Identificación algebraica de parámetros de desbalance de

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

Tema A1a. Diseño Mecánico: Rotodinámica.

Identificación algebraica de parámetros de desbalance de un sistema rotor asimétrico -cojinete de 2 GDL.

Luis A. Baltazar Tadeoa,*, Joel Morales Pereza, Saulo J. Landa Damasa, Benjamín González

Vizcarrab, Miriam Siqueiros Hernándezb, Jorge Colín Ocampoa, Andrés Blanco Ortegaa.

a Departamento de Ingeniería Mecánica, CENIDET, Interior Internado Palmira, s/n, Cuernavaca, Morelos, 62490, México. bEscuela de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología /Universidad Autonoma de Baja California ,Blvd. Universitario #1000. Unidad Valle de las palmas.

Tijuana, Baja California, Mexico.

*Autor contacto. Dirección de correo electrónico: [email protected].

R E S U M E N

En este trabajo se propone un modelo matemático para la identificación algebraica en línea del parámetro del desbalance

en un rotor asimétrico de dos grados de libertad a velocidad constante. El modelo matemático propuesto requiere como

dato de entrada únicamente la respuesta de vibración del rotor (desplazamiento). Los resultados numéricos muestran la

rapidez en la convergencia de la identificación de los parámetros, sin importar la velocidad de rotación del rotor. La

ventaja que ofrece el método propuesto, es que se puede aplicar en el balanceo de rotores sin la necesidad de llevar al

rotor hasta su velocidad nominal de operación.

Palabras Clave: Rotor asimétrico, identificación algebraica, vibraciones mec.

A B S T R A C T

In this work, a mathematical model for the online algebraic identification of the imbalance parameter in an asymmetric

rotor of two degrees of freedom at constant speed is proposed. The proposed mathematical model requires as input only

the rotor vibration response (displacement). The numerical results show the rapidity in the convergence of the

identification of the parameters, regardless of the rotation speed of the rotor. The advantage offered by the proposed

method is that it can be applied in rotor balancing without the need to take the rotor to its nominal operating speed.

Keywords: Asymmetric rotor, algebraic identification, mechanical vibrations.

Nomenclatura:

m Masa del sistema

c Amortiguamiento del sistema

vk Rigidez máxima del sistema

uk Rigidez mínima del sistema

um Masa de desbalance

um e Desbalance del sistema

e Excentricidad de la masa de desbalance

Posición angular del desbalance

Posición angular del sistema

Velocidad angular del sistema

t Tiempo

ϵ Incremento en el tiempo

1. Introducción

El estudio del movimiento de las maquinas rotatorias,

particularmente las vibraciones en rotores, permite tomar las

medidas necesarias para preservar la vida útil de las mismas,

ISSN 2448-5551 DM 68 Derechos Reservados © 2018, SOMIM

mailto:[email protected]


reduciendo así costos de mantenimiento, producción, entre

otros. Una de las fuentes más comunes de generación de

vibración en máquinas rotatorias es el desbalance. El

desbalance ocurre cuando el eje principal de inercia del rotor

no coincide con el eje geométrico del sistema, lo que

provoca vibraciones que generan fuerzas indeseables que se

transmiten directamente a los elementos mecánicos, así

como, soportes y cojinetes del rotor, disminuyendo la vida

útil de los mismos.

De acuerdo con la rigidez que poseen los rotores en su

sección transversal, estos pueden clasificarse en dos tipos:

rotores simétricos y asimétricos. Los primeros son de

sección transversal circular y poseen parámetros de rigidez

igual en toda su sección, mientras que los rotores

asimétricos, poseen parámetros de rigidez diferente en los

ejes principales de inercia de su sección transversal, esto

afecta a las velocidades críticas y a la magnitud de la

respuesta al desbalance del rotor, ya que la respuesta

depende principalmente de dos parámetros adimensionales:

factor de asimetría y factor de amortiguamiento. De acuerdo

con diversos investigadores [1-4], estos dos parámetros

provocan que la respuesta de vibración del rotor presente

diferentes amplitudes y ángulos de fase para diferentes

posiciones angulares de la fuerza de excitación, haciendo

difícil la identificación del desbalance presente en el

sistema. Algunos casos en los que se presentan rotores

asimétricos son: rotores de algunos generadores de dos

polos, hélices de dos palas, turbinas de viento, árboles de

levas, etc. [1].

