s’imparteixi. Els alumnes interessats poden cursar l’optativa de’Estadística que s’oferta en aquest curs.


Primer trimestre

1. Trigonometria. Resolució de triangles.2. Funcions i fórmules trigonomètriques.3. Vectors i operacions.4. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics.

Segon trimestre

5. Llocs geomètrics. Còniques: circumferència6. Les funcions elementals.7. Limits de funcions. Continuïtat i branques infinites.

Tercer trimestre

8. Taxa mitjana de variació.Iniciació al càlcul de derivades.9. Aplicacions de la funció derivada. Representació de funcions polinòmiques i

racionals.

3 DISTRIBUCIÓ TEMPORAL DELS CONTINGUTS DE PRIMERde Batxillerat científic i tecnològic

235









236


MATEMÀTIQUES ICiències de la naturalesa i de la salut

Segon de Batxillerat

237

i

CONTINGUTS

. Fets, conceptes i sistemes conceptuals a segon de batxillerat

I. Anàlisi

1. Límits de funcions. Continuïtat— Límit d’una funció quan x +∞.— Càlcul de límits quan x +∞.— Límit d’una funció quan x – ∞.— Límit d’una funció en un punt.— Càlcul de límits quan x c.— Continuïtat en un punt.— Continuïtat en un interval.

2. Derivades. Tècniques de derivació— Derivada d’una funció en un punt.— Funció derivada.— Regles de derivació.— Estudi de la derivabilitat utilitzant les regles de derivació.— Derivada de la funció inversa o recíproca d’una altra.— Noves tècniques de derivació.— Demostració de les fórmules de derivació.

3. Aplicacions de les derivades— Recta tangent a una corba en un dels seus punts.— Informació extreta de la primera derivada.— Informació extreta de la segona derivada.— Optimació de funcions.— La derivada per al càlcul de límits: regla de L’Hôpital.— Dos importants teoremes.— Aplicacions teòriques del teorema del valor mitjà.

4. Representació de funcions— Elements fonamentals per a la construcció de corbes.— Representació de funcions polinòmiques.— Representació de funcions racionals.— Representació d’un altre tipus de funcions.— Per aprofundir: possibles branques infinites quan x+∞.

5. Càlcul de primitives— Primitives: regles bàsiques per al seu càlcul.— Noves tècniques d’integració.— Integració «per parts».— Integració de funcions racionals.

6. La integral definida. Aplicacions— Integral definida.— Propietats de la integral.— La integral i la seva relació amb la derivada.— Regla de Barrow.— Càlcul d’àrees mitjançant integrals.— Volum d’un cos de revolució.

1

238

II. Àlgebra

7. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss— Sistemes d’equacions lineals.— Sistemes d’equacions amb solució i sense solució.— Sistemes escalonats.— Mètode de Gauss.— Discussió de sistemes d’equacions.

8. Àlgebra de matrius— Nomenclatura. Definicions.— Operacions amb matrius.— Propietats de les operacions amb matrius.— Matrius quadrades.— Complements teòrics per a l’estudi de matrius.— Rang d’una matriu.

9. Determinants— Determinants d’ordre dos.— Determinants d’ordre tres.— Determinants d’ordre qualsevol.— Menor complementari i adjunt.— Desenvolupament d’un determinant pels elements d’una línia.— Mètode per calcular determinants d’ordre qualsevol.— El rang d’una matriu a partir dels seus menors.

10. Resolució de sistemes mitjançant determinants— Criteri per saber si un sistema és compatible.— Regla de Cramer.— Aplicació de la regla de Cramer a sistemes qualssevol.— Sistemes homogenis.— Discussió de sistemes mitjançant determinants.— Càlcul de la inversa d’una matriu.— Forma matricial d’un sistema d’equacions.

III. Geometria

11. Vectors en l’espai— Operacions amb vectors.— Expressió analítica d’un vector.— Producte escalar de vectors.— Aplicacions del producte escalar.— Producte vectorial.— Aplicacions del producte vectorial.— Producte mixt de tres vectors.

12. Rectes i plans en l’espai— Sistema de referència en l’espai.— Aplicacions dels vectors a problemes geomètrics.— Equacions de la recta.— Posicions relatives de dues rectes.— Equacions del pla.— Posicions relatives de plans i rectes.— Reflexionem sobre equacions, variables, paràmetres...

13. Problemes mètrics en l’espai— Mesura d’angles entre rectes i plans.— Distància entre punts, rectes i plans.— Mesura d’àrees i volums.

239

Resolució de problemes

— Què és un autèntic problema?— Etapes en la resolució d’un problema.— Alguns consells per a la resolució de problemes.— Algunes estratègies per resoldre problemes.— Estudiar tots els casos possibles.— Fer un esquema, dibuix o diagrama.— Tempteig (assaig-error).— Elegir una bona notació.— Considerar casos particulars. Experimentar.— El principi del colomer o principi de Dirichlet.— Utilitza un diagrama d’arbre.— La demostració: inducció i deducció.— El procés inductiu.— El mètode d’inducció completa.— El procés deductiu.

No s’ha d’oblidar que la fita final és que els alumnes i les alumnes assoleixin els objectius establerts en el currículum. Per això, qualsevol llista de procediments resultarà inútil si no s’adapta a les capacitats reals dels estudiants als quals va adreçada.D’aquesta manera, la llista de procediments següent no oblida els objectius assolits pels estudiants en el primer curs de Batxillerat i els prepara per continuar, en altres cursos, amb els estudis que decideixin seguir.

