-
Universidad de Concepción
Campus los Ángeles
Escuela de Educación
Departamento de Ciencias Básicas
Identificación y Análisis de Errores Presentes en
Estudiantes de Segundo Año Medio en el Contenido
de la Función Lineal
Seminario de Titulo para optar al Grado Académico de Licenciado
en Educación y al Título
Profesional de Profesor de Matemática y Educación
Tecnológica
Seminarista:
Daniel Cifuentes Mendoza
Profesor Guía:
Dr. Cristian Pérez Toledo
Comisión Evaluadora:
Mg. Ramón Elías Muñoz
Dra. Marianela Castillo Fernández
Los Ángeles, Marzo 2019
-
Universidad de Concepción
Campus los Ángeles
Escuela de Educación
Departamento de Ciencias Básicas
Identificación y Análisis de Errores Presentes en
Estudiantes de Segundo Año Medio en el Contenido
de la Función Lineal
Seminario de Titulo para optar al Grado Académico de Licenciado
en Educación y al Título
Profesional de Profesor de Matemática y Educación
Tecnológica
Seminarista:
Daniel Cifuentes Mendoza
Comisión Evaluadora:
Dr. Cristian Pérez Toledo
Mg. Ramón Elías Muñoz
Dra. Marianela Castillo Fernández
Los Ángeles, Marzo 2019
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
3
Resumen
La presente investigación tiene como propósito identificar y
analizar los errores más
frecuentes que cometen los estudiantes de segundo año medio de
la ciudad de Mulchén en el
contenido de la función lineal. Para ello, se considera una
muestra de 66 estudiantes de dos
liceos polivalentes con distinta especialidad técnica, un liceo
polivalente técnico –
profesional forestal y un liceo polivalente técnico –
profesional en administración.
El instrumento utilizado para la recolección de datos fue
diseñado por el autor de la
presente investigación, donde se hace una recopilación de
ejercicios obtenidos de
investigaciones referentes al estudio de errores en el
aprendizaje de la función lineal;
instrumento que fue previamente validado por docentes expertos
de la Universidad de
Concepción.
Tras el análisis de los resultados obtenidos, se puede observar
una gran cantidad de
errores presentes en el contenido de la función lineal que se
deben principalmente a la falta
de interpretación por parte de los estudiantes. Asimismo,
considerando la especialidad
técnica de cada liceo polivalente evaluado se puede inferir que,
si bien cometen
aproximadamente la misma cantidad de errores los estudiantes de
ambos liceos, el liceo
polivalente técnico– profesional forestal presenta mayor
cantidad de respuestas correctas, en
comparación con el liceo polivalente técnico – profesional en
administración que presenta
mayor cantidad de respuestas omitidas. Misma situación se ve
reflejada al comparar la
variable género, donde hombres y mujeres cometen igual cantidad
de errores, pero los
hombres presentan mayor porcentaje de respuestas correctas, en
comparación con las mujeres
que presentan mayor porcentaje de respuestas omitidas.
Palabras Claves: Errores en Matemática, Función Lineal, Genero,
Especialidad Técnica,
Sistemas de Representación, Interpretación.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
4
Abstract
The purpose of this research is to identify and analyze the most
frequent errors
committed by second-year students of high school from the city
of Mulchen in the linear
function content. To do this research, it is considered a sample
of 66 students of two
polyvalent high schools with different technical specialty,
forestry and administration
respectively.
Taking in consideration a compilation of exercises related to
the study of error in the
linear function, the autor design an instrument that was
validated by expert from the
universidad de concepcion, and applied from data collection in
this work
After the analysis of data, we can observe a large number of
errors present in the
content of the linear function that are mainly due to the lack
of interpretation by the students.
Also, considering the technical specialty of each polyvalent
high school evaluated can be
inferred that, although they commit approximately the same
amount of errors the students of
both highschools, the polyvalent professional technical high
school in forestry has more
correct answers, compared to the polyvalent professional
technical high school in
administration who presents the largest number of omitted
answers. Same situation is
reflected when comparing the gender variable, where men and
women commit the same
amount of errors, but men present a higher percentage of correct
answers, in comparison with
women who present a higher percentage of omitted answers.
Key Words: Errors in Mathematics, Linear Function, Gender,
Technical Specialty,
Representation Systems, Interpretation
-
Índice:
Introducción
...................................................................................................................................
8
Capítulo 1. El problema
....................................................................................................................
10
1.1 Definición del tema
................................................................................................................
10
1.2 Planteamiento del problema
.................................................................................................
10
1.3 Justificación de la investigación
...........................................................................................
11
1.4 Factibilidad de la investigación
............................................................................................
12
Capítulo 2. Propuesta de Investigación
...........................................................................................
13
2.1 Objetivo General
...................................................................................................................
13
2.2 Objetivos
Específicos.............................................................................................................
13
2.3 Preguntas de Investigación
...................................................................................................
15
2.4 Hipótesis de Investigación
....................................................................................................
17
Capítulo 3. Marco Teórico
................................................................................................................
18
3.1 Antecedentes previos
.............................................................................................................
18
3.2 Origen del concepto de error
................................................................................................
20
3.3 ¿Por qué estudiar el error en matemática?
.........................................................................
21
3.4 Definición de error
................................................................................................................
22
3.5 Dificultad, obstáculo y el error
.............................................................................................
23
3.5.1 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas
...................................................... 23
3.5.2 Obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas
........................................................ 24
3.5.3 Errores en el aprendizaje de las matemáticas
.............................................................
26
3.6 Estudio sobre errores
............................................................................................................
27
3.7 Representaciones semióticas de la función lineal
...............................................................
28
3.7.1 Los sistemas de representación de la función lineal
.................................................... 31
3.8 Errores y situaciones generadoras de errores en el
aprendizaje de la función lineal ..... 32
3.8.1 Función lineal en los Programas de Estudio
................................................................
35
Capítulo 4. Marco Metodológico
.....................................................................................................
36
4.1 Tipo de investigación
.............................................................................................................
36
4.2 Diseño de investigación
.........................................................................................................
36
4.3 Población y muestra
..............................................................................................................
36
4.4 Variables de la investigación
................................................................................................
37
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
6
4.5 Descripción de las variables
.................................................................................................
38
4.6 Descripción y características del instrumento
....................................................................
39
4.7 Análisis de los ejercicios de la prueba
.................................................................................
39
4.7.1 Clasificación de los errores correspondientes a cada ítem
......................................... 40
4.7.2 Clasificación de las situaciones generadoras de errores
correspondientes a cada
error
..........................................................................................................................................
41
4.7.3 Clasificación de los sistemas de representación
correspondientes a cada ítem ........ 42
4.8 Limitaciones de la investigación
...........................................................................................
42
Capítulo 5. Análisis de datos y verificación de hipótesis
................................................................
43
5.1 Análisis de datos
....................................................................................................................
43
5.1.1 Errores frecuentes en cada pregunta del instrumento
................................................ 43
5.1.2 Errores frecuentes en el contenido de la función lineal
.............................................. 45
5.1.3 Situaciones generadoras de errores en el contenido de la
función lineal .................. 47
5.1.4 Errores frecuentes al trabajar con los diferentes sistemas
de representación de la
función lineal
............................................................................................................................
48
5.1.5 Errores frecuentes al interpretar de manera gráfica y
algebraica la pendiente y el
coeficiente de posición
.............................................................................................................
50
5.2 Plan de análisis estadístico
....................................................................................................
52
5.3 Análisis de las hipótesis de investigación
.............................................................................
53
5.3.1 Primera hipótesis de trabajo
.........................................................................................
53
5.3.2 Segunda hipótesis de trabajo
.........................................................................................
55
5.3.3 Tercera hipótesis de trabajo
..........................................................................................
57
5.3.4 Cuarta hipótesis de trabajo
...........................................................................................
59
5.3.5 Quinta hipótesis de trabajo
...........................................................................................
61
5.3.6 Sexta hipótesis de trabajo
..............................................................................................
63
Capítulo 6 Resultados, discusiones y conclusiones
.........................................................................
65
6.1 Resultado de los alumnos
......................................................................................................
65
6.2 Discusiones de resultados
......................................................................................................
73
6.3 Análisis de resultados
............................................................................................................
76
6.4 Conclusiones
..........................................................................................................................
83
6.5 Sugerencias
............................................................................................................................
86
Referencias
...................................................................................................................................