Existe una gama de métodos de identificación y

estimación de parámetros, que por su naturaleza son difíciles

de implementar en la realidad [5-8]. Hoy en día existe el así

llamado método de identificación algebraica. Éste se basa en

el álgebra diferencial y el cálculo operacional y ha sido

empleado para la estimación de parámetros desconocidos de

un sistema a partir de su modelo matemático [9-11]. El

método tiene las ventajas de realizar la estimación de

parámetros en línea, independientemente de las condiciones

iniciales del sistema en un corto periodo de tiempo.

Este artículo presenta el desarrollo de un modelo

matemático para la estimación en línea del desbalance y su

posición angular, para un sistema rotor asimétrico-cojinete

de dos grados de libertad, el cual se basa en el método de

identificación algebraica en línea reportado por [12]. La

ventaja que ofrece el modelo propuesto, es que solo se

necesita la respuesta de vibración en línea del sistema como

dato de entrada, y no es necesario llevarlo hasta su velocidad

nominal de operación, para identificar el desbalance y su

posición angular y proceder a balancear el rotor.

2. Modelado de sistemas rotor asimétrico-cojinete de

2GDL.

Para el análisis, se consideró un modelo simplificado de dos

grados de libertad de un rotor asimétrico reportado por [13],

donde la asimetría en la sección transversal de la flecha se

considera constante en cualquier punto a lo largo del eje

axial del rotor.

Por otra parte, los elementos básicos que componen un

sistema rotor-cojinete son: el disco, el eje, los cojinetes y los

sellos [13,14], además de las masas de desbalance.

Basándose en lo anterior, se obtienen ecuaciones generales

del sistema que se obtienen a partir de los siguientes pasos:

1) Se determina la energía cinética T, la energía de

deformación U, y el trabajo virtual de las fuerzas externas

para los elementos que conforman el sistema. 2) Se aplica la

ecuación de Lagrange para obtener las ecuaciones de

movimiento para cada uno de los elementos. La ecuación de

Lagrange se define como:

i

i i i

d T T UFq

dt q q q

(1)

Donde i es el número de grados de libertad del sistema,

qi son las coordenadas generalizadas, Fqi son las fuerzas

generalizadas, y �̇�𝑖 indica diferenciación con respecto al

tiempo t.

2.1. Modelo matemático de un sistema rotor asimétrico-

cojinete

El modelo matemático para el sistema rotor asimétrico –

cojinete, se obtiene con la ayuda del modelo analítico

mostrado en la fig. 1. Utilizando la metodología de [13].

Figura 1. Sección transversal de un rotor asimétrico en rotación.

El resultado es la ecuación de movimiento para un rotor

asimétrico de dos grados de libertad.



1

1

2 2

2 2

2

2

0 0 0

0 0 0

0 0cos(2 ) (2 )

0 0

cos( )

( )u

m x c x k x

m z c z k z

k x k xsen

k z k z

m esen

(2)

Donde:

12

v uk kk

(3)

22

u vk kk

(4)

3. Modelo matemático para la identificación algebraica

de desbalance y posición angular a velocidad constante.

El objetivo del identificador algebraico en línea propuesto,

es determinar la magnitud y posición angular del desbalance

presente en sistemas rotor asimétrico - cojinete. Para el

desarrollo del identificador, se toma como base el modelo

matemático del sistema rotodinámico de dos grados de

libertad ec. (2), asimismo, se considera que el vector de

desplazamientos del sistema {δ} se conoce (respuesta de

vibración del sistema), y está disponible como dato de

entrada para utilizarse en el esquema de identificación. Para

un sistema rotodinámico real, el vector {δ} representa la

señal de vibración que se presenta en el rotor a causa del

desbalance y que se obtiene a partir de sensores de

desplazamiento, colocados en puntos estratégicos a lo largo

del rotor.