240

Procediments

I. Funcions

— Reconeixement de la continuïtat o discontinuïtat d’una funció. Identificació de tipus de discontinuïtats.— Càlcul de límits d’una funció.— Aplicació del teorema de Bolzano per detectar l’existència d’arrels.— Estudi de la derivabilitat d’una funció en un punt.— Càlcul de la derivada d’una funció.— Identificació de punts o intervals en què una funció és creixent o decreixent, còncava o convexa.— Obtenció de màxims i mínims relatius i de punts d’inflexió.— Resolució de problemes d’optimació.— Aplicació de la regla de L’Hôpital al càlcul de límits.— Constatació de si una funció compleix o no les hipòtesis del teorema del valor mitjà.— Representació de funcions.— Càlcul de primitives.— Obtenció de l’àrea sota una corba o entre dues corbes.— Càlcul del volum d’un cos de revolució.

II. Àlgebra

— Utilització d’expressions algebraiques com a recurs del llenguatge matemàtic.— Maneig destre de les tècniques algebraiques— Discussió i resolució de sistemes d’equacions pel mètode de Gauss. Interpretació geomètrica.— Discussió i resolució de sistemes d’equacions dependents, o no, d’un o més paràmetres, aplicant-hi el teorema de

Rouché i la regla de Cramer.— Maneig de les operacions amb matrius.— Maneig destre dels determinants i les seves propietats.— Resolució d’equacions matricials.— Traducció al llenguatge algebraic de problemes donats mitjançant enunciat.

III. Geometria

— Representació de vectors en l’espai.— Operacions amb vectors en l’espai.— Càlcul del mòdul d’un vector i de la projecció d’un vector sobre la direcció d’un altre.— Obtenció de l’angle format per dos vectors.— Obtenció d’un vector perpendicular a uns altres dos.— Càlcul de l’àrea d’un paral·lelogram determinat per dos vectors i del volum d’un paral·lelepípede determinat per

tres vectors.— Resolució de problemes geomètrics aplicant-hi els coneixements sobre vectors.— Obtenció de les equacions d’una recta a partir d’alguns dels seus elements. Estudi de les posicions relatives de

dues rectes.— Obtenció d’un pla a partir d’alguns elements que el determinen.— Estudi de la posició relativa de dos o més plans i d’un pla i una recta.— Obtenció de l’angle de dues rectes, de dos plans o de recta i pla.— Càlcul de distàncies.— Obtenció de l’equació reduïda d’algunes còniques.— Estudi de la posició relativa d’una recta i una circumferència i de dues circumferències.— Representació d’algunes còniques.— Obtenció d’alguns llocs geomètrics en l’espai.— Obtenció d’algunes quàdriques com a llocs geomètrics.

Les actituds que hem d’intentar que els alumnes assumeixin com a pròpies, no es restringeixen a l’àmbit matemàtic: confiança en un mateix, utilització correcta de totes les eines al seu abast, curiositat per conèixer, claredat i senzillesa en la descripció de fets i processos…

241

És clar que tots els continguts actitudinals de la llista següent estan sotmesos al necessari «maquillatge matemàtic», però la consecució de gran part d’aquests farà que els estudiants puguin, amb l’ajuda del professor o la professora, créixer com a persones.


I. Funcions

— Reconèixer la utilitat de la representació gràfica com a mitjà d’interpretació ràpida i precisa de fenòmens econòmics, socials, científics...

— Sensibilitat, interès i valoració crítica de l’ús del llenguatge gràfic.— Claredat i senzillesa en la representació de funcions.— Disposició favorable a la revisió i millora de qualsevol representació gràfica i de qualsevol càlcul necessari per a

l’estudi de les funcions.— Confiança en les pròpies capacitats per realitzar els càlculs necessaris que porten a la representació d’una funció.— Confiança en les pròpies capacitats per trobar àrees sota corbes i volums de revolució.— Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit, expressant-hi el que es fa i per què es fa.

II. Àlgebra

— Curiositat i interès per la resolució de problemes algebraics.— Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes algebraics.— Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes algebraics diferents de les pròpies.— Estimació de la potència i abstracció del simbolisme que suposa l’àlgebra.— Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions, com també per la seva facilitat per representar i



III Geometria

— Valoració dels mètodes gràfics per a la investigació i el descobriment en geometria analítica.— Tenacitat i constància en la recerca de solucions als problemes geomètrics.— Claredat i senzillesa en la descripció de processos i en l’expressió de resultats.— Gust i interès per enfrontar-se amb situacions geomètriques.— Interès i respecte per les solucions a problemes diferents de les pròpies.— Confiança i interès a trobar procediments i estratègies diferents. Interès per buscar-los.

242

PROGRAMACIÓ D’AULA

Matemàtiques 2 UNITAT 1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss


Sistemes d’equacions – Sistema d’equacions lineals. Solució

– Sistemes equivalents Transformacions que mantenen l’equivalència

– Sistema compatible, incompatible, determinat, indeterminat

– Interpretació gràfica d’una equació lineal de dues o tres incògnites com a rectes o com a pla. Posicions relatives de les rectes o dels plans segons el tipus de sistema (compatibles, incompatibles...)

– Sistemes escalonats.

– Interès i respecte per les estratègies, els modes de fer i les solucions als problemes, diferents dels propis

– Hàbit d’analitzar les solucions dels sistemes d’equacions

– Hàbit de contrastar el resultat final d’un problema amb el que s’hi ha proposat, per determinar si el resultat obtingut és raonable o no

– Tendència a entendre el significat dels resultats obtinguts i els processos seguits en els exercicis resolts

– Interès i respecte per les estratègies, maneres de fer i solucions als problemes diferents de les pròpies

Resolució pel mètode de Gauss

– Mètode de Gauss– Sistema d’equacions

dependent d’un paràmetre

22

243


– Conèixer el que significa que un sistema sigui incompatible o compatible, determinat o indeterminat, i aplicar aquest coneixement per formar un sistema d’un cert tipus o per reconèixer-lo

– Interpretar geomètricament sistemes lineals de 2, 3 o 4 equacions amb 2 o 3 incògnites– Resoldre sistemes d’equacions lineals pel mètode de Gauss– Discutir sistemes d’equacions lineals dependents d’un paràmetre pel mètode de Gauss– Expressar algebraicament un enunciat mitjançant un sistema d’equacions, resoldre’l i

interpretar-ne la solució dins del context de l’enunciat


– Resoldre sistemes d’equacions per mètodes prèviament adquirits (substitució, reducció...)