87
Anexos
...............................................................................................................................................
92
Anexo 1: Ejemplar del instrumento utilizado en la investigación
.......................................... 93
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
7
Anexo 2: La Función lineal en los Programas de Estudio.
.................................................... 100
Anexo 3 Tabulaciones.
..............................................................................................................
104
Anexo 3.1 Tabulación de los errores correspondiente a cada
ejercicio de los estudiantes
de segundo año medio
...........................................................................................................
105
Anexo 3.2 Tabulación de los errores correspondiente a cada
ejercicio de los estudiantes
hombres.
.................................................................................................................................
109
Anexo 3.3 Tabulación de los errores correspondiente a cada
ejercicio de las estudiantes
mujeres.
..................................................................................................................................
111
Anexo 3.4 Tabulación de los errores correspondiente a cada
ejercicio de los estudiantes
del liceo PTPF.
.......................................................................................................................
114
Anexo 3.5 Tabulación de los errores correspondiente a cada
ejercicio de los estudiantes
del liceo
PTPA........................................................................................................................
116
Anexo 4: Pruebas de normalidad y pruebas de hipótesis
...................................................... 118
Anexo 4.1 Hipótesis 1
............................................................................................................
118
Anexo 4.2 Hipótesis 2
............................................................................................................
120
Anexo 4.3 Hipótesis 3
............................................................................................................
122
Anexo 4.4 Hipótesis 4
............................................................................................................
124
Anexo 4.5 Hipótesis 5
............................................................................................................
126
Anexo 4.6 Hipótesis 6
............................................................................................................
129
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
8
Introducción
Durante todo proceso de aprendizaje surgen dificultades, las
cuales pueden deberse a
diversos factores y pueden ser de distinta naturaleza. Pruebas
como SIMCE, PSU y PISA
muestran las constantes dificultades que presentan los
estudiantes en Matemáticas,
dificultades que tienden a reiterarse en el tiempo debido al
poco tratamiento que se les da a
los errores.
En el ámbito específico de las funciones, la mayoría de los
estudiantes cometen
errores de forma reiterada, consecuencia de las dificultades que
tienen en su aprendizaje.
Estos errores parecen estar relacionados con una serie de
deficiencias en la comprensión de
conceptos y en la forma de visualizar e interpretar las
funciones. En la mayoría de los casos
los alumnos memorizan procedimientos, limitándose solo a
replicar lo previamente
aprendido, dejando de lado la comprensión.
Constantemente el Ministerio de Educación de Chile se enfoca en
modificar y renovar
los Planes y Programas de Estudio, pero como menciona Radatz
(1979), al reformular
sucesivamente el currículo de Matemática, surgen nuevos errores
a causa de los contenidos
específicos. Es por ello que los profesores necesitan modelos de
acción para diagnosticar y
corregir aprendizajes erróneos.
Socas (1997), menciona que la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas mejoraría
si conocemos de manera general o específica las razones y
dificultades por las que se originan
los diferentes errores cometidos por los estudiantes. Por lo que
es de suma importancia
conocer los errores que cometen los estudiantes en el contenido
de la función lineal y las
situaciones que los generan.
La presente investigación consta de seis capítulos. En el primer
capítulo se define el
tema a investigar, en el segundo capítulo se da a conocer la
propuesta de investigación; en el
tercer capítulo se presenta el marco de antecedentes que avala
la investigación; en el cuarto
capítulo se exhibe el diseño metodológico empleado para adquirir
la información necesaria
en la investigación; en el quinto capítulo se analizan los datos
entregados por la muestra y se
verifican las hipótesis planteadas, y en el sexto capítulo, se
describen los resultados, la
discusión, las conclusiones y sugerencias; luego se incluyen las
referencias bibliográficas y
finalmente, los anexos.
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
9
Se espera que esta investigación sirva de antecedente para los
liceos de la ciudad de
Mulchén y para los docentes, ayudándolos en el perfeccionamiento
de estrategias de
aprendizaje enfocadas en las situaciones que generan mayores
dificultades en los estudiantes.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
10
Capítulo 1. El problema
1.1 Definición del tema
En la presente investigación se identifican los errores más
frecuentes que cometen los
estudiantes de segundo año de enseñanza media de la ciudad de
Mulchén al resolver
ejercicios pertenecientes al contenido de la función lineal, así
como las situaciones que llevan
a cometer estos errores. El detectar los errores y las
situaciones generadoras de errores en los
estudiantes, proporcionaran al docente valiosa información, la
cual le permitirá incorporar
metodologías de enseñanza y plantear estrategias enfocadas en
las situaciones que generan
más dificultades durante el aprendizaje de este contenido.
Esta investigación se sitúa en el área de la investigación
educativa, con el propósito
de identificar dificultades y errores presentes en el proceso de
enseñanza - aprendizaje de las
matemáticas. Esto permitirá tomar mejores decisiones con el
objetivo de mejorar la práctica
y la calidad educativa.
Para la recolección de la información, se diseñará una prueba
con ejercicios referentes
al contenido de la función lineal, con potenciales situaciones
generadoras de errores, para
luego comparar los resultados con las variables género y
especialidad técnica.
1.2 Planteamiento del problema
Según el Programa para la Evaluación Internacional de
Estudiantes (PISA), el 49,4%
de los estudiantes chilenos obtuvo un bajo rendimiento en
matemáticas (OCDE, 2015). Lo
que deja en claro las constantes dificultades en el aprendizaje
de las matemáticas. Estas
dificultades generalmente provienen del microsistema educativo,
es decir, alumno,
contenido, profesor e institución escolar. Las dificultades, por
tanto, pueden abordarse desde
perspectivas distintas, ya sea poniendo énfasis en el desarrollo
cognitivo de los alumnos o en
las metodologías de enseñanza.
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
11
Es claro que durante todo proceso de aprendizaje surgen
dificultades, las cuales
pueden deberse a diversos factores y pueden ser de distinta
naturaleza. En el caso de las
matemáticas, los errores y dificultades se hacen presentes
constantemente en los estudiantes
y el no poder superar estas dificultades trae consigo
complicaciones a la hora de realizar
tareas similares a futuro.
En el contenido de funciones, las dificultades parecen estar
relacionadas con la
comprensión de conceptos y en la forma de visualizar las
funciones solo como un proceso.
En la mayoría de los casos los alumnos memorizan sin comprender
las reglas y
procedimientos, limitándose solo a aplicar o replicar lo
previamente aprendido. Esto lleva a
cometer las mismas equivocaciones de manera persistente, además,
“los errores suelen ser
considerados por el docente como falta de estudio o de atención,
cuando en realidad indican
una fuerte carencia de comprensión” (García, 2010, p.9).
Ahora bien ¿Cuáles son los errores más frecuente cometidos por
los estudiantes?
¿Qué situaciones son las más frecuentes para cometer estos
errores?
Por lo descrito anteriormente es importante identificar y
analizar los errores que
cometen los estudiantes en el contenido de la función lineal.
Esta identificación y análisis
permitirá entregar información importante a los docentes, con el
propósito de contribuir al
mejoramiento del proceso de enseñanza-aprendizaje.
1.3 Justificación de la investigación
La falta de información referente a los errores que presentan
los estudiantes de
segundo año medio en el aprendizaje de la función lineal es lo
que motiva la presente
investigación. Poder dar respuesta a esta problemática permitirá
conocer con mayor
profundidad los errores y dificultades, así como las situaciones
que llevan a los alumnos a
cometer estos errores. Mediante este análisis e identificación
de errores se pretende aportar
información en pos de mejorar el proceso de enseñanza –
aprendizaje de las matemáticas.
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
12
1.4 Factibilidad de la investigación
La presente investigación es factible, ya que se cuenta con los
recursos necesarios
para poder realizarla. Se dispone de los cursos y la
autorización de los liceos para aplicar el
instrumento evaluativo, el cual permitirá identificar los
errores y las situaciones generadoras
de errores presentes en el contenido de la función lineal.
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
13
Capítulo 2. Propuesta de Investigación
2.1 Objetivo General
Para la presente investigación, se plantea el siguiente objetivo
general:
Identificar y analizar los errores más frecuentes cometidos por
estudiantes de segundo
año medio de la ciudad de Mulchén en el contenido de función
lineal.
2.2 Objetivos Específicos
1. Diseñar un instrumento para identificar los errores y las
situaciones generadoras de
errores en el contenido de la función lineal.