La ec. (2) puede reescribirse como:

M C K F …(5)

Donde M, C, K y F representan las matrices de masa,

amortiguamiento, rigidez y vector de fuerza de excitación

del rotor asimétrico respectivamente. Para este análisis, se

considera que en el sistema rotor asimetrico-cojinete solo

existe una masa de desbalance.

Para obtener el modelo del identificador algebraico de

acuerdo con la metodología de [12], se hace necesario

multiplicar la ec. (2) por t2 e integrar dos veces con respecto

al tiempo “t”, tal como se muestra en la ecuación (6)

(2) (2) (2)2 2 2

1

(2) (2)2 2

2 2

(2)

2

[ ] [ ] [ ]

cos(2 )[ ] (2 )[ ]

[ ]

M t C t K t

K t sen K t

F t

(6)

La ec. (6) se integra por partes con respecto al tiempo y

a través de un tratamiento matemático esta puede expresarse

como (7):

(2) (2)

2 2

(2) (2) (2)

2 2 21 2 2

(2) (2)

2 2 2 2

(2) (2)

2 2 2 2

- 4 2 -2

cos(2 ) (2 )

cos -cos

cos

u

u

Mt M t M Ct Ct

K t K t K sen t

t sen tm e

m esensen t t

(7)

Ahora, la ec. (7) se puede expresar por separado en las

direcciones x y z respectivamente como (8):

(2) (2)

2 2

(2) (2) (2)

2 2 2

(2) (2)2 2 2 2

(2) (2)

2 2

(2)

2

- 4 2 -2

1 2cos(2 ) 2 (2 )

cos - cos

- 4 2 -2

1 2cos(

u

mt x m tx m x C t x C tx

K t x K t x K sen t z

t sen t m e

mt z m tz m z C t z C tz

K t z K

(2) (2)

2 2

(2) (2)

2 2 2 2

2 ) 2 (2 )

cos u

t z K sen t x

sen t t m esen

(8)

La ec. (8) se puede expresar en sistemas de ecuaciones

lineales de la forma mostrada en la ec. (9).

(t) (t)A b (9)

Donde 𝛩 = { 𝒎𝒖𝒆𝒖 = 𝒎𝒖𝑒 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝒎𝒖𝒆𝒗 =𝒎𝒖𝑒 𝑠𝑒𝑛𝛼}𝑇 denota el vector del desbalance por identificar,

asimismo, A(t) y b(t) se expresan como:

11 12

12 11

(t) (t)(t)

(t) (t)

a aA

a a (10)



1

2

(t)( )

(t)

bb t

b

(11)

Con

(2)

2 211

(2)2 2

12

cosa t

a sen t

(12)

Y

(2) (2)

2 21

(2) (2) (2)

2 2 21 2

(2) (2)

2 22

(2) (2) (2)

2 2 2

(t) - 4 2 -2

2cos(2 ) (2 )

(t) - 4 2 -2

1 2cos(2 ) 2 (2 )

b mt x m tx m x C t x C tx

K t x K t x K sen t z

b mt z m tz m z C t z C tz

K t z K t z K sen t x

(13)

De acuerdo con lo anterior, el identificador algebraico

queda expresado en la ec. (14).

2 11 1 122 2

11 12

1 12 2 112 2

11 120 0

2 2

1

( , ]

cos

u u

u v

u u u

u

u

b a b am e

a a

b a b am e

a a t t t

m e m e m e

m e

m e

(14)

4. Simulación del identificador algebraico de

parámetros de desbalance del sistema rotor asimétrico -

cojinete de 2GDL a velocidad constante.