– Reconèixer el tipus de sistema que es tracta (compatible, incompatible...) per consideracions sobre les relacions entre les equacions que el formen

– Interpretar geomètricament un sistema d’equacions amb dues o tres incògnites segons que sigui compatible o incompatible, determinat o indeterminat

– Transformar un sistema en un altre equivalent escalonat

– Discutir i resoldre sistemes pel mètode de Gauss

– Aplicar el mètode de Gauss a la discussió de sistemes dependents d’un paràmetre

– Traduir a sistema d’equacions un problema, resoldre’l i interpretar-ne de la solució



– Utilitzar el llenguatge algebraic per descriure i solucionar situacions i fenòmens naturals i tecnològics, donant una interpretació a les solucions

– Adquirir les capacitats necessàries en la utilització de tècniques pròpies de la geometria analítica

Competències transversals i específiques:– Competències en Física i Química– Competències en Tecnologia– Competències en Electrotècnia– Competències en Economia

2) Assolir els aprenentatges següents :– Dominar els conceptes i la

nomenclatura associats als sistemes d’equacions i les seves solucions (compatible, incompatible, determinats, indeterminats...), i interpretar geomètricament per a 2 i 3 incògnites

– Conèixer i aplicar el mètode de Gauss per estudiar i resoldre sistemes d’equacions lineals

– Resoldre problemes algebraics mitjançant sistemes d’equacions

244

UNITAT 2. Àlgebra de matrius


Matrius. Definició i nomenclatura

– Conceptes bàsics: vector fila, vector columna, dimensió, matriu quadrada, transposada, simètrica, triangular...




– Reconeixement i valoració del treball en equip per a la realització de determinades activitats relacionades amb les matrius

Operacions amb matrius – Operacions amb matrius: suma, producte per un nombre, producte. Propietats

Matrius quadrades – Matrius quadrades, matriu unitat, matriu inversa d’una altra

Rang d’una matriu – Espai vectorialn-uples de nombres reals. Dependència i independència lineal. Propietat fonamental

– Rang d’una matriu

245


– Destresa en el maneig de la nomenclatura bàsica

– Maneig de les operacions amb matrius– Obtenció d’una matriu que compleixi

certes condicions– Obtenció de la inversa d’una matriu,

en casos senzills, a partir de la definició

– Resolució d’equacions matricials– Obtenció i reconeixement d’una n-uple

combinació lineal d’altres– Constatació de si un conjunt de n-uples

són L.D. o L.I. (es pot fer a simple vista, amb argumentacions teòriques o aplicant-hi la propietat fonamental)

– Obtenció del rang d’una matriu per observació dels seus elements (en casos evidents)

– Càlcul del rang d’una matriu pel mètode de Gauss

– Discussió del rang d’una matriu dependent d’un paràmetre





Competències transversals i específiques:– Competències en Física i Química– Competències en Tecnologia– Competències en Economia–

2) Assolir els aprenentatges següents :– Conèixer i utilitzar eficaçment les

matrius, les seves operacions i les seves propietats

– Conèixer el significat de rang d’una matriu i calcular-lo mitjançant el mètode de Gauss

– Resoldre problemes algebraics mitjançant matrius i les seves operacions


– Realitzar operacions combinades amb matrius (elementals)– Realitzar operacions combinades amb matrius (complexes)– Calcular la matriu inversa d’una matriu numèrica– Calcular el rang d’una matriu numèrica– Relacionar el rang d’una matriu amb la dependència lineal de les seves files o les seves

columnes– Expressar un enunciat mitjançant una relació matricial i, en aquest cas, resoldre’l i

interpretar-ne la solució dins del context de l’enunciat

246

UNITAT 3. Determinants


Càlcul de determinants de matrius

– Determinants d’ordre dos. Propietats

– Determinants d’ordre tres. Propietats

– Menor d’una matriu. Menor complementari i adjunt d’un element d’una matriu quadrada. Propietats

– Determinant d’ordre n

– Sensibilitat i gust per la presentació ordenada i clara del procés seguit i dels resultats obtinguts

– Apreciació de la utilitat que representa el simbolisme matemàtic




Càlcul del rang d’una matriu – El rang d’una matriu com el màxim ordre dels seus menors no nuls

247


– Calcular determinants d’ordre dos i aplicar-ne les seves propietats

– Calcular determinants d’ordre tres per la regla de Sarrus

– Desenvolupar determinants pels elements d’una línia

– Calcular determinants «fent zeros» una de les seves línies

– Aplicar les propietats dels determinants en el càlcul d’aquests i en la comprovació d’identitats

– Determinar el rang d’una matriu a partir dels seus menors




Competències transversals i específiques:– Competències en Física i Química– Competències en Tecnologia– Competències en Economia–

2) Assolir els aprenentatges següents :– Interpretar geomètricament sistemes

lineals de 2, 3 o 4 equacions amb 2 o 3 incògnites

– Obtenir el desenvolupament (o el valor) d’un determinant en què intervenen paràmetres, fent un ús raonat de les propietats dels determinants