2. Identificar los errores más frecuentes en estudiantes hombres
y mujeres de segundo
año medio en el contenido de la función lineal.
3. Identificar los errores más frecuentes en estudiantes de
liceos con distinta
especialidad técnica en el contenido de la función lineal.
4. Identificar las situaciones generadoras de los errores más
frecuentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
5. Identificar las situaciones generadoras de los errores más
frecuentes en estudiantes
hombres y mujeres de segundo año medio en el contenido de la
función lineal.
6. Identificar las situaciones generadoras de los errores más
frecuentes en estudiantes de
liceos con distinta especialidad técnica en el contenido de la
función lineal.
7. Comparar la cantidad promedio de errores por ítem respondido
entre estudiantes
hombres y mujeres en el contenido de la función lineal.
8. Comparar la cantidad promedio de errores por ítem respondido
entre estudiantes de
liceos con distinta especialidad técnica en el contenido de la
función lineal.
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
14
9. Identificar los errores frecuentes en estudiantes de segundo
año medio al trabajar con
los diferentes sistemas de representación de la función
lineal.
10. Identificar los errores frecuentes en estudiantes hombres y
mujeres de segundo año
medio al trabajar con los diferentes sistemas de representación
de la función lineal.
11. Identificar los errores frecuentes en estudiantes de liceos
con distinta especialidad
técnica al trabajar con los diferentes sistemas de
representación de la función lineal.
12. Comparar la cantidad promedio de errores por ítem respondido
entre estudiantes
hombres y mujeres al trabajar con los diferentes sistemas de
representación de la
función lineal.
13. Comparar la cantidad promedio de errores por ítem
respondidos entre estudiantes de
liceos con distinta especialidad técnica al trabajar con los
diferentes sistemas de
representación de la función lineal.
14. Identificar los errores frecuentes en estudiantes de segundo
año medio al interpretar
de manera gráfica y algebraica la pendiente y el coeficiente de
posición.
15. Identificar los errores frecuentes en estudiantes hombres y
mujeres al interpretar de
manera gráfica y algebraica la pendiente y el coeficiente de
posición.
16. Identificar los errores frecuentes en estudiantes de liceos
con distinta especialidad
técnica al interpretar de manera gráfica y algebraica la
pendiente y el coeficiente de
posición.
17. Comparar la cantidad promedio de errores por ítem respondido
entre estudiantes
hombres y mujeres al interpretar de manera gráfica y algebraica
la pendiente y el
coeficiente de posición.
18. Comparar la cantidad promedio de errores por ítem
respondidos entre estudiantes de
liceos con distinta especialidad técnica al interpretar de
manera gráfica y algebraica
la pendiente y el coeficiente de posición.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
15
2.3 Preguntas de Investigación
Las preguntas que permitirán responder a los objetivos
planteados en la investigación son:
1. ¿Qué errores son los más frecuentes en el contenido de la
función lineal en estudiantes
de segundo año medio?
2. ¿Qué errores son los más frecuentes en el contenido de la
función lineal en estudiantes
hombres y mujeres?
3. ¿Los errores identificados en el contenido de la función
lineal, se presentan por igual
en estudiantes hombres y mujeres, o son más recurrente en alguno
de ellos?
4. ¿Qué errores son los más frecuentes en el contenido de la
función lineal en estudiantes
de liceos con distinta especialidad técnica?
5. ¿Los errores identificados en el contenido de la función
lineal, se presentan por igual
en estudiantes de liceos con distinta especialidad técnica, o
son más recurrente en
alguno de ellos?
6. ¿Cuáles son las situaciones que originan los errores más
frecuentes en el contenido
de la función lineal?
7. ¿Cuáles son las situaciones que originan los errores más
frecuentes en el contenido
de la función lineal en estudiantes hombres y mujeres?
8. ¿Cuáles son las situaciones que originan los errores más
frecuentes en el contenido
de la función lineal en estudiantes de liceos con distinta
especialidad técnica?
9. ¿Qué errores presentan los estudiantes de segundo año medio
al trabajar con los
diferentes sistemas de representación de la función lineal?
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
16
10. ¿Qué errores presentan los estudiantes hombres y mujeres al
trabajar con los
diferentes sistemas de representación de la función lineal?
11. ¿Los errores identificados al trabajar con los diferentes
sistemas de representación de
la función lineal se presentan por igual en estudiantes hombres
y mujeres, o son más
recurrentes en alguno de ellos?
12. ¿Qué errores presentan los estudiantes de liceos con
distinta especialidad técnica al
trabajar con los diferentes sistemas de representación de la
función lineal?
13. ¿Los errores identificados al trabajar con los diferentes
sistemas de representación de
la función lineal se presentan por igual en estudiantes de
liceos con distinta
especialidad técnica, o son más recurrentes en alguno de
ellos?
14. ¿Qué errores presentan los estudiantes de segundo año medio
al interpretar de manera
gráfica y algebraica la pendiente y el coeficiente de
posición?
15. ¿Qué errores presentan los estudiantes hombres y mujeres al
interpretar de manera
gráfica y algebraica la pendiente y el coeficiente de
posición?
16. ¿Los errores identificados al interpretar de manera gráfica
y algebraica la pendiente
y el coeficiente de posición se presentan por igual en
estudiantes hombres y mujeres,
o son más recurrentes en alguno de ellos?
17. ¿Qué errores presentan los estudiantes de liceos con
distinta especialidad técnica al
interpretar de manera gráfica y algebraica la pendiente y el
coeficiente de posición?
18. ¿Los errores identificados al interpretar de manera gráfica
y algebraica la pendiente
y el coeficiente de posición se presentan por igual en
estudiantes de liceos con distinta
especialidad técnica, o son más recurrentes en alguno de
ellos?
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
17
2.4 Hipótesis de Investigación
Las siguientes hipótesis aluden a estudiantes de segundo año
medio de dos liceos
polivalentes con distinta especialidad técnica de la ciudad de
Mulchén; considerando el
contenido de función lineal. Se utilizarán las siglas PTPF y
PTPA para referirse al
establecimiento Polivalente Técnico Profesional Forestal y
Polivalente Técnico Profesional
en Administración, respectivamente.
H1: Las estudiantes mujeres cometen mayor cantidad promedio de
errores por ítem
respondido que los estudiantes hombre en el contenido de la
función lineal.
H2: Los estudiantes del liceo PTPA cometen mayor cantidad
promedio de errores por ítem
respondido que los estudiantes del liceo PTPF en el contenido de
la función lineal.
H3: Las estudiantes mujeres cometen mayor cantidad promedio de
errores por ítem
respondido que los estudiantes hombres al trabajar con los
diferentes sistemas de
representación de la función lineal.
H4: Los estudiantes del liceo PTPA cometen mayor cantidad
promedio de errores por ítem
respondido que los estudiantes del liceo PTPF al trabajar con
los diferentes sistemas
de representación de la función lineal.
H5: Las estudiantes mujeres cometen mayor cantidad promedio de
errores por ítem
respondido que los estudiantes hombres al interpretar de manera
gráfica y algebraica
la pendiente y el coeficiente de posición.
H6: Los estudiantes del liceo PTPA cometen mayor cantidad
promedio de errores por ítem
respondido que los estudiantes del liceo PTPF al interpretar de
manera gráfica y
algebraica la pendiente y el coeficiente de posición.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
18
Capítulo 3. Marco Teórico
En este capítulo se mencionan algunos antecedentes previos en
cuanto al estudio de
los errores y dificultades presentes en el aprendizaje de las
matemáticas, específicamente en
el contenido de funciones. Estos antecedentes servirán de
sustento para la presente
investigación.
3.1 Antecedentes previos
Numerosas investigaciones se han enfocado en determinar y
analizar los errores
presentes durante el proceso de enseñanza - aprendizaje,
poniendo énfasis ya sea en el
alumno, profesor, currículo o metodologías de enseñanza.
A continuación, se hace referencia a estudios que se han
realizado en el ámbito de los
errores en matemática presentes en el contenido de
funciones.
Una Investigación realizada en Acapulco, México, titulada
“Dificultades que
presentan los estudiantes de tercer grado de educación
secundaria al trabajar con los
diferentes registros de representación de la función lineal”,
investigación realizada en la
Universidad Autónoma de Guerrero, Guzmán (2006), con el objetivo
de identificar las
dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado de
educación secundaria, al trabajar
con los diferentes registros de representación de la función
lineal. Se trabajó con 73
estudiantes de la secundaria técnica N°9 de la Ciudad de
Renacimiento, a los cuales se les
aplicó un cuestionario con seis actividades, la tarea solicitada
en estas actividades eran
precisamente el paso de un registro de representación a otro,
con la finalidad de conocer con
mayor precisión las dificultades que presentan los alumnos al
trabajar con la función lineal.