Para la solución de las ecuaciones de movimiento del rotor

asimétrico-cojinete (ec. (2)), se utilizó el método de

integración directa de Newmark. De esta forma se obtiene la

respuesta vibratoria del sistema que servirá como dato de

entrada del identificador algebraico. Los datos utilizados

para la simulación del modelo se describen en la tabla 1:

Tabla 1 - Datos del rotor asimétrico

Datos del rotor m 0.91 [kg]

C 15.05 [Ns/m]

𝑘𝑣 30831.1 [N/m]

𝑘𝑢 29563.2 [N/m]

𝑚𝑢𝑒 0.3 [gr-cm]

En las Figs. de la 2 a la 10, se muestran las simulaciones

de los modelos matemáticos para el rotor asimétrico con las

propiedades descritas en la tabla 1, para distintas posiciones

de masa de desbalance y velocidad angular �̇� constante.

Para este caso se utilizó un intervalo de tiempo discreto

∆𝑡 = 1𝑥10−4s.

Figura 2 – Respuesta vibratoria del rotor = 1000 RPM, 𝛂 = 𝟒𝟓°.

Figura 3 – Identificación de la posición angular del desbalance del

rotor con = 1000 RPM y 𝛂 = 𝟒𝟓°.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-6 Señal de vibración

tiempo (s)

Am

plit

ud (

m)

Horizontal

Vertical

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-50

0

50

100

150

X: 0.3348

Y: 45

Identificación de la posición angular

tiempo (s)

(

gra

dos)



Figura 4 – Identificación de la magnitud del desbalance del rotor con

= 1000 RPM y 𝛂 = 𝟒𝟓°.

Figura 5 – Respuesta vibratoria del rotor = 2000 RPM, 𝛂 = 𝟎°.


rotor con = 2000 RPM y 𝛂 = 𝟎°.


= 2000 RPM y 𝛂 = 𝟎°.

Figura 8 – Respuesta vibratoria del rotor = 3500 RPM, 𝛂 = 𝟐𝟕𝟎°.


rotor con = 3500 RPM y 𝛂 = 𝟐𝟕𝟎°.

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x 10-6

X: 0.2287

Y: 3e-06

Identificación de la excentricidad

tiempo (s)

mue (

kgm

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10


tiempo (s)

Am

plit

ud (

m)

Horizontal

Vertical

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

X: 0.2391

Y: -0.001655


tiempo (s)

(

gra

dos)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x 10-6

X: 0.5176

Y: 3e-06


tiempo (s)

mue (

kgm

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10


tiempo (s)

Am

plit

ud (

m)

Horizontal

Vertical

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

150

200

250

300

350

400

X: 0.2565

Y: 270


tiempo (s)

(

gra

dos)




= 3500 RPM y 𝛂 = 𝟐𝟕𝟎°.

Como se puede observar, el identificador a velocidad

angular constante, converge de forma eficiente a los valores

de magnitud y ángulo de desbalance introducidos en la

simulación del rotor asimétrico-cojinete, sin importar la

velocidad angular del sistema o la posición angular del

desbalance.

5. Conclusión

En este trabajo se presenta el desarrollo matemático para el

modelo de un identificador algebraico de parámetros en

línea que determina la magnitud del desbalance y su

posición angular en un rotor asimétrico. El identificador

propuesto requiere únicamente de la respuesta de vibración

del rotor como dato de entrada. Los resultados numéricos,

muestran la rapidez y convergencia en la identificación de

los parámetros del desbalance y posición angular en un

tiempo menor a 1 segundo. La ventaja que ofrece el método

aquí presentado, es que el identificador propuesto identifica

el desbalance global del sistema independientemente de la

velocidad de rotación del rotor, sin que el sistema pase por

la resonancia.

Agradecimientos

Agradecemos al Centro Nacional de Investigación y

Desarrollo Tecnológico por su apoyo.

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x 10-6

X: 0.2793

Y: 3e-06


tiempo (s)

mue (

kgm

)


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