– Reconèixer les propietats que s’utilitzen en les igualtats entre determinants

– Trobar el rang d’una matriu numèrica mitjançant determinants

– Discutir el valor del rang d’una matriu en què intervé un paràmetre


– Calcular determinants d’ordre dos i aplicació de les seves propietats– Calcular determinants d’ordre tres per la regla de Sarrus– Desenvolupar determinants pels elements d’una línia– Calcular determinants «fent zeros» una de les seves línies– Aplicar les propietats dels determinants en el càlcul d’aquests i en la comprovació

d’identitats– Determinar el rang d’una matriu a partir dels seus menors– Calcular el valor d’un determinant numèric o obtenir l’expressió d’un determinant 3 x 3

amb algun paràmetre

248

UNITAT 4. Resolució de problemes mitjançant determinants


Aspectes teòrics – Teorema de Rouché– Regla de Cramer


– Apreciació de la utilitat que representa el simbolisme matemàtic

– Valoració del llenguatge algebraic per expressar relacions de tota classe, com també de la seva facilitat per representar i resoldre situacions



Resolució de sistemes – Sistema homogeni– Discussió de sistemes– Expressió de la

inversa d’una matriu a partir dels adjunts dels seus elements

– Expressió matricial d’un sistema d’equacions

249


– Aplicar el teorema de Rouché a la discussió de sistemes d’equació

– Aplicar la regla de Cramer a la resolució de sistemes determinats

– Aplicar la regla de Cramer a la resolució de sistemes indeterminats

– Resoldre sistemes homogenis– Aplicar el teorema de Rouché i la regla

de Cramer a la discussió i resolució de sistemes dependents d’un o més paràmetres

– Calcular la inversa d’una matriu mitjançant determinants

– Resoldre sistemes d’equacions mitjançant la forma matricial

Les activitats d’aquesta unitat de programació han de contribuir a:1)Desenvolupar les competències següents:Competències matemàtiques:

– Valorar les diverses opcions que ens ofereixen les eines matemàtiques que tenim al nostre abast i fer la tria de la més adequada




2) Assolir els aprenentatges següents:– Calcular la inversa d’una matriu

mitjançant determinants. Aplicar-ho a la resolució matricial de sistemes nx n

– Conèixer el teorema de Rouché i la regla de Cramer i utilitzar-los per a la discussió i resolució de sistemes d’equacions


– Reconèixer l’existència o no de la inversa d’una matriu i calcular-la si és procedent– Expressar matricialment un sistema d’equacions i, si és possible, resoldre’l trobant la

inversa d’una matriu dels coeficients– Aplicar el teorema de Rouché per dilucidar com és un sistema d’equacions lineals amb

coeficients numèrics– Aplicar la regla de Cramer per resoldre un sistema d’equacions lineals, 2 x 2 o 3 x 3,

amb solució única– Catalogar com és (teorema de Rouché) i resoldre, si és procedent, un sistema

d’equacions lineals amb coeficients numèrics– Discutir i resoldre un sistema d’equacions dependent d’un paràmetre– Discutir i resoldre un sistema d’equacions dependent de dos paràmetres

250

UNITAT 5. Vectors en l’espai


Vectors . Nomenclatura i operacions bàsiques (suma i resta)

– Vectors en l’espai OperacionsInterpretació gràfica

– Sensibilitat i interès crític davant les informacions de naturalesa vectorial

– Curiositat i interès pel càlcul i la resolució de problemes en què intervinguin vectors

– Valoració d’estratègies personals per resoldre problemes vectorials

Relacions entre vectors – Combinació lineal Dependència i independència lineal BaseCoordenades

Productes – Producte escalar de vectors Propietats Expressió analítica Aplicacions

– Producte vectorial de vectors Propietats Expressió analítica Aplicacions

– Producte mixt de tres vectors Propietats Expressió analítica

251


– Obtenir gràficament un vector resultat d’efectuar operacions (sumes i productes per nombres) amb altres

– Interpretar gràficament de la dependència o independència lineal de dos o tres vectors en l’espai

– Operar amb vectors donats per les seves coordenades Relació de dependència i independència lineal

– Calcular el mòdul d’un vector Obtenir un vector amb la direcció d’un altre i mòdul predeterminat

– Calcular l’angle format per dos vectors

– Identificar la perpendicularitat de dos vectors

– Calcular la projecció d’un vector sobre la direcció d’un altre

– Obtenir un vector perpendicular a altres dos

– Calcular l’àrea del paral·lelogram determinat per dos vectors

– Calcular el volum d’un paral·lelepípede determinat per tres vectors

– Identificar si tres vectors són linealment independents mitjançant les aplicacions del producte mixt Determinar si són base


1) Desenvolupar les competències següents:Competències matemàtiques:Transferir una situació real a una esquematització geomètrica.Transcriure situacions de la geometria i l’espai a un llenguatge vectorial en tres dimensions.Utilitzar el llenguatge vectorial per a la interpretació de fenòmens diversos.Tenir capacitat per incorporar representacions gràfiques o simbòliques auxiliarsCompetències transversals i específiques:

– Competències en Física– Competències en Tecnologia– Competències en Electrotècnia– Competències en Mecànica

2) Assolir els aprenentatges següents:– Conèixer els vectors de l’espai

tridimensional i les seves operacions, i utilitzar-los per a la resolució de problemes geomètrics


– Realitzar operacions elementals (suma i producte per un nombre) amb vectors, gràficament o amb les seves coordenades, comprenent i manejant correctament els conceptes de dependència i independència lineal, com també el de base

– Dominar el producte escalar de dos vectors, el seu significat geomètric, la seva expressió analítica i les seves propietats. I aplicar-lo a la resolució de problemes geomètrics (mòdul d’un vector, angle de dos vectors, projecció d’un vector sobre un altre, perpendicularitat de vectors)

– Dominar el producte vectorial de dos vectors, el seu significat geomètric, la seva expressió analítica i les seves propietats. I aplicar-lo a la resolució de problemes geomètrics (vector perpendicular a altres dos, àrea del paral·lelogram determinat per dos vectors)