El análisis se realizó considerando las producciones de los
estudiantes, tomando en cuenta
las argumentaciones y el análisis de las gráficas con el
propósito de detectar las dificultades
de la conversión de un registro de representación a otro. Como
conclusión se menciona que
los estudiantes muestran deficiencias conceptuales, de
interpretación y falta de coordinación
entre los registros algebraico, gráfico y tabular, tienen
diferentes dificultades al pasar de la
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
19
expresión algebraica a la gráfica, por ejemplo, creen que los
valores de los parámetros m y b
de las funciones de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 pueden ubicarse
directamente en el plano
cartesiano, realizan una representación incorrecta de estos
valores y muy pocos estudiantes
justifican sus respuestas, lo que indica que no están
acostumbrados a comunicar sus
resultados.
Igualmente se tiene la investigación “Dificultades y
concepciones de los alumnos de
educación secundaria sobre la representación gráfica de
funciones lineales y cuadráticas”,
Investigación realizada en la Universidad de Salamanca, España,
por Gonzales (2006), con
el objetivo de identificar las concepciones de los alumnos en
relación con la conversión entre
la expresión algebraica de una función y su representación
gráfica, así como analizar los
errores que cometen los alumnos al trabajar con dichas
transformaciones. La investigación
se llevó a cabo en dos fases. Inicialmente se elaboró un
cuestionario diagnóstico para analizar
las concepciones y errores de los alumnos, el cual fue
contestado por 21 alumnos de 1º de
Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud;
Mediante el análisis de las respuestas
a dicho cuestionario se elaboró el cuestionario definitivo, el
cual fue contestado por alumnos
de 4º de Educación Secundaria. El análisis permitió conocer las
concepciones de los alumnos
sobre las expresiones algebraicas de las funciones y su
representación gráfica, así como los
errores que cometen. Se concluye que los alumnos tienen
dificultades para relacionar los
coeficientes de las ecuaciones algebraicas de las funciones con
las características geométricas
de su representación gráfica. Suelen recurrir con frecuencia a
la tabla de valores, cometiendo
errores que con una concepción más ajustada del concepto de
función no cometerían. Además
cometen numerosos errores al asociar la expresión algebraica de
una función a partir de su
representación gráfica; no sólo no identificando correctamente
sus coeficientes, sino que
incluso, confundiendo el tipo de función que están
analizando.
Las investigaciones mencionadas anteriormente, dejan de
manifiesto las constantes
dificultades y errores presentes en el aprendizaje de las
funciones, lo que sirve de motivación
para llevar a cabo esta investigación, la cual permitirá saber
la realidad de los liceos de la
ciudad de Mulchén referente al aprendizaje del contenido de la
función lineal.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
20
3.2 Origen del concepto de error
El error es una posibilidad permanente en la adquisición y
consolidación del
conocimiento. El conocimiento humano es falible, es decir,
siempre está la posibilidad de
que conceptos y procedimientos deficientemente desarrollados, y
aun completamente
equivocados, sean considerados como verdaderos. Así ha ocurrido
a lo largo de la historia,
donde se han tenido por verdaderas concepciones que luego fueron
rechazadas por no
explicar adecuadamente la realidad.
Sócrates en su doctrina de la falibilidad plantea que “todos
nosotros podemos errar, y
con frecuencia erramos individual y colectivamente; pero la idea
del error y la fiabilidad
implica que podemos buscar la verdad, la verdad objetiva (...);
si respetamos la verdad,
debemos aspirar a ella examinando persistentemente nuestros
errores mediante la infatigable
crítica racional y mediante la autocrítica” (Rico, 1995).
Bachelard (1988) citado por Rico (1995) plantea la noción de
obstáculo
epistemológico como explicación para la aparición inevitable de
errores en la construcción
del conocimiento. Menciona el obstáculo como un conocimiento
adquirido deficientemente,
el cual es efectivo en situaciones específicas, y que al
utilizarlo en diferentes situaciones
produce estancamiento y resistencia por el previo éxito.
Brousseau desarrolló las ideas de Bachelard en el ámbito
específico del aprendizaje
de la matemática, distinguiendo entre obstáculos de origen
psicogenético, vinculado con el
estadio de desarrollo del estudiante, de origen didáctico,
vinculados con la metodología que
caracterizó al aprendizaje, y los de origen epistemológico,
relacionados con la dificultad
intrínseca del concepto que se aprende (Del Puerto, Minnaard y
Seminara, 2004).
Los errores son elementos usuales en la adquisición de
conocimiento, y por tanto el
proceso de construcción del conocimiento deberá incluir su
diagnóstico, detección,
corrección y superación mediante actividades que promuevan el
ejercicio de la crítica sobre
las propias producciones (Rico. 1995).
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
21
En el caso de la función lineal, los errores se deben a la forma
de visualizar la función
solo como una representación gráfica, dejando de lado la
comprensión del concepto en sí,
con todas sus condiciones y características. Este modo de ver
las funciones puede ser efectivo
en ciertos casos para los estudiantes, pero al momento de
aplicarlo en situaciones más
complejas que requieren un mayor análisis o comprensión del
concepto, se produce un
estancamiento y una resistencia debido al éxito previo.
Rico (1995), menciona que en todo proceso de adquisición de
conocimiento surgen
errores, el problema es que generalmente al enseñar un concepto
nuevo, como es el caso de
la función, se tiende a trabajar con ejemplos sencillos que
requieren solo de la mecanización
de un procedimiento previo (graficar), cuando se deberían
plantear diferentes situaciones que
llevaran a los estudiantes a una comprensión más profunda del
concepto.
3.3 ¿Por qué estudiar el error en matemática?
En el ámbito educacional, los errores ofrecen al docente de
matemáticas la posibilidad
de organizar un ámbito de acción ligado a su práctica escolar,
relacionado, en forma directa,
con bases teóricas de la educación matemática. Los errores
pueden ser el punto de partida
para orientar el aprendizaje de la materia. Rico (1995)
caracteriza el error como una
posibilidad permanente para la adquisición y consolidación del
conocimiento y puede llegar
a formar parte del conocimiento científico que emplean las
personas.
El análisis de los errores cometidos por los alumnos en su
proceso de aprendizaje
provee una rica información acerca de cómo se construye el
conocimiento matemático; por
otro lado, constituye una excelente herramienta para revelar el
estado de conocimiento de los
alumnos, imprescindible a la hora de retroalimentar el proceso
de enseñanza-aprendizaje, con
el fin de mejorar los resultados. Socas (1997) citado por
Chavarría (2014), señala que el
conocimiento de los errores básicos es de suma importancia para
el docente, ya que le ayuda a
comprender la forma en que sus estudiantes interpretan los
problemas matemáticos.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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De este modo, es importante reflexionar en la transmisión y
reproducción de los
errores de la población escolar, de todos los niveles, y en las
influencias y consecuencias que
siguen a esta práctica. De esta forma, una identificación
adecuada de los errores puede
contribuir a mejorar el proceso de enseñanza - aprendizaje.
3.4 Definición de error
El error es un conocimiento deficiente, insuficiente,
imperfecto, defectuoso, escaso o
incompleto; una desviación de un conocimiento establecido.
Siempre existe la posibilidad de
la presencia, la permanencia y la persistencia de errores en la
adquisición, desarrollo y
consolidación del conocimiento científico (Carrión, 2007).
Todo proceso de aprendizaje es, potencialmente, generador de
errores. Pueden
presentarse en forma ocasional, por azar; éstos son errores
esporádicos provocados por
descuidos en las producciones de los estudiantes. Otros surgen
en un marco conceptual
consistente, basado en conocimientos adquiridos deficientemente
(Carrión, 2007).
Diversos son los autores que han definido el concepto de
error:
Según Socas (1997) citado por Guerrero (2015), el error debe ser
considerado como
la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y
no sólo la consecuencia de
una falta específica de conocimiento o una distracción. Matz
(1980), citado por Del Puerto,
Minnaard y Seminara (2004), menciona que los errores son el
resultado de un fracasado
intento por adaptar conocimientos, adquiridos previamente, a una
nueva situación.
Brousseau, Davis y Werner (1986) citados por Del Puerto,
Minnaard y Seminara (2004),
señalan que los errores son el resultado de un procedimiento
sistemático imperfecto que el
alumno utiliza de modo consistente y con confianza. Según Oser,
H. & Spychiger, M. (1999),
citado por Carrión (2007), un error es un proceso, o una acción,
que no obedece a la norma.
El error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la
incertidumbre, del azar que uno cree
en las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje, sino
el efecto de un conocimiento
anterior, que tenía su interés, su éxito, pero que, ahora, se
revela falso, o simplemente
inadaptado (Brousseau, 1983).
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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3.5 Dificultad, obstáculo y el error
El aprendizaje de las Matemáticas genera constantes dificultades
a los estudiantes y
estas dificultades son de naturaleza distinta. Generalmente
provienen del Microsistema
educativo: alumno, materia, profesor e institución escolar.
Respecto a las dificultades, Socas
(1997) citado por Morales (2014) menciona que “Las dificultades
se conectan y refuerzan en
redes complejas que se concretan en la práctica en forma de
obstáculos y se manifiestan en
los alumnos en forma de errores”. Es decir cuando el alumno no
puede superar sus
dificultades, estas se convierten en obstáculos que le impiden
avanzar en la construcción de
nuevos conocimientos y este obstáculo se manifiesta en la
práctica en forma de errores
Lo anterior da una idea de jerarquía entre dichos conceptos para
no seguir
utilizándolos como sinónimos en los diferentes contextos y así
poder diferenciarlos,
caracterizarlos y comprenderlos de una manera más clara.
3.5.1 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas
En el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, nos
encontramos con
una gran variedad de dificultades que son potencialmente
generadoras de errores. Las
dificultades en el aprendizaje de las matemáticas provienen de
naturaleza diferente y pueden
abordarse desde perspectivas distintas (Socas, 1997 citado por
Quintero, 2014).
En cuanto a la naturaleza de las dificultades que aparecen en el
aprendizaje de las
matemáticas, Socas (1997) las clasifica en cinco categorías:
1. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos de las
matemáticas: Se relaciona
con el lenguaje en la comprensión y comunicación de los objetos
matemáticos y el lenguaje
cotidiano como mediador en la interpretación de los signos.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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2. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento
matemático: Se relacionan con
las rupturas implícitas en los modos de pensamiento matemático;
los ejemplos, los dibujos
en el pizarrón, las imágenes estandarizadas, pueden generar
errores.
3. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza
desarrollados para el aprendizaje
de las matemáticas: Los métodos de enseñanza deben ser acordes
con la organización
institucional escolar y la secuencia curricular.
4. Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo
de los alumnos: Al
momento de diseñar los recursos y estrategias en la enseñanza se
deben considerar las etapas
del desarrollo cognitivo de los estudiantes, sus características
y capacidades.
5. Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales
hacia las matemáticas: En
ésta el dominio afectivo comprende las creencias, actitudes y
emociones, que actúan como
fuerza impulsadora o de resistencia al cambio de la actividad
matemática.
Socas (1997) citado por Quintero (2014), menciona que la
enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas mejoraría si conocemos de manera general o
específica las razones y
dificultades por las que se originan los diferentes errores
cometidos por los estudiantes al
trabajar con las Matemáticas
3.5.2 Obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas
El obstáculo es un conocimiento adquirido, no una falta de
conocimiento, el cual ha
demostrado su efectividad en ciertos contextos. Cuando el alumno
utiliza este conocimiento
fuera de dichos contextos, origina respuestas inadecuadas
(Bachelard, 1938; Brousseau, 1983
citados por Socas, 2008). Es decir, los obstáculos son
dificultades propias del sujeto que
conoce, causales de estancamiento y retroceso. Es un
conocimiento que por diversos motivos
se ha convertido en trabas (Herrera 2010).
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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El concepto de obstáculo fue introducido por primera vez por
Bachelard (1988)
mediante el obstáculo epistemológico. Bachelard (1998) citado
por Brousseau (1983),
menciona que los obstáculos aparecen en el acto mismo de
adquirir un nuevo conocimiento.
Bachelard y Brousseau caracterizan un obstáculo como aquel
conocimiento que ha
sido en general satisfactorio durante un tiempo para la
resolución de ciertos problemas, y que
por esta razón se fija en la mente de los estudiantes, pero que
posteriormente este
conocimiento resulta inadecuado y difícil de adaptarse cuando el
alumno se enfrenta con
nuevos problemas. Brousseau (1989) citado por Andrade (2011),
distingue tres obstáculos
que se presentan en el sistema didáctico:
1. Obstáculos de origen ontogenético o psicogénico: debidos a
las características del
desarrollo del aprendiz; surgen de las limitaciones propias de
cada individuo.
2. Obstáculos de origen didáctico: vinculados con las elecciones
didácticas que se hacen
para establecer la situación de enseñanza.
3. Obstáculos de origen epistemológico: relacionados con la
dificultad intrínseca del
concepto que se aprende.
Brousseau (1983) se refiere al obstáculo epistemológico como un
conocimiento que ha
sido en determinado momento eficiente para resolver algún tipo
de problema, pero que falla
cuando se aplica a otro problema. Debido a su éxito previo en
cierto tipo de problemas se
resiste a ser modificado o a ser rechazado y se convierte en una
barrera para un aprendizaje
posterior. Brousseau (1983) citado por Quintero (2014) propone
caracterizar los obstáculos
de la siguiente manera:
Un obstáculo es un conocimiento, no una falta de
conocimiento.
El alumno utiliza este conocimiento para producir respuestas
adaptadas en un cierto
contexto que encuentra con frecuencia.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
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Cuando se usa este conocimiento fuera de este contexto genera
respuestas incorrectas.
Una respuesta universal exigiría un punto de vista
diferente.
El alumno se resiste a las contradicciones que el obstáculo le
produce y al
establecimiento de un conocimiento mejor.
3.5.3 Errores en el aprendizaje de las matemáticas
Los errores surgen constantemente durante el proceso de
enseñanza – aprendizaje de
las matemáticas. Cuando el alumno no puede superar sus
dificultades, estas se convierten en
obstáculos que le impiden avanzar en la construcción de nuevos
conocimientos y este
obstáculo se manifiesta en forma de errores. El error no es un
virus o una enfermedad que se
puede evitar, el error forma parte del proceso de adquisición de
conocimiento de las personas,
es algo a lo que nos tenemos que habituar para detectar,
controlar, valorar y corregir. Hay
que enfrentar a los alumnos con los potenciales errores y, a
partir del conflicto cognitivo,
tratar de lograr la superación del alumno (Rico, 1998)
Mulhern (1989) citado por Rico (1998), hace una caracterización
general de los errores
cometidos por los estudiantes:
Los errores que surgen en la clase son espontáneos y
generalmente resultan
sorprendentes para el profesor.
Son persistentes, resistentes a cambiar por sí mismos y
difíciles de corregir porque
requieren de una reorganización de los conocimientos en el
alumno.
Son más frecuentes los errores sistemáticos (revelan los
procesos mentales que han
llevado al alumno a una comprensión equivocada) con respecto a
los errores por azar
u ocasionales.
Los alumnos en el momento no toman conciencia del error.
Por otra parte Brosseau, Davis y Werner (1986), citado por Rico
(1998), señalan cuatro
vías por las que los errores pueden presentarse:
Como resultado de concepciones incorrectas acerca de principios
básicos de las
matemáticas.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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Cuando los alumnos recrean o inventan su propio método en base
al método descrito
por el profesor.
Por la aplicación incorrecta y sistematizada de procedimientos
imperfectos
fácilmente reconocidos por el profesor.
Al aplicarse por parte del alumno procedimientos imperfectos y
concepciones
inadecuadas no reconocidas por el profesor
Radatz (1979) citado por Rico (1998), señala la importancia del
análisis de los errores y la
necesidad de un marco teórico para explicarlos, menciona que una
de las razones es, que al
reformular sucesivamente el currículo de Matemática, surgen
nuevos errores a causa de los
contenidos específicos. Los profesores necesitan entonces,
modelos de actuación para
diagnosticar y corregir aprendizajes erróneos.