– Dominar el producte mixt de tres vectors, el seu significat geomètric, la seva expressió analítica i les seves propietats. I aplicar-lo a la resolució de problemes geomètrics (volum del paral·lelepípede determinat per tres vectors, decisió de si tres vectors són linealment independents)

252

UNITAT 6 . Punts, rectes i plans en l’espai


– L’espai. Sistema de referència

– Sistema de referència en l’espaiCoordenades d’un punt

– Destresa en el maneig de la nomenclatura bàsica


– Tenacitat i constància en la recerca de solucions a problemes de geometria analítica

– Interès per la presentació ordenada, neta i clara dels treballs geomètrics, reconeixent el valor pràctic que posseeixen

– Flexibilitat per enfrontar-se a situacions geomètriques des de diferents punts de vista

– Problemes geomètrics en l’espai

– Punt que divideix un segment en una raó donada.

– Simètric d’un punt respecte a un altre

– Rectes en l’espai – Determinació d’una recta: equacions vectorial, paramètriques i contínua de la recta

– Posicions relatives de dues rectes

– Plans en l’espai – Determinació d’un pla: equacions vectorial, paramètriques i implícita d’un plaVector normal

– Posicions relatives de plans i rectes

253


– Representar punts en un sistema de referència ortonormal

– Comprovar si tres o més punts estan alineats

– Obtenir automàticament el punt mitjà d’un segment i la seva aplicació a l’obtenció del simètric d’un punt respecte a un altre

– Obtenir raonadament el punt que divideix un segment en una raó donada

– Expressar les equacions d’una recta a partir d’alguns dels seus elements

– Estudiar les posicions relatives de dues rectes

– Obtenir un pla coneixent alguns dels elements que el determinen

– Estudiar la posició relativa de dos o més plans

– Estudiar la posició relativa d’un pla i una recta



– Transferir una situació real a una esquematització geomètrica

– Transcriure situacions de la geometria i l’espai a un llenguatge vectorial en tres dimensions

– Utilitzar el llenguatge vectorial com a instrument per a la interpretació de fenòmens diversos

– Utilitzar les operacions amb vectors per resoldre problemes, donant una interpretació a les solucions

– Tenir capacitat per incorporar representacions gràfiques o simbòliques auxiliars

Competències transversals i específiques:– Competències en Física– Competències en Dibuix tècnic

2) Assolir els aprenentatges següents:– Construir i utilitzar un sistema de

referència en l’espai i, amb aquest, fer ús dels vectors per resoldre problemes geomètrics en lR3

– Dominar les distintes formes d’equacions de rectes de plans i utilitzar-les per resoldre problemes afins: pertinença de punts a rectes o a plans, posicions relatives de rectes, de rectes i plans i de plans...


– Representar punts de coordenades senzilles en un sistema de referència ortonormal– Utilitzar els vectors per resoldre alguns problemes geomètrics: punts de divisió d’un

segment en parts iguals, comprovació de punts alineats, simètric d’un punt respecte a un altre...

– Resoldre problemes afins entre rectes (pertinença de punts, paral·lelisme, posicions relatives) utilitzant qualsevol de les expressions (paramètriques, implícita, contínua...)

– Resoldre problemes afins entre plans (pertinença de punts, paral·lelisme...) utilitzant qualsevol de les seves expressions (implícita o paramètriques)

– Resoldre problemes afins entre rectes i plans

254

UNITAT 7. Problemes mètrics


Mesura d’angles – Mesura de l’angle entre rectes i plans, utilitzant el producte escalar

– Confiança en les pròpies capacitats per fer càlculs


– Interès per la presentació ordenada, neta i clara dels treballs geomètrics, reconeixent el valor pràctic que posseeixen

– Flexibilitat per enfrontar-se a situacions geomètriques des de diferents punts de vista

– Gust i interès per enfrontar-se amb problemes geomètrics

– Valoració de l’ús d’estratègies personals per resoldre problemes geomètrics en l’espai

Mesura de distàncies – Distància entre dos punts

– Distància d’un punt a una recta

– Distància d’un punt a un pla Obtenció de la fórmula

– Distància d’una recta a un pla Obtenció de la fórmula

– Distància entre dos plans

– Distància entre dues rectes

Càlcul d’àrees i volums – Àrea d’un triangle– Volum d’un tetraedre

Llocs geomètrics – Pla mediador– Pla bisector– Esfera

255


– Obtenir l’angle de dues rectes, l’angle de dos plans o l’angle entre recta i pla

– Calcular la distància entre dos punts– Calcular la distància d’un punt a una

recta per diversos procediments– Calcular la distància d’un punt a un pla

per diversos procediments– Calcular la distància entre dues rectes

per diversos procediments– Calcular l’àrea d’un paral·lelogram i

d’un triangle– Calcular el volum d’un

paral·lelepípede i d’una piràmide triangular

– Calcular llocs geomètrics


– Transferir una situació real a una esquematització geomètrica

– Transcriure situacions de la geometria i l’espai a un llenguatge vectorial en tres dimensions

– Utilitzar el llenguatge vectorial com a instrument per a la interpretació de fenòmens diversos

– Utilitzar les operacions amb vectors per resoldre problemes, donant una interpretació a les solucions


Competències transversals i específiques:– Competències en Física– Competències en Dibuix tècnic

2) Assolir els aprenentatges següents:– Obtenir l’angle que formen dues

rectes, una recta i un pla o dos plans– Trobar la distància entre dos punts,

d’un punt a una recta, d’un punt a un pla o entre dues rectes que s’encreuen

– Troba àrees i volums utilitzant el producte vectorial o el producte mixt de vectors