3.6 Estudio sobre errores
El estudio de los errores en el aprendizaje de las matemáticas
ha sido una cuestión de
permanente interés en Educación Matemática, caracterizado por
aproximaciones e intereses
muy diferentes y a su vez, condicionado por los objetivos y
formas de organización del
currículo de matemática en los correspondientes sistemas
educativos. Los errores forman
parte del aprendizaje de las matemáticas, no sólo se producen en
alumnos menos capaces
sino que casi todos los alumnos cometen algún error o tienen
alguna dificultad en el
aprendizaje de las matemáticas (Socas, 2007 citado por Gonzáles,
2015). Es importante
considerar entonces el error como una herramienta con la que el
docente puede organizar
estrategias que permitan una mejor enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas por lo que,
además, es necesario no sólo conocer cuáles son esos errores
sino saber por qué se producen
(Socas, 1997, citado por Gonzáles, 2015).
Gonzáles (2015), menciona que existen dos acercamientos al
estudio de los errores por
parte de los docentes. En el primero, el error considera un dato
objetivo que muestra el
desconocimiento de un alumno y por ello debe ser corregido,
controlado e, incluso,
penalizado. En el segundo acercamiento, el error se considera
como la muestra de un
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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conocimiento parcialmente construido, por lo que el docente debe
tratar de contribuir cuando
el alumnado lo necesite evitando provocar bloqueos, rechazos o
sanciones. Ambos tipos de
acercamientos tienen algo en común y es que se considera el
error como algo natural en el
proceso de enseñanza-aprendizaje, pero que debe ser
diagnosticado lo antes posible para
poder lograr que el alumnado lo supere (Rico, 1997 citado por
Gonzales, 2015).
Rico (1995) citado por Piñero (2011), propone cuatro principales
líneas de investigación,
no excluyentes, en el estudio de errores en el aprendizaje de
las matemáticas:
1. Estudios relativos a análisis de errores, causas que los
producen o elementos que los
explican, y taxonomías y clasificación de los errores
detectados.
2. Estudios dedicados al tratamiento curricular de los errores
del aprendizaje en
matemáticas.
3. Estudios dedicados a determinar que conviene que aprendan los
profesores en
formación en relación con los errores que cometen los
alumnos.
4. Trabajos de carácter técnico que implementan y sostienen una
determinada clase de
análisis de errores.
La presente investigación se sitúa en la primera línea de
investigación propuesta
anteriormente por Rico (1995), es decir, la identificación y
análisis de los errores más
frecuentes en el contenido de la función lineal, enfocándose en
las situaciones que generan
estos errores más frecuentes para posteriormente realizar una
clasificación de estos
considerando los errores mencionados en el currículo y los
detectados en investigaciones
similares relativas al estudio de errores en el contenido de
función lineal.
3.7 Representaciones semióticas de la función lineal
Una dificultad frecuente que acarrean los estudiantes de los
distintos ciclos de
enseñanza y que persiste aún en estudiantes que ingresan a la
Universidad– se presenta con
el tema Funciones, y entre ellas, la Función Lineal (Abrate,
Pochulu y Vargas (2006).
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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Tal dificultad deriva del hecho de realizar, en numerosas
ocasiones, ejercicios en los
que sólo se pide a los alumnos representar gráficamente un gran
número de funciones,
identificar pendiente e intersección con los ejes coordenados
(Abrate, Pochulu y Vargas,
2006). Generalmente se pone énfasis solo en su representación y
se deja de lado la
interpretación. Sierpinska (1992) citado por Abrate, Pochulu y
Vargas (2006), menciona que
la principal dificultad que presentan los alumnos con relación
al estudio de las funciones es
que estos consideran a la función básicamente como un proceso
algorítmico.
Son pocas las situaciones en las que se les solicita a los
estudiantes identificar una
función lineal a partir de una gráfica, así como aquellas
situaciones que favorezcan la
interpretación de situaciones cotidianas mediante el empleo de
tales expresiones matemáticas
o que se haga hincapié en el significado de los distintos
parámetros que conforman una
función.
Abrate, R.; Pochulu, M. y Vargas, J. (2006), mencionan que las
causas que dan origen
al problema del aprendizaje de la función lineal están
estrechamente relacionadas con las
representaciones algebraica, tabular, gráfica y con el lenguaje
natural, razón por la que los
sistemas semióticos de representación proporcionan alternativas
de aprendizaje para mejorar
la aprehensión del concepto de función lineal.
Las representaciones semióticas, se refieren a los observables y
ostensibles utilizados
en la actividad matemática, tales como, términos, símbolos,
tablas, gráficos, palabras, y en
general, todas las representaciones externas del objeto
matemático. Las expresiones
semióticas asumen las funciones expresivas y señalizadoras del
lenguaje matemático (Rico,
2009).
Duval (1998) citado por Guzmán (2006), menciona que los objetos
matemáticos no
son directamente accesibles a la percepción humana, por lo que
es necesario asignarles
representaciones. Es así como la adquisición de los conceptos
matemáticos es una
aprehensión conceptual y la actividad con los conceptos
matemáticos sólo se da a través de
las representaciones semióticas. Es decir, un concepto
matemático visto en sus diferentes
representaciones proporcionará información específica, dando
solidez al concepto. Al
respecto, Duval (1998), señala:
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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“La comprensión (integradora) de un contenido conceptual reposa
en la
coordinación de al menos dos registros de representación, y esta
coordinación se
manifiesta por la rapidez y la espontaneidad de la actividad
cognitiva de conversión”
(p. 186).
En otras palabras, la aprehensión conceptual de un objeto
matemático sólo se logrará
si existe actividad (cognitiva) con registros de representación,
la cual deberá realizarse con
la coordinación de al menos dos de ellos.
Duval (1993) citado por socas (2012), caracteriza un sistema
semiótico como un sistema
de representación de la manera siguiente: Un sistema semiótico
puede ser un registro de
representación, si permite tres actividades cognitivas
relacionadas con la semiosis:
1. La presencia de una representación identificable.
2. El tratamiento de una representación que es la transformación
de la representación
dentro del mismo registro donde ha sido formada.
3. La conversión de una representación es la transformación de
la representación en otra
representación de otro registro en la que se conserva la
totalidad o parte del
significado de la representación inicial.
Las representaciones desempeñan un papel fundamental para los
procesos de
consolidación de conceptos y, por ello, son importantes en el
proceso de enseñanza -
aprendizaje del conocimiento matemático. En cada representación
se manifiesta una
forma de mirar un mismo objeto desde distintas perspectivas, en
cada caso se atiende
un enfoque distinto que puede iluminar diferentes aspectos del
mismo.
Así entonces, la comprensión de un concepto matemático, como es
el caso de la
función lineal, solo se dará a través de sus diferentes
representaciones, y a su vez, es en las
diferentes representaciones donde se presentan las mayores
dificultades. Leinhardt (1990),
reconoce una mayor dificultad en la traducción entre las
representaciones gráfica y
algebraica. Es decir, las dificultades en el aprendizaje de la
función lineal están directamente
relacionadas con el poco manejo de los sistemas de
representación y con la falta de
interpretación por parte de los estudiantes.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
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Es así como el análisis de las diferentes representaciones de la
función lineal, nos
proporcionará información importante sobre las dificultades y
errores más frecuentes que
presentan los estudiantes al pasar de un sistema de
representación a otro; situaciones donde
se concentran las mayores dificultades del aprendizaje de la
función lineal.
3.7.1 Los sistemas de representación de la función lineal
El contenido de la función lineal relaciona diferentes sistemas
de representación tales
como gráfico, algebraico, tabla de valores y verbal. Respecto a
los sistemas de
representación, Duval (1998) citado por Guzmán (2006), menciona
que la comprensión del
concepto de función lineal involucra la articulación coherente
de estos sistemas de
representación. Es importante entonces que los estudiantes
puedan manejar los distintos
sistemas de representación de la función lineal, ya que esto les
proporcionara una
comprensión más ajustada del concepto y les facilitará el pasar
de un sistema de
representación a otro.
A continuación, se mencionan los sistemas de representación de
la función lineal:
Representación Gráfica: Es la presentación en el plano
cartesiano, incluyendo los
convenios implícitos en la lectura de gráficos. Por ejemplo,
interpretación de ejes
coordenados, de unidades, etc., permiten representar las
funciones en forma muy clara y
ayudan a sacar conclusiones respecto de las mismas.