– Resoldre problemes mètrics variats


– Calcular els angles entre rectes i plans. Obtenir una recta o un pla coneixent, com una de les dades, l’angle que forma amb una figura (recta o pla)

– Trobar la distància entre dos punts o d’un punt a un pla– Trobar la distància d’un punt a una recta mitjançant el pla perpendicular a la recta que

passa pel punt, o bé fent ús del producte vectorial– Trobar la distància entre dues rectes que s’encreuen trobant un pla que en contingui una

i sigui paral·lela a l’altra, o bé obtenint el segment perpendicular a ambdues, o bé mitjançant el producte mixt

– Trobar l’àrea d’un paral·lelogram o d’un triangle– Trobar el volum d’un paral·lelepípede o d’una piràmide triangular– Trobar el simètric d’un punt respecte d’una recta o d’un pla– Resoldre problemes geomètrics en els quals intervinguin perpendicularitats, distàncies,

angles, incidència, paral·lelisme...

256

UNITAT 8. Límits de funcions. Continuïtat


Límit. Definició i càlcul – Límit d’una funció quan x +∞, x –∞ o x c. Límits laterals

– Operacions amb límits finits

– Infinits del mateix ordre

– Infinit d’ordre superior a un altre

– Operacions amb expressions infinites

– Tendència a entendre el significat dels resultats obtinguts i dels processos seguits en els exercicis resolts automàticament

– Hàbit d’obtenir mentalment resultats d’alguns límits senzills

– Valoració de les propietats dels límits per simplificar càlculs

Indeterminacions. Resolució

– Indeterminació Expressions indeterminades

– Regla de l’Hôpital

Continuïtat – Continuïtat en un punt

Tipus de discontinuïtat– Continuïtat en un

interval. Teoremes de Bolzano, Darboux i Weierstrass

257


– Calcular límits immediats que només requereixin conèixer els resultats operatius i comparar infinits

– Calcular límits (x +∞ o x –∞) de quocients o de diferències

– Calcular límits (x +∞ o x –∞) de potències

– Calcular límits (x c) de quocients, distingint, si el cas ho exigeix, quan x c+ i quan x c–

– Calcular límits (x c) de potències– Representar gràficament la informació

obtinguda a partir del càlcul d’un límit– Reconèixer si una funció és contínua

en un punt o el tipus de discontinuïtat que hi presenta

– Determinar el valor d’un paràmetre o dos paràmetres perquè una funció definida «a trossos» sigui contínua en el «punt (o punts) d’entroncament»

– Enunciar el teorema de Bolzano en un cas concret i aplicar-lo a la separació d’arrels d’una funció



– Aplicar les característiques de les funcions a l’estudi de fenòmens tecnològics i naturals

– Traduir resultats de l’anàlisi de límits de funcions al context del seu fenomen, traient conclusions locals o globals

– Interpretar informacions i elaborar informes sobre situacions reals susceptibles de ser presentades en forma de gràfiques, que exigeixin tenir en compte tendències d’evolució i continuïtat

Competències transversals i específiques:– Competències en Física i Química– Competències en Tecnologia– Competències en Ciències Socials

2) Assolir els aprenentatges següents:– Dominar el concepte de límit en les

seves diferents versions, coneixent-ne la interpretació gràfica i l’enunciat precís

– Calcular límits de tota classe– Conèixer el concepte de continuïtat en

un punt i els diferents tipus de discontinuïtats

– Conèixer el teorema de Bolzano i aplicar-lo per provar l’existència d’arrels d’una funció

– Conèixer els teoremes (Darboux, Weierstrass,Hôpital) i aplicar-los quan sigui necessari


– Representar gràficament de límits quan x +∞, x –∞, x a–, x a+, x a– Calcular límits immediats (operacions amb límits finits evidents o comparació d’infinits

de diferent ordre)– Calcular límits x +∞ o x –∞ amb quocients de polinomis o d’altres expressions

infinites, diferència d’expressions infinites, potències i nombre e– Càlcul de límits quan x a–, x a+, x a amb quocients, diferències i potències– Identificar tipus de discontinuïtats– Aplicar el teorema de Bolzano per detectar l’existència d’arrels i per separar-les

258

UNITAT 9 . Derivades. Tècniques de derivació


Derivada i funció derivada Definició

– Taxa de variació mitjana

– Derivada d’una funció en un punt InterpretacióDerivades laterals

– Funció derivadaDerivades successives

– Regles de derivació de les funcions elementals i dels resultats operatius Demostracions

– Gust i interès per enfrontar-se a problemes on aparegui la derivada d’una funció

– Disposició favorable a la revisió i millora de qualsevol càlcul

– Tendència a entendre el significat dels resultats obtinguts i dels processos seguits en els exercicis resolts automàticament

Derivabilitat – Derivada d’una funció a trossos

Tècniques de derivació – Derivada d’una funció implícita

– Derivada de la funció inversa d’una altra

– Derivació logarítmica

Diferencial d’una funció – Diferencial d’una funció Nomenclatura

259


– Obtenir la derivada d’una funció en un punt a partir de la definició

– Representar gràficament de manera aproximada la funció derivada d’una altra donada pel seu gràfic

– Estudiar la derivabilitat d’una funció en un punt estudiant les derivades laterals

– Calcular la derivada d’una funció– Calcula la derivada d’una funció implícita– Calcular la derivada d’una funció

coneixent la de la seva inversa– Calcular la derivada d’una funció

mitjançant la derivació logarítmica– Obtenir la diferencial d’una funció



– Reconèixer la relació entre funció, variació i derivada a l’estudi de fenòmens tecnològics i naturals

– Traduir resultats de l’anàlisi de funcions al context del seu fenomen, traient conclusions locals o globals

– Identificar situacions concretes en les quals sigui necessari usar els conceptes centrals del càlcul diferencial, derivada i diferencial, justificant-ne la utilització

– Establir relacions entre els continguts matemàtics i entre aquests i altres matèries, reconeixent representacions equivalents del mateix concepte, fent ús dels diferents continguts matemàtics en funció de la seva conveniència i adquirint una idea global de les Matemàtiques

Competències transversals i específiques:– Competències en Física i Química– Competències en Tecnologia– Competències en Economia

2) Assolir els aprenentatges següents:– Dominar els conceptes associats a la

derivada d’una funció: derivada en un punt, derivades laterals, funció derivada...