Representación mediante Tabla de valores: Se compone de parejas
de valores ordenados
en columnas, para las cuales a la primera de éstas se le conoce
como abscisa, o variable
independiente, y, a la segunda, como ordenada o variable
dependiente. A partir de estas
tablas, se buscará la regla que relaciona los números de la
primera columna con los de la
segunda y la expresarán simbólicamente, la cual son un
antecedente importante en el
tratamiento de la función lineal.
Representación Algebraica: Expresado por medio de una ecuación o
una fórmula.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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Representación Verbal: En este caso, el lenguaje común es el
utilizado para representar
situaciones del mundo real. Éstas pueden ser modeladas en
cualquiera de los otros sistemas
de representación.
3.8 Errores y situaciones generadoras de errores en el
aprendizaje
de la función lineal
Errores:
Para la presente investigación no se considera una clasificación
especifica de errores,
más bien se considerarán los errores detectados en
investigaciones referentes al estudio de
errores en el aprendizaje de la función lineal y los errores
detectados por el autor de la
presente investigación. Según Venegas y Escalona (2013), Arce y
Ortega (2013), Gonzales
(2006), De Prada (1996), Ortega y Pacharroman (2014), Oviedo
(2003), Pochulu (2005) y
Guzmán (2006), los errores más frecuentes en el aprendizaje del
contenido de la función
lineal son:
1. Confundir los ejes coordenados.
2. Omitir escala en los ejes coordenados.
3. Error al ubicar valores en el plano cartesiano.
4. Desconocer la unicidad de las imágenes presente en el
concepto de función.
5. Desconocer la variación constante presente en el concepto de
función lineal.
6. Confundir los conceptos de pendiente y coeficiente de
posición.
7. Desconocer la inclinación de la recta según el signo de la
pendiente.
8. Ubicar el parámetro 𝑚 directamente en el plano cartesiano (𝑦
= 𝑚𝑥 + 𝑏).
9. No utilizar un medio de representación intermedio al
graficar.
10. Confundir el tipo de función a partir de su gráfica, tabla
de valores, expresión verbal
o algebraica.
11. No interpretar gráficamente la pendiente o el coeficiente de
posición.
12. No interpretar coherentemente la información que deviene de
una gráfica.
13. Interpretar incorrectamente información proveniente de una
situación planteada.
14. No identificar correctamente las variables dependiente e
independiente en situaciones
planteadas.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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Situaciones Generadoras de Errores:
Como mencionamos anteriormente, los errores se producen debido a
obstáculos
epistemológicos, es decir, conocimientos que han sido eficientes
en determinados momentos,
pero fallan cuando se aplican a otras situaciones. Es importante
entonces conocer las
situaciones en donde se generan estos errores, pensando en su
posterior tratamiento. A
continuación se mencionan situaciones generadoras de errores
detectadas en investigaciones
referentes al estudio de errores en el aprendizaje de la función
lineal, y además, situaciones
generadoras de errores detectadas por el autor de la presente
investigación. Según Venegas,
D y Escalona, M (2013), Arce, M. y Ortega, T. (2013), Gonzales,
s.f, De Prada (1996), Ortega
y Pacharroman (2014), Oviedo (2003), Pochulu (2005), Guzmán
(2006), las situaciones
generadoras de los errores más frecuentes en el aprendizaje del
contenido de la función lineal
son:
A. Representar puntos en el plano cartesiano.
B. Realizar una tabla de valores a partir de una expresión
algebraica o gráfica.
C. Expresar una variable en términos de otra.
D. Modelar en términos de una función una situación
problema.
E. Interpretar gráficamente los parámetros de una función.
F. Pasar de una expresión algebraica a una representación
gráfica.
G. Interpretar información procedente de una representación
gráfica.
H. Interpretar información procedente de una tabla de
valores
I. Representar gráficamente una función.
Estos errores y situaciones generadoras de errores nos servirán
de referencia para diseñar
el instrumento evaluativo, y además, para realizar una posterior
clasificación de los errores
detectados en dicho instrumento. En el siguiente cuadro se
presentan los errores y las
situaciones generadoras de errores mencionadas
anteriormente:
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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Errores Situaciones generadoras de errores
E1. Confundir los ejes coordenados.
E2. Omitir escala en los ejes coordenados.
E3. Error al ubicar valores en el plano
cartesiano.
E4. Desconocer la unicidad de las imágenes
presente en el concepto de función.
E5. Desconocer la variación constante presente
en el concepto de función lineal.
E6. Confundir los conceptos de pendiente y
coeficiente de posición.
E7. Desconocer la inclinación de la recta según
el signo de la pendiente.
E8. Ubicar el parámetro 𝑚 directamente en el
plano cartesiano (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏).
E9. No utilizar un medio de representación
intermedio al graficar.
E10. Confundir el tipo de función a partir de su
gráfica, tabla de valores, expresión verbal o
algebraica.
E11. No interpretar gráficamente la pendiente o
el coeficiente de posición.
E12. No interpretar coherentemente la
información que deviene de una gráfica.
E13. Interpretar incorrectamente información
proveniente de una situación planteada.
14. No identificar correctamente las variables
dependiente e independiente en situaciones
planteadas.
S1. Representar puntos en el plano
cartesiano.
S2. Realizar una tabla de valores a
partir de una expresión algebraica o
gráfica.
S3. Expresar una variable en términos
de otra.
S4. Modelar en términos de una
función una situación problema.
S5. Interpretar gráficamente los
parámetros de una función.
S6. Pasar de una expresión algebraica
a una representación gráfica.
S7. Interpretar información
procedente de una representación
gráfica.
S8. Interpretar información
procedente de una tabla de valores
S9. Representar gráficamente una
función.
Cuadro 3.8 “Errores y situaciones generadoras de errores”.
Fuente: Elaboración propia a partir de los errores
y situaciones generadoras de errores mencionados en la sección
3.8.
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
35
3.8.1 Función lineal en los Programas de Estudio
En el Programa de Estudio de Matemática de primer año medio
(MINEDUC, 2016),
se hace referencia a los errores frecuentes que pueden presentar
los estudiantes en el
aprendizaje de los distintos contenidos. En el Texto de
Matemática de 1° Medio: Guia
Didáctica del Docente (2016), se mencionan algunos errores
frecuentes específicos de cada
contenido, con sugerencias para prevenirlos y corregirlos. De
estos errores frecuentes
mencionados, los errores y situaciones generadoras de errores
correspondientes al contenido
de la función lineal son:
Errores:
Confundir la dirección que toma la recta según el signo de la
pendiente.
Error al vincular la ecuación con su gráfica.
Interpretan de forma errónea la pendiente y coeficiente de
posición.
Identificar incorrectamente la función que modela una
situación.
Confundir entre las variables dependiente e independiente.
Confundir el dominio con el recorrido de una función.
Error en las tablas de valores, al no respetar las prioridades
de las operaciones.
Mantener siempre la misma escala en ambos ejes del gráfico.
Confundir los ejes de los gráficos.
Situaciones Generadoras de Errores:
Identificar una función.
Distinguir las variables de una función.
Vincular la ecuación de una función con su gráfica.
Interpretar la pendiente y el coeficiente de posición.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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Capítulo 4. Marco Metodológico
4.1 Tipo de investigación
La presente investigación es de tipo cuantitativa-exploratoria,
ya que se obtienen
resultados cuantificables de las variables de estudio y además
se pretende mostrar la realidad
de una problemática de interés; asimismo es de tipo no
experimental, ya que no se manipulan
las variables implicadas.
4.2 Diseño de investigación
El diseño para la presente investigación es de tipo transversal,
ya que se llevará a cabo
sobre una situación y población concreta en un momento
específico. Los datos se extraerán
una sola vez a cada sujeto de estudio con el propósito de
analizar el comportamiento de las
variables de interés. La investigación tiene como finalidad
describir e identificar los factores
que inciden sobre la realidad estudiada y la frecuencia con que
se presentan los errores en el
contenido de la función lineal.
4.3 Población y muestra
La población corresponde a los estudiantes de segundo año medio
de la ciudad de
Mulchén. La muestra para este estudio está compuesta por 66
estudiantes de segundo año
medio de dos liceos polivalentes con distinta especialidad
técnica. Se utilizarán las siglas
PTPF y PTPA para referirse al establecimiento Polivalente
Técnico Profesional Forestal y
Polivalente Técnico Profesional en Administración,
respectivamente.