– Conèixer les regles de derivació i utilitzar-les per trobar la funció derivada d’una altra

– Comprendre les demostracions i saber justificar-ne els passos


– Associar el gràfic d’una funció al de la seva funció derivada– Trobar la derivada d’una funció en un punt per pas al límit o mitjançant el valor de la

taxa de variació mitjana (per a un valor molt petit de b, amb ajuda de la calculadora)– Estudiar la derivabilitat d’una funció definida «a trossos», recorrent a les derivades

laterals en el «punt d’entroncament»– Trobar les derivades de funcions no trivials– Utilitzar la derivació logarítmica per trobar la derivada d’una funció que ho requereixi– Trobar la derivada d’una funció implícita– Trobar la derivada d’una funció coneixent la de la seva inversa– Completar una demostració o justificar els passos d’una demostració donada

260

UNITAT 10 . Aplicacions de les derivades


Informació de la primera derivada

– Recta tangent a una corba en un punt

– Relacions de la derivada d’una funció amb la forma de la corba corresponent


– Tendència a entendre el significat dels resultats obtinguts i els processos seguits en els exercicis resoltsInformació de la segona

derivada– Relacions de la segona

derivada d’una funció amb la forma de la corba corresponent

Optimació – Optimació d’una funció

261


– Obtenir la tangent a una corba en un dels seus punts

– Identificar punts o intervals en què la funció és creixent (decreixent)

– Obtenir màxims i mínims relatius– Resoldre problemes d’optimació– Identificar punts o intervals

en què la funció és còncava o convexa– Obtenir punts d’inflexió



– Interpretar informacions i elaborar informes sobre situacions reals susceptibles de ser presentades en forma de gràfiques, que exigeixin tenir en compte intervals de creixement, màxims i mínims, tendències d’evolució i continuïtat





2) Assolir els aprenentatges següents :– Trobar l’equació de la recta tangent a

una corba en un dels seus punts– Conèixer les propietats que permeten

estudiar creixements, decreixements, màxims i mínims relatius, tipus de curvatura, etc., i saber-les aplicar en casos concrets

– Dominar les estratègies necessàries per optimitzar una funció

– Comprendre les demostracions i saber justificar-ne els passos

CRITERIS D’AVALUACIÓ– Donada una funció explícita o implícita, trobar l’equació de la recta tangent en un dels

seus punts– Donada una funció, decidir si és creixent o decreixent, còncava o convexa, en un punt o

en un interval, obtenir-ne els màxims i mínims relatius i els punts d’inflexió– Donada una funció mitjançant la seva expressió analítica o mitjançant un enunciat,

trobar en quin cas presenta un màxim o un mínim– Completar una demostració o justificar els passos d’una demostració donada

262

UNITAT 11. Representació de les funcions


Eines bàsiques per representar corbes

– Domini de definició, simetries, periodicitat

– Branques infinites: asímptotes i branques parabòliques

– Punts singulars, punts d’inflexió, talls amb els eixos...


– Perseverança i flexibilitat en la recerca de recursos per a la representació gràfica de funcions no elementalsTipus de funcions – Polinòmiques

– Racionals– Radicals– Exponencials– Trigonomètriques

Funcions amb valor absolut – Valor absolut en part o la totalitat d’una funció

263


– Obtenir el domini de definició i constatació de si hi és contínua i derivable

– Identificar possibles simetries i periodicitats

– Obtenir branques infinites– Obtenir punts singulars, punts

d’inflexió, punts de tall amb els eixos...

– Representar funcions de diversos tipus fent ús, quan es pugui, de les peculiaritats de les corbes d’aquesta família

– Representar funcions amb valors absoluts


– Interpretar informacions i elaborar informes sobre situacions reals susceptibles de ser presentades en forma de gràfiques, que exigeixin tenir en compte intervals de creixement, màxims i mínims, tendències d’evolució i continuïtat

– Aplicar les característiques de les funcions a l’estudi de fenòmens tecnològics i naturals.



Competències transversals i específiques:– Competències en Física i Química– Competències en Tecnologia– Competències en Electrotècnia– Competències en Economia– Competències en Biologia– Competències en Ciències de la Terra

2) Assolir els aprenentatges següents:– Conèixer el paper que exerceixen les

eines bàsiques de l’anàlisi (límits, derivades...) en la representació de funcions i dominar la representació sistemàtica de funcions polinòmiques, racionals, trigonomètriques, amb radicals, exponencials, logarítmiques...