Liceo Curso N° Alumnos
Liceo Polivalente – Técnico Profesional Forestal 2°A 33
Liceo Polivalente – Técnico Profesional en Administración 2°D
33
Tabla 4.3 “Población y muestra”.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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4.4 Variables de la investigación
Las variables correspondientes a la investigación son:
Variables Independientes:
Especialidad Técnica:
Forestal
Administración
Género:
Hombre
Mujer
Variable Dependiente:
Promedio de error por ítem respondido (anexo 1)
Tipo de error (página 32)
Situación generadora de error (página 33)
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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4.5 Descripción de las variables
Especialidad Técnica: Se refiere a la especialidad técnica que
entrega cada
institución polivalente:
Forestal: Orientada en el manejo de masas forestales, tanto
nativas como
exóticas, en los ámbitos de la producción, la protección y la
conservación de los
recursos, según sea el caso, y siempre bajo la premisa del
manejo sustentable.
Administración: Orientada en proporcionar conceptos de
administración de una
empresa, documentos contables y manejo de personal.
Género:
Hombre
Mujer
Promedio de error por ítem respondido: Corresponde al cuociente
ente el número
de errores que comete cada estudiante en el instrumento y el
número de ítems
respondidos.
Tipo de error: Corresponde a uno de los 14 posibles errores que
puede cometer el
estudiante en cada ejercicio.
Situación generadora de error: Corresponde a la situación en la
que se genera el
error cometido.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
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4.6 Descripción y características del instrumento
La recopilación de datos para la presente investigación se
realizó mediante un
instrumento evaluativo, el cual se aplicó a la muestra
considerada. Una vez analizado,
permitió dar respuesta a las preguntas de investigación y a la
comprobación de las hipótesis
planteadas anteriormente.
El instrumento diseñado es una prueba compuesta por 9 peguntas
de tipo desarrollo
correspondientes al contenido de la función lineal.
Se utiliza como instrumento de recolección de datos una prueba
diseñada por el autor
de la presente investigación, donde se hace una recopilación de
ejercicios obtenidos de otras
investigaciones referentes al estudio de errores en el contenido
de la función lineal. Estos
ejercicios fueron correspondientemente validados por docentes
expertos de la Universidad
de Concepción.
4.7 Análisis de los ejercicios de la prueba
El análisis de los ejercicios se hace considerando el listado de
errores mencionado en
el cuadro 1.
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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4.7.1 Clasificación de los errores correspondientes a cada
ítem
A continuación, se presenta una tabla en donde se asocia cada
ítem del instrumento
con los posibles errores que pueden llegar a cometer los
estudiantes.
Errores correspondientes a cada ítem del instrumento
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14
Ítem Función Lineal
1) X X X
2) X X X X X X X X
3) X X X X X
4) X X X X X X X X
5) X
6) X X X X X
7) X X X X X
8) X X X X X X
9) X X X X X X X X X X X
Tabla 4.7.1 “Errores correspondientes a cada ítem del
instrumento”. Fuente: Los errores
corresponden a los presentados en el cuadro 1.
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Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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4.7.2 Clasificación de las situaciones generadoras de
errores
correspondientes a cada error
A continuación, se presenta una tabla en donde se asocia cada
error con su posible
situación generadora de error.
Situaciones generadoras de errores correspondiente a cada
error
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
Error Función Lineal
E1 X X X X
E2 X X X X
E3 X X X X X
E4 X
E5 X X
E6 X X X X X X
E7 X X X X X
E8 X X X
E9 X X
E10 X X X X X
E11 X X X X
E12 X X
E13 X X
E14 X X X
Tabla 4.7.2 “Situaciones generadoras de errores correspondientes
a cada error”. Fuente: Los
errores y las situaciones generadoras de error corresponden a
las presentadas en el cuadro 1.
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
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4.7.3 Clasificación de los sistemas de representación
correspondientes a cada ítem
A continuación, se presenta una tabla en donde se asocia cada
ítem del instrumento
con los sistemas de representación empleados.
Sistemas de representación correspondiente a cada ítem
Grafico Tabla de Valores Algebraico Verbal
Ítem Función Lineal
1) X
2) X X X
3) X
4) X X X
5) X
6) X X X
7) X
8) X X
9) X X X X
Tabla 4.7.3 “Sistemas de representación correspondientes a cada
ítem”. Fuente: Elaboración
propia a partir de los sistemas de representación mencionados en
la sección 3.7.1.
4.8 Limitaciones de la investigación
Las limitaciones que se presentaron durante la presente
investigación fueron la poca
cooperación por parte de los estudiantes para responder el
instrumento, posiblemente por una
falta de motivación de los estudiantes o bien por ser una
evaluación sin calificación.
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
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Capítulo 5. Análisis de datos y verificación de
hipótesis
5.1 Análisis de datos
En primer lugar, mencionar que el instrumento evaluativo se
aplicó el segundo
semestre en ambos establecimientos, aun cuando el contenido de
la función lineal debió ser
visto en el primer año de enseñanza media.
Anteriormente en el marco teórico se menciona que se
consideraran los errores y las
situaciones generadoras de errores que se presentan en las
investigaciones de Venegas, D y
Escalona, M (2013), Arce, M. y Ortega, T. (2013), Gonzales, s.f,
De Prada (1996), Ortega y
Pacharroman (2014), Oviedo (2003), Pochulu (2005), Guzmán
(2006), referidas al contenido
de la función lineal, y los errores identificados por el autor
de la presente investigación.
En el Anexo 3 se presenta en detalle el tipo de error que comete
cada estudiante en
cada ejercicio; el error que cometió cada estudiante está
representado utilizando la misma
numeración que se menciona en el marco teórico.
5.1.1 Errores frecuentes en cada pregunta del instrumento
A continuación, se presenta un resumen de los errores más
frecuentes cometidos por
los estudiantes en cada ejercicio a través de una tabla de
frecuencia.
La siguiente tabla muestra los errores más frecuentes de cada
ejercicio considerando
el total de la muestra.
Estudiantes de 2° año medio
Ítem Error más frecuente Frecuencia
1 E10 2
2 E11 12
3 E10 17
4 E3 6
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
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Tabla 5.1.1.1“Errores frecuentes cometidos por estudiantes de 2°
año medio en cada ítem”.
Las siguientes tablas muestran los errores más frecuentes de
cada ejercicio
correspondiente a los estudiantes hombres y mujeres.
Estudiantes Hombres
Ítem Error más frecuente Frecuencia
1 E10 2
2 E11 5
3 E10 7
4 E3 4
5 E4 3
6 E7, E11 y E12 6
7 E10 8
8 E1 y E14 4
9 E13 y E14 1
Tabla 5.1.1.2 “Errores frecuentes cometidos por estudiantes
hombres en cada ítem”.
Tabla 5.1.1.3 “Errores frecuentes cometidos por estudiantes
mujeres en cada ítem”.
5 E4 7
6 E12 22
7 E10 y E11 17
8 E1 y E14 7
9 E13 8
Estudiantes Mujeres
Ítem Error más frecuente Frecuencia
1 - -
2 E11 7
3 E11 12
4 E3 2
5 E4 4
6 E12 16
7 E11 10
8 E1, E3 y E14 3
9 E13 7
-
Identificación y análisis de errores presentes en estudiantes de
segundo año medio en el contenido de la función lineal
2019
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Finalmente se muestran los errores más frecuentes de cada
ejercicio correspondiente
al liceo PTPF y PTPA respectivamente.
Liceo PTPF
Ítem Error más frecuente Frecuencia
1 E10 2
2 E11 9
3 E10 y E11 11
4 E3 2
5 E4 6
6 E12 16
7 E10 y E11 15
8 E1 y E14 6
9 E13 7
Tabla 5.1.1.4 “Errores frecuentes cometidos por estudiantes del
liceo PTPF en cada ítem”.
Tabla 5.1.1.5 “Errores frecuentes cometidos por estudiantes del
liceo PTPA en cada ítem”.
5.1.2 Errores frecuentes en el contenido de la función
lineal
Ahora se presenta un ranking de los tres errores más frecuentes
cometidos por el total
de la muestra considerada, donde se presenta el error más
frecuente y su respectiva
frecuencia.
Liceo PTPA
Ítem Error más frecuente Frecuencia
1 E5 1
2 E3 y E11 3
3 E7 y E10 6
4 E3 4
5 E4 1
6 E7, E11 y E12 6
7 E7, E10 y E11 2
8 E1, E3 y E14 1