– Representar funcions polinòmiques– Representar funcions racionals– Representar funcions radicals– Representar funcions trigonomètriques– Representar funcions exponencials– Representar funcions amb valors absoluts

264

UNITAT 12 . Càlcul de primitives


Primitiva – Primitiva d’una funció – Confiança en les pròpies capacitats per resoldre problemes on intervinguin integrals

– Reconeixement i avaluació crítica del treball en equip per a la realització de determinades activitats relacionades amb el càlcul de primitives

– Flexibilitat per enfrontar-se a situacions on intervinguin integrals

Mètodes d’integració – Canvi de variables sota el signe integral

– Integració «per parts»– Descomposició d’una

funció racional en fraccions elementals


– Obtenir primitives de funcions elementals

– Simplificar expressions per facilitar-ne la integració

– Operar radicals– Simplificar expressions

trigonomètriques– Obtenir primitives mitjançant

canvi de variables: integració per substitució

– Calcular integrals «per parts»– Calcular la integral d’una funció

racional– Calcular la integral de funcions

amb expressions trigonomètriques– Calcular la integrals de funcions

exponencials i logarítmiques



– Identificar situacions concretes en les quals sigui necessari usar els conceptes centrals del càlcul integral justificant-ne la utilització

– Reconèixer la relació entre funció i primitiva en fenòmens tecnològics i naturals

Competències transversals i específiques:– Competències en Física i Química– Competències en Tecnologia

2) Assolir els aprenentatges següents :– Conèixer el concepte de primitiva

d’una funció i obtenir primitives de les funcions elementals

– Dominar els mètodes bàsics per a l’obtenció de primitives de funcions: substitució, per parts, racionals


– Trobar la primitiva d’una funció elemental o d’una funció que, mitjançant simplificacions adequades, es transformi en elemental des de l’òptica de la integració

– Trobar la primitiva d’una funció utilitzant el mètode de substitució– Trobar la primitiva d’una funció mitjançant la integració per parts– Trobar la primitiva d’una funció racional– Trobar la primitiva d’una funció amb expressions trigonomètriques– Trobar la primitiva d’una funció exponencial o logarítmica

265

UNITAT 13. La integral definida. Aplicacions


Integral definida. Definició – Integral definida Propietats

– Teorema fonamental del càlcul

– Regla de Barrow– Teorema del valor

mitjà

– Confiança en les pròpies capacitats per resoldre problemes on intervinguin integrals

– Reconeixement i avaluació crítica del treball en equip per a la realització de determinats problemes relacionats amb les integrals

– Flexibilitat per enfrontar-se a situacions on intervinguin integrals

– Hàbit de contrastar el resultat final d’un problema en què intervinguin integrals amb el que s’hi ha proposat, per determinar si el resultat obtingut és raonable o no



Aplicacions de la integral – Càlcul d’àrees planes– Volum d’un cos de

revolució

266


– Relacionar l’àrea d’una figura plana coneguda amb l’expressió de la mateixa mitjançant la forma integral

– Relacionar el gràfic d’una funció i el de la que s’obté en descriure l’àrea que tanca sota aquesta

– Calcular l’àrea entre una corba i l’eix X

– Calcular l’àrea delimitada entre dues corbes

– Calcular el volum del cos de revolució que s’obté en girar un arc de corba al voltant de l’eix X



– Identificar situacions concretes en les quals sigui necessari usar els conceptes centrals del càlcul integral justificant-ne la utilització


Competències transversals i específiques:– Competències en Física i Química– Competències en Tecnologia

2) Assolir els aprenentatges següents:– Conèixer el concepte, la terminologia, les

propietats i la interpretació geomètrica de la integral definida

– Comprendre el teorema fonamental del càlcul i la seva importància per relacionar l’àrea sota una corba amb una primitiva de la funció corresponent

– Conèixer i aplicar la regla de Barrow per al càlcul d’àrees

– Conèixer i aplicar la fórmula per trobar el volum d’un cos de revolució

– Utilitzar el càlcul integral per trobar àrees o volums de figures o cossos coneguts a partir de les seves dimensions, o bé per deduir les fórmules corresponents

267


– Trobar la integral d’una funció, ba ƒ, reconeixent el recinte definit entre y = ƒ(x), x = a, x = b, trobar-ne les dimensions i calcular-ne l’àrea de forma elemental

– Respondre a problemes teòrics relacionats amb el teorema fonamental del càlcul– Calcular l’àrea sota una corba entre dues abscisses– Calcular l’àrea entre dues corbes– Trobar el volum del cos que s’obté en girar un arc de corba al voltant de l’eix X– Trobar l’àrea d’una figura plana coneguda obtenint l’expressió analítica de la corba que

la determina i integrant entre els límits adequats. O bé, deduir la fórmula de l’àrea mitjançant el mateix procediment

– Trobar el volum d’un cos de revolució conegut obtenint l’expressió analítica d’un arc de corba y = ƒ(x) la rotació del qual entorn de l’eix X determina el cos, i calculaba ƒ(x)2 dx

268


Primer trimestre

1. Límits de funcions. Continuïtat.2. Derivades. Tècniques de derivació.3. Aplicacions de les derivades.4. Representació de funcions.5. Càlcul de primitives.

Segon trimestre

6. La integral definida. Aplicacions.7. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss.8. Àlgebra de matrius.9. Determinants.10. Resolució de sistemes mitjançant determinants.

Tercer trimestre

11. Vectors en l’espai.12. Rectes i plans en l’espai.13. Problemes mètrics en l’espai.

3 DISTRIBUCIÓ TEMPORAL DELS CONTINGUTS de Segon de Batxillerat científic i tecnològic

269









270

IES Icària Avaluació de pendents d’ESODepartament de Matemàtiques Curs 2009-10

Els alumnes d’Educació Secundària Obligatorique que hagin passat de curs amb les Matemàtiques pendents d’aprovar del curs anterior obtindran la qualificació d’aprovat amb 5 del curs anterior quan es donin una de les tres situacions:

Hagin aprovat o recuperat la Primera i la Segona Avaluació del nivell que estiguin cursant.

En el cas que no es doni la situació anterior hauran d’aprovar una prova de suficiència que es farà el 7 d’abril on s’avaluaran els continguts corresponent al curs anterior.

En el cas que no es doni cap de les situacions anteriors si l’alumne a final de curs aprova les Matemàtiques del curs que està cursant, bé per recuperacions parcials o bé en una prova final, quedarà aprovada la matèria del curs anterior.

271

272